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Opt. Pura Apl. 45 (2) 189‐199 (2012) ‐ 189 ‐ © Sociedad Española de Óptica
Sección Especial: Optoel’11 / Special Section: Optoel’11
Influencia del tipo de haz de entrada en el grado de polarización a la salida de despolarizadores de Lyot
Dependence of the polarization degree at the output of a Lyot depolarizer
on the input beam type
Juan Carlos G. de Sande(1,*), Gemma Piquero(2), Cristina Teijeiro(2) 1. Departamento de Circuitos y Sistemas, Universidad Politécnica de Madrid, 28031, Madrid, Spain.
2. Departamento de Óptica, Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, Spain.
(*) Email: [email protected]
Recibido / Received: 30/09/2011. Revisado / Revised: 23/12/2011. Aceptado / Accepted: 17/01/2012.
RESUMEN:
Los despolarizadores de Lyot consisten en dos láminas de fase en contacto óptico, una de espesor doble de la otra y con sus ejes ópticos girados 45º, de forma que pueden despolarizar la luz policromática. En este trabajo se investiga la influencia de las características del haz incidente sobre el grado de polarización del haz a la salida de un despolarizador de Lyot. Se analizan las siguientes dos situaciones: en primer lugar haz incidente monocromático no uniformemente polarizado, tanto para haces con grado de polarización estándar nulo y no nulo, y en segundo lugar un haz incidente generado como superposición de haces monocromáticos, en general, con distinta longitud de onda y distinto estado de polarización. En concreto, se analiza cómo varía el grado de polarización a la salida, en función de la relación de irradiancias para varias combinaciones de longitudes de onda de los haces que se superponen y se obtienen diversas situaciones en donde este dispositivo aumenta del grado de polarización en vez de despolarizar.
Palabras clave: Despolarizadores, Polarización, Haces no Uniformemente Polarizados.
ABSTRACT:
Lyot depolarizers are manufactured with two parallel synthetic crystal quartz plates assembled with their optic axes lying in the plane of the plates and forming a 45º angle. They are used for producing unpolarized beams from totally polarized incident polychromatic light. In this work, the effect of this device on different types of incident fields is investigated. The output polarization characteristics are obtained for several examples of monochromatic and non uniformly polarized incident beams and for incident light synthesized by superposition of monochromatic totally polarized beams with different wavelengths. In the last case, the variation of the degree of polarization of the output beam is analyzed as a function of the irradiances ratio for several wavelengths combinations of superposed beams. It is shown that, in some cases, the Lyot depolarizer increases the degree of polarization instead of depolarize.
Key words: Depolarizers, Polarization, Non Uniformly Polarized Beams.
REFERENCIAS Y ENLACES / REFERENCES AND LINKS
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1. Introducción
La polarización es una de las propiedades más
importantes de la luz para diversos dispositivos
ópticos y aplicaciones, tales como cristales
líquidos, aisladores ópticos, etc. Sin embargo
existen muchas situaciones en las cuales es
deseable que la luz esté despolarizada para
obtener buenos resultados, por ejemplo en
láseres de bombeo para amplificadores de fibra
óptica dopadas, en giróscopos ópticos
despolarizados o en diversas aplicaciones de
espectrometría. Existen diversos dispositivos
capaces de despolarizar un haz de luz [1–4]. Uno
de los dispositivos usados para tal fin es el
despolarizador de Lyot (DL) [5–10]. Estos
dispositivos están fabricados con dos láminas
plano paralelas de un medio anisótropo
uniáxico, con espesores una el doble de la otra y
la segunda de ellas con el eje óptico girado 45º respecto al eje óptico de la primera lámina.
Normalmente se utiliza con haces incidentes de
diversas longitudes de onda uniformemente y
totalmente polarizados con el mismo estado de
polarización. Este dispositivo desfasa las
distintas longitudes de onda de forma que el
grado de polarización estándar del haz a la salida
es aproximadamente nulo. Los DL han sido
investigados suponiendo casos concretos de luz
incidente policromática y monocromática.
Recientemente se han propuesto y generado
diversos tipos de haces como aquellos cuyas
características de polarización varían punto a
punto, otros que se pueden representar como
una superposición incoherente de haces con
igual o diferente estado de polarización, etc. [11]
Todo ello nos sugiere un estudio detallado del
comportamiento del DL en estos casos. Por otro
lado, además del grado de polarización estándar
[12], en la literatura se han introducido otros
parámetros de polarización que son útiles para
obtener una información más detallada de las
características de polarización de los haces
luminosos [11]. En este trabajo se investiga
cómo se comporta un DL, analizando las
características de polarización a través de los
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parámetros anteriormente citados, para
diversos tipos de haces de entrada. Como
ejemplos concretos se estudian: haces
monocromáticos con distribución no uniforme
de la polarización en la sección transversal a la
dirección de propagación del haz y
superposición de haces monocromáticos con
distintos estados de polarización y distintas
longitudes de onda. Algunos resultados
preliminares han sido publicados recientemente
en la literatura [13].
La estructura de este trabajo es la siguiente:
después de esta sección de introducción,
describimos el formalismo empleado para
estudiar el efecto de un DL sobre la luz incidente
en la segunda sección. Posteriormente, en la
sección 3 se estudiarán las características de
polarización cuando el haz de entrada es
monocromático con una distribución no
uniforme de polarización en la sección
transversal, perpendicular a la dirección de
propagación del haz. En la sección 4, se analizará
el grado de polarización a la salida del DL para
un haz de entrada constituido por la
superposición de haces monocromáticos con
distintas longitudes de onda y distintos grados y
estados de polarización. En la sección 5 se
describirá con detalle el caso de un haz incidente
formado por la superposición de dos haces
monocromáticos con distinta longitud de onda y
diversos estados de polarización. Finalmente, se
resumirán las conclusiones más relevantes de
este trabajo en la sección 6.
2. Formalismo
En esta sección presentaremos el formalismo
empleado para estudiar las características de
polarización de la luz y para representar el
comportamiento del DL
2.a. Parámetros de polarización de la luz
Consideremos un haz colimado y mono‐
cromático de longitud de onda propagándose a
lo largo del eje z, con un grado y un estado de
polarización que pueden variar de punto a punto
a través de su sección transversal. Las
características de polarización vendrán dadas
por un vector de Stokes:
2Re
2Im
, 1
donde es el punto en la sección transversal del
haz y los subíndices s y p se refieren a las
componentes del campo ortogonales a la
dirección de propagación. Se pueden expresar
los parámetros de Stokes en términos de los
elementos de la matriz de polarización, ,
definida de la siguiente manera [14,15]:
, , , 2
donde
⟨ ∗ , , ⟩, 3
siendo ∗ con j, k = s, p, y ⟨ ⟩ representa un
promedio temporal. Los elementos de la
diagonal de describen las irradiancias
asociadas a cada componente del haz, mientras
los términos fuera de la diagonal son las
correlaciones entre las componentes s y p en un
punto .
Los parámetros de Stokes son cantidades
medibles que se pueden determinar a partir de
las irradiancias a la salida de un polarizador
lineal y una lámina de cuarto de onda. En ese
caso [12],
=
0º + 90º
0º 90º
45º + 135º
/4,45º + /4,135º
, 4
donde ( ) e /4, ( ) son las irradiancias en
cada punto de la sección transversal del haz, el
subíndice se refiere al ángulo entre el eje de
transmisión del polarizador y la dirección s y /4
indica la presencia de una lámina de cuarto de
onda. El término representa la irradiancia
en cada punto , es la diferencia entre las
irradiancias medidas con el polarizador lineal a
0º y a 90º. El significado de es similar al de
pero con el polarizador lineal a 45º y 135º. Por último, indica la diferencia entre la
irradiancia de luz circularmente polarizada a
izquierdas y a derechas en el punto .
A partir de los parámetros de Stokes, se
define el grado de polarización local como:
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. 5
El grado de polarización local satisface la
desigualdad 0 1. Si 1, se tiene
un campo totalmente polarizado y para 0
el campo es totalmente despolarizado en el
punto .
Para campos totalmente polarizados se
define el azimut local, , y la elipticidad local,
, en cada punto de la sección transversal del
haz como:
1
2arctan , 6
1
2arcsen , 7
con las condiciones 0 y /4
/4.
Normalmente se requiere información global
acerca de las características de polarización del
haz, para lo cual se suele emplear el grado de
polarización estándar [12]:
. 8
con
, 0,1,2,3. 9
El vector de Stokes para cada longitud de onda
se puede expresar en términos de los
parámetros definidos en las Ecs. (5)‐(7) como:
cos2 cos2
sen2 cos2
sen2
. 10
Otros parámetros útiles para caracterizar
globalmente la polarización del haz son el grado
de polarización ponderado, la elipticidad
ponderada y el azimut ponderado dados por
[11]:
∬
∬, 11
∬
∬, 12
∬
∬, 13
Nótese que , y contienen información
acerca de los valores predominantes del grado
de polarización, del azimut y la elipticidad en la
región donde la irradiancia es significativa.
2.b. Despolarizador de Lyot
El despolarizador de Lyot consiste en dos
láminas de fase, la primera con su eje óptico
paralelo al eje x y la segunda con un espesor
exactamente el doble de la primera y su eje
óptico formando 45º con el eje x (véase Fig. 1). Para una longitud de onda determinada, la
lámina más delgada del DL introduce un desfase
entre las componentes s y p para cada longitud
de onda dado por:
2|Δ | , 14
donde es el espesor de esa primera lámina y
Δ , con y los índices
de refracción ordinario y extraordinario,
respectivamente. La segunda lámina introduce
un desfase 2 . Con estas orientaciones y en el
formalismo de Stokes el DL viene representado
por una matriz de Müller que se calcula
multiplicando las matrices de Müller
correspondientes a las dos láminas de fase,
resultando:
__________________________________________________________________
1 0 0 00 cos2 sen2 sen sen2 cos0 0 cos sen0 sen2 sen cos2 cos2 cos
15
__________________________________________________________________
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A partir de la matriz de Müller del DL, resulta
inmediato comprobar que, para un haz
monocromático uniformemente polarizado, no
se puede obtener ningún cambio en el grado de
polarización estándar, ni en el local ni en el
ponderado. En las siguientes secciones se
estudiará qué ocurre cuando consideramos otro
tipo de haces incidentes sobre el DL.
Fig. 1: Esquema del despolarizador de Lyot
3. Haces incidentes monocromáticos no uniformemente polarizados en la sección transversal del haz
Para haces monocromáticos uniformemente
polarizados es fácil comprobar que el sólo
cambia el estado pero no el grado de
polarización estándar del haz de entrada [5–7].
Consideremos un haz no uniformemente y
parcialmente polarizado (NUP) de longitud de
onda , cuyo grado y estado de polarización de la
componente totalmente polarizada puede variar
de un punto a otro de la sección transversal del
haz. A partir del vector de Stokes que representa
a este tipo de haz, , (dado por la Ec. (1)) es
inmediato calcular el vector de Stokes del haz a
la salida del DL, ,
__________________________________________________________________
cos2 sen2 sen sen2 cos
cos sen
sen2 sen cos cos2 cos
16
__________________________________________________________________
A partir de este vector de Stokes del haz de
salida y aplicando la Ec. (5), resulta sencillo
comprobar que el grado de polarización local no
cambia, con lo cual el grado de polarización
ponderado (véase la Ec. (8)) tampoco cambia.
Por último, para calcular el grado de
polarización estándar del haz de salida, se deben
promediar los valores de las componentes del
vector de Stokes , con lo cual el grado de
polarización estándar tampoco cambia,
, 17
, 18
. 19
Sin embargo el DL sí que cambia el estado de
polarización del haz de salida punto a punto.
3.a. Haces no uniformemente y totalmente
polarizados con = 0
Para enfatizar el hecho de que el despolarizador
cambia el estado de polarización del haz a la
salida manteniendo el grado de polarización
estándar, podemos estudiar un caso particular
de un haz no uniformemente y totalmente
polarizado (NUTP): los haces espiralmente
polarizados(SPB) [16], que tienen 0. Estos
haces están totalmente y linealmente
polarizados pero con distinto azimut en cada
punto. Su vector de Stokes es:
cos 2 2
sen 2 20
, 20
donde , es el vector de posición en la
sección del haz y es un ángulo constante. En la
Fig. 2a y 2b se muestra cómo es el estado de
polarización para este tipo de haces para dos
valores particulares del ángulo
correspondientes a polarización azimutal
0 y radial /2 .
Tras el DL el vector de Stokes para el haz de
salida en este caso es:
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__________________________________________________________________
cos 2 2 cos2 sen 2 2 sen2 sen
sen 2 2 cos
cos 2 2 sen2 sen 2 2 sen cos2
, 21
__________________________________________________________________
que continúa siendo un haz NUTP pero con un
estado de polarización que cambia en cada
punto de su sección. Esto se puede comprobar
comparando el azimut y la elipticidad local del
haz de entrada:
/2, 22
0, 23
con el azimut y la elipticidad local del haz a la
salida del DL:
__________________________________________________________________
1
2arctan
sen 2 2 cos
cos 2 2 cos2 sen 2 2 sen2 sen, 24
1
2arcsen sen 2 2 cos2 sen cos 2 2 sen2 25
__________________________________________________________________
Fig. 2: Distribución de la polarización de un haz incidente espiralmente polarizado con (a) 0, polarización azimutal, y (b) /2, polarización radial. Distribución de la polarización del haz a la salida de un DL formado por láminas /4 y /2 para un haz de entrada con polarización azimutal (c) y polarización radial (d).
Es interesante notar que se pasa de una
elipticidad local nula a una elipticidad local, en
general distinta de cero.
Para un haz incidente de tipo SPB
(independientemente del valor de y del
espesor del DL) se obtiene a la salida del DL:
1, 26
0, 27
1. 28
Esto significa que tanto el haz de entrada como
el de salida son localmente totalmente
polarizados pero globalmente despolarizados
0 . Para un DL con /2 y un haz de
entrada radialmente polarizado /2 se
obtiene a la salida un haz con vector de Stokes:
1cos20
sen2
, 29
mientras que si el haz de entrada es
azimutalmente polarizado ( 0), a la salida
tenemos:
1cos20
sen2
, 30
es decir, se intercambia la polarización vertical
por horizontal y a izquierdas por derechas. La
distribución de estados de polarización local
para el caso particular de un DL con /2 se
representa esquemáticamente en la Fig. 2c y 2d
respectivamente.
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3.b. Haces no uniformemente y totalmente
polarizados con > 0
Para ilustrar este caso, vamos a estudiar un tipo
particular de haz de entrada no uniformemente
y totalmente polarizado en cada punto de su
sección transversal, con un grado de
polarización estándar no nulo. Haces de este tipo
se pueden generar mediante un interferómetro
de Mach‐Zenhder en el que en cada brazo se ha
insertado una transmitancia en amplitud. La
expresión genérica de este tipo de haz es [17]:
, ,exp
exp, 31
con
1
2, 32
donde y son parámetros que definen la
anchura y el índice de la transmitancia. En este
caso, el vector de Stokes a la entrada se puede
expresar como:
exp 2 exp 2
exp 2 exp 2
2exp
0
, 33
siendo un factor constante. El vector de Stokes
del haz a la salida del DL resulta:
__________________________________________________________________
exp 2 exp 2
exp 2 exp 2 cos2 2exp sen2 sen
2exp cos
exp 2 exp 2 sen2 2exp cos2 sen
. 34
__________________________________________________________________
Un caso para el cual resulta sencillo calcular
el vector de Stokes promedio del haz tanto a la
entrada como a la salida del DL se obtiene
eligiendo 1/2. Si además llamamos
2 y 2Δ , las expresiones
de los promedios de los vectores de Stokes a la
entrada y a la salida del DL se reducen,
respectivamente a:
4
1Δ
2Δ
1Δ
0
, 35
y
__________________________________________________________________
4
1Δ
ω
2Δcos2 1
Δsen2 sen
1Δ
cos
2Δsen2 1
Δcos2 sen
. 36
__________________________________________________________________
Con esto se comprueba que el grado de
polarización estándar tanto a la entrada como a
la salida es:
2Δ1
Δ
1Δ
. 37
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En este caso se observa que para este tipo de
haces monocromáticos parcialmente polarizados
globalmente, aunque sean no uniformemente
polarizados, el grado de polarización estándar
no cambia al pasar el haz por el DL. Sin embargo,
tanto el estado de polarización local como el
vector de Stokes promedio cambian cuando este
tipo de haces parcialmente polarizados pasan a
través del DL.
4. Haz incidente formado por una superposición de haces monocromáticos, uniformemente y parcialmente polarizados con diferentes longitudes de onda y estados de polarización
A partir de este punto vamos a considerar haces
uniformemente polarizados, con lo cual el grado
de polarización estándar, el local y el ponderado
son iguales. Por este motivo, en adelante sólo
hablaremos del grado de polarización estándar.
Además, omitiremos la dependencia con .
Si a la entrada de un DL tenemos una
superposición finita de haces monocromáticos,
uniformemente y parcialmente polarizados con
diferentes longitudes de onda y estados de
polarización podemos escribir su vector de
Stokes como:
, 38
donde viene dado por la Ec. (1). Hemos
hecho explícita la dependencia de la longitud de
onda mediante la variable . Dado que se trata
de una superposición incoherente el grado de
polarización de este haz de entrada sería:
.
39
A la salida del DL obtenemos el siguiente vector
de Stokes:
, 40
donde viene dado por la Ec. (16). Se
puede obtener el grado de polarización del haz
de salida mediante una expresión similar a la Ec.
(39).
Cuando todas las componentes espectrales
están completamente y uniformemente
polarizadas con el mismo estado de polarización,
a la salida se obtiene un haz con un grado de
polarización próximo a cero, es decir, el haz de
salida es local y globalmente despolarizado [5–
10]. Sin embargo, cuando cada componente
espectral en la superposición de entrada tiene su
propio estado de polarización, el grado de
polarización del haz de salida se puede modificar
variando adecuadamente las características del
haz de entrada y el desfase del DL (bien su
espesor o el material).
5. Superposición de haces uniformemente y linealmente polarizados con distintas longitudes de onda
Para mostrar el efecto del DL en una
superposición de componentes espectrales
vamos a suponer que cada componente
espectral es linealmente polarizada con distinto
azimut .
Para este caso la Ec. (38) se reduce a:
1cos2
sen2
0
, 41
con lo cual el grado de polarización a la entrada
es:
1 2 42
1 cos 2 2 .
A la salida del DL se obtiene un haz con un
vector de Stokes:
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__________________________________________________________________
1cos2 cos2 cos2 sen2 sen
sen2 cos
cos2 sen2 sen2 sen cos2
, 43
a partir del cual podemos obtener el grado de polarización del haz de salida como
1 2 1 sen2 sen2 cos cos
sen2 sen2 sen sen cos2 cos2 cos 2 2
sen2 cos2 sen cos2 cos2 sen sen 2 2 .
44
__________________________________________________________________
Se observa que en general, el grado de
polarización del haz de salida puede ser mayor
que el del haz de entrada. En concreto, si se
superponen dos haces de igual irradiancia y
linealmente polarizados con polarizaciones
ortogonales, el grado de polarización del haz de
entrada es 0 siendo un haz despolarizado.
Sin embargo, para este caso concreto, el grado de
polarización del haz de salida es
|sen | que será mayor que el del haz de
entrada salvo para el conjunto de pares de
longitudes de onda que satisface la condición
. En la Fig. 3 se observa este
comportamiento para un haz de longitud de
onda fijo (632.8nm) y el segundo haz de longitud
de onda variable. Por otro lado, en la Fig. 4 se
comparan los grados de polarización a la entrada
y a la salida del DL para un haz de entrada
formado por una superposición de dos haces con
distintas longitudes de onda, uno de ellos de
632.8 nm y el otro de 632.8 nm, 594 nm, 532 nm
ó 589.3 nm y con distinta irradiancia. Se puede
observar que para todos pares de longitudes de
onda distintas el grado de polarización a la
salida del DL siempre es mayor que a la entrada
(el grado de polarización del haz de entrada
coincide en todos los casos con el de salida para
las dos longitudes de onda iguales a 632.8 nm,
curva roja).
En la Fig. 5 se observa cómo el grado de
polarización pasa de 1 a 0 para un haz incidente
que sea una superposición de dos haces de igual
irradiancia, con distinta longitud de onda (o
incoherentes) y linealmente polarizados al ir
girando la polarización de un haz respecto al
Fig. 3: Grado de polarización a la salida de un DL cuando a la entrada se tiene un haz formado por la superposición de dos haces de igual irradiancia, uniformemente y linealmente polarizados con polarizaciones ortogonales. Uno de ellos tiene longitud de onda =632.8 nm y el otro variable. El grado de polarización del haz de entrada es 0.
Fig. 4: Grado de polarización a la salida de un DL cuando a la entrada se tiene un haz formado por la superposición de un haz con =632.8 nm y otro con la longitud de onda indicada, en función de la relación de irradiancias. Ambos haces son uniformemente y linealmente polarizados con polarizaciones ortogonales. El grado de polarización de entrada coincide con el de salida para la superposición de longitudes de onda iguales (curva roja).
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Fig. 5: Grado de polarización a la salida de un DL cuando a la entrada se tiene un haz formado por la superposición de un haz con =632.8 nm y otro con la longitud de onda indicada en función de la diferencia de azimut. Ambos haces son uniformemente y linealmente polarizados y de igual irradiancia. El grado de polarización de entrada coincide con el de salida para la superposición de longitudes de onda iguales (curva roja).
otro (la diferencia de azimut varía de 0 a /2). El
grado de polarización a la salida del DL (uno de
ellos de 632.8 nm y el otro de 632.8 nm, 594 nm,
532nm ó 589.3nm) es menor que el de entrada
para diferencias de azimut próximos a cero (el
DL despolariza en esta situación, como es de
esperar). Sin embargo, a partir de una
determinada diferencia de azimut (varía
dependiendo del par de longitudes de onda
tomados) el DL aumenta el grado de polarización
de la luz que pasa por él.
Se han realizado una serie de medidas
experimentales para corroborar alguno de los
resultados anteriores. Para ello se han
superpuesto dos haces láser mediante un divisor
de haz (BS en la Fig. 6). Para obtener el primero
de ellos se ha empleado siempre un láser de He‐
Ne estabilizado en intensidad y frecuencia con
longitud de onda =632.8 nm. El segundo haz se
ha obtenido intercambiando tres láseres
diferentes: un segundo láser de He‐Ne ( =632.8
nm), un láser He‐Ne emitiendo en amarillo
( =594 nm) y un láser de diodo verde ( =532
nm). Se han empleado filtros neutros (F) para
controlar la irradiancia de los haces y
polarizadores lineales para seleccionar el estado
de polarización vertical u horizontal. Esta
superposición de haces pasa por un DL de
cuarzo con láminas de espesores de 2 y 4 mm,
respectivamente. Finalmente, el grado de
Fig. 6: Montaje experimental para la síntesis del haz de entrada descrito en la Sección 5 y para medir el grado de polarización estándar a la entrada y a la salida del DL. F es un filtro neutro, P polarizadores lineales y BS divisor de haz.
Tabla I
Valores teóricos y experimentales del grado de polarización estándar para distintas combinaciones de longitudes de onda
Laser 1 Laser 2
nm nm Teoría Exp. Teoría Exp.
632.8 632.8 0.017 0.015 0.017 0.014632.8 594 0.068 0.011 0.197 0.195632.8 532 0.050 0.090 0.220 0.300
polarización se midió con un polarímetro y la
potencia mediante un medidor de potencia
óptica.
Los resultados teóricos y experimentales se
muestran en la Tabla I, observándose un buen
acuerdo entre ellos.
6. Conclusiones
En este trabajo se analiza el comportamiento del
despolarizador de Lyot, denominado así por
producir haces de salida con grado de
polarización estándar próximos a cero a partir
de haces policromáticos totalmente polarizados,
para diversos tipos de haces incidentes. Cuando
a la entrada se tienen haces monocromáticos
NUP el DL sólo modifica la distribución de la
polarización pero no modifica los grados de
polarización. En cambio para superposición de
haces totalmente polarizados con distinta
polarización y con distintas longitudes de onda
se demuestra teórica y experimentalmente que
el DL puede polarizar en vez de despolarizar.
Además, se puede modificar el grado de
polarización estándar variando la relación de
irradiancias y las longitudes de onda de los haces
incidentes superpuestos.