Demanda de factores: Nota de clase

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Demanda Condicional de FactoresDemanda no Condicionada de Factores

Anexo

Demanda Derivada de Factores

Mauro Gutierrez Martınez

Universidad Nacional Mayor de San MarcosFacultad de Ciencias Economicas

gutierrez [email protected]

septiembre 2016

Mauro Gutierrez Martınez Demanda de factores

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Anexo

Contenido

1 Demanda Condicional de FactoresConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas

2 Demanda no Condicionada de FactoresConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas nocondicionadasEfecto escala

3 Anexo


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Anexo

ConceptosFuncion de costo mınimoPropiedades de las elasticidades condicionadas

Demanda Condicional de Factores (I)

Demanda Condicional de Factores .

La demanda condicionada de Factores por el factor i es unafuncion que asigna para cada nivel de produccion q y preciosw1,w2, la cantidad demandada de zi que permite alcanzar elmenor nivel de costo posible al productor. Denotamos esta funcioncomo zCi = zi (w1,w2, q)


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Anexo


Demanda Condicional de Factores (II)

Min{c1,c2}C = w1z1 + w2z2 s.a f (z1, z2) = q

Utilizando el lagrangiano

L = w1z1 + w2z2 + λ(q − f (z1, z2))

Obteniendo las condiciones de primer orden:

∂L∂z1

= w1 − λf1 = 0

∂L∂z2

= w2 − λf2 = 0

∂L∂λ = q − f (z1, z2) = 0

De las condiciones de primer orden se desprende:

w1

w2= f1

f2

De las condiciones de primer orden tenemos:

z1 = z1(w1,w2, q), z2 = z2(w1,w2, q) y λ∗ = λ(w1,w2, q).


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Anexo


Funcion de costo

Funcion de Costo Mınimo.

Al reemplazar las funciones de demanda condicionada de factoresdentro de la funcion objetivo, se obtiene la funcion de costomınimo o funcion de costos de la empresas

C ∗ = w1z1(w1,w2, q) + w2z2(w1,w2, q)C ∗ = C (w1,w2, q)


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Anexo


Propiedades de las elasticidades (I)

Lema de Shepard: costo mınimo y demanda derivada.

La derivada de la funcion de costo mınimo respecto al precio delfactor i es igual a la demanda derivada de dicho factor.

∂C∗

∂wi= z∗i (w1,w2, q)

Elasticidad precio de la demanda.

Es la variacion porcentual de la demanda del factor comoconsecuencia de la variacion porcentual del precio del mismo:

ηSii =∂z∗i (w1,w2,q)

∂wi

wizi

=∂lnz∗i (w1,w2,q)

∂lnwi


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Anexo


Propiedades de las elasticidades (II)

La suma de las elasticidades es igual a cero.

Dado que la funcion de demanda condicionada es homogenea de gradocero en precios de los factores

∂zi∂wi

wi + ∂zi∂wj

wj = 0⇒ ∂zi∂wi

wi

zi+ ∂zi

∂wj

wj

zi= 0⇒

ηSii + ηSij = 0

Nota: Al cambiar proporcionalmente w1 y w2 en igual proporcion, la pendiente de laisocuanta no cambia, por lo que al mantener constante q, se ubica en el mismo puntode tangencia.


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Anexo


Propiedades de las elasticidades (III)

Efectos simetricos.

∂zi∂wj

= ∂C∗

∂wi∂wj=

∂zj∂wi⇒(wiziC∗

)∂zi∂wj

wj

zi=(wjzj

C∗

) ∂zj∂wi

wizj⇒

αiηSij = αjη

Sji


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Anexo


Propiedades de las elasticidades (IV)

Elasticidad sustitucion.

La Elasticidad de sustitucion es la elasticidad de la relacion de dosargumentos de una funcion de produccion con respecto a larelacion de sus productos marginales (o sus precios):

σ = −∂ln(zi/zj )∂ln(fi/fj )

= −∂ln(z∗i /z∗j )

∂ln(wi/wj )= −dln(z∗i /z

∗j )

dln(wi/wj )

σ = −dln(z∗i )−dln(z∗j )

dln(wi )−dln(wj )


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Anexo


Propiedades de las elasticidades (V)

Relacion entre la elasticidad precio y la Elasticidad sustitucion.

La elasticidad precio es igual al negativo de la elasticidad sustitucion(demostracion):

Si dln(wj) = 0

σ = − dln(z∗i )−dln(z∗j )

dln(wi )=

dln(z∗j )

dln(wi )− dln(z∗i )

dln(wi )

σ = ηSji − ηSii

Si consideramos la propiedad de suma de elasticidades, tenemos:

ηSii = −ηSij

(...)


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Anexo


Propiedades de las elasticidades (VI)

Relacion entre la elasticidad precio y la Elasticidad sustitucion(continua).

(...) Considerando la propiedad de elasticidades simetricas:

ηSii = −αj

αiηSji η

Sii = −αj

αi(σ + ηSii )⇒

ηSii

(1 +

αj

αi

)= −αj

αiσ

Si hay solo 2 factores:

ηSii = −αjσ


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Anexo

ConceptosPropiedades de las elasticidades de las demandas no condicionadasEfecto escala

Demanda no condicional de factores (I)

Demanda no condicionada de factores.

La demanda no condicionada por el factor i es una funcion queasigna, para cada precio p y precios de los factores w1,w2, lacantidad demandada de zi que permite alcanzar el mayor nivel deutilidad posible al productor. Esta funcion se representa por:zNCi = zi (w1,w2, p)


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Anexo


Demanda no condicional de factores (II)

El problema de maximizacion de la empresa puede expresarsecomo:

Maxz1,z2π = pf (z1, z2)− w1z1 − w2z2

Las condiciones de primer orden implican:

∂π∂z1

= pf1(z1, z2)− w1 = 0∂π∂z2

= pf2(z1, z2)− w2 = 0

Estas ecuaciones tacitamente determinan a:

zNC1 = z1(w1,w2, p) y zNC2 = z2(w1,w2, p)


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Anexo


Elasticidad precio de la demanda no condicionada: Esnegativa

Sea f11, f22 > f12 = f21, la elasticidad precio de la demanda no condicionada es negativa

(demostracion):

Por las condiciones de primer orden, tenemos:

p.f1 = w1

p.f2 = w2

Derivando tenemos:

p.f11∂z1∂w1

+ p.f12∂z2∂w1

= 1

p.f21∂z1∂w1

+ p.f22∂z2∂w1

= 0

Luego, tenemos que:

p.f11∂z1∂w1

+ p.f12

(− f21

f22

∂z1∂w1

)= 1⇒

∂z1∂w1

= f22

p(f11f22−(f12)2)> 0


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Anexo


Elasticidad cruzada de la demanda no condicionada: Puedeser negativa o positiva

Demostracion:

Derivando las condiciones de primer orden respecto a w2:

p.f11∂z1∂w2

+ p.f12∂z2∂w2

= 0

p.f21∂z1∂w2

+ p.f22∂z2∂w2

= 1

Luego tenemos:

p.f21∂z1∂w2

+ p.f22

(− f11

f12

∂z1∂w2

)= 1⇒

∂z1∂w2

= − f12

p(f11f22−(f12)2)> 0

Por tanto, el signo de la elasticidad cruzada dependera inversamente del signo de f12.


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Anexo


Relacion entre la demanda condicionada y la nocondicionada

Dada un conjunto de precios de los factores w1,w2 y un precio pque se encuentra asociado a una cantidad q, se cumple la siguienteigualdad:

zNCi (w1,w2, p) = zCi (w1,w2, q

∗(w1,w2, p))

Aplicando la ecuacion de Slutky:

∂zNCi∂wi

=∂zCi∂wi︸︷︷︸

Efecto sustitucion

+∂zCi∂q∗

∂q∗

∂wi︸︷︷︸Efecto escala

El primer termino es el efecto sustitucion, mientras que el segundoes el efecto escala.


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Anexo


Efecto escala: El efecto escala tendra la misma direccion que el efecto

sustitucion si el factor es superior

(demostracion): Notese que:

∂z∗i (w1,w2,q)

∂q= ∂2C∗(w1,w2,q)

∂wi∂q= ∂Cmg

∂wi

Por tanto, el efecto escala es:

∂zCi∂q∗

∂q∗

∂wi= ∂Cmg

∂wi

∂q∗

∂wi

Si el factor es superior ∂Cmg∂wi

> 0 y ∂q∗

∂wi< 0, por tanto:

∂zCi∂q∗

∂q∗

∂wi< 0

Es decir, el efecto escala es negativo y va en la misma direccion que el efectosustitucion.

∂zNCi∂wi

=∂zCi∂wi︸︷︷︸< 0

+∂zCi∂q∗

∂q∗

∂wi︸︷︷︸< 0


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Anexo


Referencia

Vial, Bernardita y Zurita, Felipe (2007)

Microeconomıa intermedia

Capıtulo 6 - Trabajo docente 073, Universidad Catolica de Chile.


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Anexo

Anexo: Derivacion de la elasticidad de la demandacompensada (I)

De las condiciones de primer orden tenemos:

w1 − λf1(z∗1 (w1,w2, q), z∗2 (w1,w2, q)) = 0w2 − λf2(z∗1 (w1,w2, q), z∗2 (w1,w2, q)) = 0q − f (z∗1 (w1,w2, q), z∗2 (w1,w2, q)) = 0

derivando respeto a w2:

−∂λ

∂w2f1 − λf11

∂z∗1∂w2

− λf12∂z∗2∂w2

= 0 (1)

1−∂λ

∂w2f2 − λf21

∂z∗1∂w2

− λf22∂z∗2∂w2

= 0 (2)

− f1∂z∗1∂w2

− f2∂z∗2∂w2

= 0 (3)

De la ecuacion 3 se puede despejar∂z∗2∂w2

:

∂z∗2∂w2

= −f1

f2

∂z∗1∂w2

(4)


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Anexo

Anexo: Derivacion de la elasticidad de la demandacompensada (II)

Reemplazando en las ecuaciones 1 y 2 el resultado de la ecuacion 4 obtenemos:

−∂λ

∂w2f1f2 − λf11f2

∂z∗1∂w2

+ λf12f2

(f1

f2

∂z∗1∂w2

)= 0 (5)

f1 −∂λ

∂w2f1f2 − λf21f1

∂z∗1∂w2

+ λf22f1

(f1

f2

∂z∗1∂w2

)= 0 (6)

Por tanto, dado que f1 y f2 son positivos y por la condicion de segundo orden, el

denominador es negativo, por tanto∂z∗1∂w2

> 0.

∂z∗1∂w2

= − f1f2λ(f11f

22 +f22f

21 −2f21f1f2)

> 0 (7)

Al aumentar el precio de z2 disminuye el uso del factor 2, por lo que, para aumentar elnivel de produccion q se debe de aumentar el uso del factor z1.


Demanda de factores: Nota de clase

Economy & Finance

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