Demidovich - Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico - En Español

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  • 347

    ,clonde g (z, 11)= J(.z, II)

    dondo f (Z', Ill' es una (uDcion dada. En algunos casos, cs convenionte conei-derar como u.ncion incogniU!. la varlablo .z y es-criblr la ceuaclon

  • Ecuaciones difcrenciales

    dcrlvada acotadll. f~(:c, y), ont

  • Dc esta forma, y (1)=1,248. Para compartlr, damos el vnlorexacto de y (1) = elf, :=::: 1,284.

    Por el met.odo de Euler, hallar las soluciones )llrLiculares-de las oo\lttciones diferenciales (Iue sc dlln a conlinuacion para losvalorr's de % que fie indican:

    2738. y'=y, y(O)~I; ballar y(l)(h~O, 1).2739. y'~r+y, y(I)~I; hallar y(2)(h=O, 1).

    2740. y' ~ -, ~z' y (0) ~ 2; hall" y (1)(1< ~ 0, 1).

    '"2741. y'~y--, y(O)-I; h,ll" y(I)(I.=O, 2).v 3, E"aclo,es dllere,o;,les de 1" orde, con varl,bles separables.

    Traleot";,, "Iouonale,l~. EC1l8Cionl'! diIorcncial

  • que puedenseparables.

    350 Et/l4doMS dtjtrtndrzk,

    Sol u e 16 n. La lleuaclcln (3) so puede cstribir de 11. forma

    dV VJ;=--;'

    De donde, slJlJarendo las variables, tendremos:dy dz-=--V

    y. por consigulente,In 1111- -In 1s-!+lnCI

    donde I. consbnte arbitraria In Ct esti tomada e.o. forma logarltmlca. De3-PD~ de potenclar, ae obtieue la solution general

    C11=-, (4)

    donde C= Ct.Ai dividir por II podrlamos perder III soluci6n 1/_0, pera esta ultima

    est.i contMida en la 16rmula (4) para C_O.Utili18.ndo la condieion initial dada, obtenemOll que C-2. y, por con-

    siguiente. la soluel6n partieul_r buscadn (>s2

    11=- .2~. Alg"nas oeuaeiooas difereneiale's

    reducirsll a ocuacionos eon las variablesLos eeu/l.ciones difercnc!ales de Ia forma

    y'=/(az+by+t) (b-=l=O)

    so reducfn A ecu,eione!! de 1a forma (t) por medio de la suslituei60."."u+by+c, donde /l es la nueva funeion que 90 bU3Ctl.

    3". Tra)'eetorias ortogonales son curvas que eortan laslineasde 18 familia dada CI>(Z, II. 4)=0 (4 es \iR parametro) formando angulo recto.Si F(z. /I, J/")=O es la ocuael60 diferencial do Ia familia,

    F ( %. II, - ;, ) ..0

    es la ccuaci6n dUerondal de las trayectorias ortogonales.B j 8 m pI 02 Hallar las &re,yectorlas ortogonales de Ia familia de 1l1ipoos

    z~+2V'_1Il!. (5)

    S til u c i un. Derivando "mbas partes de 18 ctuaeion (5), baHamos 11'ecuaci6n diIerenciaJ de ill. familia

    z+2yy'=O.

    Dc dondo, sustituyendo y' por - ~ , obtenemoS Ja eeuaei6n difereneial do Instrayt>etorias ortogona]cs

    2VOb' ,2y%-'7.1"= 0 len II =-.

    V

    tntcgrando, tondremos quo II _Cz1 (familia de partbolas) (fig, 106).

  • Ecu.acionu diJerencllJlu de l~r orden con variables 8tparables 35J

    4. Form8,ei6n de las ecuaciones diferenciales, Al for-mar Ia ccuaci6n diferencial en los problemas geomlitricos, se puede ~emplcarcon frecuencia el sontido geomtHrlco de la derivada, como tangente.'dellingulo que forma la recta tangonte a 10. curvo. con la dircccion positivadel eje OX; esto permito, en muchos casos, doterminar inmediatamente 10.relaci6n entre la ordcnada y de 10. curva que so busca, y su abscisa x e y',es decir, obtoner la ecuo.ci6n diferencial. En otros casos (veanso los pro-blomas N08 2783, 2890, 2895), 50 utiliza II sentido geometrico do la integraldefinida, como Area do un trapecio mixtiHnoo 0 longitud de un arc(). En este

    y

    x

    Fig. 106

    easo, direetamonto de las condiciones dol problema, ae obtiene una ecuacionintegral simplo (plloato que la funoi6n que se busen se eneuentra bal"o elsigno integral), pero quo derivando sus dos millmbros, se pucdo c,on',fllel idadtransformar cn eeuad6n diferenciaJ. -

    E j e m p 1 0 3. Hallar una curva que pase por 01 punto (3; 2). para Inque 10. Ionl';itud del segmento de cnalqulCra de sus tangentes, comprendidoentre los cJes de coordenadas, est6 dividido en el punto de contacto en dospartes iguales.

    Sol u c ion. Sea M (x, y) el punto medio do In tangent' AB, que segunlas condiciones es, a Ia vez, el punto de contucto (los puntos A y B sonlos puntos do intorscccion de 10. tangento con los ejes OY y OX). De acuordocon las condiciones. OA=2y y OB=2x. El coeficicnto angular de la~tangcntea la curvn en cl punto M (:1:, y) os igual n ,

    dy OA ydx =-08=-7

    Esta os Ia eouadon diferencial de 10. curVi! que so buscaba. Hacienda unatransformacion, tenemos:

    y, par consiguiente,

    Inx+lny=lnC, 0 sea, :l:Y=C.

  • ECU(lcioncs di/eMnciaks

    UUllzamlo Is cnndici6n initial. dotcrmin:Lm03 que C_32IC1G. Es deeir.b. curvll. flue sc bU!caha ruI Ia hipcrllula z.v=6.

    Resolver las ecuaciones dHerellcinles:

    2742. 19x8CIl3ydx+cos~xct.gydy=O.

    2743. ry' - y = '.t.27ft!,. xyy' = i-x'.2745. y- xV' =- a (J +:z:1y').271j6. 3t-'l; t.gydx+(1-e"')Bec'ydy=0.27/j7. y'tgx=y.

    HaUnt las soIuc.jones particulares de las siguicntes ecuaciollcs,que sa~i~fac('1l n Ills cOlldiciolles iniciales que se indican:

    2748. (1+eX ).y.y'=r.'; y=1 pllra x=O.

    271i!l. (xyll+x)dx+(xll y-yjdy=O;,y=1 para x=O.

    2750. y'SOTlX=ylllY; y .... 1 par~ x=~.

    Hcsolycr las flignicntcs ecuaciones difcrcncia.les vnli6ndose delcalfiuio de ~Miablcs:

    2751. y'=(x+y):l.2752. y' ~ (8x +2y + 1)',n~.~+b-l)h+~+~-~~-~

    2754. (2x-y)d.+(4x-2y+3)dy~O.En l~ t\0s 2755 }' 27!iG pAMt a las coordenadas polares:

    ?7~5 '_V~-r_iJY- g

    2756. (X2+y1)dx-:ry(/y=0.27f17. HII.lIar una curVll que tenga un segmcnw de tangenle

    Clt,ll IOllgitud sea igunl a Itt distancia desde t.'1 pnnto de contnctohash\ 1:'1 origcfl de coordtmadas.

    2758. Hallur una clIr"a para 10 que el segmonlo de la normal,en clltdCluicr ()Unto de 1

  • Ecuacirmes difcrcncialcs homogbu:as de I~r orden a53

    xy=a.2766.

    2767.2765. y" = ax.

    POl' esta misma CUl'va y pOl' In ordenn.dn de cualquiera de suspuntos, sea igual a 3/4 de la

  • Ecuaciom:s diferenciales

    y 6""'1:~ :~I ,*0, ponicndo en la ecuaci6n (2) x=u+a, Y=II+p._dondo la~conslautes a y ~ so determinan por 01 si.

  • EcuaclMe, dtlerefIClalu Wualu de ler orden. Ecuacl6n de Bernoulli 355

    a la raz6n del cuba de la ordenada variable a la abscisa corres-'pondiente.

    2784. Hallar la curva, para la cual, Ia longitod del segment.odel eje de ordenadas, interceptado por cl.wlquiera de sus tangentes,es igual a la abscisa del punto de cODtacto.

    5. Ecu.clones dlferencl.les lineales de 1" orden. E".clonde Barnoulll

    to, Ecuacioaos lineales. La cCllaci6n difereacial tl0 18 formay' +Plx) y = (Q)'(x)

    do 1er grado oon rospecto aye y', se llama lineal.Si lEI. Iuoci6n Q (x) == 0, 181 ecuaei6n (1) lorna 18 forma

    y'+P(x)y=O

    (I)

    (2)

    'i reeibo el nombre'de ecuaci6n direrencial lineal homogellea. En csttl caso,las variables so separan y 181 soludon general de Ill: ecnacion (2) es

    -I PC;>;)";>;y_ee _ (3)Para resolver 18 ccuaci6n lincal no homog~nca (1) se emplea el lIamado

    metodo do variaet6n de la constant/: arbitraria. Esto metoda l)onsis16 en que,

    rrimeramente. so halla 181 solucion general de la corrcspoudienle ccuaci6nineal homogenlJa, 08 dlJcir, 10. exprosion (3). De8PUCS. supolliendo que ene8ta exprcsi60 C cs funcion de 3:, sa busca la solucion de 181 ecuacionno homogeut'a (1) en la forma (3). Para ello. ponemos en 10. ecuaci6n (1)11 e y'. dedueidas de (3), y de Is ecuaci6n diIerencial /lsi obtenida determi~namos la funci6n C (x). De esta forma. obtenemos la soluci61l general de laecuacion no homog6nca (1) de 1& forma

    - SPC"')d;,;y=C(3:)f .

    dC'7[;' - cost:e

    E j e m p I 0 1. Resolver 181 ccuaci6ny' = tg X-II+C05 X.

    SO I u c i 6 n. La corresJlondicnte ccuacion homogcllca osy'-tg% y=O.

    Resolviendola, tenemos;

    C 1y= 'CQi"F'

    Considerando C como funci6n de x y dcrivando, hallltmos:

    , ,_. dO +~.Cy- cosx d:l: coo2 x .

    Poniondo II 0 y' en 181 ecusci6n (4), obtenemos:

    f de senx e-d+--,-.O=tgx.---+cosx, 0

    COS:l: :l: COS:l: cos:e

    (4)

  • 356

    de dande

    Ecuaciones dtfert1lcio.le,

    \' "C(z)= eos~:Ldx=7.x+Tsll1l2x+C,_Por cOllsiguionte, 18 solucion goneral de 14 ocuaciun (4) tieno la forma

    v={ ;~+i-sen2%+Ct).co~xPara resolver 18 ecuaCi6n lineal (1) sa puede emplear t.ambien Ia .!Insti-

    tuci6ny_uu,

    dande U y II son funeicmes de x. En csta caso, In ecuacion[u' +P (z) u] v+ u'u=Q (x).

    Si S9 Bxigo que

    (5)

    (1) toma 1& forma(6)

    u'+P(x)u=O, mdo (7) hall~mos u, y despues. de (6) hallamos 0, y por fin, de (5) hallamos y.

    2. Eeuaci6n de Bernoulli. Laccu

  • EcuacffH'lU dtferencialu linClllC$ Ii# Jer orden. Ecullci6n d, BUfllJu11i 351

    Y. por cODsiguienl.e. obtenamos la soluciou genera] en la forma

    I1=r4 (~ IUlzl+Cr~

    Hallar las integrales generales de las ecuaciones:

    85 dV v27 . 7:-7=x.

    2786. day +~=x:s.z

    2787'. (1 +y') d%= (j!1+ y' ,en y- "!I) dy.2788. y'd%-(2zy+3) dy~O.

    Hallar las soluciones particulares que satisragall a las condicio-nes que 56 indican:

    2789. xy'+y_ex=O; y=b para x=a.

    2790. y'- 1~:l:2 -1-x=(I; y=Opara x=O.

    2791. y'_ytgx=_l_; y=Oparax=O.COg:!:

    Hallat las soluciones gencrnlcs de las ecuaciones:

    2792. :: -1- ~ = -XV'!

    2793. 2xy ~~ _y:l+.r=O.

    2794. Yd.r+(x- ~ xSy)dy=O.

    2795. 3zdy=y(1+xsenx-3~senx) dx.2796. Se dan tres soilleiones partieulares Y. YI e Yz, de una

    ecuaeion lineal. Demostrar, que la expresi6n !l2-!I conserva un valorII-lit

    constante para cualquicr x. iQue sentido geom~trico Hene esteresultado?

    2797. Hallar Jas curvas, paro. las cuales, el area del trinnguloformado POt el eje OX. ]a tangcnto y al radio vector al puntode contaeto es COIlstante.

    2798. Hallar Ia ecunci6n de 1a curva, para la clIal, e1 segmentoiDterceptadu por la tangente en el eje de abscisas es igua! alcuadrado de In ordenada del pun to de cant-acto.

    2799. Hallar la ecuacion de ]0. eurva, para Is. cua), el seg-mentointerceptndo por 18. tangentc en el cjc do ordenadas es igual a 13subnormal.

  • 358 HC/J.aciones diferencialt$ .

    2800. HaHar la ecnae-ion de la curva, para la cuaI,el segmentointerceptado por la tangente en al eje de ordenadas es proporcio-nal al cuadrado do Ia ordenada del punta de cont.acto.

    2801. Hallar la ecuaci6n do la cur'va, para la cual, Ia longitudde Is tangente os igual a la'distancia desde e1 punto de intersec-cion de 09t8 tangente coo al eja OX hasta el punlo M (0, a).

    6. Em'I'''' dllere"I,les "",tas. Facter I,tegraelet". Ecuaeiones difereneialcs 9J:actas (0 en diferenciales

    totales). Si para 18 ocuation difereneialP(%,~)dz+Q(Z,lf)dv=O (t)

    so cumpte 1a igualdad ~: =:; ~~ , la ceuation (1) so pucde escribir de Isforma dU (x, 11)= a y sa llama uuaci6n difertncial txacta (0 en diferencialestot8Ios). La integral geneml de Ia eeuaci6n (i) os U (x, v)=C. La funci6LU (~t y) se determina por 01 mll:todo que se Indic6 en e1 cap. VI, 8, 0 poT1a fOrmula .. ,

    u= 1P(z,/I)d:l:+ ~ Q(ZBty)d/lXB VB

    (veaso 01 cap. VB, 9).

    Ejemplo 1. Hallar la integral de la ecuaci6n dilerencial(3z'+6 zyt) d-z +(6z~y+4y3) dy = O.

    So I u c i 6 n. Esta es una ccuaci6n diferencial exacta, ya que() (3z

    ll+6zV:) "",iJ (6z2: +4y'l) = f2z" por consiguiente, la ecuaci6n 'tiona~ , z w y, -

    18 forma dU =0.Aqui

    de donde

    u_ ~ (3z 2+6.1:y2)d:x+cp(Y)=Z3+3z2 y2+Ip(y).

    Uerivando U con .rllSpE:cto a y, haHamos

    au =6.:z:2y+cp'(y)=6.;;2g+4y2a.(por In condicion); de donde cp'(y)=4y3 y 1p(V)=y4+CO' En dorinitivaobtenemos U (x, y)_zS+3:e2y2+y4+CQ.' y, por consiguiente, :x3+3z2y2++V'=C cs 18 integral general qua 80 busC3ba do 1a ceuaci6n dada.

    2. Factor intogranto. 51 01 primer mioOlbro do la ecuaci6n (1)no as una dUoreneial e.tBet$, y se cumplell 18.9 condiciones del teorcmade Cauchy, eriste 'una funcl6n fl=f.l(z, y) (fador tntegra/ltt) tal, que

    J.l.(Pdz+Qdy}c::dU, (2)

  • Ecuaci07lt. d.iftn"cio~L'~UCt4'l. FtJdQr fntelNHltt 359

    De douda obtenemos. 'que I. fnncion ~ salis(ace a I. ecu.aci6n

    T;(IJ-P)=a;: ()JQ).EI factor integraute IJ- se puedo haHar racllmente en dos casos:

    1) ~ (~~ -::;) == F(z), enloncos )J.=~(z);

    2) 7- (:: - '::; )= F I (V), entonces I.l= I.l (V).E j e m p I 0 2. Resolver Ie cellaclon

    (2zv+ zly+ ~i ) dz+(%'+V2) dv-O.Solnei6o. Aqui

    P= 2%u+z1v+ ~I , Q-z'+v:! Y

    y, por conslgulante 11=1.l(;).

    Como 8~:) "'" a(::z:Q) 0 fl. ~~ ""'fl. 0:; +Q*, se tendrli, quo~=.l'('8P _ aQ) dz=d: 0 In~=:, fl-r.

    f.l. Q 811 8%MuHiplicando la aeuaclon pOt p.=r obtenem08:

    r (2%II+%lg + ~ ) d%+e% (:t1 +u') till =0

    "

    que es un'a ec:uaei6n difart!ncial exacla. Integrindole, tendi'OtDos Ia ililegralge:neral

    "'x (z3+ ~1 )_c.Hallar las integrates genorales de las ecuaciones:

    2802. (z+y)dz+(.+2y)dy~O.

    2803. ("'+y'+2%)dz+2%ydy_O.2804. (z'-3%y'+2)dz-(3x'y-y') dy~O.

    2805 %dll-lIdz. zdz+y dll= :1+V

    I

    20t'\C ~+ vt - 3:1 d 0QVV. ~ .. y=.II ' !I

    2807. Ballor la integral particular de la ecuaci,6n

    (x+ev) dx+eii (1- : )dy=O,

    que satisfaga a 1a 1>bndici6n inicial y (0) = 2.

  • 360 EClI.flcio/lu dlfert!lI

  • o

    (2z+g-C)-2Vz:+zU=O, (2z+,-C)+2V~=O.MoltiplieaadoLas entre 5i. obl.enemos la integral genar:!1 do 18 ecuacion dAd3

    (2%+V-CP-4 (z',+zy)_O

    o biun

    (rllmiJin do parabolas).DerivIlldo 18 in\e~rlll genera] re.spocto a C Y Qliminllnllo C. Ilallnmos la

    intt.'gral singular

    9-1-%-0.

    (La. proehl. demucstra que iI+r=O cs l!nlucion de Ill. eeuacion dada).La integral singular tawbl~D se plled~ Jlallar deri\'ando zp1i+2%p-V_O

    reslM-~to a P y c1iminando p.2". Resoluci6n de Ia Dell.cion diferencilll por Itl

    miitodo do introlJucci6n do un paramotro. Si III eeuacioBdifurcncial do i er ordoD Hilne la forma

    %=lJl{u. y'),

    las \'ariables /I y ;r SIl pue{]('D tlct.c...minar por ( sistolrHt de ocuaciuntls

    1 DiJ'I aT dp/i-a;-+apdV"' Z-lp(V. p).dondQ p-v' dE'.sempei'18 l,j pard do Jl;lr.imcll"O.

    .,\ualOl{anllmte. si v-1Hz. y'). las \'ariDllJ~:% c JI $1' dt,termioan por elsistema do t't.Uaeioues

    8ljl ii't dpp~Jz-+7ip-d~-' g=4'(x, p).

    ~jcrorlo 2. Hallar hs inter;ralE'il. gCllnl!mos

    p=2p!..!!....-p _z.!!.L+.:z:dz. dz.

    o bien ~~ (2p-.z)=(2p-:t), 0 SNI. ~:=I, Inte~ran

  • Ecu/lclonu dl/trenci4U1

    I. solucion singular: V _ ~'t. (La proehl domuestra que g= ~t es solucionde I. ecuacion dadA).

    Sf so iguala a cero e1 factor 2p-z, en quO.!8 hizo la simplUicaeioD,

    abtllnemos p_ ~ , y, poo.iendo este valOr de p en la ewadon dada, oble

    nomos 11= :t ,es decir. la misma soluci6n singular.

    4y=.z'+y".

    -"c:'..+C:'r-'-'ez = 2y'

    2820.

    2821.

    HaHat las integ-rales generales y singulares de las ecuaclones(011108 NS 2812-2813 construir el campo de las cuevas integrales):

    2812. Y'S_~Y'+1=O.z

    2813. 4y'I!-9x=O.

    2814. YY'-(%y+l)y+%~O.2815. yy.,-2:ty' +y~O.

    28t6. HaHar las cuevas int.egrales de 18 ocuacion y""+y=I,que pasan pur e1 punto M (0; ~) .

    Resolver ias ecu8ciones siguientes, int.rodueiendo oj panimetroy'=p:

    2817 .z = sen y' + In y'.2818. y = y'~cll' .

    2819. y=y'''+21ny'.

    8. Emel"" d. Lai"ni' J d' Clal",!1.0. Ecc.acion do Lagrange. La ecuacion de I. forma

    V =z'P (p)+'l(p), (1)dODde p= V'. recibe e1 nombre de ~/lciDn t:U Lligr/lngt. Par media de ]aderiv811ioo, y teniendo en cuenta que dll=pdz. la ecuaclon (1) se reduce lineal con respceto a z:

    P dz=lp (p) dz+ !zqI' (p)+'IJ' (p)J dp. (2)81 p!t! lp (p), de IllS ocuaci.oDl!'S (1) y (2) 58 obtiene la solucion general enforma parametrica:

    z _ Cf(pl+ g(pl. ,-/C/ (pHg (p)l. (p)+$(p).

    ilonde P M un pnrnmotro y f (p) Y g (p) unas funclone,s cODocidas dotenni-.cadas. Ademtls, puede oxlstir solucion singular, quo 80 busca -par 61 proce-dimicnto generaL

    2. Ecuaclon de Clalraut. 81 en (a eeuaci6n (1) qJ(p)=p,,seabtiene la tcuac16n dt Clalrall~

  • Eeua~lone$ de Lagrange II de Clclraul 363

    La solueion geoera] do uta eeuaci6n tien. la rormn do II"""C~+~{C)(familia de teetas). Adomb, existe 8oluel6n slogular (onvolvenle). que 110obliene como resultado de slimioar el pari metro p dol sistoma de ecunciones

    {%- -~' (pl,y"""p:r:+1jl(p).

    E j e m p 10. Resolver la eeuacion

    Sol u c ion. Ponemos 1/' "'" p, en oste caso.Y SWllitnyendo dfl por p dz. obteoomos:

    p rlz=2p d:r:+2~dp-d;P

    o bien,

    ty=2pz+ -;P

    (3)

    derivando

    dz 2 tdp = -pz+ps'

    Uesolviendo esta eculdon lineal, tendremOll:

    1z=pi'(1n p +C).

    Por eonslguicnte, II &cuadon Banerd sera:

    {

    z= ;, (In:+C),

    1I=2pz+-.P

    Para hallar Ie iDtegral singular segun Ia regia gODeraJ, formamas 01 sistema1 1

    11-2pz+-, 0=2%--,.P P

    De aqui

    y, por cousiguiente,

    ,z= 2p t '

    2.,--p.- 2 Vz,.

    Poniendo II en 18 eGoacion (3), nos convel1WtD.os de que Ia lontionubtenida DO es solucion y de que, por cODsiguieole, 1& ecoleion (3) r!O tleneIntogral siugular.

    Resolver las siguientes ecuaciones de Lagrange:

    2822. y~~x(y'+f). 282

  • j) xcosy'+y:;eny'=1j

    k) (x2_xy)y' =y4 j1) (Xli +2xy8) dx +

    + (y' +3x'y') dy _ 0;m) (x3 -3xy)dx+(::z:'+3)dy=O;

    n) (ry3+Jnx)Jx=y'dy.

    I!cuacionn dlf'Tlneill1u

    HaHat las iIltegral~, generales y siugulares, de las siguienLeseeuaciollcs de Clairaut y tonstruir los campos de las &urvas iute-grnles:

    2826. y ~ry'+ V"~.2827. y o=xy' + y'.2828. y~ry' +Y1""'+'('-'y'''')'.2829. y=xy'+-.!,.

    y

    28::10. Hallar In curva, parn In mml, eI Ul'(l3 del triangulolormado por la tangente a In misma, en cualquier pun to, Y losojcs dll coordelladas, es constanta.

    7831. Hallnt la curva, si la distallcia desde un punto dadobas~a cualquiera de las tangentes de In misma, es constante.

    2832. HaUar la eurva, para la eual, el segmenlo de cualquierade sus tangclLtes, comprendido entre los ejes de coordenndas, tieneU03 100giLud constanLe, igual a l.

    9. Em,;,,,, diferen,I,I" dlm,lS de 1" orden2833. Determjnar 01 tipo de las sigui.cnLes ecuaciones difereu-

    ciales e indicar sus meLodos de resoluci611: ...

    II) (x+V)y'''''XtlrctgJ!.jz

    b) (x - y) y' - y';c) y' = 2xU+x"jd} y'=2xy+yD;

    e) xy'+y=seDY;

    r) (y-xy')'~ y";

    g) y=xeY';

    h) (y'-2xy)y-z";Resolver las ccuaeiones:

    2834. a) (z- yeas ~) dX+xcos~ dy =0;b) x In.!:dy-ydz=O.

    y

    2835. Xdr.=(:2 _yS)dy.2836. (2ry'-y)dx+zdx-O.2837. xy'+V=:ry'lnz.2838. y-zy'+y'lny'.

  • 2839. y~xy'-I-V -ay.

    2840. x'(Y-l-l)ax+(x'-1)(y-l)dy~0.

    2841. (1 -I- y')(e"dx-e'dy)- (1 -I- y) dy~ O.

    2842. Y'_Y2J::t-;1 =1. 2845. (1-r)y'+xy_a.

    2843. ye/l=(y~+2xell)y'. 2846. xy'- x~t -x=O.

    2844. y'+ycosx=senxcosx. 28'i7. Y(xcosy+asoo2y)=1.

    2848. (x:y_x2+ V-i) dx+ (xy+ 2x-3y- 6) dy=O.2849. Y= (1 + 11;:1 r.2850. xy3 dx = (x 2y +2) dg.

    3%'2851. Y = %~+y+1

    28,1)2. 2dx+Y ;dy- (: dx=O.

    2853. y'= ~+tg~ . 2861. P'1dx+(xell-2y)dy=O.

    2854. yif -I- y' = cos x. 2862. Y - Zzy' -I- V 1+ y.,2855. xdy+ydx=y2dx. 2863. y' =~ (1+lny-lnx).

    2856. y' (x+scDW=1. 2864. (2e""+y4)dy-ye X dx=O.

    2&57. y~: =--p+rr. 2865. Y'=2(%~t2It2858. x'dx-(x'+y')dy~O. 2866. xy(xy'+1)dy-dx~0.

    2859. z2y'\!+3xyy' +2,i =0. 2867. a (ry' +2y) = xyy',

    2860. %a:l:+Y~!I + 2868. xdy-ydx=y:dx.V~y2

    + zdv - lI u 0yf =.

    2869.

    2870.

    (x:l-1)'" dy +(x3+ 3.ry V.rt=l) dx = O.4,

    tg xdZ:- Y = a.

    2871. Va'-I-x' dy+ (x-l-u- Va' -I-x')dx= O.2872. XY!l'-(x+Y')!I+xy~O.

  • 366 Ecuac:iones difereru:iales

    2873. y = xy' + V~2 2874. (3.z~+2xy- y2) dx+ (x ll _2xy_3y ll) dy = O.

    2875. 2yp :: =3p2+4y~.

    Hallar las soluciones de las siguiontes ecuaciones, para Inscondiciones iniciales que sa indican:

    2876. y,=y+1; y=O para x=1,z

    2877. e"-vy'=1; y=1 para x=1.

    2878. y'ctgx+y=2; y=2 para x=O.2879. ell (y'+1)=1; y=O para x=O.

    2880" 1. 0 Y -rY=C08Xj Y=2" para x= .

    2881. y'_2y=_x2; y=~ para x=O,

    2882. y' +y=2x: y= -1 para x=O.2883. xy'=;,y; a) y=1 para x=1; b) y=O para x=O,

    2884. 2xy'=y; a) y=t para x=1; b) y=O para x=O.2885. 2xyy'+x2 _y\!.=O; a) y=O para x=O; b) y=1 para.

    2:=0; c) y=O para 2:=1.2886. HaUat una curva que pase por el punta (0; 1) y que In

    subtangente sea igual a In suma de las coordenadas del punto decontacto.

    2887. Hallar In curva, sabiendo, que Ia suma de los segmentosque intercopta la tangen-te a In misma en los ejes de coordenadasos constante e igual a 2a.

    2888. La suma de las longitudes de la normal y de la subnormales igual a la unidad. Hallar Ia ecuaei6n de la curva, sabiendo.que esta pasa par el origen de coordenadas.

    2889*. HaIJar la curva, para la cual, al angulo {ormado por Iatangente can el radio vector del punta de. contacto es constanta.

    2890. Hallar la curva, sabiendo, que eJ area compnmdida entrelos ejes de coordenadas, esta curva y Ia ordenada de cualquierpunta situado en ella, es igual al cubo de asta ordenada.

    2891. Hallar la eurva, sabiendo, que el area del seelor limitadopor el eje polar, la propia curva y el radio polar do cualquierade sus puntas, es proporcional al cuho de este radio.

    2892. Hallar la eurva, para la eual, el segmento que interceptaIa tangenw en el eja OX, es igual a la longitud de la propiatangente.

  • B~cionts dlfflrtlncialts dl/JltrslU dt ler orders 367

    2893. HaUar la curvll. para Ia cud. el segmonto de tangente,comprendido entre los ejes de coordonadas, se divide en dos partesiguales par la pad.bola y' = 2x.

    2894. Hallar Ia curva, para. la cual, Is nOMna) a cualquiera desus pnntos es igual a la distancia desde este punto hasta 01 origende coordenadas.

    2895*. EI area de la figura limitada por una curva, los ojesde coordenadas y la ordenada de cualquier punta de Ia curva, esigual II la iongitud dol coorrespondionte area de la misma. Hallarla ecuaei6n de esta curva, si sa sabe, que pasa par el punto (0; 1).

    2896. Hallar la curva, para la cual, el area del triiingulo que_forman el eje de ab..cisas, la tangente a la curva y el radio vectordel punto de contaeto, es constante e igual a a'.

    2897. Hallar Ia curva. sabiendo, que el punto media del sogmonto,interceplado cn 01 cie OX por In tangente y In normal a la misma.as constante, (a; 0).

    Al formar la ecuacion dlferencial de 1er orden, aobrc todo en los pro-blemas ffsicos, son frecuentca los casos en que c(lnvieno omplear el Hamadamitoda de las di/trenciales, que consiste en que, laa relaciooes aproJr:lmallallentre loa increOientos inJiuitamente pequenO! de las magnitudes que sebU!Can, dertas: con Urul. aproximaci6u hallta de iufinit&Simoll do ordensuperior, se sustituyen por tas correspondientea rel8cion~ cutro sua dire-renciales, cosa que no InOuye en el re.aultado.

    Pro b 1e m a. En un dOpOsito hay 190 Iitros de disolucion acuosa quecOnticne 10 kg de sal. Rn eate depOsito se vierte agua con una veloeidadda 3 litros por minuto y so expulsa 1a melcJa con veloeidad de 2 Iitros-por minuto. La concentr

  • Ecu.QclO1le1 dt/trtncialtl

    La c.oosLalll(l C $() dlJtermiua parLientlo !Ie la condicion de que, eUllndu'=0, z=tO, es decir, C=JOO.OOO. Despu~ de una hora, en el depOsitoquNlaran

    %= t~oo~ ..,.,.3,9 kg de sal.

    2898. Demoslrar. gue la sllpt'rficic libre d., un Iiguido pesadoque gira alredcdor de un cje ,"ortical. l.ieoe la formA de un para~boloide de rc\oluciun.

    28W. Hallnt' Ill. dependellcill. que exi~te entre In presion delairo y la 1~](,lIrt1.. cOllochmdo, l'Juc csta presion os igual a 1 kgt pol't cmt al nh'el dol mar y de 0,92 kgf por 1 crn2 u 500 metros dealLura.

    2!K)O*. Segun lit Icy de Hooke, un cordon ehistico do longi-tud l, hajo In accion do una ruer:r.u de dilat,aeion P, cxperimentaun incramonLo do IOllgitud igual n klF (k=const). lEn cunlltoaumentar:", la IOllgil.ud de esLe COrdOIl, Jlor la acei6n de su propioposo lV, !,;1 so 10 clwlgtl pol' uno do sus eXlremos? (La longitudinicial dd cord6n es l)_

    2901. Resolvor csle mismo problema, pero coo 1

  • Ecuacioll..11 dl!enlnclalelf de 6rdentl, l1upuiorel1 369

    Iibre del Iiquido, so dotorminA. por la formula

    v=cV 2gh,dnnde c r:::: 0,6 y g es la acolernci6n de la fuorza de gravedad.c.Cunnto tiempe lardara en salir el agoa quo Hena una calderasemiesflirica do 2 m de diametro, 5i salo por un orificio redondoquo hay on cl fonda y que lioJle 0,1 m de rndio?

    2907. La cantidad do JllZ que resulta absorbida at pasar por unacapa delgada de agua, es proporcional a la cantidad de luz quecae sobre olla y al espcsor de la misma capa. 5i al atravesar unacapa de agua do 3 m de espesor queda absorbida la mitad de 10.cnntidad inicial de 1m: lqu6 parLe do est..a canLidad llegara basUl.la profundidad de 30 m?

    2908. La resistencia dol aire on el descenso de los cuerposell paracaidas es proporcional al cuadrado de la veloeidad con quese mueven. HaJJar la velocidad limite de la co. ida.

    2909"'. EI fondo de un dep6sil,o, do 300 litros de c.npacidad,ostll cubierto de una mczcla de sal y do una substancia lndisa-Illble. Suponicndo que l:t velocidad con que se disllolve la sales proporcional a Ia dHenmcia entre )3 concentrac,i6n en el ins-t.ant(' dado y Ia concentraci.6n do In disoluci6n saiUrlldll. (t kg dosal para 3 litros de agua) y que In cantidad de agull pura dadarlisuelve t/3 de kg de sal pur mjn, halla.r que cantidad de salconteodrn la disoluci6n 0.1 callo de una hora.

    2910. La luena electromoLriz ~ de un ci.rcuita, con intensi-dad do corrianto i, resistcucia R e induct-ancio. L, c.s igual a IIIcaidn de t.ensi6n Ri. maS la fuerza elactromotriz de aUloinduceionL :: . Detorminar la intensidad de la comente i, 011 un instante- t,si c = E sen wt (E y (J.) son constonle~) e i = 0 cunndo t = 0.

    10, EC1I3cicnes diferellciales de ordenes soperioresto, Caso de integraeion inmediata. Si

    VI"):B I (z),5t' ti'no

    II veoe~

    2"', Casos do reducci6n u un orden inforior, 1) Si laccullcl6n dHerencill1 no eontil'ne IJ de forml1 QJ(fllioita, por {\jomplo:

    F(z, y', y)=O.pQlllendo II'=P. obtenemos una ecuaci6n do ardon ilLferior ll'n una unidad

    F(z, p, p')=O.

    2~-IOI6

  • ::170 Bcuaciancs dijtrcllcjalu

    E j 0 m p I 0 1. Hellar la solucion particular de lu ecus,cion

    zy+u'+z=O,quo SlItisfaga a has condiciones

    '1=0, '1'_0 para :&"=0.So 1u c i 6 n. Ponieodo 'II'" p, tcnemos yW = p', do donde

    zp'+p+z=O.Resolviendo esta ccuaci6n como lineal con respeeto a Ia fuoti6n p,

    obtenomos:

    De las condicionos y'=p=O para z=O, tonomoll que O=Ct-O, es decir,C1 =0. Por eOlllliguiontc

    o biaJ1,dy ordz=-"2'

    de dondo, voLviendo a integrar, obtonemos

    .'y= -T+C2'

    POlliondo '11=-0 para z=O. hallamos C2=O.particular que busC(ibamos es

    Por consiguiente, la soIndon

    F (v, p, p ~: )_0.E j CIII Jil () 2. Haller la soludon pal'ticular do la eouaoion

    /I1f-y'2=y~

    con Ie condicion do que y"",t, y' .... O para Z=O.

    Sol u c i 6 n. Ponemos y' = p, en este caso, '11.= P ddP Y nUC3tl'u eeua.cionso transforma cn la siguientc:dpyP __ p2=V4.d,

    Hemos cbtonido una ecuacion dol. tipo de Bernoulli con respellto a p(V so considera argumentc). R0501viondola, hallamos:

    P-.=:1: 11 VCt +y2.

    forma expHeita, p. oj.

    ,inferior ellobtenemos una ocuaci6n do orden

    Ie. ecuaciiJn dilerencial no contione ;r; deF(y, y', yW)=O,

    2) Si

    poniendo y' = p, !I~ - P :~ ,una unidad

  • Ecuactones dif~renciales de 6rdenes ~UJlerlorel' 371

    Do la condicion II' = P = 0 para y =1, tenemos C 1= - I. Por cOI\!:liguicn-

    o bienp=yVy2-1

    dy _ II VV3-1.d%

    lotegranuo, tenemos:1

    arccOiJ- x=Czy

    Poniendo 1/=1 Y ::;=0,

    /1-= sec z.

    obtenemos1quo Cl\=O, do donde -=C08::;, 0y

    Resolver las ccnaciones.

    2911. y" ~.!.- .%

    2912. " 1Y =-2va'

    2920. yy"~y'y'+y".

    2'J21. yy" - y' (I + y') ~ O.

    2922. y' = -;, .2913. y" = 1 _,!/"l.

    2914. xy" + y' = O. 2923. (r+l)y"-(r+2)y'++r+2_0.

    2915. yy" = V"~. g'2924. xy" = y' In",,%

    2916. yy" -j. V"~ _ O.

    2917. (1 + x'"} y"+y'2+1 =0. 2925. y'+ ~(Y")2~XY".2918. y'(1+y'2)=ay". 2926. xy"'+y"=l+x.2919. x2y" +xV' = 1. 2927. y"\! + y"2 = 1.Hallar las solucioTlcs particulares, paru las condiciones iuicia-

    les quo se indican:2928. (1 +x ll)y"-2xy' =0; y=o, y'=-3 para x=o.

    2929. 1+y'''=2yy''; y=1, y'=1 para x=1:2930. yy"+y'2=y'3; y=1, y'=1 para. %=0.

    2931. xy"=y'; y=O. y'=D para x=O.Hallar las integrales generales de las ecuaciones:

    2932. yy' = V y't + y'''y''_y'y''.2933, yy"=y"+y'j!y'+y".

    2934. y"-yy"=y"yl.

    2935. yy"+y"-y"loy=O.

  • 3i2 Ecuadones difacnciahs

    HaHar las solucioJ1CS que sa~isfagan a las condiciones que seindica/I:

    :ro36. y~y:1 = '1; V = '1. y' = 1 para x = ~ .

    2'.)37. yy'-J-y"-l; y-t, y'-l pata .-0.2!)38. xy~ = l( 1,,-" y'2; Y = 0 para '1: = 1; 'J = iJltlrll. X = et .293U. y" (1 +In x) +- ; .y' =2+ln x; Y= ; , y' =1 para x= 1.

    ,,' ( Y' ) 12940. y"=~ l+ln--Z ; Y=2' y'=1 para x=1.

    2941. y"_y'2+ y' (y-l)=O; y=2, y'=2 para :=0.291i2. 3y'y~=y+y'3+1; y=-2; y'=O para ;]';=0.

    2943. y2 --t-y'2_2y!/, =0; Y= 1, y' = 1 pam x=O.

    2944. Vy' +y'2+yy~=0; y=l para ;1;=0 e y=O para x=-1.

    2945. 2y'+(y'2_ UX)'Y"=0; y=U, y'=2 para. x=2.291i.6. y'y2+ yy"_y'2=O; y=l, y'.,....,.2 para x=O.294.7. 2yy"_3y'2=4y2: y=1, y'=O para x=O.294.8. 2yy"+y~_y'2=O; y=1, y'=l para x=O.

    2~"n "'2 1 III.,..". y =y -Yj Y= -"4; y -7 para x= .

    2950. y"+"';'eJJ'y'_2yy'2=0; 1/=1, y'=e para x=-!..y =

    2951. 1,_yy"+y'2=Oj y=O, y'=l para x=1-

    2952. (1-f-yy')y"=(lTy'2)y'; y=1, y'=l para x=O.2953. (x+l)y"+xy'2=y'; Y= -2, y'=4 para x=1.

    Regnlver las ecuacioncs:2954.. y' = xy"2+_ y"'J.

    2!)7J5. y'=xy"+y"_y"2.

    2956. y"'2 = lty".

    2957. yy'y"=y'3_y"2. Destacar la curva integral que pasa pOreJ punto (0; 0) y quo es tangenl.e en est.e a la recLa y + x = O.

    2958. Hallar (as curvas de radio de ctJr\'a~llra conslanLe.2959. Hallar Ia curva, para la cual, 01 radio de cur~a~ma es

    proporeiooal al cubo de la normal,':W60. Hallar la curva, para la cual, 61 radio dc curvaLura es

    igual a la normal.

  • ECllactolUs dif~rnl{:.ial~" lillral~s $7J

    296t. HaUar Ia CUfV3, par3 In euaI, 01 radio de curvahlrn esdos veees mayor que la Ilormal.

    2962, Hal181r las curvas, para las cualcs, la proyocci6u del I'adiode curval\lra sobre el ejc OY es consluuLe.

    2963. Hallar In ocuAci6n del cable do un pucnte colgl\nLe,suponiendo quo Ia cargo. sc disLribuye IItliformemenle por lH proycc~ci6n de dicho cable sabre una recta hOl'izontaI. El peso del cablese desprocia.

    296/j*, Hallar la posici6n de equilibrio de un hila flexible,inestirable, sujcto pot sus exLromos a dos punLos y que tion~ unacarga conslanlc q (on In que sc incluye 01 peso del propio bilo)p

  • ....-,v/-.

    siendu los cocficientcsliLIas, tiona la forma

    Bcuacioneif difennciaies

    PI (x) :r d s{'gundo micmbro f (.1:) fuocioncs conti-

    Y-Yo+Y.JORde Yo e.s Ia solucion general de Ia corrcspondicnte ecuadon bomog6nca(I) 0 Y una soluci61l particular de la ecuadon no homogunea dada (2).

    Si 50 conoco un sistema fundamental do solucioIlCS YI' ,,,... !In de.Ill ecuaci6n homogenea (1), Ia soJuci6n Kenoral de Ia corrcspondienl.e l'cua-cion no homogonca (2) se puede hallar por 10 formula

    y =C, (x) VI +C2 (x) y: + ... -j-en (x) Y'I!Jonde las funcianes Ci (x) (r:"of. 2, ... n) so obLicncn del sistema. de ccua-cionos

    c~ (z) Yi +C; (z) YaCi (x) yi +C; (z) Yt

    + +C;I (x) Un =0, 1+ +C~ (x) Y~=0,

    .........

    c; (x; ;~,:-;)~~;.(;) ~~n_2)~. . ". ~-~,~' (~) ~~;-~) ~o jc; (.%) y\n-l) +C;(z) y~n_l)+ ... +C~ (x) y~n-l)= f (x)

    (mi-todo de vuriucion de la~ CQn,tantes arbitrariru)E j em p I o. Resolvor Ia oeuaeion

    xy"+y'=x2

    Sol It e i 6 n. Rcsolvielldo 18 ccu8eion homog~ncaXii" +y'=0,

    obtoDomos;

    I')

    y=Ct lnx+C2. (5)I)ot oonsiguicllte, SL' puodo tomar

    Yl=IIlX e Y2=-1

    ). buscar Ja solucioll de 18 ecuacion (~) en Ill. forma

    y=C1 (x) Inz+Cz(x).Formondo 01 sistema (3) y teniendo ell Cllcnta que la forma roducida de la

    l.'Cuaeion (4) es y. +--L = z, oMencmosx

    ~l( c~(x)~n:r+C2(X).1=(l,

    Ci (z) - + C; (;r-).u = x.x

    Dc dondcx:l

    C1 (x)=T+ A

    y, por consiguientc,

    xa xliy Ca(z)=-Tlnx+T+B

    x'Y=T+Alnx+B,donde A y n son cOllstalltes arbitrarins.

  • 0) x, Xl, ,x3;f) e'~, e2X, e3X:

    Jcuaciones di/erendalts lineales de 2c or/len con CQeficienlu conrtanltl 375

    2968. Investigar la dependencia lineal de 105 sigltientcs sistc~mas de funciones;

    u) ,x, x+1:b) ,xt, _2xt ;

    r..) 0, 1, X; g) sen x, cos x, 1;d) x, x+1. x+2; b) senlx, costx, i.2969. Formar la ecuaciou diferencial lineal homogenea, cono-

    ciendo su sistema fundamental de soluciolJes:

    a) YI = sen x. Y2 = cos X;

    b) YI=ex, Y2=xex;

    e) X1=X, Y2=X'2;

    d) Yt=e'l:. Y2=e'" senx, ys=excosx.2970. Conoc.iendo 01 sistema fundamental de solne-ionos de Iii.

    ccnacion diferencial lineal homogenea

    y,=x, Y2=X'2, Y3=X3,hallar su solneion particular I), que satisfaga a Ius condicionesiniciales

    vl>:_1=0, y'I.;:.,I= -1, yj.'I:_1=2.2971-. Resolver la ec.uaciol'l

    Y"rfy'+y=O,. d 1'0 t." I sen%"conoclen 0 su SO uel II par leu ar Y1 = -.- .

    2972. Resolver Ia ecuacion

    x2 (In x-i) y" -xy' +y =0,conociendo su soIudon particular Yl = x.

    Resolver las siguientes ecnaciones lineales no homogeneas POtel metodo de variacion de las constantes arbitrarias:

    2973. x2 y" - xy' = 3x3

    2974*. ,x2y +xy' _ y = x't..

    2975. y'" +y' = sec x.

    12. Ecuaclms dlferenclales lineales de 2' orden con co,flcientesconstantes

    i C Eeu.Ilcionc.!I homogcnllas. La eeutlci6n linllal lloillogcneado 20 orden con cocficiontes conshntes p y q. ('.!I de Ill. forma:

    u+pv'+qv=O. (t)

  • 376 EcuaciOTln dl/ereTlelau.,

    Si hi Y k! SOli las rukes de la ecuaci6n caracteristica

    lp(k)E kL\-pk+'1""O, (2)

    la soluei6n general de la ceullci611 (1) Stl l'scribl' en llna dl:' Ius ~re8 (orrnngsiguiclltl\S:

    f) y=C j "h''''+C2eh" si k j y kt SOil fculos Y k j "f" "t;

    2} !I:.../IIO:(C\+C~x).:-i 1:\-1"2;

    3) !J=~O:X(CtCOS~x+C2scn~x), si "I-a+j!i y k2=a-fli(~ ,*0).2~. EcuaciOIlOS 11\1 homogPoneas. La /,;Olucl6n gOnGral de la

    t'Cl!llci{m difl:fl,lu;ial lineal 110 Itomog~lIea

    yN +PrI' +9Y'..;; f (%) (el)St' plmdll escribir Nl forma de suma

    y=yo+Y,

    dondo Yo es la solucion gelleral de la correspondieute ecuacioll (1) sin segllll-do micrnbro. que Sl) rlotcrmins. pOr las f6rmulas 1) -3). e Y os una soilj-civn parLicuJar do Is. eeuncion dada (3).

    La func,i6n Y so puetlo hallar poe cl mUodo de 10J coe/leien/es indet~r/Ilillndos en lo~ .siguienlos caso:! simples:

    1. f(z)=eO%Pn(z), dondo Pn(z) es IIU poliltomjo de grado n.Si a ll

  • Bcuu:ionll dt/trelU:tnles ltlltilln de 2" ordtn con CQt'/icienler COnl/aMt. :ii'i'

    ecuaciOn dalla, obknemos:2t3X' (4A;r+4B+4A)- tU' (2A:Z:+ 2B+A)_tU' (A:z:+D)=.utt.Y.

    Simplifica.ndo por t~X 0 igualando antra 51 los coofieil'nll's quo correspondena las prinicn.!! put.eneia:s do :r y los t~rminos indupendilmtes Je ambosmicmhm!! de 10 il!'unldad, teneotro Sl los coeficientl'S diJ los dos miembros do ]a igualdacl ClUO COfl'cspon-den II CGS;Z, Z 009;1:, SOU:I: Y z son;l:. Como rcsultlldo, obtenemos cUAtroecuaciouos: :lA+2D_O, 4C_O, -2lJ+2C=O, -4A",,;1, do las cunles Sf.'

    %'dcwrminan: A=-1{4, D=O. C=O. D=1/4. Por Io quo Y=- 4c~;z:+%

    +T rronz.

  • JIl ~uma

    2982. yW +2y' -r-Y =0.

    2983. y' -4y' +2y ~ O.2984. yW +ky =0.

    2985. y~y'+y'.

    2986. y' -: y ~ 3.y

    Ecacionu difennciales

    La soillcion general scru%' %

    y- Ct ellS .+C::K'1l .1'-T cos .1'+ T sun z.3, Prjncipio de supuposicion tIl! soluclionos. Si 01

    ~gundo miembro de la ecuacl6n (3) os una suma de voriss funcioDcsf (z)_ It (z}+f2 (z}+ ... +fn (z)

    c Yl(i-=I, 2, ".,11) son las correspondiontes solucionl's J(lias l!cuacionc.~yW+plI'+qy=!i(x) (i=1, 2, ... ,'1),

    l/=Y'+Y2+.+ r'"lOS soludon de Ia oouacion (3).Hallar la soluciiin general de las ocuaciones:

    2976, yW_5y'+6y=0

    2977. y"-9y~O.2978. y" - y" ~O.

    2979. y+y~O.

    2980. y-2y'+2y~O.

    2981. y"+4y'+13y-0.HaHar las soluciones particulares que satisfagan a Jall condi-

    dones que se indican:2987. !f-5y'+4y~0; y~5, y'~8 para x=O.

    2988. y~+3y'+2y=O; y=1, y'= -1 para x=O.2989. yW +4g=O, y =0, y' =2 para x=O.2990. yW+2y'=0; y=1, y'=O para x=O.

    299LY'=4; y=a, y'=O para x=O."

    2992. yU+3y'=O; y=O para x=O 0 y=O para x=3.2993. y"+lllly=O; y=O para x=O e y=O para x=1.2994. Indicar 10. rorma de las 8oIllciones particulares de las

    siguientes eCllaeiones no homogeneas:a) yW_4y= x lleZ:t;

    b) y"+9y =cos 2x;c) y"-4y'+4y=seD2x+e2.1:;

    d) y"+2y'+2y=ex s6.nx;c) y"_5y'+6y=(xll +1)r+ xet.:t;) if' - 2y' +5y = xe,:t cos 2x- xZe~ .!len 2x.

  • HaHar Ja solucion de las ecuaciones:2995. y"-4y' +4y ~x'.

    2996. y" - y' + y ~ x'.,. G.2997. y" +2y' +!I = e't:t.2998. y" -8'1' +7y = 14.2999. y"_y=ex 3000. y"+y=cosz.3001. !I'+y'-2y-8sen2r.

    3002. 11'+y' - 6'1 = :reV:.3003. Jf-2y'+y=senx+shz.

    3004. !f+'I' = sen2 x.3005. 'I" - 2'1' +5'1 = ex cos 2x.3006. HaJjar la soluci6n de la ecunclOll u"+4y=senx, que

    .satisface a las condiciones y=1, '1'=1 para x=O.Resolver las ecuaciones:

    d'.3007. dta +wtx = A sen pl. Examinar los C'-50S: 1) p =#: 00;2) p~ ...

    3008. y"-7y'+12y __"'.

    3009. y" - 2y' ~ x' - I-3010. !f-2y'+y-2C.

    30IL y"-2y' ='''+5.3012. 'I" - 2'1' - 8'1 = e"" - 8cos 2x.301~. y"+y'=5x+2et .

    3014.. y"-y'~2x-I-3e'.3015. y"+2y'+y=e"+e4 3016. y"_2y'+10y=sen3.t:+ex

    3017. y-4y'+4y=2e"++.3018. y"-3y'~x+cosx.3019. Hnllar la solucion de 1:1 eGuaci6n y"_2y'= et :t+ x '_1,

    que satisface a las condiciones: y = ~ 'I' = 1 para x = O.Resolver las ecuaciones:3020. y" - y = 2x sen x.3021. 11' - 4'1 = e2~ sen 2.z.

  • 3&) Ec.uac'onr$ dt/uc.ncia!4s

    3022. y"....!..4g=2sen2x-3cos2.r+1.3023. y. - 2y' -r 2y = 4("" sen x.

    3024. y=r?+y.

    3025. Y~19y=2.rsen.-l.r-c.3026. y"-2y'-3y=:r(jTC~").

    3027. y-2y' =3x+ 2xe"'.3028. Ij' - !.Jy' -1- 4y = X('2.t 3029. y. +2y' - 3y = 2xe-3 '>: _(x+ 1) (,.~.

    3030*. y" + y = 2.r cos x cos ::!x.303J. y-2y=2:te:cosx-sollx).Vali6ndose del mHodo de \"llrinciOll de Jas constantes arbi-

    trarin!'l, resolver Ins ccuaciones:

    3033. y. +y = ctg.l:.

    J30:16. y. ,. y =- eos:t.

    3037. y'-' y~_'_., Sf'DZ

    3038. a) y" - y = th 7;30~. 'J'.L ~y--y,y=-;-.

    3035. y+2y,+y=rx

    ,3039. Dos pesos iguales estfill colgados del extremo de

    resorte. Hallar Iii. ecllacion del movimicnto que efectuara unoostos pesos, si el (ltro se dCl:1prcnde.

    unde

    S (I Lu c i 61l. Supv~amas que eI lIumcnlo do IOllgitUl.l que experimcntael resorte baJo la aeci6n do uno de los P

  • 3040. Ln fuena que alarga a un resorte es propordonal alaumento de longiLud del mismo e igual a 1 kg!, para un aumenLode loogitud de 1 cm. Del rosorte csta sllspendida una cargo. cuyopeso es de 2 kgf. HaUar el periodo del movimiento osei.latorio quefccibira estn carga, si se lira do ella un poco hocia abaio 'l d~+pues se ::Iuelta.

    30r,1". Una carga, euyo poso os P,.,.4 kgf, oSI.6 suspentlidll do Ullrosortc al que ahrga on 1 em. Hallar In ley del movimienLo decsta carga, si et extrema superior del mueLle efectua las osc.iln-dones armonicas verticalcs y= 2son30t cm y en 01 momentainicial la eug!!: cstaba on rcpoS

  • ECU4cioMI di/eNfldak,

    Es dcclr: 1) si k es una rail: l'l'al de 13. ccuacion (2) de gn.do de multipli-cldad Ill, a est

  • ECUlfc/one, de Eulu 383

    Para 01 recinto ax+b >O. iotroducimo9 unll IItleva variable indepen-tlicnto t, poniendo:

    o.:t+b"",e'.

    Entouces,

    V'=,u-,:!JL '._41!e-t/(d2S1 _dY ) ,dt ' dt! dt I,

    y"=a3e-31 ( ~:~ -3 :~ +2 ~~) y. asi suceslvamenLo ,

    y Ill. eeu3cl6n de l:i:ull,'r 1;0 transorma on una ocuacion lineal COli coeficionLe~ conllt3ntes.

    Ejemplo I. R0501vl-'r la eeuaciun .:t1!J~+;r1l'+,,=1.Sol uc i 6 II. Ponienllo:z: = el , ubtenemos:

    dy _ _/~ d!/I _ -21 (d'l!l_ dY)dx _t dt' dz2 _t dt't. dt '

    Por consiguicntc, la ecuacion dado. lorna Ill. forma

    '~Vdtt-+y=t.do daude

    o sca.II -Cl cos (Ill z)+ C2. ~on (In z) +1.

    Para 1a etuaeiun homogcnea do Euler

    xft l/(Ill +AIZ"-JlIl"-U+ ... +A"_l.:ty' +AIlV-()euando %>0 se pucde buscar una solution do la forma

    V-%

    ('l

    (3)

    PODicodo en (2) II, !I', ... , 1/t'II, doterminad3s por la rolacion (3), ohlenomo518 eeuaei6D car8c\eristica, do 18 quo !e pucdc hallar el IlIponenle It. "':

    5i It es UDa raiz; real do 18 oeuaci6n canc\eris\ica, de grado M de muJ-tiplieidad, a ella 10 eorresponderan III JJOluciones linoalmente indcpendieo\es

    II1=z1l, !lz=x1t.lnx. v3_xJl(ln.1')!, ... , y",_z!t(ln.:t)"'-J.

    Si a; lJi es un par de falce$ eomplejo.s do grado III tie mul\iplleidal1,0. ellIS les corresponderan 2m !o)uelones lincaLmonto indcpcndlente!l

    VI =z cos Olin z). Va .... zQ. sen (JS In .1'), Ifs..,ztli In z cos (JS In z),",_.:tQ.ln Z !len (fJ In .1'), "" lftm-I-Z(,\ (In x)m-1 cos (fJ In z),

    Y2m ",".:ta (In .:t)m-I sen (~ In z).

    ,.~ j e nl p] 0 2. Resolver 10. cCUllci6nzlV W -3%/1'+411 = O.

    Soluciun. POIJemOSy=r'; v'= k:z:.-I , I/'=Jr(k_I).:t/l;-I.

  • ECIiOc/.CPl'" diftre7U;ffzl~,

    Haciondo 111 sllstitucioli on la ocuaci6n dada, despues do simplificar por zll,4Jbtenem05 la ccu:lcioll caracleristiCIl

    k2_4k+4_0.

    "o~olvlpndola, hallamns;

    "t-"2=2.por C,,"!,jguient,c, III soludan general !('fa:

    v_C,z2+C:",2In z.

    Resoh'or las CC\laciones:

    '''68 .:!. tf'ly -I-":>-!!. + _0.:JV Z d:r:!. ,;)J; d;e Y .

    3069. xzy"-xy'-3y=0.3070. Z2y" +xy' +4y = O.3071. x Sy"'-3x2y'"+13xy'-Gy=O.~072. (3x+2) y' T 7y' ~O.

    a073, y" =~2 "y' y

    3074. If+,+-;4-0.

    3075. r 2y"-4xy' +6y=-:z;,

    3076. (1 +x)' y'-3 (I + x) y' +4y=(1 +x)'.3077. Hajjar Ja solucion pnftiwlar dl.'. la ccnnci6n

    x'ly"_ry' +y=2r,

    que sntisfllr.e a las condiciones iniciaJes: y = 0, y = 1 para x= 1.

    15, SI.tema. de ecoa,lolBS diferen,lales10.1 cto dod eel i min a c i 6 n. Para ballar la !o!llcion. por ejemplo.

    de un sinema normal de dos ccuaciones difert'ociale!l de 1u orden, e,';I dl'Cir.Ill' un !)islcma de la fomla

    (\l

    r'O.5UllltO con respcclo II las derivadas de las fundones V y ;: que so bU:>G:ln,rll'rlvamos una de olla.~ rcspecto II a:. 'renomos. pOr ejemplo:

    dtll al 81 atdx2 =(ji"+"JU 1+ iI% g. (2)

    Oewrminondo : de la primera ecuacion del sistema (1) y ponicn'lo Ill,l'xprc.,i6n oblenida

    ( d')%=1Jl r'V'(f; (3)

  • Siste'mas de ecuactonfiS diferenciales 385

    en la ecuaClOn (2), obtenemos una ecuaei6n de 2 ordell con ulla fu[u)ionincognita y. ResolvicndoIa, hallamos:

    Y = '\J (z, Ct , C2), (4)

    donde Ct Y C2 son nnas constantes arbitrarias. Poniendo la fundon (4) enla formula (3), doterminamos la fllncion z sin necesidaii de nuevas integra-eiones. EI conjllnto de las formulas (3) Y (4), donde y 51' ha sustitutdopOl' ,p, da Ia solud6n general del sistema (i).

    E j e m pIa. Resolver el sistema

    Sol u c ion. Derivamos Ia primera ecuacion con respecto a z:

    Despejando = en Ia primera ecuacion lenemos

    1 ( dV)=='4 i+~x -riZ- 2yy poniendo este valor on Ia segunda, tendremos:

    dz3 13 trIy-=- ;j;1!+z+---y---.dy2 424dz;

    Poniendo los valores de z y de :; en Ia ecuaci6n obtellida despiles de

    derivar, llegamos a la ecuaci6n de 2 orden con una incognita y:

    d2y dy .--+--6y= -Ox2-4x+3.dx? d;j;

    Resolviendola, hallamos

    y entances

    z= ~ (1+4x _ ~~ _ 2y )=-cte2X+ ~z e-3.x_ ~ x~.

    De forma amiloga puedo procederso en el caso dl' sistemas de mayormimero de eCllaciones.

    Resolver los sistemas:

    3078.

    25-1016

    r !!JL=z{dX 'd'l 7[X= -y.

    3079.! ~~ =y+5z,

    d,l d"X+ y + 3z =O.

  • 386 Ecuaaioll~& dilerl'mcialu

    , dxI di-4x-v+36t=O,30aG. l dll

    l di+2x-y+2e'=O;x=O, y=1 para t=O.

    dy d:.~=2Y~: '

    (1x du d:c.) y::z = z-x = x- y ,

    3087,

    I !!.= -3y-zdx '3080. I d:l dx =y-z.( dxI dt~Y,

    :,W8t. ~ :; =z,I a,l. lil=-x,r ~7 = y+z,) "3082. ) dT=x+z,l :: =x+y,{

    :; =y+z,3083. dt de.stacar Ia curva integral que

    fl:e =x+y+z. paso. pOl' el punto (1; 1; -2)

    f:~ +2y+z=senx, ( all 1

    3084. dx -r z = ,

    l dx 4 2 3089. (1:, 2-;r; - Y- ,Z=COSX. l dx -:-7 y = In x.

    (~y +3y+4z=2x, d'l

    3085. d~ ( dX~ +.2y+4z=ct ,l "di'-y-z=x, 3090. d'lz ,

    y=O. z=O para x=O. l. dz2 -y-3z= -.;t.3091~. Un proyectH sale del caii6n con Ulla vclocidad inicial 1)0'

    formando un angula 0; con el horizonte. Hallar Ia ecuacion delmovimiento de esto proyectil, tomando In resistoncia del aire pro-porcionnl a In velocidad.

    3092*, Un punta material M es atraido pOl' un centro 0 con unaluona proporcional a In distancia que los sepal'a. EI movimientocomien-za en o} punto A, ala distancia a del centro, con una volocidad inieia1vo, perpcndicularllJ segmonto OA. HaHnr la tro.yectoria dol punto M.

    16, 1,IograolO, de emolones dllele,ol,l" mediante series de pote,ol"Si no cs posiblo jnleJl;rar una eeuaci6n difercncial vali6ndo50 de hill'

    clones olclllentales, su $01uci6n puodo bU$carse en ciertos casos en lormade serie cle potencias -

    y= ~ r.'l (x-Xo)"n={\

    II)

  • Integroci6n dll tCUl1Clollu di!lIrtncio.ltt mtdio.nJt ~e.rit, d, pottllci.o.s 387

    Los ~ocficienles IndelO11Dlnarlos ell (n_O. 1, 2, ... ) sa hallan ponicndo Insorio (I) en la ecuaci6n e igualando los coeficlente! que C(lrrcspondcna potencills iguale.!J dol binomio %-%0 en ambos m{embros de 18 igualdadlist obtonida.

    Tambi~ se PUl'OO bu.."'Car la solucl6n de la eeuad6ny' = I (::t. y); donde V (zo) = vo. (2)

    cn torma de serle do Taylor

    ,., ( ,y :l:e.( )"%-Zo ., (5)

    dondo V (;ro)=YG' 1I'(:ro)=f(xo, Yo) )' 18s siguientos derivlldas lI(n1(zo)(n=-2, 3, ... ) so ballen sucesivarnento derivando Ie ecuoci6n (2) Y slIstituyendo x por oj nilmero 2:(}.

    Ejornplo t. Hallar la soludon de 18 tl~uaci.6n1I"-%V=OI

    5i V=V!' v'=V. para %_0.So neion. Ponemos

    v=eo+el%+ _.. + c"z1" + .. _,00 doude, derivando, obtenemos;!I~_ 2ic::+3-2c:.:z;+ ... +11 (It-i) cnr"-t+(n +1) M"+I%-I +

    +.

  • 388

    uutilaodo 01 orHerlo de d'Alembert c.! hicil comprobar. que la seric (4)es convorgente para -co < Z condiciones iniciales que Be indicall.

    En los NS. 3097, 3098, 3099 y 3101 investigar 1a convergofl-cia do las solucioncs que so obtengan.

    3093. y'=y+%!; y= -2 par

  • Probltmru 60bn d mitodo dt Fo.,riu

    17. Proble.as sobre el .it'd' de foarierPara ball3.r la solucion do una ecuaci6n dHorencial lineal homogellea,

    tin derlvadas parciales, por el metodo do Fourier, se bUSCII.D primcralllcnte lassolucioDos partlculares de ~Sl.a ecuacion de tipo especial, cada una de h.scuales roprcsenta do por si el producto de funciones quo dependen de unsolo argom~nlo. En el caso rob simple, se L1ene un conjunto inlinito do cslll8solucionc$ Un (~=t, 2, ... ), lincalroente indcpendicntcs para cualqulernlimero finito 0.0 olin y que salisfacen a Lu condit:iontJ dc (';(JRtorno dadll.La soluei6n " que 56 hosea. 56 represl'nla CD fornJa de seri.e, do esta! ~Iuclones parciaJcs:

    (I)

    Quedan por dl'termino.l los coollclentes ell' que ae hallall partiendo de la.~condicionfll tnicialu.

    v

    '.01"'----;"---''''---f It' I g. t07

    Pro b I e m 8. EI desplazamicnto tranllversal /.l "'*U (z, t) de 103 puntosde uua cuerda, ellyn abscisa es zen el lnstante t, S811sfa~o a I, ccuaclon

    ifl., 4 a:"iJt":: = a~ iJ z2 ' (2)

    dondo o:2_!!. (To es la tension y p Ill. dellsidad lineal de la euerda). Hallar

    la forma 9~e tcndrii est a tuerds ell un Instante I, sl /lUS cxlremos :r=0y """"'/ estriD suje\os y en el instante iniclal tc::O, Ia euerda tl'nla Is forma

    de la pariibola u = ~; X (1-%) (fig. 107) Y :!IUS puntos tonian uoa velocidadigual a c~ro.

    Sol u c: i 6 n. De ac:ucrdo con las t.ondiciones dill problema l!O Pldehallar una solucion &I'" It (z, t) de 18 ecuaei6n (2), quo satisfaga a las cOlldi-donM del contorno:

    u (0, t)_O, u (1,1)=0

    y a las condiciones ioiciall's:4h

    u (;z;, O)-"""Lf" % (I_X), "HZ, 0)-0.

    (3)

    (1)

    Busc:anlOs lu l!oluc.jones, distintas dc cera, de la ccuacion (2) do lipoo.~illl

    u=X(z)T(t).

  • 390 l!:cuacionu difuenciales

    POlliendo esta expresion on la ccuaci6n (2) y separando las variables, obte-Demos:

    r (t) X~ (%)aIlT(t) '"'"' X (z) .

    Como las variables z y t son independientes, la identidad (5) soLo sers.p

  • Problmuu mn tl mitodo de Fowler

    rrollar en selie de Fouril!'r de senDs la Cunci6n U (.::I:, 0)

    391

    y I.

    f 6 iJu (z, 0) 0UIICI n dt --.

    08 aeuordo eon 11..5 f6rmulas ya conocidas (cap. VIti, 4, 3"). tonl!'mos:I

    2 \ 4h kn.: a2h.A.It-T ~ V.::l: (J-z) Sl!'n ~dz_ ltak:l'

    si to" o.~ hnpar, }' All -.0. si k NI pllTj,ka~ 2 \' k1t%-,-B'\=T j O.sen---r-dz=O. B.It "'" 0.

    oLa solucion bu.:'!cada sora:

    oos(2n+i)an:tl (2n+i)1l%

    (211+1~ son l

    3103-. En el instante inieial t =0, una cuarda, sujot.a en Stl~

    eKtremos :t = 0 y :t = l, tenia la. forma de Ia sinusoido u = A sen 1f.t .siendo 1a velocidad de sus puntos igual a eero. HaUsr In formade esta cuorda en el insw.nl-e l.

    3104-. En el instante inieial l=O, a los puatos de una cllerda

    rectiHnea O

  • EcuaeioM$ diJerencialn

    3t07. Para In varilla recta bomogenea, cuyo ejo coincide cot!et do OX, In temperatura u =u (x, t) de su secci6n de absci~a x,en un instant! t, cuando no e::dsten fuanLes do calor, saLisfacea )a ('Cuacion de la conductividad ca)orifica

    ,1u g a27l7jt= a 7J;f'

    dondc a e!'l UDa cOllslante. Determinar la dislribucion de Ia tem-perntura en una varilJa de 100 em de longitud, parD. coalquierinstanto t, si se COn

  • CapUulo X

    CALCULOS APROXIMADOS

    1, Operaclones con numeros ,proxlm'dos10 Err 0 r a b sol u t o. EI error absoluto de un mlmero :tproxillJadu a,

    que sustituye a un numero exacto A, cs cl valor absoluto de 18 difereuc:illentre ellos. EI llumero 8, que satisface s Is desigualdad

    IA-al-0), ]a razon dolonor absoluto dol numoro a 81 numcro exacto A. El numero c", qttO satis-face a la do~iguaJdad

    lA-OIl /6A -, (2)

    sa llama limite dd error rdat/I/O del llumero ll.llroximado a. Como pl'Jlctica.mente A"",a, como limite dol orror rclativo so tomn con fr6cuencia 01 numoro ~=-.

    a3Q Numcro de cifras uocimo.les elL8ctas. se dice que un

    numero 811roximado y positivo .h e,scrito en forma decimal tiona 11 cifrasdecimales e:racla$ en $tnt/do utriclo, si cl valor absoluto del err 1, so puodo tamar como limite del error relativo 01 nllffi&rO1 ( 1 )"-'6=21; 10 .

    Joude k as 13 priroorll cifra con v:l.lor dol mimero a. Heciprocam

  • 394 Cd/cufDS 4!Jrt)7;!m.lJdoz

    fonna, que todas las eifra.s que sa dojan sean e.xaetas OQ sentido estrictoo en sontido amplio.

    En Lo sucesivo supondremos que, ,I escribir los datos iniciales, todaslas cifr8.!l son enetu (siempre que no se advierta 10 contlario) en senti doesuicto. En cuaow a los r\l3Ult.dos de los c;;ileulos in1ennedi05, estos podtDIltenet una 0 dos citras de 1'1!Se1"V1l.

    Hay que advcrtir, que los ojomplos de este paruRra{o. por rpgl. goners!,repr~scntan de pDf si 1()Ij resultados rin310s de cilentos y. PDf consigulont.e-.las respucstas 58 dan en mimeros oproximlldos que $610 contienen cirru~decimales exactas,

    4. Slims y tosta de numeru5 ll.prOXiDlados. Ellimitedelerror absoluto do In suma alglibrica do varios numeros, es [gual 11 Ia sumado los limites do los arrores absolutos de l'stos numerus. Por e510, para quoen la suma de \lua co.ntidad reduclda de numoros aproximados, cuyas cilrasdocirnillos sean loou oxactas, figureD solnrnento cirras c:x:adas (por Iemenos en sentido amplio), hay quo igualar tod05 los sumandos, tomandowmo patron nquel que tonga menos cilras decimales, y dejar en cada unode oliO.!, una cirra de reserva. Lu0r." ~ ~umara.n I03numoro~ asi obtcnidos.como euclos. y se redondeara la ultiml eifra de la surna.

    Si 98 trata de sumar mimel'Os aproximadO.! sin redondear, hlY que pro-codor a :!IU redondeo, coILSCC\'lmdo en Clda uno de los sumandos una adoscifras do rc:Iorva, y luego regirso par las reglas a que noS hemos reforidomas arriba, l'9tenlendo en 1& soma las eUras do rcscrva correspondientes

    ash Lerminar Ie operaciones.

    Ejomp).o 1.215,Z1 +f4,182+21 ,4""'215,2 (0+ t4,1 (8)+21.4=250.8.

    El error relativo de una suma do sumandos pG!itlvos no e:x:codo atml)'or do los Crrorcs reltltiv08 do sumandos.

    El error relativo de una resta no cs fiicil de ealcuillr. Sobro todo, cualldoso trata de hallar la dlrerencia entre ODS numeros pr6ximos.

    E j 0 m p 1 0 2. Al restar los numerOs aproximil.do~ 6 135 Y 6,13t, cancuatro ~ifras exactEls, ohtenern03 una, diferencia de 0,004. Ei limite de su

    1 12",0(11+2 ,001 I

    error relativo es igual a 6 =- 0,004 ="4-0,25; por consiguien-te, ni una sola do las cifras do la difereneia as ciorta. Por ost,a rar.6n.dcbcn eviLarso, siempre quo esto sea POSiblc, las restas do numoro! apro-ximad03. proXimO! entro si, transformando, si as proeiso, la expresi6u deque :!1O tratll de ul forma, que dC!aparotea esUl operaci6n.

    5-. Mull.ipJicIlci6n y divisi6n d6 numeros aproxima-do s. EI limite del errer ref3.tivo dol producto y cocionte de numorosaproximados es igual a la suma de IO!! Iimites de Jos orrores t1."lativO!lde estos numerO!. Particndo de ('sto y :Iplicando 10 regia sabre 01 Dumerode cihas oncta! (3), on In respuesta so con.servara imicamente un numerode'erminndo de cUras.

    E j 0 ill P I 0 3. El producto de los mimoros aproximados 25,3.4,12==104,236.

    Suponiendo quo todas las cifras de 10l! factoros Seln oxactas, obtondre-mos, quo cl limite dol error rolativo dol produeto sera

    1 16- 2. 2 ,01 +4.20,Of -""",0,003.

  • De donde. el numero do oirras oueLis dol producto sora igual a lresy el rcsultado. si e5 dcrini~ivo, dobera ~cribirsc 8sl: 25,3-4;,12_104, 0 mastlxl\ctamcnte, 25,34,12_104,2 0.3.

    (j0. Elevaci6n a potencias y extracci6n de falces den Uill 0 r 0 sap r 0 x I III ado s. \.:;1 lfmite del orror rolativo de 13. potonciaemesima de un DumarD aproxlmado 4, CS igual 31 multiplo m-sima dellimite del error de 0$\0 Dum oro.

    El limite del error reltltivo de 18 tab m-sima de un nUI'QQro apraXiA

    mado 4, es igual a -'- parte del limite del Otrer relativo del numero Q.m

    7. Cileulo del error resultaote de diver.n.ll opora-clones con Dumeros Iproxlmadoll. 81 6,0I ... 4a" son losIimites de los crrorcs absolutos de los numoros nproximados Ill' ... , Un.ilJ limBo del error absoluto AS del resultado

    S=t(Ul' ... ,an)

    :so Jluede valorar llproximadllLnento por Is f6rmula

    48=1 ::1 !4aJ +'" +1 :1.. 1tiII'Ell est& easo, el limito del orror relath'o S seru. igu:lI a.

    AS I 8/ I '" I8f \.,'ilS'"-TSi= iJal "lTC+ -.. + (Jan Tif=-= !iJ~:/ I6a\ +... +IiJ1al1/ 160".

    Eillmplo 4. Calcular S ... ln(:I0,3+Yo'J.,4); los 11llmuros nproximados10,3 y 4,4 tieneD todes las eifrns exaelas,

    Sol u e i 6 n, Calculamos primcJ'amento (II IImito dl'J error absoluto tiS

    , ( 'db )~n!lu forma general: S=ln(tz+Vb), 6S- t.I+vr 6a+2" Vb" Tene~,mos 6a-Ab::::

  • 396

    ApliC

  • OpuacJonu con lII'imero. tJpro~m(ldo. 397

    a) 48,361 con procisi6n de un 1%;b) 14,9360 can precisi6n de un 1%;c) 592,8 can precisi6n dc un 2%.3111, Sumac los siguientes n(lmCrOS aproximados, con todas

    las cHras escritas exactas:a)25,386+0,49 + 3,10 +0,5;h) 1,2j(l'+41,72+0,09;oj 38,1+2.0+3,121,.3112. Efectuar 10 resta de los siguientes mi.metos aproximadm:.

    con tadas las ciEras escritas exactas:a) 148.1-63,871; h) 29.72-lt,25; 0) 34,22-34.21.3113-. Calcular Is diferencia entre las areas de dos cuadrados,

    cuyos ladas, segun las mediciones, son igualcs a 15,28 cmy 15,22 cm (COD exactitud !lasts de 0,05 mm).

    3114. Calcular el produeto de los sigui(>ntes numeros apro::ti-mados, con tooas las cifras escritas exactas:

    aJ 3,49 8,6; h) 25,1 1,743; 0) 0.0216,5.Indicar los limites probables de los resultados.3U5. Los lndos de un reetangulo son iguales a 4,02 m y 4,96 m

    (can precision hasta de 1 em). Calcular el area de este ree-LAngulo.

    3116. esicular e1 cocicnto de los numeros Il.proximados siguien-tes, cuyns cHrss escritas son todas eZ8ctas:

    0) 5,684: 5,032; h) 0,144: 1,2; 0) 216:4.3117. Los entclas d.e un t!,iangulo rcct5ngulo son iguales

    a 12,10 em y 25,21 em (eoo precision hnsta 0,01 em). CalcularIII tangente del Angulo opuesto al primer cateto.

    3it8. Calcular las potcneias que se indican de los siguientcsnumeros aproximados (las bases de las polencias SOil exactas entodas las eirras eser[tas):

    aJ 0,4158'; h) 65,2'; c) 1,5'.3119. EI Jndo de un cuadrado es igua1 a 45,3 coo (can preci-

    sion hasta 1 moo). HaHar el iirea do clicho cuadrado.3120. Calcular cl valor de las siguientes falces (los numerus

    subradicales son cx.actos en tadas las cilras esccitas):a) V2.715; h) ~ 65,2; 0) V8f,1.3121. Los cadios de las bases y la gcnetatriz de un cono

    lruncarlo son igua)cs respectivamente a R =23,64 em 0,01 em;r = 17,31 0,01 cm y I = 10,21 em 00,1 em; e1 numero n = 3,14.Calcular, segun cstos datos, la superficie total de este cono trun-eado. Acotar los errores, absoluto y rolativo, dol resu1tado.

    3J22. La bipotenusa de un triangulo rectanguJo as iguala 15,4 em 0,1 coo; uno de lOll catetos es igual a 6,8 cm 0,1 em.iCon que exactitud so puedon calcular, eon estos datos, el ottOcateta y el angula agudo .adyaeeote a eJ? HaJJar sus valores.

  • 3(Jll Ctfleulos 4prozfmados

    (I)

    3123. C:llcular 01 peso especilico del aluminio, si un cilindrodo dicho metal, de 2 em de dLimetro y 11 em de altura, pesa 93,4 g.El enor relativo de las medieiones lineales es igual a 0,01 y e}de la' determioaci6n del peso, 0,001.

    31.24. Calculat la intensidad de Ja corrionte, si la fnerzaelcctromotriz as iguRl tl 221 vollies 1 voltio y la resistencia.809 ohmios 1 ohmio.

    3125. EI periodo de oscilaci6n de un pendula de longitud losigllal 8

    T=2n V ~ .daude g es 18 aceleraci6n do la gravedad. iCOD que preci9i6n debemedirse Ja loogitud do un pendula, euya periodo de oscitaciones, apro:dmadamente. de 2 seg, para COnl>ccr este periodo de oscila-cion con un error relativo del 0,5%? iCon que exnctitud debentomarse los valoros de n y de g?

    3126. Sa necesit;l mediI', con una precisi6n del 1%, 01 {ireado la superficie latoral de un cono truncado, los radios de cuyasbases tienen respectivamente 2 m y 1 m y 11 generatriz 5 m(aproximadamenlc). iCon que prectsi6n se deben mediI' los radiosy 18 generalriz y con euant.as eifrlls debe tomarse al numcro tt?

    3f27. Para daterminar 01 modulo de Young porIa flexion deuna varma de secei6n rectangular se omplea In !6rmula

    i J3PE=4'~'

    donde I as 13 longitud de la vari1la; b y d, la base y la alturade la secci6n transvorsal de la misma; S, Ia sag-ita de flaxi6n y p.la carga. iCon que 'precision deberan medirse Is longitud l y 11sagita s, pOta que el error de E no exceda del 5,5%, con la con-dici6n de que P se conoce COIl una precision hasta 01 0,1% y lasmagnitudes d y b con precisioll hasta el t%; l ~ 50 em y s;;:::: 2,5 em?

    2 I,terpol",;o de tenol""1. Formula de interpolacion de Nowton. Sean %0. .1'1' ...

    . , %"n los valof05 tnbulares del argum6oto, cuyas dj{erencias, h=b%1 (6:r1 =-%1+1-%'; 1_0, t, ... n-t), son coostantes (i/flUValo de la tabla) c Yo,Yj, ... , Vn. 105 eorrespondicDtes val ores de la {uo4;i6n 1/. En esle caso, eJvalor de la runci6n y,para un valor intcrmedio del nrgumento ;1:, lie da,aproxlmadamllute, por In fdrmu.la d, Inttlrpoloclofl d, Newton:

    _ + ." +Q(9-1).,V + +(1(q-t) ... (q-lI+t)."Vy Yo q ~O 21 0' nl 0,

  • Interpolac.i6n de juneiones 399

    rencing finitas do la funcion y. Paru Z=ZI(I=O, 1, ... , n), el poHnomio (1)toma 109 valOrcs corrcspondientes de 1a tabiD. YI (i -0, 1, ... , n). Comocasos pnrticularos de 13, f6rDluia de Newton se obtienen: para n_1, Ill.interpolact611 lfneal y para 11=2, Ill, lnterpolact6n cuadr6tica. Para facilitar01 uso do Ill. f6rmula de Newton, se recomleoda formar provillmente lastablas de las dlferencias f1nitns.

    Si y '"'" j (z) os un polinomio de n-simo grado,,o,nYj=eonst Y 6nHYI_O

    y, por consiguiontc, 18 formula (1) 05 oxncta.En al caso genoral, si f (x) tleno una dorivada continua jln+ll (x) en el

    sogmento (a, hI, que contleno los puutos xo, Xl' , Xn Y %. 01 error de Inarmuln (1) sora igual II

    '"Q '1(1]-1) ... ('1-i+1) t

    Rll(x)=Y-LJ il .6.Yo=,~,

    =- hnH I] ('1- 1) ... ('1-n) fl"+1) (S) (2)(.+1)1 '

    don de ~ eg un valor intcrmedio dotcrmillado entre %1 (i =0, 1, "" n) y x.En la practica 56 utiliza una furmula nproxirundll mas c6moda:

    j,\1'l+1yORn (x) ~ (n+1)! q (q-l)... (q- 11).

    Si so pucdo tamar cualquicr numero 11, este debora ologirse de talforma, que la diferencia 6.11+11/9 sea ~ 0 dcntro dEl los limites dEl Elxllctituddada. En otras palabras, las dHurencias 6"1yo deben ser lloastant.es en losordenes decimales que se dan.

    Ej emplo L Hallar el sen 26~15', valiendose de los'datos quo danItL~ tablas: sen 26"=0,43837, sen 27=0,45399 y son 2B"=0,4G947.

    S 0 lu c i 0 D. ForWlliUOS la Lftbla

    , I x, I Y; I 6.!li I A2Yi0 26' 0,43837 1562 -14, 27' 0,45399 '54'2 28~ 0.46G47

    2615' _26 1Aqui. h=60', q= liY -'4'

    Aplieando la r6rmulo (I) Y uliliundl'l la primera Hneo borizontlll tieIe tabla, lonomas

    1 ( 1 .)- --t4 I, 1),01562 + 21 .( -0,0001') =0,4.4229.

  • elilmi.lot; apTQzin-".dOt;

    Acotamos e1 error Rz. Aplicando Ia formula (2) 'Y toniendo en cuentaqlle Iyin) I....: 1, si y "'" sen.x, tenoOlOS:

    t(t- 1)(i-- Z)(n), 7 1 ,- "l\lor05 enteros de x comprcudidosen 01 intervalo 1

  • C4lCl.llO$ aprozimlUUJs

    3133. Formar el polinomio de interpolaci6n de Newton para lafuncion dada por 10. tabla

    , I 0 I 2 3 4y I I 4 15 40 85

    3134*. Formar el polinomlo de intorpolaclon de Newton paraI. funci6n dildo por 131 tabla

    ,1

    2 4 6 8 10

    y I 3 II 27 50 83Hallar y para x=5,5. lPara que :c sera y=2IJ?3135--" Una funei6n esta dada por in tabla

    , 1-21 I 1 2 1 4

    y 1251-81-151-23Formar el polinomio de inteq50lacion do Lagrango y hallar

    01 valor de y parn x = o.3136. Empiric.amento S6 han determinado las magnitudos de

    la contracd6n do un resorte (x mm) en depundoncia de lascargas (P kg) que actaan sobre iii:

    , I 5 110 1 15 I 20 I 25 I 30 I 35 I /,0P I 49 110511721253135214731619 ~.

    Hallar 131 carga quo produzca una contraccion do 14 mm del rc.sorLc.3137. Dadll la tabla do Ins magnitudes x e y

    ,1011131415

    y I 1 1-31 25 11291381calcular 01 valor do V para x=O,5 y x=2: a) va1icndose de 18illterpolaci6n lineal; b) por 131 formula de Lagrange.

  • C6lcilio d~ laz rafUf r~ll/~! de llu flllU:/OllU

    3. Cal"lo de las "ices ,eales de las ecUlclones1~. Doterminacl6n de lo! aproximflCioJICB iniciales

    del 0 s r a {c e s. La dotermlnacion aproximadfl de las rolces dl,\ una

    f (z)-O (I)

    lim c,.=t,.--

    so divide (On do! eh.pu: 1) 1... uparfJdfm de In ralCl'f, es declr. Ja dollJr.minncl6n de loa intervalo!!. 10 mas es\reeholl poslbll's. entro los que eslaoompl'cndida una y 5610 11I}."1 rait do la eeuacion (t); 2) el cdfculo de la.ralce. COli ol grado de euctltnd prefljado.

    Si Ja funcion f (z) Elsta dotorminada y as contiuua en 01 segmoutola. bl y j (a)' f (b) < 0, en oste segmC'uto ra, bl ,habra p(lr 10 meno! una ra[z aae 1a ecuaeion (1). EslO. raiz selll indudableffiCllte ullie-a, lli l' (J:) > ()o /'(z)

    1~_t"I"" l/(e,,)I,

    "doudeIl-= min 1 i' (z) I

    (U'.;: ....~b

    3~. Metodo de Nowtoll (do las tanIlento!l). Si {'(z)-F Oy '(z)+O para ll

  • "" Cdlculo:> aproximado'ximnciones suco~ivas xn (n = 0, 1, 2, ... ) de 1ll. r8iz S de la couacion J(x) ..O.56 c31culan por las formulas

    (3)

    Cuando somonotonn. y

    , , I (x" ,) ( 2 )XO:::ll4, .1:,,=-:1:,,-1-1'( ) n-t. , ....xn_1

    CUlnlllon csbs suposicion(!s, 1.1 .~ucesiol\ xn (11-=1,2, ... ) es

    !'ara Dcolar los Clrl'or(),~ 80 plwde utilizllr 18 formula

    Ix -'10;;: Ii(x'"l In ~""'" II

    donde ft= min If' (x) Ia"".",~b

    En In pructica rosulta mas comodo 01 empleo de fOrmulas mcnrnl com-plicadas

    x"~", x"~x"_,-"/(x"_,) ("~1, 2, ... ), (3')1

    -.Ionde a=r (a) , quo dan, aproximad:lIncnLe, 18 misma oxactitud que la'iormuill. (3).

    5i j(b) r (bO, en las f6rmulas (::1) y (3') deborn suponcl'$C zo=b.1,". MIi t 0 q0 de ito rae i 6 n. SUjlongamos que In cellaeion dada so

    ha rcducido a 13. forma

    x=,w. (4)dande Iq:' (xlJ ~ r < 1 (r os UM cODst

  • 405

    Ejcmplo 1. Rcduc.ir la ccuaci6n ~-ln%-4=O:l la fOnDa (4). si18 aproJ.:imaci6n inieial d(' Jo tab %0=2,5.

    801ul:i6n. Aqui j(z)=2.J:-l.nz-4; f'(z)=2-.!.-. Escribim05laecuaci6n equivalenle .l'=r-A.(2J:-In;c;-&> y en calidad de uno 00 losvalor1'-s eonvcDienLes do A tOlllamo~ 0,5, lltlmcro pr6ximo a la r:IIZ de Laecuadon

    I-A (2_-"-) I ~O.J: ~_2.~

    e3 dllcir, a 1~U "'" 0,6.

    r..a ccuaclon inicial

    obion,

    sc l'l.1doce a la forma

    r=z-O.fi..,t2z-ln %-4)

    .). t Iz=-'2" liZ.

    E j em Jl I 0 2. Calclilar con c.xacUtud basta 0,01 la taU ~ do la eeU3-cl6n pfE.'wdcllte. compN.ndida entro 2 y 3.

    C:ilcuJo de Ia raiz l)or el m~tollo de itllraci6n. Apro-vcchamos 01 resultado del l1jemplo 1, sup1mlcildo %0-2,5. EI calculo 10 rea-Hzamos .!cgun las formulas (5), con ura~ cirra do r(':;erva.

    izl-=2+2 '0 2,5

  • "" CdlculO$ opro:limad'lIIC:ilculo de la raiz POi 01 metoda de Newton. Aqul

    f(z)=2z-ln;Z:-Q, /,(.:)=2 _1.-, r(.:z:)=.!.,_

    En el sl'gmelllo 20; /(2) I (3) O. Por consiguicnle, IllS condidones del apartado 3, Ilara;1:0"",3. sc cumplen.

    Tamamos

    ( , J-'a.= 2-'3 =0,6.Haccmos los c:'itcu!os por la f6rmula (3'). COD dos oHms do reserva

    2'.-3-0,6 (23-ln 3-4)- 2,

  • Calculo de 111$ rafce.t rta!t: de los !U1lciOl1eS 4{)'

    b) Mc. t 0 dod I) it era c 10 D. Para Ill. rbsolucion del sistema de eeUll-.dones (6) se puedll emplear el mHodo de itl)raci6n, kansformando eSle sis-tema a Ill. forma equivalente

    y suponiendo, que

    {:z=F(:z, /I),y=etl(z, U)

    (7)

    JF~(:Zi Y)I+lcD~{:Z, Y)I,r

  • '08 elilcilio. aprozimodos

    E j c mpI 0 3. Rllducir el sistema de eeuaciones

    {:1:'+11'-1 =0.

    :f~_2'=O

    a I. Corma (7). 5i I. aproximaci6n inicital de la raiz os %0=0,8, 9'0=0,55.

    Sol U Co i 6 n. Aqui J (z, !/),""L2+~'l_t. If (.1:, y)""".;r3_ 1I ; f~ (.zo. ".) =t.f>,

    f~(rlll yo)-I, 1; ,,~(%o. 10'0)=1,92, lJl~(:l'OI 1f0)=-f.

    Esctlbimo~ ul sistemll, equivtl.lento :11 de partida,

    ell la ron"a

    z= z+a (z'+Y'-1)+fl (':'-11),!J-=u+'\' (z'+I1'-1)+6 (z3_ y).

    Elegimos en caUdad de ".Iorcs num&ricos convenientes de lX, 13. 'Y. 6. ta!olocl6n del sistelllll do ecuacioncs

    1

    1+J.6 (1+t,92 13"",0.

    1,1 -13-0.1,G )'+1,92 6=0,

    -1+1,1 y-6=-0,

    os dooir, sl.lp0D.C!rno.~ a ~-o,a, fJ ::::::.-0,3, 'V ~-O,5 Y 6 'l::l puDlo (;ro. Yo) 98 cumpllra la oondieiull (8).

    Par el proccdimicol..o de pruebas. separar las rakes 'rcales delas siguiclltcs ecU8ciones Y. valicndose do la regia de las parklsproporcionales. calcularlas con aprox-imaeion basta O,Ot.

    3138. z'-:z:+ 1 = O.3139. x'+O,s..-1.55~O.3ViO. .r -4x -1 = o.

    3143. 2==4x.

    3144. 19.=1. .%

    3142.2x-IIl%-4=0.

    Parliendo de lafl Ilproximacioncs iuiciales obleDidas gr,Hica-menle, calculal' por oj metodo de Newton, con exaetitud basta0,01. las rakes de las ecuat'-iollE'S:

    31!it. x3-2x-5=0.

  • lnugractdn nlJmlrica d, jUlICirme, 409

    Utilizando las aproximociones inicialcs encontradtls grafica-mente, ealcular POt el metodo de iteraeion, con exactitud basta0,01, las raices de las ecuaciones:

    3145. x3 - 5x +0, 1 = O.3146.4x=cosx.

    Hallar grHicamenlelas ap,roximacionos iniciales y calcular.con exactitud hast a 0,01, las raiccs teales de las 5iguitmLcs ecua-CiOJles y sistemas;

    31'8. x'-&r+l~O.3149. x3 -2x2 +3x-5=O.3150. xi+x2 _2x_2=O.

    3151. ;tlnx-14=O.

    3152. x'+&r-O,5~O.3153.4x-75en2:=0.

    3158. Calcular. can exactitud basta O,OOJ, 10 minillla rait.positiva de la ccuacioD tg x = x,

    3159. Calcular, COIl exactltud hasta 0,0001. la raiz do 1a ecua-cion xthx= 1.

    4. I,hgmio. num,ri" de lunci,nesto. :Formula lie 10$ tr3pecio~. I#ara caleular apJ'Q::dtlltldamell~e

    la inwgraI

    \I(%)d%

    (f (x) as una [unci6n continUR on [a, bJ) se divide 01 segmcnLo do inl;cgra

    cion la, bJ OIl n partM iguales y se eligo 01 intervalo dd clilcull) 11 =~ .n

    Supongamo!l que ;!;j-zo+ill(xo=u, zl1_b. i=O. t. 2... n)!;On las abscisa.s de los puntos de division y flue Yi -f(zl) !'Ion los corrospondh'nlo~ \'alort>.s do In funci6n llubint&gral /I "'" f (x). Elltoneos, por la f6rmul.a de 10' Ira Aprciol, tenllmos:

    ~ f(Z)dZ~"( !lO~VIl+VI+V2+"'+Y"_I) (I)

    con IlIl (lrror aLsoluto

    '"R,. "" a (b-n)A!2.donde 1If2=m.8x. If-(z)l pan lI

  • 410 ClllCllUI$ apro:dmadot

    Para conseJ[uir la exae~i\ud dada e, .1 calelliar 14 integral, lie determina-81 intl'rvalo del d.lculo h partiendo do la desigualdad

    h2..-- t2t.... (b lI)Af:' (2)

    -es deeir, " dehe scr dol orden Vi. El "alor ite h as! obtenido, se redondcapor de(oclo do forma, quo ,-,

    ~""'/1

    'sea un numcra quo nos de el numoro de divisiont',!l n. DoSJIues de deoor-minal" h Y II por 13. fOrmula (0, SO calculn I. jn~ral. lomando loIS valores.de I.. rUDci6n subint.eyral con Un.:! tl dO$ clfras declmalas de reserva..

    2. F6rmula de Simpson (Cormul. parab61Ica). 51 n e5un numero pa.r, 00 las nollciones 1 es vlilida 13 filrmula dt Sinlplon,

    ,/(:r:)dZ:o::, ~ 90+V,.)+4(II'I+II'3+",+V,._I)+

    (3)-COli un tina I flbsoluto

    h'11" '" 180 (b-a) M t , (")

    ..laude ,l!t=mh. IflV(z)l euando o

  • InUIracl6n munirlea d~ funcianu 411

    .mente. el trabajo A de Is fuena F, si se da la tablll de los vall)-..os de su m6dulo F:

    I 0,0 0,. I ',0 I I,. 2,0 12" 13,0 13.5 I '.0F I 1,50 I 0,75 I 0,50 I 0,75 I 1,50 2, 751 ~,50 16,751 to,OOEectuar los calculos poria formula de los lrapecios y por

    la de Simpson.I

    3161. Calcular, aproximadaroente, ~ (3r-4x)!lx. por 10. f6r-o

    mula de los trapecios, tomnndo n= 10. Calculor esta integral exactamente y haUnr los errore.s absoluto y relativo dol resultado.:Det8rmin3r cl limite superior 6. del error absoluto del calculoerect-undo para n= 10, nplicando la f6rmula del erTOr que sc daen el OOxto. ,

    3t62. Calcular ~ :~~ por la formulo de Simpson, con exacti

    tud hasta 10..... tomando n=tO. Dotcrminar 01 limit.e superior 6del errol' absolut.o, aplicando 18 fOrmula del error que se dn en cltexto.

    Calcular,. con exactitud hasl..D. 0.01. las siguien~es intagrales.definidas:

    I 2

    3163. I d. 3163. I "'.. di+"i . --Z z.I

    3164 \ d. 3169. ~~dx. 1+%~' 0 0I 2

    .3165. I d. 3170. ~ co::t dx.1+:.:5 '0, T

    .3166. ~ zlg%dx. 3171. I '0," 1+% dx.,2 I

    .3167. ~dx, 3172. ~ e-.>:I dx.

  • ~r dx.\ 1. + za',

    4'2 C4lculos aprozlmodt.ls

    3173.. Calcul3l', con c.xaetilud hasUl 0,01, Ja iotegral impropia

    empleando 10 sustit.uciOn x = T' Comprobar el caleulo

    apIic.'wdo la f6rmula de Simpson a III integral ~ t :zs' dondo /),sa elige de Lal forma, que

    +00(' ....!!=..- < .!.. 1O~2,) 1+~a 2 .,

    3174. La figura plana limilada pol' una semiondn de la sinu-soide y=senx y el eie OX, gira nlrededor de csle cia. Calcularpor la Cormula de Simpson, con cx:aclitud basta 0,01, el volumen.del cuerpo de revolution que so eng-cDdra.

    3175-. Calcular por la formula de Simpson, con exacLit.ud

    hasta 0,01, Ia longitud del ureo de Is elipse ~: + (O.6~l)2 = 1..situado en 01, primer cuadrante ooordonado.

    5. Integraelon IImiTl,e de em,I.,e' dif"encl,l" "dl,arlasto. Metodo do las GlIro:'l:imaeione.!l sueos{v8s (d~

    Pie a r ul. Supongamos flUO 5e nos da III. ccuacl61l direrenehtl do ttr orden/I' -f(;c, 1/) (t)

    con 18 eondiei6n inieial !I""'YO para z=;co.L, 50lucioll 11(':) de la cCU:lci6n (1) (IUC llatisrllC9 a 18 coodici6n inicial

    dada paella exprOSlrse, gcnerahncntc. de 111 forma.

    1I(;r) = lim V;(z), (2},-dondo las apro;rimaciollrr succsiVGS de III (~) se detcrmillan por las f6rmulas

    110(3:)-110'.,

    Y/ (r)=IIO+ \ J(z, YI-l (z d~'.(i=O, I, 2, ... ).

    ~i 91 segundo micmbro f (z, II) es una fuod6n dOUlrminada y continuaen oj entorno

    R{I:r-;col,4, 11l-lIol

  • (L es una const.antc),_ el procoso de lag aproximaeiones guccsivas (2) I'g seguro..que converged. ell el intervalo

  • 4{4 Clflculos apro:z/madOf

    dado (%0, XI .'Ie puede obtcner parUendo del princlpio de Runge:

    R_IY2m-Yrnl~ 15 '

    donde 1l=2m, Ytm e Yrn SOil los resultados do los c6Jcuios cfectuado.'l por-01 eS{JueIDlI. (3) con los intervalos h y 2/1..

    EI metodo de Runge}' Kutta so puede cmplear tamllion para resolver-sistemas de ccuilciones difcrcneialos

    v'=j(%,lJ, .=), :'=q:>(%,lJ,:) (/.~

    coco comlicioncs ic.icialcs dadas: y - 110' : -'=0 para %= zo.3~. M6 to dod e ~I i Inc. ~arll. Ill. J'Cso1Mi611 del problema (1) por ot

    metodu d~ MUM, particodo de lo!! dato!! iniei.ale!!, Y=Uo para %=%a, sehallan par cualquier proccdimiento los valoN1s ~ucosivos

    YI-Y(ZI)' Y2=Y(%V, 113=Y (%3)

    de la funci6n que so busca y (.z) (por oj., puede omplear.'lo el desarrollo de'la soluci6n II (%) Oil Ia .'Iorio (Cttp. IX, t7) 0 haJlar estos valores por el metodode las aproximaciones sucesivas, 0 emple;mdo el de Runge y Kutta, etc,).

    Las aproximacioncs VI e Yl para los silil'uicntos valoros de 11l.{i=4.5, ,.. , II),so hall an, sucosivamonto, por las f6rmulas

    - 4h ,v. = VI-'+3 (2/.-3- '1-1 +2/1_1)' )'= h- 00Vi =Vi-:+"3 (Ii +4/1-1 +11_:).

    donde

    1;-/(%;, Y.) Y Tt=f(xit if.).Para el control. calculamos la magnitud

    1 .... ze.1-2lr!VI-YII. . (6)

    Si III no sobrepasa de una: unidad del ultimo orden decimal iQ-m queso consorva 90 la respullsta para Y (x), en calidad do VI tamomo!! !I, y pasa-mos a calcular al siguieute "alor 11/+1' ropitiondo para 0110 al procesoindicado. Si, por 01 contrario, e. > to-tn, hay que volver a empezar It&nuevo, dismiouyendo el intervalo del calculo. La magnitud del intervaloinicial se dotormina, apro:drnadamollte, de 18 dosigualdad ht< to-Tn.

    Para 01 caso de la 50luci60 del sistema (4), -las formulas de Milno .'Ieescrillen por sepal'ado, parft. las fun~.iones y (:r) y' z (x). EJ orden del ealculosigue sielldo et mlsmo. .

    Ejamplo t, Dada la ccuaci6n difereueial Y'=V-x. eon lacondici6Dinicial y (O)_t,S, caleular, con exactitud ha:sta O,Ot, el v0.1or de la soluci6ndo esta\ecuacion para eJ valor del arg-umonto :t'=t,5. Hacer los calculoseombinando los metodo::> de Runge-KUlla y Milne.

    Sol u c i 6 n. Elcgimos el intervalo inicial del caleulo h, partiondo dela condici6n do quo h"

  • Imegroct611 numirica de ecuaetol/tl di/erent:iaU$ (J1'dinarttl3 41';'

    modio de los pUDloS %f (i=O, f, 2, 3, 4, 5, 6); los correspondicntcs valorcsde II Y de la derivll.dll 11' los dosignllDlos con lit e vj.

    Los primeros tros valores de II (sin contar el illicial), los caleuJamospor 01 metodo de Runge y Kutta (por la formula (3; los otros tre.'J valorO!,II" lit 0 lis, POl' el mHudo de Milne (por I. f6rmula (5.

    EI valor Yo serli. evidcutemente, la respuesta al problema.EI dlcull\ 10 efcctuamos con d(),5 clfras de rcoSer"a ror un esquema

    delerlYlinal1o, que comprondc tlos tablllS, i Y 2. Al Hna de la tabla 2obtoncll1os Ia re8puol;la.

    Cl,lculo del v:llor de y!. Aqul

    1(:1:, Y)=-:l:+lI, :1:0-0, Vo=-l,5, h_O,25.Tonomos,

    6Vo = ~ (k~O)+2k~Q)+2k~O)+kiO)=

    == ~ (O,3750+20,3906+2.0,3926+0"H06)= 0,3920:

    k:OJ-f(zo' Yo) h=(-O+ t,SOOO) 0,25=0,3750; !ki,'I=1 (zo+ ~, 110+ kr) h=(-O,125+1,5000+0,t87S) 0,25=0,3906;

    ( h "")k~O).",f z(J +"2' 110+-2- h=( -0,125+ 1,5000+0,1053) 0,25=0,3926;k~I)= 1(:ro+h, lIo+~O) h=( -0,25+1.5000+0,3926)0,25=-0,4,106;

    1I1-1I0+6yo= 1,5000+0,3920_1,8920 (las primoras. tres eilra" de esto ntimer/);.pro;

  • C4lculol opro::lmodo.

    Tabla 1. Ciilculo de y" Y: e 113 por el metoda de Runge y KullaJ(::, V)= -::+11; h=O,25

    ValOe vi iii!: kef)t(::i+; ,

    k~i)tie i ", y, -/(::1, Vt> k(l) ), 111+;-

    0 0 j ,5000 1,~ 0,3750 1.,5625 0,39061 0,25 1. ,89'iO 1,1;420 0,4105 1.,7U3 0,43002 0,50 2.3243 1,8243 0,4561 1,9273 0,48183 0.75 2,_ 2,0584 0,51.46 2, t007 0.5477

    Valort(Xi + ~ ,

    k~j)f(%I+h,

    ki'llie i kill ) JlI+k~I)) !J.Yi y;+!111++

    0 1. ,5703 0.3126 1.,6426 0,4106 0,3920 1,8920, 1,7323 0,1,331 1,825t 0,4562 0,4323 2,3243, t ,9402 0,11850 l,0593 O,5t1J8 u,4841 2,808-'13 2,2013 0,5518 0!,3602 0.5900 0,5506 3,35HO

    Obtenomos !f4=v.=3,3590 (las primeras tres ci[ras de esta apl'Odmacionest'n ~arantizadag.).

    De' forma anliLoga e[ectuamos 01 caleulo de los .alorcs de lis 0 lIa. Losresultlldoo; do Cilte dlculo liB IJlcluyen en 13 tabla 2.

    Da OSl{I. forma, finalmente, tcMmos:J/{l,5)"",4,i4.

    1,". M 8 tad 0 de A dam s. Para 1:1. rcsoluci6n dol pr6blcma (1) porcl ffi9tOno do Adams. partiendo de los datos iniciates If (ZO)=YII hal],llmos,por eunilluier procodimionto, los sigulentes tres valorcs do Ja luocion quose busca !I (z):

    VI ""'II (x.)_y (;1"0+11), 113- v (z2) -II (zo+2h). y,_11 (z,) - ~ (zo+3h)

    (eslos tres vlliorcs SO pucden olltcll{'r, por ej., par medio del desarrollo dey(z) en serie do potoJlcias (9ilp. IX, 16). 0 halliindolos por 01 metono deIllS llproximaciones sucesivlls (puuto 1~), 0 e/llplcando 01 tle Rnoge y Kutta(punto 2') etc.).

    Vali~lIdo~' de los IlIlmoros zo, %1' z2' zJ e Yo, !/I' Y2, Ya, calculamos Iusml1gllitude~ 'la, gj, 12' q" nondo

    'lo=hy;)-h!(:xo, !/(I), gt-hlli-h!(Xt, vil,'l2=hYI-h!(zz, Y2l, q,=hy;=h!(xs, u,l

    Dt'spues, formamos Ia tabla diagonai de las difl'renclas iinitas de la magnitud q.

  • Integraci6n numJrica de ecuadones dt/elene/ales ordinarias 417

    % V aV- y'= q- aq- 6 2q= 6 3q_=Y"+1- -1(.1', y) =y'h =ql'l+t-q" =6q"+I- = 6 2q""'I-

    -v" -6111'1 -6~qll

    %0 Vo I aVo J (xo, Vol I qo aqo I 6 2qo 6 3qo%, I v, I 'v, l' (XI' Yl) I q, I 'q, .12q1 A3q1%, I y, I 'Y, 1/ (%" v,) I fJ2 I 'q, I /illqz I ll.3q2,%, I v, I !iYa 11 (xa, Ya) I " I 'q, I 6.

    2q3 I~I y, I 'Y, If(%,,,)1 q, I 'q, I I

    r, I '0 I 6.Ys I/(Xo, v,) I q, I I I'0 Yo I I I I I I

    EI metodo de Adam' consisto en wntinuar la tabla diagonal d{> diferen:eias \'alil~I1doso de la formula de AdamI

    1 5 ~ 3 aL\YnlDfJn+T",qn_l+ 1269,,-2.+'861,,-3' (7)

    ASi, utilizando los OIimeros qs, 6Q::. 6 2qj, 6 3qo, situados diagonalmentc.en la t'lbta de diferencio.s, \'ll.lIendonos de In fQrrnula (7) y poniondo en

    ella It""",::!, caiculamos 6Y3-Qa+ ~ 6(/2+;~A!ql+~o,3qO' Hal,lado e1 valor6,Y3' calculamos Y~ =Y3+L\Y3' Conoeiondo z, 0 Ill' calculamos q~ = hf (z" y,),incluim08 y,. tJ.Y3 Y q, on la tabla de diferencias y III ,completamos despu6scon hiS difcrcneias Unitas tJ.q3' 6 212' 6,2ql situada3, Junto con q" on unanueva diaf\oflal para lela a In anterior.

    Dcspues. ompleando los llumeros de esta nueva diagonal, valiondonosde la [6rmula (8) y ponicndo on ella n=4, calculamos tl.V" Y5 Y 95 Y obLa-nemos la siguiente dia~onal: 1", 6fJ'. 6.2'73' A3q2. Con ayurla de esta diagonal,calculamos al valor de Ye de la solueion y (x) que so busca y as! sucosi'\'amente.

    Para oaieulal Ay, Ia f6rmula de Adams (7) parte do la suposici6n dequo las tercera!> diferencias [initas 6,3q son eonstantes. En correspondeneincon esto, ia magnitud h del interval0 inicial dol cilculo se detormina dela desiguaidad h4. < to-m (si so desca obtcner 01 valor de y (x) con exactitudhasta 10-m).

    Ell este sentido. la f6rmula de Adams (7) as equivalontc a las fOrmulnsdo Milnll (5) y de Runge y Kutta (3).

    La acotaei6n de los erroros, para 01 m~todo de Adams, es compilcade.y pr,cticamente inutil, ya que, en general, ploporciona resultados exagora-dos. Ell 10. practiea so sigue la marcha de las tercaras dlferenclales finitas,eligiendo oj intenalo h tan pequei'io, que las diferencias colilldantes 6,391y 6:'lqi-t1 50 diforencien entre si, como m6ximo, en una 0 do! unidados delorden dado (sin con\Qr las elfras do rosof\'4).

    Para elevar la exactitud del rosultndo, 1a 16rmula de Adams puodecompletarse con terminos que conlengan las diferencia! cuarta.'l y mo.yoms

    27_1016

  • -~,E

    0 -I

    o 0'0:: .;: ~ . g f ~~ g

    1-=--1--

    1--1--

    ~~.-~

    ~~ N

    g ,..-N N ~

    ~ ~ :l ~% ~ ~ ~~ ~"~ ~ -: ..

    o

    E-I,'~~

    ~

    0

    0if-n

    ~

    '".. ~.;,. ~

    ~

    o,

  • Integraci6n nu.merica de tcuaciont:r difeuncialcs ordinaria, 4i9

    de In magnitud q. Al bacer esto, creco 01 numoro de los prhneros valorcsdo la (ullci611 Y (lUll so necc.~it:ll\ para eomentar a llcnnr la tabla. Lasformulas de Adams: para obtenor exactitude::! olovadas no las vamos a expo-Ilor aqu\'

    E j e m pi 0 2. Calcular. por el metodo rombinado de Ruugo y Kuttay Adams, para %-1,5 y con una exactltud hasta 0,01, el valor de la ~Ollld6n do In ecul\ci"n diforllncial y' = v-X, con 1a condicion inletal de quey (0)=i,5 (vease 01 ej. f).

    Solucion. Empleamoll los "aloras do 'I" v~. Ys, que ohtllvlffiOO ojresolver 01 problema L Su efl1culo so da on la tablii 1.

    Los valores siKuicntes Je y~, !I~, V6, los calculamos por oj metodo deAdams (veallso las tablas 3 y q).

    Tabla 3. Tabla principal para el ciilculo de V., Y5 ('-yl'>por 01 metoda de Adams

    l(x, y)=-x+y; h=0,25

    (Los datos inicialcs se dan en cllfsiva)

    -~ Jli= q,=" x, U, !iYi = f (Xi, YI) =Yth ""

    j.2qj ."',-,.0 I 1,6000 1111111111111 1,6000 0,37b0 0,0355 0,0101I Q,0028I 1,25 11,8920 11111 1111 1,6120 0,4105 0,0456 1,0129 0,00372 0,"1 2,3243 I1I11 1II1111 1,82J.9 0,4561 0,0585 \ 0,0100 IV,004;3 0,"1 2,808J. I 0,550q I 2,0584 10,5t411 I 0,0751 10,0213 1"1,,001 3,3588 I O,1l35G I 2,3588 I 0,5807 I 0, (Y,J64 I,

    1'1',251 3,9944 I 0,7450 I 2,7444 I 0,6861 I IIii \1,511', 7394 11 I I I I

    Respuosta: 10.74EI vllior yg=4,74 serii la respuestll d('l problema.En los casos de resoluci6n de los sistemas: (4), Ia f6rmula dc Adams (7)

    Y (II esquema de c6lculo que 158 muestra en h. ta1lla 3, so utiliuaD sopBra-dam8nte para eada una de las CuncionC$ Y (x) Y z (x).Hallar tres aproximacioncs sucesivas de las soluciones de las ecua-ciooes diferenciales y de los sistemas siguientes:

    3176, y'-z'+y'; y(O)-O,3177, y'~z+y+" ,'=y-,; y(O)~l, ,(0)~-2,3178, y' - -v; y (0) _ 0, y' (0)_1.

    2"

  • C4lculo, oprOZlmiJM'

    Toblo 4. Tabla aus:i1iar para. el ealeulo por el metoda de Mawst 5 3

    6Yi =ql+7 t.\QH+12Alql-2+T 0.:lql_3

    Valor I I 5 de i " 7.1.QI-1 I12 Aiqi_2 T A3ql-3 AUl3 I 0,5146 I 0,0293 I 0,0054 I 0,0011 I 0.5504. I 0,5897 I 0,0376 I 0,0069 I O,lXU4 I 0,63565 I 0,6861 I 0,0482 I 0,0089 0,0018 I O,7.'J50

    Calcular aproximadament6, por cl metodo de Runge y Kutta.suponiendo que el intervaloesh=O,2, las soluciones de las siguien-t.es ecuaciones diferenciales y sistemas, para los intt>rvalos quese indican:

    3179'_y_.; y(0)~1,5 (0

  • Clilcl

  • 422

    /io I VI I" I " I " I " y, "1,,1,, VIO I Vu38 I 38 I " I 4 I 14 I 4 -18 -231-27 I-24 8 I 82

    SolUC16n. Formamos lu tablas::l8 38 12 '"

    32 8 -2414

    -274

    -23-18

    4 284t

    -18

    G

    27

    -.,27

    al33"'''1" -21 ~-37

    -13

    41

    42=-10,3;b3 =O,8.

    -2028

    -20

    7 -20

    33

    204

    20-13

    38 70

    70

    -10

    :138

    -18"I'1 2051t ,56 89

    Por 18 formula (t) tenemos:

    00=0.7; 01=24,9:&1=13,9; &::=-8,4;

    Por eonslguhmte.I (x) ~4.8+(24.9 (,(Is.z+ t3.9$6n z)+(tO,3co.s b:-8,4 seo 2..1:)+

    . +(3,8cos3z+0.8sen~).

    Valiendose del esquema do 12 ordenadas, hallar los polinomiosde Fourier para las funciones siguientes, dndas en 61 segmentorO, 21(1 por )3S tabJas de sus valores, correspondientes a los valores equidisLantcs del a.rgumento (Yo = Yn:);

    3190. Yo= -7200 y.=4300 Ya=7400 !/,=7600y,=300 y,=O 111=-2250 1110=4500Y2=700 y~= -5200 Ys=3850 YII=250

    3191. 90=0 Ys=9,72 y.= 7.42 y,=5,60Yt=6,68 y,=8,97 y~=6.81 916=4,88y:=9,68 y~=8,18 Y8=6,22 Yu=3,67

    3192. y,=2,714 1,,=1,273 y,=0,370 y,=-0,357YI =3,042 y,=O.788 Y7 =0,540 YtO = -0,437y,=2,134 y,_0,495 y,=0,191 y" = 0,767

    3193. Calcular uuos cuantos primeros eooficiollles de Fourier,por el esquema de 12 ordenadas, para las siguientes funciones:

    a) t (:z)= 2~': (xa_3nxl+2.n~x) (O

  • SOlUCIONES

    C,p;hIO I

    1. Soluci6n. Como lI_(a-b>+b. tcndremos que 11I1141-161 Y la-bl-=lb-lll>\bl-loSl. Porcollstguieute.II1-bl>1\4 -rb\!. Ademns. IG-bl=la+

  • 424 Solucirme$

    b) z=VU+1Y z=-VV+1(-1

    Esta gr;iflca re'p~enta de por 9'1 Ja biporbola u""'!!!.. despllllt3.de a 10larp:o del eje OX on la rnagnitud Xo Y a 10 largo del ejo OY en la magni-tUG Yo. 62. t n d i c a c i ou. Separando la parte CUlera. tcndrcmos Y"'"

    2 "/( ') .="3-11 x+"3 (coOlparese con 01 N! 61). 65. ludlcacion.Yease el apend,eo VI, dibujo 4. 67. Ind icacion. Vease 01 ap6odiro VI.dibujo 5. 71. Indicllcion. Vease 0) aphldice Vf. dibujo 6.72. Indi-caci6n. Ve.a90 oillpendiee VI. dihujo 7.73. Indicacioo. Vt'iase elapendice VI. dlbujo 8. 75. I 0 d i c a c ion. ease ol apendice VI, dibujo i\!.78. lodie.cioll. Veaso el apfndjco VI. dibujo 23. 60. Indicaol6n.V;!ase 01 Il~ndice VI, dibujo 9. 8t. I D d I Cll C i. 0 n. Wasc el ap60dictl VI.dibujo!:t. S2. Indicaci6n. W.ase elll.p~ndice VI. dibujo 10. 83. Indi-cacian. Vease el apondlce VI, dibu}o 10.84. Indlcacion. V;!ase elapendico VI, dlbujott. 85. Indicaciou. V~a..se 01 apeudiee VI, dibujo H.87. Indlcaei6n. El periodo de launci6nT=2n/n. 89. Indicacion.La grafica quo so busca es /8 sinusoido v-5 sen 2z can amplitud 5 y perio-do n, despJuada hacia Ia derecha a 10 largo del eje OX en III magnitud

    i ~. 90. Ind iCll.ci6n. Poniendo a-Acoslfl y b"",-Aseurp, tendromos

    V =.4 seu (z_lp), doode A = V a'+b: Y lJl.. aretg ( - ~ ) . En nuestro casu.

    A=iO, lp~O,927. 92. Indica-cion. cos2z"",~ (l+co.52%). 93. Indi-

    cll.cion. l..a grarica quO se busca es la sUOIa do las grMicas 1I1-:T; 0/12..==50nz.94, Indicacion. La griificaqul! 58 busc.a as e1 producto de lasgriHcas /lJ=Z e V2= sen z. 99. Indicacion. La lunci6n es par. Paraz>O determinamos los puntos para Jo.s cuales 1} /1_0; 2) y=1 Y 8} 1/--= -1. CUllndo x ----+ +00 1I~ I. tOl. In die a c ion. Vaase 01 aplhldlce VI,dibujo 14. 102. f n d i cae ion. VenD 01 apendico VI, dlbujo is.103. lodicacion. Veaso el apondi.co VI, dibujo17. lQ4, [ndicaci6n.\"t!aso 01 apt!ndico VI, dibujo 17. :105. I n die a c i 6 n. Vease el apendice VI,dibujo 18. 107. r n d i cae 10 n. Veaso 01 apendice VI, dibujo 18. U8. In d i-(.8 c ion. V6ase 01 apeodico VI, di.bujo 12. tJ9. In die a ci 0 o. Wuo 01apendice VI, dibuJo 12. 120. In die a c i 6 n. Vease el apondice VI, dibujo 13.

  • Solucil)l1tt

    121. lodicaci6n. Vea,sc e\ apfndieeVI, dibujo. 13. 182. Indicaci6n.6l1s0 cl ape'ndice VI, dibujo 30. 133. :1 D d"1 cae ion. Vease e1 apendice VI,dibujo 32. 134. In die a c i 6 n. Vease 01 apfindice VI, dibujo 31. 138. 10dicaci6n. Vease el apendice VI., dibujo 33.139. Indicacion. VeaseeI apendioo VI. dibujo 28. 1'4.0. ] n d i cae i 6 tl. Vease el ap{>ndicc VI,dibujo 25. t4t. In d i c a c i 6 n. Formamos 18 tabla de los yslorcs

    0 1 I 2 3 I -1 -2 1-31z 0 1 I 8 27 1 -1 _8 1-27y 0 I I 4 9 I 1 , 1 9

    Construyendo los puntes (x, y) obtonnJ08, rllslllta III curva buscadll (vease01 apendiw Vl, dibujo 7). (EI par&metro t, lt1 hacer esto, no so mares geo-m~_tricamenl.e). 1(i2. Vease el apendico Vl, dlbuJo 19. 143. Vease 01 splin-dice VI, dibujo 27. 144. Vel;lSo 01 apenllice VI, dibujo 29. 145. Vliase e1apendice VI. dibujo 22. 150. Veaso 01 splindice VI, dibujo 28. t51. In d icae i 6 D. FI~lviendo Is eCUilci6n con respecto a II, obtenemo9 1)-=1/25 .1:t . Despues de 10 cual os fAcil llonstruir Ia curvo. quo se buscspor PU"l.tos. 153. V~aso cl sp6ndicc.VI, dibujo 21. 156. Vease el llp6n~ice.vl,dibujo 27. Basta cOllstruir los (x, 11) eorrespondiontes a las abscisas

    z=O, ;, u. t57. Indicacion. Resolviondo Is


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