Demo matemáticas básicas y esenciales i

Comprender las Matemáticas no es una tarea imposible, ni siquiera difícil.

Karl Friedrich Gauss Verdadero matemático, desde temprana edad sus trabajos cambiaron el pensamiento humano de manera definitiva.

César Augusto Pinzón Correa

CONTENIDO

VERSION DE DEMOSTRACIÓN

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Y ESENCIALES

OBJETIVOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS...............................................................................................4

¿Cómo Utilizar este libro?.......................................................................................................................5

Capítulo I: FUNCIONES..................................................................¡Error! Marcador no definido.

1. Definición...................................................................................¡Error! Marcador no definido.

2. Características importantes de una función.................¡Error! Marcador no definido.

2.1 Dominio de una función....................................................¡Error! Marcador no definido.

a) Presencia de denominador..................................................¡Error! Marcador no definido.

b) Presencia de Raíz Par............................................................¡Error! Marcador no definido.

c) Presencia de Logaritmo........................................................¡Error! Marcador no definido.

d) Casos Mixtos.............................................................................¡Error! Marcador no definido.

Ejercicios del Capítulo.......................................................................¡Error! Marcador no definido.

Capítulo II: MANIPULACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES..................¡Error! Marcador no definido.

1. Constantes sumando o restando en una RECTA.............¡Error! Marcador no definido.

1.1 Desplazamiento Vertical......................................................¡Error! Marcador no definido.

1.2 Desplazamiento Horizontal.................................................¡Error! Marcador no definido.

1.3 ¿Gráficamente qué es la pendiente (m) de una recta?............¡Error! Marcador no definido.

2. Sistemas lineales........................................................................¡Error! Marcador no definido.

Resolver un sistema lineal en Microsoft Excel..........................................................15

3. Las Sencillas Funciones Trigonométricas...........................¡Error! Marcador no definido.

3.1 Generalidades......................................................................¡Error! Marcador no definido.

3.2 Funciones trigonométricas inversas.............................¡Error! Marcador no definido.

3.3 Funciones cosenoidales....................................................¡Error! Marcador no definido.

3.4 Funciones senoidales........................................................¡Error! Marcador no definido.

Ejercicios................................................................................................¡Error! Marcador no definido.

Problemas..............................................................................................¡Error! Marcador no definido.

3.5 Teorema del seno y del coseno.....................................¡Error! Marcador no definido.

4. Amplitud de las funciones primitivas...................................¡Error! Marcador no definido.


5. Compresión y descompresión de una señal trigonométrica...........¡Error! Marcador no definido.

6. Desplazamiento horizontal de una señal primitiva trigonométrica...............¡Error! Marcador no definido.

7. Polinomios superiores...............................................................¡Error! Marcador no definido.

7.1 Cuadráticas...........................................................................¡Error! Marcador no definido.

Ejercicios............................................................................................¡Error! Marcador no definido.

7.2 Otros polinomios.................................................................¡Error! Marcador no definido.

Errores de la economía.................................................................¡Error! Marcador no definido.

Formas polinómicas.......................................................................¡Error! Marcador no definido.


CAPÍTULO III: Cónicas, Logaritmos y Exponenciales.....................¡Error! Marcador no definido.

1. Secciones cónicas.......................................................................¡Error! Marcador no definido.

1.1 Parábola.....................................................................................¡Error! Marcador no definido.

1.2 Círculo y Elipse........................................................................¡Error! Marcador no definido.



1.3 Hipérbola................................................................................¡Error! Marcador no definido.

1.4 Logaritmos............................................................................¡Error! Marcador no definido.

1.5 Exponenciales......................................................................¡Error! Marcador no definido.

Reflexiones Finales....................................................................................¡Error! Marcador no definido.


OBJETIVOS PEDAGÓGICOS Y DIDÁCTICOS

i. Servir como material de apoyo educativo a estudiantes y profesores de los últimos 4 años de estudio antes de ingresar a la universidad durante el periodo 2012-2025. Para luego, de manera progresiva constituir un apoyo bibliográfico a estudiantes de 5 grado de educación básica primaria hasta el segundo año de educación secundaria.

ii. Llevar de manera didáctica conocimientos de álgebra y trigonometría a los estudiantes, a través de un desarrollo concatenado de ejemplos resueltos paso a paso, con ilustraciones gráficas e indicaciones de los puntos más importantes de cada ecuación, según el fenómeno de estudio que se presenta: económico, de ingeniería o conceptual.

iii. Acercar la vida cotidiana y práctica a los estudiantes a través de planteamientos matemáticos.

iv. Convocar a los estudiantes a resolver problemas, ejercicios y cuestiones conceptuales a través de explicaciones generales que de manera algorítmica inducen a la consecución de la resolución de manera constructiva.

v. Desarrollar un sentido lógico en los estudiantes para plantear y resolver cuestiones teórico-prácticas, mediante la presentación de numerosos ejemplos que de manera didáctica y algorítmica muestran soluciones sencillas.

vi. Presentar los conceptos más destacados y determinantes de las matemáticas a través del planteamiento de ejercicios y problemas que posteriormente llevan a la conformación de ideas generales (teoremas), de manera inductiva.

vii. Facilitar a los profesores la transmisión de conceptos matemáticos, dado que con este material es posible plantear de manera sencilla talleres basados en el uso de herramientas como Microsoft Excel, Graficadores Virtuales y Herramientas Online, tan cercanas a esta nueva generación de ciudadanos y estudiantes.

viii. Gracias al uso permanente y pedagógico de gráficas, se va induciendo al estudiante a ser receptivo a este tipo de análisis, que es tan útil en las áreas de química, física, ingeniería, economía y estadística.

ix. Mejorar las capacidades de los estudiantes para resolver cuestiones algebraicas o trigonométricas, gracias al uso de elementos analíticos que son presentados en sus formas más sencillas, dentro de un formato algorítmico que facilita su comprensión.

x. Mejorar de manera general los estándares de calidad de las instituciones que utilicen este material para complementar sus programas de enseñanza matemática.

xi. Recuperar el interés de los estudiantes jóvenes por las ciencias básicas, mediante la demostración de la sencillez de los procesos matemáticos.

xii. Incrementar en el largo plazo la productividad de los profesionales del futuro, basados en el fortalecimiento del conocimiento.


xiii. Generar en el largo plazo más asociaciones de ingeniería e investigación científica, que son tan determinantes para el desarrollo general de las naciones y de las regiones.

¿Cómo Utilizar este libro?

Lea el contenido de cada capítulo.

Observe la forma metodológica como se resuelven los problemas y ejercicios.

Resuelva los ejercicios y problemas planteados.

A partir de las generalidades metodológicas que encuentre, resuelva las preguntas conceptuales.

Desarrolle los ejercicios teórico-prácticos y haga las consultas e investigaciones que se solicitan.

Siga los pasos indicados para resolver problemas y ejercicios con herramientas de cálculo virtual.

Tenga en cuenta que a usted se le proporcionan ideas particulares, que fácilmente lo pueden llevar a conceptos generales, es decir, en cada sección de cada capítulo tenga una postura conceptual interpretativa que le permita detectar puntos comunes en el planteamiento de resoluciones.

Al entender este el contenido de este libro, puede contrastarlo revisando otras propuestas temáticas, resolviendo los ejercicios planteados.

Sea constante y retome esta guía básica como modelo de estudio, para convertirse eventualmente en un experto en cuestiones matemáticas básicas, que son fundamentales para entender otros conceptos más complejos.

Tenga en cuenta que la matemática conlleva profundas lecturas analíticas, cuyo entendimiento se comprueba con la resolución de ejercicios y problemas.

Este documento tiene un diseño pedagógico que implica el entendimiento de los temas de manera consecutiva. Es decir, se aconseja al aprendiz entender el primer tema para comenzar el estudio del segundo, y así sucesivamente.

No se sorprenda con la sencillez, pues la matemática es una ciencia básica que en muchos casos no es tan compleja si se expone de manera adecuada, por medio de construcciones pedagógicas apropiadas.


ANÁLISIS DE DOMINIO

Ejemplo 2

f (r )=10−7 r3+r

r2+5 r+6

Notamos que hay un polinomio como numerador. Entonces, de manera muy general, podremos asumir que en esa posición, todo polinomio con exponentes enteros positivos, no afecta con discontinuidad el comportamiento de la función, es decir, no afecta el dominio de la función.

Entonces nos enfocamos en el denominador de la función, igualándolo a Cero, así:

r2+5 r+6 = 0

(r+ j ) (r+k )=0

Es posible separar así el polinomio, porque es de segundo orden (máximo exponente), y ello nos indica que podría tener dos números (j y k) que hagan cero toda la expresión. Entonces hay que hallar esos números, sí existen:

¿Hay dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5?

Buscamos los números que multiplicados dan 6: (6x1), (3x2), sin incluir (1x6) ó (2x3), porque la multiplicación es conmutativa, y para estos casos, estas parejas se asumen como iguales.

Para saber qué pareja de números nos sirve, sumamos los números y probamos:

6+1 = 7; 3+2 = 5

Entonces escogemos la pareja 3 y 2, porque ellos no solamente multiplican 6 entre sí, sino que además suman 5, entonces:

(r+3 ) (r+2 )=0

Una multiplicación da cero, sí alguno o los dos multiplicandos son cero, entonces:


Polinomio de la formax2+bx+c

r +3 = 0

r = -3

r + 2 = 0

r = -2

Esto quiere decir que si r toma el valor de -2 o -3, la función va a ser incierta.

Notamos que en la gráfica, hay continuidad (línea azul) En todas partes, pero en -2 y -3, hay rompimientos, dado que al acercarse a -3 por la izquierda, la función (línea azul) va hacia infinito positivo, pero a la derecha de 3, la función viene desde abajo (infinito negativo). Cuando nos acercamos a -2 por la izquierda, la función tiende a bajar al infinito negativo, y al la derecha de -2, la función viene bajando desde infinito positivo.

El dominio de f(r) es: {r ϵ R; r ≠ -3 y r ≠ -5}, que es lo mismo que:

r ϵ (-∞,-3)U(-3,-2)U(-2,∞) [R: números reales]

Nota: Obsérvese que el numerador no se analizó.

Ejemplo 3


Polinomio de la formaax2+bx+c

f ( x )= 18 x−2 x2−53 x2−25 x+28

Una vez más, no hay necesidad de analizar el numerador, porque es un polinomio con exponentes enteros positivos. Y por tanto no se provoca discontinuidad. Entonces pasamos al análisis del denominador.

3 x2−25 x+28=0

Para poder resolver este tipo de ecuación con un polinomio cuadrático (exponente máximo, 2) donde a es diferente de 1, en este caso 3, se debe proceder así:

3 x2−25 x+84=0

De esta manera, se puede aplicar la técnica anterior, así:

(3x-j)(3x-k) = 0

Para hallar j y k, se buscan dos números que sumados den -25 y multiplicados 84. El signo en el primer paréntesis es el que acompaña a x (segundo término de la ecuación), es decir menos (-), y en el segundo paréntesis debe multiplicarse este signo por el que acompaña el término independiente (no tiene x), como es +, entonces (–)▪(+) = –.

Para hallar los números descomponemos 84, así:

Ordenamos grupos de números, hasta encontrar un par que sumados den 25. Esto se logra haciendo varios ensayos, agrupando de a dos o


tres números, hasta que logremos el par de números que cumplan la condición de la suma.

(3x-21)(3x-4) = 0

Los números se ubican en los paréntesis en orden descendente (mayor a la izquierda, menor a la derecha). Pero como multiplicamos por 3 en un paso anterior, ahora hay que dividir por 3.

Como en el paréntesis de la izquierda se puede hallar factor común, entonces:

Los dos números 3 se pueden cancelar entre sí, y finalmente se tiene:

(x-7)(3x-4) = 0

x – 7 = 0 → x = 7; 3x – 4 = 0 → 3x = 4 → x = 4/3

Esto quiere decir que tanto 4/3 como 7 no pertenecen al dominio de la función.


Nuevamente, los números que hacen cero el denominador, ‘rompen’ la función y la hacen discontinua. Siendo el dominio:

{x ϵ R; r ≠ 4/3 y r ≠ 7}, que es lo mismo que:

r ϵ (-∞,4/3)U(4/3,7)U(7,∞) [R: números reales]

Nota: Obsérvese que el denominador no se analizó.

Interpretación y Manipulación de Gráficas

Si se tiene f(x) + k y k es positiva (k>0), entonces habrá un corrimiento a izquierda, pero si k es negativa (k<0), entonces el desplazamiento será a la derecha.


En la figura se muestra cómo la función y0 = 3x, es desplazada hacia arriba como ya habíamos visto al sumarle una constante.

El punto que está en el origen (0,0), es movido, porque ahora, cuando x = 0 y = 1, y cuando y = 0, ahora x = -1/3. y1 = 3x + 1


En el caso de esta figura, ahora se pasó de y0 = 2x a y1 = 2x -1. Con el punto cero, cero (0,0) se ejemplifican las dos traslaciones: el corte en y ya no es en 0 sino en -1 (b) y el corte en x, tampoco es en cero sino que se movió a ½ (-b/m: -(-1)/2 = 1/2).

Regla General:

Para toda recta1 (y = mx + b), se tiene

Corte eje y bCorte eje x -b/m

Solamente las rectas en donde b = 0, pasan por el origen, las demás no.

Sistemas Lineales

Ejemplo 1.

La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace la diferencia de las edades actuales de los hijos, la edad del padre era triple que la suma de las edades de los hijos. Dentro de la

1 Nótese que el exponente de x es uno. Esa es la característica de la recta en coordenadas cartesianas o también conocidas como coordenadas rectangulares.


suma de las edades actuales de los hijos en años, la suma de edades de los tres será 150 años. ¿Qué edades tienen cada uno?

x Hijo menor

y Hijo mayorz Edad

padre

Planteamos esto, para saber cómo vamos a ‘armar’ las ecuaciones, para resolver este sistema lineal. Generalmente, los problemas plantean una ecuación entre sigo y signo de puntuación. En este caso, he marcado con colores cómo debe asumirse el problema para crear el sistema.

1z = 2(x + y)1z = 2x – 2y

Edad padre = 2 suma edades hijos

z - (y - x) = 3(x-(y-x) + y-( y-x))

z –y + x = 3(3x –y)

Triple edad padre menos años indicados = suma edades hijos. A todas las edades actuales se les resta la diferencia de edades hijo mayor – hijo menor.

x + (x + y) + y + (x + y) + z + (x + y) = 150

4x + 4y + z = 150

Suma edades de los tres más años indicados = 150. Todas las edades están aumentadas la suma de los años de los hijos.

Una vez planteadas las ecuaciones, procedemos a organizarlas, dejando las variables a un lado del signo de igualdad y las constantes al otro lado.

-2x – 2y +1z = 0-8x +2y +1z = 0

4x + 4y +1z = 150

Observamos bien los coeficientes de cada variable con sus signos, porque vamos a resolver los sistemas por el método de Sarrus, que es el más sencillo de los métodos, aunque se invita al lector a investigar otros: sustitución, eliminación ó igualación.


x=

0 −2 10 2 1150 4 10 −2 10 2 1

−2 −2 1−8 2 14 4 1

−2 −2 1−8 2 1

Resolvemos así, multiplicamos en diagonal, de acuerdo como se muestra en la figura. Luego Azules menos verdes y listo:

Para resolver y, hacemos lo mismo, pero sabemos que la matriz de abajo es igual, porque está construida con los coeficientes originales de las ecuaciones, y sabemos que vale -60. Entonces:


Construir la matriz es fácil, con los coeficientes de las ecuaciones, y repetimos las dos primeras filas (rojo). En la matriz superior sustituimos los coeficientes de la variable que queremos resolver por los resultados, en este caso primera columna (x)

y=

−2 0 1−8 0 14 150 1

−2 0 1−8 0 1

−60

Finalmente resolvemos para z. Con un procedimiento similar, planteamos:

z=

−2 −2 0−8 2 04 4 150

−2 −2 0−8 2 0

−60

Podemos concluir que


10 años = x

Hijo menor

15 años = y

Hijo mayor

50 años = z

Edad padre

¿Qué aprendimos en este ejemplo como modelo conceptual?

Las variables deben ser definidas, sabiendo lo que representan. Las variables deben ser colocadas correctamente en ecuaciones. En este caso, se hablaba de edades actuales, pasadas y futuras

(Ecuaciones 1, 2 y 3; respectivamente). Sí esto sucede, hay que trasladar temporalmente todas las variables al momento al que pertenecen.

Ser organizados, no nos garantiza la solución del problema, pero mejora nuestra metodología de entendimiento.

Los resultados deben ser evaluados permanentemente, porque sí hubiésemos obtenido un número negativo, ello implicaría un ser que retrocedió en el tiempo. Un número muy elevado significaría que alguna de las personas es exageradamente anciana. Que x hubiera sido mayor que y, sería inconsistente, porque el hijo menor sería mayor que el hijo mayor; así como sería inconsistente tener un hijo con más edad que el padre.

El modelo matemático nos aproxima a las condiciones de la realidad del fenómeno que estudiamos.

Cada ecuación representa una condición específica del problema. El modelo matemático es fácil de construir si usamos el sentido

común, siempre basados en la simplicidad, construyendo procesos secuenciales y lógicos; sin apartarnos de la situación que ambienta el problema a resolver.

Resolver un sistema lineal en Microsoft Excel

Si utilizamos Excel, y tenemos un ejercicio que nos plantea un libro o un sitio web, podemos utilizar una función llamada Determinante de Matriz, que dentro del menú de funciones, aparece así:


Este sistema es muy útil, para resolver problemas y comprobar nuestras respuestas. Si planteamos bien nuestras ecuaciones obtendremos resultados coherentes con el entorno del problema.

Funciones Trigonométricas

Ejemplo 2

Un árbol de altura 4m genera una sombra a las tres de la tarde y a las 5 de la tarde. Juan nota que ambas son diferentes. A las tres de la tarde, sabe que hay un ángulo entre el piso y la diagonal generada por los rayos solares, de 74 grados, y a las 5 de la tarde el ángulo es de 37º. ¿cuál es la dimensión horizontal de cada sombra a cada una de las horas señaladas?

La situación que se plantea es la siguiente, desde una perspectiva gráfica:

Calculemos la proyección horizontal de la sombra (x), para la primera hora (3:00 P.M.)


Con la función tangente, podemos decir con certeza:

tan (θ )= yx

x= ytan (θ )

x= 4mtan (74 ° )

x ≈1.15m

De la misma manera procedemos para el cálculo de las 5:00 P.M.

x= ytan (θ )

x= 4mtan (37 ° )

x ≈5.31m

Ejercicio práctico 2

Tome un cordón de zapato o algún tipo de cuerda. En un extremo ate un lápiz, por la parte más baja que pueda. Trace un círculo sobre una hoja de papel (ojalá cuadriculado), y sobre la circunferencia escoja un punto así:

Marque el punto que escogió, proyecte una vertical hacia abajo y ubique x, de la misma manera proyecte y, pero trazando una horizontal, tal como se muestra en la figura anterior.

Mida con una regla la distancia que hay entre el centro del círculo y x. Anote ese valor y repita la medición para determinar y. Proceda a dividir:


yx

Anote el valor de esta división.

Ahora, trace el radio sobre el círculo, y con la ayuda de un transportador mida el ángulo.

Con la ayuda de una calculadora, colocada en el modo DEG (Degree), calcule el valor del Tan (θ), siendo θ el ángulo que midió con el transportador. ¿Este

valor es relativamente similar al valor de la fracción calculada anteriormente yx

?

Mida con una regla el valor de r. Anótelo.

Como ya tiene el ángulo, haga los siguientes cálculos en la calculadora y anote los valores:

Sin (θ) y Cos (θ)

Divida los resultados que acaba de obtener, en ese orden:

Compruebe que

tan (θ )= sin (θ )cos (θ )

= yx

Como ya tiene los valores de Sin (θ) y Cos (θ), multiplique cada valor por la medida del radio. Verifique que r Sin (θ) = y y r Cos (θ) = x.

Por último, realice las siguientes fracciones


yr;xr

Respectivamente, ¿estos valores corresponden a los valores que anotó para Sin (θ) y Cos (θ)? Si es así asuma que:

sin (θ )= yr= verticalradio

cos (θ )= xr=horizontal

radio

El radio, en términos pitagóricos es equivalente a la hipotenusa, la vertical al lado opuesto y la horizontal al lado adyacente.

Nota: Las funciones trigonométricas están ampliamente relacionadas con los triángulos rectángulos o pitagóricos.

Ejercicio práctico

El alerón de un auto de carreras debe cumplir los siguientes requerimientos:


RadioHipotenusa

Horizontal: Cateto adyacente

Vertical: Cateto Opuesto

θ

¿Cuál es el ancho del alerón que le debemos diseñar al equipo de aerodinamia si para las carreras con mayor downforce se tiene una inclinación de 9º y para las de menor downforce de 7.5º?

Desarrolle el problema primero dibujando el triángulo correspondiente. Determine qué representa L en el triángulo rectángulo que usted dibujó, para que seleccione cuidadosamente una función trigonométrica primitiva y pueda hallar el valor pedido, conociendo dos variables y despejando lo que le interesa.

***

Las funciones coseno tienen un punto máximo denominado cresta y un punto mínimo denominado valle. La función primitiva sin que esté afectada por ninguna constante, tiene su cresta cortando el eje vertical.

Ejemplo 1


Esta es la gráfica de la función f0(x) = cos(x). Ahora le vamos a sumar constantes, para desplazarla hacia arriba y hacia abajo. Sean k = 1 y k = -3, entonces: f1(x) = cos(x) + 1; f2(x) = cos(x) -3.

Vamos a representar las gráficas en un mismo plano para ver los efectos de desplazamiento:


Al añadir una constante, sumando o restando a funciones como coseno y rectas, vemos que en general, todos los puntos de la gráfica se desplazan en uno u otro sentido el mismo número de unidades, no solamente el centro de la gráfica.

Ejercicio técnico

Visite http://www.fooplot.com En el cuadro donde aparece ‘Función’, escriba cos(x), presione ‘enter’. Debajo aparece un botón que dice Añadir, oprímalo para agregar dos funciones más y escriba cos(x)+3 y cos(x) – 1. Compare y escriba sus conclusiones.

***

Ya hemos trasladado horizontalmente una función trigonométrica primitiva sumándole una constante, también la magnificamos multiplicándola por una constante, ahora veamos algo muy interesante:

Vemos que la gráfica negra corresponde a la primitiva consenoidal, que tiene un periodo o longitud de onda que va de cresta a cresta. La función roja, al ser multiplicada por dos, tiene un periodo que corresponde a la mitad, porque mientras que la señal negra tiene un paso por una cresta, la roja tiene dos, en el mismo intervalo.

Nota: En general, al multiplicar el ángulo (x) por una constante mayor que 1, entonces la señal se comprime, si la constante es menor que 1 se expande.


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Veamos otra vez la misma situación, pero ahora con una constante 5. Esto quiere decir, que la gráfica roja que veremos, cabrá 5 veces en la señal negra que es la primitiva, pero en este caso trabajemos con la función seno.

En un solo periodo (T) de la señal negra, caben 5 periodos (5T) de la señal roja.

Es decir, al multiplicar el ángulo (x) por 5, ahora la señal original se comprime y cabe en la quinta parte del intervalo que antes ocupaba, es decir, su periodo ahora es 1/5 del periodo original, o su longitud de onda también es 1/5 de la longitud de onda original.

¿Por qué pasa esto?

Recuerde que las funciones primitivas seno y coseno se definieron a partir del giro de un círculo, y para dar una vuelta completa se requiere avanzar angularmente 360º.

Fíjese que si:

f ( x )=cos(2 x)

Reemplacemos el ángulo 180º en la función, dado que anteriormente dijimos que con un 2, el periodo se reducía a la mitad, es como sí solo se giraran 180º y no 360º.

f (180 ° )=cos(2(180° ))

Al realizar la multiplicación, resulta que:


f (180 ° )=cos(360 ° )

Es decir, mientras que la señal inicial avanzó 180º (media vuelta), la señal comprimida si avanzó la vuelta completa.

Otra forma de ver esto es con el concepto de VELOCIDAD ANGULAR.

Cónicas

Ejemplo 5

Veamos un caso curioso de una ecuación de un círculo, que inicialmente no parece que lo fuera:

x2−4 x+ y2+10 y−16=0

Utilizando el álgebra podemos hacer lo siguiente:

(x−h)2= (x+h ) ( x−h )=x2−2 xh+h2

( y−k )2=( y+k ) ( y−k )= y2−2 yk+k2

Viendo la ecuación dada, noto que tengo parcialmente la última parte de la ecuación demarcada en verde, tanto para los términos de x como los de y. Es decir, tengo el primer término elevado al cuadrado y, voy a suponer, el segundo término que representa dos veces el primer término por el segundo. En otras palabras, yo puedo transformar:

x2−4 x→(x−h)2

Y también la expresión

y2+10 y→( y−k )2

Que son características de un círculo. Realmente no tengo una porción de la ecuación (−2 xh+h2 y−2 yk+k2¿, pero puedo construirla, si digo que:

−4 x=−2 xh

10 y=−2 yk

Voy resolviendo de manera simultánea ambas necesidades, entonces en la primera y segunda ecuación, respectivamente digo:


−4 x−2 x

=h=2

10 y−2 y

=k=−5

Esto quiere decir que yo puedo convertir:

x2−4 x+ y2+10 y−16=0

En:

(x−2)2+( y−(−5 ))2=16+4+25

Como introduje un (-2)2 y un (-5)2 entonces debo sumarlos al otro lado del igual para no afectar la ecuación.

(x−2)2+( y−(−5 ))2=45

Esto quiere decir que tengo un círculo de radio √45≈6.7, con centro ubicado en el entrecruce que da al moverse 2 unidades positivas a partir del origen sobre eje horizontal y -5 unidades a partir del origen sobre el eje vertical.


Demo matemáticas básicas y esenciales i

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