Demostrar la identidad:

A⃗ X ( B⃗ X C⃗ )=(A ∙C )B− (A ∙ B )C

Desarrollamos los productos cruz:

B⃗ X C⃗=| i j kb1 b2 b3c1 c2 c3|=(b2c3−b3 c2 ) i+(b3c1−b1c3 ) j+(b1 c2−b2 c1 )k

A⃗ X ( B⃗ X C⃗ )=| i j ka1 a2 a3

b2 c3−b3c2 b3 c1−b1 c3 b1 c2−b2 c1|Analizaremos componente a componente.

Componente i)

¿a2 (b1c2−b2c1 )−a3 (b3c1−b1c3 )

¿a2c2b1−a2b2c1+a3 c3b1−a3b3c1

¿ (a2c2+a3 c3 )b1−(a2b2+a3b3)c1

Sumamos un cero y tenemos:

¿ (a1c1+a2 c2+a3 c3 )b1−(a1b1+a2b2+a3b3)c1

Componente j)

¿a3 (b2c3−b3 c2)−a1 (b1 c2−b2c1 )

¿a3 c3b2−a3b3 c2+a1c1b2−a1b1c2

¿ (a3c3+a1c1 )b2−(a3b3+a1b1)c2

Sumando un cero:

¿ (a3c3+a2c2+a1 c1 )b2−(a3b3+a2b2+a1b1)c2

Componente k)

¿a1 (b3c1−b1c3 )−a2 (b2 c3−b3c2 )

¿a1 c1b3−a1b1c3+a2 c2b3−a2b2c3

¿ (a1c1+a2 c2 )b3−(a1b1+a2b2)c3

Sumando un cero:

¿ (a1c1+a2c2+a3 c3 )b3−(a1b1+a2b2+a3b3)c3

Podemos escribir el resultado del triple producto cruz de la siguiente manera, combinando las factorizaciones ya hechas. Resaltamos que a propósito se sumó un cero a las tres componentes.

¿ (a1c1+a2 c2+a3 c3 )b1i+(a3 c3+a2 c2+a1c1 )b2 j+(a1c1+a2 c2+a3 c3 )b3 k

−((a1b1+a2b2+a3b3 )c1i+ (a3b3+a2b2+a1b1 )c2 j+(a1b1+a2b2+a3b3 )c3 k )

Factorizamos este resultado:

¿ (a1c1+a2 c2+a3 c3 ) (b1 i+b2 j+b3k )−(a1b1+a2b2+a3b3 ) (c1 i+c2 j+c3k )

Expresión que es idéntica a:

¿ ( A⃗ ∙ C⃗ ) B⃗−( A⃗ ∙ B⃗)C⃗

Por lo tanto, se ha demostrado que:

A⃗ X ( B⃗ X C⃗ )=(A ∙C )B− (A ∙ B )C ∎