Demostración de derivadas de identidades trigonométricas.

Demostración de la derivada de la función seno:

Sea f la función seno, de modo que:

De la definición de la derivada:

Se emplea la primera fórmula para , por lo que:

Por medio de teoremas tenemos que:

Y

Al sustituir estas dos ecuaciones en la anterior, tenemos que:

De este modo se ha demostrado el teorema siguiente:

Demostración de la derivada de la función coseno:

Si g es la función coseno, entonces:

Se emplea la primera fórmula para , de donde se obtiene:

Por medio de teoremas tenemos que:

y

Ahora sustituimos:

Y de este modo se demuestra el teorema:

Demostración de la derivada de la función tangente:

Las derivadas de las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante, se obtiene de las identidades trigonométricas que contienen al seno y coseno, así como las derivadas de seno y coseno y los teoremas de diferenciación. Para la derivada de las identidades:

Tenemos que:

Ahora lo demostramos, teniendo que:

Podemos decir que:

Derivada de la función cotangente:

La demostración del teorema de la derivada de la función secante, emplea las siguientes identidades:

El teorema dice:

Por lo tanto:

Demostración de la derivada de la función secante:

El teorema de esta derivada nos dice:

El teorema es el siguiente:

Y luego lo demostramos, teniendo en cuenta que:

Lo cual indicamos de esta manera:

Demostración de la derivada de la función cosecante:

El teorema indica que:

Entonces: