Denis Cascarones y Placas

UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

GENERALIDADES DEL COMPORTAMIENTO DE

CASCARONES Y PLACAS, Y FUNDAMENTOS DEL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS

TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA

FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

PARA OPTAR AL GRADO DE

INGENIERO CIVIL

POR:

SONIA CAROLINA CALDERÓN CASTILLO

ERNESTO BALTASAR MONTES SORIANO

OCTUBRE 2009

ANTIGUO CUSCATLÁN, EL SALVADOR, C.A.

RECTOR

JOSÉ MARÍA TOJEIRA, S.J.

SECRETARIO GENERAL

RENÉ ALBERTO ZELAYA

DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

EMILIO JAVIER MORALES QUINTANILLA

COORDINADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

ROBERTO MAURICIO MERLOS LAÍNEZ

DIRECTOR DEL TRABAJO

JOSÉ CARLOS HASBUN HASBUN

LECTOR

EMILIO MARTÍN VENTURA DÍAZ

AGRADECIMIENTOS

Queremos agradecer antes de todo a Dios todopoderoso quien fue el que nos dio la

sabiduría e inteligencia necesaria para la culminar esta etapa de nuestras vidas, sin él nada

de lo que somos ahora sería posible.

A nuestro querido asesor el Dr. José Carlos Hasbún, quien más que un asesor ha sido un

compañero en este trabajo, ya que ha trabajado fervientemente a nuestro lado. Gracias por

exigirnos dar lo mejor de nosotros, no solo en este trabajo sino también a lo largo de toda la

carrera, formándonos para que el día de mañana seamos unos profesionales exitosos.

Agradecemos también a nuestro lector Ing. Emilio Ventura, cuyos aportes fueron

importantes y valiosos dentro del desarrollo de este documento.

Gracias a todos nuestros compañeros con quienes compartimos cada etapa de nuestra

carrera.

Sonia Calderón

Ernesto Montes

DEDICATORIA

Este logro lo dedico a Dios todo poderoso principalmente, pues sin él nada de esto hubiese

sido posible, él fue quien me dio la sabiduría necesaria para poder desarrollar no solo este

trabajo de graduación, sino que todo lo necesario para culminar esta etapa de mi vida. Su

mano me ha sostenido a lo largo de toda mi carrera, este triunfo es por él y para él.

A mis padres quienes fueron mi principal motivación, quienes me han apoyado en todo y

han luchado juntos por darme lo mejor. Gracias por su amor, su comprensión y sus

cuidados (sé que la mayoría de veces se desvelaron conmigo), este triunfo lo dedico a

ustedes, gracias por todo los amo mucho.

A mi hermanito (Rodrigo) quien tuvo paciencia para irme a traer siempre a la Universidad,

siempre a donde estuviese estudiando a la hora que fuese, gracias hermanito por tu apoyo,

amor y comprensión te amo mucho y este triunfo también lo dedico a ti.

A mi compañero de trabajo de graduación, Neto gracias por el apoyo brindado durante toda

la elaboración del documento… ¡lo logramos!

Al Dr. Ing. José Carlos Hasbun quien no solo durante la elaboración de este documento nos

brindó su apoyo incondicional, sino a lo largo de toda la carrera, gracias por cada consejo

expresado en clase, cada comentario, muchas gracias.

A todos los buenos compañeros y amigos que hice durante toda la carrera, su presencia

hizo más agradable cada noche de desvelo y a cada una de las personas quienes de forma

directa e indirecta me apoyaron durante toda mi carrera, gracias por todo.

A todos ellos agradezco y dedico este triunfo,

Sonia Calderón

DEDICATORIA En primer lugar agradecer a Dios por permitirme alcanzar este logro en mi vida. Agradecer

por la vida, la salud, el entendimiento y la voluntad para lograrlo.

A mis padres infinitas gracias por siempre brindarme amor, cariño, compresión, apoyo y

sobre todo una familia feliz que me ha permitido llegar hasta acá. Particularmente gracias a

mi mamá por siempre cuidarme y preocuparse de mí. A mi papá por sus orientación,

consejos y por darme un gran ejemplo de superación y lucha en la vida.

A Gaby, mi hermana, con quien he compartido tanto a lo largo de mi vida y que con su

compañía, cariño y amor ha hecho más fácil lograr esta meta.

A la mejor compañera de tesis que pude tener. Por su optimismo, dedicación y atenderme

siempre su hogar, lo que hizo que la culminación de este documento fuera posible y

agradable. A partir de este momento somos más que compañeros, ¡somos colegas!

A todos mis compañeros de lucha durante la carrera. Jamás olvidare las interminables

jornadas de estudio, tantas anécdotas para el recuerdo, ver salir el sol estudiando y los

buenos momentos que compartimos, ya que sin ustedes no hubiera sido posible este triunfo.

A mis amigos y amigas de toda la vida que de una u otra forma siempre han estado a mí

lado. Gracias por su cariño, apoyo y por todos los excelentes momentos que compartimos y

seguiremos compartiendo juntos.

Al Dr. Ing. José Carlos Hasbun, que desde el inicio confió en nosotros para salir adelante

con este trabajo de graduación. Sus ideas, comentarios y aportes a lo largo de la carrera y

de este trabajo nos han hecho crecer como personas y profesionales.

…. A toda la gente que estuvo alrededor… Gracias… Totales!!!

Ernesto Montes

i

RESUMEN EJECUTIVO

Capítulo 1: Dentro de este capítulo se presenta una introducción y se justifica la

elaboración de este documento, sobre la base de la existencia de una infinidad de

estructuras dentro del área de ingeniería cuyo comportamiento se explica a través del

análisis estructural de cáscaras y placas. Se presentan además los objetivos generales y

específicos que se pretenden cumplir con elaboración de este

documento, junto con sus limitaciones y alcances y una breve reseña histórica de la

implementación de estas estructuras dentro del análisis estructural.

Capítulo 2: Este capítulo tiene como objetivo principal realizar una descripción general de

los elementos cáscara y placa.

Las placas son elementos paralelepípedos cuya característica principal es que la dimensión

del espesor del elemento es mucho más pequeña en comparación a lo largo y ancho del

mismo. Comúnmente los elementos placa, aparecen dentro de componentes de obras civiles

y estructuras de ingeniería debido a los beneficios brindados tanto geométricamente como

funcionalmente. En condiciones generales un elemento placa sometido a cargas externas

experimenta fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos flectores y torsores. El

comportamiento de estos elementos se puede describir mediante dos maneras: de manera

aproximada, por medio de la división de una serie de vigas ortogonales entre sí y de manera

formal sobre la base del desarrollo de la Teoría de la Elasticidad Plana, cuya formulacion

depende en gran medida de su espesor. A partir del espesor las placas se pueden clasificar

como: placas delgadas con deformaciones pequeñas, placas delgadas con deformaciones

grandes y placas gruesas. Otro aspecto determinante dentro del análisis del comportamiento

de placas son las condiciones de apoyo a las que estará sujeto, un elemento placa puede

tener distintas condiciones de apoyo en cada uno de sus cuatro lados. Por lo general, la

Teoría de Placas es comúnmente aplicable al análisis de losas de concreto reforzado,

paredes de concreto y paredes de mampostería.

Las cáscaras son estructuras con superficies curva que al igual que la placa su espesor es

pequeño en comparación a las otras dimensiones que definen su superficie. Estos elementos

se definen por la geometría de su superficie medía, la cual se encuentra a la mitad de la

ii

distancia entre las superficies exteriores. Las cáscaras se pueden clasificar en base a la

geometría de su superficie media como: curvatura Gaussiana de la superficie y superficies

generadas, donde las superficies generadas se pueden sub-clasificar como superficies de

revolución y superficies de traslación. El comportamiento de un elemento cáscara está

relacionado directamente con la geometría que éste posee, a pesar que las acciones internas

que actúan en el son independientes de esta. Estas fuerzas internas pueden ser de tres tipos:

fuerzas de membrana, fuerzas transversales y momentos flectores y torsores.

Capítulo 3: El objetivo principal de este capítulo es desarrollar la formulación de la

ecuación diferencial que rige el comportamiento de un elemento placa. Para desarrollar esta

formulación es necesario realizar una serie de hipótesis las cuales involucran conceptos

fundamentales de la Teoría de la Elasticidad. Esta teoría tiene como objetivo principal el

estudio de los sólidos deformables cuyo comportamiento es elástico; a estos se le suponen

una serie de cualidades como los son isotropía, homogeneidad y continuidad. Existen dos

casos donde el sistema de fuerzas externas y la sujeción a la que está sometido un sólido

elástico hacen que los esfuerzos y deformaciones sean idénticos en planos paralelos, estos

estados permiten hacer un análisis en un espacio bidimensional por lo que son llamados

Estados de Elasticidad Plana y son: Estado de Deformación Plana y Estado de Esfuerzo

Plano.

Para llevar a cabo la formulación de los elementos placa se realizan una serie de hipótesis,

una de ellas es el considerar que los elementos placa actúan en un estado de esfuerzo plano.

Partiendo de estas hipótesis y haciendo uso de las condiciones de equilibrio, relaciones

cinemáticas y relaciones constitutivas se obtiene la ecuación diferencial que rige el

comportamiento de una placa.

Capítulo 4: Este capítulo aborda de forma generalizada algunos de los métodos numéricos

y aproximados que se pueden utilizar para resolver la ecuación diferencial que rige el

comportamiento de una placa. El objetivo principal de los métodos aproximados es el

encontrar las acciones de diseño de una forma sencilla, sobre la base de una carga máxima

que la estructura será capaz de soportar. El Método de los Coeficientes y el Método de las

Franjas son dos métodos aproximados que se abordan dentro de este capítulo. El Método de

los Coeficientes emplea tablas de coeficientes que abarcan nueve distintas condiciones de

iii

apoyo en cada uno de los cuatro extremos de la placa, basándose en análisis elásticos y

teniendo en cuenta posibilidades de redistribuciones inelásticas de esfuerzos. El Método de

las Franjas aplicado generalmente a losas de concreto reforzado, distribuye la carga a la que

es sometido el elemento de forma segura y conveniente, con el objeto de tener una

distribución de refuerzo económica. Finalmente se presenta un ejemplo ilustrativo de una

losa empotrada en sus cuatro extremos la cual se resuelve por el Método de los Coeficientes

y el Método de las Franjas.

Conclusiones: Dentro de este apartado se incluyen las conclusiones que corresponden a

este trabajo de graduación.

Recomendaciones: Dentro de este apartado se incluyen las recomendaciones realizadas a

este trabajo de graduación.

ÍNDICE

RESUMEN EJECUTIVO .................................................................................................... i

ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................... vii

ÍNDICE DE TABLAS ....................................................................................................... ix

SIMBOLOGÍA.................................................................................................................. xi

PRÓLOGO .................................................................................................................... xv

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN

1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA................................................................................ 1

1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................... 1

1.2.1 Objetivos Generales ........................................................................................... 1

1.2.2 Objetivos Específicos ......................................................................................... 1

1.3 LIMITES Y ALCANCES ............................................................................................ 2

1.4 ANTECEDENTES ...................................................................................................... 2

CAPITULO 2: GENERALIDADES DE LOS ELEMENTOS PLACA Y CASCARA

2.1 PLACAS ..................................................................................................................... 5

2.1.1 Descripción e importancia de los elementos placa............................................... 5

2.1.2 Comportamiento ................................................................................................. 6

2.1.3 Condición de apoyo ............................................................................................ 9

2.1.4 Aplicaciones ..................................................................................................... 10

2.2 CÁSCARAS.............................................................................................................. 11

2.2.1 Descripción e importancia ................................................................................ 11

2.2.2 Clasificación de superficies de cáscaras ............................................................ 11

2.2.3 Comportamiento de los elementos cáscara ........................................................ 15

2.2.4 Cargas Externas ................................................................................................ 15

2.2.5 Esfuerzos internos ............................................................................................ 16

2.2.6 Condición de equilibrio .................................................................................... 18

2.2.7 Teoría de las membranas para cascarones ......................................................... 18

2.2.8 Teoría de la flexión para placas ........................................................................ 19

2.2.9 Condiciones de apoyo ....................................................................................... 20

2.2.10 Aplicaciones ................................................................................................... 20

CAPITULO 3: FORMULACIÓN DE PLACA

3.1 FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD .................................................................... 23

3.1.1 Vectores esfuerzo en un punto .......................................................................... 24

3.1.2 Deformaciones en el entorno de un punto ......................................................... 27

3.1.3 Relaciones Constitutivas ................................................................................... 32

3.1.4 Estados de Elasticidad Plana ............................................................................. 36

3.2 TEORIA DE PLACAS .............................................................................................. 38

3.2.1 Hipótesis Básicas .............................................................................................. 38

3.2.2 Ecuaciones de Equilibrio .................................................................................. 39

3.2.3 Relaciones Cinemáticas y Relaciones Constitutivas .......................................... 46

3.2.4 Ecuación Diferencial para la Teoría de Placas ................................................... 48

CAPITULO 4: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS PRÁCTICO

4.1 GENERALIDADES DE LOS MÉTODOS APROXIMADOS Y NUMERICOS........ 52

4.2 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES ....................................................................... 56

4.3 MÉTODO DE LAS FRANJAS .................................................................................. 61

4.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN .............................................................................. 68

4.4.1 Ejercicio de aplicación 1 ................................................................................... 68

4.4.2 Ejercicio de Aplicación 2 .................................................................................. 70

4.4.3 Ejercicio de aplicación 3 ................................................................................... 76

CONCLUSIONES............................................................................................................ 81

RECOMENDACIONES ................................................................................................... 85

GLOSARIO .................................................................................................................... 87

BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................. 89

vii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 Dimensiones típicas de las placas ................................................................... 5

Figura 2.2 Configuración de placa cargada transversalmente .......................................... 7

Figura 2.3 Simulación de una placa empotrada en dos extremos dividida en vigas ortogonales .................................................................................................... 8

Figura 2.4 Deformación por cortante en placas delgadas y gruesas .................................. 9

Figura 2.5 Apoyos comunes para placas en una misma estructura. ................................ 10

Figura 2.6 Elemento Cáscara. ....................................................................................... 11

Figura 2.7 Intersección de planos con la superficie. Adaptado de Hoogenboom [p.3]. ... 12

Figura 2.8 Tipos de Curvatura Gaussiana. ..................................................................... 13

Figura 2.9 Cáscara de Revolución.. ............................................................................... 13

Figura 2.10 Ejemplos de Superficies de Traslación.]. ...................................................... 14

Figura 2.11 Componentes de la carga muerta P. .............................................................. 15

Figura 2.12 Fuerzas en una membrana. A ....................................................................... 16

Figura 2.13 Fuerzas cortantes transversales. ................................................................... 17

Figura 2.14 Momentos flectores y torsores. ..................................................................... 17

Figura 2.15 Carga concentrada, este tipo de carga no es compatible con la Teoría de la Membrana.. .................................................................................................. 19

Figura 2.16 Condiciones de borde compatibles con la Teoría de la Membrana. .............. 19

Figura 3.1 Solido elástico atravesado por un plano cualquiera. ...................................... 24

Figura 3.2 Esfuerzos normales y tangenciales actuando en las distintas direcciones de un sólido elástico. ............................................................................................. 25

Figura 3.3 Principio de reciprocidad tangencial. . .......................................................... 26

Figura 3.4 Posición de dos puntos de un sólido antes y después de la deformación........ 28

Figura 3.5 Desplazamiento de la línea AB.. ................................................................... 28

Figura 3.6 Distorsión angular de ABC debido a la deformación. . ................................. 30

Figura 3.7 Componentes del vector de deformación unitaria. . ...................................... 32

Figura 3.8 Modulo de elasticidad .................................................................................. 33

Figura 3.9 Elemento placa antes y después de la deformación. ...................................... 39

Figura 3.10 Fuerzas actuando en la placa. ....................................................................... 40

Figura 3.11 Esfuerzos en el plano normal al eje X. ......................................................... 40

viii

Figura 3.12 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara X. ................... 41

Figura 3.13 Esfuerzos en el plano normal al eje Y. . ........................................................ 42

Figura 3.14 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara Y. ................... 42

Figura 3.15 Fuerzas Cortantes Transversales actuando sobre el elemento placa. .............. 43

Figura 3.16 Momentos actuando sobre el elemento placa. .............................................. 44

Figura 3.17 Desplazamiento del plano medio para la dirección Y. .................................. 46

Figura 3.18 Desplazamiento del plano medio para la dirección X. .................................. 47

Figura 4.1 Aproximación de placa en vigas ortogonales. .............................................. 52

Figura 4.2 Valores de ka y kb para el método de Grashof. ............................................. 54

Figura 4.3 Placa dividida en 3 franjas por el método de los coeficientes. ....................... 56

Figura 4.4 Distribución de momentos en ambas direcciones. ......................................... 57

Figura 4.5 Distintas condiciones de apoyo en los elementos placa. ................................ 58

Figura 4.6 Distribución de la carga en dos direcciones. ................................................. 63 Figura 4.7 Variación de momento a lo largo de l/2 ...................................................... 64

Figura 4.8 Distribución de carga para una losa rectangular. ........................................... 65

Figura 4.9 Distribución de carga para una losa rectangular con un borde libre. .............. 68

Figura 4.10 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.................. 68

Figura 4.11 Momentos actuando en un entrepiso obtenidos por el método de los coeficientes. ................................................................................................. 69

Figura 4.12 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.................. 70

Figura 4.13 Distribución de carga para una losa rectangular. ........................................... 71

Figura 4.14 Resultados Obtenidos por el método de las franjas ....................................... 75

Figura 4.15 Discretizacion de una placa rectangular en el software SAP2000.................. 76

Figura 4.16 Diagrama de momento en la dirección X (tn.m E10-3) ................................. 77

Figura 4.17 Diagrama de momento en la dirección Y. ..................................................... 78

Figura 4.18 Resultados Obtenidos a través del software SAP. ......................................... 79

Figura 5.1 Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación. .................................... 82

ix

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 4.1 Condiciones de apoyo en bordes método de los coeficientes. ....................... 58

Tabla 4.2 Coeficientes para momentos negativos en losas. Nilson ............................... 59

Tabla 4.3 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta (d l) en losas. 59

Tabla 4.4 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva (l l) en losas. .... 60

Tabla 4.5 Proporción de la carga q que se reparte en las direcciones la y lb para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos. ........................................... 60

Tabla 4.6 Valores de momentos para la dirección X. ................................................... 77

Tabla 4.7 Valores de momento para la dirección Y. ..................................................... 78

Tabla 5.1 Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación. .................................... 82

xi

SIMBOLOGÍA

N�� Vector unitario normal al plano α que contiene el punto P, con respecto al

sistema Oxyz.

T�� Vector de esfuerzos correspondiente al plano α que atraviesa el punto P con

respecto al sistema Oxyz.

δ �� Desplazamiento.

��, ��, �� Deformaciones unitarias.

[D] Matriz de deformaciones.

[σ] Matriz de esfuerzos correspondiente a un punto P, con respecto a un sistema

Oxyz.

A , A´ Punto cualquiera en la superficie.

da Diferencial de área.

e Dilatación cubica unitaria.

E Módulo de elasticidad.

F , P Cargas axiales actuando en la placa.

G Módulo de rigidez del material.

la Ancho de un elemento placa.

lb Largo de un elemento placa.

Mxx Momento flector por unidad de longitud producido por σxx.

Mxy Momento de torsión por unidad de longitud producido por τxy.

Myx Momento de torsión por unidad de longitud producido por τyx.

xii

Myy Momento flector por unidad de longitud producido por σyy.

Mϕ , Mθ Momentos flectores por unidad de longitud.

Mϕθ , M θϕ Momentos torsores por unidad de longitud.

Nxx Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σxx.

Nxy Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τxy

Nyx Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τyx.

Nyy Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σyy.

Nθ , Nϕ Fuerzas normales en el plano por unidad de longitud.

Nθϕ , Nϕθ Fuerzas cortantes en el plano por unidad de longitud

P, P´, Q, Q´ Puntos cualquiera de un sólido elástico.

Pda Componente en z del peso de una cáscara de revolución por diferencial de

área.

Pxda Componente en x del peso de una cáscara de revolución por diferencial de

área.

Pzda Componente en z del peso de una cáscara de revolución por diferencial de

área.

q Carga transversal actuando sobre un elemento placa.

Qθ , Qϕ Fuerzas Transversales.

r Radio de curvatura del paralelo.

Rθ Longitud de la normal entre cualquier punto de la superficie media y el eje

de rotación.

Rϕ Radio de curvatura del meridiano.

xiii

S Superficie que se produce en la intersección de un plano cualquiera con un

sólido elástico

t Espesor de los elementos placa y cáscara.

u° , v° Desplazamientos del plano medio en las direcciones X y Y respectivamente

Vxz Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producida por τxz.

Vyz Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producido por τyz.

X, Y, Z Componentes de un eje cartesiano

α Plano cualquiera que intersecta un sólido elástico

γyz Distorsión angular ó deformación por cortante.

θ Ángulo comprendido entre r y cualquier línea de referencia ξ, perpendicular

al eje de la cáscara.

θ1, θ2 Variación angular

λ Coeficiente de lamé

µ Módulo de Poisson

ξ Línea central(eje de la cáscara)

σij Esfuerzo normal, en donde el subíndice i representa el plano sobre el que

actúa el esfuerzo, y el subíndice j, la dirección del esfuerzo.

τij Esfuerzo tangencial o cortante, en donde el subíndice i representa el plano

sobre el que actúa el esfuerzo y el subíndice j, la dirección del esfuerzo.

ϕ Ángulo conformado entre el eje de la cáscara y la normal de la cáscara en el

punto bajo consideración sobre la superficie media de la cáscara.

xv

PRÓLOGO

Los elementos cáscara y placa en la actualidad resultan ser componentes estructurales

convenientes a considerar debido a las ventajas que ofrecen estos elementos, como lo es su

resistencia estructural y en ocasiones porque permiten sus diseños innovadores agradables a

la vista.

Uno de los objetivos principales de este documento es ayudar a la comprensión del

comportamiento estructural de los elementos cáscara y los elementos placa, es por ello que

dentro del capítulo dos se presentan las generalidades de éstos, describiendo la geometría

que caracteriza a cada uno de ellos y su importancia dentro del ámbito ingenieril. Además

se aborda de manera general el comportamiento de cada uno de ellos haciendo énfasis en

los esfuerzos y deformaciones que se producen al someter dichos elementos a cargas

externas. También dentro de este capítulo se incluye una discusión relacionada con las

distintas condiciones de apoyo con las que estos elementos pueden ser analizados es

presentada dentro de esta capitulo al igual que las diversas aplicaciones de estas estructuras

dentro de la ingeniería.

El capitulo tres posee como objetivo principal presentar una descripción más detallada del

comportamiento de los elementos placa que la presentada en el capitulo dos. Dentro de este

capítulo inicialmente se presentan conceptos fundamentales de la Teoría de la Elasticidad

los cuales son necesarios para la comprensión del desarrollo de la teoría de placas con la

cual se obtiene la ecuación diferencial de cuarto grado que rige el comportamiento de los

elementos placa. Resuelta esta ecuación diferencial se pueden determinar el campo de

desplazamientos, deformaciones y esfuerzos en cualquier punto de la placa.

Existen diversos métodos numéricos y aproximados para obtener las acciones internas de

los elementos placa, los cuales se diferencian unos de otros por la complejidad de su

desarrollo y el grado de precisión de los resultados. Dentro del capítulo cuatro se presenta

una descripción general de algunos de los principales métodos numéricos y aproximados

con los que se resuelve la ecuación diferencial que rige el comportamiento del elemento

placa y se presentan con más detalle dos métodos aproximados y un ejemplo de aplicación.

Finalmente, se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas para este trabajo

de graduación.

1

CAPITULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

En El Salvador, el análisis estructural de placas y cascarones es un tema poco abordado

dentro del ámbito académico a nivel de pregrado debido a su complejidad. Sin embargo su

importancia es indiscutible tomando en cuenta un gran número de estructuras cuyo

comportamiento se explica a través de estas tipologías estructurales. Algunos ejemplos de

estas estructuras son ciertos tipos de cimentación, depósitos, pavimentos, paredes, techos y

otros más complejos como silos, barcos, fuselajes de aviones, entre otros.

Por lo anterior se pretende elaborar un documento el cual sirva de guía y facilite la

compresión de aquella persona que se encuentre interesada en ampliar sus conocimientos

en el tema y muy especialmente en la formulación del comportamiento de placas. Así

mismo en la actualidad existe una diversidad de programas de computadora que ofrecen

alternativas para el análisis y el diseño de dichas estructuras, por lo cual es importante que

el usuario posea un conocimiento mínimo necesario para interpretar correctamente los

resultados obtenidos a través de ellos.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivos Generales

• Ayudar a la comprensión del comportamiento estructural de las cáscaras y placas.

• Introducir la formulación de las placas, mediante su ecuación general, acciones

internas y deformaciones.

1.2.2 Objetivos Específicos

• Caracterizar el comportamiento de los cascarones y placas y su clasificación de

acuerdo a su geometría y espesor.

• Servir como un texto introductorio a los principales métodos aproximados del análisis

estructural de placas.

2

1.3 LIMITES Y ALCANCES

• El tema de cáscaras se abordará de forma introductoria y descriptiva.

• El documento se enfocará en la formulación de los elementos placa, para él cual no se

desarrollarán algoritmos de solución.

• No se abordarán conceptos del diseño de placas.

1.4 ANTECEDENTES

Los cascarones y placas han sido empleados desde mucho tiempo atrás, los cuales se

pueden ver en diversas estructuras comunes y simples, sin embargo su estudio se empezó a

desarrollar de una manera más amplia a partir del siglo XVIII.

La primera aproximación matemática a la teoría de placas fue formulada por Euler en

1766, quien resolvió el problema de la vibración libre en el análisis de placas rectangulares

y circulares. A partir de estos estudios, muchos matemáticos e investigadores se sumaron al

análisis de cáscaras y placas, entre ellos Lagrange, que fue el primero en usar correctamente

las ecuaciones diferenciales en el análisis de placas en 1813.

El ingeniero y diseñador de puentes Navier, introdujo la moderna teoría de elasticidad,

dentro de la cual resolvió muchos problemas que involucraban placas, derivando

correctamente la ecuación diferencial de estas y convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas,

usando las series trigonométricas que fueron presentadas por Fourier en la misma década.

Kirchhoff (1824-1887), es considerado el fundador de la teoría de placas que involucra la

combinación del pandeo con el acortamiento de los elementos. Timoshenko contribuyo de

gran manera con el análisis de placas circulares y la solución de problemas de elasticidad

con su publicación “Theory of plates and Shells”.

Con el auge de la industria de la aviación, las teorías de placas fueron retomadas para darle

solución a problemas como vibración, espesor, torsión y otras fuerzas involucradas en

aviones de guerra y comerciales.

A pesar de estos esfuerzos, los problemas de placas involucran un sinfín de ecuaciones, por

lo que alrededor de 1950, surgieron métodos numéricos, como el método de los elementos

3

finitos que anticipaba el uso de computadoras para su desarrollo. Zienkiewicz hizo

numerosos aportes en este campo por lo que desarrolló en gran medida los elementos

finitos en usos de mecánica de materiales.

En tiempos modernos, con la invención y popularización de la computadora, han surgido

muchos programas de computadora que permiten resolver las placas y cascarones

simplemente modelando la estructura y el programa se encarga del análisis estructural e

incluso del diseño correspondiente.

Existe una amplia bibliografía acerca del análisis de cascarones y placas, pero estas

publicaciones presentan un enfoque diferente del que se pretende elaborar en este trabajo de

graduación. Así, muchos de estos documentos desarrollan un análisis complejo y formal

que supone el conocimiento previo de conceptos que no son abordados en los cursos de

estructuras a nivel de pregrado, lo que hace difícil para un estudiante de este nivel

comprender el análisis de estas estructuras a partir de dicha bibliografía.

5

CAPITULO 2

GENERALIDADES DE LOS ELEMENTOS PLACA Y CÁSCARA

Las cáscaras y las placas son elementos estructurales complejos, que se constituyen en

opciones ingenieriles que se suelen adoptar en el diseño y construcción de obras civiles por

diversas causas, como reducción de costos, incremento en la capacidad estructural, diseños

arquitectónicos innovadores, por mencionar algunos. Es por ello que el objeto principal de

este capítulo es realizar una descripción general de las características principales que

poseen estos elementos y sus parámetros de clasificación. Así mismo, se pretende abordar

de manera general el comportamiento estructural de dichos elementos ante la acción de

cargas externas.

2.1 PLACAS

2.1.1 Descripción e importancia de los elementos placa

Las placas son elementos estructurales planos en los que una dimensión del elemento, el

espesor, es relativamente pequeña en comparación a las otras dos, su largo y ancho (ver

figura 2.1), por lo que geométricamente se pueden aproximar a superficies bidimensionales

que suelen trabajar predominantemente a flexión.

Espesor, t

Ancho, la

Largo, lb

t << Ancho; t << Largo

Figura 2.1 Dimensiones típicas de las placas

6

El comportamiento de placa aparece comúnmente en componentes de obras y estructuras de

Ingeniería debido a ciertas conveniencias relacionadas con su geometría y funcionamiento,

tal y como se menciona a continuación:

• Cumplen requisitos importantes de serviciabilidad en diversas estructuras,

brindando así una solución a la necesidad de cubrir espacios, soportar cargas, crear

superficies planas, entre otros. Algunos ejemplos son techos, losas de piso y

paredes.

• El comportamiento bidimensional de las placas, por ejemplo en sistemas de piso, se

traduce en estructuras más livianas, lo que significa una reducción en los costos de

construcción. Así mismo, por tener superficies planas, permite la instalación de

tuberías, conductos eléctricos, de aire acondicionado entre otros, sin el uso de

muchos accesorios (codos, curvas, etc.) lo que también se traduce en menores

costos.

• Permiten capturar mejor el comportamiento de algunos elementos estructurales para

entender de forma más precisa cómo actúan bajo las solicitaciones a las que se ven

sometidos.

2.1.2 Comportamiento

Las secciones transversales de los elementos placa sometidos a una condición general de

carga, experimentan en un caso general, fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos

flectores y torsores variables por unidad de longitud tal y como se esquematiza en la figura

2.2.

7

Momentos flectores

Fuerzas axiales

Q

F

Cargas externas axiales

Z

X

Y

+

+

Figura 2.2 Configuración de placa cargada transversalmente

El comportamiento de una placa se puede describir básicamente de dos maneras:

a. Mediante la división de la placa en una serie vigas ortogonales entre si, en las cuales

cada una de ellas soporta la carga que les afecta independientemente de la otra.

Esta hipótesis es conservadora, pues en los puntos comunes entre las vigas, actúan

fuerzas en sentido contrario que igualan las cargas y las distribuyan en ambas

direcciones, disminuyendo así los esfuerzos y las deformaciones en cada una de ellas.

Así mismo, debido a que las vigas se encuentran cercanas entre sí, el giro de flexión

provoca entre las vigas paralelas y ortogonales la presencia de un momento torsor que

proporciona más resistencia a las cargas.

Fuerzas cortantes

Momentos torsores

Plano medio

Carga externa transversal “q”

8

Figura 2.3 Simulación de una placa empotrada en dos extremos dividida en vigas ortogonales

Bajo estas consideraciones se han desarrollado varios métodos aproximados para la

solución de los elementos placa, que suelen ser muy sencillos, y con las

consideraciones adecuadas, suficientemente precisos.

b. Sobre la base del desarrollo de la teoría de la elasticidad plana, en la cual el

comportamiento de la placa depende en gran medida del espesor de la misma en

comparación con sus otras dos direcciones.

En base a su espesor se pueden distinguir 3 tipos de placas:

• Placas delgadas con deformaciones pequeñas: cuando las deflexiones que

sufren las placas son relativamente pequeñas en comparación con el espesor de la

placa. Este tipo de elementos permiten realizar una serie de simplificaciones que

facilitan el análisis de su comportamiento estructural (el problema se vuelve

bidimensional) y es la teoría que más se aplica en la mayoría de los elementos

placa, como se verá dentro del capítulo dos.

• Placas delgadas con deformaciones grandes: cuando las deflexiones que sufren

las placas son relativamente grandes en comparación del espesor, se generan

esfuerzos en el plano medio (ver plano medio en figura 2.2) que no pueden ser

despreciados y deben ser considerados en la derivación de la ecuación diferencial

de la placa lo que conlleva a soluciones más complicadas.

Punto común

9

• Placas gruesas: son aquellas en las que el espesor no es tan delgado en

comparación con sus otras dos dimensiones, por lo que su comportamiento es

distinto sobre todo cuando existen cargas concentradas grandes. En este caso, las

deformaciones producidas por cortantes que actúan en el espesor de la placa, no

pueden ser despreciadas ya que se generan distorsiones entre el plano medio y un

plano normal de la placa (ver figura 2.4). Para el análisis de este tipo de placas, se

tienen que considerar las tres dimensiones del elemento (ancho, largo y espesor),

por lo que ya que no son válidas las simplificaciones que se realizan para las

placas delgadas y el problema se vuelve tridimensional y más complejo.

.

Figura 2.4 Deformación por cortante en placas delgadas y gruesas a) Placa delgada deformada sin considerar efectos por cortante (el plano medio permanece siempre normal a un plano cualquiera antes y después de la deformación), b) En las placas gruesas el efecto por cortante debe ser considerado (nótese que después de la deformación, el plano medio ya no es normal a un plano arbitrario

debido a las distorsiones generados por los esfuerzos de corte).

2.1.3 Condición de apoyo

Las condiciones de apoyo de una placa son determinantes en el comportamiento que ésta

tiene ante las cargas aplicadas y de ello dependen los condicionamientos introducidos al

análisis estructural con el que se obtiene su solución. Las placas pueden tener condiciones

de apoyo distintas en cada uno de los cuatro lados (e inclusive en el mismo lado). En la

figura 2.5 aparecen algunas ilustraciones de distintos tipos de apoyo en una misma

edificación, en este caso de dos niveles. Así por ejemplo, para la pared del segundo nivel y

ante cargas que actúan normal a su plano mayor, se ha considerado lo siguiente:

a) Placa delgada b) Placa gruesa

Planos perpendiculares entre sí.

Distorsiones por cortante (Planos no perpendiculares entre sí).

10

a. Una condición de empotramiento para el lado inferior en su conexión con el sistema de

piso.

b. Apoyo articulado en los lados laterales con las paredes perpendiculares del segundo

piso.

c. Extremo superior libre debido a que se supone que la cubierta de techo no tiene rigidez

suficiente para restringir los desplazamientos y los giros.

Figura 2.5 Apoyos comunes para placas en una misma estructura.

De la discusión anterior se dislucida la importancia de mantener la consistencia entre las

condiciones de apoyo consideradas en el análisis (simplemente apoyada, empotrada, libre)

y la practicada en el proceso constructivo a la luz de las necesidades y/o conveniencias

arquitectónicas y estructurales. Debe tenerse presente, además, que las condiciones de

apoyo normalmente adoptadas en un análisis, son solamente aproximaciones de lo que en la

realidad existe físicamente.

2.1.4 Aplicaciones

Algunos de los casos en los que comúnmente se aplica la Teoría de Placas es en el análisis

de losas de concreto reforzado sometidas a cargas gravitacionales y en el análisis de

paredes de concreto y mampostería sometidas a cargas de viento o sismo. A pesar que estos

elementos no están constituidos por un solo material, muchas veces su análisis se realiza

Paredes de segundo nivel.

Losa de entrepiso empotrada en su contorno.

Paredes empotradas en su parte superior e inferior, articulada en los laterales.

11

como placas aunque no posean las propiedades y características en las que se basa la Teoría

de Placas.

2.2 CÁSCARAS

2.2.1 Descripción e importancia

Una cáscara o cascarón es una estructura con superficie curva, que por lo general es capaz

de transmitir cargas en más de dos direcciones hacia los apoyos. Se constituye un

componente de alta eficiencia estructural cuando tiene conformación, proporciones y

apoyos de modo que transmita las cargas sin doblarse ni torcerse. Su espesor es pequeño en

comparación con sus otras dimensiones, pero no suele ser tan delgado como para hacer que

las deformaciones sean excesivas comparadas con su espesor.

Una cáscara se define por la geometría de la superficie media que este posea, la cual se

encuentra a la mitad de la distancia entre la superficie externa (extradós) y la superficie

interna (intradós). Su espesor es la distancia normal a la superficie media entre el extradós y

el intradós (ver Figura 2.6).

INTRADOS

SUPERFICIE MEDIA

EXTRADOS

Espes

or, t

Espesor, t

Figura 2.6 Elemento Cáscara.

2.2.2 Clasificación de superficies de cáscaras

Los cascarones se pueden clasificar a partir de la geometría de su superficie media

atendiendo a los criterios que se exponen a continuación:

12

a) Curvatura Gaussiana de la superficie

En cualquier punto A sobre una superficie cualquiera, se puede trazar un plano tangente a la

cáscara. Un vector normal a dicho plano tangente es considerado un vector normal a la

superficie en ese punto, tal y como se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.7 Intersección de planos con la superficie. Adaptado de Hoogenboom [p.3].

Obviamente, un número infinito de planos pueden intersectar la superficie y atravesar el

punto A. Un plano que intersectar el punto A y contiene al vector normal es un plano

normal a la superficie media en ese punto. La curva plana formada por la intersección de

este plano normal con la superficie es denominada Sección Normal de la superficie en ese

punto. Cada una de estas curvas planas posee su curvatura local y su correspondiente radio

de curvatura. Dos, del infinito número de secciones normales, poseen un valor mínimo y un

valor máximo de curvatura. Estas líneas curvas, que resultan ser ortogonales entre sí, son

llamadas Secciones Principales y sus curvaturas, denotadas por K1 y K2, se denominan

Curvaturas Principales de la superficie en el punto A.

El producto de las curvaturas principales Kg= K1.K2 es llamado curvatura Gaussiana de la

superficie en el punto A. Si una de las curvaturas principales es igual a cero la superficie

tiene una curvatura Gaussiana igual a cero. La superficie posee una curvatura Gaussiana

positiva si Kg> 0 y una curvatura Gaussiana negativa si Kg< 0. (Ver Figura 2.8)

Cualquier Plano que se intersecta

A’

Plano General de Curva

A

Vector normal

Plano que Contiene el vector normal

13

Rϕ

y

θ

dA

r ξ

x z

Rθ

Rϕ

Rθ ϕ

r

ϕ

Figura 2.8 Tipos de Curvatura Gaussiana. Adaptado de Hoogenboom [p.4].

b) Superficies Generadas

Estas se pueden dividir en Superficies de revolución y Superficies traslación.

• Superficies de Revolución: son generadas por la rotación de una línea curva alrededor

de un eje fijo. Tal curva es llamada meridiano y el plano que la contiene Plano

Meridiano. Las intersecciones de la superficie con planos perpendiculares al eje de

rotación son círculos paralelos, los cuales son denominados paralelos (ver figura 2.9).

Figura 2.9 Cáscara de Revolución. Adaptado de Baker [1972: p.4].

Donde:

b. Curvatura Gaussiana cero

c. Curvatura Gaussiana negativa

a. Curvatura Gaussiana positiva

Línea Central (eje de la cáscara)

Paralelo

Meridiano N��

14

ϕ Angulo conformado entre el eje de la cáscara y la normal de la

cáscara en el punto bajo consideración sobre la superficie media de la

cáscara.

θ Angulo comprendido entre r y cualquier línea de referencia ξ,

perpendicular al eje de la cáscara.

Los radios de curvatura de una cáscara de revolución son:

Rϕ Radio de curvatura del meridiano.

Rθ Longitud de la normal entre cualquier punto de la superficie media y

el eje de rotación.

r Radio de curvatura del paralelo.

Es importante mencionar que Rϕ y Rθ son los radios principales de curvatura de la

superficie.

• Superficies de Traslación: son generadas por medio del deslizamiento de una

línea(recta o curva) a lo largo de otra línea(recta o curva), manteniendo constante la

orientación del plano que contiene a la curva que se desliza.

Ejemplos de superficies de traslación se pueden observar en la figura 2.10.

Z

XY

Z

X Y

Z

XY

Figura 2.10 Ejemplos de Superficies de Traslación. Adaptado de Hoogenboom [p.6].

b b b

a a

a

b. Paraboloide cilíndrico

a. Paraboloide elíptico

c. Paraboloide hiperbólico

15

ϕ

ϕ

PzdA

PdA

PxdA

dA

Eje X

Eje Z

2.2.3 Comportamiento de los elementos cáscara

El comportamiento de un elemento cáscara está ligado directamente a la geometría que este

posee, aunque el tipo de acciones internas que actúan en el elemento (como resultado de la

acción de una carga externa), son independientes a la geometría de este. El tipo de cascarón

más utilizado en el área de ingeniería es el cascarón generado a través de una superficie de

revolución, por lo que este será el centro de análisis de los siguientes apartados.

2.2.4 Cargas Externas

Las cargas externas consisten en un conjunto de fuerzas que actúan en la superficie externa

e interna del elemento cáscara.

Todas las cargas bajo consideración en cualquier punto de la cáscara de revolución pueden

convenientemente ser representadas en tres componentes ortogonales entre si, en las

direcciones X, Y y Z. La dirección X es paralela a la tangente del meridiano; la dirección Y

es paralela a la tangente del circulo paralelo y la dirección Z es normal a la superficie de la

cáscara.

Como ilustración, si P representa el peso de una cáscara de revolución por unidad de

superficie, la fuerza que actúa sobre el elemento diferencial de superficie considerado en la

figura 2.11 puede descomponerse así:

Figura 2.11 Componentes de la carga muerta P. Adaptado de Baker [1972: p.4]

Donde:

Px= P sin ϕ dA Py= 0 Pz= P cosϕ dA (Ec. 2.1)

Línea central

16

Meridiano (ϕ)

Nθϕ

Nϕθ

2.2.5 Esfuerzos internos

Las fuerzas externas que actúan sobre un cascarón deben de encontrarse en equilibrio con

las fuerzas internas o esfuerzos internos que en él se generan. Estas fuerzas internas están

definidas por los ángulos ϕ y θ (la dirección ϕ se asocia a X y la dirección θ a Y), y son de

tres tipos, cada uno de los cuales se describe a continuación:

• Fuerzas de Membrana, que actúan en el plano de la superficie de la cáscara. (ver figura

2.12).

Figura 2.12 Fuerzas en una membrana. Adaptado de Baker [1972: p.4]

Donde:

Nθ, Nϕ Fuerzas normales en el plano por unidad de longitud.

Nθϕ, Nϕθ Fuerzas cortantes en el plano por unidad de longitud.

Estas fuerzas pueden variar a lo largo del meridiano y del paralelo.

Paralelo (θ)

Nθ

Nϕ

17

Meridiano (ϕ)

Paralelo (θ)

Qθ

Qϕ

Meridiano (ϕ)

Paralelo (θ)

• Fuerzas Transversales Qθ y Qϕ como se muestra en la figura 2.13.

Figura 2.13 Fuerzas cortantes transversales. Adaptado de Baker [1972: p.5]

• Momentos flectores Mϕ y Mθ por unidad de longitud y momentos torsores Mϕθ y M θϕ

por unidad de longitud.( véase la figura 2.14)

Figura 2.14 Momentos flectores y torsores. Adaptado de Baker [1972: p.5]

Mθ

Mϕ

Mθϕ

Mϕθ

Representación de momento

18

2.2.6 Condición de equilibrio

Las ecuaciones obtenidas en virtud de las condiciones de equilibrio y compatibilidad de

deformaciones se analizaran considerando un diferencial del elemento cáscara.

Considerando un diferencial del elemento cáscara sometido a fuerzas externas, este

experimenta diez componentes de esfuerzos internos (Nθ, Nϕ, Nθϕ, Nϕθ, Qθ, Qϕ, Mϕ, Mθ,

Mϕθ, Mθϕ), los cuales deberán estar en equilibrio con las fuerzas externas.

Para determinar estas diez componentes, existen solamente seis ecuaciones de equilibrio

(véase ecuaciones 2.2 y 2.3), por lo que este problema es considerado estáticamente

indeterminado.

� Fx =0 � Fy =0 � Fz =0 (Ec. 2.2)

� Mx =0 � My =0 � Mz =0 (Ec. 2.3)

2.2.7 Teoría de las membranas para cascarones

Por lo general un cascarón es una estructura estáticamente indeterminada, ya que existen

solamente seis ecuaciones de equilibrio (como se mencionó en el apartado anterior) para las

cuales se tienen diez incógnitas.

Para elaborar un cálculo de valores estáticamente indeterminados en el análisis de

cascarones, se recomienda realizarlos con la ayuda de métodos aproximados que permitan

brindar resultados razonables. Si en el estudio de equilibrio de una cáscara, todas las

expresiones de momentos se hacen igual a cero, resulta la comúnmente llamada Teoría de

la Membrana para Cascarones.

Un cascarón es considerado que actúa en estado de membrana si los esfuerzos a flexión son

despreciables, (pequeños comparados con los esfuerzos axiales directos). Dos casos en los

que los cascarones cumplen con esta definición de estado de membrana son:

a) Cascarones con rigidez a flexión lo suficientemente pequeña para ser incapaz de

resistir la flexión.

b) Cascarones que poseen suficiente rigidez a flexión pero con condiciones de cargas y

apoyos de forma que no permitan el desarrollo de esfuerzos a flexión.

19

Para cascarones con suficiente rigidez a flexión, al considerar el estado de membrana,

se deben cumplir diversas condiciones adicionales relacionadas con la forma de la

cáscara, la naturaleza de la carga aplicada (ver figura 2.15) y el tipo de apoyos (ver

figura 2.16).

Figura 2.15 Carga concentrada, este tipo de carga no es compatible con la Teoría de la Membrana. Adaptado de Baker [1972: p.28].

Figura 2.16 Condiciones de borde compatibles con la Teoría de la Membrana. Adaptado de Baker [1972: p.28].

2.2.8 Teoría de la flexión para placas

Cuando no se satisfacen las condiciones de equilibrio o existen deformaciones

incompatibles, surgen esfuerzos a flexión y torsión en el cascarón. En ocasiones se puede

modificar el diseño del cascarón y sus apoyos para reducir o eliminar estos esfuerzos. Sin

embargo, cuando no se pueden eliminar, se debe procurar que el cascarón los resista y por

tanto considerar la flexión y la torsión en el análisis del cascarón.

Incluso para los tipos más sencillos de cascarones y de condiciones de carga, es difícil

calcular los esfuerzos cuando deben considerarse la flexión y torsión. En la teoría de la

flexión un cascarón delgado es estáticamente indeterminado, las condiciones de

Carga concentrada

Desequilibrio debido a la carga concentrada

20

deformación deben suplementar a las condiciones de equilibrio al establecer ecuaciones

diferenciales para determinar las fuerzas y momentos desconocidos. La solución de las

ecuaciones resultantes, cuando existe solución, puede ser muy compleja. En la práctica, el

diseño de los cascarones está basado en gran parte en la experiencia y criterio del

diseñador. El diseñador debe tener en consideración el tipo de cascarón, el material con el

cual está hecho y las condiciones de los apoyos. Posteriormente, debe decidir si aplicar una

teoría completa de flexión, utilizar una teoría aproximada de flexión o hacer un cálculo más

o menos aproximado de los efectos de la flexión y la torsión.

2.2.9 Condiciones de apoyo

Las condiciones de borde en los cascarones pueden permitir la rotación y las deflexiones

horizontales y verticales del elemento, dependiendo de su condición de apoyo.

Dos casos especiales de restricción son los de borde libre y borde empotrado. Para el caso

de borde libre, este no está restringido en ninguna dirección, es decir puede rotar y

deflectarse a causa de la aplicación de una carga. Para el caso de borde empotrado estos se

encuentran totalmente restringidos a cualquier tipo de rotación y deflexión.

Al igual que en el caso de las placas, estos casos son sólo aproximaciones de lo que en la

realidad existe físicamente, pero es muy usual la adopción de bordes libres o empotrados

con el objeto de simplificar el análisis.

En muchos casos, cuando existe alguna restricción considerable a la rotación y deflexión de

un borde, se adopta la condición de empotramiento. Así por ejemplo, una cúpula fijada a un

anillo en sus bordes tiene las rotaciones y deflexiones restringidas a lo largo de todo su

contorno. Esta restricción es impuesta por el anillo, el cual obviamente es deformable bajo

las cargas, sin embargo, dado que sin estas restricciones los bordes estarían libres y las

deformaciones serían mayores, sobre esta base se suponen empotradas.

2.2.10 Aplicaciones

Existe una gran variedad de estructuras de cáscara en la práctica de la ingeniería. A

continuación se presentan algunas de las ramas en donde estos elementos son más

utilizados.

21

Obras civiles

El desarrollo de domos y bóvedas de mampostería en la Edad Media, hizo posible la

construcción de edificios más espaciosos. En tiempos recientes, el desarrollo del concreto

reforzado ha estimulado el interés en el uso de cáscaras delgadas en techos, debido a que

cubren grandes espacios de manera eficiente, pues la capacidad portante de la cáscara se

genera dándole la forma curva adecuada sin necesidad de aumentar el espesor, por lo que se

pueden obtener estructuras livianas y económicas

Industria

El desarrollo de la industria de vapor, dio paso a la construcción de chimeneas a partir de

cascarones delgados formados en base a placas convenientemente unidas. En la actualidad,

existen diseños más eficientes que han permitido que su uso se extienda a importantes

obras como plantas nucleares, de energía y térmicas, tuberías de alta presión y en todas las

ramas de la industria química y petrolera.

Particularmente, en la industria automotriz, el desarrollo de las cáscaras delgadas ha

permitido la elaboración de carrocerías con gran cantidad de piezas en forma de cascarones

delgados. Estas piezas permiten tener superficies lisas, livianas, agradables a la vista y con

una alta capacidad de trasmitir y disipar las cargas por impactos. Este mismo concepto ha

sido empleado en la construcción de trenes, naves espaciales y aviones.

23

CAPITULO 3

FORMULACIÓN DE PLACA 3.1 FUNDAMENTOS DE ELASTICIDAD

Para describir el comportamiento de los sólidos deformables, es necesario desarrollar

ecuaciones que relacionen los esfuerzos y las deformaciones en el entorno de un punto del

material. Para el caso de pequeñas deformaciones, se comprueba que en la mayoría de los

materiales el proceso de deformación es reversible, siendo esta una característica del

comportamiento elástico. De igual forma, se ha verificado a lo largo de la historia que para

casi todos los materiales elásticos la proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones se

rige bajo un comportamiento elástico lineal.

La Teoría de Elasticidad es la rama de la Mecánica de Sólidos que tiene como objeto el

estudio de los sólidos deformables cuyo comportamiento es elástico. Esta teoría considera

como sólido elástico todo aquel cuerpo que ante una fuerza exterior se deforma y recupera

su estado original al dejar de actuar tal acción. A estos sólidos se les supone una serie de

cualidades como isotropía, homogeneidad y continuidad, que se explican a continuación.

• Isotropía: se considera un cuerpo isotrópico cuando sus propiedades físicas no

dependen de la dirección en que se han medido, es decir el cuerpo posee las mismas

propiedades físicas en todas las direcciones.

• Homogeneidad: esta propiedad equivale a considerar que todas las partes del

cuerpo poseen la misma composición y características.

• Continuidad: se considera que entre las partículas que conforman el cuerpo no

existen huecos.

Para el desarrollo de la teoría de placas, es necesario tener claro algunos conceptos

relacionados con la teoría de la elasticidad debido a que su desarrollo se basa en ella. Es por

ello que dentro de este apartado se abordarán algunos conceptos fundamentales de esta

rama de la mecánica de sólidos, con el objeto de facilitar la comprensión del

comportamiento de los elementos placa.

24

Sólido elástico Ejes de

referencia

3.1.1 Vectores esfuerzo en un punto

En un cuerpo sólido sometido a un sistema de fuerzas externas en equilibrio que es

atravesado por un plano arbitrario que lo divide en dos partes (ver figura 3.1), se forma una

superficie S en donde existirán fuerzas de interacción a través de dicha superficie, las

cuales son iguales en magnitud y dirección pero en sentidos opuestos para que exista

equilibrio.

X

Y

Z

Figura 3.1 Solido elástico atravesado por un plano cualquiera.

Si se analiza un elemento diferencial de volumen de forma hexaédrica en un punto P que

pertenece a la superficie S con vértice en O y con caras paralelas a un sistema de referencia

cartesiano ortogonal Oxyz, como lo muestra la figura 3.2, se tiene que sobre cada cara del

elemento actúa un vector �� que se puede descomponer según los ejes de referencia

establecidos. La componente normal a la cara se denomina esfuerzo normal σij y es

paralela al eje de referencia, mientras que la componente tangencial o cortante τij es paralela

a la cara y perpendicular al eje de referencia.

Punto “P”

Superficie “S”

O Y

X

Z

25

Z

X

Y

dy

dx

dz

O

Figura 3.2 Esfuerzos normales y tangenciales actuando en las distintas direcciones de un sólido

elástico.

A partir de la figura 3.2 se definen:

• σij Esfuerzo normal, en donde el subíndice “i” representa el plano sobre el que

actúa el esfuerzo (más bien el eje que es perpendicular a dicho plano), y el

subíndice “j”, la dirección del esfuerzo.

• τij Esfuerzo tangencial o cortante, en donde el subíndice “i” representa el plano

sobre el que actúa el esfuerzo y el subíndice “j”, la dirección del esfuerzo.

De las definiciones anteriores se obtienen las componentes de los vectores esfuerzo

correspondientes a cada uno de los planos y que serán representados como sigue:

• �� = [σxx, τxy, τxz]

• ��= [τyx, σyy, τyz ] (Ec. 3.1)

• �� = [τzx, τzy, σzz ]

Para que el cuerpo esté en equilibrio, los esfuerzos que actúan en las caras opuestas de la

figura 3.2 tienen las mismas magnitudes pero poseen sentidos opuestos. Estos esfuerzos

multiplicados por diferenciales de área se traducen a fuerzas que producen momentos en el

Y

τyz O

Y

X

Z

σxx

σyy

σzz

τzx

τxz

τxy

τzy

τyx

26

τ τ

cuerpo. Haciendo equilibrio de momentos (∑M =0), por ejemplo alrededor el eje X se

tiene:

(τyz dxdz) x dy - (τzy dxdy) x dz = 0 (Ec. 3.2)

Y para que esto se cumpla τyz = τzy. A partir de esto se deduce el principio de reciprocidad

que establece: “En dos planos perpendiculares entre sí, las componentes de los esfuerzos

tangenciales normales a la arista común en un punto son iguales en magnitud, y ambas

concurren o se separan simultáneamente a la arista” [Cervera y Blanco, 2001, p.7] (ver

figura 3.3).

Figura 3.3 Principio de reciprocidad tangencial. Adaptado de Cervera y Blanco [2001: p.7].

De forma análoga para los demás ejes se tiene:

• ∑Mz =0 τxy= τyx (Ec. 3.3)

• ∑My =0 τxz = τzx (Ec. 3.4)

Este principio permite reducir a la mitad el número de esfuerzos tangenciales

independientes, quedando para un punto P tres valores de esfuerzos normales y tres valores

de esfuerzos tangenciales por determinar (σxx , σyy , σzz , τxy , τyz , τxz).

Conforme a la Teoría de la Elasticidad, el vector esfuerzo T�� que actúa en un plano α

cualquiera que atraviesa el punto P, puede definirse en función de estos esfuerzos normales

y cortantes y en función de las componentes del vector unitario N�� perpendicular a dicho

plano, de la siguiente forma:

�� = �! ∗ #�� (Ec. 3.5)

τ τ

27

$Tx

Ty

Tz

% = &σxx τxy τzx

τxy σyy τyz

τzx τyz σzz

' $Nx

Ny

Nz

% (Ec. 3.6)

en donde:

• T�� Vector de esfuerzos correspondiente al plano α que atraviesa el punto P con

respecto al sistema Oxyz.

• [σ] Matriz de esfuerzos correspondiente al punto P, con respecto al sistema

Oxyz.

• N�� Vector unitario normal al plano α que contiene el punto P, con respecto al

sistema Oxyz.

3.1.2 Deformaciones en el entorno de un punto

Las deformaciones en un medio continuo se manifiestan tanto como el cambio de distancia

entre dos puntos colindantes y como la distorsión angular (o cambio de ángulo) entre dos

líneas que se intersectan.

Antes que el cuerpo estuviera sometido a las acciones (fuerzas, cambios de temperatura)

que produjeron las deformaciones, la posición de un punto P se define por las coordenadas

(x, y, z). Después de haber ocurrido la deformación tal punto se desplaza hasta otro punto

P’ de coordenadas (x + u, y + v, z + w), donde los cambios u, v, y w son las componentes

del vector desplazamiento en las direcciones de los ejes X, Y, Z, respectivamente.

Si el vector desplazamiento en el punto P (x, y, z) está dado por δ �� (véase la figura 3.4),

para un punto cercano Q, de coordenadas (x + dx, y + dy, z + dz), su desplazamiento puede

expresarse como δ ��+ dδ�� , en donde:

( �� = )*+ ,- y /(�� = &/*/+/,' (Ec. 3.7)

28

O

(��+/(�� dr��

dr'�� P

P'

Q

Q'

Figura 3.4 Posición de dos puntos de un sólido antes y después de la deformación. Adaptado de

Hasbun [2005, p:23]

Considerando que u, v y w son funciones que dependen de la posición del punto P, de

acuerdo a la regla de la cadena se tiene:

/* = 0*01 /1 + 0*03 /3 + 0*04 /4 (Ec. 3.8)

/+ = 0+01 /1 + 0+03 /3 + 0+04 /4 (Ec. 3.9)

/, = 0,01 /1 + 0,03 /3 + 0,04 /4 (Ec. 3.10)

Ahora considérese la línea AB5555 paralela al eje Y, en su posición inicial antes que se

produjera la deformación (ver figura 3.5). Luego de haber ocurrido la deformación, la línea

AB5555 toma la posición A’B’555555.

Figura 3.5 Desplazamiento de la línea AB5555. Adaptado de Ottosen [1992: p.244].

(�

A B

A’

B’

Y

Z

X

(x, y, z ) (x, y + dy, z)

(x + u + du, y + dy + v + dv, z +w + dw)

(x + u, y + v, z + w)

29

La longitud de la línea |AB5555 | es dy, y la longitud de la línea |A’B’55555| (véanse las coordenadas

de los puntos A’B’ en la figura 3.5) está dada por:

78′9′7 = :/*;< + :/3 + /+;< + :/,;<!=< (Ec. 3.11)

Como AB5555 es paralela al eje Y, se tiene: dx=0 y dz=0, por lo que las ecuaciones 3.8-3.10 se

simplifican a:

/* = 0*03 /3; /+ = 0+03 /3; /, = 0,03 /3 (Ec. 3.12)

Usando estas expresiones en 3.11 se puede escribir:

78′9′7 = /3 &?0*03@< + ?1 + 0+03@< + ?0,03 @<'=< (Ec. 3.13)

En la mayor parte de las aplicaciones a la ingeniería, las tasas de cambio de las

deformaciones son mucho menores que la unidad, esto es:

0*03 ≪ 1; 0+03 ≪ 1; 0,03 ≪ 1

por lo que la expresión 3.13 puede quedar como sigue:

78′9′7 = /3 ?1 + 0+03@ (Ec. 3.14)

Conforme a lo anterior, la deformación por unidad de longitud o deformación unitaria en la

dirección Y representada como εyy, es:

78′9′7 − |AB||AB| = 0+03 = E�� (Ec. 3.15)

En forma análoga pueden definirse las deformaciones unitarias en las direcciones X y Z

como sigue:

E�� = 0*01 ; E�� = 0,04 (Ec. 3.16)

30

Como se mencionó antes, las deformaciones también se presentan como el cambio de

ángulo entre dos líneas que se intersectan. Considérense ahora dos líneas AC5555 y AB5555

perpendiculares entre sí, con AC5555 paralela al eje Z y AB5555 paralela al eje Y.

Luego de haberse producido la deformación, los puntos A, B y C se trasladan a A’, B’ y

C’, respectivamente (ver figura 3.6).

Figura 3.6 Distorsión angular de ABC debido a la deformación. Adaptado de Ottosen [1992: p.245].

Debido a que el interés se centra en los cambios de giro, se ignoran los cambios de posición

de AB5555 y AC5555 , por lo que se supone que sus longitudes permanecen constantes.

De lo anterior se tiene:

sin I= = /,|8′9′| = /,/3 ; sin I< = /+|8′J ′| = /+/4 (Ec. 3.17) Dado que a lo largo de AB5555, dx = 0 y dz = 0, resulta:

/, = 0,03 /3 (Ec. 3.18) De igual forma, a lo largo de AC5555, dx = 0 y dy = 0, por lo que:

/+ = 0+04 /4 (Ec. 3.19)

Y

Z

B

C

A

B’

C’

A’

(y, z)

(y + v, z + w)

dy

dz θ1

θ2

dw

dv

31

Sobre la base de estas expresiones para dw y dv y aproximando Sin θ ≈ θ en 3.17 se

obtiene:

I= = 0,03 ; I< = 0+04 (Ec. 3.20)

a partir de lo cual se puede concluir que el ángulo comprendido en CAB ha disminuido

debido a la deformación la cantidad de:

I= + I< = 0,03 + 0+04 (Ec. 3.21)

Esta variación angular es también denominada deformación por cortante ó distorsión γyz,

para la cual los subíndices indican que tal variación está referida a líneas que son paralelas

a los ejes Y y Z. De igual forma se pueden obtener estas variaciones angulares para las

otras dos direcciones, por lo que se obtiene:

K�� = 0*03 + 0+01 ; K�� = 0*04 + 0,01 ; K�� = 0+04 + 0,03 (Ec. 3.22)

Siempre conforme a la Teoría de la Elasticidad, se puede obtener para un determinado

punto P la matriz de deformaciones [D], la cual está definida por las deformaciones

longitudinales unitarias y por las variaciones angulares o distorsiones anteriormente

definidas, de la siguiente forma:

L =MNNNNO E�� 12 K�� 12 K��12 K�� E�� 12 K��12 K�� 12 K�� E�� PQ

QQQR

(Ec. 3.23)

Conocida esta matriz, es posible definir un vector deformación unitaria ε �� asociado a una

dirección definida por un vector unitario N��, perpendicular a un plano α, de la siguiente

manera (véase figura 3.7):

32

εn E� 1 2T γn

N�� P

Q

Figura 3.7 Componentes del vector de deformación unitaria. Adaptado de Hasbun [2005: p.32].

E �� = L! ∗ #�� o bien:

&E�E�E� ' =MNNNNO E�� 12 K�� 12 K��12 K�� E�� 12 K��12 K�� 12 K�� E�� PQ

QQQR $#�#�#� % (Ec. 3.24)

La proyección del vector ε �� sobre las direcciones normal y tangente al plano α, definen la

deformación unitaria longitudinal y la distorsión que sufre el entorno del punto P en la

dirección asociada al vector N��.

3.1.3 Relaciones Constitutivas

En los apartados anteriores se establecieron los conceptos de esfuerzo y deformaciones, sin

referencia alguna al tipo de material, imponiendo solamente la condición de pequeñas

deformaciones.

Existe obviamente una relación entre los esfuerzos y las deformaciones, pero esta relación

depende exclusivamente del tipo de material con el que se está tratando. Esta relación es

llamada Relación Constitutiva.

Plano perpendicular al

vector N��

33

El Módulo de Elasticidad es la relación entre el esfuerzo aplicado en una determinada

dirección y la deformación unitaria generada en esa misma dirección, dentro del rango

elástico lineal del material. Esta propiedad se puede obtener de forma experimental

mediante la curva esfuerzo-deformación (ver figura 3.8).

Figura 3.8 Modulo de elasticidad

Más específicamente, el Módulo de Elasticidad es la pendiente de la curva en la zona

elástica lineal, y se constituye en la constante de proporcionalidad de la conocida Ley de

Hooke, la cual establece lo siguiente:

�X = YEX (Ec. 3.25)

Donde:

• E Módulo de elasticidad

• σm Esfuerzo uniaxial aplicado en la dirección “m”.

• εm Deformación unitaria producida por σm

Sin embargo, es un hecho comprobado científicamente que un material sometido a

esfuerzos uniaxiales no solamente sufre deformaciones en la dirección en la que es aplicado

el esfuerzo, sino también en las direcciones perpendiculares a ella.

Así, si “m” es la dirección en la que es aplicado el esfuerzo y “n” una dirección

perpendicular a ella, dentro del régimen elástico de un material se puede establecer:

Z = − E[EX (Ec. 3.26)

ε

Carga

Descarga

σ

34

Siendo:

• µ Módulo de Poisson

• εm Deformación unitaria en la dirección “m”

• εn Deformación unitaria en la dirección “n”

Conforme a lo anterior la deformación generada en una dirección se ve afectada por los

esfuerzos aplicados en las demás direcciones. Así por ejemplo las deformaciones generadas

en la dirección X, εxx son las siguientes:

\]^ �� E�� = _``a (Ec. 3.27)

\]^ �� E�� = −ZE�� (Ec. 3.28)

\]^ �� E�� = −ZE�� (Ec. 3.29)

De lo anterior puede entonces establecerse para un caso general:

E�� = 1Y b�� − Z:�� + ��;c (Ec. 3.30)

E�� = 1Y b�� − Z:�� + ��;c (Ec. 3.31)

E�� = 1Y b�� − Z:�� + ��;c (Ec. 3.32)

Por otro lado las distorsiones angulares se pueden expresar en función de los esfuerzos

cortantes de forma análoga a la Ley de Hooke de la siguiente manera:

K�� = d��e (Ec. 3.33)

K�� = d��e (Ec. 3.34)

K�� = d��e (Ec. 3.35)

siendo G el denominado Módulo de Rigidez del material.

35

Para el caso de sólidos elásticos lineales isotrópicos la Teoría de la Elasticidad establece la

siguiente relación entre el Módulo de Rigidez G, el Módulo de Elasticidad E y el Módulo

de Poisson µ:

e = Y2:1 + Z; (Ec. 3.36) Las expresiones 3.30 - 3.35 constituyen las denominadas Leyes de Hooke Generalizadas,

las cuales convenientemente se pueden expresar en forma matricial de la siguiente manera:

MNNNNOE��E��E��K��K��K�� PQQ

QQR = 1YMNNNNO 1 −f −f 0 0 0−f 1 −f 0 0 0−f −f 1 0 0 00 0 0 2:1 + f; 0 00 0 0 0 2:1 + f; 00 0 0 0 0 2:1 + f;PQQ

QQR MNNNNO��d��d��d�� PQQ

QQR (Ec. 3.37)

De igual forma los esfuerzos se pueden expresar en función de las deformaciones, mediante

las denominadas Ecuaciones de Lamé, las cuales se escriben como sigue:

�� = hi + 2eE�� d�� = eK�� = hi + 2eE�� d�� = eK�� (Ec. 3.38)

�� = hi + 2eE�� d�� = eK�� siendo λ y G los denominados Coeficientes de Lamé, dados por:

h = ZY:1 + Z;:1 − 2Z; (Ec. 3.39)

e = Y2:1 + Z; (Ec. 3.40)

y e es la denominada dilatación cubica unitaria, dada por:

i = E�� + E�� + E�� (Ec. 3.41)

Las ecuaciones de Lamé también pueden reordenarse convenientemente en forma matricial

de la siguiente forma:

36

MNNNNO��d��d��d�� PQQ

QQR =MNNNNOh + 2e h h 0 0 0h h + 2e h 0 0 0h h h + 2e 0 0 00 0 0 e 0 00 0 0 0 e 00 0 0 0 0 ePQQ

QQRMNNNNOE��E��E��K��K��K�� PQQ

QQR (Ec. 3.42)

3.1.4 Estados de Elasticidad Plana

Existen muchos casos en la práctica en los que el sistema de fuerzas externas y la sujeción a

que está sometido un sólido elástico hacen que tanto la matriz de esfuerzos como la matriz

de deformaciones no varíen en los puntos del elemento pertenecientes a una recta

perpendicular a una orientación fija, por lo que los estados de esfuerzos y de deformaciones

en los planos paralelos son idénticos. Tales estados, que permiten hacer el análisis en un

espacio bidimensional, son denominados Estados de Elasticidad Plana.

Los dos casos de Elasticidad Plana se presentan a continuación.

• Estado de Deformación Plana

Considerando que el plano de análisis coincide con el plano que definen los ejes X y

Y, el estado de deformación plana ocurre cuando las componentes u y v del

desplazamiento son independientes de la coordenada Z, es decir u(x, y) y v(x, y), y

el desplazamiento en Z se encuentra restringido, esto es w = 0.

Debido a que las derivadas con respecto a w son nulas, y tanto u como v no

dependen de Z, de las expresiones 3.16 y 3.22 se tiene:

E�� = 0; K�� = 0 ; K�� = 0 (Ec. 3.43)

Por lo que de la condición εzz = 0, se obtiene de la ecuación 3.32:

�� = Z:�� + ��; (Ec. 3.44)

y de la condición γzx = 0 y γzy = 0 y de las expresiones 3.34 y 3.35:

d�� = 0 (Ec. 3.45)

37

d�� = 0 (Ec. 3.46)

por lo que, de las condiciones anteriores las expresiones 3.38 se reescriben:

�� = hjE�� + E��k + 2eE�� (Ec. 3.47)

�� = hjE�� + E��k + 2eE�� (Ec. 3.48)

d�� = eK�� (Ec. 3.49)

Con las expresiones 3.39 y 3.40, las ecuaciones anteriores se pueden reordenar de

forma matricial de la siguiente manera:

&��d�� ' = Y:1 + Z;:1 − 2Z; l1 − Z Z 0Z 1 − Z 00 0 :1 − Z;2 m &E��E��K�� ' (Ec. 3.50)

Nótese que en el caso de Deformación Plana, σzz existe y está dado por la ecuación

3.44.

• Estado de Esfuerzo Plano

Este estado se caracteriza por ser nulos los esfuerzos σzz, τxz y τyz. De las ecuaciones

3.30 a 3.35 resulta:

K�� = d��e (Ec. 3.51)

K�� = 0 (Ec. 3.52)

K�� = 0 (Ec. 3.53)

E�� = 1Y :�� − Z��; ∴ �� = YE�� + Z�� (Ec. 3.54)

E�� = 1Y j�� − Z��k ∴ �� = YE�� + Z�� (Ec. 3.55)

E�� = − ZY :�� + ��; (Ec. 3.56)

38

De las expresiones 2.54 y 2.55 se obtiene para σxx y σyy:

�� = Y1 − Z< :E�� + ZE��; (Ec. 3.57)

�� = Y1 − Z< :E�� + ZE��; (Ec. 3.58)

Por otra parte, de las expresiones 3.36 y 3.51 se tiene:

d�� = Y2:1 + Z; K�� = Y:1 − Z<; o:1 − Z;2 K��p (Ec. 3.59)

Conforme a lo anterior, las ecuaciones 3.57, 3.58 y 3.59 se pueden ordenar de

forma matricial de la siguiente manera:

&��d�� ' = Y:1 − Z<; l1 Z 0Z 1 00 0 :1 − Z;2 m &E��E��K�� ' (Ec. 3.60)

Nótese que en el caso de esfuerzo plano, εzz existe y está dado por la ecuación 3.56.

3.2 TEORIA DE PLACAS

3.2.1 Hipótesis Básicas

A partir de las ecuaciones básicas de elasticidad antes descritas, se puede expresar el

comportamiento de los elementos placa, basándose en las siguientes hipótesis:

• Se considera válida la teoría de las pequeñas deformaciones. En los casos de placas,

la hipótesis de las deformaciones pequeñas normalmente se satisface para

deflexiones del orden de un décimo del espesor de la placa.

• Todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la placa sin

deformar, permanecen después de la deformación sobre una recta normal al plano

medio en la configuración deformada (figura 3.9), por lo que se desprecian los

efectos de la deformación por cortante.

39

Figura 3.9 Elemento placa antes y después de la deformación.

• Los esfuerzos normales en la dirección transversal a la placa son despreciables.

• Los elementos placa actúan en el estado de esfuerzo plano, mencionado en el

apartado (3.1.4).

Las hipótesis antes mencionadas, permiten expresar los desplazamientos, deformaciones y

esfuerzos en el plano medio sólo en función de la flecha w(x, y), que caracteriza cada punto

de la placa, transformando así un problema inicialmente tridimensional(x, y, z) en uno

bidimensional(x, y).

3.2.2 Ecuaciones de Equilibrio

Considérese una placa cuyo plano medio coincide con el plano formado por los ejes X y Y

(ver figura 3.10), la cual es sometida a una carga transversal q por unidad de superficie,

cuya convención positiva se muestra en la figura 3.10. La configuración de la placa es

simétrica respecto a este plano, por lo que se admite la posibilidad de que el espesor de la

placa varíe.

a) Elemento placa antes de la deformación

b) Elemento placa después de la deformación

Plano medio

Plano medio Recta normal Recta normal

40

τxy

τxz

σxx

τxz

X

Y

Z

Carga transversal "q"

Planomedio

Espesor "t"

Figura 3.10 Fuerzas actuando en la placa.

Bajo las condiciones anteriores, considerando que la placa se encuentra en equilibrio, en el

plano normal al eje X aparecen los esfuerzos que se detallan en la figura 3.11.

Figura 3.11 Esfuerzos en el plano normal al eje X. Adaptado de Ottosen [1992: p. 336]

Debido a estos esfuerzos, se producen las acciones Nxx, Nxy, Vxz, Mxx, y Mxy, para las

cuales la figura 3.12 presenta la convención positiva correspondiente, y que se define como

sigue:

O Y

X

Z

41

Vxz

Mxx

MxyNxx

Nxy

Figura 3.12 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara X.

Adaptado de Ottosen [1992: p.336].

En donde:

• Nxx: Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σxx.

#�� = q ��/4 (Ec. 3.61)r/<

sr/<

• Nxy: Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τxy.

#�� = q d��/4 (Ec. 3.62)r/<

sr/<

• Vxz: Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producida por τxz.

t�� = q d��/4 (Ec. 3.63)r/<

sr/<

• Mxx: Momento flector por unidad de longitud producido por σxx.

u�� = q 4��/4 (Ec. 3.64)r/<

sr/<

• Mxy: Momento de torsión por unidad de longitud producido por τxy.

u�� = q 4d��/4 (Ec. 3.65)r/<

sr/<

Para una mejor interpretación de los momentos que actúan sobre cada cara, se emplea la

convención estándar de doble flecha, la cual define los sentidos de tales acciones conforme

a la regla de la mano derecha.

De igual forma, en el plano normal al eje Y, se producen los esfuerzos que se presentan en

la figura 3.13:

O Y

X

Z

42

σyy

τyz

Figura 3.13 Esfuerzos en el plano normal al eje Y. Adaptado de Ottosen [1992: p.337].

y se generan las acciones Nyy, Nyx, Vyz, Myy, y Myx para las cuales su convención positiva

se muestran en la figura 3.14.

Vyz

NyyNyx

Myx

Myy

Figura 3.14 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara Y.

Adaptado de Ottosen [1992: p.337].

• Nyy: Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σyy.

#�� = q ��/4 (Ec. 3.66)r/<

sr/<

• Nyx: Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τyx.

#�� = q d��/4 (Ec. 3.67)r/<

sr/<

• Vyz: Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producido por τyz.

t�� = q d��/4 (Ec. 3.68)r/<

sr/<

• Myy: Momento flector por unidad de longitud producido por σyy.

u�� = q 4��/4 (Ec. 3.69)r/<

sr/<

τyx

O Y

X

Z

O Y

X

Z

43

• Myx: Momento de torsión por unidad de longitud producido por τyx.

u�� = q 4d��/4 (Ec. 3.70)r/<

sr/<

Aplicando el principio de la Reciprocidad abordado en el apartado 3.1.1, se tiene:

u�� = u�� = q 4d��/4 (Ec. 3.71)r/<

sr/<

#�� = #�� = q d��/4 (Ec. 3.72)r/<

sr/<

Suponiendo que la placa es sometida solamente a cargas transversales, esto es, no existen

fuerzas horizontales actuando en el plano XY, del equilibrio de fuerzas horizontales se

tiene: #�� = #�� = #�� = 0 (Ec. 3.73)

La figura 3.15 presenta una parte infinitesimal de la placa sometida a una carga transversal

q por unidad de área, y en la que se muestran también los cortantes transversales que actúan

en las cuatro caras de la placa.

X

Y

z

Figura 3.15 Fuerzas Cortantes Transversales actuando sobre el elemento placa.

Adapatado de Timoshenko [1959: p.80]

Vxz+ ∂Vxz∂x dx

Vyz+ ∂Vyz∂y dy

Vxz

Vyz qdxdy

44

Myy

Myy

Myx

Mxx+∂Mxx

∂xdx

Mxy+∂Mxy∂`x dx

Mxx+∂Mxx

∂xdx

Del equilibrio de fuerzas en el eje Z, de la figura 3.15 se tiene

}/1/3 − t��/1 + ?t�� + 0t��01 /1@ /3 + ot�� + 0t��03 /3p /1 − t�� = 0 (Ec. 3.74)

Simplificando y dividiendo todos los términos entre dxdy, se obtiene la ecuación de

equilibrio para los cortantes verticales

0t��01 + 0 t�� 03 + } = 0 (Ec. 3.75)

Por otra parte, la figura 3.16 presenta los momentos flectores y torsores por unidad de

longitud que corresponden al elemento infinitesimal de la placa considerado.

ZY

+

X

X'

Y'

+

Figura 3.16 Momentos actuando sobre el elemento placa. Adaptado de Ottonsen [1992: p.338]

Tomando en cuenta todas las acciones que se generan en el elemento considerado

(cortantes y cargas de la figura 3.15 y momentos de la figura 3.16), el equilibrio exige para

Mxy

Mxy

Mxx

Mxx

Myx+∂Myx

∂ydy

Myx+∂Myx

∂ydy

Myy+∂Myy

∂ydy

Myy+∂Myy

∂ydy

Myx

Mxy+∂Mxy∂x

dx

45

las acciones que producen momentos alrededor del eje X’ mostrado en la figura 3.16 lo

siguiente:

−}/1/3 12 /3 + t��/1/3 − ?t�� + 0t��01 /1@ /3 12 /3 + t��/3 12 /3 + u��/1 − ou�� + 0u��01 /1p /3 − ou�� + 0u��03 /3p /1 + u��/3 = 0 (Ec. 3.76)

Simplificando y dividiendo la expresión anterior entre dxdy, queda:

−} 12 /3 + t�� − 0t��01 12 /3 − 0u��01 − 0u��0� = 0 (Ec. 3.77)

y despreciando los términos que multiplican el diferencial dy:

0u��01 + 0u��03 = t�� (Ec. 3.78)

De forma análoga, haciendo sumatoria de momentos en la figura 3.16 con respecto al eje

Y’, se obtiene:

0u��01 + 0u��03 = t�� (Ec. 3.79)

A partir de las ecuaciones 3.78 y 3.79, se puede establecer:

0t��01 = 0<u��01< + 0<u��0103 (Ec. 3.80)

0t��03 = 0<u��03< + 0<u��0103 (Ec. 3.81)

y sustituyendo estas dos últimas expresiones en la ecuación 3.75 se obtiene:

0<u��01< + 0<u��0103 + 0<u��03< + 0<u��0103 = −} (Ec. 3.82)

Tomando en cuenta que Mxy es igual a Myx, la ecuación 3.82 se puede reordenar de la

siguiente manera:

46

0<u��01< + 0<u��03< + 2 0<u��0103 = −} (Ec. 3.83)

3.2.3 Relaciones Cinemáticas y Relaciones Constitutivas

Haciendo referencia a una de las hipótesis planteadas al inicio, la cual establece que todos

los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la placa sin deformar,

permanecen después de la deformación sobre una recta normal al plano medio en la

configuración deformada, las figuras 3.17 y 3.18 ilustran las proyecciones de la

configuración inicial y de la configuración deformada de un elemento infinitesimal de

placa, para la dirección Y y X respectivamente.

Z

Z

P

Q

P'

Q'

Figura 3.17 Desplazamiento del plano medio para la dirección Y. Adaptado de Ottonsen [1992: p.314]

0,/03

v°

0,/03

Y

Z

X

47

Z

Z

P

Q

P'

Q'

Figura 3.18 Desplazamiento del plano medio para la dirección X. Adaptado de Ottonsen [1992: p.314]

A partir de estas figuras y sobre la base de las hipótesis básicas inicialmente presentadas,

los desplazamientos u, v y w se pueden expresar de la siguiente manera:

+ = +~ − 40,03 (Ec. 3.84)

* = *~ − 40,01 (Ec. 3.85)

, = ,:1, 3; (Ec. 3.86) Siendo uo, vo los desplazamientos del plano medio en las direcciones X y Y

respectivamente, por lo que las deformaciones εxx, εyy y γxy (ver ecuaciones 3.15, 3.16 y

3.22) se pueden expresar en función de las expresiones 3.85, 3.84 y 3.86.

Siendo:

ε�� = 0*01 = 0*~01 − 40<,01< (Ec. 3.87)

ε�� = 0+03 = 0+~03 − 40<,03< (Ec. 3.88)

K�� = 0*03 + 0+01 = 0*~03 + 0+~01 − 2 40<,0103 (Ec. 3.89)

0,/01

0,/01

u°

X

Z

Y

48

Considerando que la placa se encuentra sometida a un estado de esfuerzo plano (ver

apartados 3.1.4 y 3.2.1) y sustituyendo las ecuaciones 3.87, 3.88 y 3.89 en 3.57, 3.58 y

3.51, las relaciones constitutivas se pueden expresar de la siguiente manera:

�� = Y1 − Z< �o0*~01 − 40<,01< p + Z o0+~03 − 40<,03< p� (Ec. 3.90)

�� = Y1 − Z< �o0+~03 − 40<,03< p + Z o0*~01 − 40<,01< p� (Ec. 3.91)

d�� e o0*~03 + 0+~01 − 2 40<,0103p (Ec. 3.92)

3.2.4 Ecuación Diferencial para la Teoría de Placas

Los momentos generados en los planos normales a los ejes X y Y se pueden expresar en

función de las relaciones cinemáticas y constitutivas.

Sustituyendo la ecuación 3.90 en 3.64 se tiene:

u�� = q & Y1 − Z< �o0*~01 − 40<,01< p + Z o0+~03 − 40<,03< p�' 4 /4r<sr< (Ec. 3.93)

u�� = Y1 − Z< $�?0*~01 − Z0+~03 @ q 4/4 − o0<,01< + Z0<,03< pr/<sr/< q 4</4r/<

sr/< �% siendo

q 4/4r/<sr/< = 0 3 q 4</4 = ��12r/<

sr/<

49

por lo que

u�� = − ��Y12:1 − Z<; )0<,01< + Z 0<,03< - = −L )0<,01< + Z 0<,03< - (Ec. 3.94)

donde:

L = ��Y12:1 − Z<; (Ec. 3.95)

término que representa la rigidez a flexión de una placa.

De forma análoga para 3.69 y 3.91 se obtiene:

u�� = q & Y1 − Z< �o0+~03 − 40<,03< p + Z o0*~01 − 40<,01< p�' 4 /4 (Ec. 3.96)

r<sr<

u�� = − ��Y12:1 − Z<; )0<,03< + Z 0<,01< - = −L )0<,03< + Z 0<,01< - (Ec. 3.97)

y para 3.65 y 3.92

u�� = q )e o0*~03 + 0+~01 − 2 40<,0103p- 4 /4 (Ec. 3.98)

r<sr<

u�� = − ��Y12:1 + Z; o 0<,0103p = − ��Y:1 − Z;12:1 + Z;:1 − Z; o 0<,0103p (Ec. 3.99)

u�� = −L:1 − Z; o 0<,0103p (Ec. 3.100)

Derivando 3.94, 3.97 y 3.100:

0<u��01< = −L )0�,01� + Z 0�,03<01<- (Ec. 3.101)

50

0<u��03< = −L )0�,03� + Z 0�,01<03<- (Ec. 3.102)

0<u��0103 = −L:1 − Z; 0�,01<03< (Ec. 3.103)

Sustituyendo 3.101, 3.102 y 3.103 en 3.83 se obtiene:

−L )0�,01� + Z 0�,03<01<- − L )0�,03� + Z 0�,01<03<- − L:1 − Z; 0�,01<03< = −} (Ec. 3.104)

−L 0�,01� − L 0�,03� − 2LZ 0�,01<03< − 2L:1 − Z; 0�,01<03< = −} (Ec. 3.105)

Reordenando 3.105 se tiene:

0�,01� + 0�,03� + 2 0�,01<03< = }L (Ec. 3.106)

Esta es la ecuación diferencial que rige el comportamiento de una placa, por lo que resuelta

esta ecuación se puede conocer el campo de desplazamientos, deformaciones, y esfuerzos

en cualquier punto de la placa.

51

CAPÍTULO 4

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS PRÁCTICO

La solución de problemas de placa a partir de la ecuación diferencial deducida en el

capítulo tres, está limitada a elementos geométricamente simples, así como para ciertos

tipos de carga y condiciones de borde. Si estas condiciones son más complejas, el análisis

se vuelve más tedioso y a veces hasta imposible de resolver analíticamente. En estos casos,

los métodos numéricos y aproximados se constituyen en una alternativa de solución viable

y práctica.

A pesar que la aplicación de métodos numéricos y aproximados a los problemas de placa

conllevan a diversos tipos de imprecisiones, son aceptables debido a que se reconocen otras

fuentes de error en la formulación del problema, como la definición de las cargas externas

que solo se conocen con cierto grado de certeza; la definición de las propiedades del

material, tales como el módulo de elasticidad E, módulo de poisson ν, y la definición de las

condiciones de borde que son sólo aproximaciones de las condiciones teóricas.

El objeto de los métodos aproximados, es encontrar las acciones de diseño de una manera

más sencilla, sobre la base de una carga máxima que la estructura será capaz de soportar.

Esta carga se encuentra dentro de dos límites que se les conoce como límite inferior y

límite superior.

• Límite inferior: se refiere a una carga última que no produce el colapso de la

estructura, ya que los momentos producidos por ella no exceden el momento de

fluencia en ningún sitio y se satisfacen las condiciones de borde. Si se cumplen

estas condiciones, el elemento soportará las cargas de diseño y podría aun sostener

cargas mayores si ocurriera una redistribución interna de momentos, por lo que se

estaría dentro del límite de la seguridad.

• Límite superior: se refiere a la carga última calculada a partir de un determinado

mecanismo de falla que causa el colapso de la estructura. Si se cumplen estas

condiciones, una carga mayor que la determinada producirá con certeza el fallo de

la estructura.

52

4.1 GENERALIDADES DE LOS MÉTODOS APROXIMADOS Y NUMERICOS

Diversos métodos han sido propuestos a lo largo del tiempo para encontrar de una manera

más sencilla las acciones de diseño. La sustitución de una placa por una serie de vigas

ortogonales cruzadas es el más antiguo y sencillo de estos métodos. Esta aproximación

establece que la placa puede ser modelada como dos vigas que se intersectan, soportando

cada una la carga distribuida q por unidad de área que le corresponde tal como se

esquematiza en la figura 4.1.

lb

la

Figura 4.1 Aproximación de placa en vigas ortogonales. Adaptado de Nilson [ 1998: p.362]

Así, tomando en cuenta que las flechas al centro de la longitud en ambas direcciones son

iguales y sobre la base de la flecha máxima en vigas simplemente apoyadas sometidas a

carga uniforme (ver ecuación 4.1), para el caso de la figura 4.1, se puede establecer la

relación mostrada en la ecuación 4.2.

∆X�� = 5}��384Y� (Ec. 4.1)

5}��384Y� = 5}��384Y� (Ec. 4.2)

donde qa es la fracción de carga que se transmite en la dirección corta (en la dirección de la)

y qb es la fracción que se transmite en la dirección larga (en la dirección de lb).

Simplificando la expresión 4.2 se tiene: }�}� = �� (Ec. 4.3)

Interserción de vigas ortogonales en punto medio.

lb

la

53

A partir de la relación anterior, se observa que la mayor parte de la carga se transmite en la

dirección corta. Los resultados obtenidos con este método son bastante aproximados, ya

que no se consideran los momentos torsores que se generan en los elementos placa que

contribuyen a soportar la cargas.

Tomando en cuenta el problema como vigas ortogonales aisladas, se tiene que el momento

máximo para una placa cuadrada simplemente apoyada (donde qa = qb y la = lb) es de

0.0625ql2. Si se toma en cuenta la contribución de los momentos torsores mediante la teoría

exacta de flexión de placas se tiene que el momento máximo es de 0.048wl2, lo que se

traduce a una reducción del 25 %. [Nilson y Winter, 1998: p.363]

Este método de las vigas ortogonales se utiliza para realizar diseños en base al límite

inferior, con los cuales se obtienen diseños más conservadores aunque obviamente más

costosos debido a que consideran acciones de diseño mayores que las reales.

Grashof (1826-1893) introdujo un método que se basa precisamente en este concepto de

división de la placa en vigas ortogonales. Para una placa, se iguala la flecha en la

intersección de ambas vigas de forma análoga como se establece en la ecuación 4.2.

Debido a que debe cumplirse: } = }� + }� (Ec. 4.4)

a partir de las ecuaciones 4.2 y 4.4, se puede establecer que la carga que soporta cada una

de las vigas ortogonales es:

}� = �� + �� } }� = �� + �� } (Ec. 4.5)

En el método de Grashof, las expresiones anteriores se escriben de una manera más

conveniente:

}� = �� } }� = �� } (Ec 4.6)

en donde los coeficientes ka y kb dependen de las condiciones de borde del elemento placa.

Para las distintas condiciones de apoyo se tiene que kb = 1 – ka , y ka puede tomar los

valores presentados en la figura 4.2. Con estos valores se obtienen las cargas qa y qb con las

cuales se obtienen las acciones internas del elemento placa.

54

la la

Figura 4.2 Valores de ka y kb para el método de Grashof. Adaptado de Oliete [ p.6]

A pesar de ser un método bastante aproximado, ya que no toma en cuenta los momentos

torsores que se generan en el elemento, permite de forma intuitiva y sencilla encontrar una

respuesta aproximada del comportamiento de la placa.

� = 5��2�� + 5��

� = 5�� + 5��

� = 2�� + 2��

� = �� + ��

Empotrado

Simple apoyo

lb lb

lb lb

la la

55

Hillerborg publicó en 1956 una forma práctica de determinar los momentos para el diseño

de losas, conocido como el Método de Franjas. Este método es empleado mayormente para

el diseño de elementos placa de concreto reforzado (correspondiente a techos, losas,

paredes) debido a que el diseñador tiene la libertad de variar el refuerzo de una forma

conveniente y práctica (ver apartado 4.3).

Debido a que gran parte de las losas cuyo comportamiento se describe como una placa

delgada, son construidas de concreto reforzado, el ACI (American Concrete Institute) ha

incluido a lo largo de los años dentro de sus publicaciones métodos para determinar los

momentos máximos para el diseño de estos elementos. El capítulo 13 del ACI, dedicado a

losas en dos direcciones, presenta dos métodos para la determinación de los momentos: el

método de diseño directo, el cual es un método semiempírico y el método del pórtico

equivalente, que es una aproximación del análisis elástico (para mayor referencia puede

verse el ACI apartados 13.6 y 13.7 respectivamente). El ACI 1963 incorporo un método

muy empleado en base a tablas de coeficientes para el cálculo de los momentos negativos y

positivos para losas en dos direcciones, que se detallará más adelante.

Diversos métodos numéricos han sido programados para el uso en ordenadores, los cuales

se han convertido en una poderosa herramienta para el análisis de distintos elementos

estructurales, entre ellos los elementos placa. Métodos como las Diferencias Finitas y los

Elementos Finitos son empleados hoy en día para un sinfín de aplicaciones en ramas de la

ingeniería estructural.

El Método de las Diferencias Finitas sustituye la ecuación diferencial de cuarto orden

(véase ecuación 3.106) por diversas ecuaciones algebraicas lineales, las cuales se expresan

en función de las deflexiones de un número finito de puntos sobre la superficie de la placa,

y que se convierten en las incógnitas a determinar.

El Método de los Elementos Finitos divide la placa en un número conveniente de áreas o

elementos rectangulares, triángulos o cuadriláteros. Posteriormente se consideran tanto las

propiedades físicas y geométricas como las relaciones entre fuerzas (o acciones) y

deformaciones sobre cada elemento y se expresan en función de las flechas y giros en sus

bordes, y que se constituyen en las incógnitas a determinar.

56

��4

��4

��2

la

lb

4.2 MÉTODO DE LOS COEFICIENTES

Este método de diseño directo fue incorporado en el ACI 1963 para uso en losas armadas

en dos direcciones apoyadas sobre muros y vigas de acero o vigas de concreto reforzado

cuya altura total no sea menor que aproximadamente tres veces el espesor de la losa para

proporcionar suficiente rigidez a flexión. El método emplea tablas de coeficientes que

cubren varias condiciones de apoyo en cada uno de los cuatro extremos de la losa,

basándose en análisis elásticos, pero también teniendo en cuenta la redistribución inelástica

que se da en los elementos placa, por lo que los momentos obtenidos son menores en cierta

cantidad que los momentos máximos elásticos en esa dirección.

Considérese una placa de dimensiones la y lb con bordes continuos. Para el empleo del

Método del los Coeficientes, cada elemento deberá ser dividido en ambas direcciones en

tres regiones como se detalla en la figura 4.3.

Figura 4.3 Placa dividida en 3 franjas por el método de los coeficientes.

de donde se tiene:

• Franja central: Ancho igual a la mitad del elemento.

• Franjas de borde: Ancho igual a un cuarto del elemento.

El método proporciona los momentos máximos en ambas direcciones que corresponden a

las franjas centrales, tanto para la dirección larga como la dirección corta, y pueden ser

calculados fácilmente a partir de las siguientes expresiones:

��4 ��2

��4

57

la

la

lb

lb ��4 ��2

��4

��4

��4

��2 uX��

uX�� uX��

uX��

uX��

uX��

u� = J�} ��< (Ec. 4.7)

u� = J�} ��< (Ec. 4.8)

donde

• Ca , Cb : coeficientes de momento tabulados

• q: carga uniformemente distribuida

• la , lb : longitud libre entre vigas en la dirección corta y larga.

Para las franjas de borde, se supone que los valores de momento disminuyen desde el

momento máximo en la franja central, a un tercio de ese valor en el otro extremo de la

franja de borde, en ambas direcciones (ver figura 4.4).

Figura 4.4 Distribución de momentos en ambas direcciones. Adaptado de Nilson [ 1998: p.366]

La figura 4.5 presenta una losa subdividida en varios elementos placa que se analizan

separadamente, y en las que se han considerado distintas condiciones de borde para cada

uno de ellos. La placa A tiene dos bordes libres y dos bordes continuos; la placa B un borde

libre y 3 bordes continuos; la placa C todos sus bordes continuos.

Mmax

58

A B

C

Figura 4.5 Distintas condiciones de apoyo en los elementos placa. Adaptado de Nilson [ 1998: p.366]

Las tablas 4.2, 4.3 y 4.4 presentan los coeficientes para momentos positivos y negativos

para nueve casos distintos de condiciones de apoyo en los bordes, mostrados en la tabla 4.1.

Para su uso, se debe obtener la relación de lado corto a lado largo e intersectar con el caso

de apoyo que se adapte a la situación de interés para extraer los coeficientes Ca y Cb de las

ecuaciones 4.7 y 4.8.

Tabla 4.1 Condiciones de apoyo en bordes método de los coeficientes.

Caso 1

Caso 4

Caso 7

Caso 2

Caso 5

Caso 8

Caso 3

Caso 6

Caso 9

Borde empotrado Borde libre

59

Tabla 4.2 Coeficientes para momentos negativos en losas. Nilson [1998: p.367]

Tabla 4.3 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta (d l) en losas. Nilson [1998: p.368]

Ca, neg 0.045 0.05 0.075 0.071 0.033 0.061

Cb, neg 0.045 0.076 0.05 0.071 0.061 0.033

Ca, neg 0.050 0.055 0.079 0.075 0.038 0.065

Cb, neg 0.041 0.072 0.045 0.067 0.056 0.029

Ca, neg 0.055 0.06 0.08 0.079 0.043 0.068

Cb, neg 0.037 0.070 0.04 0.062 0.052 0.025

Ca, neg 0.060 0.066 0.082 0.083 0.049 0.072

Cb, neg 0.031 0.065 0.034 0.057 0.046 0.021

Ca, neg 0.065 0.071 0.083 0.086 0.055 0.075

Cb, neg 0.027 0.061 0.029 0.051 0.041 0.017

Ca, neg 0.069 0.076 0.085 0.088 0.061 0.078

Cb, neg 0.022 0.056 0.024 0.044 0.036 0.014

Ca, neg 0.074 0.081 0.086 0.091 0.068 0.081

Cb, neg 0.017 0.050 0.019 0.038 0.029 0.011

Ca, neg 0.077 0.085 0.087 0.093 0.074 0.083

Cb, neg 0.014 0.043 0.015 0.031 0.024 0.008

Ca, neg 0.081 0.089 0.088 0.095 0.08 0.085

Cb, neg 0.01 0.035 0.011 0.024 0.018 0.006

Ca, neg 0.084 0.092 0.089 0.096 0.085 0.086

Cb, neg 0.007 0.028 0.008 0.019 0.014 0.005

Ca, neg 0.086 0.094 0.09 0.097 0.089 0.088

Cb, neg 0.006 0.022 0.006 0.014 0.01 0.003

Caso 4 Caso 5

0.60

0.55

0.50

Caso 6 Caso 7

0.75

0.70

0.65

1.00

0.95

0.90

0.85

0.80

Coeficiente Caso 8 Caso 9Caso 1 Caso 2 Caso 3

Ca, d l 0.036 0.018 0.018 0.027 0.027 0.033 0.027 0.02 0.023

Cb, d l 0.036 0.018 0.027 0.027 0.018 0.027 0.033 0.023 0.02

Ca, d l 0.040 0.020 0.021 0.03 0.028 0.036 0.031 0.022 0.024

Cb, d l 0.033 0.016 0.025 0.024 0.015 0.024 0.031 0.021 0.017

Ca, d l 0.045 0.022 0.025 0.033 0.029 0.039 0.035 0.025 0.026

Cb, d l 0.029 0.014 0.024 0.022 0.013 0.021 0.028 0.019 0.015

Ca, d l 0.050 0.024 0.029 0.036 0.031 0.042 0.04 0.029 0.028

Cb, d l 0.026 0.012 0.022 0.019 0.011 0.017 0.025 0.017 0.013

Ca, d l 0.056 0.026 0.034 0.039 0.032 0.045 0.045 0.032 0.029

Cb, d l 0.023 0.011 0.02 0.016 0.009 0.015 0.022 0.015 0.01

Ca, d l 0.061 0.028 0.040 0.043 0.033 0.048 0.051 0.036 0.031

Cb, d l 0.019 0.009 0.018 0.013 0.007 0.012 0.02 0.013 0.007

Ca, d l 0.068 0.03 0.046 0.046 0.035 0.051 0.058 0.04 0.033

Cb, d l 0.016 0.007 0.016 0.011 0.005 0.009 0.017 0.011 0.006

Ca, d l 0.074 0.032 0.054 0.05 0.036 0.054 0.065 0.044 0.034

Cb, d l 0.013 0.006 0.014 0.009 0.004 0.007 0.014 0.009 0.005

Ca, d l 0.081 0.034 0.062 0.053 0.037 0.056 0.073 0.048 0.036

Cb, d l 0.010 0.004 0.011 0.007 0.003 0.006 0.012 0.007 0.004

Ca, d l 0.088 0.035 0.071 0.056 0.038 0.058 0.081 0.052 0.037

Cb, d l 0.008 0.003 0.009 0.005 0.002 0.004 0.009 0.005 0.003

Ca, d l 0.095 0.037 0.080 0.059 0.039 0.061 0.089 0.056 0.038

32 0.006 0.002 0.007 0.004 0.001 0.003 0.007 0.004 0.002

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

1.00

0.95

0.90

0.85

Caso 7 Caso 8 Caso 9Coeficiente Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6�� T

�� T

60

Tabla 4.4 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva (l l) en losas. Nilson [1998: p.369]

Tabla 4.5 Proporción de la carga q que se reparte en las direcciones la y lb para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos. Nilson [1998: p.370]

Ca, l l 0.036 0.027 0.027 0.032 0.032 0.035 0.032 0.028 0.03

Cb, l l 0.036 0.027 0.032 0.032 0.027 0.032 0.035 0.03 0.028

Ca, l l 0.040 0.030 0.031 0.035 0.034 0.038 0.036 0.031 0.032

Cb, l l 0.033 0.025 0.029 0.029 0.024 0.029 0.032 0.027 0.025

Ca, l l 0.045 0.034 0.035 0.039 0.037 0.042 0.04 0.035 0.036

Cb, l l 0.029 0.022 0.027 0.026 0.021 0.025 0.029 0.024 0.022

Ca, l l 0.050 0.037 0.04 0.043 0.041 0.046 0.045 0.04 0.039

Cb, l l 0.026 0.019 0.024 0.023 0.019 0.022 0.026 0.022 0.02

Ca, l l 0.056 0.041 0.045 0.048 0.044 0.051 0.051 0.044 0.042

Cb, l l 0.023 0.017 0.022 0.020 0.016 0.019 0.023 0.019 0.017

Ca, l l 0.061 0.045 0.051 0.052 0.047 0.055 0.056 0.049 0.046

Cb, l l 0.019 0.014 0.019 0.016 0.013 0.016 0.02 0.016 0.013

Ca, l l 0.068 0.049 0.057 0.057 0.051 0.06 0.063 0.054 0.05

Cb, l l 0.016 0.012 0.016 0.014 0.011 0.013 0.017 0.014 0.011

Ca, l l 0.074 0.053 0.064 0.062 0.055 0.064 0.07 0.059 0.054

Cb, l l 0.013 0.01 0.014 0.011 0.009 0.01 0.014 0.011 0.009

Ca, l l 0.081 0.058 0.071 0.067 0.059 0.068 0.077 0.065 0.059

Cb, l l 0.010 0.007 0.011 0.009 0.007 0.008 0.011 0.009 0.007

Ca, l l 0.088 0.062 0.08 0.072 0.063 0.073 0.085 0.07 0.063

Cb, l l 0.008 0.006 0.009 0.007 0.005 0.006 0.009 0.007 0.006

Ca, l l 0.095 0.066 0.088 0.077 0.067 0.078 0.092 0.076 0.067

Cb, l l 0.006 0.004 0.007 0.005 0.004 0.005 0.007 0.005 0.004

0.85

1.00

0.95

0.90

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

Caso 7 Caso 8 Caso 9Coeficiente Caso 6Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5

qa 0.50 0.50 0.17 0.50 0.83 0.71 0.29 0.33 0.67

qb 0.50 0.50 0.83 0.50 0.17 0.29 0.71 0.67 0.33

qa 0.55 0.55 0.20 0.55 0.86 0.75 0.33 0.38 0.71

qb 0.45 0.45 0.80 0.45 0.14 0.25 0.67 0.62 0.29

qa 0.60 0.60 0.23 0.60 0.88 0.79 0.38 0.43 0.75

qb 0.40 0.40 0.77 0.40 0.12 0.21 0.62 0.57 0.25

qa 0.66 0.66 0.28 0.66 0.90 0.83 0.43 0.49 0.79

qb 0.34 0.34 0.72 0.34 0.10 0.17 0.57 0.51 0.21

qa 0.71 0.71 0.33 0.71 0.92 0.86 0.49 0.55 0.83

qb 0.29 0.29 0.67 0.29 0.08 0.14 0.51 0.45 0.17

qa 0.76 0.76 0.39 0.76 0.94 0.88 0.56 0.61 0.86

qb 0.24 0.24 0.61 0.24 0.06 0.12 0.44 0.39 0.14

qa 0.81 0.81 0.45 0.81 0.95 0.91 0.62 0.68 0.89

qb 0.19 0.19 0.55 0.19 0.05 0.09 0.38 0.32 0.11

qa 0.85 0.85 0.53 0.85 0.96 0.93 0.69 0.74 0.92

qb 0.15 0.15 0.47 0.15 0.04 0.07 0.31 0.26 0.08

qa 0.89 0.89 0.61 0.89 0.97 0.95 0.76 0.80 0.94

qb 0.11 0.11 0.39 0.11 0.03 0.05 0.24 0.20 0.06

qa 0.92 0.92 0.69 0.92 0.98 0.96 0.81 0.85 0.95

qb 0.08 0.08 0.31 0.08 0.02 0.04 0.19 0.15 0.05

qa 0.94 0.94 0.76 0.94 0.99 0.97 0.86 0.89 0.97

qb 0.06 0.06 0.24 0.06 0.01 0.03 0.14 0.11 0.03

Caso 9

0.85

Caso 6 Caso 7 Caso 8Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5Proporcion

de la carga

0.50

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

1.00

0.95

0.90

�� T

�� T

61

Los momentos máximos negativos de borde se obtienen cuando dos placas adyacentes a un

borde particular sostienen la totalidad de la carga muerta y viva, por lo que los momentos

se calculan para la totalidad de la carga (no hay distinción de carga muerta y carga viva).

En los bordes discontinuos, los momentos negativos se suponen iguales a un tercio de los

momentos positivos en la misma dirección. Estos momentos deben de tenerse en cuenta en

el diseño ya que la rigidez torsional de la viga o muro de borde, suministra en general un

grado de restricción en bordes libres.

Cuando la carga muerta actúa sola, los momentos positivos presentan poca rotación en los

bordes continuos debido a que las cargas en los dos paneles adyacentes tienden a producir

rotaciones opuestas que se cancelan o balancean entre sí. Bajo esta condición, los bordes

continuos pueden considerarse empotrados y los momentos se pueden calcular a partir los

coeficientes de la tabla 4.3. Los momentos positivos para carga viva, se obtienen cuando

esta se coloca únicamente en la placa de análisis y en ninguna placa adyacente. Para este

caso, la rotación en los bordes continuos debe ser considerada y se supone que existe un

50% de restricción para calcular los momentos producidos por las cargas vivas, por lo que

los coeficientes para este cálculo se obtienen de la tabla 4.4.

Los cortantes y cargas en los soportes de las losas (vigas, muros, etc.) se calculan a partir

de los coeficientes presentados en la tabla 4.5.

4.3 MÉTODO DE LAS FRANJAS

El Método de las Franjas es especialmente utilizado para el diseño de elementos placa de

concreto reforzado, en donde se divide la carga a la que es sometido el elemento (carga q

por unidad de superficie uniformemente distribuida) de forma arbitraria y/o conveniente en

ambas direcciones. El principal objetivo de este método es llegar a una distribución de

acero que sea segura, económica y evite problemas a nivel de cargas de servicio,

relacionadas con agrietamientos o deflexiones excesivas.

Este Método de las Franjas es atractivo no solo por su seguridad y economía sino también

por su versatilidad para diversas condiciones de carga y apoyo, porque representa una

formalización de los procedimientos que siguen de manera instintiva los diseñadores para

colocar el refuerzo en la mejor posición posible, y se justifica sobre la base que el concreto

62

reforzado por su alta ductilidad, es capaz de transmitir las cargas en consistencia con la

manera en la que ha sido distribuido el refuerzo por el diseñador.

En este método, se divide la carga a la que está sometido el elemento de forma conveniente

y a partir de esta división se determina inicialmente un campo de momentos que cumpla los

requisitos de equilibrio. Posteriormente se diseña el refuerzo del elemento para que sea

capaz de resistir tal campo de momentos. Así, si se puede encontrar una distribución de

momentos que satisfaga tanto el equilibrio como las condiciones de frontera para

determinada distribución de cargas externas y si la capacidad a momentos de fluencia del

elemento no se excede en ninguna parte, entonces la distribución de cargas externas

considerada representará un límite inferior de la capacidad de carga real.

Atendiendo a los objetivos de este documento, la presentación del método estará limitada a

la determinación del campo de acciones (cortantes o momentos) al que una placa es

sometida ante la distribución de carga que ha sido considerada o supuesta.

Para un elemento pequeño de placa con lados dx y dy, de la ecuación 3.83 se tiene:

0<u��01< + 0<u��03< + 2 0<u��0103 = − } donde q es la carga externa por unidad de área; Mxx y Myy son los momentos flectores en

las direcciones X y Y respectivamente; y Mxy es el momento de torsión.

Conforme al teorema del límite inferior, cualquier combinación de Mxx, Myy y Mxy que

satisfaga las ecuaciones de equilibrio en todos los puntos de la placa y que cumpla las

condiciones de frontera es una solución válida, siempre y cuando se coloque refuerzo para

soportar dichos momentos.

El Método de las Franjas se caracteriza por suponer que el momento de torsión Mxy es igual

a cero, y con ello se considera que la resistencia a torsión de la placa no contribuye a

resistir carga alguna por lo que la ecuación 3.83 se reduce a:

0<u��01< + 0<u��03< = − } (Ec. 4.9)

63

la

}2 }2

La ecuación anterior puede dividirse convenientemente en dos partes, que representan la

acción de una franja de viga sin torsión para el eje X y para el eje Y respectivamente:

0<u��01< = − �} (Ec. 4.10)

0<u��03< = − :1 − �;} (Ec. 4.11)

donde k es la proporción de la carga que toma la franja en la dirección X y (1 - k) la

proporción de la carga que toma la franja en la dirección Y.

El valor de k depende de la distribución de carga que se desee realizar, un valor de k = 0

indica que las franjas toman toda la carga en la dirección Y, un valor de k = 1 indica que

toda la carga se transmite en la dirección X, y un valor de k = 0.5 supone que la carga se

divide igualmente en las dos direcciones.

Así por ejemplo, para una placa cuadrada simplemente apoyada en los cuatro bordes con

una longitud de lados la y lb (la = lb = l ) y una carga q uniformemente distribuida por unidad

de área (ver figura 4.6), la figura 4.7 ilustra el campo de momentos que se obtiene al

considerar k = 0.5.

Figura 4.6 Distribución de la carga en dos direcciones. Adaptado de Nilson [1998: p.460]

Debido a que la carga sobre todas las franjas en cada una de las direcciones es q

2, para una

franja a lo largo de A-A’ se obtiene el valor de momento máximo siguiente:

lb

A A’

64

}2

}4

− }4 }�<16

l

}2 }2

u�� = }�<16 (Ec. 4.12)

Debido a las condiciones establecidas se obtiene el mismo valor máximo de momento para

una franja orientada en la dirección Y.

Por otro lado, siempre en este caso, nótese que no se presenta variación transversal de Mxx

a lo ancho de la placa como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7 Variación de momento a lo largo de l

2 Adaptado de Nilson [1998: p.460]

Diagrama de momentos

l

Mmax = ��=�

Diagrama de cortante

65

q q

}2 }2

}2

}2

}2

}2 }2 }2

}2 }2

}

}

} }

Para una losa rectangular con todos sus extremos empotrados resulta conveniente la

distribución de carga que se muestra en la figura 4.8.

Figura 4.8 Distribución de carga para una losa rectangular. Adaptado de Nilson [1998: p.462]

La franja a lo largo de A-A’ se encuentra sometida a la siguiente condición:

C’

C

D’

D

A A’

B B’

lb

la

�� − ��2 ��4

��4

��4

��4

}2

la ��4 ��4

66

q q

por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la

siguiente expresión:

us = }��<12 − 11}��<384 (Ec.4.13)

La franja a lo largo de B-B’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición:



us = }��<24 − 11}��<384 (Ec.4.14)

La franja a lo largo de C-C’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición:



u = }��<12 − }��<24 )1 − 6��<16��< + ��16��- (Ec.4.15)

La franja a lo largo de D-D’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición:

la ��4 ��4

}2 }2

}2

lb ��4 ��4

67



u = }��<24 − }��<24 )1 − 6��<16��< + ��16��- :Ec.4.16;

En el caso de bordes libres, el análisis mediante este método suele considerar que una franja

a lo largo del borde libre toma una carga por unidad de área mayor que la carga unitaria que

realmente actúa en ella, es decir actúa en forma de apoyo para las franjas perpendiculares a

ella la cual es llamada “banda fuerte”. Para una losa cuyo borde libre se encuentra

perpendicular a la dirección Y resulta conveniente una distribución de carga sencilla como

se muestra en la figura 4.9 en donde β representa una fracción que define el ancho de la

banda fuerte.

Nótese que en la banda fuerte –k2 se constituye en una especie de reacción vertical que

disminuye la flexión en la dirección de lb, y que (1+k2)q es entonces la carga que debe

resistir la banda fuerte en la dirección de la.

lb ��4 ��4

}2 }2

68

5 m

4 m

(1+k2) q

k1q

(1-k1) q

-k2q

Figura 4.9 Distribución de carga para una losa rectangular con un borde libre.

4.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

4.4.1 Ejercicio de aplicación 1

Se tiene un entrepiso de concreto reforzado con luces libres en planta de 4 m x 5 m con un

espesor de 15 cm, apoyado en sus lados sobre vigas perimetrales rígidas como se muestra

en la figura 4.10. El entrepiso se diseñara para una carga de 500 kg/m2 peso propio

incluido. Calcular los momentos de diseño a partir del método de los coeficientes.

Figura 4.10 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.

Empotrado

la

lb

βb

Y

X Banda Fuerte

69

Relación lado corto / lado largo = 4 5T = 0.80

Momentos negativos en bordes continuos (tabla 4.2, caso 2)

u�s = 0.065 × 500 1 4< = 520.00 ��. � u�s = 0.027 × 500 1 5< = 337.50 ��. �

Momentos positivos (tablas 4.3, caso 2)

u�,�X� = 0.026 × 500 1 4< = 208.00 ��. � u�,�X� = 0.011 × 500 1 5< = 137.50 ��. �

Los resultados para ambas direcciones se muestran en la figura 4.11, en donde se puede

observar que en la franja corta la los momentos son mayores con respecto a la franja larga lb

ya que absorbe mayor cantidad de la carga distribuida actuando sobre el elemento.

Figura 4.11 Momentos actuando en un entrepiso obtenidos por el método de los coeficientes.

-337.50 kg.m

-337.50 kg.m

137.50 kg.m

208.00 kg.m

-520.00 kg.m -520.00 kg.m

la

lb

70

5 m

4 m

4.4.2 Ejercicio de Aplicación 2

Se tiene un entrepiso de concreto reforzado con luces libres en planta de 4 m x 5 m con un

espesor de 15 cm, apoyado en sus lados sobre vigas perimetrales rígidas como se muestra

en la figura 4.12. El entrepiso se diseñara para una carga de 500 kg/m2 peso propio

incluido. Calcular los momentos de diseño a partir del método de los coeficientes

Figura 4.12 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.

Para una losa rectangular se puede utilizar la distribución de cargas descrita en la figura 4.8,

por lo que se obtiene lo siguiente:

Empotrado

71

250 ��<

250 ��<

250 ��<

250 ��<

250 ��<

250 ��<

250 ��<

250 ��<

250 ��<

500 ��< 500 ��<

500 ��<

250 ��< 500 ��<

500 ��< 500 ��< 250 ��<

750 �� 750 ��

Figura 4.13 Distribución de carga para una losa rectangular.

La franja a lo largo de A-A’ se encuentra sometida a la siguiente condición:

y a partir de la ecuación 4.13 se obtienen los momentos máximos negativos generados en los extremos de la franja:

C’

C

D’

D

A A’

B B’

5 m

4 m

2 � 1 � 1 �

1 �

1 �

2 m 1 � 1 �

72

750 ��

−750 ��

250 ��

−250 ��

250 ��<

250 �� 250 ��

250 ��<

us = }��<12 − 11}��<384 = 437.5 kg. mm

La franja a lo largo de B-B’ se encuentra sometida a la siguiente condición:


expresión 4.14

us = }��<24 − 11}��<384 = 104.16 kg. mm

Diagrama de Cortante

Diagrama de Momentos

−437.5 kg. mm −437.5 kg. mm

62.5 kg. mm 62.5 kg. mm

187.5 kg. mm

2 m 1 � 1 �

73

500 ��< 500 ��< 250 ��<

875 �� 875 ��

La franja a lo largo de C-C’ se encuentra sometida a la siguiente condición:

y a partir de la ecuación 4.15 se obtienen los momentos máximos negativos generados en los extremos de la franja:

u = }��<12 − }��<24 )1 − 6��<16��< + ��16��- = 629.17 ��. ��



3 m 1 � 1 �

−104.16 kg. mm −104.16 kg. mm

20.84 kg. mm 20.84 kg. mm

250 kgm

−250 kgm

74

875 ��

−875 ��

375 ��

−375 ��

250 ��<

250 �� 250 ��

250 ��<

La franja a lo largo de D-D’ se encuentra sometida a la siguiente condición:


expresión 4.16

u = }��<24 − }��<24 )1 − 6��<16��< + ��16��- = 108.33 ��. ��



−629.17 ��. ��

−4.6 kg. mm −4.6 kg. mm

377.98 kg. mm

−629.17 ��. ��

3 m 1 � 1 �

75

187.5 kg.m/m

20.84 kg.m/m

C’ -629.17 kg.m/m

C

-629.17. m/m

208.33 kg.m/m

D’ -108.33 kg.m/m

D -103.33 kg.m/m

17.0 kg.m/m

Los resultados se muestran en la figura 4.14.

Figura 4.14 Resultados Obtenidos por el método de las franjas


Diagrama de Momentos −108.33 kg. mm −108.33kg. mm

17 kg. mm 17kg. mm

250 kgm

−250 kgm

A -437.5 kg.m/m

A’ -437.5 kg.m/m

B’ -104.16 kg.m/m

B -104.16 kg.m/m

76

4.4.3 Ejercicio de aplicación 3

El ejercicio resuelto en los apartados 4.4.1 y 4.4.2 fue resuelto mediante el software de

análisis estructural SAP2000, el cual emplea el Método de los Elementos Finitos para

realización dicho análisis. La placa de 4m de ancho por 5m de largo fue discretizada en 80

elementos de área, según se muestra en la figura 4.15, en donde N representa los nodos y A

el elemento finito.

Figura 4.15 Discretizacion de una placa rectangular en el software SAP2000

La figura 4.16 muestra los momentos (tn.m) que se generan por la acción de las cargas

externas en la dirección X, la intensidad de colores indica la variación del momento a lo

largo de toda la placa (la escala de valores se muestra en la misma figura).

X

Y

Y

O

5m

4m

77

Figura 4.16 Diagrama de momento en la dirección X (tn.m E10-3)

Tabla 4.6 Valores de momentos para la dirección X.

AREA NODO Mxx (kg.m)

A2 N3 -462.21A3 N4 -710.1A4 N5 -859.43A5 N6 -908.39A6 N7 -859.43A7 N8 -710.1A8 N9 -462.21

A25 N28 172.65A35 N39 374.41A45 N50 435.62A55 N61 374.41A65 N72 172.65A73 N91 -462.21A74 N92 -710.1A75 N93 -859.43A76 N94 -908.39A77 N95 -859.43A78 N96 -710.1A79 N97 -462.21

Franja Izquierda

Franja Central

Franja Derecha

MOMENTOS ACTUANDO EN EL EJE X

PROMEDIO (kg.m)

-710.27

305.95

-710.27

78

Así mismo, para la dirección Y se tiene la distribución de momentos presentada en la figura

4.17, los cuales varían de acuerdo a la intensidad de colores mostrada en la misma figura.

Figura 4.17 Diagrama de momento en la dirección Y.

y los valores de momento para las franjas centrales se muestran en la tabla 4.7

Tabla 4.7 Valores de momento para la dirección Y.

AREA NODO Myy (kg.m)

A41 N45 -755.00A41 N46 -164.98A43 N47 113.91A44 N48 232.81A45 N49 274.48A46 N50 283.76A47 N51 274.48A48 N52 283.76A49 N53 274.48A50 N54 -164.98A50 N55 -755.00

-459.99

Franja Inferior

Franja Central

Franja Superior

MOMENTOS ACTUANDO EN EL EJE Y

PROMEDIO (kg.m)

-459.99

248.24

79

De los datos anteriores se obtiene

Figura 4.18 Resultados Obtenidos a través del software SAP.

-459.99 kg.m

-459.99 kg.m

248.24 kg.m

305.95 kg.m

-710.27 kg.m -710.27 kg.m

la

lb

81

CONCLUSIONES

• Existe diversa bibliografía que aborda la Teoría de placas, sin embargo la mayoría de

ella la presenta de manera compleja, y otra presenta directamente la ecuación de

cuarto orden que rige el comportamiento de estos elementos estructurales.

La formulación de la ecuación diferencial de cuarto orden que rige el comportamiento

de los elementos placa se basa en una serie de conceptos fundamentales (esfuerzos,

deformaciones, estados de elasticidad plana) y propiedades (isotropía, homogeneidad,

continuidad) correspondientes a la Teoría de la Elasticidad, lo cual hace necesario que

el lector posea conceptos y fundamentos correspondientes a dicha teoría.

• Existen diversos métodos aproximados que realizan simplificaciones y

consideraciones para encontrar las acciones internas que actúan en los elementos

placa con propósitos de diseño. Es importante conocer tales consideraciones y

simplificaciones a fin de tener criterios para la selección del método a utilizar en el

caso de interés.

A continuación se presenta un resumen de los resultados obtenidos en los ejercicios

de aplicación correspondientes al capítulo cuatro, mediante los dos métodos

estudiados en él: Método de los Coeficientes y Método de las Franjas. A demás se

incluyen los resultados obtenidos a partir de haber llevado a cabo un análisis a través

del Software SAP.

82

Figura 5.1 Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación.

Tabla 5.1 Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación.

Ubicación Método

Coeficientes (kg.m) Método de las

Franjas (kg.m/m) SAP2000 ( kg.m)

Franja Izquierda -520.0 -437.5 -710.0

Centro (eje X) 208.0 187.5 305.0

Franja Derecha -520.0 -437.5 -710.0

Franja Superior -337.50 -629.0 -459.9

Centro (eje Y) 137.5 248.2 248.2

Franja Inferior -337.50 -629.0 -459.9

A partir de los resultados obtenidos se puede observar que estos varían entre ellos, ya

que como se mencionó cada uno de ellos realiza consideraciones propias de cada

método.

Los resultados que se obtuvieron a través de SAP2000, son los más representativos

del comportamiento de una placa debido a que este software trabaja con mucha

-337.50 kg.m -629.0 kg.m -459.9 kg.m

EJE Y 137.5 kg.m 187.5 kg.m 248.2 kg.m

EJE X 208.0 kg.m 187.5 kg.m 305.0 kg.n

-520.00 kg.m -437.5 kg.m -710.0 kg.m

la

lb

-520.00 kg.m -437.5 kg.m -710.0 kg.m

-337.50 kg.m -629.0 kg.m -459.9 kg.m

LEYENDA Método de los Coeficientes Método de las Franjas SAP2000

83

precisión mediante el Método de los Elementos Finitos, por lo tanto se convierten en

el parámetro de comparación.

El método de los franjas presenta una variación considerable respecto a los resultados

obtenidos a través de SAP2000, debido a que el método realiza una distribución de

cargas de acuerdo al criterio del diseñador y no distribuyendo la carga externa a la

que es sometido el elemento de forma simétrica. Sin embargo los resultados son

seguros para elementos de concreto reforzado, ya que por su ductilidad las cargas se

distribuyen de acuerdo al refuerzo considerado.

Se puede observar que los resultados obtenidos a través del método de los

coeficientes son más cercanos a los obtenidos a través de SAP2009, que por el

método de las franjas. Pues este considera la redistribución inelástica de los esfuerzo

y se obtienen valores promedio para las franjas centrales. Sin embargo estos

resultados deben ser utilizados con cautela ya que los valores de momento son

menores que los obtenidos por SAP2000, lo cual podría estar dentro del lado de la

inseguridad.

• En la actualidad los métodos numéricos y los software de análisis estructural son la

manera más rápida y eficaz de resolver los elementos placa. Sin embargo, es

necesario que el usuario tenga claro los conceptos de la Teoría de Placas para poder

interpretar de manera correcta los resultados obtenidos a través de estos software y

poderlos emplear correctamente en la elaboración de diseños estructurales seguros y

económicos.

85

RECOMENDACIONES

• Se recomienda que dentro del plan de estudio de Ingeniera Civil en la Universidad

Centroamericana José Simeón Cañas se aborde dentro de alguno de los cursos de

análisis estructural los conceptos fundamentales de los elementos placa y cáscara ya

que como se mencionó anteriormente, son estructuras comúnmente utilizadas dentro

del área de la Ingeniería y es importante tener una idea del comportamiento de esta

tipología estructural.

• Así mismo se recomienda impartir cursos de aplicación que tengan como objetivo el

uso correcto de programas de análisis y diseño estructural que incluyan las tipologías

estructurales de placas y cáscaras.

87

GLOSARIO

Cáscara: estructura con superficie curva que transmite cargas en más de dos direcciones

hacia los apoyos, y en la que su espesor es pequeño en comparación con las dimensiones

que definen su superficie.

Continuidad: se dice que un cuerpo es continuo cuando no existen huecos en él.

Curvatura Gaussiana: producto de las curvaturas principales (k1 y k2) de una superficie

curva. La curvatura Gaussiana es positiva si el producto de las curvaturas principales es

mayor a cero; es negativa si el producto de las curvas principales es menor que cero; es

cero si el producto de las curvaturas principales es igual a cero.

Esfuerzo de membrana: esfuerzos de compresión, tracción y laterales que actúan de

forma tangencial a la superficie de una membrana.

Esfuerzo normal: esfuerzo que es perpendicular al plano sobre el que se aplica la fuerza de

tensión o compresión, que es distribuido de manera uniforme por toda su superficie.

También llamado esfuerzo axial.

Extradós: superficie externa de una cáscara.

Homogeneidad: propiedad de un cuerpo en el cual todas las partes poseen la misma

composición y características.

Intradós: superficie interna de una cáscara.

Isotropía: cuerpo cuyas propiedades físicas no dependen de la dirección en que se han

medido, es decir el cuerpo posee las mismas propiedades físicas en todas las direcciones.

Membrana: son estructuras (sin rigidez a flexión) que conforman una superficie en el

espacio, con espesor mínimo. Se aproximan a una superficie geométrica y trabajan sólo

mediante esfuerzos de tensión. .

Placa: Elemento plano en forma de paralelepípedo en el que el espesor es relativamente

pequeño en comparación de su ancho y largo, las cuales trabajan predominantemente a

flexión y generalmente se encuentran sometidos a cargas transversales.

89

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Denis Cascarones y Placas

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