DEPARTAMENTO DE ESTAD´ISTICA E INVESTIGACION OPERATIVA...
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DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA E INVESTIGACION OPERATIVA
MUESTREO ESTADISTICO I. CURSO 2004-2005. EXAMEN FINAL.TEORIA. RESUELTO
Nos limitamos a resolver la cuestion, pues lo demas es teorıa pura y dura,explicada en clase.
1. Estimador de Horvitz-Thompson: objetivo, propiedades, varianza y estimador inses-gado de la misma.
2. Muestreo con reemplazamiento. Estimacion de un parametro lineal, θ. Varianza.
3. Probar que para un diseno muestral de tamano fijo se verifica∑
ij∈U ∆ij = 0. calcularlas probabilidades de inclusion de primer y segundo orden, ası como el valor de los ∆ij enun muestreo sistematico de paso k.
La primera parte se puede hacer de multiples formas. Lo hemos visto en clase deTeorıa, al construir la formula de la varianza de Yates-Grundy-Sen. Por ejemplo,∑
ij∈U
∆ij =∑
i
∑j
(πij − πiπj) =∑
i
nπi −∑
i
πi
∑j
πj = n2 − n2 = 0
Hemos aplicado las siguientes igualdades, validas para tamano fijo n :∑
i∈U πi = n,∑j∈U πij = nπi. Todas ellas se han explicado en clase de Teorıa.
Para el muestreo sistematico, se ha visto que πi = 1/k, y πij = 1/k si i = j o i 6= jestan en la misma muestra sistematica, siendo CERO en caso contrario. De donde sededuce,
∆ii =1
k− 1
k2
∆ij = − 1
k2, i 6= j, i, j en distintas muestras
∆ij =1
k− 1
k2, i 6= j, i, j en la misma muestra