Departamento de Estadística ITAMallman.rhon.itam.mx/~lnieto/index_archivos/UV2017.pdf · 2017. 10....
Transcript of Departamento de Estadística ITAMallman.rhon.itam.mx/~lnieto/index_archivos/UV2017.pdf · 2017. 10....
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Algunas aplicaciones en bioestadística
Luis E. Nieto Barajas
Departamento de EstadísticaITAM
UV – 20 de octubre de 2017
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 1 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Contenido
Introducción
Ideas generales de inferencia
Aplicación 1 : Leucemia
Aplicación 2 : Transplante de corazón
Aplicación 3 : Pacientes con leucemia que se curan con transplante de médulaosea
Aplicación 4 : Cáncer de mama con microarreglos
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 2 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Definiciones
Bioestadística : (Wikipedia) Es la aplicación de la Estadística a la Biología.Comprende el diseño de experimentos biológicos, la recolección, resumen yanálisis de los datos obtenidos de los experimentos ; e interpretación e inferenciade los resultados.
Ensayos clínicos : Experimentos de investigación biomédicos o de salud enhumanos. Estos estudios siguen un determinado protocolo. Hay de dos tipos :intervencionales u observacionales. Para nuevos tratamientos hay 4 Fases :
Fase I : Identificar una dosis segura (toxicidades)Fase II : Determinar la eficacia de cierta dosisFase III : Comparar tratamiento nuevo vs. controlFase IV : Monitorear tratamiento (efectos secundarios)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 3 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Definiciones
Bioestadística : (Wikipedia) Es la aplicación de la Estadística a la Biología.Comprende el diseño de experimentos biológicos, la recolección, resumen yanálisis de los datos obtenidos de los experimentos ; e interpretación e inferenciade los resultados.Ensayos clínicos : Experimentos de investigación biomédicos o de salud enhumanos. Estos estudios siguen un determinado protocolo. Hay de dos tipos :intervencionales u observacionales. Para nuevos tratamientos hay 4 Fases :
Fase I : Identificar una dosis segura (toxicidades)Fase II : Determinar la eficacia de cierta dosisFase III : Comparar tratamiento nuevo vs. controlFase IV : Monitorear tratamiento (efectos secundarios)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 3 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Ideas generales
Teoría Clásica : T ∼ FParamétrica : F ∈ FΘ
FΘ = {F : F = Fθ, θ ∈ Θ}No paramétrica : dim(θ) =∞, F ∈ F
F = {F : F es una funcion de distribucion}
Teoria Bayesiana : Asignar una distribucion inicial a FParamétrica : θ ∼ π, θ ∈ Θ⇒
FΘ ∼ PNo paramétrica :
F ∼ P
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 4 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Ideas generales
Teoría Clásica : T ∼ FParamétrica : F ∈ FΘ
FΘ = {F : F = Fθ, θ ∈ Θ}No paramétrica : dim(θ) =∞, F ∈ F
F = {F : F es una funcion de distribucion}
Teoria Bayesiana : Asignar una distribucion inicial a FParamétrica : θ ∼ π, θ ∈ Θ⇒
FΘ ∼ PNo paramétrica :
F ∼ P
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 4 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Ideas generales
Inferencia Bayesiana no paramétrica :
T1, . . . ,Tn m.a.
Ti |F ∼ F definida en (IR,B)
F ∼ P definida en (F ,A)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 5 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
T = Tiempo de remisión (en semanas) en pacientes con leucemiaEventos : Inicio=remisión, fin=recaída
Datos : (Freireich et al., 1963) n = 21 observaciones (0% censurados)
1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 6 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
x
Den
sity
0 5 10 15 20 25
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 7 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Supongamos T discreta con puntos de masa {τ1, τ2, . . .}Densidad : f (τj ) = P(T = τj ) = pj , j = 1 . . . , n
⇒ Θ = {p1, p2, . . .} (espacio parametral desc.)Inf. Bayesiana : definir dist. inicial π sobre Θ
En A. Supervivencia es de mayor interés estudiar las funciones de riesgo y desupervivencia
hj = P(T = τj |T ≥ τj ), j = 1, 2, . . .
S(t) =∏{j:τj≤t}
(1− hj )
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 8 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Sea Θ′ = {h1, h2, . . .}. Como Θ′ ⇐⇒ Θ entonces una inicial sobre Θ′ induceinicial sobre Θ
Inicial 1 : (Hjort, 1990). Como hj ∈ (0, 1)⇒ hjiid∼ Be(αj , βj )
Inicial 2 : (Nieto-Barajas & Walker, 2002). Modelan {hj} mediante un procesodependiente tal que
h1u1→ h2
u2→ · · · .
En particular, para j = 1, 2, . . .
h1 ∼ Be(α1, β1)
uj |hj ∼ Bi(cj , hj )
hj+1|uj ∼ Be(αj+1 + uj , βj+1 + cj − uj )
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 9 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Inicial 2 : Propiedades
Si cj = 0 ∀j entonces hj ’s son independientes
Si αj = α y βj = β ∀j , entonces{hj} es un proceso estacionario con hj ∼ Be(α, β)
Corr(hj , hj+1) =cj
α+β+cj
Ejemplo leucemia : especificaciones vagas en localización y dispersión con fuertecorrelación inicial αj = 0.0001, βj = 0.01, cj = 50, ∀j = 1, 2, . . .
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 10 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Haz
ard
rate
s
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimadores Nelson-Aalen
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 11 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Haz
ard
rate
s
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
FIGURE : Estimadores : Nelson-Aalen + iniciales
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 12 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Haz
ard
rate
s
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimadores : Nelson-Aalen + posteriores
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 13 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Sur
viva
l fun
ctio
n
0 5 10 15 20 25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimador Kaplan-Meier
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 14 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Sur
viva
l fun
ctio
n
0 5 10 15 20 25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimadores : Kaplan-Meier + iniciales
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 15 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Sur
viva
l fun
ctio
n
0 5 10 15 20 25
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimadores : Kaplan-Meier + finales
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 16 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
Estudio : Los pacientes eran aceptados cuando eran juzgados candidatos paratransplante. Cuando un donador se presentaba, los médicos seleccionaban elcandidato idóneo
T = Tiempo de supervivencia (días) de un paciente con problemas de corazón
Datos : (Cox & Oakes, 1984) n = 249 pacientes aceptados, de los cuales sólo 184
recibieron transplante (74%)
Tiempo Indicador Superviv. Statusespera transplante total final
49 0 49 1112 0 112 050 1 673 1· · · ·
22 1 3716 0
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 17 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
Existe información de covariables Wi (t)⇒ mod. regresión
Cada individuo tiene(Ti ,Wi ), i.e., fi (t), Fi (t), hi (t) y Si (t)
Modelo de riesgos proporcionales : (Cox, 1972)
hi (t) = h0(t)eWi (t)′θ
θ′ = (θ1, . . . , θp) vector de coeficientesh0(t) función de riesgo base (común)
Inf. Bayesiana : Definir iniciales sobre θ y h0(t)
Como h0(t) es cualquier función de riesgo⇒ inicial NP
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 18 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Para una v.a. T continua :
f (t) = h(t)S(t), S(t) = e−∫ t
0 h(s)ds
donde h(t) es una función de riesgo :No negativaEl área bajo su curva es∞
⇒ Dist. inicial NP sobre h(t) : a través de un proceso estocástico
Inicial : (Nieto-Barajas & Walker, 2004). Basada en procesos de Lévy (mezcla)
h(t) =
∫IR
k(t , s)dL(s)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 19 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
L(t) = Proceso de Lévy o proceso aditivo creciente (PAC)
PAC = proceso de saltos puros
L(t) =∑
j
Vj I(µj ≤ t)
Vj y µj son alturas y localizaciones aleatorias
L(t) se caracteriza por la medida de Lévy Nt (ν)
Dependiendo del kernel k(t , s) se pueden obtener distintas formas del procesomezcla ∫
k(t , s)dL(s) =∑
j
Vi k(t , µj )
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 20 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
time
Jumps
0 2 4 6 8 10 12
01
23
4
time
Proces
s
0 2 4 6 8 10 12
05
1015
FIGURE : Ejemplo de PAC L(t)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 21 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Time
Proc
ess
0 2 4 6 8 10 12
24
68
FIGURE : Ejemplo de mezcla con PAC∫
k(t, s)dL(s)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 22 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Time
Proc
ess
0 2 4 6 8 10 12
01
23
45
6
FIGURE : Ejemplo de mezcla con PAC∫
k(t, s)dL(s)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 23 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Time
Proc
ess
0 2 4 6 8 10 12
05
1015
FIGURE : Ejemplo de mezcla con PAC∫
k(t, s)dL(s)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 24 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
En particular, la inicial para h0(t) es de la forma
h0(t) =
∫k(t , s)dL(s)
dNs(ν) = dν∫ s
0 exp{−νβ(u)}dα(u)
k(t , s) = e−a(t−s)I(s ≤ t)Para el ejemplo : Wi (t) = I(t ≥ wi )
α(·) and β(·) t.q. E{h0(t)} = 0.02 and Var{h0(t)} = 20a ∼ Ga(1/2, 1/2)θ ∼ N(0, 9)
Resultados : θ̂ = −0.88⇒ se reduce el riesgo de morir en casi 60% si se realizael transplante de corazón
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 25 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
0 1000 2000 3000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Surv
ival
func
tion
FIGURE : Estimadores de Breslow (wi = ∞ & wi = 0)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 26 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
0 1000 2000 3000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Time
Surv
ival
func
tion
FIGURE : Estimadores de Breslow + estimadores posteriores (wi = ∞ & wi = 0)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 27 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
Estudio : Pacientes con leucemia eran sometidos a dos tipos de tratamiento BMTAlogénico (infusión de médula de otra persona compatible)Autogénico (reinfusión de la médula del mismo paciente previa extracción y limpieza)
T = Tiempo de supervivencia (días) libre de leucemiaEventos : Inicio=remisión, fin=recaída o muerte
Datos : n = 43 pacientes, 16- T.Alogénico y 27-T.Autogénico
Objetivo : Evaluar la diferencia en la supervivencia libre de leucemia de los dostipos de BMT
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 28 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
Time to death or disease relapse (days)
Sur
viva
l pro
babi
lity
0 500 1000 1500 2000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimadores K-M de las supervivencias estratificadas por grupo BMT
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 29 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
La gráfica muestra que una parte de los pacientes no presentarán el evento deinterés (recaída o muerte), por lo que se pueden considerar curados de laenfermedad
⇒ Necesitamos un modelo que permita una tasa de cura (T =∞) con probabilidadpositiva
Modelo 1 : (Berkson & Gage, 1952)
Spop(t) = π + (1− π)S(t),
donde π =prop. de cura, y S(t) =función de superv. propia
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 30 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Modelo 2 : (Yakolev & Tsodikov, 1996)
Spop(t) = e−θF (t),
donde e−θ =prop. de cura, y F (t) =fn. de dist. propia
Estos modelos consideran la prop. de cura pero no el tiempo de cura
Modelo 3 : (Nieto-Barajas & Yin, 2008)
hpop(t) = h(t)I(t ≤ τ),
h(t) una función de riesgoexp{−
∫ τ0 h(s)ds}=prop. de cura
τ=tiempo de cura
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 31 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Modelo 2 : (Yakolev & Tsodikov, 1996)
Spop(t) = e−θF (t),
donde e−θ =prop. de cura, y F (t) =fn. de dist. propia
Estos modelos consideran la prop. de cura pero no el tiempo de cura
Modelo 3 : (Nieto-Barajas & Yin, 2008)
hpop(t) = h(t)I(t ≤ τ),
h(t) una función de riesgoexp{−
∫ τ0 h(s)ds}=prop. de cura
τ=tiempo de cura
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 31 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Modelo 3 + covariables :
hi (t |xi , zi ) = h(t |zi )eγ′xi (t),
Inicial : Modelamos h(t |zi ) que permita determinar una prop. de cura y un tiempode cura
h(t |zi ) =∞∑
k=1
λk I(k ≤ zi )I(τk−1 < t ≤ τk ),
{λk} es un proceso de Markov gamma en tiempo discreto común a todos losindividuouszi es un índice de cura para el individuo i t.q.
zi ∼ Po+(eδ′yi ),
con δ un vector de coeficientes y yi variables explicativas
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 32 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
El proceso de Markov gamma en tiempo discreto {λk} se define como :
λ1 ∼ Ga(α1, β1)
uk |λk ∼ Po(ckλk )
λk+1|uk ∼ Ga(αk+1 + uk , βk+1 + ck )
para k = 1, 2, . . .
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 33 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Covariables :X1=Tipo de transplante (0-autogénico, 1-alogénico)X2=Tumor Hodgkin (0-ausente, 1-presente)X3=Coeficiente de Karnofsky (100-muy bien, 0-muerte)X4=Tiempo de espera al transplante (en meses)
Las covariables aparecen en el modelo via dos diferentes caminos :1 En una forma multiplicativa afectando el riesgo base, y2 En la media inicial de zi afectando el tiempo de cura
Especificaciones : αk = βk = 2, ck = 50
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 34 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
TABLE : Estimaciones del efecto de las covariables en el riesgo base
Our modelCovariate Mean 95% CITrans. type −0.03 (−0.92, 0.86)Hodgkin 1.17 (0.14, 2.15)Karnofsky −0.07 (−0.08,−0.05)Waiting −0.01 (−0.03, 0.008)
El tener tumor Hodgkin presente es dos veces más riesgoso
Una disminución de 10 unidades del coef. de Karnofsky aumenta el riesgo en 50%
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 35 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
TABLE : Estimaciones del efecto de las covariables en el tiempo de cura
Covariate Post. Mean 95% CITransplant type 0.10 (−0.73, 0.88)Hodgkin’s disease −0.74 (−1.70,−0.001)Karnofsky score 0.03 (0.02, 0.04)Waiting time 0.004 (−0.01, 0.02)
El tener tumor Hodgkin presente disminuye el tiempo de cura a la mitad
Una disminución de 10 unidades del coef. de Karnofsky disminuye el tiempo decura en 35%
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 36 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
TABLE : Estimaciones del tiempo de cura y de la prop. de cura para nuevos pacientes con transplanteautogénico con y sin enfermedad Hodgkin
Patient τz π(x1, x2, x3, x4) 95% quantile Post. Mean(0, 0, 90, 36) 34 months 0.64(0, 1, 90, 36) 24 months 0.50(0, 0, 60, 36) 15 months 0.27(0, 1, 60, 36) 10 months 0.15
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 37 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Haz
ard
Rat
e
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.00
50.
010
0.01
50.
020
FIGURE : Estimaciones de la función de riesgo para pacientes con covariables (0, 0, 90, 36) linea contínua, (0, 1, 90, 36) linea pun-teada, (0, 0, 60, 36) linea punteada-rayada, y (0, 1, 60, 36) linea rayada
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 38 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
Time
Sur
viva
l Fun
ctio
n
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIGURE : Estimaciones de la función de supervivencia para pacientes con covariables (0, 0, 90, 36) linea contínua, (0, 1, 90, 36) lineapunteada, (0, 0, 60, 36) linea punteada-rayada, y (0, 1, 60, 36) linea rayada
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 39 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
Estudio : Muestras de pacientes con cáncer de mama son analizadas mediante latécnica de arreglos de Hibridación Genómica Comparativa (aCGH). Se contabilizael número de copias de cadenas del ADN
2 = normal1 = pérdida≥3 = ganancia
Yij = Logaritmo (base 2) del cociente del número de copias de cadenas de ADNcon respecto a 2 en la sonda (base nitrogenada) i e individuo j
Datos : n = 549 sondas, J = 111 muestras clasificadas en dos tipos : ER+ (60muestras) y TN (51 muestras)
Objetivo : Determinar las regiones del cromosoma con mismo número copiado ydeterminar si existen regiones con aberraciones distintas en los dos tipos decáncer ER+ y TN
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 40 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●●
●●●●●●
●
●
●●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
0 300
−10
12
Probe
log2r
atio
TN
●●●●●
●
●●●
●
●
●●
●●●
●
●
●●
●●●●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●●●
●●●●●
●●
●●
●
●
●
●●●●●●●
●
●●
●
●●●●●●●●
●●●
●
●
●●●
●
●●
●●
●●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●●●
●●●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●●
●●●
●
●●●●●●●
●
●●
●
●
●
●
●●●●
●
●●●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●●●●
●●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●●●●●●
●
●●
●
●
●●●●
●●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●●●
●
●●
●●●
●
●●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●
●
●●●●●●
●●●
●
●
●
●●●
●●
●●
●
●●●●●●
●
●●●
●
●●●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●●●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
0 300−2
−10
1Probe
log2r
atio
TN
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●●
●●
●
●
●●
●
●●●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●●
●
●●●
●
●
●●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●●
0 300
−1.0
0.0
1.0
2.0
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●●
●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●●●●●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●●●●●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●
●
●
●
●●●●
●●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
0 300
−0.5
0.0
0.5
1.0
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●●●●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●●●●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
0 300
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●●●
●●
●●
●
●●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●●●
●
●
●●●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●●●●●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●●●
●
●
●●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●●●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
0 300
−1.0
−0.5
0.0
0.5
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●●●●
●
●●●●
●
●●
●●
●
●
●●
●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●
0 300
−0.6
−0.2
0.2
0.6
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●
●●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●●●
●
●
●●●●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●
0 300
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Probe
log2r
atio
TN
Chromosome 21 (some samples)
FIGURE : 8 primeras muestras
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 41 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Modelo
Modelo semiparamétrico : (Nieto-Barajas et al., 2016)
Yij =K∑
k=1
µkgj I(i ∈ ∆k ) +
Lj∑l=1
mlj I(i ∈ ∆lj ) + εij
donde ∆k =part. pob. y ∆lj =part. indiv.
εijiid∼ N(0, σ2
ε), σ2ε ∼ Iga(2, 1)
mljiid∼ N(0, τ2
j ), τ2j ∼ Iga(2, 1)
(µk1, µk2)|G0,G1iid∼ (1− π)G0 + πG1,
G0 ∼ DP(a0, F0), G1 ∼ DP(a1, F1), con π = 0.5a0 ∼ Ga(1, 1), a1 ∼ Ga(1, 1)
F0(µk1, µk2) = N(µk1|0, λ20)I(µk1 = µk2),
F1(µk1, µk2) = N2(µk1, µk2|0, Λ1)
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 42 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Resultados
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●●
●●●●●●
●
●
●●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
0 300
−10
12
Probe
log2r
atio
TN
●●●●●
●
●●●
●
●
●●
●●●
●
●
●●
●●●●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●●●
●●●●●
●●
●●
●
●
●
●●●●●●●
●
●●
●
●●●●●●●●
●●●
●
●
●●●
●
●●
●●
●●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●●●
●●●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●●
●●●
●
●●●●●●●
●
●●
●
●
●
●
●●●●
●
●●●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●●●●
●●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●●●●●●
●
●●
●
●
●●●●
●●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●●●
●
●●
●●●
●
●●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●
●
●●●●●●
●●●
●
●
●
●●●
●●
●●
●
●●●●●●
●
●●●
●
●●●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●●●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
0 300−2
−10
1Probe
log2r
atio
TN
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●●
●●
●
●
●●
●
●●●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●●
●
●●●
●
●
●●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●●
0 300
−1.0
0.0
1.0
2.0
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●●
●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●●●●●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●●●●●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●
●
●
●
●●●●
●●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
0 300
−0.5
0.0
0.5
1.0
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●●
●
●●●●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●●●●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
0 300
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●●●
●●
●●
●
●●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●●●
●
●
●●●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●●●●●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●●●
●
●
●●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●●●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●●●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
0 300
−1.0
−0.5
0.0
0.5
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●●●●
●
●●●●
●
●●
●●
●
●
●●
●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●●●
●
●
●●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●
0 300
−0.6
−0.2
0.2
0.6
Probe
log2r
atio
ER
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●●
●●
●●
●
●
●●●
●
●●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●●●●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●●
●
●
●●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●
●●
●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●
●●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●●●●
●
●
●●●●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●●●●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●●●●
●
●
●
●●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●●●
●
●
●
●
●●
●●
●
●●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●
●●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●●
●
●●
●
●
●●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●●●
●
●
●
●
●
●
●
●●
●●
●
●
●
●●
●●
●
0 300
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Probe
log2r
atio
TN
Chromosome 21 (some samples)
FIGURE : Inferencia para las 8 primeras muestras
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 43 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
0 100 200 300 400 500
Probe
TN
T
N
ER
ER
ER
E
R
ER
TN
Chromosome 21 (some samples)
FIGURE : Inferencia para las 8 primeras muestras
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 44 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Estudio
0 100 200 300 400 500
Probe
pr
TN
ER
Chromosome 21
FIGURE : Resumen inferencial para las medias poblacionales
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 45 / 46
Contenido Introducción Inferencia Apl.1 Apl.2 Apl.3 Apl.4
Referencias
Nieto-Barajas, L.E. and Walker, S.G. (2002). Markov beta and gamma processesfor modeling hazard rates. Scandinavian Journal of Statistics 29, 413–424.
Nieto-Barajas, L.E. and Walker, S.G. (2004). Bayesian nonparametric survivalanalysis via Lévy driven Markov processes. Statistica Sinica 14, 1127–1146.
Nieto-Barajas, L.E. and Walker, S.G. (2005). A semiparametric Bayesian analysisof survival data based on Lévy-driven processes. Lifetime data analysis 11,529–543.
Nieto-Barajas, L.E. and Yin, G. (2008). Bayesian semiparametric cure rate modelwith an unknown threshold. Scandinavian Journal of Statistics 35, 540–556.
Nieto-Barajas, L. E., Ji, Y. and Baladandayuthapani, V. (2016). A semiparametricBayesian model for comparing DNA copy numbers. Brazilian Journal of Probabilityand Statistics 30, 345–365.
Luis E. Nieto Barajas Bioestadística UV – 20 de octubre de 2017 46 / 46