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Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de Ingenieros

Ingenieros de TelecomunicaciónCampos Electromagnéticos

Campos Electromagneticos. Boletın 1. Septiembre de 2004

Problemas basicos

1.1. Exprese los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

A= r B=− y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

C=2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz D= r tg θ uθ

1.2. Describa las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

a) φ = A · r b) φ = r2 c) φ = A · r + r2 d) φ = r2/(A · r)donde A es un vector constante y r es el vector de posicion.

1.3. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuestre que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentre ∇φ si a) φ = ln |r|, b) φ = rn, c) φ = 1/|r − r0|.1.4. Halle el valor de la integral ∮

AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

1.5. Demuestre que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B · ∇)r = B (B ×∇) · r = 0 (B ×∇) × r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestre que

∇(B · r) = B ∇ · (B × r) = 0 ∇× (B × r) = 2B

1.6. Sean φ y A un campo escalar y uno vectorial, respectivamente, que dependen de la posicion atraves de la combinacion r − r′, esto es

φ(r, r′) = φ(r − r′) A(r, r′) = A(r− r′)

Demuestre que se cumplen las identidades siguientes

∇φ = −∇′φ ∇2φ = ∇′2φ

∇ · A = −∇′ · A ∇× A = −∇′ × A

donde el operador ∇′ representa la derivacion respecto a las componentes de r′.

1.7. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r = 0)∫

δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebe que:

a) ∇ ·(

rr3

)= 4πδ(r) b) ∇2

(1

|r − r0|)

= −4πδ(r − r0)

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Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.2

1.8. Halle el laplaciano del campo vectorialA = rnr

1.9. Calcule el gradiente y el laplaciano de la funcion

φ = 2z2 − x2 − y2

en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. Compruebe que los resultados son indepen-dientes del sistema de coordenadas elegido.

Problemas de nivel medio

1.10. Determınese la divergencia y el rotacional del campo vectorial

A = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

1.11. El campo de velocidades de un remolino puede aproximarse por la expresion, en cilındricas, v =(C/ρ)uϕ.

(a) Demuestre que este campo es irrotacional en todos los puntos en los que esta definido.(b) Halle un potencial escalar del que derive este campo.(c) ¿Cuanto vale la circulacion del campo de velocidades a lo largo de una circunferencia en torno

al eje z? ¿Que consecuencias tiene esto para el potencial escalar?

1.12. De las siguientes expresiones

a) ∇(∇ · φ) b) ∇× (∇φ) c) ∇ · (∇ · φ) d) ∇× (∇× φ)e) ∇ · (∇× A) f) ∇× (∇ ·A) g) ∇× (∇×A) h) ∇ · (∇ ·A)i) ∇ · (∇φ) j) ∇(∇ · A) k) (∇ · ∇)A l) (A · ∇)φm) (φ∇) ·A n) (A · ∇) × A o) (A · ∇)A p) (A ×∇) × A

(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indique cuales son absurdas. De las quetienen sentido, senale las que son identicamente nulas. De las que no son nulas, calcule su valorpara los campos

φ = xyz A = x2ux + xzuy − xyuz

1.13. Halle el angulo solido subtendido desde el origen de coordenadas por un disco horizontal de radioR situado a una altura h sobre el origen:

(a) Utilizando coordenadas cilındricas(b) Usando coordenadas esfericas (Sugerencia: En lugar del disco empleese otra superficie que

subtienda el mismo angulo solido).

1.14. De los siguientes campos, indique cuales son solenoidales, cuales son irrotacionales y cuales armonicos

(a) A = yzux + xzuy + xyuz

(b) B = ρuϕ

(c) C = rur − ρuρ

(d) D = 2r2 − 3ρ2

(e) E = z/ cos θ

(f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy

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Campos Electromagneticos. Boletın 2. Octubre de 2004

Problemas basicos

2.1. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Halle la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

Suponga que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden es20 cm. Admita asimismo que los angulos de desviacion pueden medirse como mucho con unaprecision de 1. ¿Cual es la carga mınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la cargamaxima?

2.2. Se disponen siete cargas iguales en los vertices de un octogono regular situado en el plano xy, concentro el origen, quedando vacıo el octavo vertice, situado en r = aux. ¿Cuanto vale el campoelectrico en el centro del octogono? ¿Y en los demas puntos del eje z?

2.3. Una cable formado por dos hilos paralelos produce un campo electrico similar al producido por doslıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ, situadas a una distancia 2a una de la otra. Halle:

(a) El campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Halle el potencial electrico tomando un punto equidistante de las lıneas como referencia.Demuestre que las superficies equipotenciales son cilindros rectos y halle el centro y el radioen funcion del potencial V .

(c) Considere el lımite en que a → 0, λ → ∞ con λa → b = cte. ¿A que tiende el campo electricoen este lımite? ¿Y el potencial?

2.4. Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados unadistancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2 posee una distribucion de carga uniforme σ0,mientras que la del otro es −σ0. Halle el campo electrico en todos los puntos del espacio.

xy

z

a

Problemas 2.3

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2.5. Halle el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considere en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

2.6. Se tienen dos esferas del mismo radio, cargadas uniformemente, una de ellas con densidad decarga +ρ y la otra con densidad de carga −ρ. Dichas esferas se colocan de forma que sus centrosdistan una cantidad a, menor que el radio de las esferas, por lo cual intersecan como se ve en lafigura.

(a) Calcule el campo electrico en la zona de interseccion.

(b) Halle la expresion del campo electrico en puntos exteriores a las dos esferas y alejados de lasmismas.

(c) En el lımite ρ → ∞, a → 0, con ρa → b = cte calcule la densidad de carga superficial queaparece en la esfera resultante.

2.7. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy. Halle el flujo del campoelectrico a traves de un triangulo con vertices en los puntos aux, auy y auz.

2.8. Halle el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demues-tre que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2.9. Halle los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Describael campo y el potencial electrico a gran distancia de ellas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σs = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

R1

R2

a

x

y

z

q

q

q

Problema 2.5 Problema 2.6 Problema 2.7

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2.10. Cuatro cargas puntuales se situan en los vertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadasen vertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.

Calcule el trabajo para reunir esta distribucion de cargas.

Suponga que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el vertice opues-to, ¿que trabajo hay que realizar para esta operacion?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vertice vecino, ¿cual sera en este caso,el trabajo realizado?

2.11. Calcule la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

(c) ¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpretaeste resultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

(d) El llamado radio clasico del electron se obtiene describiendo esta partıcula como una pequenaesfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energıa elec-trostatica almacenada en el sistema equivale a la masa del electron de acuerdo con la leyE = mc2, hallese el valor numerico del radio que debe tener el electron.Repıtase ahora el calculo para el caso de un proton. ¿Es logico el resultado que se obtiene?


2.12. En el modelo atomico de Bohr, el estado fundamental del atomo de hidrogeno consiste en unproton en el centro del atomo, y un electron describiendo orbitas circulares de radio a0 en torno alnucleo.

(a) Halle la fuerza que el proton ejerce sobre el electron y la aceleracion de este.

(b) Calcule la velocidad orbital del electron. Compare esta velocidad con la de la luz.

(c) Determine el periodo orbital del electron y la velocidad angular.

(d) Compare la fuerza electrica con la fuerza gravitatoria proton-electron.

Datos: Carga del proton y del electron: ±e = ±1.60 × 10−19C; masa del proton: mp = 1.67 ×10−27 kg; masa del electron: me = 9.11 × 10−31 kg; radio de Bohr: a0 = 5.29 × 10−11 m; ke =1/(4πε0) = 8.98 × 109Nm2/C2; velocidad de la luz c = 3.00 × 108m/s; constante de gravitacionuniversal: G = 6.67 × 10−11 Nm2/kg2.

2.13. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en unanillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determine la ecuacion para losangulos del triangulo que forman las tres cargas. ¿Cual es la solucion para los casos Q q, Q = qy Q q?

Q

q

q

Problema 2.13

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2.14. Se tiene una distribucion de carga uniforme ρ0, que ocupa un volumen cilındrico de radio R ylongitud infinita. En este cilindro se ha horadado un hueco esferico, tambien de radio R. Se tomacomo eje z el del cilindro y origen de coordenadas el centro del hueco.

(a) Halle el campo electrico en el interior del hueco.(b) Calcule el potencial electrico en el hueco, tomando como origen de potencial el centro del

hueco.(c) Calcule el trabajo para mover una carga q desde el punto Ruz al punto Rux, a lo largo de un

arco de circunferencia sobre la superficie del hueco.

2.15. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyende manera uniforme cargas de +1nC y −1 nC respectivamente. Estos discos se disponen paralela-mente en z = ±a/2. Determine

(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1m. (Para ello deben tenerse en cuenta tanto elpotencial que un disco crea en su propio centro como el que un disco crea en el otro).

(c) Determine exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a.Compare el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es, aproximadamente, el error cometidoen el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2.16. El potencial electrico en todos los puntos del espacio esta dado por la funcion, expresada en coor-denadas esfericas

φ(r) = k(r + a − |a − r|) cos θ

(r + b + |b − r|)2siendo |x| el valor absoluto de x.

(a) Suponiendo a < b, halle el valor del campo electrico en todos los puntos del espacio(b) Determine las densidades de carga que producen este campo.(c) Calcule la carga total y el momento dipolar de esta distribucion de carga.

2.17. En una esfera no conductora de radio 2R, con una carga total inicial q distribuida uniformementeen su volumen, se hacen dos cavidades esfericas de radio R. La carga que habıa en cada hueco seconcentra en forma de cargas puntuales en el centro de cada cavidad.

(a) Halle el valor de cada una de las cargas puntuales.(b) Calcule la fuerza sobre cada carga puntual.(c) Halle el potencial al cual se encuentra cada carga puntual.(d) Determine el trabajo para llevar las dos cargas puntuales al infinito.

2R

R

Problema 2.17

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2.18. En un modelo muy simplificado de la Tierra y su atmosfera, aquella puede suponerse como unaesfera en cuyo interior el campo es nulo y esta modelarse como una muy fina capa en la que existeuna densidad de carga que va como

ρ = ρ0e−z/a

siendo z la altura medida desde la superficie terrestre. a es un espesor tıpico, mucho menor que elradio terrestre RT , (a RT ).

Tambien se sabe que a alturas superiores a unas cuantas veces a el campo electrico terrestre espracticamente nulo.

(a) Halle el campo electrico y el potencial en la atmosfera y en el interior de la Tierra.

(b) Calcule la carga almacenada en la superficie terrestre. Si se define la capacidad del sistemacomo el cociente entre esta carga y la diferencia de potencial entre la superficie y las capassuperiores de la atmosfera, ¿cuanto vale esta capacidad en funcion de los datos?

(c) Determine la energıa electrostatica almacenada en la atmosfera.

(d) Calcule los valores numericos para los resultados anteriores si a = 3km, ρ0 = 3pC/m3,RT = 6370 km, ε0 = 8.85 × 10−12 F/m.

2.19. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se colocaun segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientacion, en el punto auz.

(a) Hallese la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este esta orientadocomo p2 = puz.

(b) Calculese el valor numerico de esta fuerza si los dos dipolos son moleculas de agua (p =6.14 × 10−30C · m) situadas a una distancia de 1 nm.

(c) Repıtase el calculo si p2 = pux.

2.20. Se tiene una superficie esferica hueca, de radio R, sobre la cual hay una distribucion de carga σs,no uniforme. No hay mas carga en el sistema.

(a) Pruebese que el potencial en el centro de la esfera es

V =1

4πε0

Q

R

siendo Q la carga total de la distribucion.

(b) Pruebese que el campo electrico en el centro de la esfera es

E = − 14πε0

pR3

siendo p el momento dipolar de la distribucion.

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Campos Electromagneticos. Boletın 3. Diciembre de 2004

Problemas basicos

3.1. Se tiene un cubo hueco de paredes conductoras, cinco de las cuales se encuentran puestas a tierra,mientras la sexta esta a un potencial V . ¿Cuanto vale el potencial en el centro del cubo? ¿Por que?

¿Cuanto valdrıa si cada cara estuviera a un potencial distinto? ¿Y si en vez de un cubo se tratarade un tetraedro? ¿Como se extiende el resultado al caso de una esfera con una cierta distribucionde potencial sobre su superficie?

3.2. Se situan dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, a una distancia a la una de la otra.La placa inferior se pone a una tension V0, mientras que la superior se encuentra a tierra. El espacioentre las placas esta ocupado por una capa de un material cargado con una densidad uniforme ρ0.

(a) Determine el potencial y el campo electrico en todos los puntos entre las placas.

(b) Calcule la energıa electrica almacenada en el sistema.

(c) Halle la fuerza sobre las placas y sobre el material intermedio.

3.3. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga encada conductor? ¿Y el potencial?

Halle la energıa almacenada en el sistema.

3.4. Halle la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por dos conductorescilındricos concentricos de radios a y b (b > a).

Suponga que se construye un condensador coaxial formado por un nucleo interior cilındrico deradio a, rodeado de una corteza cilındrica concentrica de radio b (que se puede colocar a unatension V ), envuelta a su vez por un blindaje exterior, tambien cilındrico y concentrico de radio d,tambien puesto a tierra. ¿Cual es la capacidad por unidad de longitud de este sistema?

V0

abc


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3.5. Dos cargas, +q y −q, se situan en los puntos r1 = 2aux y r2 = −2aux + 3auz, respectivamente.

(a) Calcule la fuerza que experimenta cada carga y el trabajo necesario para traerlas desde elinfinito hasta su posicion final.

Suponga que se introduce un plano conductor, puesto a tierra, en x = 0.

(b) Halle la nueva fuerza que experimenta cada carga, ası como la que sufre el plano conductor.

(c) Calcule el trabajo necesario para introducir el plano.

3.6. Se tiene una superficie esferica conductora, aislada y descargada, de radio R. En el interior deesta esfera se encuentra una carga puntual q1, situada en un punto r1 del hueco. En el exteriordel conductor se encuentra una segunda carga puntual q2, situada en una posicion r2 (ambasposiciones medidas desde el centro de la esfera).

(a) Determine el potencial electrico en todos los puntos del espacio. ¿Como se comporta estepotencial a grandes distancias del sistema (r |r2|).

(b) Calcule la fuerza sobre cada una de las cargas puntuales y sobre la superficie esferica.

(c) Calcule el trabajo necesario para traer la carga q2 desde el infinito hasta su posicion final r2.

(d) halle el trabajo necesario para mover q1 desde el centro del hueco esferico hasta la posicionr1.


3.7. Considere el sistema de conductores de la figura. Esta formado por cuatro conductores, de loscuales el 1 y el 2 son simetricos con el 4 y el 3, respectivamente.

En este sistema, ¿que coeficientes de capacidad e induccion son nulos? ¿Cuales positivos? ¿Cualesnegativos? ¿Cuales iguales entre sı?

Suponga que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4.¿Como queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original?

+q

q

r1

r2

q1

q2

1

2 3

4


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3.8. La ruptura dielectrica se produce cuando el campo electrico entre dos conductores supera un valorcrıtico, saltando una chispa en el vacıo, o quemando el dielectrico que pueda haber en medio.

Una situacion en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Suponga dos placas metalicasplanas de seccion S situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placa inferior seencuentra a tierra y la superior a un potencial V0.

(a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y deespesor despreciable) de seccion S0. Halle la carga que se deposita en la chapa.

(b) Suponga que esta chapa se separa de la placa inferior, quedandose aislada, y se acerca a lasuperior (manteniendose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de laplaca inferior, ¿cual es su tension? ¿Cuanto vale el campo electrico entre la chapa y la placasuperior?

(c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0, ¿cual es la posicion x en la cual se producela chispa?

(d) Cuando se produce la chispa, la tension de la chapa pasa a ser V0, ¿cuanto varıa en eseproceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior?

Desprecie los efectos de borde.

3.9. Suponga el sistema de la figura, formado por una esfera metalica de radio R, inicialmente des-cargada; una corteza de radio 2R (concentrica con la anterior) sobre la cual hay depositada unacarga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metalica, tambien concentrica, de radio 4R, queinicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado,conectarse a la cascara exterior o conectarse a tierra (potencial cero).

(a) Determine el potencial al que se encuentra cada una de las esferas en el momento inicial.

(b) Admita que el interruptor se pasa a la posicion A, conectando los dos conductores. Halle lanueva distribucion de cargas y potenciales.

(c) Si ahora el interruptor se pasa de la posicion A a la B, de forma abrupta, ¿cuanto valen losnuevas cargas y potenciales?

(d) Repita los apartados (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubiera pasado en primerlugar a la posicion B y de ahı a la A.

El posible campo electrico creado por los hilos puede considerarse despreciable.

x

V0

aS0

S

A

B

Q

a

b

c

w

1

2 3


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3.10. Se tiene el sistema de la figura, formada por una corteza esferica (conductor “1”) de radio interiorb y exterior c. En su interior hay dos conductores practicamente semiesfericos (“2” y “3”), de radioa y separados una pequena distancia w. Despreciando los efectos de borde,

(a) Halle los coeficientes de capacidad e induccion del sistema.

(b) Determine los potenciales a que se ponen estos conductores cuando almacenan cargas Q1,Q2 y Q3, respectivamente. ¿En que caso es nulo el potencial de la corteza exterior?

3.11. Suponga una superficie esferica conductora elastica. Inicialmente, esta superficie posee radio R0 yalmacena una cierta cantidad de aire, a una presion igual a la exterior (que es la atmosferica). Sise deposita una cierta cantidad de carga sobre la superficie, la repulsion entre cargas provoca unapresion que dilata la esfera, disminuyendo la presion interior (de acuerdo con la ley de los gasesideales).

(a) Halle la ecuacion que liga el radio de la esfera con la carga almacenada.

(b) Suponga que la carga es pequena, de forma que R = R0+∆R (∆R R0). Halle, en primeraaproximacion, el valor de ∆R.

(c) Calcule el valor de ∆R para el caso de Q = 1µC y R0 = 1cm

Dato: p0 = 1atm = 101325Pa.

3.12. Una nube de tormenta puede modelarse como un conjunto de dos cargas puntuales, ±q, estandola carga positiva en su parte superior y la negativa en la inferior. La altura media de la nube es h0

y el espesor de la nube ∆h. Puede suponerse que ∆h h0.

Para medir el momento dipolar de la nube, se coloca una carga q1 sujeta a un dinamometro en unpunto sobre el plano de tierra (la carga puede suponerse en z = 0+), situado a una distancia x dela vertical de la nube.

(a) Halle la fuerza que se mide, para una distancia x dada.

(b) La nube, en su movimiento, modifica la distancia del observador a la vertical de la nube.Describa como varıa la fuerza con x y halle para que valor de x es maxima la fuerza, ası comoeste valor maximo.

(c) Si h0 = 1km, ∆h = 50m, q1 = 10µC y la fuerza maxima medida es de 0.2mN, calcule lacarga almacenada en cada extremo de la nube.

Dato: ε0 = 1/(36π × 109) F · m−1

h0

x

h

q

1

Eg

q

bac


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3.13. Se trata de hallar el campo electrico necesario para elevar en el aire una partıcula metalica quereposa sobre un plano a tierra. La partıcula conductora la podemos modelar como un hemisferio deradio a. Existe un campo electrico impuesto que, en puntos alejados de la semiesfera, es uniformey normal al plano conductor, E∞ = E0uz.

(a) El potencial en todos los puntos por encima del plano y la partıcula es de la forma

φ = −E0z +A cos θ

r2(z > 0, r > a)

siendo r la distancia al centro de la semiesfera. Determine el valor de A que hace que sesatisfagan todas las ecuaciones y condiciones de contorno.

(b) Halle la densidad de carga en la superficie de la semiesfera.

(c) Calcule la presion electrostatica en la superficie de la partıcula. A partir de esta presion, hallela fuerza electrica sobre la partıcula, empleando la relacion dF = p dS.

(d) Si la partıcula es de aluminio (ρm = 2700 kg/m3) y su radio vale a = 1mm, ¿que campo espreciso para levantar esta partıcula? (g = 9.8m/s2).

3.14. Se dispone de una esfera metalica, de radio a, conectada a tierra. Rodeando a esta esfera, seencuentra una delgada corteza esferica, tambien metalica, de radio b. Esta corteza esta aislada ydescargada. En el exterior existe una carga puntual q, situada a una distancia c del centro de lasesferas.

Determine el potencial electrico en todos los puntos del espacio y la fuerza que actua sobre la cargapuntual.

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Campos Electromagneticos. Boletın 4. Febrero de 2005

Problemas basicos

4.1. El estudio de las propiedades dielectricas de los gases puede servir para medir el tamano de losatomos.

Para ello, suponga que se modela un atomo de numero atomico Z como compuesto de una cargapuntual Ze (el nucleo) y una nube esferica uniforme, con volumen τ (los electrones). Si a un atomode este tipo se le aplica un campo externo uniforme E0, ¿cuanto vale el momento dipolar inducidoen el atomo por la separacion de los centros de carga?

Para un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos por unidad de volumen,¿cuanto valdra la susceptibilidad y la permitividad?

Experimentalmente se comprueba que el helio en condiciones normales tiene una permitividadrelativa εr = 1.000065, mientras que para el neon εr = 1.000123, y para el argon εr = 1.0051659.Segun esto, ¿cual es el tamano de un atomo de cada uno de estos gases nobles?

4.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte.

(a) Halle, por integracion directa el potencial electrico en todos los puntos del espacio.

(b) ¿Cuales son los valores de E, D y P dentro y fuera de la esfera?

(c) ¿Cuanto valen las densidades de carga equivalentes a la polarizacion?

4.3. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polariza-cion dada por la expresion, en coordenadas cilındricas,

P = A (ρuρ − zuz)

Halle la distribucion de cargas equivalente y el potencial electrico en el centro de la esfera.

a

V0

ba

V0

a

V0

b

Problema 4.4 Problema 4.5

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4.4. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Halle la capacidad de este condensador y construyase el circuito equivalente.

4.5. Repita el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendiculara las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

4.6. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Halle:

(a) La permitividad relativa del medio.

(b) El modulo del campo en el interior del material.

(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.

(d) El salto en la componente tangencial de D.


4.7. Una corteza esferica de radio interior a y exterior b esta hecha de dielectrico polarizado segun la ley

P =k

rur

No hay mas cargas en el sistema

(a) Calcule las densidades de carga de polarizacion en el sistema. ¿Cuanto vale la carga total depolarizacion?

(b) Halle los campos D y E en todo el espacio.

(c) Determine el valor del potencial electrico en todo el espacio.

4.8. Sobre una placa metalica plana, de seccion S (que supondremos en z = 0), se coloca una capade dielectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se situa una lamina metalica, deseccion S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una segundacapa de dielectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por ultimo, el sistema se cierra con una segundalamina metalica de seccion S.

Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2 y V3,¿Cuanto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Desprecie totalmente los efectos deborde (suponiendo E = Euz) y los posibles campos exteriores al sistema.

E=100 V/m

a

b

S0

S


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4.9. Un medio estratificado es aquel cuyas propiedades dependen de la altura z. Un material de estetipo se coloca entre dos placas conductoras planas y paralelas, separadas una distancia a. Lapermitividad del material varıa de ε1 a ε2 en la forma

ε(z) =ε1ε2a

ε1z + ε2(a − z)

Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre las placas,

(a) ¿Cuanto valen los campos D, E y P en todos los puntos del material?

(b) ¿Cual es la densidad de carga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?

(c) Halle la energıa almacenada en el sistema

Desprecie los efectos de borde.

4.10. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90 alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas? ¿Como varıa la energıa almacenada?

Desprecie los efectos de borde y la influencia de las paredes.

4.11. Se tienen dos superficies cilındricas conductoras concentricas entre las cuales se colocan dielectricostal como muestran las figuras. ¿Cuales son las capacidades y cuales los circuitos equivalentes?

Repita el problema para el caso de que la figura represente esferas concentricas.

4.12. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material dielectrico (de permitividad ε) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Halle el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplıquese elresultado del problema 4.2.

a

V0

( )z

ab

c

a

c


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4.13. Una esfera metalica de radio R se encuentra aislada y almacena una carga Q. La esfera se encuen-tra en el vacıo.

(a) Indique la energıa almacenada en el sistema

(b) Suponga que, sin descargar la esfera, esta se recubre con una capa de espesor a de undielectrico de permitividad ε. Determine la nueva energıa almacenada en el sistema. ¿Comose explica el cambio en la energıa?

(c) Si en lugar de una esfera aislada y descargada tenemos una esfera conectada a un generadorque fija su potencial en un valor V0, ¿cual es la energıa antes y despues del recubrimiento?¿Como se interpreta el cambio en este caso?

Problemas de ampliacion

4.14. En un sistema formado por dos esferas metalicas concentricas de radios a y c, entre las cuales seencuentran dos medios dielectricos, con una interfaz ecuatorial, existe una fuerza de atraccion entrelos electrodos, que esta ausente si solo hay un medio dielectrico que llene todo el espacio entre lasplacas. Se trata de calcular esta fuerza.

(a) Determine la densidad de carga libre en la superficie del electrodo interior.

(b) Halle el valor del campo electrico en los mismos puntos.

(c) La fuerza sobre un elemento de superficie conductora es

dF =12σlE dS

Integrando esta fuerza elemental, determine la fuerza neta sobre el electrodo interior. ¿Haciadonde va dirigida? ¿Cual es el origen de esta fuerza?

(d) De forma analoga, calcule la fuerza sobre el electrodo exterior. ¿Se verifica la tercera ley deNewton?

a

c

Problema 4.14

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Campos Electromagneticos. Boletın 5. Marzo de 2005

Problemas basicos

5.1. El tubo de rayos catodicos de un osciloscopio consiste en un haz de electrones que son emitidos porun catodo con velocidad horizontal v0 = v0ux. Estos electrones pasan entre dos placas paralelas,separadas una distancia b, entre las cuales existe la tension que se pretende medir, de forma queel campo electrico entre ellas tiene el valor −V/buz. Estas placas tienen una longitud w. A unadistancia L del fin de las placas se encuentra una pantalla, sobre la cual inciden los electrones.Calcule la altura del punto de impacto en funcion de la tension aplicada y los restantes parametrosdel sistema.

¿Como se consigue que el haz de electrones barra la pantalla y no se mueva solo verticalmente?

5.2. Se tiene un cable de cobre de 1mm2 de seccion, por el cual circula una corriente de 1 A. Determinela velocidad media de los electrones en esta corriente, ası como el numero de electrones queatraviesan una seccion del cable en la unidad de tiempo.

Datos: Densidad de masa del cobre ρm = 8.96 g/cm3. Peso atomico P = 63.546 g/mol. Numerode Avogadro N

A= 6.023 × 1023 atomos/mol.

5.3. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo electrico en todos los puntos del espacio.

5.4. Halle la resistencia entre los extremos de un bloque de conductor ohmico en forma de arco semi-circular de seccion cuadrada, El radio medio es b y el lado de la seccion es a. ¿A que se reduce elresultado si b a?

5.5. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

w

L

v0

V

Eh

a

b


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(a) Halle la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası como laenergıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determine la evolucion de la carga en las placas a partirde ese momento.

(c) Halle la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.

(d) Describa el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.

5.6. Una esfera de radio a se despolariza segun la ley

P(r, t) = ke−λtrur

Determine las densidades de carga de polarizacion, ası como la densidad de corriente de polariza-cion. ¿Se verifica la ley de conservacion de la carga para ρp y σp?


5.7. Para determinar la conductividad σ del suelo se mide la corriente entre dos electrodos clavados entierra y sometidos a una cierta diferencia de potencial.

(a) Suponga en primer lugar solo un electrodo hemisferico de radio a, perfectamente conduc-tor, puesto a un potencial V1 respecto a puntos muy alejados. En el estado estacionario,determınese la distribucion de potencial en el suelo. Admıtase que el potencial depende ex-clusivamente de la distancia al centro del electrodo. A partir de este resultado, calculese laresistencia entre el electrodo y el infinito. Supongase que el suelo posee conductividad igualen todos sus puntos.

(b) Suponga ahora dos electrodos del tipo anterior, del mismo radio, y muy alejados entre sı. Sise conectan por el aire mediante un cable ideal y una fuente de continua de tension V0, ¿quecorriente circula de un electrodo al otro?

(c) Si para una tension de 100V entre dos electrodos de 10 cm de radio se mide una corriente de0.63A, ¿cuanto vale la conductividad del suelo?

5.8. Los primeros sistemas de distribucion de corriente para iluminacion eran en serie, con todas lasbombillas conectadas en serie y la fuente puesta al voltaje necesario. Los sistemas actuales son casisiempre en paralelo.

Suponga que se desea calcular que sistema es el mas economico en terminos de la disipacion deenergıa en el cable. Una calle mide L = 1km y las farolas estan separadas una distancia a = 50m,funcionando cada una a V0 = 240V y con una potencia P0 = 500W.

La resistencia del hilo de cobre es mucho menor que la de las bombillas, de forma que a la hora dehallar las corrientes en cada rama no es necesario considerarla (a la hora de hallar las perdidas sı).

V0

A

V0

a

a

L

a

L


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Suponga que el sistema trabaja con corriente continua.

(a) ¿Cual es la seccion mınima necesaria para el cable en cada montaje si la densidad de corrienteno puede superar los Jm = 106 A/m2 y debe tener la misma anchura en todos sus puntos(σ = 5.7 × 107 S/m para el cobre).

(b) Se usa el hilo calculado en (a). Halle:

(1). El peso total de cobre usado en el sistema en serie y en paralelo (la densidad del cobre esaproximadamente ρm = 8960 kg/m3)

(2). La potencia disipada en el cobre en cada caso.

(c) A la vista de lo anterior, ¿por que se usan montajes en paralelo en lugar de en serie?

Dato: Puede ser necesario saber que

n2 + (n − 1)2 + (n − 2)2 + · · · + 1 =n(n + 1)(2n + 1)

6∼ n3

3(n grande)

5.9. La resistividad del aire en la atmosfera decrece exponencialmente con la altura como

σ−1 = r = r1e−α1z + r2e−α2z + r3e−α3z

dondei ri (1012 Ω · m) αi(km−1)1 46.9 4.5272 22.2 0.3753 5.9 0.121

El campo electrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Estecampo es practicamente constante y va siempre en la direccion vertical.

A partir de estos datos halle

(a) El valor del campo electrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera(z = 100 km).

(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.

(c) La distribucion de cargas en la atmosfera.

(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.

(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria

(f) Estime el tiempo que tardarıa la atmosfera en descargarse si no existiera un mecanismo gene-rador

5.10. Se tiene un circuito impreso en forma de “H” de un material de conductividad σ, con cuatroterminales, una de las cuales se encuentra permanentemente a tierra. Los brazos de la H y eltabique central poseen longitud b. Los cuatro brazos tienen anchura a, (a b) mientras que eltramo central posee anchura 2a, segun indica la figura. El espesor de toda la pista es c.

(a) Determine la matriz de los coeficientes de conductancia, Gij , correspondiente a los tres termi-nales libres. Desprecie la pequena contribucion de las esquinas donde confluyen los brazos.

(b) A partir de la matriz anterior, calcule las conductancias Gij y elabore un circuito equivalenteal sistema de tres electrodos, que no emplee nodos intermedios.

(c) Determine la potencia consumida en la pista cuando el terminal 1 se encuentra a potencial V0

y los otros a tierra.

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(d) En la configuracion anterior se corta la conexion a tierra del electrodo 2. En el nuevo estadoestacionario, ¿se consume mas o menos potencia que antes de la desconexion? ¿Cuanto?

5.11. Como ejemplo ilustrativo del concepto de fuerza electromotriz, considere el siguiente sistema:

(a) En el interior de un fluido dielectrico de permitividad ε se introducen dos electrodos coplanaresde gran anchura, que casi llegan a tocarse. Determine la distribucion de campos en el sistemacuando una de las placas se situa a tierra y la otra a tension V0 (suponga que las lıneas decampo electrico son arcos circulares que van de una placa a la otra).

(b) Por un pequeno orificio en el electrodo positivo, situado a una distancia a del borde de loselectrodos, se introduce una partıcula muy ligera con carga q. La partıcula se mueve poraccion del campo electrico hacia el otro electrodo. Ademas de la a la fuerza electrica, se hallasometida a una fuerza de friccion viscosa −γv. Determine el movimiento de la partıcula y eltiempo T que tarda en llegar al catodo. ¿Que trabajo realiza el campo electrico durante estetrayecto? ¿En que se emplea este trabajo?

(c) Si al llegar al otro lado, la partıcula es recogida por un dispositivo mecanico (una especiede bomba) que se encarga de devolverla a su posicion inicial, describiendo una trayectoriasemicircular y empleando el mismo tiempo T en hacerlo, ¿que trabajo realiza este agentemecanico? ¿En que se emplea?

(d) El proceso se repite numerosas veces, ¿cuanto vale la corriente electrica promedio que fluyede una placa a la otra? ¿Cuanto la fuerza electromotriz? ¿Y la potencia disipada?

5.12. Una esfera metalica perfectamente conductora, de radio a, se encuentra rodeada de una corteza dematerial ohmico, de permitividad ε0 y conductividad σ. La corteza tiene radio interior a y exteriorb.

Inicialmente la esfera y la corteza estan descargadas. En t = 0 la esfera interior se conecta, a travesde un cable, con un generador que fija su potencial en V0.

(a) Determine la evolucion en el tiempo de la carga almacenada sobre la esfera y en la superficieexterior. Admıtase que la densidad de carga es siempre uniforme en cada superficie.

(b) Calcule la energıa total disipada en el medio ohmico. ¿Cual es la energıa total proporcionadapor el generador? ¿en que caso esta es nula?

1

2

3

2a

a

b

b

+

V1

a

b


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5.13. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε1 y conductividad σ2. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b de un material de permitividad ε2 y conductividad σ2.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?

(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?

(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

5.14. Se tiene un sistema formado por tres placas metalicas perfectamente conductoras, planas y para-lelas, de la misma seccion S. La placa superior se encuentra a una distancia b de la intermedia,y esta a una distancia a de la inferior. El espacio entre las placas inferior e intermedia esta llenode un material ohmico de permitividad ε y conductividad σ, mientras que en el espacio entre laintermedia y la superior hay aire (ε = ε0, σ = 0).

La placa inferior se encuentra puesta a tension V0 en todo instante, mientras que la superior esta atierra en todo momento. La placa intermedia se encuentra inicialmente puesta a tierra. En t = 0,esta placa intermedia se desconecta.

(a) Describa la distribucion de campos y de corrientes entre las placas antes de la desconexion.¿Cuanto vale la energıa electrica almacenada inicialmente?

(b) Describa los campos y corrientes en el sistema mucho tiempo despues de la desconexion.¿Cual es la energıa electrica almacenada en el estado estacionario final?

(c) Durante el periodo transitorio, la placa central posee una tension variable V (t). Determine laecuacion diferencial para este potencial y halle su solucion.

(d) Calcule el valor de la energıa total disipada por efecto Joule en el periodo transitorio, ası comoel trabajo realizado por el generador. ¿Se conserva la energıa durante este proceso?

V0

a

b

0

=0 b

a

V0


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Problemas de ampliacion

5.15. Suponga que se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conduc-tividad σ. Si se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega auno de ellos vale I0. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

5.16. Suponga que en los problemas 5.12, y 5.13, en lugar de una senal escalon aplicamos una tensionalterna V = V0 cos(ωt).

Para cada una de estas configuraciones:

(a) ¿Cuanto vale la corriente que llega al elemento? ¿Cual es la impedancia del sistema? ¿Y elcircuito equivalente?

(b) ¿Cuanto vale la energıa aportada por el generador en un periodo? ¿En que se emplea estaenergıa?

5.17. Como ejemplo de situacion en la que no se verifica la ley de Ohm, considere el caso de una valvulade vacıo. En su version mas simple, esta formada por dos placas planas y paralelas, de seccionS y distancia a entre ellas. Una de las placas (situada en x = 0) esta permanentemente a tierra,mientras que la otra (en x = a) se encuentra a una tension fijada V0. Entre las placas se crea elvacıo lo mas perfecto posible.

La diferencia entre este sistema y un condensador, que no puede ser atravesado por una corrientecontinua, es que la placa de tierra se calienta hasta una cierta temperatura. En este caso, puedeproducirse el efecto termoionico, segun el cual la energıa termica de algunos electrones es suficientepara que puedan abandonar el material y fluir por el vacıo intermedio

(a) Si la tension del electrodo frıo es negativa, ¿habra corriente en el sistema?

(b) Suponga ahora que V0 > 0 y que un electron viaja desde el catodo caliente al anodo frıo. Apartir de la ley de conservacion de la energıa mecanica, ¿cual es la velocidad, v del electronen un punto en el que φ = φ(x)? Admita que los electrones son emitidos con velocidad nula.

(c) Si el numero de electrones emitidos es abundante, habra una cierta densidad de carga ρ =ρ(x). Teniendo esto en cuenta, escriba la ecuacion de Poisson y las condiciones de contornopara el potencial.

(d) En el estado estacionario, ¿a que se reduce la ley de conservacion de la carga? ¿Como serelaciona J con ρ y v?

(e) El sistema formado por las ecuaciones de los apartados anteriores admite una solucion par-ticular en la que el potencial depende de la posicion como

φ =(

x

a

)p

V0

siendo p un valor a determinar. Calcule este valor y establezca la relacion entre la tensionaplicada y la corriente que atraviesa el elemento.

¿Que utilidad practica tiene este elemento?

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Campos Electromagneticos. Boletın 6. Abril de 2005

Problemas basicos

6.1. Una lınea de alta tension esta formada por dos cables, que podemos suponer como hilos rectilıneosinfinitos y paralelos situados a una distancia d = 6m entre sı y a una altura h = 10m. Por estoscables circulan corrientes ±I, con I = 2kA.

(a) Halle el campo magnetico al nivel del suelo.

(b) Calcule la fuerza magnetica, por unidad de longitud, que los hilos se ejercen entre sı.

6.2. Una partıcula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magnetico uniformeB = B0uz. Si la partıcula se halla inicialmente en el origen y moviendose con velocidad v = v0.¿Cual es la trayectoria posterior? ¿Cual es la posicion en un instante de tiempo t?

6.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campomagnetico uniforme B (en la figura el campo ocupa la region sombreada y apunta perpendicular-mente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebe que la fuerza magneticaneta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalice este resultado para el caso de que la forma de la region ocupada por el campo magneticosea tambien irregular. ¿En que direccion apunta la fuerza?

6.4. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por unadistribucion de corriente superficial sobre un cilindro.

(a) Halle el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.

(b) Empleando la ley de Ampere, calcule el campo producido por el solenoide, si h → ∞.

(c) Mediante integracion directa, halle el campo magnetico en los puntos del eje del cilindro si hes finito. Estudie el lımite h a

6.5. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniformeK. Halle el campo magnetico en todos los puntos del espacio.

d

I

-Is

I

B


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6.6. Se desea construir una balanza que en lugar de un resorte funcione por fuerzas magneticas. Paraello, se produce un campo magnetico uniforme B = B0uz en una region rectangular. En el interiorde este campo se coloca una espira, por la cual se hace circular una corriente continua, I.

(a) Suponga que se usa como espira un triangulo rectangulo de hipotenusa a, masa m0, re-sistencia electrica R y autoinduccion despreciable. En el vertice inferior se coloca una agujaindicadora. Aplicando el resultado del problema 6.3, calcule a que distancia del borde inferiorestara la aguja cuando no hay colgado ningun peso.

(b) ¿Cual sera la posicion de la aguja cuando se cuelga una masa m de la balanza? ¿Cual es elpeso maximo que puede medir esta balanza?

(c) ¿Funcionarıa la balanza con una espira cuadrada? ¿Y con una espira triangular invertida?(Sugerencia: piense en lo que ocurre si la balanza se aleja ligeramente de su posicion deequilibrio)

6.7. Se tiene un solenoide cilındrico de gran longitud formado por un hilo, arrollado formando unahelice, de radio R y paso de rosca (distancia entre dos espiras consecutivas) b. Por el cable circulauna corriente I.

Halle el campo magnetico en todos los puntos del espacio, teniendo en cuenta la inclinacion de lasespiras. (Sugerencia: Combine los resultados de los problemas 6.4 y 6.5.)

6.8. En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concentricos, de radios a y b (b > a). Porel anillo interior circula una corriente I0.

(a) Halle la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnetico enel centro de los anillos se anule.

(b) Calcule el campo magnetico en todos los puntos del eje del sistema.

(c) Halle el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.

(d) Suponga que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cual es el error relativocometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximacion dipolar?

6.9. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1, es coplanaria con un conductorrectilıneo, por el que circula una corriente I2. La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hallela fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

B

I

mg

x

y

z

a

a

b

z

I2

I1

d

a

b


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6.10. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeno iman (equivalentea un dipolo magnetico m), de peso Mg, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo puntode sujecion se encuentra a una distancia a del cable. El iman esta sujeto por su punto central, deforma que puede orientarse libremente. ¿En que direccion apuntara el iman? Calculese la fuerzamagnetica sobre el iman, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Halle la ecuacion parael angulo que el hilo forma con la vertical.

6.11. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brujulas (equivalentes a dipolos magneticos) iguales,de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brujulas pueden girar en el plano hori-zontal. Considerando que la interaccion brujula-brujula es mucho mayor que la accion del campomagnetico terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energıa.¿Como se orientaran las brujulas?

I

a

l

m

(a) (b)

(c) (d)


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Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 7. Mayo de 2005

Problemas basicos

7.1. El momento dipolar magnetico de un atomo de hierro es aproximadamente

m 2.22eh

2me

¿Cual es el valor maximo que puede tener la magnetizacion de un trozo de hierro?

Supongase que se tiene un iman cilındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje.Sabiendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B μ0M/2, calculese elcampo que producira este iman. Estımese el valor de las corrientes de magnetizacion equivalentesa esta imanacion.

Datos: Carga del electron e = 1.6 × 10−19 C; masa del electron me = 9.1 × 10−31 kg; constantede Planck h = 1.054 × 10−34J·s; peso atomico del hierro pm = 55.8 dalton; densidad de masa delhierro ρm = 7.87g/cm3; permeabilidad del vacıo μ0 = 4π × 10−7T·m/A.

7.2. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado segun la ley

M = Ayux

estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente conel del iman.

Hallense las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetizacion. Calculese tambien la distribucionde fuentes escalares equivalente.


7.3. Se dispone de una esfera de radio R con una imanacion permanente M = M0uz.

(a) Determınese la expresion integral del potencial vector magnetico. Calculese el valor de laintegral. Hallese, a partir de A, el valor de B y de H en todos los puntos del espacio.

(b) Descrıbase cualitativamente la forma de B, H y M

(c) Calculense las corrientes de magnetizacion equivalentes, las ecuaciones y las condiciones decontorno para B.

(d) Hallese la distribucion de cargas magneticas equivalentes y el problema de ecuaciones y con-diciones de contorno para H.

7.4. Se construye un iman cilındrico de radio R = 1cm y longitud L, con una magnetizacion uniformey paralela a su eje M0 = 105 A/m.

(a) Determınese aproximadamente los campos H y B cuando L = 1mm, en el centro del iman yen un punto ligeramente por encima de su base superior.

• A partir de las corrientes de magnetizacion.• A partir de las cargas magneticas.

(b) Estımense H y B cuando L = 1m en los mismos puntos y con los mismos metodos

(c) Determınense exactamente H y B en todos los puntos del eje del iman, tanto dentro comofuera de el. Comparese con los resultados anteriores

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7.5. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material magnetico lineal (de permeabilidad μ)alrededor de la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magneticouniforme B0.

(a) Sabiendo que la magnetizacion que aparece en la esfera es uniforme, hallese el valor de dichamagnetizacion, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magnetico en todoslos puntos del espacio.

(b) ¿En que se diferencia el resultado para un material diamagnetico (μ < μ0) de uno para-magnetico? ¿A que se reducen los resultados en los casos de un paramagnetico ideal (μ → ∞)y un superconductor (μ = 0)?

(c) Hallense las corrientes de magnetizacion que aparecen en la esfera.

(d) Calculense los valores numericos para los apartados anteriores con un campo externo B0 =10mT aplicado sobre una esfera de radio 1 cm para los siguientes materiales:

i. Oro, χm = −3.0 × 10−5

ii. Aluminio χm = 2.1 × 10−5

iii. Hierro χm = 150iv. Superconductor χm = −1

M0 L

R

M0

B0

m

m0


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Campos Electromagneticos. Boletın 8. Mayo de 2005

Problemas basicos

8.1. Se tiene un solenoide largo de seccion S, por el cual circula una corriente variable en el tiempoK0(t). Dos voltımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de uncircuito formado por dos resistencias R1 y R2, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de losvoltımetros. ¿Coincidiran estas? ¿Por que?

8.2. Se tienen dos anillos metalicos. Ambos anillos estan centrados en el origen de coordenadas. Unode ellos posee radio b y esta situado en el plano xy. El otro es de radio a esta inclinado, de formaque su normal forma un angulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.

(a) Determine el coeficiente de induccion mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campodel anillo exterior a traves del anillo interior (tenga en cuenta que este es muy pequeno),cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.

(b) Halle el coeficiente de induccion mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que espracticamente un dipolo) a traves del anillo exterior cuando por el anillo interior circula unacorriente I2. ¿Son iguales los dos coeficientes?

8.3. Suponga la misma configuracion geometrica del problema 8.2. Por el anillo exterior se hace circularuna corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diametro comun, de formaque el angulo θ varıa con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinduccion,halle la corriente que circula por el anillo interior.

Calcule la energıa disipada en este anillo durante un periodo de revolucion. ¿De donde procedeesta energıa?

8.4. Tres solenoides cilındricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen lamisma longitud L y el mismo numero de espiras, las cuales estan arrolladas en el mismo sentido.Los radios de las bobinas son, respectivamente, a, b y c (a < b < c).

(a) Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.

V1 V

2

R1

R2

K0( )t

A

B

n

uz

b

a

ac b

Problema 8.1 Problemas 8.2 y 8.3 Problema 8.4

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(b) Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior dela exterior. ¿Como queda entonces la matriz de inducciones mutuas del nuevo sistema de dosconductores?


8.5. Junto a un cable rectilıneo de longitud infinita, por el cual circula una corriente I0 cos(ωt), se hallauna espira cuadrada, de lado a. Dos de los lados de la espira son paralelos al cable, estando el ladomas cercano a una distancia a del cable. La espira esta construida con un material de conductividadσ y la seccion del cable con que esta hecha es A. La autoinduccion de la espira puede considerasedespreciable.

(a) Calcule la corriente que circula por la espira.

(b) Halle la fuerza que el cable ejerce sobre la espira.

(c) Calcule la energıa disipada en la espira durante un periodo de oscilacion de la corriente delcable.

(d) De valores numericos para los resultados anteriores si I0 = 1A, ω = 100π s−1, a = 1cm,σ = 5.9 × 107S/m, A = 1mm2

8.6. Un amperımetro de induccion consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y au-toinduccion L), que se situa en torno a la corriente que se pretende medir.

(a) Supongase un toroide de radio medio b y seccion cuadrada pequena de lado a (a b), conN espiras arrolladas sobre un nucleo de permeabilidad μ (en este problema, ello solo suponecambiar μ0 por μ). Calculese el coeficiente de autoinduccion de este solenoide, a partir delcampo que se crea en su interior cuando por el solenoide circula una corriente I. Supongaseque dentro del solenoide B es de la forma B = B0uϕ con B0 uniforme.

(b) El solenoide anterior se coloca concentricamente con un hilo rectilıneo por el cual circula unacorriente I0 cos(ωt). Calculese la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.

(c) Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinduccion), hallese la amplitud dela corriente que circula por el solenoide.

(d) Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuanto vale la constante de pro-porcionalidad para un toroide de radio medio 2 cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con unnucleo de permeabilidad μ = 10−4 H/m?

8.7. La figura representa un carril metalico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla hori-zontal, tambien superconductora. Esta varilla esta inmersa en un campo uniforme B0 y cae por laaccion de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento sesuelta. Determine la ecuacion de movimiento y la posicion de la varilla en funcion del tiempo si elcircuito esta cerrado por:

(a) Una resistencia R (b) Un condensador C (c) Una autoinduccion L.

Estudie en cada caso el balance energetico del sistema.

8.8. Se tienen dos solenoides cilındricos concentricos de longitud h, muy grande. Los solenoides tienenradios a y 2a, respectivamente, y estan construidos con N espiras de un material superconductor,arrolladas en el mismo sentido.

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Supongase que los extremos del cilindro interior estan cortocircuitados por un hilo tambien super-conductor y que, inicialmente, no circula corriente por este solenoide. Los extremos de la bobinaexterior estan inicialmente unidos a un generador de intensidad que produce una corriente I0. Ent = 0, esta bobina se desconecta del generador y se cierra el circuito a traves de una resistencia R.

(a) Calcule las corrientes que circulan por cada solenoide en cualquier instante posterior.

(b) Halle la energıa almacenada inicialmente, la energıa final y la potencia disipada en la resisten-cia a lo largo del tiempo.

I0cos( t)

A

ab

B

Z

g

v

x

y

za2a

h

I0

R


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Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagneticos. Boletın 9. Mayo de 20059.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separa-

das una distancia a (a b); entre ellas hay vacıo. Entre los centros de las placas se establece unatension V0 cos ωt.

(a) Halle, en primera aproximacion, el campo electrico que se establece entre las placas.

(b) Determine el campo magnetico inducido en el espacio entre las placas, segun la ley deAmpere-Maxwell.

(c) Calcule, la primera correccion en el campo electrico obtenido en (a), de acuerdo con la leyde Faraday. ¿Para que valor del radio empieza a ser importante esta correccion (esto es,comparable al campo estatico)?

(d) Indique como serıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B.

9.2. Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotando en elvacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumende la esfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calcule la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponer que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calcule el campo electrico en los puntos del espacio y, a partir de este, la corriente de desplaza-miento. ¿Cuanto vale la densidad de corriente total?

¿Habra campo magnetico en el sistema?

Nota: La mayor parte de este problema ya aparece en el boletın 5.

9.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen-tra lleno de un material ohmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magneticaμ0. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a b). La placa superior estapermanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tension V (t).

(a) Despreciando los efectos de borde y la induccion electromagnetica, halle el campo electricoentre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.

(b) Calcule el campo magnetico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.

(c) Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası como su flujo a traves de unasuperficie cilındrica de radio b y altura a, concentrica con el sistema.

(d) ¿A que equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En que caso es nulo? ¿Que representa estecaso?

9.4. Un cable coaxial ideal esta formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamente conductor,y una superficie cilındrica exterior, de radio b, tambien perfectamente conductora. Los cilindros seextienden indefinidamente a lo largo de su eje.

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El cilindro interior se encuentra a una tension V0, mientras que la superficie exterior se encuentraa tierra. Simultaneamente, por la superficie del nucleo fluye una corriente I0 en la direccion deleje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que haydistribuida uniformemente una corriente −I0.

(a) Halle los campos electrico y magnetico en todos los puntos del espacio.(b) Calcule las densidades de energıa electrica y magnetica por unidad de volumen, ası como la

energıa total almacenada en una porcion de longitud L del cable coaxial.(c) Determine el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En que direccion fluye la

energıa? Halle el flujo de energıa a traves de una seccion del cable coaxial.

9.5. En la region en torno al origen de coordenadas, existe un campo electromagnetico que deriva delos potenciales (en esfericas)

A = −kvrt2

2ur V =

k(2r3 + 3c2vt3)6

(k y v son constantes). Calcule los campos E y B en esta region. Repita los calculos para lospotenciales

A = 0 V = −kr2

6(3vt − 2r)

y para el caso

A = −krt

2(vt − 2r)ur V = 0

¿Cuanto valen las fuentes de los campos electromagneticos en cada caso?

9.6. Los campos electrico y magnetico en el interior de un tubo metalico, de seccion cuadrada (que seextiende entre −L < x < L y −L < y < L, e indefinidamente a lo largo del eje z) vienen dado porlas expresiones

E = Ax(L2 − y2)ux B = −2Axytuz

En el exterior de este volumen ambos campos son nulos.

(a) Pruebe que este campo (E, B) verifica todas las ecuaciones y condiciones de salto necesariaspara ser un campo electromagnetico.

(b) Calcule las densidades de carga y de corriente, fuentes de este campo.

a

b

V t( )

V0

I0


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Primer Parcial, Febrero de 2005

Optica

Teorıa

O.1 (1 punto) Explique el fenomeno de reflexion total y su aplicacion a la propagacion de luz en fibrasopticas. Defina y explique las magnitudes que caracterizan las propiedades opticas de las fibras.

Aplicaciones

O.2. (0.5 puntos) Un extremo de una fibra optica de ındice de refraccion nf se introduce en una cavidadllena de agua (na). Calcule el maximo cono de rayos que sera visible desde el otro extremo cuandonf = 1.5 y na = 1.33.

O.3. (0.5 puntos) Una camara fotografica tiene un objetivo de distancia focal f = 50mm. Si la distancialente-pelıcula puede regularse desde d1 = 50mm hasta d2 = 65mm, ¿cual es el rango de distancias(mınima y maxima) a que pueden estar los objetos fotografiados para salir enfocados?

O.4. (0.5 puntos) Dibuje el diagrama de rayos correspondiente al espejo retrovisor exterior (esferico) deun automovil. Estando detenido, se observa que al acercarse un vehıculo a una distancia del espejod = 9m, su imagen es 1/12 del tamano real. ¿cual es el radio de curvatura del espejo?

Teorıa

(1 punto) Dado un sistema de conductores caracterizado por unos coeficientes de capacidad Cij ¿Comose construye un circuito equivalente? Explique la definicion e interpretacion de las capacidades Cij yautocapacidades Cii. ¿Que otros elementos completan el circuito equivalente? ¿Como se expresa laenergıa electrostatica almacenada en el sistema en terminos del circuito equivalente?

Considere un sistema formado por tres conductores: una superficie esferica aislada y descargada, encuyo interior hay dos esferas macizas, una de las cuales almacena una carga Q y la otra se encuentra auna tension V0. Disene el circuito equivalente a este sistema.

Q

V0

Teorıa

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Primer Parcial, Febrero de 2005

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Un campo electrico tiene la forma

E =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ar2r r < R

AR5rr3

r > R

(a) Determine la densidad de carga que crea este campo. ¿Cuanto vale la carga total?

(b) Calcule el trabajo necesario para llevar una carga puntual q hasta el origen de coordenadas.

(c) Halle la energıa electrostatica almacenada en este sistema.

P.2. (2.5 puntos) El sistema electrostatico de la figura esta formado por dos superficies conductorasplanas y paralelas, coincidentes con los planos x = 0 y x = a, conectadas ambas a tierra. Entredichas superficies y paralela a ellas, se coloca una fina lamina conductora conectada a un potencialV0, que separa una region 0 < x < s en la que existe una densidad volumetrica de carga electricaρ0 = cte., de otra s < x < a, sin carga electrica. Suponiendo que las dimensiones de las superficiesy la lamina son mucho mayores que la distancia a:

(a) Obtenga las expresiones del potencial electrostatico en ambas regiones y determine la distri-bucion superficial de carga electrica en la lamina.

(b) Obtenga, en funcion de la posicion de la lamina x = s, el valor de V0 que hace que la cargaelectrica total de esta sea nula. Determine la energıa electrostatica almacenada por el sistemacuando presenta esta configuracion.

(c) Determine: (i) la presion del campo electrostatico sobre las caras de la lamina; (ii) la fuerzaneta ejercida sobre esta, y (iii) los valores del potencial V0 que anulan dicha fuerza.

V0

0

as

P.2

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Segundo Parcial, Junio de 2005

Optica

Teorıa

O.1. (1 punto) Explique los fundamentos de los sistemas de emision laser indicando

(a) mecanismo de emision,

(b) componentes generales,

(c) tipos de laser,

(d) principales magnitudes que caracterizan la luz emitida.

Aplicaciones

O.2. (0.5 puntos) Un laser emite un haz de potencia P = 8mW y diametro D = 4mm incidente sobre unalente que reduce el diametro a D′ = (1/8)D. Si la potencia transmitida a traves de la lente es un 80% dela incidente (suponiendo incidencia normal), calcule la irradiancia y la amplitud del campo electrico delhaz luminoso antes y despues de atravesar la lente.

O.3. (0.5 puntos) Una camara CCD tiene un sensor de 2560 px × 1920 px que mide 8.8mm × 6.6mm.

(a) Calcule su resolucion espacial en micras/px y en lp/mm.

(b) Si se enfoca un campo de vision (FOV) de 3m × 2m y se visualiza la imagen en un monitor de40mm × 30mm, calcule el aumento primario y el aumento del sistema completo (en las dos direc-ciones del plano de la imagen).

O.4. (0.5 puntos) Defina brevemente e indique las unidades de medida de:

(a) Flujo luminoso.

(b) Flujo radiante.

(c) Intensidad luminosa.

(d) Iluminacion.

(e) Luminancia.

Teorıa

(1 punto) ¿Que establece fısicamente la ley de conservacion de la carga? Establezca dicha ley en forma integraly, a partir de esta forma, deduzca su forma diferencial.

¿Se deduce esta ley de las ecuaciones de Maxwell o constituye un hecho fısico independiente? Si se deduce,¿como? Si no se deduce, explique por que.

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Segundo Parcial, Junio de 2005

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Entre dos placas metalicas, planas y paralelas, de seccion S, y separadas una distancia a, seencuentra un medio ohmico de permitividad ε y conductividad σ.

Ambas placas estan conectadas a sendos generadores de tension variable.

(a) Inicialmente ambas placas se encuentran a tierra. Entonces, la tension de la placa 1 se varıa gra-dualmente de 0 a V0 en un tiempo T como V1(t) = V0t/T . Determine la corriente que llega a estaplaca durante este tiempo.

(b) Para el periodo anterior, calcule la energıa disipada en el medio ohmico, ası como la energıa apor-tada por el generador en este intervalo. ¿Coinciden estas dos cantidades? Si no lo hacen, ¿a que sedebe su diferencia?

(c) Una vez que la placa 1 se encuentra a tension V0, el potencial de la placa 2 comienza a elevarsehasta el mismo valor, requiriendo de nuevo un periodo T para alcanzar el valor lımite. ¿Cuantacorriente llega a la placa 1 durante este intervalo? ¿Y a la placa 2?

(d) Durante este segundo periodo, ¿cuanta energıa se disipa en el medio? ¿Cuanta aporta cada gene-rador? ¿Se verifica el balance energetico?

P.2. (2.5 puntos) El sistema de la figura consiste en una pequeno iman, modelable como un dipolo magneticopuntual de momento magnetico m0 = m0 uz y una espira circular de radio a por la que circula unacorriente electrica continua de intensidad I0. El dipolo magnetico se halla en el eje de la espira, a unaaltura z sobre esta.

(a) Determine la fuerza y el par que caracterizan la interaccion espira–dipolo magnetico, en funcion dela altura de este ultimo respecto de la espira.

(b) Calcule el flujo del campo magnetico del dipolo a traves de una superficie apoyada en la espira.

(c) Sabiendo que la espira tiene una resistencia electrica R y una autoinduccion L, determine como hade moverse el iman sobre el eje OZ (su velocidad en funcion de su posicion, v(z) = v(z)uz), paraque la corriente continua I0 que circula por la espira sea la debida a la induccion electromagnetica.

(d) En la situacion del apartado anterior, ¿que trabajo por unidad de tiempo (potencia) realiza la espirasobre el iman? ¿Como esta relacionado con la potencia disipada en la espira por efecto Joule?

V1 V

2

A A

a m0

Y

X

Z

z

aI

0

P.1 P.2

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Examen Final, Julio de 2005• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4 y T.1

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8 y T.2

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.2, O.3, O.5, O.6y T.2

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Optica

O.1. [1P] (1 punto) Explique el fenomeno de la profundidad aparente que ocurre cuando se observa, desde elexterior, un objeto sumergido en agua. ¿Que ocurre cuando se observa, desde el interior de una piscina, elexterior de la misma?

O.2. [1P-T] (0.5 puntos) Un submarinista de pie en el fondo de una piscina observa (en su vertical) un avion quevuela a 500 m por encima del nivel del agua (n = 1.33). Construya el diagrama de rayos correspondiente.¿Como es la imagen que vera? ¿a que altura le parecera que vuela el avion?

O.3. [1P-T] (0.5 puntos) Considere una lente delgada plano-convexa de ındice de refraccion n = 1.7 y radio decurvatura de 25 cm.

(a) Determine su distancia focal.

(b) Calcule la posicion y el aumento de la imagen obtenida de un objeto situado a 30 cm de la lente.

O.4. [1P] (0.5 puntos) Defina los elementos mas importantes de un espejo curvo. Describa la imagen que formaun espejo convexo de un objeto (a) lejano, y (b) cercano, dibujando los diagramas de rayos correspondientes.

Teorıa

T.1. [1P] (1 punto) Enuncie, comente y demuestre las principales consecuencias, para el campo electrico, elpotencial electrico y la densidad de carga, de que un conductor se encuentre en equilibrio electrostatico.

¿Que representan los conceptos de jaula de Faraday, apantallamiento e influencia total?

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Examen Final, Julio de 2005• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1, O.2, O.3,

O.4 y T.1

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios O.5, O.6,O.7, O.8 y T.2

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.2, O.3, O.5, O.6y T.2


Optica

O.5. [2P-T] (1 punto) Defina y explique (brevemente) los siguientes conceptos:

(a) Interferencia.

(b) Experimentos de Young.

(c) Difraccion

(d) Principio de Huygens-Fresnel.

O.6. [2P-T] (0.5 puntos) Un haz laser de He-Ne (longitud de onda 632.8 nm) incide sobre un orificio de 1 mmde diametro. Describa, y calcule, la figura (mancha luminosa) que se observara sobre una pantalla situada a1 m de distancia.

O.7. [2P] (0.5 puntos) Una onda electromagnetica plana desplazandose en el vacıo tiene una expresion, en elSI, dada por

Ez = 130 sen(107x − 3 × 1015t

)Determine su velocidad, frecuencia, longitud de onda, polarizacion e irradiancia. ¿A que zona del espectrocorresponde? (ε0 = 8.85 pF/m)

O.8. [2P] (0.5 puntos) Describa brevemente las caracterısticas y aplicaciones mas importantes de las lentes te-lecentricas.

Teorıa

T.2. [2P-T] (1 punto) Describa brevemente y caracterice matematicamente el comportamiento de los diferentestipos de materiales magneticos.

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Examen Final, Julio de 2005• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.1 y P.4.


Problemas

P.1. [1P-T] (2.5 puntos) Un anillo circular de radio a, almacena una carga Q distribuida uniformemente. En elcentro del anillo se encuentra un dipolo puntual p, alineado segun el eje de la espira.

(a) Determine la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira.

(b) Halle la energıa que tiene el dipolo por encontrarse en el campo de la espira.

(c) Calcule la fuerza que la espira produce sobre el dipolo. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

(d) Calcule el par que la espira ejerce sobre el dipolo.

P.2. [1P] (2.5 puntos) Se tiene un sistema formado por dos superficies metalicas, de radios a y b (a < b), perfec-tamente conductoras. Las superficies son concentricas y se encuentran inicialmente aisladas y descargadas.

En el centro del hueco interior se halla una carga puntual q.

(a) Determine la distribucion de potencial en todos los puntos del espacio.

(b) Se conectan las dos superficies a traves de un cable ideal. Calcule la nueva distribucion de potenciales,una vez que se restablece el equilibrio. ¿Cuanta carga hay en cada una de las superficies?

(c) ¿Cuanto varıa la energıa almacenada como consecuencia de la conexion?

(d) Se abre el interruptor, y se retira la carga central. Determine la nueva distribucion de potenciales y eltrabajo realizado al retirar la carga.

p

Q

a

q

ab

P.1 P.2

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Examen Final, Julio de 2005• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1 y P.2.

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejercicios P.3 y P.4.

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.1 y P.4.


Problemas

P.3. [2P] (2.5 puntos) Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a,se encuentra un dielectrico que presenta polarizacion remanente, de forma que en el

P = P0 + ε0χE

siendo P0 un vector uniforme, en la direccion perpendicular a las placas. El dielectrico es perfectamenteaislante.

(a) Inicialmente las placas estan descargadas. Si se conectan mediante un voltımetro, ¿cuanto medira este?(b) Suponga que las dos placas se conectan mediante un hilo conductor, ¿cuanta carga se almacena en

cada placa metalica?(c) Si el cable de conexion no es ideal, sino que posee una resistencia R, determine como varıa la diferencia

de potencial entre las placas y la carga en cada una de ellas como funcion del tiempo.

P.4. [2P-T] (2.5 puntos) Un cilindro de permeabilidad μ0, de radio a y gran longitud, esta electricamentecargado con una densidad volumetrica de carga uniforme ρ0. El cilindro gira alrededor de su eje de simetrıacon una velocidad angular ω, de manera que un punto arbitrario del cilindro existe una densidad de corrienteJ = ρ0ω × r.

Rodeando al cilindro se encuentra una espira superconductora, de autoinduccion L y resistencia nula. Laespira tiene forma de cuadrado de lado b y es concentrica con el cilindro.

(a) Demuestre que el campo magnetico creado por el cilindro en movimiento es de la forma

B =

⎧⎨⎩

μ0(C − Aρ2)uz 0 < ρ < a

0 ρ > a

y determine el valor de las constantes A y C.(b) Determine la ley de movimiento del cilindro, ω = ω(t) (que parte del reposo) para que por la espira

exterior circule una corriente electrica I(t) = I0

(1 − e−t/T

).

R

P0

a

b

ω

J

b

a

P.1 P.2

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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2005

Optica

Teorıa

O.1. (1.5 puntos)

(a) Defina y explique la dispersion optica en un prisma (diagrama de rayos, angulo de desviacion,dispersion cromatica).

(b) Explique algunas aplicaciones de los prismas en sistemas de analisis y en camaras CCD.

(c) Explique la formacion del arco iris primario y secundario.

Cuestiones

O.2. (0.5 puntos) Un tubo fluorescente cilındrico, de longitud L = 1m, emite una potencia P = 35W. Admi-tiendo una emision isotropa, determine la irradiancia y la amplitud del campo electrico a una distanciad = 5m de su centro (en el plano perpendicular al eje del tubo). Si en ese punto situasemos una superficieperfectamente absorbente (perpendicular a la luz emitida), ¿cual serıa la presion sobre la misma?

O.3. (0.5 puntos) Un laser de He-Ne (λ = 632.8 nm) emite, en la direccion z, un haz de irradiancia I =100W/m2, linealmente polarizado en la direccion x. Escriba las expresiones de los campos electrico ymagnetico asociados.

Nota: c = 3 × 108 m/s, μ0 = 4π × 10−7 H/m.

Teorıa

(1 punto) Defina los coeficientes de induccion mutua y de autoinduccion. Indique sus unidades de medida,ası como sus principales propiedades (simetrıa, signo,. . . ). ¿Que es el coeficiente de acoplamiento? ¿Cuantopuede variar este coeficiente?

Depar

tamen

tode

Físic

aAp

licad

aIII

Unive

rsidad

deSe

villa



Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2005

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Dos esferas metalicas, perfectamente conductoras, de radio a, se encuentran muy alejadasla una de la otra (de forma que no se influyen la una a la otra). Las dos esferas se encuentran conectadasmediante un cable de resistencia R. Una de las esferas se encuentra conectada a un generador de tensionV0, a traves de un interruptor que inicialmente se encuentra abierto. Ambas esferas estan inicialmentedescargadas.

(a) Suponga que el interruptor se cierra durante un periodo de tiempo muy corto (el imprescindiblepara que se cargue la esfera conectada a el) y se vuelve a abrir. Justo tras este intervalo ¿como es ladistribucion de cargas y potenciales en las esferas? ¿Cuanto vale la energıa electrostatica almacenadaen el sistema?

(b) Si se deja transcurrir un periodo de tiempo largo, ¿como queda la distribucion de cargas y potencia-les? ¿Cual es la energıa electrostatica almacenada en el sistema en el estado final?

(c) Determine la evolucion en el tiempo de las cargas y potenciales en cada esfera, ası como la corrienteque circula por el cable.

(d) Halle la energıa disipada en el cable durante el periodo transitorio y verifique que se satisface elbalance energetico.

P.2. Se tiene un sistema formado por dos dipolos magneticos alineados, de la misma magnitud, pero sentidosopuestos, mi = ±muz. Los dipolos se encuentran en los puntos ri = ±auz.

(a) Determine el valor del campo magnetico B y del potencial vector A en el plano z = 0, equidistanteentre los dos dipolos.

(b) Suponga que en lugar del sistema de los dos dipolos, tenemos uno solo m = muz, situado en elpunto r1 = auz, por encima de un bloque superconductor (σ → ∞, μ = 0) que llena todo elsemiespacio z < 0. ¿Que condiciones de salto deben verificarse en la superficie del superconductor?¿Cuanto vale el campo magnetico B en todos los puntos del eje del dipolo?

(c) Calcule el valor de la densidad de corriente superficial que aparece en la superficie del bloquesuperconductor.

R

V0

a

a

m

-m

az=0

Z

ma

z=0

Z

σ→∞, μ=0

P.1 P.2

Depar

tamen

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licad

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Unive

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deSe

villa



Convocatoria ordinaria, Febrero de 2005

Optica

O.1. Teorıa: (1.25 puntos)

Fenomenos de interferencia. Experimentos de Young.

O.2. Problema: (1.25 puntos) Un rayo luminoso incide sobre una de las caras de un prisma de vidrio(en aire) formando un angulo α = 45, en direccion hacia el vertice. Si el prisma tiene ındicen0 = 1.41 y angulo β = 60, determıne:

(a) angulo de refraccion en el interior del prisma

(b) angulo de salida del prisma

(c) angulo de mınima desviacion

(d) ¿que ocurre si el rayo incide normalmente a la cara?

(e) ¿que ocurrirıa en el apartado anterior si el ındice del vidrio fuera n > n0?

Teorıa

(1 punto) Describa el fenomeno de la induccion electromagnetica. Enuncie la ley de Faraday tanto enforma integral como en su forma diferencial, explicando el significado de cada termino que aparece enestas expresiones.

¿Que establece la ley de Lenz?Si un iman se acerca a una espira circular de resistencia R, con su polo norte apuntando hacia ella,

¿es el iman repelido o atraıdo por la espira? ¿Y si se acerca con su polo sur por delante?

Depar

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Convocatoria ordinaria, Febrero de 2005

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Se tiene una esfera de radio R con una carga Q1 distribuida en su volumen de modoque la densidad volumetrica es ρ(r) = Ar. A su alrededor se disponen dos superficies esfericasmetalicas concentricas, de radios 2R y 4R, respectivamente. Estas esferas estan aisladas y descar-gadas.

(a) Calcule la constante A en funcion de la carga de la esfera y de su radio.

(b) Calcule el campo electrico en todo el espacio y el potencial al que se encuentran las esferasconductoras.

(c) Se conectan las dos esferas conductoras entre sı. ¿Cual es el nuevo potencial y la nueva cargade cada esfera?

(d) Si se abre el cable de conexion y se conecta la esfera intermedia a tierra, ¿cual es la nuevacarga de esta esfera?

P.2. (2.5 puntos) Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de aluminiorevestido de cobre. Esta formado por un nucleo de aluminio (σ1 = 3.8 × 107 S/m) de radio a(suponga a = 2mm), rodeado por una capa de cobre (σ2 = 5.9 × 107 S/m), de radio exterior b(sea b = 3mm).

Halle el campo magnetico producido por el cable, tanto en su interior como su exterior, cuandopor el circula una corriente I = 100A. (Suponga µ = µ0 en todos los materiales) ¿Cual es el valormaximo del campo magnetico? ¿Donde se alcanza?

R

2R

4R

a

b

P.1 P.2

Departamento de Física Aplicada III -...

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