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El núcleo y sus radiaciones

Clase 14

Curso 2011

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Departamento de Física

Fac. Ciencias Exactas - UNLP

Momento cuadrupolar eléctrico

Si el promedio temporal de la distribución de carga dentro del núcleo se

desvía de la simetría esférica, entonces los núcleos poseerán momentos

multipolares eléctricos finitos.

Estos momentos multipolares contribuyen a la energía electrostática del

estado electrónico del átomo.

Efectos medibles en la estructura hiperfina de espectros atómicos y

moleculares pueden ser atribuidos a momentos nucleares cuadrupolares

eléctricos.

Momento multipolares clásicos de cargas puntales

q

q

q q qq

q

a

a

abb


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Desarrollo multipolar de una distribución de carga

0

'r r

''

)'(

4

1)(

0

dVrr

rr


')'('')'(

1

4

1)(

3

0

dVrxr

xdVr

rr i

i

i

...')'()3(

''

6

1 2

5,

dVrrxxr

xxijji

ji

ji


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')'()3(

''

6

1')'()3(

''

6

1

,5

,

2

5,

dVrxxxxr

xxdVrrxx

r

xxijkl

lk

klji

ji

ji

ijji

ji

ji

')'()''''3(

1

6

1

,5

,

dVrxxxxxxxxr

ijklji

lk

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ji

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6

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lk

ji

ji

ji

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6

1 2

5,

dVrrxxr

xxijji

ji

ji



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...

6

1.

4

1)(

,53

0

ij

ji

jiQ

r

xx

r

rp

r

qr

dVrrxxQ ijjiij )'()3( 2


Una distribución de carga sin simetría esférica posee momentos

multipolares adicionales al momento monopolar.

Una única carga, cuando no está localizada en el origen de coordenadas,

también posee momentos multipolares.


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)1()()( dVrVrW

ji ji

ji

ii

ixx

Vxx

x

VxVrV

,0

2

0

)2(...2

1)0()(


Energía de interacción entre una distribución de carga y un potencial

externo


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)3(6

1

6

1

0

2

22

0

2

,

2

iiji

ij

ji x

Vr

xx

Vr

)5(

0

2

0

ji

ij

i

i

xx

VV

x

VV

i jiji

ijjiiii

ixx

Vrxx

x

Vr

x

VxVrV )4(...)3(

6

1

6

1)0()(

0

2

,

2

0

2

22

0



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)7()3)(( 2 dVrxxrQ ijjiij

)6...()3()(6

1

)(6

1)()0()(

2

,

2

dVrxxrV

dVrrVdVrxVdVVrW

ijji

ji

ij

i

iii

i

i



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)8()( k

k

op rrerr

)9()3)(( 2 dVrxxrQ ijji

opop

ij

)10()()()( kk rfrrrf



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)11()3( 2

ij

k

kjkik

op

ij rxxeQ

ji

op

ijijQ V,

(12)6

1QH

teorema de Wigner -Eckart :

)13(,',)(,,,',)((,, mIQmICmIrQmI op

ij

op

ij I



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Para encontrar la constante C utilizamos m=m’=I, i=j=z

Definimos la parte izquierda de la ecuación (14) como eQ, entonces la

constante constante C es

)15()12(

II

eQC

)14(,',)(2

3,,,',,, 2 mImICmIQmI ijijji

op

ij IIIII



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ji

ijijjiijQII

eQV

,

2 )16()(2

3

)12(6

1IIIII

)()z

(zz

Vy

(yy

V)x

(xx

V)II(

eQ

Q17223)223223

126IIIIIIH

Y Utilizando la ecuación de Laplace

0

,

ij

ji

ijV

)18())(()3()12(4

2222

yxyyxxzzzQ VVVII

eQIIIIH



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)20(

zz

xxyy

V

VV

)21()()3()12(4

2222

yxzZZ

QII

eQVIIIIH



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Consideremos la componente Qzz del tensor:

dVrrzQzz )()3( 22

Vemos que si 0 )()( zzQrr

Igual para una distribución de carga positiva ρ(x,y,z) =cte. con simetría

cúbica.

z 0zzQz 0Q z

0Q

Distribución prolada Distribución oblada



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Momento cuadrupolar Q


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Momento cuadrupolar nuclear

Q tiene una definición distinta de la definición clásica. No se calcula

respecto del eje de simetría, sino respecto del eje donde es máxima la

proyección de I ( mI =I )

La densidad de carga se reemplaza por la probabilidad de que haya un

protón en el punto de coordenadas zyx ,,2

),,(),,( zyxezyx

La integral sobre la densidad de carga se divide por la carga del protón.

dVrze

Q )3(1 22 (promedio temporal)

Las unidades de Q son las de área. Se utiliza la unidad “barn”:

224101 cmbarn


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dVre

Q )1cos3(1 2

Relaciones entre Q, mI e I

z

IImI

La evaluación del momento cuadrupolar en el estado

cuántico mI = I es coherente con las definiciones

convencionales del momento magnético μ y del

momento mecánico I.

En el caso de Q, las componentes efectivas para otros

valores de m, no siguen una simple “ley de cosenos” como

lo hacen para μ e I.

)1(cos

II

m Q

II

IImQmQ

I

m

)12(

)1(3

1cos3

1cos3)(

2

2

2

0Q

Se puede demostrar que:

1Iobservable si y solo si


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Significado de los datos experimentales

de momentos cuadrupolares

Los vectores medidos de Q caen en el rango de 10-26 a 10-24 cm2, que son del

orden del cuadrado del diámetro nuclear.

Tales momentos son producidos por uno o algunos protones a distancias

del orden del radio nuclear.


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Elipticidad de la distribución de carga

Asumiendo un modelo de “densidad constante” de los núcleos, para la

distribución de carga y masa, el hecho de que los núcleos tengan valores

finitos de Q significa que la distribución de carga es ligeramente elipsodial.

Consideramos un núcleo elipsodial z

a

b

Límite clásico

II baV 2

3

4

ba

Ze24

3

dVrz

eQQ zz )3( 22

)(5

2 22 abZ



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Para núcleos reales a ≈ b, así que definimos

2

baR

ab

ab

R

ab

2

: radio nuclear

: elipticidad

2

5

4ZRQ

Número de protones

requeridos para producir el

valor Q observado


Para I =0, I =1/2, η =0

Para I ≥ 1, η es una fracción muy pequeña. Es una buena aproximación

suponer que los núcleos son esféricos.


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Estructura de capas de los núcleos

La variación sistemática de Q y η con Z muestra que Q tiene mínimos

absolutos cerca de Z =50 y 82.

Veamos como funciona el modelo “carozo + partícula única”

Un carozo con Z par, que tendría I =0 y μ =0, no puede esperarse

que, en general, cancele su momento cuadrupolar. Solo especiales

valores pares de Z, contendrían protones en todos los posibles

estados mj y tendrían simetría esférica y Q =0. Este es el caso de las

“capas cerradas” correspondientes a los números mágicos 2, 8, 20,

28, 40, 50, 82.

Para Z impar, N par, tal que Z corresponde a una capa cerrada más

un protón, debemos esperar una distribución de carga oblada, tipo

lenteja y Q <0.

Si el Z impar corresponde a un protón menos que las de la capa

cerrada, este hueco en la capa se comporta como una carga negativa

y Q >0.

Ver por ejemplo: In115

49 Sb121

51y


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Para núcleos con Z par, N impar, se observa una variación

sistemática similar al caso Z impar, N par. Esto sugiere que las

fuertes fuerzas atractivas entre protones y neutrones son tales que la

distorsión en la distribución de los neutrones produce una distorsión

similar en la distribución de protones.

En conclusión:

• Z impar, N par Q depende primariamente del número

de protones.

Q >0 antes del llenado de una capa de

protones.

Q <0 inmediatamente después.



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• Z par, N impar La magnitud de Q depende del número

de protones, pero el signo depende del

número N, como si los neutrones

tuvieran carga positiva.

• Z impar, N impar Depende de cómo se acoplan los espines

del protón y neutrón impares. Si son

paralelos, Q tiene magnitud y signo

comparable a un similar nucleído Z

impar, N par.

(10B, 14N, 176Lu).

De otra manera Q es considerablemente

reducido.

(6Li, 36Cl)

• Para Z par, N par, I =0 y Q =0


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