DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL: HIDRÁULICA Y … · Muy a lo lejos me veo batallando con la...

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL: HIDRÁULICA Y ENERGÉTICA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

CAMINOS, CANALES Y PUERTOS (MADRID)

CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES.

MODELADO Y ESTABILIDAD

Autor: José Ignacio Sarasúa Moreno Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid

Director: José Román Wilhelmi Ayza Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid

Director: Luis Garrote de Marcos Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la Universidad Politécnica de Madrid

Madrid, 2009

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS Departamento de Ingeniería Civil: Hidráulica y Energética

Tribunal nombrado por el Magnífico y Excelentísimo Sr. Rector de la

Universidad Politécnica de Madrid para juzgar la Tesis Doctoral

Presidente D. ......................................................................

Vocal D. ......................................................................

Vocal D. ......................................................................

Vocal D. ......................................................................

Secretario D. ......................................................................

Calificación ......................................................................

Madrid, a ........ de ................................... de 2009.

EL PRESIDENTE EL SECRETARIO LOS VOCALES

A Avelino y Antonio,

ejemplo e inspiración

“Pedid y se os dará, buscad y hallaréis,

llamad y se os abrirá”

Mateo 7, 7

“El que la sigue… la consigue”

Dicho popular

Haciendo balance…

Cerca de la cumbre, cuando ya la tengo a la vista, a pesar de la euforia del momento,

me asalta una duda que amenaza con enturbiar el éxito del ascenso. No soy montañero

de grandes alturas pero en alguna de mis humildes ascensiones, cuando las condiciones

no han sido las mejores, en los últimos pasos me he preguntado: “¿tiene sentido tanto

esfuerzo?, ¿ha merecido la pena madrugar, pasar frío?” Mi padre, con el que he

compartido desde muy niño la montaña, su montaña, añadiría con su humor ácido: “lo

que repartían arriba ya se ha acabado”. Y entonces es cuando sonriéndole me giro y

contemplo la inmensidad del valle. Es un momento mágico, el mundo parece detenerse

y empequeñecer. Todos los sitios por los que has pasado se muestran diminutos.

Distingues el recodo donde visteis la ardilla y entre los árboles crees reconocer la fuente

que invitó al último descanso. Y poco a poco reconstruyes la subida, mirando cada

piedra, cada tramo de sendero. Y sin darte cuenta, sin saber cómo, misteriosamente,

comprendes cuánto has disfrutado en la camino. Esa sensación junto con la vista que

tengo ante mis ojos me genera un estado de euforia, una locura transitoria pero

contenida que me empuja a dar los últimos pasos casi saltando, corriendo, botando, y

exclamar un grito en la cima.

Y en estos momentos me encuentro ahora, cerca de la cumbre, unos pasos apenas me

separan de ella pero no soy capaz de disfrutarlo; una duda me carcome por dentro:

“¿tiene sentido el esfuerzo de tantos años? ¿no perdí el tiempo empeñado en subir a lo

más alto? ”… Y esperando sentir el mismo alborozo que en lo alto del Mulhacén o de mi

siempre querida Maliciosa, me giro poco a poco, y contemplo el valle. “¡Caray! ¡Que alto

he subido!” pienso mientras observo.

Muy a lo lejos me veo batallando con la hidrología y los Sistemas de Información

Geográfica. Qué lejos estaba por aquel entonces del tema definitivo de mi tesis.

Francamente, qué lejos estaba de comprender qué era una tesis. Muchos palos de

ciego, tiros al aire y ningún avance. En la distancia me pregunto por qué no abandoné

entonces. Creo que porque soy muy cabezota o porque en aquellos días desconocía el

camino que me quedaba por delante (¡qué atrevida es la ignorancia!). Pero lo que

realmente me espoleó a dejar la seguridad de un trabajo en una ingeniería y a apostar

definitivamente por doctorarme fueron las primeras clases que impartí en la Universidad

Alfonso X el Sabio. A aquellos primeros alumnos, cuyas caras y algunos nombres aún

recuerdo, y a una antigua compañera de universidad, Patricia, que hizo posible la

carambola de mi aterrizaje en la universidad, les estoy eternamente agradecido. Fueron

días con sus noches preparando clases, horas en el autobús y nervios en la tarima.

Fueron días en los que descubrí una vocación que hoy puedo decir que me da la vida,

aunque en algunas ocasiones tras horas y horas de clase piense que me la quita.

Si continúo el sendero, tras el recodo del verano de 2004, me veo en el despacho de

José Román Wilhelmi poniendo en sus manos mi tiempo, mis ganas y mi poca ciencia. A

partir de ese día muchos han sido los que pasé sentado frente a su mesa siguiendo sus

explicaciones y razonamientos y en alguna ocasión, he de reconocer, fingiendo hacerlo

(no seré yo el alumno que supere a su maestro). Pero soy consciente de que estas

páginas dentro de poco serán papel mojado y adorno de estantería, por lo que no

quisiera agradecer únicamente a José Román la ayuda académica que me ha prestado y

sin la que esta tesis no habría visto la luz (palabras tan típicas y usadas como ciertas en

este caso). Con la perspectiva que me dan el momento y lugar privilegiado desde los

que observo, descubro en mí retazos de la sencillez, el rigor, la verdad y la honradez

científica (no sé si esto existe pero seguro que el investigador que lo lea lo entenderá)

que me ha transmitido mi tutor desde que me dio clase en la carrera. Todo ello sé que

nace desde la bondad, razón por la que me era imposible enfadarme con él cuando en

ocasiones le daba la vuelta a planteamientos o capítulos como si de un calcetín se

trataran. Fue su humildad la que propició que pidiéramos ayuda a Luis Garrote para que

nos echara una mano con la hidráulica de canales. La ayuda técnica fue muy valiosa

pero personalmente me quedo con su sentido común y su practicidad (poco usuales en

los ingenieros), que puso el contrapunto ideal al celo de José Román, y que impulsó

definitivamente la finalización del trabajo.

También soy capaz de otear, recordar, cuando con toda la ilusión del mundo me senté

por primera vez en la que sería mi mesa de trabajo en el laboratorio de Electrotecnia.

Me recuerdo leyendo los primeros artículos o al menos intentándolo. Tal vez algún día

aprenda a encriptar mis conocimientos (y no me refiero a traducirlos al inglés) para

poder escribir algo semejante en una revista científica. La velocidad variable, las

ecuaciones de una turbina Francis, primeros pasos que me condujeron sin todavía saber

cómo a la estabilidad de las centrales. El café del angelus gracias al que tantos mundos

hemos arreglado ya Jesús, Pedro, Ardanuy, José Ángel, Juan Ignacio, Nieves, Cristina,

Maroto y Arnau. A pesar de mis ausencias prolongadas, propiciadas por mi obligaciones

docentes en la Alfonso X, siempre me han hecho sentir uno más en el laboratorio.

Especial ha sido la impronta que ha dejado en mí a lo largo de estos años Jesús Fraile.

Su pasión por la enseñanza y su lucha por educar y formar en valores que tienden a

desaparecer en los tiempos que corren es fuente inagotable de inspiración. Y qué fácil

es caminar cuando alguien te marca el ritmo, seguir sus huellas cuando no tienes clara

la ruta. Juan Ignacio me ha allanado mucho el camino y sobre todo ha puesto la palabra

de ánimo precisa para no desfallecer en los momentos de flojera.

Contado de esta forma parece que ha sido un trayecto completamente agradable y

faltaría a la verdad si dijera que ha sido así. En ocasiones una niebla muy densa

producida por el desánimo o la monotonía te hace perder de vista la cumbre y

únicamente queda dar pasos pequeños y esperar pacientemente a que salga el sol (que

siempre sale). Otras veces la pendiente es pronunciada o equivocas el camino llegando

a resultados incorrectos. La informática también jugó malas pasadas, dos discos duros

víctimas en acto de servicio simultáneamente pusieron a prueba mi paciencia y mi

constancia. Los que siempre estuvieron ahí en todos esos momentos fueron mis padres.

Ejemplo y sostén. Maestros con todas las letras. Ellos nunca dudaron, lo que dice todo

de ellos.

Natalia, mi mujer, después de leer lo que hasta ahora escribí bromea sobre mi

capacidad de síntesis, menos mal que no tiene que leer el resto de la tesis. Cuando

comencé mi andadura doctoral ni siquiera la conocía y gracias a lo feliz que me hace y

lo fácil que es vivir a su lado ha conseguido dulcificar estos últimos meses de trabajo y

reducirlos milagrosamente.

Muchas más personas han hecho mi camino más fácil, me ha soportado en los

momentos difíciles y han escuchado pacientemente cuanto les contaba de mi trabajo (a

pesar de no entender ni jota lo que les honra más si cabe). Mis hermanos Almudena y

Juan Carlos, Tania y Loren, Sonia y Nacho, Mercedes (a pesar de su condición de

suegra) Josema, Alexa, María, Judit, Carlos y Paloma, compañeros de la Universidad

Alfonso X el Sabio, los “gallos” de Gaia, compañeros de Tecma… a todos mil gracias por

vuestro apoyo, cariño y sabios consejos.

Parpadeo y comprendo que no soy el mismo que comenzó el viaje que ha supuesto la

redacción de esta tesis doctoral. Una alegría serena me inunda. Miro de nuevo la

cumbre pero con una mirada diferente. Siento de nuevo ese cosquilleo… Estos años han

hecho posible que crezca como ingeniero, que haya aprendido lo que es el rigor, la

constancia, la paciencia, la humildad y que tenga confianza en los frutos del trabajo

bien hecho (a menudo imperceptibles a simple vista). Pero lo realmente importante es

que estos años de ascensión me ayudaron a ser mejor persona. Con tal convicción

finalmente le doy gracias a Dios por todo ello, sin Él nada de lo que sucede en mi vida

tendría sentido.

Y vuelvo a dirigir mis pasos hacia la cumbre. Saltando, corriendo, botando…

Madrid, Enero de 2009

ÍNDICE GENERAL I

Índice general

ÍNDICE DE FIGURAS ………………………..…………………………………….XI

ÍNDICE DE TABLAS ……………...……………………………………………XXVII

NOTACIÓN ……………………………………………………………………….XXXI

RESUMEN DE LA TESIS …………………………………………….……….XXXIX

CONTROL DE MINICENRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD

II ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN............................................................ 1.1

1.1 CONTEXTO DE LA TESIS..................................................................1.1

1.2 OBJETIVOS Y ALCANCE DE LA TESIS ..............................................1.9

1.3 ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO...............................................1.12

CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ..................................... 2.1

2.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................2.1

2.2 MODELOS DE CENTRALES HIDROELÉCTRICAS...............................2.2

2.2.1 Primeros modelos. Bases para el modelado de centrales....................... 2.4

2.2.2 Modificaciones, mejoras, aplicaciones y nuevos enfoques en los modelos de

centrales ..................................................................................................... 2.10

2.2.3 Modelos con controlador de nivel ...................................................... 2.20

2.3 MODELOS DE CURSOS DE AGUA EN LÁMINA LIBRE.....................2.26

2.4 CONTROL Y ESTABILIDAD EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS...2.33

2.4.1 Introducción histórica....................................................................... 2.34

2.4.2 Enfoque clásico ................................................................................ 2.36

2.4.3 Enfoque moderno ............................................................................ 2.43

2.4.3.a Control óptimo.......................................................................... 2.43

2.4.3.b Control robusto......................................................................... 2.47

2.4.4 Últimas tendencias: algoritmos genéticos, inteligencia artificial, lógica

difusa…....................................................................................................... 2.48

2.4.5 Control y estabilidad en centrales con controlador de nivel ................. 2.50

2.4.6 Controlador PID ............................................................................... 2.52

2.5 HIPÓTESIS DE PARTIDA Y METODOLOGÍA PROPUESTA PARA EL

PRESENTE ESTUDIO.................................................................................2.53

CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA............................................. 3.1

3.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................3.1

3.2 MODELACIÓN DE UN CURSO DE AGUA EN LÁMINA LIBRE.............3.7


ÍNDICE GENERAL III

3.2.1 Ecuaciones de Saint-Venat linealizadas ................................................3.8

3.2.2 Matriz de transferencia .......................................................................3.9

3.2.3 División del canal en dos tramos; uniforme y remanso........................ 3.10

3.2.4 Estudio del modelo en función del dominio de frecuencias .................. 3.12

3.2.4.a Estudio de baja frecuencia ......................................................... 3.13

3.2.4.b Estudio de alta frecuencia.......................................................... 3.14

3.2.5 Modelo completo .............................................................................. 3.16

3.3 MODELO DE CENTRAL COMPLETO ................................................3.16

3.3.1 Turbina-Tubería forzada.................................................................... 3.17

3.3.1.a Turbina..................................................................................... 3.18

3.3.1.b Tubería forzada......................................................................... 3.22

3.3.2 Conducciones ................................................................................... 3.23

3.3.2.a Cámara de carga....................................................................... 3.24

3.3.2.b Canal........................................................................................ 3.25

3.3.2.c Validación del modelo lineal de canal. Simulación mediante MIKE11....

................................................................................................ 3.29

3.3.2.d Compuerta................................................................................ 3.39

3.3.2.e Azud......................................................................................... 3.42

3.3.3 Controlador PI.................................................................................. 3.43

3.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN ............................................................3.45

3.4.1 Datos de la central ........................................................................... 3.46

3.4.2 Calibración del controlador PI............................................................ 3.49

3.4.3 Simulación ....................................................................................... 3.51

3.5 MODELO DE CENTRAL LINEAL ......................................................3.55

3.5.1 Turbina-Tubería forzada.................................................................... 3.57

3.5.2 Cámara de carga .............................................................................. 3.60

3.5.3 Controlador PI.................................................................................. 3.61

3.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓN MODELO COMPLETO –

MODELO LINEAL ......................................................................................3.63


IV ÍNDICE GENERAL


3.6.2 Simulación....................................................................................... 3.65

CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA ................................................................................. 4.1

4.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................4.1

4.2 MODELO COMPLETO........................................................................4.4

4.2.1 Turbina-tubería forzada ...................................................................... 4.4

4.2.1.a Turbina ...................................................................................... 4.4

4.2.1.b Tubería forzada .......................................................................... 4.7

4.2.2 Azud de derivación............................................................................. 4.8

4.2.3 Controlador PI ................................................................................... 4.9

4.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN.............................................................4.10


4.3.2 Calibración del controlador PI ........................................................... 4.12

4.3.3 Simulación....................................................................................... 4.14

4.4 MODELO LINEAL............................................................................4.16

4.4.1 Ecuación del subsistema Turbina – tubería forzada............................. 4.17

4.4.2 Ecuación del Azud ............................................................................ 4.20

4.4.3 Ecuación del controlador de nivel ...................................................... 4.21

4.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓM MODELO COMPLETO –

MODELO LINEAL ......................................................................................4.23


4.5.2 Simulación....................................................................................... 4.25

CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE PRESA........................................................................................... 5.1

5.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................5.1

5.2 METODOLOGÍA PROPUESTA ...........................................................5.4


ÍNDICE GENERAL V

5.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA ..................................................5.5

5.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD........................................................5.7

5.4.1 Polinomio característico ......................................................................5.7

5.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz....................................................................5.8

5.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central .............................. 5.10

5.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD ............................................................5.10

5.5.1 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad .................... 5.10

5.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI ..................5.16

5.6.1 Caracterización del lugar de raíces de un sistema de segundo orden y su

respuesta .................................................................................................... 5.17

5.6.2 Lugar de raíces. Introducción ............................................................ 5.21

5.6.3 Lugar de raíces de la ganancia k ....................................................... 5.22

5.6.4 Estudio de la respuesta en función de k ............................................. 5.25

5.6.4.a Central con canal de derivación y cámara de carga ..................... 5.26

5.6.4.b Central a pie de presa ............................................................... 5.29

5.6.5 Determinación de la ganancia k óptima.............................................. 5.33



5.6.6 Determinación de pares óptimos de ganancias k – Ti. Estudio de la

respuesta de la central ................................................................................. 5.38



5.6.7 Selección del de par de ganancias óptimas k – Ti. para la calibración del

controlador PI.............................................................................................. 5.49



5.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento 5.54

5.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO...................................5.58

5.7.1 Introducción..................................................................................... 5.58


VI ÍNDICE GENERAL

5.7.2 Formulación matemática................................................................... 5.58

5.7.3 Aplicación a la central modelada ....................................................... 5.61

5.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN........................5.65

CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO ...................................... 6.1

6.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................6.1

6.2 MODELO COMPLETO........................................................................6.6

6.2.1 Turbina-tubería forzada ...................................................................... 6.6

6.2.1.a Turbina ...................................................................................... 6.6

6.2.1.b Tubería forzada ........................................................................ 6.10

6.2.2 CONDUCCIONES .............................................................................. 6.12

6.2.2.a Chimenea de equilibrio.............................................................. 6.12

6.2.2.b Galería en presión..................................................................... 6.13

6.2.2.c Azud de derivación.................................................................... 6.14

6.2.3 CONTROLADOR PI ........................................................................... 6.16

6.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN.............................................................6.17


6.3.2 Calibración del controlador PI ........................................................... 6.21

6.3.3 Simulación....................................................................................... 6.22

6.4 MODELO LIENAL............................................................................6.26

6.4.1 Ecuación de equilibrio en el subsistema Chimenea de equilibrio - Turbina...

....................................................................................................... 6.28

6.4.2 Ecuación de la Galería en presión...................................................... 6.29

6.4.3 Ecuación de almacenamiento en el Azud ........................................... 6.31

6.4.4 Ecuación del controlador de nivel en el Azud...................................... 6.34

6.5 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓM MODELO COMPLETO –

MODELO LINEAL ......................................................................................6.38


6.5.2 Simulación....................................................................................... 6.41


ÍNDICE GENERAL VII

6.5.2.a Modelo sin vertedero ................................................................. 6.41

6.5.2.b Modelo con vertedero................................................................ 6.43

6.5.2.c Comentarios a las simulaciones .................................................. 6.44

CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO7.1

7.1 INTRODUCCIÓN..............................................................................7.1


7.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA ..................................................7.4

7.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD........................................................7.5

7.4.1 Polinomio característico ......................................................................7.5

7.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz....................................................................7.7

7.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una minicentral ........................ 7.10

7.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD ............................................................7.12

7.5.1 Influencia de las características de la planta....................................... 7.12


7.5.3 Comparación con el modelo con canal y cámara de carga y a pie de presa .

....................................................................................................... 7.19


7.6.1 Lugar de raíces. Introducción ............................................................ 7.25


7.6.3 Estudio de la respuesta en función de k ............................................. 7.28

7.6.4 Determinación de la ganancia k óptima.............................................. 7.32

7.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti....................................................... 7.35

7.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti ............................................ 7.37

7.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima............................................. 7.41



7.7.1 Introducción..................................................................................... 7.47


VIII ÍNDICE GENERAL

7.7.2 Formulación matemática................................................................... 7.49

7.7.3 Aplicación a la central modelada ....................................................... 7.52

7.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN........................7.57

7.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal ................................... 7.59

7.8.2 Comparación Criterio heurístico – Criterio Ziegler – Nichols ................. 7.61

CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN ............................................ 8.1

8.1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................8.1


8.3 MATRIZ DEL SISTEMA.....................................................................8.3

8.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD ........................................................8.5

8.4.1 Polinomio característico ...................................................................... 8.5

8.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz ................................................................... 8.7

8.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central.............................. 8.10

8.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD.............................................................8.11

8.5.1 Influencia de las características de la planta ...................................... 8.11


8.5.3 Comparación con el modelo sin vertedero.......................................... 8.16


8.6.1 Lugar de raíces. Introducción............................................................ 8.22


8.6.3 Estudio de la respuesta en función de k............................................. 8.25

8.6.4 Determinación de la ganancia k óptima ............................................. 8.28

8.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti ...................................................... 8.31

8.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti ............................................ 8.33

8.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima ............................................ 8.37



ÍNDICE GENERAL IX


8.7.1 Introducción..................................................................................... 8.43

8.7.2 Formulación matemática ................................................................... 8.43

8.7.3 Aplicación a la central modelada........................................................ 8.48

8.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN. ......................8.52

8.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal ................................... 8.53

8.8.2 Comparación Criterio heurístico - Criterio Ziegler – Nichols.................. 8.55

CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES .............................. 9.1

9.1 RESUMEN DE LAS APORTACIONES ORIGINALES ...........................9.1

9.1.1 Modelos de minicentrales fluyentes con control de nivel........................9.2

9.1.2 Modelo de central en derivación con canal incorporado.........................9.3

9.1.3 Regiones de estabilidad ......................................................................9.4

9.1.4 Criterio de sintonía para el controlador PI ............................................9.5

9.2 CONCLUSIONES ..............................................................................9.6

9.2.1 Modelos de central .............................................................................9.6

9.2.2 Estudio de la estabilidad .....................................................................9.7

9.2.2.a Central en derivación con canal y central a pie de presa ................9.7

9.2.2.b Central en derivación con conducciones en presión .......................9.9

9.2.2.c Central en derivación con conducciones en presión y vertido en el azud

................................................................................................ 9.10

9.3 PUBLICACIONES ...........................................................................9.11

9.4 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN.........................................9.12

BIBLIOGRAFÍA

APÉNDICE A OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE SAINT-VENANT

A.1 Ecuación de continuidad ...................................................................A.1

A.2 Ecuación de la dinámica o de conservación de la cantidad de movimiento

.............................................................................................................A.4

APÉNDICE B LINEALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE SAINT-VENANT


X ÍNDICE GENERAL

APÉNDICE C RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN COMPARATIVA MODELO

LINEAL-MIKE11

APÉNDICE D LISTADOS DE LOS PROGRAMAS UTILIZADOS EN LOS

DIAGRAMAS DE BLOQUES DE MATLAB

D.1 Función Resalto ...............................................................................D.2

D.2 Función Impulsión ...........................................................................D.2

D.1 Función Bernoulli .............................................................................D.2

D.2 Función Desagüe .............................................................................D.3


ÍNDICE DE FIGURAS XI

Índice de figuras

Figura 3.1 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara

de carga......................................................................................................... 3.5

Figura 3.2 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de

carga ............................................................................................................. 3.6

Figura 3.3 División del canal en dos tramos...........................................................3.11

Figura 3.4 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara

de carga........................................................................................................3.17


XII ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 3.5 Diagrama de bloques del conjunto turbina-tubería forzada...................... 3.17

Figura 3.6 Colina de rendimientos ......................................................................... 3.18

Figura 3.7 Diagrama de bloques del modelo de Turbina.......................................... 3.20

Figura 3.8 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada.............................. 3.23

Figura 3.9 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones ................................... 3.24

Figura 3.10 Diagrama de bloques del modelo de Cámara de carga .......................... 3.25

Figura 3.11 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación ...................... 3.26

Figura 3.12 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ....... –

P21(s)/P22(s) .................................................................................................. 3.27

Figura 3.13 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ....... –

P12(s)·P21(s)/P22(s)........................................................................................ 3.27

Figura 3.14 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ........... P11(s)/1......................................................................................................... 3.28

Figura 3.15 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ........... P12(s)/P22(s) .................................................................................................. 3.28

Figura 3.16 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente ........... 1/P22(s)......................................................................................................... 3.28

Figura 3.17 Perfil longitudinal del canal modelado por MIKE11 ................................ 3.30

Figura 3.18 Caudal procedente del azud de derivación............................................ 3.31

Figura 3.19 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga .................................. 3.32

Figura 3.20 Calado en la embocadura del canal...................................................... 3.32


Figura 3.22 Calado en la cámara de carga ............................................................. 3.36

Figura 3.23 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga .................................. 3.37



ÍNDICE DE FIGURAS XIII

Figura 3.25 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe libre

.....................................................................................................................3.40

Figura 3.26 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe

anegado ........................................................................................................3.40

Figura 3.27 Diagrama de bloques del modelo de Compuerta ...................................3.41

Figura 3.28 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación........................3.42

Figura 3.29 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por

coronación.....................................................................................................3.43

Figura 3.30 Diagrama de bloques del Controlador PI...............................................3.45

Figura 3.31 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos ...............................3.48

Figura 3.32 Modelo reducido de central con cámara de carga..................................3.49

Figura 3.33 Respuesta de la central en lazo abierto ................................................3.50

Figura 3.34 Evolución de caudales, central sin vertedero.........................................3.51

Figura 3.35 Evolución de caudales, central con vertedero........................................3.52

Figura 3.36 Nivel de agua en el azud .....................................................................3.53

Figura 3.37 Nivel de agua en la cámara de carga....................................................3.54

Figura 3.38 Posición del distribuidor.......................................................................3.54

Figura 3.39 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de

carga ............................................................................................................3.56

Figura 3.40 Diagrama de bloques del modelo lineal de Turbina - Tubería forzada .....3.60

Figura 3.41 Diagrama de bloques del modelo lineal de Cámara de carga..................3.61

Figura 3.42 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI .....................3.63

Figura 3.43 Caudal aportado por el canal a la cámara de carga ...............................3.65

Figura 3.44 Nivel de agua en la cámara de carga....................................................3.66


XIV ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 3.45 Posición del distribuidor ...................................................................... 3.66

Figura 4.1 Diagrama de bloques del Modelo completo de central fluyente a pie de presa

.................................................................................................................... 4.3

Figura 4.3 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada .................... 4.4


Figura 4.5 Diagrama de bloques del modelo de Turbina.......................................... 4.7

Figura 4.6 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada.............................. 4.8

Figura 4.7 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación ......................... 4.9

Figura 4.8 Diagrama de bloques del Controlador PI .............................................. 4.10

Figura 4.9 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos ............................... 4.12

Figura 4.10 Respuesta de la central en lazo abierto .............................................. 4.13

Figura 4.11 Caudal en el río ................................................................................ 4.14

Figura 4.12 Nivel de agua en el azud................................................................... 4.15

Figura 4.13 Posición del distribuidor .................................................................... 4.15

Figura 4.14 Diagrama de bloques del modelo lineal del subsistema turbina – tubería

forzada ....................................................................................................... 4.19

Figura 4.15 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación............. 4.21

Figura 4.16 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI ................... 4.23

Figura 4.17 Nivel de agua en el azud................................................................... 4.25

Figura 4.18 Posición del distribuidor .................................................................... 4.26

Figura 5.1 Colina de rendimientos. Puntos de funcionamiento ............................... 5.12

Figura 5.2 Colina de rendimientos. Zonas de operación para el ajuste de parámetros5.13

Figura 5.3 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento........... 5.14


ÍNDICE DE FIGURAS XV

Figura 5.4 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y

cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .............................. 5.15

Figura 5.5 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y

cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .............................. 5.16

Figura 5.6 Representación de polos conjugados en el plano s................................ 5.18

Figura 5.7 Especificaciones de la respuesta de un sistema de segundo orden ......... 5.19

Figura 5.8 Influencia de σd en la respuesta .......................................................... 5.20

Figura 5.9 Influencia de ωd en la respuesta ......................................................... 5.20

Figura 5.10 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw’/β = 10 .... 5.22

Figura 5.11 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central con cámara de carga....... 5.23

Figura 5.12 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa................. 5.24

Figura 5.13 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa (Ampliación)

................................................................................................................... 5.24

Figura 5.14 Variación de caudal en el canal, Central con cámara de carga.............. 5.25

Figura 5.15 Variación de caudal en el río, Central a pie de presa ........................... 5.26

Figura 5.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central con

cámara de carga .......................................................................................... 5.27

Figura 5.17 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga con variación

de k, Central con cámara de carga................................................................ 5.28

Figura 5.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central

con cámara de carga.................................................................................... 5.28

Figura 5.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central a pie de

presa .......................................................................................................... 5.30

Figura 5.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k,

Central a pie de presa .................................................................................. 5.31


XVI ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 5.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central

a pie de presa ............................................................................................. 5.32

Figura 5.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central con cámara de

carga .......................................................................................................... 5.34

Figura 5.23 Evolución temporal de cota de agua en la cámara de carga con la ganancia

k seleccionada, Central con cámara de carga................................................. 5.35

Figura 5.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k

seleccionada, Central con cámara de carga ................................................... 5.35

Figura 5.25 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central a pie de presa

.................................................................................................................. 5.36


(Ampliación)................................................................................................ 5.37

Figura 5.27 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k

seleccionada, Central a pie de presa ............................................................. 5.37


seleccionada, Central a pie de presa ............................................................. 5.38


carga .......................................................................................................... 5.39

Figura 5.30 Lugar de raíces de k con Ti = 0,0378; Central con cámara de carga .... 5.40


carga .......................................................................................................... 5.40

Figura 5.32 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0252,

Central con cámara de carga........................................................................ 5.41


Central con cámara de carga........................................................................ 5.41

Figura 5.34 Parejas de ganancias seleccionadas, Central con cámara de carga....... 5.43

Figura 5.35 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para las

parejas de k y Ti, Central con cámara de carga.............................................. 5.43


ÍNDICE DE FIGURAS XVII

Figura 5.36 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti,

Central con cámara de carga ........................................................................ 5.44

Figura 5.37. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00605,








Figura 5.41 Parejas de ganancias seleccionadas, Central a pie de presa ................. 5.47

Figura 5.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para las parejas de k y Ti,


Figura 5.43 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti,



Central con cámara de carga ........................................................................ 5.50

Figura 5.45 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para la pareja

de k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga ...................................... 5.51

Figura 5.46 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti

seleccionada, Central con cámara de carga.................................................... 5.51



Figura 5.48 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para la pareja de k y Ti

seleccionada, Central a pie de presa.............................................................. 5.53

Figura 5.49 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti

seleccionada, Central a pie de presa.............................................................. 5.53


XVIII ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 5.50 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad,

Central con canal de derivación y cámara de carga........................................ 5.55

Figura 5.51 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de

carga, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) ......................................................... 5.56


carga, con caudal 9,86 m3/s (ZONA II) ......................................................... 5.57


carga, con caudal 19,08 m3/s (ZONA III) ...................................................... 5.57

Figura 5.54 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de

operación en las regiones de estabilidad, Central con cámara de carga y canal de

derivación ................................................................................................... 5.62


carga, con caudal 14,40 m3/s ....................................................................... 5.64


carga, con caudal 9,86 m3/s ......................................................................... 5.64


carga, con caudal 19,08 m3/s ....................................................................... 5.65

Figura 5.58 Caudal del canal, Situación de gran perturbación................................ 5.66

Figura 5.59 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran

perturbación, Modelo lineal – Modelo completo ............................................. 5.68

Figura 5.60 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara, Situación de gran

perturbación, Modelo lineal – Modelo completo ............................................. 5.68

Figura 6.1 Diagrama de bloques del Modelo de central con galería en presión y

chimenea de equilibrio ................................................................................... 6.4

Figura 6.2 Diagrama de bloques del Modelo lineal de central con galería en presión y

chimenea de equilibrio ................................................................................... 6.4

Figura 6.3 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada .................... 6.6



ÍNDICE DE FIGURAS XIX

Figura 6.5 Diagrama de bloques del modelo de Turbina ..........................................6.9

Figura 6.6 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada ............................ 6.12

Figura 6.7 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones.................................. 6.12

Figura 6.8 Diagrama de bloques del modelo de Chimenea de equilibrio.................. 6.13

Figura 6.9 Diagrama de bloques del modelo de Galería en presión......................... 6.14

Figura 6.10 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación...................... 6.15

Figura 6.11 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por

coronación................................................................................................... 6.16

Figura 6.12 Diagrama de bloques del Controlador PI............................................. 6.17

Figura 6.13 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos ............................. 6.20

Figura 6.14 Modelo sin vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc =

132,5 .......................................................................................................... 6.21

Figura 6.15 Modelo con vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc =

152,0 .......................................................................................................... 6.22

Figura 6.16 Caudal en el río ................................................................................ 6.23

Figura 6.17 Nivel de agua en el azud ................................................................... 6.23

Figura 6.18 Posición del distribuidor..................................................................... 6.24

Figura 6.19 Nivel en la chimenea de equilibrio ...................................................... 6.24

Figura 6.20 Caudal turbinado .............................................................................. 6.25

Figura 6.21 Caudal vertido por el aliviadero del azud ............................................ 6.25

Figura 6.22 Diagrama de bloques del subsistema lineal Turbina – Chimenea de equilibrio

................................................................................................................... 6.29

Figura 6.23 Diagrama de bloques del modelo lineal de Galería en presión .............. 6.31

Figura 6.24 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación ............. 6.32


XX ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 6.25 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación con vertido

por coronación ............................................................................................ 6.34

Figura 6.26 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI.................... 6.36

Figura 6.27 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI con vertido en el

azud de derivación....................................................................................... 6.37

Figura 6.28 Punto de operación del Modelo lineal en las Colinas de Rendimientos .. 6.39

Figura 6.29 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal .................. 6.41

Figura 6.30 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal ................. 6.42

Figura 6.31 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal ... 6.42

Figura 6.32 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal .................. 6.43

Figura 6.33 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal ................. 6.43

Figura 6.34 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal ... 6.44

Figura 7.1 Regiones de estabilidad ...................................................................... 7.13

Figura 7.2 Regiones de estabilidad m = 10 .......................................................... 7.14

Figura 7.3 Regiones de estabilidad l = 1 .............................................................. 7.14

Figura 7.4 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento........... 7.16

Figura 7.5 Simulaciones A, B y C en la región de estabilidad ................................. 7.17

Figura 7.6 Simulación A, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el

azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I) .......................................................... 7.18

Figura 7.7 Simulación B, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el


Figura 7.8 Simulación C, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el


Figura 7.9 Regiones de estabilidad, modelo con canal o a pie de presa - modelo con

galería en presión ........................................................................................ 7.20


ÍNDICE DE FIGURAS XXI

Figura 7.10 Situación 1, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del

distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I).......... 7.21

Figura 7.11 Situación 1, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del







distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I ........... 7.23



Figura 7.16 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10..... 7.27

Figura 7.17 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924 ................................................... 7.28

Figura 7.18 Variación de caudal en el río.............................................................. 7.29

Figura 7.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados .................... 7.29

Figura 7.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k ... 7.31

Figura 7.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k.... 7.31

Figura 7.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924 ............................. 7.33


seleccionada ................................................................................................ 7.34


seleccionada ................................................................................................ 7.34

Figura 7.25 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 60,1 ....... 7.36

Figura 7.26 Lugar de raíces de Ti con k = 60,1..................................................... 7.37

Figura 7.27 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados ................... 7.38


XXII ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 7.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti .. 7.39

Figura 7.29 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti... 7.39

Figura 7.30 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 60,1 .............................. 7.42

Figura 7.31 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti

seleccionada................................................................................................ 7.43

Figura 7.32 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti

seleccionada................................................................................................ 7.43

Figura 7.33 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad

.................................................................................................................. 7.44

Figura 7.34 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con

caudal 14,40 m3/s (ZONA I) ......................................................................... 7.45


caudal 9,86 m3/s (ZONA II).......................................................................... 7.45


caudal 19,08 m3/s (ZONA III)....................................................................... 7.46

Figura 7.37 Sistema adaptativo en bucle cerrado.................................................. 7.48

Figura 7.38 Sistema adaptativo en bucle abierto .................................................. 7.48


operación en las regiones de estabilidad ....................................................... 7.54


caudal 14,40 m3/s........................................................................................ 7.55


caudal 9,86 m3/s ......................................................................................... 7.55


caudal 19,08 m3/s........................................................................................ 7.56

Figura 7.43 Caudal del río, Situación de gran perturbación.................................... 7.58


ÍNDICE DE FIGURAS XXIII


perturbación, Modelo lineal – Modelo completo.............................................. 7.59

Figura 7.45 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran

perturbación, Modelo lineal – Modelo completo.............................................. 7.60

Figura 7.46 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio,

Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo ................... 7.60


perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols .................... 7.62


perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols .................... 7.62

Figura 8.1 Regiones de estabilidad, M = 0,005 .......................................................8.12

Figura 8.2 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y m = 10.........................................8.12

Figura 8.3 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y l = 1 ............................................8.13

Figura 8.4 Regiones de estabilidad, m = 30 y l = 1.................................................8.14

Figura 8.5 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento .............8.16

Figura 8.6 Regiones de estabilidad, modelo sin vertedero - modelo con vertedero ....8.17

Figura 8.7 Situación 1, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y

cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I) ................................8.18

Figura 8.8 Situación 1, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y









XXIV ÍNDICE DE FIGURAS


cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)................................ 8.20

Figura 8.13 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10 ...... 8.23

Figura 8.14 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924..................................................... 8.24

Figura 8.15 Variación de caudal en el río ............................................................... 8.25

Figura 8.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados ...................... 8.26

Figura 8.17 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k ..... 8.27

Figura 8.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k ..... 8.28

Figura 8.19 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924............................... 8.29


seleccionada.................................................................................................. 8.30


seleccionada.................................................................................................. 8.30

Figura 8.22 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 40,2......... 8.32

Figura 8.23 Lugar de raíces de Ti con k = 40,2....................................................... 8.33

Figura 8.24 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados ..................... 8.34

Figura 8.25 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti .... 8.35

Figura 8.26 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti..... 8.36

Figura 8.27 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 40,2................................. 8.37

Figura 8.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti

seleccionada.................................................................................................. 8.39

Figura 8.29 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti

seleccionada.................................................................................................. 8.39


.................................................................................................................... 8.40


ÍNDICE DE FIGURAS XXV


caudal 17,26 m3/s (ZONA I)............................................................................8.41


caudal 12,72 m3/s (ZONA II) ..........................................................................8.41


caudal 21,94 m3/s (ZONA III) .........................................................................8.42


operación en las regiones de estabilidad..........................................................8.49


caudal 17,26 m3/s ..........................................................................................8.50


caudal 12,72 m3/s ..........................................................................................8.50


caudal 21,94 m3/s ..........................................................................................8.51

Figura 8.38 Caudal del río, Situación de gran perturbación ......................................8.53


perturbación, Modelo lineal – Modelo completo................................................8.54


perturbación, Modelo lineal – Modelo completo................................................8.54

Figura 8.41 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio,

Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo .....................8.55


perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols ......................8.56


perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols ......................8.57


ÍNDICE DE TABLAS XXVII

Índice de tablas

Tabla 3.1 Valores numéricos del canal ................................................................. 3.29

Tabla 3.2 Parámetros del modelo de canal lineal .................................................. 3.30

Tabla 3.3 Características de canales simulados ..................................................... 3.38

Tabla 3.4 Número de Froude y longitud del tramo uniforme .................................. 3.38

Tabla 3.5 Valores numéricos del Modelo completo ................................................ 3.46

Tabla 3.6 Ganancias ........................................................................................... 3.51


XXVIII ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3.7 Valores numéricos del Modelo lineal ..................................................... 3.64

Tabla 4.1 Valores numéricos del Modelo completo................................................ 4.10

Tabla 4.2 Ganancias ........................................................................................... 4.13


Tabla 5.1 Valores nominales ............................................................................... 5.11

Tabla 5.2 valores de los parámetros que definen cada zona de operación.............. 5.13

Tabla 5.3 Valores nominales del modelo .............................................................. 5.21

Tabla 5.4 Parámetros de los polos en función de k, Central con cámara de carga... 5.27

Tabla 5.5 Parámetros de los polos en función de k, Central a pie de presa............. 5.30

Tabla 5.6 Parámetros de los polos, k = 68,5, Central con cámara de carga............ 5.34

Tabla 5.7 Parámetros de los polos, k = 332,1, Central a pie de presa .................... 5.36

Tabla 5.8 Valores de las ganancias Ti .................................................................. 5.39

Tabla 5.9 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central con

cámara de carga.......................................................................................... 5.42

Tabla 5.10 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central a pie de

presa .......................................................................................................... 5.47

Tabla 5.11 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central

con cámara de carga ................................................................................... 5.50

Tabla 5.12 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central

a pie de presa ............................................................................................. 5.52

Tabla 5.13 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador

correspondientes, Central con cámara de carga y canal de derivación............. 5.61

Tabla 6.1 Valores numéricos del Modelo completo................................................ 6.18

Tabla 6.2 Ganancias calibradas según el criterio de Ziegler - Nichols ..................... 6.22



ÍNDICE DE TABLAS XXIX

Tabla 7.1 Valores de los puntos en la colina de rendimientos ................................ 7.16

Tabla 7.2 Valores nominales del modelo............................................................... 7.26

Tabla 7.3 Parámetros de los modos de oscilación en función de k.......................... 7.30

Tabla 7.4 Parámetros de los modos de oscilación, k = 60,1................................... 7.33

Tabla 7.5 Obtención de k y Ti a partir de Tw/β ...................................................... 7.35

Tabla 7.6 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti ......................... 7.38

Tabla 7.7 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 4,53 .................................. 7.42


correspondientes ......................................................................................... 7.53

Tabla 7.9 Ganancias del controlador .................................................................... 7.61

Tabla 8.1 Datos geométricos de la minicentral...................................................... 8.15

Tabla 8.2 Valores de los puntos en la colina de rendimientos ................................ 8.15

Tabla 8.3 Valores nominales del modelo............................................................... 8.23

Tabla 8.4 Parámetros de los modos de oscilación en función de k.......................... 8.26

Tabla 8.5 Parámetros de los modos de oscilación, k = 40,2................................... 8.29

Tabla 8.6 Obtención de k y Te a partir de Tw/β .................................................... 8.31

Tabla 8.7 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti ......................... 8.34

Tabla 8.8 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 2,41 .................................. 8.38


correspondientes ......................................................................................... 8.48

Tabla 8.10 Ganancias del controlador .................................................................. 8.56


NOTACIÓN XXXI

Notación

Variable Descripción Unidades

α Constante proporcional del controlador -

β Constante integral del controlador s

0β Parámetro procedente de la linealización de las

ecuaciones de Saint Venant

s-1

0γ Parámetro procedente de la linealización de las

ecuaciones de Saint Venan

m2/s2

χ Parámetro procedente de la linealización de las

ecuaciones de Saint Venan

-

CONTROL DE MINICENTRALES HIDROELÉCTRICAS FLUYENTES. MODELADO Y ESTABILIDAD

XXXII NOTACIÓN



qΔ Variación del caudal en una sección del canal de

derivación

m3/s

cyΔ Variación del calado en la cámara de carga m 0τ Posición del distribuidor inicial en valores por unidad -

τ Variación de la posición del distribuidor en valores por

unidad

-

dτ Retardo del tramo de remanso de de canal s

uτ Retardo del tramo uniforme de de canal s

ρ Densidad del fluido Kg/m3

ϕ Parámetro de Allievi -

2,1λ Coeficientes de la matriz de transferencia del canal -

ijp Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en

el tramo uniforme

-

ijp Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en

el tramo de remanso

-

a Celeridad de la onda en la conducción en presión m/s

A Superficie mojada de la sección del canal m2

A0 Superficie mojada inicial de la sección del canal m2

Ac Superficie del azud de la central a pie de presa o de la

cámara de carga

m2

Ad Área equivalente de almacenamiento del tramo

remanso

m2

Af Superficie del azud de derivación m2

ai Coeficiente del polinomio característico -

Ap Sección de la tubería forzada m2

As Sección de la chimenea de equilibrio m2

At Sección de la galería en presión m2

Ath Sección mínima para la chimenea de equilibrio

recomendada por Thoma

m2

Au Área equivalente de almacenamiento del tramo

uniforme

m2

b Anchura de la solera del canal rectangular m

b11, b12, b13,

b21, b22, b23

Coeficientes de las expresiones matemáticas de la

turbina linealizadas

-

c Celeridad de la onda en el canal m/s

c0 Celeridad inicial de la onda en el canal m/s

NOTACIÓN XXXIII



Cc Coeficiente de contracción de la compuerta en la

embocadura del canal

-

Cd Coeficiente del desagüe del aliviadero -

Co Parámetro adimensional procedente de la linealización

de las ecuaciones de de Saint Venant

-

d Apertura de la compuerta en la embocadura del canal m

D1 Diámetro de la turbina m

Dp Diámetro de la tubería forzada m

Dt Diámetro de la galería en presión m

Fp Constante de la tubería forzada m2/s2

Fr Número de Froude -

Fr0 Número de Froude inicial -

Ft Constante de la galería en presión m2/s2

g Aceleración de la gravedad m/s2

H Salto neto m

h Variación del salto neto en valores por unidad -

h0 Salto neto inicial en valores por unidad -

ha Variación del salto bruto en el azud de la central a pie

de presa o en la cámara de carga en valores por

unidad

m

Ha Salto bruto en el azud de la central a pie de presa o en

la cámara de carga

m

Haliv Altura del labio del aliviadero con relación a la cota de

decarga (Zdesc)

m

Hb Salto base m

hc Variación del salto bruto en la cámara de carga en

valores por unidad

m

Hc Salto bruto o en la cámara de carga m

hc0 Altura de referencia inicial en la cámara de carga con

relación a la cota de descarga (Zdesc) en valores por

unidad

-

hf Variación del salto bruto en el azud de derivación en

valores por unidad

-

Hf Salto bruto en el azud de derivación m

XXXIV NOTACIÓN



hf0 Altura de referencia inicial en el azud de derivación

con relación a la cota de descarga (Zdesc) en valores

por unidad

-

href Variación de la altura de referencia inicial en el azud

de derivación con relación a la cota de descarga (Zdesc)

en valores por unidad

-

Href Altura de referencia en el azud de derivación o la

cámara de carga con relación a la cota de descarga

(Zdesc)

m

href0 Salto bruto inicial en el azud de derivación en valores

por unidad

-

hs Variación del nivel en la chimenea de equilibrio en

valores por unidad

-

Hs Nivel en la chimenea de equilibrio m

hs0 Nivel inicial en la chimenea de equilibrio en valores por

unidad

-

I Pendiente de la línea de energía del canal -

I0 Pendiente inicial de la línea de energía del canal -

I1 Pendiente de la línea de energía del canal en el tramo

uniforme

-

IL Pendiente de la línea de energía en la desembocadura

del canal

-

k Ganancia proporcional del controlador PI -

kc Ganancia proporcional de un controlador P para lograr

una respuesta senoidal en la variable controlada frente

a una variación de un escalón en el valor de referencia

-

Krp Coeficiente de pérdidas en la tubería forzada -

Krs Coeficiente de pérdidas en la embocadura de la

chimenea de equilibrio

-

Krt Coeficiente de pérdidas en la galería en presión -

l Relación de áreas Ath/As -

L Longitud del canal m

l1 Longitud del tramo uniforme en el canal m

l2 Distancia desde el origen del canal al punto medio del

tramo del remanso

m

Laliv Longitud del aliviadero del azud de derivación m

NOTACIÓN XXXV



Lp Longitud de la tubería forzada m

Lt Longitud de la galería en presión m

M Constante de vertido del azud -

m Relación de áreas Af/As -

Mc Par mecánico generado por la turbina N·m

mc Par mecánico generado por la turbina en valores por

unidad

-

N Velocidad de giro del grupo r.p.m

n Variación de la velocidad de giro del grupo en valores

por unidad

-

n0 Velocidad de giro del grupo inicial en valores por

unidad

-

N1 Velocidad de giro unitaria del grupo r.p.m

N2,3 Impulsiones en el canal N

Nb Velocidad de giro base r.p.m

nc Número de Manning del canal -

np Número de Manning de la tubería forzada -

nt Número de Manning de la galería en presión -

P Perímetro mojado de la sección de canal m

p Coeficiente de pérdidas en la galería en presión -

p’ Coeficiente de pérdidas en la tubería forzada -

P0 Perímetro mojado inicial de la sección de canal m

pij Coeficientes de la matriz del transferencia del canal -

pij∞ Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en

baja frecuencia

-

pijº Coeficientes de la matriz del transferencia del canal en

baja frecuencia

-

Q Caudal m3/s

q Variación del caudal turbinado en valores por unidad -

q* Variación del caudal en el canal m3/s

Q0 Caudal m3/s

q0 Caudal turbinado inicial en valores por unidad -

Q1 Caudal turbinado unitario m3/s

Qb Caudal base m3/s

qc Variación de caudal que aporta el canal a la cámara de

carga en valores por unidad

-

XXXVI NOTACIÓN



Qc Caudal que aporta el canal a la cámara de carga m3/s

qe Variación de caudal que aporta el río al azud de la

central a pie de presa o el canal a la cámara de carga


-

ql Caudal lateral en el canal por unidad de longitud m2/s

Qm Caudal que aporta el azud al canal a través de la

compuerta

m3/s

qp Variación del caudal que circula por la tubería forzada


-

Qp Caudal que circula por la tubería forzada m3/s

qp0 Caudal inicial que circula por la tubería forzada en

valores por unidad

-

qr Variación del caudal que aporta el río en valores por

unidad

-

Qr Caudal que aporta el río al azud de derivación m3/s

qr0 Caudal inicial que aporta el río en valores por unidad -

Qs Caudal que circula por la embocadura de la chimenea

de equilibrio

m3/s

qt Variación del caudal que circula por la galería en

presión en valores por unidad

-

Qt Caudal que circula por la galería en presión m3/s

qt0 Caudal inicial que circula por la galería en presión en

valores por unidad

-

Qw Caudal vertido por coronación en el azud de derivación m3/s

r Razón entre la variación del calado y la pendiente de

la solera en el canal

-

R Radio hidráulico de la sección de canal m

R0 Radio hidráulico inicial de la sección de canal m

S Pendiente de la solera del canal m/m

T Anchura del canal m

T0 Anchura inicial del canal m

Ta Constante de tiempo del elemento almacenador

genérico

s

Tc Constante de tiempo del azud de la central a pie de

presa o de la cámara de carga

s

NOTACIÓN XXXVII



tc Período de una respuesta senoidal en la variable

controlada frente a una variación de un escalón en el

valor de referencia

-

Td Período de la oscilación amortiguada s

Te Tiempo de establecimiento s

Tf Constante de tiempo del azud de derivación s

Ti Ganancia del integrador del controlador PI s

Tp Tiempo de pico s

Tr Tiempo de subida s

Ts Constante de tiempo de la chimenea de equilibrio s

Tw Constante de tiempo del agua en la galería en presión s

Tw’ Constante de tiempo del agua en la tubería forzada s

V Velocidad del agua m/s

V0 Velocidad inicial del agua m/s

X Posición del distribuidor mm

X0 Posición del distribuidor inicial mm

Xb Posición base del distribuidor mm

Y Calado del canal m

y* Variación del calado en el canal m

Y0 Calado inicial del canal m

Yc Calado del canal en la cámara de carga m

Yc0 Calado inicial del canal en la cámara de carga m

Yconj Calado conjugado aguas abajo del resalto en el canal m

YL Calado del canal en su desmbocadura m

Ym Calado del canal en aguas abajo de la compuerta m

Ym0 Calado inicial del canal en aguas abajo de la

compuerta

m

Yn Calado uniforme del canal m

Z Cota del salto neto m.s.n.m

Zaliv Cota del labio del aliviadero del azud de derivación m.s.n.m

Zc Cota de la lámina de agua en la cámara de carga m.s.n.m

Zcam Cota de la solera de la cámara de carga m.s.n.m

Zcom Cota de la solera del canal en la compuerta m.s.n.m

Zdesc Cota del nivel de la descarga m.s.n.m

Zf Cota de la lámina de agua en el azud de derivación m.s.n.m

XXXVIII NOTACIÓN



Zm Cota de la lámina de agua aguas abajo de la

compuerta que comunica el azud y el canal

m.s.n.m

Zref Cota de referencia de la lámina de agua en el azud de

derivación o la cámara de carga

m.s.n.m

Zs Cota de la lámina de agua en la chimenea de equilibrio m.s.n.m

ξ amortiguamiento relativo -

σd amortiguamiento exponencial de la respuesta s-1

ωd frecuencia de la oscilación amortiguada. s-1

ωn frecuencia natural de la respuesta del sistema no

amortiguado

s-1

RESUMEN DE LA TESIS XXXIX

Resumen de la tesis

La implantación de minicentrales hidroeléctricas está experimentando un considerable

impulso en los últimos años. En los países desarrollados las minicentrales permiten

obtener energía en aquellas localizaciones donde una gran central no sería viable

además de minimizar el impacto ambiental que produce la obra civil (presa, edificio de

la central…). En los países en vías de desarrollo las minicentrales permiten la

electrificación de zonas rurales alejadas de los grandes núcleos de población

proporcionando un empuje decisivo para su crecimiento socioeconómico.


XL RESUMEN DE LA TESIS

La gran mayoría de minicentrales son fluyentes, es decir, carecen de un elemento

almacenador suficientemente grande que les permita la regulación del caudal turbinado

o de la energía producida. La pequeña potencia instalada (menos de 10 MW) tampoco

les permite contribuir al mantenimiento de la frecuencia de la red, salvo que operen en

isla, lo que ocurre en muy contadas ocasiones. Por tanto, en el caso de minicentrales

fluyentes, es recomendable la operación de la central con el control de nivel en el azud

de derivación o en la cámara de carga, porque posibilita la reducción de la superficie del

embalse o de la cámara y permite combinar su uso hidroeléctrico con otros como puede

ser el regadío.

El primer objetivo de la presente tesis es la elaboración de un modelo matemático en el

entorno de programación MATLAB, que simule la operación de una minicentral

hidroeléctrica fluyente con control de nivel. Dicho modelo se aplica a las tres tipologías

de minicentrales más comunes: a pie de presa, en derivación con canal en lámina libre y

cámara de carga y en derivación con galería en presión y chimenea de equilibrio. Todos

los modelos se implantan en una central de referencia y mediante simulaciones se

comprueba su comportamiento dinámico. Merece especial mención el modelo de canal

obtenido a partir de la linealización de las ecuaciones de Saint Venant y el posterior

desarrollo de su matriz de transferencia que permite su conexión con los demás

componentes del modelo.

Una vez elaborados los modelos se procede al estudio de la estabilidad en pequeña

perturbación de la central en condiciones normales de operación. Para ello, siguiendo

las teoría de control clásico, se linealizan las ecuaciones que reflejan la dinámica de

cada componente de la central dando lugar a su formulación canónica y a la matriz

dinámica del sistema. A partir de dicha matriz y aplicando el criterio de estabilidad de

Routh-Hurwitz se puede llegar a las siguientes conclusiones:

Centrales en derivación con canal y centrales a pie de presa:

Las dimensiones de la cámara de carga y del azud de derivación no influyen en

la estabilidad de la central.

Se mejora la estabilidad de la central conforme se turbina menor caudal.

Centrales en derivación con galería y chimenea:

El control de nivel resulta más estable que el control de frecuencia-potencia.

La estabilidad empeora cuando se reduce el caudal turbinado.


RESUMEN DE LA TESIS XLI

La superficie del azud y de la chimenea sí intervienen en la estabilidad de la

central.

El vertido del caudal ecológico entre el azud de toma y la descarga mejora la

estabilidad de la central.

Una vez estudiada la estabilidad de la minicentral es sus tres tipologías se propone un

criterio heurístico que permite la sintonización de las ganancias del controlador PI que

acciona el distribuidor del la turbina. La técnica del lugar de raíces, ampliamente

utilizada en la teoría del control clásico, permite establecer una relación a priori entre las

ganancias del controlador y las oscilaciones que aparecen en la respuesta de la central.

Las ganancias propuestas permiten la minimización de la oscilación así como del tiempo

de establecimiento de la respuesta, en función de las dimensiones de los principales

componentes de la central así como de su punto de operación. De la aplicación del

criterio se concluye:

En la central con canal y cámara de carga la variación del punto de operación

apenas modifica las ganancias, por lo que no se considera necesario el control

adaptativo.

En la central con galería y chimenea de equilibrio el ajuste del controlador para

un punto de operación puede generar inestabilidades en otras circunstancias de

funcionamiento, por lo que sí se aconseja el control adaptativo en este caso.

En la central a pie de presa el criterio propuesto no es aplicable ya que exige

una precisión excesiva en el sensor de nivel y una acción de control

considerable.

Por último, cabe añadir, que todo el trabajo realizado se enmarca dentro la fase de

diseño y predimensionamiento de una minicentral. Con ello se pretende facilitar un

diseño de la planta que garantice una respuesta adecuada en condiciones normales de

operación.


RESUMEN DE LA TESIS XLIII

Abstract

The implementation of hydroelectric small hydropower plants is experiencing a major

expansion in the last years. In developed countries, small hydropower plants enable the

production of energy in those locations where a great power station would not be

feasible. Moreover, the environmental impact of the civil work they require is smaller

than in conventional hydroelectric power stations (dam, buildings…). In developing

countries, small hydropower plants stations allow the electrification of rural areas far

away from great cities, promoting their socioeconomic growth.


XLIV RESUMEN DE LA TESIS

The great majority of small hydropower plants are run-of-river: they lack of a sufficient

storage element for the regulation of the turbined volume or the produced energy. As

they have a small installed capacity (less than 10 MW), they can not contribute to the

maintenance of the network frequency, unless they operate isolated, this situation being

unusual. Therefore, the best option to operate run-of-river small power plants is to keep

control of the water level at intake basin or at the head pond, as this allows the

reduction of the reservoir surface or the head pond and enables the combination of this

hydroelectric use with others as irrigation.

The first goal of this doctoral thesis is the design of a mathematical model using

MATLAB, in order to simulate the operation of a run-of-river small hydropower plant

with water level control. This model is then applied to the three main typologies of small

hydropower plants: dam site located power plant, diversion plant with open channel and

surge tank, and diversion plant with head-race conduit and surge tank. Each of the

resulting models are implemented in a reference power station and, by means of

simulations, its dynamic behaviour is tested. Special consideration should be paid to

the channel model, obtained through linearization of Saint Venant equations. The

corresponding transfer matrix is determined, allowing its connection with the other

components of the model.

Then a small perturbation stability analysis is carried out using the developed models.

The equations representing the dynamic of each plant component are then linearized, in

order to apply the classic control theory. The model equations are expressed in state

space form and the dynamic matrix is determined. From this matrix and according to

Routh-Hurwitz stability criterion, the following conclusions are reached:

In diversion plants with open channel as well as in dam site located power plants:

Plant stability is not affected by the dimensions of head pond and the intake

basin.

Plant stability is improved if turbined flow is reduced.

Diversion plants with head-race conduit and surge tank:

Level control is more stable than load frequency control.

Stability gets worse when turbined flow is reduced.

The surface areas of intake reservoir and surge tank do take part in the stability

of the plant


RESUMEN DE LA TESIS XLV

The spillage of the ecological flow between the intake reservoir and the draft

tube enhances the plant stability.

Once the stability the small hydropower plant in its three typologies has been studied, a

heuristic criterion is proposed in order to tune the gains of the PI controller that

modifies the wicket gates of the turbine.

The root locus technique, widely used in classical control theory, allows the

establishment of an a priori relation between the controller gains and the oscillations

appearing in plant response. The proposed gains allow the minimisation of the

oscillations and of the settling time, depending on the dimensions of main plant

elements as well as on the operating point. The following conclusions are drawn from

the application of the heuristic criterion:

In plants with channel and head pond, the variation of the operating point hardly

modifies the gains and therefore adaptive control is not necessary.

In plants with head-race conduit and surge tank, the controller tuned with

respect to a specific operating point may generate instabilities in other operating

conditions, so in this case adaptive control is recommended.

In dam site located power plants, the proposed criterion is no longer applicable,

as it demands an excessive accuracy in the water level sensor as well as a

considerable control action.

Finally, it is necessary to remark that the whole work focuses on the stage of design

and early dimensioning of a small hydropower plant. The aim is to contribute to a plant

design that guarantees a proper response in normal operating conditions.


CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1

CAPÍTULO 1 Introducción

1.1 CONTEXTO DE LA TESIS

Uno de los principales factores que determinan la evolución económica, tecnológica y

social del mundo actual es la energía. En la actualidad, puede considerarse generalizado

el convencimiento de que los recursos naturales y el equilibrio que gobierna el planeta

no soportan el continuo y constante aumento del consumo de energía que caracteriza el

momento presente. A pesar de dicha concienciación, el actual sistema energético está

basado en la generación de energía a partir de combustibles fósiles. Según las

conclusiones de la Cumbre de Johannesburgo (Naciones Unidas. Departamento de


1.2 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN

Información pública, 2002) el porcentaje total de energía producida y consumida en el

mundo cuyo origen son los combustibles fósiles era en el año 2000 del 80%. En el año

1971 dicha cifra ascendía al 86% por lo que se observa en el último tramo del siglo XX

la disminución del consumo de los combustibles fósiles. Esta reducción es consecuencia

en mayor medida de la búsqueda, el desarrollo y la implantación de fuentes de energía

que solventen los problemas que plantean este tipo de combustibles: la escasez de las

materias primas y los costes medioambientales. Son las denominadas energías

renovables. Se caracterizan por ser inagotables o de disponibilidad continua al estar

originadas por fenómenos físicos de gran envergadura como la radiación solar, la

geotérmica o las mareas. El consumo de tales “materias primas” no supone una

agresión al medioambiente.

La energía hidroeléctrica es, sin lugar a dudas, la principal energía renovable. Según

(International Hydropower Association, IHA, 2008) un sexto de toda la energía eléctrica

consumida en el mundo es de origen hidroeléctrico. Este tipo de energía todavía

presenta un campo muy amplio de desarrollo y crecimiento, sobre todo en países en

vías de desarrollo, que ven en el aprovechamiento energético del agua el medio idóneo

para posibilitar su progreso. Una de las principales ventajas que presentan los

aprovechamientos hidroeléctricos es que permiten dar solución conjuntamente a otro

problema importante: la falta de agua. La construcción de la presa necesaria para el

salto hidroeléctrico genera un embalse que puede ser explotado no sólo con fines

energéticos sino para el consumo humano o el abastecimiento de sistemas de regadío.

En muchos casos el embalse permite laminar avenidas producidas por lluvias

torrenciales de forma que se evitan inundaciones.

Desde el punto de vista de la operación del sistema eléctrico, la energía producida

hidroeléctricamente contribuye de forma destacada a la regulación del mismo; por ello

se trata de una energía de “calidad”. El balance de potencias en el sistema eléctrico

debe ser garantizado en todo momento, de modo que la potencia demandada sea

inmediatamente satisfecha y tanto la frecuencia como el voltaje de la red permanezcan

en torno a los valores nominales. Las turbinas hidráulicas permiten variar la carga

inmediatamente en un extenso rango, en condiciones de estabilidad y seguridad. Esto

posibilita una variación notable de la potencia producida sin que esto implique una

modificación de la frecuencia o la tensión de la red. Otras fuentes de energía como la

nuclear o la térmica presentan una inercia muy superior lo que las incapacita para esta

labor.

Otro factor a favor de las centrales hidroeléctricas es su dilatada vida útil. La obra civil

que comprende la presa y los órganos de desagüe pueden permanecer operativos



durante muchos años mientras que la turbina y el alternador, que se deterioran con

mayor facilidad, pueden ser sustituidos. Esto posibilita el aprovechamiento de la

evolución y mejoras procedentes del continuo desarrollo que experimenta este campo

de la técnica.

La flexibilidad que presentan, tanto la magnitud de la potencia instalada, como las

prestaciones que ofrecen este tipo de centrales, es otro de los factores a favor de la

generación hidroeléctrica. Existen diferentes configuraciones de central en función de

las características del emplazamiento, del tipo de demanda que se pretende satisfacer o

de los usos, además del hidroeléctrico, que se prevén para el embalse. Esto conduce a

un amplio abanico de posibilidades. Desde el punto de vista de la potencia existen

centrales que superan los 1.000 MW mientras que las denominadas minicentrales no

pasan de los 10 MW según la mayoría de las clasificaciones (Taylor & Upadhyay, 2005).

En países como en India el concepto de minicentral engloba hasta potencias de 25 MW

y en China este valor asciende a los 50 MW. En España se denomina minicentral a todo

salto hidroeléctrico cuya potencia no supere los 10 MW.

Si se catalogan las centrales a partir de su funcionalidad, las centrales de puntas

constan con grandes embalses que les permiten regular la potencia, turbinando en el

momento deseado el caudal preciso. En cambio, las presas de las centrales fluyentes

tienen por misión crear salto y/o remansar el agua pero su embalse es reducido por lo

que se turbina prácticamente el caudal procedente del río. La mayor parte de las

minicentrales se ubican en ríos de pequeño caudal que apenas ofrecen la posibilidad de

regulación. Por tanto, es muy común que las centrales de reducida potencia turbinen

directamente el caudal del río, considerándose como centrales fluyentes.

Son múltiples las ventajas que presentan las minicentrales hidroeléctricas frente a otras

fuentes de energía. Entre ellas se pueden destacar:

Al igual que las grandes centrales hidroeléctricas, las minicentrales, no emiten

ningún tipo de gas de efecto invernadero ya que en el proceso de producción de

energía no hay ninguna combustión. Sin embargo son inevitables ciertos

impactos generados por la implantación de la minicentrales en los ecosistemas

asociados al entorno de los ríos. Estos impactos se han visto reducidos

considerablemente gracias a la normativa que regula el funcionamiento de

minicentrales, a las mejoras técnicas de los equipos y a los nuevos métodos de

operación de minicentrales. Las mejoras introducidas son económicamente

viables y aceptadas socialmente ofreciendo la posibilidad del trabajo conjunto de

todos los usuarios de los ríos.



Las minicentrales contribuyen al desarrollo sostenible, siendo una energía

económicamente rentable. Permite descentralizar la producción total y posibilita

el desarrollo de poblaciones dispersas y alejadas de los principales núcleos de

desarrollo.

En la actualidad existen diseños de turbinas que junto con las escalas para peces

facilitan la migración de las especies piscícolas. Esto no se puede decir de las

grandes centrales donde los grandes saltos y los elevados caudales turbinados

impiden en la mayor parte de los casos el paso de los peces a través de las

presas.

Las minicentrales fluyentes pueden asegurar un caudal mínimo (ecológico) que

garantiza la vida aguas abajo de la central.

La construcción de minicentrales contribuye a la descentralización de la

generación eléctrica. De esta forma se puede conseguir que, ante una falta de

energía de la red principal, se mantenga el suministro en zonas apartadas de la

red. Las minicentrales conectadas a las redes de distribución constituyen una

fuente de “generación distribuida” que reduce considerablemente las pérdidas

de energía durante su transporte (Farret & Godoy Simoes, 2006).

La implantación de minicentrales moviliza las economías locales. Esto supone

una contribución importante al desarrollo de poblaciones dispersas asegurando

un suministro autónomo y seguro durante un período amplio de tiempo. La

construcción y la operación normal de la central favorece la creación de puestos

de trabajo en la región.

Las minicentrales hidroeléctricas contribuyen al mantenimiento de las riberas del

río, al eliminar los residuos que arrastra la corriente del río. Por otro lado se

dispone de la información monitorizada de los indicadores hidráulicos registrados

en la central lo cual puede ser una herramienta valiosa para el seguimiento de

variables de interés ecológico y ambiental.

La denominada rentabilidad energética, es decir, el ratio entre la energía

producida por la minicentral y la energía necesaria para construir y mantener la

central en funcionamiento es elevado. Esto convierte a este tipo de centrales en

una de las más rentables en términos energéticos (European Small Hydropower

(ESHA), 2005).

En la actualidad las minicentrales fluyentes están experimentando un desarrollo

importante. En los países industrializados la implantación de grandes saltos es difícil ya



que los principales desniveles en ríos caudalosos ya se están explotando. Por otro lado,

los motivos medioambientales obligan a rechazar la construcción de grandes presas que

modifiquen determinantemente el entorno natural. En la denominada Europa de los 15,

el 82% del potencial económicamente desarrollable de minicentrales está implantado

(Punys & Laguna, 2005) con aproximadamente 14.000 minicentrales con una potencia

media de 0,7 MW. Esto deja un margen todavía suficientemente amplio como para que

se espere un crecimiento notable en los próximos años. Además de la implantación de

nuevas centrales, la mejora y actualización de los equipos y técnicas de operación de la

minicentrales que operan en la actualidad representa un campo muy amplio de

crecimiento. Concretamente es interesante el dato de que el 70% de las minicentrales

implantadas en Europa data de más de 40 años (Laguna, 2006).

En los países recientemente incorporados a la Unión Europea el potencial

económicamente desarrollable es mucho mayor siendo el crecimiento esperado para el

2010 del 11% y del 49% para el 2015 (Punys & Laguna, 2005). El número de

minicentrales en estos países asciende a 2.800 con una potencia media de 0,3 MW. Los

principales productores de energía a partir de minicentrales hidroeléctricas en Europa

son Italia, Francia y España con 21, 17 y 16% respectivamente de la producción

europea total.

En los países en vías de desarrollo las minicentrales adquieren una importancia

creciente como factor decisivo en el progreso de regiones aisladas energéticamente. En

la actualidad 50 millones de hogares en todo el mundo se alimentan de minicentrales en

zonas rurales (Taylor & Upadhyay, 2005). Países como China, India o Uganda están

basando el crecimiento económico de la población dispersa cuya electrificación es vital

para su desarrollo tecnológico y social en la implantación de minicentrales.

En China 600 municipios y condados (300 millones de personas) consumen energía de

origen hidroeléctrico de pequeñas centrales y se espera que en un futuro muy próximo

se amplíe este programa a 400 condados más. Los bancos chinos califican la inversión

como poco arriesgada y favorecen su desarrollo. La tecnología local es adecuada

aunque precisa en ciertos casos del asesoramiento y la perfección de los medios

occidentales. En India, a pesar de que no se cuenta con tecnología local, el gobierno

impulsa la participación privada en el sector. En la actualidad son 495 los proyectos

implantados y se han recogido más de 4.000 posibles ubicaciones para minicentrales

hidroeléctricas. Uganda presenta un porcentaje de poblaciones rurales electrificadas del

1%, lo cual supone un lastre importante para su desarrollo. El país cuenta con un

potencial hidroeléctrico importante y se ha facilitado el acceso al mercado eléctrico del



capital privado que ha visto en la implantación de minicentrales uno de los posibles ejes

del nuevo desarrollo eléctrico del país (Taylor & Upadhyay, 2005).

Otros países en los que se comienza a implantar minicentrales hidroeléctricas son Nepal,

Tailandia, Brasil y Perú. En estos países el desarrollo de las minicentrales es interesante

no sólo por las razones expuestas anteriormente. En muchos casos la escasez de

materias primas produce que las economías nacionales se endeuden a causa de los

elevados y variables precios de los combustibles fósiles (gas y petróleo). El desarrollo de

las centrales hidroeléctricas asegura la no dependencia de estos bienes dado que el

combustible, el agua, es gratuito, aunque en algunos casos pueda ser costosa la

inversión inicial (Laguna, 2006).

Como visión global finalmente puede reflejarse el dato de que a nivel mundial Asia, con

un 68%, es el continente con mayor contribución a la generación de energía a partir de

minicentrales hidroeléctricas mientras que el siguiente es Europa con un 23% (Laguna,

2006). Estados Unidos apenas presenta producción con 3.000 MW instalados.

En (Martínez et al., 2005) se presenta un estudio del desarrollo de las minicentrales

hidroeléctricas en el mercado eléctrico español. El gobierno Español a través del Plan de

Fomento de las Energías Renovables (PLAFER) plantea a corto y medio plazo la

consecución de determinados objetivos. Éstos se dirigen a la meta de que en el año

2010 se consiga que el 12% de la energía primaria producida en el territorio nacional

sea de origen renovable (solar, eólico e hidroeléctrico). El potencial hidroeléctrico

desarrollable en España es muy amplio. Según una evaluación recogida en el PLAFER y

realizada en el año 1980 el potencial técnicamente desarrollable aún no explotado

asciende a 34.000 GWh/año de los cuales 6.700 corresponden a minicentrales (Instituto

para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE), 2006). El impacto medioambiental

producido por la implantación de la minicentral, la dificultad administrativa que supone

la tramitación de los permisos necesarios para su explotación y la oposición de la

opinión pública representan las principales dificultades que se encuentran para la

consecución de los objetivos planteados por el PLAFER.

Como se ha reflejado anteriormente, en los países industrializados, los principales

inconvenientes que se presentan en la implantación de minicentrales hidroeléctricas son

por un lado de índole medioambiental y por otro de orden social y administrativo. En

estos casos la opinión pública se inclina a indentificar los efectos producidos por los

grandes saltos y por las minicentrales, cuando la construcción de una minicentral tiende

a reducir al mínimo las agresiones producidas al medio ambiente durante su

construcción y su operación. Por otro lado, en muchos foros, se tiende a pensar que la

técnica hidroeléctrica está completamente desarrollada mientras que la realidad es otra.



Son muchos los avances que en los últimos años está experimentando la tecnología

aplicada en los grupos hidroeléctricos y la explotación de centrales.

En (Pelikan, 2005) se estudian los nuevos enfoques que se deben dar a las

minicentrales hidroeléctricas para incentivar su desarrollo y su posición como fuente de

energía importante en un futuro cercano. Este trabajo se centra en los países

industrializados en los que el desarrollo de las minicentrales hidroeléctricas necesita de

nuevos impulsos que favorezcan su implantación.

El primer cambio aplicable al diseño y proyecto de una minicentral atañe a los objetivos

iniciales del proyecto. El respeto al medioambiente y la integración de la central en el

entorno natural no debe ser algo accesorio sino estar a la altura de los objetivos

técnicos y económicos. Minimizar el impacto que produce la implantación de la

minicentral no debe ser la base de la estrategia medioambiental. El nuevo enfoque pasa

por buscar la forma en que la minicentral mejora la calidad ambiental del entorno

natural. Uno de los medios para conseguir tal deseo es la combinación del empleo

hidroeléctrico del agua con otros usos que se desarrollan habitualmente en el río. Tales

usos son: el regadío, sistemas de abastecimiento, caudales ecológicos… Por otro lado el

azud de la minicentral puede suponer una ayuda para combatir las riadas e

inundaciones o para estabilizar el nivel del agua en el río.

El siguiente paso que se debe dar para incentivar la construcción de minicentrales es

favorecer la participación de las comunidades, poblaciones, municipios… en los que se

ubican, en los beneficios de la minicentral tanto a corto como a medio plazo. Una de las

formas de acometer tal política es que la minicentral sea la que suministre energía a la

comunidad que la acoge.

Finalmente, el trabajo se debe centrar en el desarrollo de tecnologías que mejoren el

funcionamiento, la eficacia y la facilidad de operación de la central minimizando los

efectos sobre el medioambiente que se desprenden de su uso. Un ejemplo de dicho

enfoque es el desarrollo de turbinas con álabes que permiten el paso de peces a través

de la turbina, el empleo de nuevos materiales y componentes que eviten el vertido de

aceites al río o el estudio de la reducción del ruido que se produce en los generadores

durante la operación de la minicentral. Otros ejemplos de desarrollo de nuevas

tecnologías son el uso de geotextiles y de compuertas inflables.

La estrategia de control con la que opera la central también puede ser una herramienta

valiosa para mejorar su comportamiento medioambiental. Normalmente las centrales

hidroeléctricas, mediante el accionamiento del distribuidor situado en la entrada de la

turbina, regulan la potencia producida por el grupo y/o la frecuencia de la señal. El



objetivo del control es satisfacer en todo momento la demanda de energía y mantener

la frecuencia de la red en un valor constante. Este tipo de control es efectivo cuando lo

realizan las grandes centrales cuya banda de regulación es amplia y la inercia de sus

grupos facilita el control de la frecuencia.

El caso de las minicentrales fluyentes es distinto. Frecuentemente este tipo de centrales

operan en condiciones especiales de forma que incorporan al sistema la totalidad de la

energía por ellas producida (Ley 54/1997 de 27 de Noviembre). En España estas

centrales están incluidas dentro del denominado régimen especial. Por otro lado, la

escasa potencia instalada en las minicentrales, hace que su aportación a la frecuencia

de la red sea prácticamente despreciable.

El control realizado sobre el distribuidor de la turbina de una minicentral fluyente debe

encaminarse a otros dos objetivos. Uno de ellos es el mantenimiento del nivel del agua

en el azud constante mientras que en el resto de los casos el objetivo es turbinar el

caudal deseado. En el caso de realizar el control del nivel, mediante un sensor de nivel

se detectan las variaciones del mismo y se acciona el distribuidor de la turbina de

manera que aquél se mantenga constante. La consecuencia lógica de dicho control es

que se turbina parte o todo el caudal del río, dado que las variaciones de dicho caudal

son las que producen los cambios en el nivel. Esta estrategia de control tiene varias

consecuencias que mejoran el comportamiento de la minicentral desde el punto de vista

medioambiental:

Como se turbina todo o parte del caudal procedente del río incluyendo sus

variaciones, no es necesario que el azud regule. Por tanto, se puede reducir

considerablemente las dimensiones del vaso. Esto permite la construcción de un

pequeño azud que únicamente tienen por misión remansar el agua y facilitar su

entrada en la toma de la minicentral. Las consecuencias para el entorno natural

de la central son obvias: se minimiza el impacto.

El hecho de que el nivel en el azud es constante facilita la explotación de la

minicentral junto con otros usos como puede ser el regadío, la navegación o los

usos recreativos. En estos casos es necesario que la cota de la superficie del

agua experimente pocas variaciones. De esta forma se asegura el calado mínimo

necesario para situar una toma de regadío o para la navegación comercial o de

recreo.

Si el nivel del agua se sitúa por encima del aliviadero del azud y se mantiene

constante, se asegura la circulación de un caudal ecológico constante entre la



toma de agua de la minicentral y la descarga. Esto permite asegurar que la

implantación de la minicentral no deja sin agua ningún tramo de río.

Este tipo de control es menos frecuente en la actualidad y por tanto son muy pocos los

modelos de central que lo contemplen. Así mismo, el estudio de la estabilidad de la

minicentral, que en el caso de control de frecuencia-potencia está ampliamente

desarrollado, en el caso del control de nivel a penas está esbozado, como se comprueba

en el trabajo de recopilación bibliográfica desarrollado en el capítulo 2.

Dado el interés que despierta la materia, la presente tesis se dedica a la elaboración de

un modelo de minicentral hidroeléctrica que controla nivel y al estudio de su estabilidad.

Para ello se plantean tres esquemas de minicentral que se corresponden con los más

comunes entre las minicentrales actuales. Los modelos de minicentral que se estudian

son: la central en derivación en lámina libre con canal y cámara de carga, la central a

pie de presa y la central en derivación en presión con galería en presión y chimenea de

equilibrio.

1.2 OBJETIVOS Y ALCANCE DE LA TESIS

El principal propósito de la presente tesis queda implícito en su propio título: Control de minicentrales hidroeléctricas fluyentes. Modelado y estabilidad. Dicho objetivo, en un

principio amplio, puede desglosarse en diferentes etapas que una vez planteadas y

desarrolladas posibilitan el avance del estudio. A su vez, los diferentes pasos que se

describen someramente a continuación constituyen en sí objetivos parciales que

permiten evaluar el alcance y las aportaciones del presente documento.

El comportamiento global de una minicentral hidroeléctrica puede estudiarse desde muy

diferentes enfoques en función del marco en que se sitúe dicho estudio. De este modo

existen desde modelos que simulan los transitorios durante la puesta en marcha y

parada de la central en los que las no linealidades son determinantes para su

verosimilitud, hasta aquellos en los que se incluye la influencia de los componentes

eléctricos del alternador y que exigen escalas de tiempo muy reducidas. La orientación

desde la que se realiza el estudio determina las hipótesis de partida y el tipo de

simplificaciones que pueden efectuarse sin que se modifique sustancialmente el modelo.

Por ello, previamente, se hace necesario aclarar que alcance de la tesis es simular y

estudiar la estabilidad de una minicentral hidroeléctrica frente a pequeñas

perturbaciones alrededor de un punto inicial de funcionamiento o de equilibrio. Dicho

enfoque pretende representar el funcionamiento normal de la minicentral durante la

mayor parte del tiempo, en el que se contemplan pequeños cambios de las variables de



entrada (en el caso de la minicentral fluyente el caudal procedente del río). Por tanto

muchas de las conclusiones o aplicaciones que se desprendan de la tesis no pueden ni

deben ser extrapoladas a otro contexto diferente, como la simulación del arranque de la

central, dado que pueden no ser correctas en dicho ámbito.

A continuación se plantean los diferentes objetivos parciales que determinan el alcance

de la tesis:

a) Elaborar un modelo de minicentral fluyente para cada una de las tres tipologías

más representativas: en derivación con conducciones en lámina libre, a pie de

presa y en derivación con conducciones en presión. Dichos modelos deben ser lo

suficientemente completos como para representar de una forma realista el

comportamiento de la central. Sin embargo, se debe eliminar todo componente

de la central cuya dinámica no sea relevante y obviar todo fenómeno que no que

no influya visiblemente en la dinámica de la central. Por tanto, es importante

definir las hipótesis y simplificaciones que se pueden realizar en el contexto

anteriormente descrito (pequeña perturbación) y que permiten manejar un

modelo:

i. preciso para que los resultados obtenidos sean valiosos y extrapolables a

otros casos;

ii. simplificado, dado que el modelo supone el punto de partida para el

estudio del control y la estabilidad y la multiplicación de variables hace

crecer exponencialmente la complicación de dicho estudio y en último

caso puede llegar a cuestionar su utilidad.

b) Desarrollar una formulación adecuada para representar el comportamiento

dinámico del agua en lámina libre. Los modelos de central a pie de presa y en

derivación con conducciones en presión se elaboran, entre otras, a partir de las

ecuaciones de Saint Venant adecuadas al tránsito de un fluido en presión. Esta

circunstancia, que como se verá a lo largo de la tesis, simplifica notablemente la

formulación de dichas ecuaciones sin menoscabar la bondad de los modelos. En

cambio, el estudio de las ecuaciones de Saint Venant aplicadas a un fluido que

circula en lámina libre, se complica notablemente debido a que son pocas las

simplificaciones que se pueden realizar en tal caso. Por ello se dedica un espacio

y tratamiento especiales al desarrollo de la formulación del canal que comunica

el azud de derivación con la cámara de carga de la central. Este modelo de canal

debe ser validado y su planteamiento debe ser compatible con el resto de los



componentes que conforman el modelo de central en derivación con

conducciones en lámina libre.

c) Realizar un estudio de la estabilidad de las diferentes tipologías de central frente

a pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. El objetivo

fundamental es determinar la influencia de los principales componentes de cada

central en su estabilidad de modo que sirva como apoyo para el posterior

predimensionamiento de futuras minicentrales de similares características a las

modeladas. Así mismo se pretende estudiar el influjo que ejerce el controlador

que gobierna el distribuidor de la turbina sobre el comportamiento de las

centrales y establecer márgenes de sintonía de dicho controlador para asegurar

la estabilidad.

d) Establecer un criterio de sintonía para las ganancias del controlador de cada una

de las centrales modeladas. Tomando valores de centrales de referencia se

pretende la búsqueda de principios básicos que no sólo garanticen la estabilidad

de la central sino que optimicen su respuesta en el tiempo frente a variaciones

de las condiciones iniciales de equilibrio. Las normas o pautas de sintonía deben

ser lo suficientemente sencillas para poder realizar su formulación y que ésta

resulte aplicable. Es importante aclarar que esta fase del estudio no pretende

establecer un criterio de sintonía definitivo ni aplicable de manera precisa a una

central en operación. El objeto de la tesis en este aspecto es más bien el de

establecer unos valores de referencia de fácil obtención y cuyo uso se encamine

a la fase de estudio y predimensionamiento de la central.

Las minicentrales fluyentes normalmente están conectadas a una red de gran potencia y

debido a su pequeña participación en la misma no contribuyen a la regulación de la

frecuencia de la red. Esto se aplica a las centrales analizadas en la tesis cuya velocidad

de sincronismo viene impuesta por la red y es considerada como un valor constante. De

este modo quedan fuera del alcance del estudio aquellas minicentrales que operan en

isla, es decir que alimentan cargas aisladas, fenómeno poco común en la actualidad.

Finalmente para comprender completamente el alcance de la tesis es importante

conocer la filosofía con la que se que enfoca el cumplimiento de los objetivos y que

engloba e inspira todo el documento.

A priori el objetivo global de la tesis puede resultar excesivamente ambicioso. Elaborar

un modelo de cada una de las tres tipologías de minicentral fluyente más

representativas, estudiar la estabilidad de cada una de ellas y plantear un criterio de

sintonía del controlador del distribuidor de la turbina, es, en efecto, un trabajo



inabarcable si se pretende obtener mediante el mismo una herramienta precisa y

aplicable a centrales en operación.

Como se puede comprobar en la revisión bibliográfica que se recoge en el siguiente

capítulo existen modelos de centrales hidroeléctricas más completos y complejos que el

que se propone en la presente tesis. Aunque es cierto que la mayor parte de los

modelos referenciados reflejan el comportamiento dinámico de centrales con control de

frecuencia y potencia. Por otro lado no se ha encontrado en la bibliografía ningún

modelo que incluya el control de nivel y que presente mayor precisión que el elaborado

en le presenta trabajo.

La intención de la tesis es realizar un estudio conjunto e interdisciplinar en el que

intervienen por un lado los factores hidráulicos y funcionales que determinan los tres

modelos de central y por otro lado la teoría de control que permite el estudio de la

estabilidad en función de los parámetros de diseño de la central y el establecimiento de

un criterio de sintonía para el controlador.

Los resultados, conclusiones y aportaciones originales que se desprenden de la tesis se

deben enmarcar dentro de la fase de diseño y predimensionamiento de una minicentral

fluyente. Con ello se pretende facilitar un diseño de la planta que garantice una

respuesta adecuada en condiciones normales de operación. Así mismo se obtiene un

primer ajuste del controlador PI según los criterios elaborados en este estudio.

1.3 ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO

La tesis se estructura en nueve capítulos, bibliografía y cuatro apéndices cuyo contenido

se muestra brevemente a continuación a fin de tener una visión completa de todo el

documento.

En el siguiente capítulo se realiza una revisión del estado del arte de las principales

materias relacionadas con el tema de la tesis. Muchos de los estudios realizados

previamente y descritos a lo largo de la revisión han servido como punto de partida

para el desarrollo del presente trabajo. Inicialmente se muestran los diferentes modelos

de centrales y minicentrales hidroeléctricas que se han elaborado así como los enfoques

que les preceden. Cabe destacar el estudio particularizado de los modelos de fluidos en

lámina libre necesarios para modelar el canal que comunica el azud y la cámara de

carga. Seguidamente se analizan los métodos de control utilizados tanto para regular

potencia como para mantener nivel de agua de un elemento almacendor de la central. A

continuación se muestran las diferentes técnicas utilizadas para realizar el estudio de la

estabilidad del sistema que forma la central así como los criterios de sintonización del



controlador utilizados con anterioridad. Por último el capítulo realiza a modo de

conclusión una valoración de la revisión realizada seleccionado los planteamientos y las

técnicas más acordes con el objetivo y el alcance de la tesis planteados en el apartado

anterior. A partir de estas consideraciones se introduce una metodología para el

desarrollo de la tesis, que será aplicada a cada una de las tres tipologías estudiadas.

En el capítulo 3 se describe el modelo de minicentral en derivación con conducciones en

lámina libre cuyo controlador mantiene constante el nivel del agua en la cámara de

carga. Se analiza el comportamiento dinámico de sus principales componentes y su

interconexión mediante un diagrama de bloques. Se elabora un modelo de canal

mediante una función de transferencia partiendo de la linealización de las ecuaciones de

Saint Venant y que permite la conexión del canal con el resto de componentes. Se

valida el modelo de canal mediante el uso de un software ampliamente utlizado para

modelar cursos de agua en lámina libre como es el programa informático MIKE11. Se

realizan simulaciones en una central de referencia para comprobar el comportamiento

global del modelo. Por último se linealiza completamente el modelo y se comprueba

mediante una simulación que ambos modelos, completo y lineal, se comportan de

forman prácticamente idéntica bajo pequeña perturbación.

En el capítulo 4 se muestra el modelo de mincentral fluyente a pie de presa. En este

caso el controlador mantiene constante el nivel de agua en el propio azud. Se realiza la

simulación correspondiente a la central de referencia y se comprueba el

comportamiento del diagrama de bloques que representa el modelo. Finalmente se

linealiza el modelo obteniendo un resultado similar al original.

Partiendo de los modelos lineales obtenidos en los capítulos anteriores, en el capítulo 5

se realiza un estudio de la estabilidad de las centrales con conducciones en lámina libre

y a pie de presa. Este estudio se realiza conjuntamente debido a que a efectos de

control y de estabilidad ambos modelos son similares. Una vez fijadas las regiones de

estabilidad en función de los parámetros de diseño de las minicentrales, se plantea el

criterio de sintonía del controlador que permite obtener una respuesta óptima y estable

frente a una pequeña perturbación de las condiciones iniciales de equilibrio.

El capítulo 6 versa sobre el modelo de minicentral en derivación con conducciones en

presión. Al igual que en las otras tipologías se utiliza una central de referencia para

validar el modelo y se linealiza.

Los capítulos 7 y 8 contienen el estudio de estabilidad y posterior sintonización del

controlador para la central con conducciones presión. En el capítulo 7 se sigue la misma

metodología seguida en el capítulo 5 mientras que en el capítulo 8 se estudia cómo



influye en la estabilidad de la minicentral y consecuentemente en la sintonía del

controlador la inclusión de un vertedero en el azud de derivación para garantizar el

vertido de un caudal ecológico al río.

Por último en el capítulo 9 se recogen las conclusiones obtenidas del trabajo realizado y

se describen las aportaciones originales que la tesis presenta. Finalmente se proponen

futuras líneas de investigación que den continuidad al trabajo realizado.

Las referencias bibliográficas que documentan la tesis se incluyen a continuación, así

como cuatro apéndices. En el apéndice A se muestra el desarrollo seguido para la

obtención de las ecuaciones de Saint Venant. El apéndice B se muestra la linealización

de dichas ecuaciones necesaria para la obtención de un modelo simplificado de canal.

En el apéndice C recoge los resultados de las simulaciones realizadas para calibrar el

modelo de canal utilizado. Para ello se comparan los resultados obtenidos mediante la

función de transferencia simulada mediante MATLAB® procedente de las ecuaciones de

Saint Venant linealizadas con los valores resultantes de la simulación mediante el

programa MIKE11. En el apéndice D por último se muestran los listados de los

programas de MATLAB® que forman parte de los diagramas de bloques que modelan las

tres tipologías de centrales.


CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 2.1


CAPÍTULO 2 Revisión bibliográfica

2.1 INTRODUCCIÓN

Una de las características de la presente tesis, y tal como se ha indicado en el

planteamiento de su objetivo y alcance, es su carácter multidisciplinar. En primer lugar

se pretende modelar las tres tipologías de minicentrales fluyentes más representativas.

A este estudio se debe añadir un tratamiento pormenorizado del canal en lámina libre

de la central en derivación, ya que, como se verá a continuación, presenta especial

dificultad. Por último, se plantea la cuestión de la estabilidad de los diferentes modelos

de minicentrales en función de sus parámetros de diseño, así como el establecimiento

de un criterio de sintonía para las ganancias del controlador.

2.2 CAPÍTULO 2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA


La búsqueda de referencias bibliográficas que muestren el estado del arte y que ilustren

e iluminen el trabajo planteado se ha llevado a cabo teniendo presentes dos aspectos.

Por un lado, no se pierde la perspectiva de que los resultados obtenidos, modelos,

criterios de estabilidad… deben ser aplicables a una minicentral en su fase de diseño.

Esto implica que tanto el modelo como el tratamiento de su estabilidad se deben

afrontar en función de parámetros y variables representativos de los principales

componentes de la central, pero evitando el excesivo detalle que haría perder

generalidad al estudio.

Por otro lado se persigue que los trabajos estudiados referentes a los tres temas

tratados en la tesis (modelo, canal y estabilidad) sean compatibles e insertables en un

trabajo global. De modo que se han evitado los modelos de central o de canal

excesivamente complejos que no permiten su interconexión o el estudio de su

estabilidad. También se ha descartado el tratamiento de controladores o técnicas de

control muy sofisticadas y difíciles de implantar en un modelo simplificado de central.

Con este doble objetivo se ha planteado la selección de referencias bibliográficas que se

presenta a continuación. Al final del capítulo se añade un apartado que, a modo de

conclusión, selecciona las hipótesis, planteamientos y enfoques que de entre todos los

presentados mejor se adaptan a la culminación de los objetivos planteados en esta

tesis.

2.2 MODELOS DE CENTRALES HIDROELÉCTRICAS

Un modelo de central hidroeléctrica representa una herramienta muy valiosa para

diferentes aplicaciones. Tanto en la fase preliminar de diseño de la central como

durante la operación de la misma, el modelo permite establecer parámetros de diseño

apropiados o estrategias de control para el seguimiento de los criterios de

funcionamiento. Por tanto, son numerosas las representaciones de centrales propuestas

en la literatura que permiten modelar su comportamiento dinámico. El objetivo para el

que se elaboran los modelos resulta fundamental para determinar las hipótesis de

partida y los condicionantes que conducen a un modelo o a otro. En cualquier caso todo

modelo de central hidroeléctrica que incluya el lazo de control contempla la estabilidad

de la central como parte de sus expectativas principales.

En el trabajo de (Mansoor, Jones et alt., 2000), en el que se reproduce el

comportamiento de la central hidroeléctrica de Dinorwig (Reino Unido), se resumen los

beneficios de elaborar un modelo correcto de central. Dichas ventajas son:



• Obtener un conocimiento amplio y detallado del comportamiento físico de la

central;

• Predecir el comportamiento de la central durante el diseño de un sistema de

control, analizando la sensibilidad de los parámetros del controlador;

• Establecer criterios de sintonía para el ajuste de los parámetros del controlador y

una rutina para su implantación en la central bajo condiciones de seguridad;

• Introduciendo datos de posibles entradas al modelo se permite “entrenar” al

controlador de la planta.

Como se verá a continuación, existen modelos extremadamente simplificados en su

componente hidráulica que centran su enfoque en el comportamiento del grupo turbina-

alternador y sobre todo del controlador. En cambio otros modelos valoran los efectos

que la chimenea de equilibrio o la tubería forzada producen en el comportamiento

global de la central. Esta primera clasificación permite dividir los modelos de central en

aquellos cuyo horizonte temporal es menor que el minuto y aquellos cuyas simulaciones

plantean duraciones del orden de minutos, llegando a la media hora (Zamora, Rouco et

alt., 1997). De este modo se distinguen modelos de simulación a corto y medio plazo

y modelos de simulación a largo plazo. Según se indica en dicha referencia y como se

comprobará a lo largo del presente capítulo, la mayor parte de los modelos de central

planteados presentan esquemas hidráulicos sencillos enfocados a simular los transitorios

producidos en la turbina y la tubería forzada durante pocos segundos.

Esta primera clasificación se complementa con la propuesta en (Nand Kishor, Saini et

alt., 2007) y esbozada anteriormente por (Quiroga, 2000) en su tesis doctoral. En

ambas referencias se plantean diferentes criterios para categorizar los modelos de

centrales hidroeléctricas. Inicialmente se distinguen los modelos lineales y los modelos

no lineales. A su vez estos modelos se pueden subdividir en modelos con chimenea

de equilibrio o modelos que no incluyen la chimenea de equilibrio. Y por último se

propone una última división en modelos con columna de agua rígida y modelos que

contemplan el comportamiento elástico del agua en la tubería forzada y en ocasiones en

la galería en presión. Estas opciones pueden superponerse de modo que, por ejemplo,

existen modelos lineales de central con chimenea y comportamiento elástico del agua

en la tubería forzada y rígido en la galería en presión.

El tipo de controlador que se implanta en la central también permite la distinción entre

modelos. Lógicamente en los modelos antiguos se planteaba el controlador hidráulico-

mecánico como única posibilidad para realizar el control. El estatismo permanente



determina la regulación de velocidad en condiciones de equilibrio. Para la operación

estable del controlador tras la variación de las condiciones de equilibrio se añade la

acción del estatismo transitorio que se atenúa conforme se alcanza de nuevo el

equilibrio.

Otro grupo de modelos tienen como controlador al denominado PID, proporcional-

integral-derivativo. A pesar de que el controlador PID sucedió hace bastantes años al

controlador hidráulico-mecánico todavía es el más utilizado en la actualidad para

controlar centrales hidroeléctricas. Su estructura simple está compuesta por tres

términos que actúan sobre el error actual (P), el error acumulado (I) y el error futuro

(D). Su utilización asegura una respuesta rápida de la central y la acción de sus tres

componentes se identifica en la respuesta de la central por lo que el ajuste del

controlador permite la obtención de la respuesta deseada.

En los últimos años se presentan los controladores digitales como una nueva

solución que supera las prestaciones del clásico PID analógico. La ventaja fundamental

que presenta este tipo de controlador es la adaptación permanente a las condiciones de

operación de la central. Este es uno de los principales problemas del controlador PID

analógico. Se sintoniza para un punto de funcionamiento que normalmente es el

pésimo. Esto da lugar a que en otras circunstancias distintas a las que se han

considerado en la sintonía, el comportamiento de la central, aunque sea estable, no

resulte del todo adecuado.

A continuación se presenta una revisión bibliográfica de distintos modelos de centrales

propuestos a partir de diferentes enfoques y objetivos. Se ha seguido en ella un orden

cronológico ya que la evolución de la ciencia y las técnicas acompaña de forma

inherente al tratamiento de los modelos, sobre todo en su control. En primer lugar se

tratan los modelos de centrales cuya formulación e hipótesis iniciales sirven como punto

de partida para muchos otros. Posteriormente se describen los modelos que presentan

modificaciones, ampliaciones y mejoras frente a los iniciales. Finalmente se reseñan

aquellos modelos de central con control de nivel cuyo estudio tiene especial importancia

dado que se asemejan completamente con el tema de esta tesis.

2.2.1 Primeros modelos. Bases para el modelado de centrales

A mediados de los años cincuenta la teoría de control se encontraba en pleno desarrollo

y muchos procesos industriales aplicaban la modelización enfocada a mejorar y tratar el

control de procesos. En (Oldenburguer and Donelson Jr. J., 1962) se refleja el primer

paso dado en esta dirección en el campo hidroeléctrico. En esta referencia se plantea la



necesidad de elaborar un modelo hidráulico completo que contemple todos los

componentes de la central (embalse, túnel, chimenea de equilibrio, tubería forzada y

turbina) y que sirva como base sólida para el estudio analítico del control de la central.

Este modelo supone un paso importantísimo ya que se comprueba su correcto

funcionamiento mediante la simulación en el dominio de la frecuencia de una gran

central hidroeléctrica, la central de Apalachia (Estados Unidos).

El modelo planteado cumple dos requisitos fundamentales: es suficientemente preciso

para obtener resultados valiosos, y sencillo para aplicar la teoría de control. Esto lo

convierte a pesar de los años transcurridos en una referencia indispensable para

modelos sucesivos. Parte de ecuaciones no lineales que rigen el comportamiento de los

componentes de la central considerando el comportamiento elástico del agua. Dichas

ecuaciones se linealizan alrededor de un punto de funcionamiento. Esto conduce a

funciones de transferencia que se simplifican a partir de suposiciones corroboradas

durante las simulaciones efectuadas.

Las principales hipótesis asumidas, y que se mantienen en muchos modelos

posteriores, son:

• Despreciar el rozamiento en los conductos;

• Considerar el agua rígida en el túnel;

• Despreciar las variaciones de caudal procedentes del túnel o galería en presión,

esto aísla la turbina de lo que sucede aguas arriba de la chimenea de equilibrio;

• Simplificar la formulación de las ondas de presión;

El modelo plantea un sistema en lazo abierto. Los autores proponen el modelo como

punto de partida para el estudio de su estabilidad.

En (Undrill and Woodward, 1967) se propone un modelo de central corroborado por los

ensayos realizados en la central de Ohakuri, en Nueva Zelanda. El planteamiento del

modelo se centra en contemplar las no linealidades del controlador mecano-

hidráulico aunque para ello utilice un modelo lineal de turbina. De este modo los autores

basan su trabajo en estudiar la influencia de los diferentes parámetros que determinan

el funcionamiento del controlador que acciona el distribuidor de la turbina, como son el

estatismo transitorio δ y el tiempo de reposición Tr. Los componentes hidráulicos aguas

arriba de la misma no forman parte del modelo que se centra en las ecuaciones del

controlador y del servomotor. Por último se comparan los resultados obtenidos



mediante el modelo con los de la central que opera en isla y se plantea un criterio para

el ajuste del estatismo transitorio de forma que mejore la respuesta de la central.

Este mismo modelo se emplea en (Dandeno, Kundur et alt., 1978) para estudiar en el

dominio del tiempo la respuesta de la central de Sanders en Ontario (Estados Unidos).

Dicho estudio se centra en analizar las diferencias del comportamiento de la central

cuando opera en isla y cuando lo hace conectada a una red de gran potencia.

El controlador automático que se incluía en la mayoría de las centrales hidroeléctricas

hasta los años sesenta es el denominado mecano-hidráulico basado en el primer

controlador desarrollado por James Watt en su máquina de vapor. El abaratamiento del

los componentes electrónicos y el desarrollo de su tecnología permite la implantación de

controladores electro-hidráulicos en las centrales. El trabajo desarrollado por

(Leum, 1966) se centra el estudio de la implantación de dichos controladores. Son

varias las ventajas que presenta frente al clásico regulador centrífugo: reducir la banda

muerta y los retardos, facilitar la sintonía del controlador y permitir el control conjunto

de centrales de un mismo sistema para mantener la frecuencia del mismo en lo que se

conoce como regulación secundaria. El autor desarrolla una función de transferencia

para el controlador eléctrico que acciona el servo hidráulico que depende de tres

parámetros: proporcional, integral y derivativo. Es el origen del controlador PID cuyo

uso está ampliamente extendido en las centrales hidroeléctricas.

El estudio de la estabilidad de la central es uno de los principales objetivos de la

elaboración de un modelo de la misma. Una de las herramientas más utilizadas para el

estudio de la estabilidad y la sintonía de los parámetros del controlador es la función de

transferencia. En (Ramey D.G. and Skooglund, 1970) se plantea la dificultad que

presentan los estudios de estabilidad cuando las funciones de transferencia son

muy complejas. De modo que partiendo de un modelo de central con una función de

transferencia completa, se simplifica dicha función y se compara el comportamiento de

ambos modelos en el dominio de frecuencias. Ambas funciones parten de un modelo

lineal, sin chimenea de equilibrio y sin estudiar el comportamiento elástico del agua.

La conclusión obtenida es que para frecuencias pequeñas la simplificación se acerca

mucho al modelo original, pero superada cierta frecuencia ambos modelos difieren.

Cabe añadir que los autores introducen el estudio de un controlador eléctrico con

componentes proporcional, integradora y derivativa, pero todavía no lo denominan PID.

Se Comprueba que si se desprecia la acción derivativa (D) la dinámica de dicho

controlador y del controlador clásico mecano-hidráulico son iguales. Por otro lado en la



citada se desaconseja el uso de la ganancia derivativa en centrales conectadas a

sistemas de gran potencia porque fácilmente se producen inestabilidades.

El grupo de trabajo del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) realiza en

(IEEE Working Group, 1973) una labor de recopilación de los modelos existentes

hasta el momento en una visión generalista que incluye los modelos de turbina de

vapor empleados en centrales térmicas y nucleares. En el apartado referente a los

modelos de control de centrales hidroeléctricas se señala que aunque los modelos más

exactos son los que contemplan el carácter elástico del agua, éstos apenas se utilizan.

Así mismo los datos hidráulicos necesarios para el bucle de control son la presión y el

caudal en la tubería forzada presentando un modelo lineal de turbina en un punto de

funcionamiento. El modelo de controlador presentado es el mecano-hidráulico en su

versión no lineal, haciendo mención a la aparición del controlador electro-hidráulico y de

la facilidad de introducirlo en el modelo de central. Las ventajas de este nuevo

controlador son su mayor flexibilidad y la mejora del tratamiento de la banda muerta y

el tiempo de retardo.

En algunas ocasiones el modelo de central no sólo tiene que reflejar la propia central

sino que puede ser aconsejable incluir el sistema o la red a la que se encuentra

conectada. El trabajo desarrollado en (Thorne and Hill, 1973) tiene por objeto estudiar

el comportamiento dinámico de la central de Mactaquac (Canadá). Los problemas que

generaba la estabilidad de la central obligaron a la elaboración de un modelo para

implantar teóricamente posibles mejoras o correcciones que, tras comprobar su

funcionalidad, fueran implantadas en la central real. La principal aportación del estudio

realizado fue la elaboración de un modelo en el que se incluían, aparte de los

componentes habituales de la central como son la turbina, la tubería forzada y el

controlador, los componentes eléctricos de la propia central, como es la máquina

síncrona, y la red a la que está conectada la central. Por tanto, se observó cómo

influye en el comportamiento de la central el tipo de interconexión que tiene así como

las características de la red. Este último componente se modeló representándolo como

si fuera una máquina de gran potencia con su estatismo y su inercia. Los resultados de

las simulaciones se contrastaron con los medidos en la central real y se compruebó la

validez del modelo.

Casi 20 años después el grupo de trabajo del IEEE presentó un nuevo informe de

recapitulación (IEEE Working Group, 1992) en el que se plantean diferentes modelos

evolucionados a partir del trabajo anterior. En este caso los modelos son sólo aplicables

a centrales hidroeléctricas. El nuevo enfoque se justifica por diferentes motivos: la

necesidad de ampliar el tiempo de simulación al trabajar con frecuencias menores; la



exigencia de contemplar la operación en isla para prever la desconexión del grupo; el

requerimiento de introducir las oscilaciones en masa y el golpe de ariete en ciertos

modelos; la posibilidad de simular puestas en marcha y rechazos de la central; la

aparición de centrales con esquemas hidráulicos complejos que incluyen el bombeo.

Pero el enfoque generalista del estudio impide, como se indica en el propio artículo, el

caracterizar centrales con condicionantes particulares.

El trabajo parte de un esquema sencillo de central modelado mediante un diagrama de

bloques en el dominio de frecuencias. El modelo hidráulico base consta de tubería

forzada y turbina. Para representar a esta última se recurre a la fórmula de un desagüe

hidráulico que puede aplicarse en un rango mayor que la ecuación linealizada con

coeficientes constantes.

Al modelo base se le añaden diferentes aspectos: fricción en tuberías, oscilación en

masa en su formulación simplificada, chimenea de equilibrio y acoplamiento de varias

tuberías forzadas. Así mismo se estudian diferentes esquemas de controlador:

proporcional, proporcional con estatismo transitorio, PI, PID y PID mejorado con una

válvula de alivio en el distribuidor para evitar las sobrepresiones provocadas por los

cambios bruscos de caudal.

Como conclusión del artículo se hacen ciertas recomendaciones aplicables para el

modelado de centrales:

• las ondas de presión consecuencia del comportamiento elástico del agua es

conveniente incluirlas en el modelo cuando se prevé que éste opere en el rango

de las altas frecuencias.

• el comportamiento elástico del agua debe incluirse cuando la longitud de la

tubería forzada sea elevada;

• el controlador PID puede ocasionar inestabilidades, y su uso frente al PI obliga a

considerar el comportamiento elástico del agua;

• la utilización de los modelos no lineales tiene sentido cuando se pretende simular

grandes variaciones de carga o frecuencia;

• la inclusión de la chimenea de equilibrio en el modelo se justifica cuando ésta

tiene una sección muy reducida o el horizonte temporal de la simulación es de

decenas de segundos.



Un trabajo muy similar se recoge en el libro (Kundur, 1994), donde se muestran

múltiples modelos de centrales de producción de energía y del control de las

mismas. En lo referente a centrales hidroeléctricas plantea funciones de transferencia

de modelos lineales y de modelos no lineales simplificados. Se distingue entre modelos

con chimenea o sin chimenea de equilibrio así como considerando el comportamiento

elástico del agua u obviándolo.

La mayoría de las centrales implantadas en la actualidad constan de más de un grupo,

siendo normal el esquema en que varias turbinas funcionen en paralelo. El control

de las turbinas se realiza de forma independiente, incluso el control realizado en unas

puede regular potencia mientras otras contribuyen a mantener la frecuencia de la red.

Sin embargo las maniobras del controlador efectuadas en una de las turbinas pueden

afectar a las condiciones hidráulicas bajo las que operan el resto de las máquinas. Esto

sucede cuando las turbinas en paralelo son alimentadas por una única tubería

forzada común que se bifurca en su último tramo. Modelar correctamente el

acoplamiento hidráulico de turbinas que comparten tubería forzada puede ser

determinante para la validez del modelo completo de central.

Este fenómeno que se contempla en el trabajo de (IEEE Working Group, 1992){IEEE

Working Group 1992 #8} es estudiado con detalle por varios autores. En (Vournas and

Zaharakis, 1993) se plantea la obtención de una función de transferencia que simule el

comportamiento de turbinas alimentadas por una misma tubería forzada. El modelo,

que se centra únicamente en la tubería forzada, se plantea a partir de dos enfoques:

considerando o despreciando el comportamiento elástico del agua. Se comprueba la

precisión de ambos modelos comparando los resultados obtenidos con los medidos en la

central de Stratos (Grecia) en la que los grupos son iguales. La conclusión principal del

trabajo es que existe interferencia entre las dinámicas de las turbinas. La magnitud de

esta interferencia depende la relación de los tiempos de arranque del agua de cada

tramo, que se consideran constantes. Por otro lado, mediante la simulación, se

comprueba que el modelo de agua rígida es suficientemente preciso frente al modelo

elástico. Los autores demuestran mediante el análisis en el dominio de frecuencias que

el modelo de agua elástica se debe aplicar cuando las frecuencias de estudio son muy

altas o la longitud de la tubería forzada es elevada.

El tratamiento del mismo fenómeno desarrollado en (De Jaeger, Janssens et alt., 1994)

tiene por resultado un modelo no lineal de tubería forzada y de turbina elaborado

mediante un diagrama de bloques. El agua se considera rígida mientras que para la

formulación del comportamiento hidráulico de la turbina se recurre a la fórmula de

desagüe. Para la obtención de la potencia real dada por cada turbina se resta la



potencia hidráulica un término atribuido a la fricción en la propia turbina que es función

del caudal y de la velocidad de giro. El modelo se calibra mediante las medidas

realizadas en la central de Coo (Bélgica) y se comprueba que el modelo se ajusta al

comportamiento de la central, mostrando el acoplamiento entre turbinas.

2.2.2 Modificaciones, mejoras, aplicaciones y nuevos enfoques en los modelos de centrales

Prácticamente todos los modelos anteriores se dedican especialmente al control de la

planta en el entorno de un punto de funcionamiento. El trabajo desarrollado por

(Luqing, Malik et alt., 1989) parte del hecho contrastado de que una central

hidroeléctrica presenta no linealidades que se acentúan en la turbina. Esto se pone de

manifiesto al comprobar que el punto de operación del grupo modifica sus parámetros.

Este comportamiento no lineal es incluido por los autores en las ecuaciones linealizadas

de la turbina, utilizadas en modelos anteriores, presentando sus coeficientes como

variables. De esta forma, manteniendo ecuaciones lineales pero variando sus

multiplicadores, se acercan a la no linealidad que acompaña al comportamiento de la

turbina.

Los parámetros varían en función del rango de operación en el que se encuentre la

central en cada instante. Los rangos de operación se establecen en función de la

velocidad unitaria de la turbina y de la apertura del distribuidor. El modelo mide el salto

neto, la apertura del distribuidor y la velocidad del grupo, y establece el rango de

operación de la central modificando los parámetros de la turbina.

Otro fenómeno que estudian los autores es la diferencia que se observa en el bucle de

control de la central cuando controla potencia o frecuencia. El modelo propuesto

presenta dos configuraciones a partir de dos controladores que operan de forma

distinta en función del tipo de control que ejerza la central. Los modelos cuentan con

funciones de transferencia para modelar la turbina, la tubería forzada y el controlador

obviando el comportamiento elástico del agua.

También enfocado al control lineal se presenta el modelo desarrollado en (Wozniak,

1990). En este caso el trabajo se basa el estudio de la respuesta de la central

cuando opera en isla. Se analizan los tipos de carga que puede alimentar la central y

cómo afectan a la dinámica de la misma, lo que conduce a introducir la dinámica del

rotor en el modelo de central. El autor presenta una función de transferencia que

engloba la central completa incluyendo el controlador PID. Para ello se basa en las

ecuaciones lineales de tubería, turbina, dinámica del rotor y controlador. Pero en este



caso no se presentan distinciones en función del punto de funcionamiento. El

comportamiento elástico del agua es despreciado como en muchos otros modelos.

En la tesis doctoral realizada por (Quiroga, 2000) se dedica todo un capítulo a analizar

el comportamiento y la estabilidad de los modelos desarrollados por el IEEE y los

presentados en el libro (Kundur, 1994). Se realiza una clasificación de todos ellos en

función de las características antes mencionadas y posteriormente se realiza un estudio

de su estabilidad en el dominio del tiempo y en el dominio de frecuencia. La conclusión

más importante que se desprende del trabajo es que los modelos estudiados son

correctos para describir de una forma genérica el comportamiento en pequña

perturbación de una central pero que dichos modelos no alcanzan la precisión y la

versatilidad necesarias para afrontar un estudio completo del control y la estabilidad

más detallado.

El estudio del control y de la estabilidad obliga a simplificar los modelos para poder

trabajar con ecuaciones sencillas y obtener resultados aplicables. En el trabajo de

(Vournas, 1990) se pone de manifiesto el error cometido cuando se modela la turbina

de una central hidroeléctrica con una función de transferencia de primer orden.

Cuando la frecuencia de la dinámica de la propia turbina se acerca a la de los

componentes electro-mecánicos de la central, la aproximación de primer orden de la

función de transferencia de la turbina ampliamente utilizada puede no ser correcta. Para

ello simplifica la ecuación exacta de la turbina aproximándola mediante el desarrollo de

Taylor de segundo orden.

Se aplica esta aproximación a las cinco centrales del Sistema Heleno interconectado. La

respuesta en el dominio de frecuencias de dichas centrales se asemeja mucho a las

obtenidas mediante las funciones de transferencia de segundo orden comparandose los

autovalores en todos los casos.

Un planteamiento similar desarrolla (Sanathanan, 1987) aplicado a centrales con

tuberías forzadas de gran longitud. El autor realiza un importante desarrollo

proponiendo un método para reducir el orden de los modelos de central con grandes

tuberías forzadas. En su trabajo se demuestra que la matriz de transferencia de primer

orden presenta unos resultados erróneos cuando la tubería forzada supera cierto valor

debido al error que se produce en la fase de la función de transferencia, incluso en baja

frecuencia. Aunque el sistema de primer orden se muestra estable y su comportamiento

transitorio fuertemente amortiguado, el sistema real puede presentar oscilaciones no

deseadas. Se comprueba que el sistema de segundo orden propuesto permite

obtener una buena aproximación.



Esta referencia demuestra que los componentes hidráulicos aguas arriba de la turbina

(tubería forzada, chimenea de equilibrio, galería en presión…) pueden jugar un papel

importante en la estabilidad de la central y que en ciertos casos no pueden omitirse en

el modelo de central. El trabajo de (Brekke and Xin-Xin L., 1988) se sitúa en esa línea.

Los autores plantean un modelo de central que permite representar las centrales

hidroeléctricas implantadas en Noruega. Según reflejan los autores, la participación de

la energía hidroeléctrica en el país escandinavo es muy elevada. Muchas de las centrales

están excavadas en roca y constan de complicados esquemas hidráulicos con

largos túneles, chimeneas de equilibrio etc. A ello se suma que, debido a las condiciones

meteorológicas, muchas veces las líneas están inutilizadas y las centrales deben operar

en isla. Esto produce en muchos casos oscilaciones en las conducciones que obligan a

realizar un estudio detallado de la estabilidad de las centrales.

El método propuesto para modelar una central parte, por tanto, de la necesidad de

incluir todos los componentes hidráulicos en dicho modelo. Para ello se plantea un

método basado en una estructura matricial. Cada elemento de la central está gobernado

por una o varias ecuaciones que se expresan en el dominio de frecuencia y se ordenan

matricialmente. Cada una de estas submatrices está interconectada con las demás, ya

que comparten variables. La matriz global que representa el comportamiento de la

central se construye a partir de las matrices de cada componente. En el modelo se

pueden incluir elementos como estrechamientos, bifurcaciones, es decir, que pone un

especial cuidado en la modelación hidráulica de la central.

En el tratamiento de las conducciones se incluye la función de transferencia exacta que

refleja la elasticidad del fluido y del propio material de la conducción, y así mismo se

añade el término que refleja las pérdidas de carga por fricción. La turbina se modela

mediante las ecuaciones linealizadas planteadas en modelos anteriores, pero los

coeficientes de las ecuaciones se obtienen a partir de las colinas de rendimientos de las

turbinas.

Se plantea la posibilidad no sólo de controlar frecuencia y potencia mediante la acción

del distribuidor, sino también de mantener constante el nivel de agua en un

depósito almacenador como la chimenea de equilibrio o la propia presa. Las matrices

obtenidas de cada central pueden interconectarse entre sí para estudiar su

comportamiento en paralelo para controlar la frecuencia de la red. El modelo matricial

propuesto se utiliza para simular el comportamiento de las centrales de Kolsvik y Skjåk,

donde se han realizado ensayos en el dominio de frecuencias. Se comprueba que los

resultados procedentes del modelo y de la central real son muy similares.



En el trabajo desarrollado por (Fantong Xu, Yonghua L et alt., 1995) y continuado por

(Qijuan C. and Zhihuai Xiao, 2000), se estudia la modelación de la turbina. Para ello

se parte de la obtención de datos de una central real cuando opera sin carga o lo hace

conectada a una red de gran potencia, ya que en estos casos opera en lazo abierto. Con

estos datos y mediante un algoritmo de cálculo de mínimos cuadrados es posible la

obtención los parámetros que caracterizan un modelo que permita operar en lazo

cerrado cuando la central funciona en isla. Es por tanto un método eminentemente

práctico y empírico que huye de las ecuaciones de turbina empleadas clásicamente.

También se plantea la posible utilización de una red neuronal que aprenda los datos

obtenidos en el lazo abierto para simular el comportamiento de la turbina en el lazo

cerrado.

La formulación matricial del problema del acoplamiento entre turbinas se revisa en

(Hannett, Feltes et alt., 1999). La necesidad de modificar el tratamiento se basa en las

peculiaridades que presentan las centrales con turbinas y grupos muy diferentes

como es el caso de la central de Mangahao (Nueva Zelanda). Dicha central consta de

una turbina Francis de 25 MW y dos Pelton de 6 MW. En este caso los saltos netos en la

entrada de cada turbina son diferentes como se comprueba en las simulaciones y

mediciones. Otra de las aportaciones del trabajo se centra en analizar el efecto del

acoplamiento hidráulico de las turbinas en la estabilidad de la central. Para ello se aplica

el modelo a la central de Blenheim-Gilboa (USA). Dicha central presenta un controlador

mecano-hidráulico para cada turbina que se sintoniza mediante la determinación del

estatismo transitorio y del tiempo de reposición. Se observa que cuando la central opera

conectada a una red de gran potencia la interacción entre las dinámicas de las turbinas

no afecta notablemente a la estabilidad. Pero cuando la central opera en isla, y cada

uno de los controladores se ha sintonizado individualmente, la central puede

comportarse de forma inestable, como se observa en las simulaciones presentadas.

El planteamiento del modelo desarrollado en (Mahmoud, Dutton et alt., 2004) es

mucho más ambicioso, tanto en cuanto su objetivo es la simulación del comportamiento

de varias centrales en cascada, cuando cada una de ellas consta de de varios grupos

que comparten tubería forzada. Los autores demuestran que la consideración de un

sistema de centrales en conjunto resalta apreciablemente la no linealidad de los

fenómenos contemplados. El modelo se divide en submodelos de centrales individuales.

Cada uno de estos submodelos incluye el embalse siendo su nivel una de las variables

del modelo completo. Cada central puede tener una estrategia de control diferente pero

que queda subordinada al control del sistema global. Las variables que influyen en el

control de todo el sistema se centran en las aportaciones, pluviometría, etc., de modo



que la correcta estrategia de control es la que optimice la producción de energía

jugando con los niveles y los caudales.

Cada submodelo de central presenta un esquema semejante en un diagrama de bloques

en el que la turbina se obtiene a partir de la ecuación de una válvula de desagüe

contemplando el fenómeno de la oscilación en masa mediante un término simplificado.

En el modelo se incluye la dinámica del rotor y de los componentes eléctricos del

generador. El acoplamiento de las turbinas que comparten tubería forzada se realiza

partiendo de los modelos precedentes pero con una modificación importante: dado que

los niveles de los embalses -es decir, los saltos brutos- varían junto con los caudales, los

tiempos de arranque del agua se muestran como variables no como parámetros fijos.

Los modelos de las diferentes centrales se conectan de modo que el caudal turbinado

por la central aguas arriba es una de las entradas de la central aguas abajo, junto con

los caudales procedentes de las precipitaciones y de las aportaciones propias del

embalse de la central. De este modo se varía el nivel del embalse aguas abajo, lo que

modifica su caudal turbinado y la potencia obtenida. Para ello se considera constante la

superficie de cada embalse aunque como indican los autores se puede añadir una

función a partir de la geometría del vaso que modifique dicha superficie en relación con

el nivel del agua. El orden de magnitud de dicha superficie juega un papel

importante ya que determina el tiempo horizonte de la simulación.

Una de las centrales más importantes del sistema de Gran Bretaña es la de Dinorwig.

Dicha central consta de seis grupos de 280 MW, de los que normalmente cuatro de ellos

se encuentran operativos, uno en reserva rodante y el otro en situación de

mantenimiento. La importancia de la central, aparte de la gran potencia instalada que

posee, se debe a que es una de las principales centrales que participan en la regulación

de frecuencia del sistema de generación británico. El trabajo desarrollado en (Mansoor,

Jones et alt., 2000) se dedica completamente al modelado de dicha central para

comprender mejor su comportamiento de modo que se puedan evitar fenómenos

oscilatorios observados en la red en episodios pasados.

La central presenta un esquema hidráulico bastante complejo con túneles de gran

longitud que incluye la posibilidad del bombeo. El objetivo fundamental del modelo

hidráulico se centra en poder simular los transitorios producidos por las alteraciones

en la presión asociadas a los cambios bruscos de caudal. Para ello se utiliza el modelo

propuesto en (IEEE Working Group, 1992), contemplando el comportamiento elástico

del agua y añadiendo las pérdidas por rozamiento mediante una función de

transferencia de segundo orden. Se consideran en el modelo tanto la galería en presión



como la chimenea de equilibrio. La turbina se modela a partir de la ecuación no lineal

de una válvula de desagüe y su acoplamiento al compartir tubería forzada se simula a

partir del trabajo de (Hannett, Feltes et alt., 1999). El control de potencia se realiza

mediante un controlador PI mientras que para el control de frecuencia se emplea el

PID.

Para calibrar correctamente el modelo y comprobar su precisión se sigue un proceso

minucioso. Inicialmente se compara la dinámica del modelo con la de un modelo lineal

mucho más sencillo, comprobando que su comportamiento es muy similar si se

obvian las oscilaciones asociadas al golpe de ariete. Posteriormente mediante

simulaciones se comprueba el acoplamiento entre grupos, comprobando que el modelo

refleja la influencia que ejerce una turbina sobre las demás al compartir tubería forzada.

La tercera comprobación se realiza comparando el modelo con otro modelo

independiente en su planteamiento, resuelto mediante el método de las características.

A continuación se confirma la bondad del modelo mediante la simulación en el dominio

de frecuencias y su comparación con los resultados obtenidos de la central real. Por

último se realiza una simulación en el dominio temporal y se comprueba que la dinámica

del modelo teórico es realmente muy similar a la seguida por la central real.

El modelo se emplea para reproducir un fenómeno previo que produjo una oscilación

muy perjudicial en la red, lo que permite poder tomar precauciones en un futuro. En el

artículo se resumen las conclusiones que se desprenden de las simulaciones reflejadas.

Para mejorar la estabilidad del control de potencia se puede reducir el estatismo del

grupo aunque esto ralentice la respuesta de la central. Otra forma de mejorar su

comportamiento es añadir la componente derivativa (D) al controlador PI. También se

propone un sencillo control adaptativo que resulta de sintonizar los controladores PI y

PID de la central en función del número de grupos que se encuentran operando, ya que

el comportamiento global de la central varía notablemente cuando un grupo entra en

funcionamiento o finaliza la turbinación.

Otro trabajo interesante, por reflejar el modelo de una central importante es el

desarrollado en (Weber, Prillwitz et alt., 2001). Según se razona en el planteamiento

del modelo, la nueva situación de la red eléctrica europea es mucho más proclive

a la pérdida de la calidad en su frecuencia y estabilidad. Esto obliga a los

modelos de centrales a ser mucho más precisos, ya que su importancia es mayor

si cabe. La central hidroeléctrica de Stalden situada en los Alpes suizos se perfila como

una de las centrales neurálgicas para restaurar la red en caso de fallo general en el

sistema eléctrico suizo. Siendo éste uno de sus cometidos, el modelo que representa el

comportamiento de la central debe ser muy amplio porque ante una situación de



emergencia como la requerida los transitorios de todos los componentes de la central

son importantes. El modelo de central se elabora en su componente hidráulica a partir

del modelo desarrollado en (IEEE Working Group, 1992) y en su parte eléctrica

tomando como referencia el trabajo de (De Jaeger, Janssens et alt., 1994). Los datos

que permiten ajustar el modelo se obtienen del proyecto de la central y del

funcionamiento de la propia central cuando opera en isla por razones de seguridad. En

los resultados obtenidos se observa que el modelo se adapta bien a las medidas

realizadas en la central real. Tras realizar simulaciones en el modelo operando en isla se

comprueba que el deflector de la turbina Pelton de cada grupo no funciona

correctamente por lo que se plantea una revisión de dicho mecanismo para que la

central pueda cumplir el objetivo de restaurar el sistema tras un fallo generalizado del

mismo.

El problema de la restauración del servicio después de un fallo del sistema también es el

tema del estudio planteado en (Jadid and Salami, 2004). Los autores argumentan que la

liberalización del mercado eléctrico exige a las compañías que están en competencia

llevar a los límites de funcionamiento a sus centrales. Esto, sumado a que el crecimiento

de la demanda es muy acusado, da como resultado esquemas cada vez más complejos,

lo que produce un riesgo muy alto de fallo del sistema. Por ello es necesario establecer

una estrategia de actuación a la hora de restaurar el servicio indicando el orden,

la cantidad de carga y el momento en que deben actuar las diferentes centrales. Las

centrales hidroeléctricas son las que presentan comportamientos más complejos y

condiciones de estabilidad más problemáticas, por lo que es necesario un modelo que

las caracterice con precisión. Esto permite determinar la potencia eléctrica o carga que

puede asumir cada central durante el proceso de restauración manteniendo la

frecuencia del sistema.

Los modelos de central aplicables al estudio de la estabilidad transitoria del sistema se

utilizan para simular la primera oscilación de la central alrededor de un punto de

funcionamiento dado. Pero en este caso, en que el rango de utilización es mucho

mayor, se requiere un modelo de central no lineal. En general se representa la tubería

forzada mediante las ecuaciones de Saint Venant linealizadas contemplando las ondas

de presión y el rozamiento del conducto. La turbina se representa mediante la fórmula

del desagüe y el comportamiento físico del distribuidor mediante una función de

transferencia de primer orden.

En el trabajo realizado por (Tzuu Bin Ng, Walkwer et alt., 2004) en el que se simula la

dinámica de la central de Mackintosh (Nueva Zelanda), se plantean algunas

discrepancias con el modelo de central propuesto por (IEEE Working Group, 1992). El



modelo de central en este caso consta de un único grupo Francis alimentado por una

tubería forzada de corta longitud. Se omite el comportamiento elástico del agua y como

sólo hay un grupo no es necesario considerar el acoplamiento entre grupos. El trabajo

se centra en encontrar un modelo que refleje ciertas no linealidades que los modelos

anteriores no contemplan.

Para ello a partir datos recogidos en la propia central se representa el comportamiento

del distribuidor mediante una función no lineal que. Esto modifica la ecuación del

desagüe tan utilizada para representar la dinámica de la turbina en multitud de

modelos. También se obtiene empíricamente otra función para obtener el rendimiento

de la turbina en función del caudal turbinado y de la posición del distribuidor.

El modelo se compara en el dominio de frecuencias y en el dominio temporal con la

respuesta del modelo elaborado según la metodología del IEEE y con los datos de

medidas realizadas en la propia central. En dichas simulaciones se observa cómo el

modelo propuesto mejora la respuesta del modelo anterior y se acerca al de la central

real. En algunos casos aparecen ciertas diferencias que los autores atribuyen a los

efectos de las variaciones transitorias de caudal en la turbina, pero que no suponen un

motivo suficiente para considerar inadecuado el modelo desarrollado.

El trabajo de (Zamora, Rouco et alt., 1997) se centra en estudiar la dinámica a largo

plazo de la central hidroeléctrica. Como indican los autores, y se refleja en el trabajo

bibliográfico de la presente tesis, la gran mayoría de los modelos de central

desarrollados tienen por objeto la representación de los transitorios a corto plazo. Este

enfoque permite no contemplar ciertas dinámicas, siendo modelos que presentan gran

detalle en la descripción del controlador, mientras que los componentes hidráulicos se

simulan mediante una función de transferencia de primer orden en muchos casos. Pero

cuando las simulaciones superan los 30 segundos llegando incluso a los 30 minutos las

dinámicas de los elementos hidráulicos (tubería forzada, chimenea de equilibrio y galería

en presión) deben ser reflejadas con mucha mayor precisión.

Los autores usan los modelos propuestos por (IEEE Working Group, 1992) y (De Jaeger,

Janssens et alt., 1994) para demostrar que cuando el horizonte temporal es del orden

de minutos el modelo que carece de chimenea de equilibrio y galería en presión

presenta diferencias sustanciales frente al que sí las incluye en su configuración.

Así mismo se plantea la posibilidad de obviar el comportamiento elástico del agua y se

llega a la conclusión de que si la chimenea de equilibrio tiene dimensiones normales la

elasticidad del agua no se aprecia en la galería en presión, ya que el período de



oscilación en la chimenea es mucho mayor que el del golpe de ariete. Por otro lado la

elasticidad del agua en la tubería forzada presenta importancia cuando la dinámica del

modelo es muy rápida lo cual en el largo plazo no se produce.

Como conclusiones obtenidas del modelo de central para la simulación a largo plazo, a

parte de las indicadas, se pueden resumir:

• la fricción en la tubería forzada no altera apenas la dinámica de la central a largo

plazo;

• la constante de tiempo de la chimenea de equilibrio, es decir, su superficie

influye determinantemente en la atenuación de la oscilación a largo plazo;

• el incremento del rozamiento en la galería atenúa la oscilación a largo plazo y su

disminución puede generar inestabilidades.

Las vibraciones en las turbinas, sobre todo en las del tipo Francis, son uno de los

motivos por los que las centrales tienen menor rango de utilización y mayores costes de

explotación. El modelo de central presentado en (Konidaris and Tegopoulos, 1997) se

dirige al estudio de las vibraciones de los grupos de la central Kastrakll (Grecia) que se

revelan excesivas para su correcto funcionamiento. El origen dichas vibraciones, según

exponen los autores, es múltiple. Por un lado las variaciones de presión en la tubería

forzada influyen considerablemente. Los vórtices producidos en la cámara de aspiración

de la turbina también repercuten en la vibración. Los rechazos de carga son otra de las

causas de las vibraciones así como las propias vibraciones estructurales. El objetivo, por

tanto del modelo, es simular el comportamiento de todos los elementos de la central

susceptibles de contribuir a la vibración, con una doble intención: por un lado

diagnosticar los problemas de la central estudiada para tratar de corregirlos y por otro

establecer criterios de diseño para evitar dichos problemas en la fase de proyecto. En el

trabajo se aproxima el comportamiento de cada elemento mediante funciones de

transferencia. En el modelo se incluyen: turbina con ecuación linealizada, tubería

forzada con comportamiento elástico del agua, controlador mecano-hidráulico, efectos

de torsión en el eje común de turbina y alternador, interconexión con la red y

oscilaciones en la cámara de descarga en función de la potencia turbinada en cada

instante, caracterizadas por amplitud y frecuencia.

Otro tipo de oscilaciones son las investigadas en el trabajo de (Xianshan Li, Chunli

Zhang et alt., 2006). En este caso se estudian las oscilaciones de baja frecuencia

producidas inicialmente por las altas ganancias y la rapidez de los sistemas de

excitación, aunque como se concluye en el trabajo, también dependen de la dinámica



de la turbinas y de los controladores de las centrales. Para ello se elabora un modelo de

central que incluye un modelo lineal de turbina, el controlador mecano-hidráulico y la

tubería forzada que contempla el golpe de ariete. Estos elementos se conectan con el

sistema de excitación, la máquina síncrona y la conexión a la red. A partir de la matriz

dinámica del sistema compuesta por las ecuaciones lineales de todos los elementos, se

calculan los autovalores de dicha matriz que permiten identificar seis modos de

oscilación diferentes. De los cuales tres de ellos dependen directamente del controlador

y de la turbina por lo que se puede asegurar que las oscilaciones de baja frecuencia no

sólo dependen del sistema de excitación.

Un enfoque diferente de todos los señalados hasta ahora surge al plantear una analogía

entre los elementos hidráulicos de la central con los componentes de un circuito

eléctrico. De esta forma, para cada parte de la central utilizando la resistencia, la

inductancia y la capacitancia, se establece un circuito eléctrico equivalente que se

conecta con los otros circuitos para establecer el modelo completo.

La analogía eléctrica se utiliza en un modelo de central desarrollado en (Souza Jr,

Barbieri et alt., 1999) para representar el comportamiento hidráulico de la tubería

forzada. La principal preocupación de los autores es la representación precisa de las

grandes presiones y subpresiones ocasionadas en la tubería por los cambios bruscos de

caudal en la turbina. Se contempla, por tanto, el comportamiento elástico del agua en

un modelo compuesto únicamente por tubería forzada y turbina. El modelo de tubería

se comprueba con el ejemplo resuelto en (Chaudry, 1979) mediante el método de las

características. La turbina es caracterizada mediante los parámetros procedentes de las

colinas de rendimiento. Las simulaciones del modelo completo se comparan con las

realizadas en la central de Tucurui (Brasil). En este caso el modelo de tubería forzada se

divide en diez tramos de diferentes diámetros representados y conectados

eléctricamente. El resultado de simular un rechazo de carga utilizando ambos modelos

es muy similar.

La analogía eléctrica es desarrollada por completo en (Nicolet, Prenat et alt., 2001), ya

que mediante el circuito eléctrico no sólo se modelan las conducciones en presión sino

que se incluyen los depósitos (embalse y chimenea de equilibrio) la turbina y las

válvulas. El modelo propuesto por tanto refleja de una forma muy completa el

comportamiento hidráulico de la central. Se simulan tres esquemas distintos para

la calibración del modelo completo comparando los resultados con los presentados en

(Wylie & Streeter, 1993), obtenidos mediante el método analítico de las características.

Inicialmente se simula el comportamiento de embalse, tubería y válvula con un cierre de

ésta última. En segundo lugar se estudia el modelo compuesto por embalse, galería en



presión, chimenea, tubería forzada y válvula. Durante la simulación efectuada tras

cerrar la válvula se observa que a corto plazo aparecen las oscilaciones asociadas al

golpe de ariete y a largo plazo, con una frecuencia mucho menor se manifiestan las

oscilaciones en masa entre la chimenea y el embalse atenuadas por la fricción en

conductos y válvulas. Por último se simula el modelo compuesto por embalse, tubería y

turbina. El circuito eléctrico equivalente a la turbina se elabora a partir de los datos

recogidos en (Wylie & Streeter, 1993) al igual que los datos para comparar la simulación

realizada.

El mismo grupo de trabajo propone una ampliación del modelo “eléctrico” en (Nicolet,

Avellan et alt., 2003). En este nuevo modelo se incluyen dos elementos importantes

además de los ya mencionados anteriormente: el controlador PID y el alternador que

acompaña a la turbina. Uno de las principales ventajas de la analogía eléctrica en la que

se basa el modelo es la facilidad con la que se pueden conectar los componentes

hidráulicos con los eléctricos. Se realizan simulaciones en situaciones muy exigentes

para la central como es el disparo de un grupo o su puesta en marcha. La conclusión

que se desprende de dichas simulaciones es que la dinámica de los componentes

eléctricos es mucho más rápida que la de los hidráulicos. De modo que se puede

asegurar que para realizar una primera aproximación a un modelo de central puede

suponerse que el comportamiento eléctrico del subsistema es prácticamente

instantáneo frente al hidráulico.

La analogía eléctrica es usada también por (Xianlin Liu and Chu Liu, 2007) para simular

el comportamiento del agua en los conductos de la central de Ju Shan (China). Dicha

central tiene una tubería forzada pequeña de 50 m y una galería en presión de 350 m

pero que no incorpora una chimenea de equilibrio. Esto produce serios problemas de

inestabilidad durante los primeros segundos tras el movimiento del distribuidor. Para

ello se elabora un modelo lineal que incluye mediante la analogía eléctrica el

comportamiento elástico del agua y de la propia tubería forzada. También se incluyen

en el modelo la turbina y el equipo de excitación. El modelo permite establecer una

relación entre los parámetros que caracterizan cada componente y los diferentes modos

de oscilación que presenta la central operando en isla o conectada a la red. De esta

forma se puede estudiar una estrategia para evitar el citado fenómeno perjudicial, que

en este caso pasa por el diseño y la implantación de un nuevo controlador.

2.2.3 Modelos con controlador de nivel

No existen muchas referencias en la bibliografía consultada en las que se muestre el

comportamiento de una central hidroeléctrica con control de nivel del agua en un



depósito, cámara de carga, azud… en vez del clásico controlador de frecuencia-

potencia. Esto se debe fundamentalmente a que los modelos que incluyen control de

nivel representan centrales cuya consigna de control consiste en igualar el caudal

turbinado con el caudal procedente del río. Es decir, son centrales que no tienen

prácticamente capacidad de regulación ya que el elemento almacenador que

remansa el agua tiene dimensiones muy reducidas. Estas centrales, denominadas

centrales fluyentes, al no contar con capacidad de almacenamiento en general no

contribuyen significativamente a la regulación frecuencia-potencia de la red. Además, la

mayor parte tienen una producción limitada ya que su potencia instalada es reducida,

por lo que en muchos casos se las puede incluir entre las llamadas minicentrales, de

potencia inferior a los 10 MW. Las centrales que no regulan potencia ni frecuencia no

pueden contribuir a la regulación global del sistema, y la velocidad de giro de sus

grupos viene impuesta por la de la red. Por tanto, desde el punto de vista global, son

centrales con una producción limitada y su control no tiene repercusiones en la red de

gran potencia. Esto hace que el interés histórico por este tipo de centrales sea limitado.

El común denominador a todos los modelos de central con control de nivel es el

horizonte temporal para el que se elaboran. Dado que el objetivo del controlador es

mantener el nivel constante en un elemento almacenador, la constante temporal del

propio elemento juega un papel fundamental en el diseño. Esto obliga a realizar

simulaciones que pueden oscilar entre los pocos minutos y las horas. En cualquier

caso son modelos a largo plazo según (Zamora, Rouco et alt., 1997). Por tanto, en

todos estos modelos las dinámicas de los componentes hidráulicos son fundamentales y

no se pueden considerar muy lentas o despreciarlas como sucede cuando se plantea el

control de frecuencia-potencia. En el caso de los elementos de la central cuya

frecuencia sea alta, como los componentes eléctricos o los servomecanismos que

gobernados por el controlador, el fenómeno es inverso. Su respuesta es tan rápida

frente a la de la chimenea o la cámara de carga que, es común entre los modelos

estudiados a continuación, que se consideren instantáneas.

En el trabajo de (Frick, 1981) se presenta un modelo de minicentral fluyente con

control de nivel con disposición a pie de presa, de modo que el esquema de la

central está compuesto únicamente por el pequeño azud, la turbina y el controlador

mecano-hidráulico, sin incluir ninguna conducción, ya que para esta tipología de

centrales son de longitud muy reducida. Se considera el comportamiento rígido del agua

y se incluye en el modelo la dinámica eléctrica del alternador. El modelo se configura a

través de un diagrama de bloques en el que la turbina y el azud responden a una

ecuación bilineal. El modelo de turbina responde a la clásica ecuación de desagüe



linealizada alrededor de un punto de funcionamiento mientras que el controlador

acciona la posición de los álabes de la turbina tipo hélice. El objetivo del control es

igualar los caudales procedente del río y el turbinado.

El autor afirma que el control de nivel presenta tres ventajas fundamentales frente al

control del caudal:

• el nivel del agua varía más lentamente que el caudal, que puede presentar

cambios bruscos, por lo que el diseño del controlador se simplifica al igual que

sus exigencias, por lo que se gana en estabilidad,

• tras estudiar las curvas experimentales que caracterizan el funcionamiento de la

turbina se observa que el nivel constante mejora el rendimiento de la turbina;

• la potencia eléctrica producida por la central se mantiene prácticamente

invariable cuando no cambia el salto de la central.

En el desarrollo del trabajo el autor recalca en varias ocasiones la importancia que

adquiere en el modelo la constante temporal del pequeño embalse comparándola con la

del una central de gran potencia que resulta mucho mayor. Se realizan dos simulaciones

para corroborar las afirmaciones propuestas. Se plantea una variación senoidal del

caudal procedente del río cuyo período es de tres horas y una rampa descendente del

caudal hasta su desaparición en un tiempo de hora y media representando un disparo

de la central. En ambos casos el comportamiento del modelo es correcto.

Hay ocasiones en que la consigna de igualar caudales de entrada en el azud y el

turbinado se aplica a grandes centrales además de a minicentrales. Es el caso de

centrales conectadas en serie. En esta disposición el caudal turbinado por una central es

vertido directamente al azud que alimenta la siguiente central situada aguas abajo. Este

esquema se puede repetir varias veces en función del número de centrales instaladas.

Suele suceder en estas circunstancias que alguna de las centrales situadas aguas abajo

tenga un reducido embalse que no les permita regular el caudal procedente de la

central situada inmediatamente aguas arriba. El tamaño del azud viene determinado en

muchos casos por la morfología, topografía, geología del terreno así como de la

superficie disponible y de las condiciones económicas. Por ello se hace necesario el

control de nivel en el pequeño embalse.

Existen en estos casos dos tipos de control posibles. Se puede mantener el nivel en el

embalse controlando el caudal turbinado por los grupos de aguas arriba mediante el

accionamiento de los distribuidores de las turbinas. Este es el denominado control aguas



arriba. La otra posibilidad es controlar el nivel mediante los grupos de la central aguas

abajo, siendo el control llamado aguas abajo. La experiencia reflejada en el trabajo de

(Jiménez O.F. and Chaudry, 1992) demuestra que el control aguas abajo es mucho más

complicado ya que presenta muchas más posibilidades de inestabilidad que el de aguas

arriba, además de tener que añadir el retardo producido a lo largo de todas las

conducciones de la central. El problema de controlar esta disposición de central se

agudiza cuando el esquema hidráulico es complejo e incluye conducciones largas y

chimenea de equilibrio.

Lo que ocurre en muchos casos es que la central situada aguas arriba no puede turbinar

el caudal requerido aguas abajo por razones técnicas o porque económicamente, al ser

una central de puntas, el régimen de turbinación sigue las pautas del mercado

controlando potencia. En estos casos el control aguas abajo es inevitable y es necesario

estudiar un modelo hidráulico que represente el modelo de dicha central con control de

nivel en el azud y que permita analizar su estabilidad.

Este tipo de modelo es desarrollado por (Jiménez O.F. and Chaudry, 1992). Para ello los

autores componen un esquema de central compuesto por azud de derivación, galería en

presión, chimenea de equilibrio, turbina y controlador PI. La dinámica de la tubería

forzada no se incluye en el modelo por varios motivos: su comportamiento es muy

rápido ya que en el modelo la tubería forzada es de dimensiones reducidas; las pérdidas

por rozamiento son despreciables; se considera el comportamiento rígido del agua por

lo que no se valoran las sobrepresiones en la tubería forzada producidos por los

cambios de caudal en la turbina.

Se comprueba que los elementos que eran omitidos -como el azud de derivación o la

galería en presión- en los modelos a corto y medio plazo, en los modelos a largo plazo

son claves para la correcta simulación del comportamiento de la central. Mientras tanto,

como las frecuencias en este caso son mucho menores, los fenómenos asociados al

comportamiento elástico son despreciables, lo que posibilita que el esquema adoptado

represente correctamente a la central.

La turbina incluida en el modelo responde a la formulación clásica del desagüe, mientras

que en el controlador no se incluyen los retardos asociados al accionamiento del

servomotor ni la banda muerta para evitar el continuo movimiento del distribuidor.

Tampoco se consideran los límites de funcionamiento del distribuidor como son las

aperturas máxima y mínima o la velocidad máxima.



Los autores elaboran un modelo no lineal y otro con las ecuaciones linealizadas

alrededor de un punto de funcionamiento. Con este último analizan la estabilidad de la

central y diseñan un criterio de sintonía para las ganancias del controlador PI. Con el

modelo no lineal comprueban las conclusiones obtenidas a partir del lineal. Una de las

consecuencias del estudio de la estabilidad es que un elemento que favorece la

estabilidad frente a los fenómenos de altas frecuencias como es la chimenea de

equilibrio, a la hora de controlar nivel, influye desfavorablemente, lo que exige un

estudio detallado del dimensionamiento de la central y del controlador.

Los resultados del trabajo se aplican al proyecto de la central del Palomo en Costa Rica.

Se prevé implantar dicha central inmediatamente aguas abajo de la central en el Río

Macho. Ésta última es una central de puntas por lo que construir un embalse con la

capacidad para regular las oscilaciones de caudal se antoja excesivamente caro. Por

ello, utilizando los conocimientos adquiridos mediante el modelo lineal, se dimensiona el

azud con el volumen mínimo para garantizar la estabilidad de la central.

En el trabajo de (Niimura and Yokoyama, 1995) se plantea un modelo con control de

nivel en el azud para minicentrales hidroeléctricas. El control en este caso se justifica

por dos razones. Una de ellas es que regular potencia produce muchas más

paradas y puestas en marcha de los grupos, lo que perjudica notablemente su

mantenimiento y reduce su vida útil. Por otro lado muchas veces el productor de

energía dispone de poca superficie para implantar la central lo que reduce notablemente

las dimensiones del azud y por consiguiente limitan su capacidad de regulación. Por

último, los autores señalan que hay muchos casos de centrales fluyentes cuyo azud es

compartido por otros usos entre los que se suele incluir el riego, siendo necesario

mantener el nivel en el embalse para permitir la toma de agua en condiciones óptimas.

El modelo de central propuesto es el de una central a pie de presa compuesta por el

azud, la turbina y el controlador. La formulación adoptada para reflejar la dinámica de la

turbina es la del desagüe utilizado anteriormente en muchos trabajos. La peculiaridad

del modelo propuesto radica en el controlador, que se diseña partiendo de la técnica

de la lógica difusa. Este control permite a partir de sentencias muy sencillas una

regulación que resulta mucho más suave y aplicable a sistemas no lineales complicados.

Una configuración muy difundida en el diseño de minicentrales es el salto en derivación.

Este diseño de deba a la necesidad de ganar salto para producir más energía sin

construir una gran presa. En estos casos se deriva el caudal a través de una conducción

en presión o en lámina libre que desemboca en la chimenea de equilibrio o en la cámara

de carga respectivamente. Las conducciones en presión cuando la longitud es



considerable requieren la inclusión de una chimenea de equilibrio, lo que encarece

notablemente la central, por lo que el canal en lámina libre suele ser la solución

adoptada. Esta composición se refleja en el trabajo de (Endo, Konishi et alt., 2000). El

modelo propuesto consta del canal, la cámara de carga y el controlador que abre y

cierra el órgano de regulación de la turbina. En este caso, de nuevo, se omite la

dinámica de la tubería forzada y el modelo de turbina, suponiendo que la apertura y

cierre del distribuidor determinan el caudal turbinado. El caudal y la posición del

distribuidor son directamente proporcionales.

Para simular el comportamiento del sistema compuesto por el canal y la cámara de

carga se plantea un modelo de dos depósitos o tanques comunicados por un conducto.

El tanque aguas arriba y el conducto representan la dinámica del canal. La conducción

permite reproducir el transporte de fluido efectuado por el canal mientras que el

depósito refleja el fenómeno de almacenamiento y laminación que se produce a lo largo

del canal. El segundo tanque simula la dinámica de la cámara de carga. Este esquema

se representa mediante un diagrama de bloques en el dominio de frecuencias. Para

calibrar el modelo se resuelven las ecuaciones de Saint Venant mediante el método de

las características. De esta forma se obtienen los parámetros que determinan el modelo

de depósitos y conducción.

El controlador que acciona el distribuidor consta de una única acción proporcional. La

misión de dicho controlador se resume en: mantener el nivel del agua en la cámara de

carga entre dos cotas que delimitan la denominada banda muerta fijando un tiempo

máximo de permanencia del nivel fuera de dicha banda. De esta forma se reduce

notablemente el movimiento de la válvula a lo largo de su vida útil y se mejora su

funcionamiento.

En el trabajo desarrollado en (Fraile-Ardanuy, Wilhelmi et alt., 2005) y (Fraile-Ardanuy,

Wilhelmi et alt., 2005), los autores presentan un modelo de central hidroeléctrica con

una turbina tubular de hélice en la que el control del nivel se realiza mediante la

variación de velocidad del grupo en vez del distribuidor de la turbina. Esto es

posible gracias a los convertidores eléctricos de frecuencia que permiten que la potencia

eléctrica producida tenga la frecuencia requerida por la red. El modelo dinámico consta

de la tubería forzada, turbina, el controlador y el generador eléctrico, destacándose el

detalle en el tratamiento de la parte eléctrica del mismo. En las simulaciones realizadas

con el modelo se comprueba que la dinámica de los componentes eléctricos del

grupo turbina-alternador es mucho más rápida que la de los elementos hidráulicos.

Así mismo se comprueba que el control mediante la velocidad variable permite mejorar

el rendimiento de la turbina y la respuesta del modelo.



En el modelo presentado en (Fraile-Ardanuy, Wilhelmi et alt., 2006) se controla el nivel

en la cámara de carga mediante un controlador PID. Este control se complementa con

el realizado sobre la velocidad de giro de la turbina para optimizar su rendimiento

mediante una red neuronal de modo que se trabaja en velocidad variable. El modelo

consta, por tanto, de la dinámica de la cámara de carga, la tubería forzada, la turbina,

ambos controladores y el modelo detallado de máquina eléctrica.

En (Sánchez, Sarasúa et alt., 2007) se plantea un modelo de central que simula el

comportamiento de un modelo real de minicentral fluyente construido en el laboratorio

de Hidráulica de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M (Madrid) que

consta de azud de derivación, galería en presión, chimenea de equilibrio, tubería

forzada y turbina. El controlador PID acciona en este caso la velocidad de giro de la

turbina (velocidad variable) para mantener constante el nivel del agua en el azud de

derivación. Mediante el trabajo experimental se identifican las curvas que gobiernan el

funcionamiento de la turbina y se calibra el modelo, por lo que los resultados obtenidos

con el modelo informático y el modelo real son muy similares.

2.3 MODELOS DE CURSOS DE AGUA EN LÁMINA LIBRE

La tipología de minicentral en derivación consta en muchas ocasiones de un canal en

lámina libre para conducir el agua desde el azud de toma hasta la cámara de carga que

alimenta la tubería forzada. El modelado de control de canales no ha sido una

herramienta muy utilizada. Según (ASCE Task Comittee on Irrigation Canal System

Hydraulic Modeling, 1993) se estima que el rendimiento medio del control de canales de

riego en los proyectos desarrollados en Estados Unidos se reduce al 44% pudiendo

ascender fácilmente al 60% a partir de un control más riguroso y adecuado. Muchos de

los modelos y de los controles efectuados se basan en el régimen permanente, lo que

supone un comportamiento muy alejado respecto de la realidad. Una de las razones de

la falta de modelos de canal es que la representación de la dinámica del agua

cuando fluye en lámina libre presenta cierta dificultad. Las ecuaciones que rigen

el comportamiento de un fluido cuando circula en esas condiciones son las denominadas

ecuaciones de Saint Venant. En el apéndice A se muestra el desarrollo seguido para

la obtención de la formulación de dichas ecuaciones partiendo de la condición de

continuidad y de la conservación de la cantidad de movimiento del fluido. A las

ecuaciones es necesario añadir las condiciones de contorno, que en el caso del canal de

derivación de la minicentral se establecen aguas arriba en la compuerta de desagüe que

comunica el azud con el canal y aguas abajo en la cámara de carga.



El inconveniente que presentan las ecuaciones de Saint Venant es el hecho de que son

ecuaciones diferenciales no lineales que no tienen una solución analítica real, por

lo que existen múltiples aproximaciones para la simulación de un curso de agua en

lámina libre. Esta es la razón por la que se dedica un apartado únicamente al estudio de

los modelos de canal propuestos que pueden adaptarse al modelado de la central

hidroeléctrica. A mediados de los años sesenta se popularizó el método de las

características y posteriormente durante los años setenta el uso de las diferencias finitas

para resolver las ecuaciones de Saint Venant. Pero ambas técnicas, que en algunos

casos pueden resultar adecuadas, se centran en simular la dinámica del canal sin

prestar atención al control de las compuertas, esclusas y demás elementos de control

que se ubican a lo largo de una red de canales. Son modelos, por tanto, aptos para la

simulación de ríos o cursos de agua en los que no se prevea ninguna acción de control.

En el trabajo de (Malaterre and Baume, 1998), se realiza una breve descripción y

clasificación de muchos de los modelos empleados a tal efecto. Si se hacen ciertas

hipótesis y simplificaciones como suponer la pendiente nula, omitir el rozamiento y

considerar una sección constante, el método de las características puede ser una buena

herramienta con la limitación antes expuesta. Pero la solución pasa por obviar

fenómenos importantes en la dinámica del canal de derivación por lo que se buscan

soluciones más completas. Los autores dividen los modelos encontrados en la

bibliografía existente sobre el tema en función del enfoque y la técnica utilizados. Éstos

van desde los modelos no lineales de parámetros distribuidos hasta aquellos basados en

el uso de las redes neuronales o la lógica difusa.

La presente tesis tiene un acusado carácter multidisciplinar aunando conocimientos

hidráulicos y de ingeniería de control. No se considera dentro del objeto de la tesis el

estudio completo del amplio espectro de los modelos de simulación de cursos de agua

en lámina libre. El canal no se contempla como un elemento aislado sino que se

persigue encajar su dinámica en la de la central. El propósito de este apartado es la

descripción y el análisis de los modelos que puedan adaptarse a los modelos de

central hidroeléctrica presentados con anterioridad.

En (Corriga, Salimbeni et alt., 1988) se analiza el comportamiento y el control del

canal perteneciente a una central hidroeléctrica. El objetivo del trabajo se centra

en la obtención de un medio de control mediante la acción de las compuertas aguas

arriba y aguas abajo del canal, para incrementar la velocidad de la respuesta del canal

incorporando su dinámica al algoritmo de control. El principal problema que presenta un

canal en lámina libre en una central es que aporta retardos que dificultan el control de

la potencia variable demandada por la red. Esto obliga a sobredimensionar la cámara de



carga para regular los cambios de caudal en la turbina. Introducir el canal en el

algoritmo de control implica incluir los retardos propios del canal en el control con vistas

a mejorar la respuesta global de la central, reduciendo el volumen de la cámara de

carga. Para ello es necesario un modelo de canal que permita el estudio de la

estabilidad y el control de la central.

El modelo de canal propuesto parte de la linealización de las ecuaciones de Saint

Venant alrededor de un estado uniforme de circulación del agua. Suponiendo

velocidades y niveles de agua medios se obtienen dos ecuaciones que permiten obtener

el calado en los puntos inicial y final del canal en función, en ambas ecuaciones, de sus

caudales de entrada y salida. Los coeficientes que multiplican los caudales para la

obtención de calados son funciones de transferencia obtenidas a partir de las

ecuaciones de Saint Venant linealizadas. Dichas funciones de transferencia en el

dominio de frecuencias se simplifican notablemente aproximándolas para baja

frecuencia y mediante los términos de primer y segundo orden de las series de

McLaurin. Finalmente se obtienen las inversas de las transformadas de Laplace para

obtener en el dominio temporal la variación de los calados en los extremos del canal en

función de los caudales.

Otro modelo similar de canal se presenta en (Baume, Sau et alt., 1998). En este caso el

enfoque es más generalista, destinado a la modelación de todo tipo de canales. Se

plantea la división del canal en tramos delimitados por compuertas, cuya interconexión

supone una dificultad más para la modelación. Los autores examinan los fenómenos

que producen las variaciones de caudal y calado, como las ondas de propagación

(perturbación) y el transporte de la masa de agua (grandes ondas). Inicialmente

identifican dos parámetros adimensionales (uno de ellos el número de Froude) que

permiten establecer el grado de influencia que ejercen sobre el caudal de un tramo, la

variación del nivel aguas abajo y la modificación del caudal aguas arriba. En función de

estos dos parámetros se establecen cinco tipos de canales. Esta división permite

establecer: si el caudal aguas arriba del canal es función del nivel aguas abajo; si se

precisa introducir retardos en el modelo; y el orden de la función de transferencia que lo

caracterice.

Una vez caracterizado el tramo, el modelo parte de la linealización de las

ecuaciones de Saint Venant suponiendo que la curvatura de las curvas de remanso

es reducida y que la velocidad es uniforme en una misma sección. En este caso los

autores también plantean dos ecuaciones con funciones de transferencia pero que

permiten calcular el caudal aguas abajo y el calado aguas arriba a partir del caudal

aguas arriba y el calado aguas abajo.



Las funciones de transferencia del modelo no presentan la simplificación de la baja

frecuencia. Su comportamiento en el dominio de frecuencias se analiza mediante el

diagrama de Bode aplicado a dos tipologías opuestas de canal según la clasificación

mencionada anteriormente. El canal cuyo nivel aguas abajo afecta al caudal aguas

arriba, es decir, aquel que presenta una curva de remanso que ocupa todo el canal,

presenta diagramas de Bode con oscilaciones en la ganancia cuando la frecuencia es

alta. Por último, el modelo elaborado a través de las funciones de transferencia se

compara con las ecuaciones originales de Saint Venant resueltas mediante el esquema

de Preissman. Los resultados de las simulaciones demuestran que el modelo elaborado

se comporta de forma similar a las ecuaciones originales aunque presenta cierto

desfase. Este desfase se hace más acusado en el modelo con curva de remanso de

mayor longitud.

En (Reddy, 1990) se plantea un modelo de canal basado en la división del tramo

considerado en un determinado número de nudos y subtramos de longitud

constante. Partiendo de las ecuaciones de Saint Venant linealizadas mediante

desarrollo de Taylor de segundo orden y de las ecuaciones de desagüe se establecen las

relaciones entre cada subtramo. El problema que plantea este modelo de canal es que

la precisión depende completamente de la densidad de nudos y por tanto de gran

cantidad de variables que no tienen un significado físico claro. Estas razones convierten

este enfoque en poco práctico y excesivamente laborioso (Schuurmans, Clemens et

alt., 1999).

El modelo reflejado en el trabajo de (Ermolin, 1992) responde a la necesidad de

simplificar la función de transferencia que representa el canal para su posterior

uso en el ámbito de la ingeniería. Para ello se supone un canal con compuerta en su

punto inicial que produce la variación de nivel en dicho punto y una longitud infinita. Se

parte de las ecuaciones de Saint Venant linealizadas pero manipulándolas para que la

función de transferencia resultante muestre la evolución temporal del nivel de agua en

cualquier sección del canal. Se obtiene una función inicial que se analiza a partir de su

comportamiento en el dominio de frecuencias mediante el diagrama de Bode. Se

observa que, conforme aumenta la distancia a la que se encuentra la sección respecto

del origen, las oscilaciones de mayor frecuencia se atenúan hasta desaparecer. Para

simplificar la función inicial se simula un escalón y a partir de los valores obtenidos,

buscando la precisión en las bajas frecuencias, se determina una función de

transferencia de primer orden con retardo, que permite conocer la evolución del calado

en una sección situada una distancia de la sección inicial y en un momento dado. Se



comprueba que si la sección se encuentra próxima el error cometido puede llegar a un 7

%.

El trabajo desarrollado en (Schuurmans, Bosgra et alt., 1995) se centra en la

elaboración de un modelo que supla la principal carencia del mostrado en (Corriga,

Salimbeni et alt., 1988), en el que se supone el caudal constante a lo largo del canal.

Los autores indican que la influencia de los diferentes elementos de control, situados a

lo largo del canal, crea curvas de remanso que modifican el caudal del canal. Los

efectos del remanso son estudiados con detalle como base para el desarrollo del

modelo.

El punto de partida son las ecuaciones de Saint Venant linealizadas, suponiendo en todo

momento régimen lento en el canal y el calado siempre superior al crítico en régimen

uniforme. Es decir, que la curva de remanso que aparece aguas arriba de una

compuerta produce una disminución del calado hasta llegar al calado uniforme. Se

identifican en el modelo dos zonas para cada tramo entre compuertas: una zona

afectada por el remanso y otra en la que el agua circula según el régimen uniforme. Se

obtiene la transformada de Laplace de las ecuaciones linealizadas cuya solución permite

la elaboración de un modelo inicial a partir de un diagrama de bloques complejo. En

dicho diagrama se identifican los parámetros que determinan tres fenómenos

característicos del canal: la relación entre caudales y niveles en los extremos; la

reflexión de la onda; la deformación de la onda aguas arriba y aguas abajo en función

de la posición. De estos fenómenos, el último es el que realmente caracteriza el flujo de

agua en lámina libre y los autores centran la obtención de un modelo simplificado de

canal a partir de su estudio.

A partir del comportamiento en baja frecuencia se llega a la conclusión de que la onda

se amortigua totalmente cuando viaja aguas arriba y que nunca lo hace cuando

se transmite en sentido contrario. Del estudio en alta frecuencia se desprende que la

onda apenas viaja en tramos bajo influencia del remanso debido a la baja velocidad del

agua lo que reduce considerablemente la fricción. En cambio, en los tramos uniformes

el fenómeno es inverso. Por tanto, se plantea el estudio de dos funciones de

transferencia diferentes para cada tramo de canal (remanso y uniforme).

El tramo asociado al remanso se comporta en baja frecuencia como un depósito

almacenador de modo que el caudal de entrada y de salida determina de forma

instantánea el calado de dicho remanso. Para esta aproximación es necesario no

considerar la reflexión de las ondas y suponer horizontal el nivel del agua en el

remanso. El tramo uniforme se caracteriza por el transporte del agua y, por tanto, por el



el retardo que se produce en la onda que circula a lo largo del canal. Para su simulación

se recurre al modelo de onda cinemática. El modelo final es por tanto la combinación de

las dos funciones de transferencia correspondientes a cada tramo en que queda dividido

el canal.

La precisión y el comportamiento del modelo se comprueba en (Schuurmans, Clemens

et alt., 1999). En dicho trabajo se comprueba que en el dominio de frecuencias el

modelo lineal se comporta correctamente cuando la frecuencia es baja y presenta

dificultades en el tramo de remanso cuando la frecuencia crece, lo cual es comprensible

tras las hipótesis realizadas para simplificar el modelo. También se realizan simulaciones

corroboradas con medidas realizadas en el WM Canal en Arizona (USA). Los resultados

son claramente satisfactorios.

El modelo propuesto, denominado integrador-retardo (ID), se utiliza en varios casos

como base sobre la que diseñar el sistema de control del nivel y/o del caudal de un

canal o sistema de canales. El control de las seis compuertas que se sitúan en el tramo

holandés del río Meuse se analiza en (Schuurmans, Schuurmans et alt., 1997). Se

proponen controladores a dos niveles utilizando el modelo ID: Un controlador PI para

cada compuerta; y un controlador que englobe a todos cuando las perturbaciones en el

río sean considerables y se requiera la acción conjunta de todos los controladores. En

(Schuurmans, Hof et alt., 1999) se analizan diferentes posibilidades que presenta un

canal de controlar el nivel aguas arriba de las diferentes compuertas, comprobando los

resultados experimentalmente en el laboratorio de la Universidad Politécnica del Estado

de California (USA). En (Clemens and Schuurmans, 2004) se emplea el modelo para

comparar el control centralizado de compuertas frente al control individualizado de cada

una de ellas mediante controladores PI.

En el trabajo de (Halleux, Prieur et alt., 2003) se plantea un modelo totalmente

enfocado al control del canal. Para ello se realizan numerosas simplificaciones a través

de hipótesis de partida que facilitan el tratamiento de las ecuaciones de Saint Venant.

Se supone un canal horizontal con sección constante y despreciando el rozamiento de

las paredes con el agua. Se plantean las ecuaciones características del sistema

compuesto por el tramo de canal estudiado, considerando constante el calado y la

velocidad del agua en todo el tramo. Se requiere un modelo simplificado para el estudio

de la estabilidad del sistema de control.

El modelo propuesto por (Litrico and Fromion, 2004) representa una evolución del

modelo propuesto por (Schuurmans, Bosgra et alt., 1995) y comúnmente

denominado ID (integrador-retardo). Ambos trabajos persiguen un objetivo común:



desarrollar un modelo lineal que permita su utilización en el diseño de los algoritmos de

control y que se caracterice mediante parámetros que representan magnitudes físicas.

Esto hace descartar a los autores la técnica de las diferencias finitas que conduce a un

modelo de alto orden que no puede ser precisado mediante variables “físicas”.

El trabajo parte del modelo integrador-retardo analizando sus principales carencias.

Todas ellas se concentran en presuponer que en el tramo uniforme el fluido sólo

presenta retardo mientras que en el remanso sólo se almacena agua. Esto produce que

el retardo real sea diferente del que simula el modelo lo que repercute negativamente

en el control. Para suplir dicha limitación los autores linealizan las ecuaciones de Saint

Venant estableciendo una matriz de transferencia en el dominio de frecuencias.

Mantienen la división del tramo de canal estudiado en dos subtramos. En el tramo

uniforme el calado es paralelo a la solera del canal y en el tramo remansado el calado

es paralelo a la tangente del remanso real en el punto final del canal. En el modelo ID el

calado en este tramo es horizontal, lo que supone una nueva diferencia entre ambos

modelos.

La aportación fundamental del modelo propuesto es considerar que ambos tramos

presentan retardo y almacenamiento, en vez de suponer el retardo únicamente en

el tramo uniforme y el almacenamiento en el remanso. Para ello se estudia el

comportamiento de cada tramo en baja y alta frecuencia, lo que amplía el rango de

utilización de dicho modelo.

El resultado final es una matriz de transferencia compuesta por cuatro coeficientes.

Cada uno de ellos se obtiene a partir de los parámetros del tramo uniforme y

remansado. A su vez, los parámetros de cada tramo se determinan a partir del análisis

en baja y alta frecuencia. El resultado es la formulación de los coeficientes mediante

una componente de retardo expresado en forma de tiempo y una componente de

almacenamiento expresada en forma de superficie.

Para comprobar la precisión del modelo se construye el diagrama de Bode en el dominio

de frecuencias donde se observa que los resultados obtenidos con el modelo

simplificado y los extraídos del modelo numérico completo son similares. Se simulan dos

canales de características distintas: uno de ellos con un único tramo de remanso y el

otro con dos tramos uniforme y remansado diferenciados. Finalmente se muestran

resultados en el dominio del tiempo que confirman la buena aproximación que ofrece el

modelo de canal propuesto.



En (Litrico and Fromion, 2004) los autores someten al modelo a los requerimientos

propuestos en (Clemens, Kacerek et alt., 1998) para valorar la aptitud de un

modelo de canal. El objetivo de los tests propuestos es determinar si el modelo de

canal es adecuado como base para la implantación de algoritmos de control a lo largo

del canal. Para ser aprobado, el modelo se emplea para simular dos canales

trapezoidales de características distintas y con ocho tramos cada uno. Los resultados

obtenidos tanto en el dominio de frecuencias como en el temporal son favorables. La

conclusión que se desprende del trabajo es que el modelo es apto para reproducir un

amplio rango de parámetros siendo su banda de frecuencias muy amplia.

Otro enfoque para el estudio de cursos de agua en lámina libre sin pasar por las

ecuaciones de Saint Venant es el dado por McCrathy en 1938 para estudiar el control de

inundaciones en la cuenca del río Muskingum, Ohaio (USA) generando el denominado

método de Muskingum. Este método se basa en el balance de los volúmenes de

agua que entran y salen de un tramo de canal o de río y de la variación de ese balance

con el tiempo. Inicialmente es un modelo lineal que depende únicamente de dos

parámetros. Con uno de ellos se evalúa la capacidad de laminación y de almacenaje que

tiene el tramo y con el otro se valora el tiempo que emplea el agua en atravesar el

tramo. Sucesivas modificaciones han añadido complejidad al modelo incrementando su

orden aunque manteniendo la formulación inicial.

En los trabajos de (Litrico, 2001), (Mohan, 1997) y (Das, 2004) se plantean diferentes

métodos para la obtención de los parámetros que identifican el método de Muskingum

en diferentes casos. Como conclusión puede resumirse que:

• es un método aplicable a ríos preferentemente y no a canales;

• dado que se valoran volúmenes es difícil encajarlo con los modelos de central

propuestos en apartados anteriores;

• en muchos casos es necesaria la realización de mediciones para la calibración

del modelo;

• el horizonte temporal de las simulaciones es muy superior a los tiempos de

operación de una central hidroeléctrica.

2.4 CONTROL Y ESTABILIDAD EN CENTRALES HIDROELÉCTRICAS

En (Nand Kishor, Saini et alt., 2007) se muestra un amplio y valioso trabajo

bibliográfico sobre el control de centrales hidroeléctricas que ha servido como



base para este apartado del estado del arte. Dicho estudio sigue un esquema apoyado

en la evolución histórica de la teoría del control. Por tanto, como introducción a los

sistemas de control de minicentrales, se explica su evolución histórica en el contexto de

la breve historia de los sistemas de control recogida en (Ogata, 2004).

2.4.1 Introducción histórica

El control automático está presente en muchos de los procesos modernos

industriales y de fabricación. En una central hidroeléctrica el controlador que permite

producir la potencia requerida, conservar la frecuencia de la red o mantener el nivel de

agua constante es un componente vital de la misma. Por eso se ha invertido mucho

esfuerzo a lo largo de años para perfeccionar el diseño y la implantación de sistemas de

control que se adecuen a las exigencias de la operación más estrictas conforme

aumenta la extensión y complejidad de las redes eléctricas.

El control automático moderno se inició con el regulador de velocidad centrífugo de

James Watt para el control de la velocidad de una máquina de vapor, en el siglo XVIII.

Dicho regulador ha sido la base para los reguladores mecano-hidráulicos de las

centrales hidroeléctricas hasta la aparición de la electrónica. Pero hasta no bien entrado

el siglo XX la teoría de control no se desarrolló como tal. En 1922, Minorsky estudió la

estabilidad de sistemas a partir de sus ecuaciones diferenciales y en 1932 diseñó un

procedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad de sistemas en lazo

cerrado a partir de la respuesta del sistema en lazo abierto a entradas sinusoidales en

estado estacionario. Este enfoque constituye la base del estudio de un sistema en el

dominio de frecuencias, técnica que se utiliza en nuestros días.

Durante la década de los cuarenta estos métodos, sobre todo los diagramas de Bode,

hicieron posible el diseño de sistemas de control lineales en lazo cerrado que cumplieran

unos requisitos de comportamiento. A finales de los años cuarenta y principios de los

cincuenta se desarrolló por completo el método del Lugar de raíces, que a pesar del

tiempo transcurrido constituye una herramienta utilizada en la actualidad para el análisis

de la estabilidad de centrales hidroeléctricas.

Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar de raíces, que forman el núcleo de

la teoría del control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un conjunto

más o menos arbitrario de requisitos de comportamiento. En general estos sistemas son

aceptables pero no óptimos según un determinado criterio. Desde comienzos de los

años sesenta, el énfasis en los problemas del diseño de sistemas de control se desplazó

de los sistemas que funcionan adecuadamente al diseño de un sistema óptimo



respecto de algún criterio. Comienza el desarrollo del control denominado moderno

y que plantea, a partir del impulso de los computadores digitales, métodos de control

óptimo, control robusto o control adaptativo.

En el estudio del control de las centrales hidroeléctricas, las denominadas técnicas

clásicas del análisis de la respuesta en el dominio de frecuencias y del lugar de raíces

comenzaron a aplicarse en los años cincuenta y continuaron desarrollándose e

implantándose en las décadas de los sesenta, setenta y ochenta. El buen

funcionamiento del controlador inicialmente mecano-hidráulico y del posterior PID,

ampliamente utilizado en el diseño de sistemas de control de centrales, justifica la

resistencia a la implantación de algoritmos de control más complejos utilizados en otros

ámbitos de la ciencia. Sólo a finales de los años ochenta se empiezan a aplicar las

teorías del control óptimo, robusto y adaptativo en centrales hidroeléctricas.

En la actualidad, las técnicas de control moderno y clásico conviven con las nuevas

tendencias de control que permiten a los controladores comenzar a “pensar”,

“aprender” y “entrenarse”. Estas técnicas, entre las que destacan la inteligencia

artificial, los algoritmos genéticos y la lógica difusa, han experimentado una

evolución exponencial en los últimos años gracias, en su mayor parte, a las nuevas

tecnologías informáticas. En el ámbito hidroeléctrico hicieron su aparición a mediados

de los años noventa.

El estudio de la estabilidad de una central hidroeléctrica presenta múltiples enfoques,

propósitos y aplicaciones. Por otro lado, se da la circunstancia de que los controladores

de las centrales todavía mantienen la estructura del clásico controlador mecano-

hidráulico representada electrónicamente mediante el PID. Todo ello conduce al hecho

de que hoy en día convivan las teorías clásica y moderna con las nuevas tendencias en

el análisis de la estabilidad de una central. Esta división jerarquiza el trabajo

bibliográfico mostrado a continuación.

Se incluye un apartado destinado al comentario de los trabajos realizados sobre la

estabilidad de centrales que controlan nivel de agua en vez de frecuencia o potencia,

dada la relación que guarda este tipo de control con el tema de la presente tesis.

La mayor parte de los controladores encontrados en la bibliografía operan sobre

modelos lineales. Algunos ejemplos de la aplicación del control óptimo en modelos de

controlador no lineal se muestran en los trabajos de (Eker and Tumay, 2002), (Sun, Lu

et alt., 2000) o (Watanabe, 2002). El objetivo de todos ellos es la inclusión de las no

linealidades propias de la turbina, del comportamiento elástico del agua, de las



oscilaciones en la red y de la incertidumbre en el propio modelo, asegurando que el

controlador es robusto, es decir estable y con respuesta óptima en todo el rango de

operación de la central. Por otro lado, entre los objetivos que configuran el alcance de

la tesis expuesto en el capítulo anterior, no se encuentra el diseñar un sistema de

control complejo que implique la utilización de este tipo de controladores. Por tanto, y

dado que este tipo de modelos son minoría, en el trabajo bibliográfico que se muestra a

continuación, no se estudia de forma detallada el control de modelos no lineales de

centrales hidroeléctricas.

2.4.2 Enfoque clásico

El trabajo desarrollado por (Hovey and Bateman, 1962) supone una referencia

importante para comprender la aplicación de la teoría del control a los sistemas

hidroeléctricos. En dicho estudio se analiza el comportamiento de la central de Kelsey

(Canadá) y se elabora un método para determinar los elementos del controlador que

producen una mejor respuesta de la central. Dicha central se plantea como la solución

para alimentar los 102 MW que consume el complejo minero de Moak-Mystery Lake. Por

tanto la central se concibe para operar en isla y ser capaz de producir dicha potencia.

En la fase de diseño se concluye que el tiempo de arranque del agua en la pequeña

tubería forzada no se puede variar mucho ya que esto encarecería mucho el coste de la

central. Así mismo las características mecánicas del grupo se establecen para asegurar

tiempos de aceleración adecuados de modo que no se pueden manipular. Por tanto,

sólo se pueden modificar el estatismo transitorio y el tiempo de reposición, ambos

parámetros asociados al controlador para asegurar la estabilidad de la central.

Los autores plantean un modelo lineal sencillo que permite el análisis de estabilidad

con las herramientas informáticas disponibles entonces. El esquema de la central incluye

la turbina, la tubería forzada y el controlador. Los propios autores reconocen las

carencias del modelo, que se pueden resumir en: despreciar el estatismo permanente,

considerar el agua rígida, no incluir la inercia de la turbina, omitir los retardos del servo

que acciona el distribuidor, mantener constante el tiempo de arranque del agua, obviar

la banda muerta del distribuidor y considerar pequeños cambios en la potencia

demandada (máximo 0.10 p.u.).

Del sistema lineal de tercer orden resultante se obtiene la ecuación o polinomio

característico. Esta formulación permite aplicar el criterio de estabilidad de Routh-

Hurwitz y la obtención de una región de estabilidad en función de los dos parámetros

de diseño del controlador que a modo de coordenadas sitúan un punto dentro o fuera



de la región de estabilidad. El resultado matemático obtenido es comprobado mediante

simulaciones en el propio modelo y medidas en la central real. Esto permite corroborar

que la región delimitada se adapta a la central real y que el modelo matemático se

comporta de forma similar a la central. Además, una vez asegurada la estabilidad, se

estudia para qué combinación de parámetros mejora la respuesta de la central. Es decir,

dentro de la región de estabilidad existen zonas que mejoran el control. Así, partiendo

de los valores experimentales, se llega a la enunciación de un criterio de sintonía del

controlador que es aplicado a la central estudiada con éxito.

El trabajo realizado se completa como se refleja en (Hovey, 1962) aplicando el criterio

de ajuste establecido para asegura la estabilidad y el buen funcionamiento de las seis

centrales en el río Winnipeg (Canadá), que proporcionan una potencia de 560 MW. Se

calculan los valores del tiempo de reposición y del estatismo transitorio suponiendo que

cada una de las centrales opera en isla, condición más restrictiva que la conexión a una

red de gran potencia, obteniéndose resultados satisfactorios.

En (Chaudry, 1970) se continúa el trabajo anterior añadiendo la consideración del

estatismo permanente de la turbina y del coeficiente de autorregulación de la

misma. El autor señala que el estatismo permanente puede ser distinto de cero y el

coeficiente de autorregulación depende del tipo de cargas que alimente la central por lo

que es necesaria su inclusión dentro del estudio de la estabilidad de la central.

Siguiendo la misma metodología propuesta por (Hovey and Bateman, 1962) se estudia

la estabilidad a partir de regiones que en este caso dependen no sólo de los parámetros

del controlador sino del estatismo permanente y del coeficiente de autorregulación.

Dando a estos últimos el valor de cero, se llega a las curvas obtenidas por (Hovey and

Bateman, 1962) que quedan dentro de la zona de estabilidad. Por tanto se demuestra

que la omisión de dichos parámetros en todo caso queda del lado de la seguridad frente

a ala inestabilidad de la central.

El criterio de sintonía desarrollado por el autor también es puramente empírico,

obtenido tras la realización de múltiples simulaciones resolviendo el modelo lineal

compuesto por las ecuaciones diferenciales correspondientes mediante el método de

Runge-Kutta de cuarto orden. El criterio selecciona los parámetros que minimizan el

tiempo de respuesta de la central. Se comparan los resultados obtenidos con los

calculados a partir del criterio de Hovey y se comprueba que el estatismo permanente y

la autorregulación influyen en la respuesta de la central, que es mejorada gracias al

nuevo criterio desarrollado.



El controlador PID se impone como el más utilizado para realizar la función de

controlar la potencia y la frecuencia de la red. Dicho controlador añade una nueva

componente al control: la ganancia derivativa. Los parámetros principales del

controlador clásico mecano-hidráulico, estatismo transitorio y tiempo de restitución,se

corresponden con las ganancias proporcional e integral del PID. El trabajo desarrollado

en (Hagigara, Yokota et alt., 1979) sigue la misma línea de los de Hovey y Chaudhry,

completando su trabajo introduciendo el efecto de la ganancia derivativa del

controlador PID en el estudio de la estabilidad de la central.

El modelo de central propuesto es el mismo que anteriormente, pero al añadir la

ganancia derivativa el polinomio característico del sistema resulta de cuarto orden.

Después de aplicar el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz se obtienen regiones de

estabilidad en función de cinco parámetros: estatismo permanente, coeficiente de

autorregulación, y las tres ganancias del controlador PID. Para establecer el criterio de

sintonía de las ganancias del controlador los autores suponen que el estatismo

permanente y el coeficiente de autorregulación son cero. Dado que en este caso son

tres los parámetros a determinar se recurre a la técnica del lugar de raíces. Este

método gráfico para estudiar la respuesta de un sistema se basa en calcular las raíces

del polinomio característico manteniendo constantes dos de las tres ganancias y

variando la tercera. Las diferentes raíces o autovalores se sitúan en el plano complejo.

Se observa que la forma de los lugares de raíces obtenidos varía considerablemente

cuando lo hace la ganancia derivativa, por lo que esto permite determinar qué valor de

dicho parámetro es el óptimo para la sintonía. Una vez fijada la componente derivativa,

apoyándose en simulaciones y en los resultados obtenidos en trabajos precedentes,

se obtiene un criterio para la determinación de las otras ganancias de forma que se

obtenga una respuesta de la central estable y satisfactoria.

El mismo planteamiento siguen (Dhaliwal and Wichert, 1978), que a través de sendos

sistemas de sexto orden simulan el comportamiento de las centrales de Long Spruced y

de Kettle (Canadá). El estudio incluye el tratamiento de las centrales individualmente y

cuando operan conjuntamente, lo que supone el primer acercamiento a la estabilidad de

centrales conectadas en paralelo. El método del lugar de raíces permite analizar la

influencia que ejercen diferentes parámetros en la estabilidad de las centrales

comprobando la posición de la pareja de polos dominante. En particular, el estudio se

detiene en examinar con detalle el influjo de la ganancia derivativa llegando a la

conclusión de que puede dar lugar a inestabilidades cuando adopta valores elevados.



Las referencias descritas hasta el momento, salvo el último inciso, realizan un estudio

de la estabilidad de una central que opera en isla, ya que por un lado es una situación

más exigente y por otro simplifica el estudio considerablemente. Pero esto no refleja la

operación normal de una central hidroeléctrica. Generalmente este tipo de centrales

están conectadas a una red, encargándose en muchos casos de adaptar la producción a

la potencia demandada en un tiempo muy corto, mientras que otro tipo de centrales de

inercia mucho mayor, térmicas y nucleares, aumentan su producción lentamente. Así

mismo las grandes centrales hidroeléctricas regulan la frecuencia del sistema. Es

previsible que estos fenómenos afecten a la estabilidad de las centrales, así como a los

valores de los parámetros del controlador seleccionados suponiendo su operación en

isla. En (Phi, Bourque et alt., 1981) se plantea la estabilidad de una central

hidroeléctrica conectada a la red y que controla frecuencia y potencia de la misma.

Para ello se recurre al modelo desarrollado en (Thorne and Hill, 1973). Es interesante

en este trabajo que no se considere infinita la red a la que se conecta la turbina sino

que se elabora el denominado sistema equivalente que representa la dinámica del resto

de centrales y consumidores de energía de la red. El modelo lineal de central utilizado

se basa en los anteriores pero añadiéndole la máquina síncrona, la interconexión y el

sistema equivalente a toda la red. El estudio de estabilidad incluye, aparte de las

ganancias del controlador PID, el estatismo de la central, así como el estatismo del

sistema equivalente a la red, y el amortiguamiento.

El modelo lineal permite la formulación de las ecuaciones del sistema en su forma

canónica matricial resultando un sistema de octavo orden. Es decir, el diagrama de

bloques del modelo lineal, cuenta con ocho integradores que evalúan la evolución

temporal de las ocho variables de estado del sistema. Se aplican las técnicas

anteriormente empleadas del criterio de Routh-Hurwitz y del lugar de raíces para valorar

la influencia de cada parámetro en la estabilidad de la central. A partir de las regiones

de estabilidad presentadas y de la posición de las raíces se pueden deducir las

siguientes conclusiones:

• el estatismo de la red mejora la estabilidad de la central y el estatismo de la

propia central amplia su región de estabilidad;

• ambos parámetros conjuntamente añaden un modo de oscilación a la dinámica

de la central que resulta estable;

• el porcentaje de carga que asume la central frente a su potencia máxima

también influye en su estabilidad. Producir poca potencia afecta a la oscilación



de la máquina síncrona mientras que producir mayor potencia acerca las

oscilaciones de los componentes mecánicos, hidráulicos y eléctricos;

• la central operando en isla muestra una región de estabilidad menos extensa

que cuando la central está interconectada a la red de gran potencia;

• la ganancia derivativa añade estabilidad al sistema cuando éste opera en isla;

cuando lo hace conectado a una red de gran potencia puede generar

inestabilidad en determinadas circunstancias.

La característica común a todos los estudios presentados hasta ahora es que parten de

modelos lineales en los cuales el agua se comporta rígidamente. Pero como se ha

reflejado en el apartado donde se describían los modelos de centrales, existen algunas

configuraciones de central, sobre todo las que presentan conducciones en presión de

gran longitud que exigen la inclusión de la compresibilidad del agua en el modelo. Es en

la publicación (Murty and Hariharan, 1984) donde se estudia cómo afecta a la

estabilidad de la central el comportamiento elástico del agua mediante las usuales

regiones de estabilidad. Para ello los autores parten del modelo utilizado por Hagigara,

al que le añaden la función de transferencia desarrollada en (Oldenburguer and

Donelson Jr. J., 1962) para introducir el comportamiento elástico del agua. Como la

ecuación característica del sistema en este caso presenta términos hiperbólicos no es

posible la utilización del criterio de Routh-Hurwitz ni la construcción del lugar de las

raíces del polinomio. Para la obtención de las curvas y regiones de estabilidad los

autores recurren al método de la descomposición D, técnica del dominio de

frecuencias, que parte de la división de la función de transferencia en sus componentes

real e imaginaria.

En las regiones de estabilidad obtenidas se observa que la inclusión de la elasticidad del

agua reduce considerablemente la estabilidad de la central. Para evitar su efecto

perjudicial en el control los autores proponen la implantación de un compensador en el

controlador. Dicho compensador se compone de una función de transferencia de

segundo orden que modifica la presión del agua en la tubería forzada añadiendo el

efecto de su compresibilidad. Como conclusión se realizan simulaciones utilizando el

compensador y se elaboran nuevas regiones de estabilidad comprobando la mejoría.

La duda que surge tras los resultados procedentes del anterior estudio es cuándo es

necesario incluir el comportamiento elástico del agua en el estudio de la estabilidad de

la central. Chaudhry continúa, con su línea de trabajo para estudiar el efecto elástico

(Jiménez O.F. and Chaudry, 1987) y responder a dicho interrogante. El trabajo se



centra en estudiar los límites de estabilidad de una central considerando la

compresibilidad del agua y la elasticidad de la conducción, para establecer un

criterio que permita discernir cuando deben ser considerados. El problema que presenta

el efecto elástico es doble. Por un lado, se debe representar el cambio de presión

producido por la variación brusca de caudal. Por otro, la inercia del agua produce un

retardo en la turbina. La inclusión de los efectos elásticos ya se valoró, según los

autores, por (Oldenburguer and Donelson Jr. J., 1962), pero la simplificación propuesta

no es aplicable a centrales con características o dimensiones especiales.

En el estudio propuesto utilizan como base el modelo de central usado anteriormente,

omitiendo en este caso el estatismo permanente y la autorregulación de la turbina, es

decir, parten del modelo desarrollado previamente por Hovey. Se añade al modelo las

ecuaciones de propagación linealizadas alrededor un punto de operación y se considera

el comportamiento oscilatorio en el límite de estabilidad. Se obtiene una expresión que

relaciona los parámetros del controlador y el parámetro de Allievi que incluye el efecto

elástico y que permite la determinación de regiones de estabilidad cuando varían dichos

parámetros. Cuando el parámetro de Allievi se considera infinito (agua y conductos

rígidos), la región de estabilidad lógicamente es la propuesta por Hovey. Cuando se

reduce, es decir, se acentúa el efecto elástico, la región de estabilidad se reduce, siendo

esta reducción muy acusada cuando el parámetro de Allievi es menor que uno. Esta

apreciación se confirma mediante la simulación de un modelo de central variando el

parámetro de Allievi (∞, 1 y 0,4). Las ecuaciones de Saint Venant se resuelven

mediante el método de las características y el resto mediante el método de Runge-Kutta

de cuarto orden. El resultado de las simulaciones confirma que para valores del

parámetro de Allievi superiores a la unidad, la inclusión del efecto elástico en el

comportamiento de la central no modifica ostensiblemente su respuesta. Esta condición,

cuando los valores de la celeridad de la onda y de la velocidad del agua en el conducto

son los típicos, se traduce en considerar el llamado efecto elástico del agua cuando el

salto neto de la central sea superior a 300 m aproximadamente.

El trabajo de (Clifton, 1987) llega a las mismas conclusiones pero utilizando como

herramienta los diagramas de Bode en el dominio de frecuencias.

En (Sanathanan, 1988) se razona que los sistemas lineales utilizados anteriormente,

compuestos por funciones de transferencia de primer orden, son aproximaciones muy

poco precisas y que es necesario introducir funciones de transferencia de orden

mayor para representar el comportamiento dinámico de la tubería-turbina y del

distribuidor. Se comprueba que el modelo simplificado utilizado ampliamente para el

estudio de la estabilidad de la central presenta errores durante su simulación.



Se plantea por tanto un modelo de orden superior reflejado en (Sanathanan, 1987) y

comentado anteriormente. Para el estudio de la sintonía de las ganancias del

controlador PID se propone la elaboración de una matriz de transferencia que

represente a todo el sistema de la central y mediante la simulación en el dominio de

frecuencias y la estimación del error por mínimos cuadrados se determinan los valores

óptimos para las ganancias del controlador.

Otra de las carencias de los estudios de estabilidad y de sintonía del controlador

anteriores, es la consideración de un único punto de funcionamiento. En (Phi, Bourque

et alt., 1981) ya se menciona que la estabilidad y por tanto el criterio de sintonía

dependían de la carga de la central. En (Wozniak and Bitz, 1988) se propone aplicar un

criterio de sintonía basado en el lugar de raíces a un controlador PI que actualice el

valor de sus ganancias para cada punto de funcionamiento. Esto se realiza

parametrizando las colinas de rendimiento de la turbina de modo que cada punto de

operación se corresponde con los coeficientes de la ecuación lineal de la turbina que

permiten obtener las ganancias del controlador PI. Dado que la carga puede variar

bruscamente se añade al modelo un filtro que suavice la evolución temporal de las

ganancias del controlador PI. Este tipo de controlador se aplica a modelos de centrales

en isla.

En el trabajo de (Wozniak and Filbert, 1988), continuado en (Filbert and Wozniak, 1988)

se da un paso importante en la utilización del lugar de raíces como herramienta para el

estudio de estabilidad y la sintonía del controlador. Cuando una central se encuentra

aislada y operando en isla y debe mantener constante la velocidad y proporcionar la

potencia requerida se hace muy útil el identificar las diferentes oscilaciones que se

producen en el lugar de raíces de las ganancias. El objetivo en este caso es minimizar

las oscilaciones de la velocidad para mejorar la respuesta de la planta globalmente. El

criterio de sintonía de las ganancias del controlador se basa en la cancelación de los

polos cuya posición determina la oscilación de la velocidad de giro de la turbina. Se

propone por tanto un controlador cuyas ganancias varíen según el punto de

funcionamiento de la central minimizando la oscilación de frecuencia.

Los estudios de estabilidad y sobre todo los criterios de sintonía alcanzan un nivel de

precisión que los convierten en instrumentos que se aplican durante la instalación del

controlador de la central. Pero el sistema de control debe ser considerado en el trabajo

previo de dimensionamiento de los elementos que configuran la central. Para facilitar su

inclusión en el trabajo esbozado en (Wozniak, 1990) y completado en (Wozniak, 1991)

se propone un método gráfico para obtener las ganancias del controlador PI en función

de cuatro variables: tiempo de arranque del agua, inercia del rotor, coeficiente de



autorregulación y el tipo de carga que alimenta la central. Como indica el autor, el

objetivo prioritario del estudio es dotar al ingeniero que diseña la central de una

herramienta que le permita sintonizar fácilmente el controlador sin tener unos

conocimientos exhaustivos de la ingeniería de control. De este modo se puede elaborar

un modelo inicial de la central imprescindible para comprender la interacción de sus

diferentes componentes. Una vez implantada la central el controlador se debe sintonizar

con técnicas más precisas y adecuadas. El método para la determinación de las

ganancias se basa en establecer valores genéricos de los parámetros que caracterizan la

turbina y mediante el lugar de raíces, cancelando polos, conseguir que el

amortiguamiento de la respuesta alcance un valor dado.

La teoría de control clásico mantiene su vigencia en la actualidad. El estudio de la matriz

dinámica, sus autovalores y su influencia en el comportamiento de la central se utilizan

en diversos trabajos. En (Vournas and Papaioannou, 1995) se utilizan dichas técnicas

para estudiar la estabilidad y el control de una central con dos chimeneas de equilibrio.

En (Xianshan Li, Chunli Zhang et alt., 2006) se calculan los autovalores del modelo

dinámico de la central para establecer los modos de oscilación dominantes que

producen las oscilaciones de baja frecuencia.

Particularmente interesante desde el punto de vista práctico es el estudio de estabilidad

realizado en (Xianlin Liu and Chu Liu, 2007), donde se elabora un modelo de una

pequeña minicentral que no se puede poner en funcionamiento a causa de los

problemas de estabilidad ocasionados por la gran longitud de sus tuberías. Para

solucionar el problema se calculan los autovalores del sistema valorando la influencia de

cada pareja de polos conjugados en la estabilidad de la central. Se identifican los modos

asociados a la elasticidad del agua, los componentes mecánicos y los componentes

eléctricos y se establece la estrategia para reducir las oscilaciones sin modificar

sustancialmente la disposición de la central.

2.4.3 Enfoque moderno

Como se ha indicado en la reseña histórica de la teoría del control, una vez asegurada la

estabilidad de la central, el objetivo del control es la optimización de la respuesta en

un rango amplio de funcionamiento de la central. Esta es la base del control moderno.

2.4.3.a Control óptimo

Los problemas de control óptimo consisten básicamente en la búsqueda de la acción

de control que se debe establecer sobre el sistema dinámico de la central, cuya

evolución temporal viene dada por un conjunto de ecuaciones diferenciales, llamadas



ecuaciones de estado, para que éste describa una trayectoria óptima. La trayectoria

óptima será aquélla que minimice un determinado funcional (Gopal, 1984).

En (Clifton, 1988) se establece una metodología clara y sencilla para la sintonía de los

parámetros de un controlador PI o PID para un regulador de turbina. Es

imprescindible para ello la enunciación de las ecuaciones lineales que conforman las

dinámicas de los elementos que componen la central. En este caso se incluye la turbina,

la dinámica de las masas giratorias y un modelo elástico simplificado de la conducción

forzada. El otro requisito fundamental es la determinación de las variables cuya

variación se quiere minimizar y que componen la función que se debe minimizar. Las

variables se multiplican por coeficientes en función del peso que se quiera dar a cada

una de ellas en el comportamiento global de la central. En el caso estudiado se incluyen

como variables la velocidad de giro lógicamente, la presión del agua en la turbina y la

velocidad de accionamiento del distribuidor que está, como es normal, limitada por

motivos funcionales. Aplicando el teorema del regulador lineal cuadrático se obtiene la

trayectoria óptima de las variables que configuran el sistema. De las variables

estudiadas se observa el movimiento del distribuidor que es accionado por el

controlador. De su trayectoria óptima se desprenden las ganancias del controlador que

permiten dicha evolución. El mismo autor utiliza la teoría del control óptimo para

estudiar la influencia en el control del golpe de ariete cuando el parámetro de Allievi es

menor que la unidad (Clifton, 1989).

En (Orelind, Wozniak et alt., 1989) se estudia la implantación de un controlador que

permita la sintonía del controlador PID en función de las condiciones de

funcionamiento partiendo de la teoría del control óptimo. La carga que alimenta la

central puede resultar muy variable y como se ha comentado con anterioridad las

ganancias del controlador PID no se adaptan de la misma forma a las condiciones de

operación. Mediante la estimación de la trayectoria óptima minimizando la acción del

controlador se establecen las ganancias que mejor resultado ofrecen en función del

error de la velocidad y de la posición del distribuidor. Para ello se plantea un sistema de

sexto orden que incluye las dinámicas de: distribuidor, conducción, turbina, rotor y

carga. Para cada terna de ganancias obtenidas se completa la matriz dinámica del

sistema comprobando mediante los autovalores que la respuesta del sistema es estable

para cada punto de funcionamiento, si bien presenta algún problema cuando la central

opera en isla. El controlador con las ganancias autoajustables se ha ensayado en

fábricas de controladores y en la central de Mt. Elbert en Colorado (USA). A través de

las simulaciones realizadas se puede comprobar que el control realizado mejora

notablemente el comportamiento de la central en un amplio rango de utilización,



reduciendo el ruido de la acción controladora y mejorando en un 40% la velocidad de la

respuesta.

Una de las ventajas que presenta el control óptimo frente al control clásico es la

posibilidad de generar una salida como es el movimiento del distribuidor pero en

función de múltiples entradas. Es el caso del controlador propuesto en (Herron and

Wozniak, 1991). En este caso se propone un controlador mixto basado en la teoría del

control óptimo. El controlador consta de dos partes que conjuntamente determinan el

movimiento del distribuidor. Las dos partes se identifican en la función objetivo. Una de

ellas es el controlador PID convencional. Su sintonía se realiza mediante la minimización

del sobrepaso y del tiempo de establecimiento, comprobándose que para diferentes

puntos de funcionamiento el comportamiento de la central es estable y óptimo. El otro

componente es una ganancia sintonizada a partir de la variación de la presión

experimentada en la turbina. De este modo en el control no sólo se tiene en cuenta la

variación de velocidad en el rotor junto con su derivada y su integral (control PID) sino

que se incluye una nueva variable que mejora el control.

Uno de los problemas que se presentan cuando se plantea el control óptimo es la

obtención de datos de la propia central que permitan operar al controlador. Como las

funciones objetivo admiten múltiples entradas, los controladores se diseñan para

funcionar partiendo de varias entradas que no son tan fáciles de medir. Previendo dicho

inconveniente, en (Arnautovic and Skataric, 1991) se plantea un sistema de control

partiendo de la teoría del control óptimo. Dicho sistema permite delimitar el orden de

sistema reduciéndolo sin perder calidad en el control, de modo que se pueden

determinar el número de entradas, de ganancias del controlador y de salidas que se

pretenden implantar. Los autores aplican el denominado control proyectivo a una

turbina Kaplan sobre la que manipulan dos variables: el distribuidor y la posición de los

álabes. El método, que encierra cierta complicación matemática, se basa en la búsqueda

de los modos dominantes del sistema para reducirlo al mínimo orden.

El control de la turbina Kaplan se adapta muy bien al control óptimo. Las turbinas

Francis o Pelton normalmente sólo tienen una posible acción de control, el movimiento

del distribuidor o del deflector en cada caso. Pero las turbinas Kaplan permiten dos

acciones controladoras: el distribuidor y el ángulo de los álabes. El control óptimo

permite conectar múltiples entradas con múltiples salidas por lo que su implantación en

turbinas Kaplan presenta múltiples posibilidades. En (Schniter and Wozniak, 1995) se

plantea un tipo de control que mejora el normalmente utilizado en las turbinas Kaplan.

En este tipo de turbinas, cuando existe un cambio en la potencia demandada

inicialmente se acciona el distribuidor que adecua el caudal al par solicitado mientras



que los álabes se mantienen fijos. Una vez esta acción de control finaliza se mueven las

palas para conseguir que se mejore el rendimiento. El tipo de control planteado por los

autores se basa en la teoría del control óptimo para delimitar las mejores trayectorias,

tanto del distribuidor como de los álabes, pero siguiendo una estrategia de

funcionamiento conjunta. Cuando se produce un cambio en la potencia demandada

se accionan ambos mecanismos en dos fases. En un primer momento, el movimiento

sigue la dirección opuesta a la esperada con la intención de disminuir el rendimiento y

así llegar a la potencia requerida. Una vez llegado a este estado se vuelven a accionar

los dos mecanismos para adecuar el caudal al esperado. Como la transición del caudal

es mucho más lenta porque en la fase inicial se mantiene constante, se evitan las

sobrepresiones producidas en la turbina de modo que el control se realiza de una forma

mucho más suave, ya que se reducen las oscilaciones de presión. El problema que

presenta este control proviene de que, para reducir el rendimiento bruscamente, la

acción del distribuidor y de las palas es tan fuerte que se modifica el punto de

funcionamiento. Esto hace que el modelo lineal de turbina tenga que modificar sus

coeficientes lo que dificulta el cálculo del control óptimo.

Muchas veces en las centrales existen controladores analógicos previamente instalados

que no permiten el control adaptativo basado en la teoría del control óptimo, es decir,

manipular las ganancias del controlador en función de las condiciones de

funcionamiento para que se siga la trayectoria óptima. En (Zhaohui Li and Malik, 1997)

se plantea un método desarrollado a partir del control óptimo para determinar las

ganancias de un controlador PID clásico. Para ello, el primer paso es determinar

las factores que determinan la acción del controlador, en este caso las ganancias del

controlador proporcional, derivativa e integral. El segundo punto es considerar cada

factor como una variable discreta con numerosos “niveles”. Para dividir en niveles se

recurre a minimizar la función objetivo que incluye el sobrepaso y el tiempo de

establecimiento. En cada nivel el factor mantiene constante la función objetivo a través

de un índice. Cuando éste cambia sustancialmente se cambia el nivel. El número de

niveles lógicamente es muy elevado. Mediante la teoría combinatoria se reducen el

número de niveles de las tres ganancias. De este modo se obtienen ternas de ganancias

óptimas en función de pocos niveles de funcionamiento o de sus índices lo que

simplifica considerablemente las sintonía del controlador. Éste no debe autosintonizarse

continuamente sino cuando las condiciones de funcionamiento varían sustancialmente

de modo que el índice de la función óptimo indica que se cambia el nivel de operación

del controlador.



Otro de los problemas que presenta el control óptimo se indica en (Nand Kishor, Saini

et alt., 2007). Para que se pueda desarrollar completamente se deben poder medir

todas y cada una de las variables de la central en cada momento. Esto no suele suceder

en la realidad y supone un alto grado de incertidumbre que el controlador no puede

contemplar. A esto se debe añadir el hecho de que el controlador parte de un modelo

lineal de central lo que supone una variación respecto del funcionamiento real de la

central. Por último el ruido que se incluye en la medida de ciertas variables en el

modelo estocástico de planta puede que hacer inoperativo el control óptimo realzado a

partir de dichas medidas. Estas dificultades conducen al denominado control robusto.

2.4.3.b Control robusto

Un sistema de control robusto plantea el correcto funcionamiento de la central a pesar

de la presencia de incertidumbres en el modelo de central debidas a: cambios en los

parámetros, dinámicas no contempladas, retardos no incluidos, ruido en la medida de

los sensores y cambios no esperados en las entradas al sistema. El diseño del

controlador robusto intenta ser aplicable en el mayor rango de incertidumbre

asegurando que el sistema se mantiene estable a pesar de los cambios en el modelo o

de las dinámicas y fenómenos no estudiados.

La gran mayoría de los controladores que operan a partir de la teoría del control óptimo

parten de sistemas lineales para determinar la función objetivo para minimizar. Esto

supone que a pesar de realizar un trabajo exhaustivo en la sintonía de las ganancias del

controlador, las no linealidades de la central, no reflejadas en el modelo inicial, pueden

producir ciertos errores cuando se aplican en la realidad. En el caso de centrales

hidroeléctricas este fenómeno sucede sobre todo a causa de las no linealidades que

encierra el comportamiento hidráulico de la turbina. En el trabajo de (Jin Jiang, 1995)

se plantea la determinación de una función de transferencia que incluya un término

que refleje la incertidumbre del modelo de turbina. Para ello se comparan varias

funciones de transferencia de centrales reales o de modelos teóricos comparándolas

mediante el diagrama de Bode calculando el error entre ellas. La función de

transferencia resultante es la de menor orden más un parámetro que incluye el máximo

error de cada frecuencia. De este modo se incluye la incertidumbre en la función de

transferencia. A continuación, mediante la teoría del control óptimo, se determina una

función de transferencia para el controlador acorde con la de la turbina. Dicha función

de transferencia, basada en la minimización de sucesivos errores resulta de orden

excesivo. Para reducir el orden de la función se busca una función de orden muy inferior

que se comporte de forma simular en el dominio de frecuencias a través del diagrama

de Bode. Dicha función de transferencia ejerce un control robusto sobre la turbina.



En (Malik and Zeng, 1995) se hace alusión a muchas más causas de inestabilidad:

histéresis, banda muerta, oscilaciones en la red, datos procedentes de modelos a escala

y no en tamaño real… La prioridad del control robusto es asegurar la estabilidad frente

a cualquier incertidumbre que se pueda ocasionar durante el funcionamiento de la

central. La estabilidad de la central queda garantizada por la posición de los polos

del sistema en el plano complejo que queda caracterizada entre otras cosas por el

amortiguamiento. El sistema de control robusto se basa en medir el error existente

entre los parámetros de la central y sus valores teóricos supuestos en el modelo. El

error calculado se relaciona con el amortiguamiento de la respuesta, a partir de la

posición de los polos que mejor se comporte para cada instante. Mediante el

amortiguamiento se obtienen los polos que determinan la función de transferencia del

controlador que realiza el control robusto.

El trabajo desarrollado por (Natarajan, 2005) se centra en la obtención de un

controlador robusto a partir de una terna fija de ganancias del clásico controlador

PID. La aportación de este estudio se basa en que no se plantea un control adaptativo

que exige un microprocesador que varíe continuamente la función de transferencia del

controlador, sino que el resultado obtenido es un controlador fijo cuya sintonización

permita la operación en cualquier punto de operación. Otra de las novedades frente a

otros estudios de control óptimo o robusto es la consideración de la dinámica del

sistema equivalente que representa la red a la que está conectada la central. Para ello

el autor utiliza el modelo de central desarrollado en (Thorne and Hill, 1973). Para la

sintonía del PID inicialmente, mediante el control óptimo, se determina la terna de

ganancias óptimas para nueve puntos de operación diferentes que minimizan la

ganancia y la frecuencia en el diagrama de Bode del sistema en lazo abierto. Este

barrido en el dominio de frecuencias permite incluir los puntos de operación no

contemplados inicialmente. Cada terna de ganancias lleva asociados unos autovalores

que aseguran su estabilidad. Se calculan los errores en la fase y la ganancia esta vez en

lazo cerrado y penalizando mediante multiplicadores dichos errores y las características

de los autovalores. El camino óptimo que minimiza los errores determina las ganancias

del controlador PID a sintonizar.

2.4.4 Últimas tendencias: algoritmos genéticos, inteligencia artificial, lógica difusa…

Los algoritmos genéticos consisten en una técnica iterativa. Se parte de un conjunto

arbitrario de posibles soluciones al problema planteado, en este caso sintonía del

controlador. En cada iteración o generación se obtienen nuevas soluciones a partir de la

población anterior. La nueva población ha “evolucionado” respecto de la anterior de



modo que la idoneidad media de la soluciones ha mejorado. La idea es seleccionar los

mejores elementos de cada población para generar la próxima: sólo “sobreviven” las

mejores soluciones. Traducido a la teoría de control se determinan funciones

matemáticas basadas en la teoría del control óptimo que seleccionan entre la población

existente soluciones candidatas para mutar en la posterior generación. Es pues un

método que se inspira en la selección natural que induce a las especies a evolucionar y

mutarse para mejorar sus condiciones de vida. En (Lansberry and Wozniak, 1992) se

utiliza esta técnica para sintonizar el controlador PI de una central mientras que en

(Aditya and Das, 2003) se aplican los algoritmos genéticos para sintonizar diferentes

tipos de controladores a dos centrales interconectadas.

Otro tipo de control es el realizado a partir de la Inteligencia Artificial. Este tipo de

control se puede realizar a partir de un clásico PID. Pero las ganancias actúan en el

momento preciso y con un valor concreto. Para determinar cuando deben operar las

ganancias y bajo qué valor se analiza el error de la respuesta mediante sentencias

lógicas que a modo del razonamiento humano van descartando y seleccionado acciones.

Por tanto la base o el “cerebro” de todo controlador sintonizado con la inteligencia

artificial son la colección de normas o reglas que marcan la acción del controlador en

cada momento. El trabajo de (Zhaohui Li, 1993) y de (Yuan-Chu Cheng, Lu-Qing Ye et

alt., 2002) se muestran en esta línea.

El funcionamiento del cerebro humano se refleja en las denominadas redes

neuronales. Este tipo de algoritmos de control recibe previamente un entrenamiento

que les permite aprender de fenómenos analizados con anterioridad. Las redes

neuronales operan sobre la base de reconocimiento de patrones, y que pueden adquirir

almacenar y utilizar conocimiento experimental. Un algoritmo de aprendizaje permite el

ajuste de los parámetros de cada una de las neuronas que componen la red. Se basan

en métodos iterativos para minimizar funciones de error (control óptimo). Las entradas

y salidas están conectadas por una capa oculta de neuronas. Cada una de estas

neuronas representa una función sencilla cuyos parámetros se ajustan en el proceso de

entrenamiento de la red. En (Djukanovic, Novicevic et alt., 1995) se utilizan las redes

neuronales para diseñar un controlador que no sólo regule la frecuencia y la potencia

sino que conjuntamente opere la excitación del circuito de la máquina eléctrica para

mantener constante la tensión. En (Garcez and Garcez A. R., 1995) la red neuronal se

emplea para sintonizar un controlador típico PI. Durante el entrenamiento las entradas

de la red son el tiempo de arranque del agua y el salto neto mientras que las salidas

son el tiempo de establecimiento y el estatismo transitorio del controlador. Finalmente

en (Yamamoto T., Kaneda M. et alt., 1995) se utiliza una red neuronal para corregir la



autosintonía de un controlador PID en función de las no linealidades producidas, por

ejemplo por la banda muerta, en el modelo de central.

Otro tipo de controladores son los que operan bajo la normas de la denominada lógica

difusa o borrosa. De manera similar al como lo hace el cerebro humano es posible

ordenar un razonamiento basado en reglas imprecisas y en datos incompletos. Se

establecen relaciones lógicas sencillas de forma que una entrada admite salidas binarias

del tipo verdadero o falso, pero cuantificadas pudiendo resultar “muy verdadero” o

“poco falso”. De este modo se establecen los conjuntos difusos de tal forma que una

entrada o elemento puede pertenecer parcialmente a un conjunto. Se pueden definir

subconjuntos y así cualquier elemento puede pertenecer a ellos en diferentes grados. La

clave de este método reside en traducir al lenguaje matemático el lenguaje que se

maneja normalmente con expresiones como suficiente, muy, bastante… Son muchas las

aplicaciones de este tipo de control a las centrales hidroeléctricas. Una posibilidad

reflejada en (Djukanovic, Calovic et alt., 1997), (Wang Yin-Song, Shang Guo-Cai et alt.,

2000) y (Wei-You Cai, Hai-Feng Liu et alt., 2001) es el diseño de un controlador basado

en la estructura de una red neuronal regida a partir de las reglas de la lógica difusa.

Otro ejemplo de aplicación de la lógica difusa en centrales es (Mahmoud, Dutton et

alt., 2005) donde se unifican los controladores PID que accionan los distribuidores de

las turbinas de la central en un único controlador que opera según las reglas borrosas.

En (King, Bradley et alt., 2001), donde también se plantea la utilización de un

controlador híbrido neuronal-difuso aplicado a una central con bombeo, se demuestra

que las redes de gran tamaño con muchas normas o reglas pueden ser excesivamente

lentas requiriendo mucho entrenamiento. En (Guang-Da Chen, Wei-You Cai et alt.,

2002) se parte de un controlador PID modificando únicamente mediante técnicas de

lógica difusa la ganancia integral con lo que se mejora la robustez del control. Un

trabajo similar es realizado en (Zhixue Zhang, Zhihong Huo et alt., 2002) pero

modificando en este caso la ganancia proporcional del controlador PID. Finalmente en

(Luqing, Malik et alt., 1998) se aplica la lógica difusa a la acción del servomecanismo

que acciona el distribuidor para evitar los problemas mecánicos que muchas veces

aparecen en el circuito de aceite del mecanismo.

2.4.5 Control y estabilidad en centrales con controlador de nivel

Estudiar la estabilidad de las minicentrales que controlan nivel es uno de los principales

objetivos de la presente tesis por lo que a continuación se muestran las escasas

referencias encontradas que abordan el estudio de este tipo de control.



En el trabajo de (Jiménez O.F. and Chaudry, 1992) se plantea la teoría de control

clásica para la obtención de criterios de diseño de una central con control de nivel en

el azud. Para ello se parte de las ecuaciones linealizadas del modelo inicial no lineal y se

aplica el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Dicho análisis se aplica al modelo de

central con y sin chimenea de equilibrio, llegando a la conclusión de que el elemento

que ejerce un papel predominante para asegurar la estabilidad frente al golpe de ariete

es sin embargo perjudicial cuando se controla el nivel del agua. Es decir, que en la

dinámica a corto plazo, del orden de segundos, la oscilación de la sobrepresión

producida por los cambios de caudal se atenúa por la acción de la chimenea, pero

cuando se estudian los fenómenos a largo plazo la dinámica de la central cambia. En

función de la región de estabilidad se establece un criterio aproximado para la

determinación de las ganancias del controlador PI en la fase de diseño de la central. Los

resultados del estudio de la estabilidad se aplican para determinar el área mínima de

embalse que puede tener la central de Palomo (Costa Rica), en fase de proyecto, que

funciona con control de nivel, para turbinar el mismo caudal que la central de puntas de

Río Macho situada aguas arriba.

El método de control planteado por (Endo, Konishi et alt., 2000) se reduce a una única

acción proporcional que asegura dos condiciones: que el nivel se mantiene entre dos

cotas que delimitan la banda muerta y que el tiempo que transcurra cuando el nivel se

encuentre fuera de los márgenes de dicha banda sea el dado como parámetro. Estas

dos condiciones y las condiciones geométricas de la central compuesta por el canal, la

cámara de carga y la tubería determinan el valor de la ganancia proporcional y del

tiempo fuera de banda.

En (Niimura and Yokoyama, 1995) se aplica la lógica difusa para controlar la acción

del distribuidor de la turbina. Se mide el nivel del agua y la señal que llega al

controlador lo calibra como bajo, moderadamente bajo, medio, moderadamente alto y

alto. También se evalúa la velocidad de variación del nivel como rápidamente hacia

arriba, moderadamente hacia arriba, constante, moderadamente hacia abajo y

rápidamente hacia abajo. Y el control ejercido por el distribuidor puede ser negativo y

grande, negativo y medio, negativo y pequeño, cero, positivo y pequeño, positivo y

medio y positivo y grande. La combinación de las entradas y la posibilidad que

presentan las salidas generan la respuesta. La estructura de las sentencias es: IF (nivel

del embalse), AND (velocidad de la variación del nivel), THEN (movimiento del

distribuidor). El control mediante lógica difusa permite además criterios al control como

por ejemplo maximizar la energía obtenida.



En el trabajo de (Wu, Karray et alt., 2005) se controla el nivel mediante la utilización del

controlador híbrido que aplica las sentencias propias de la lógica difusa a la estructura

de una red neuronal. En este caso existen dos redes neuronales con su respectivo

entrenamiento. Una de ellas se utiliza para identificar los parámetros que determinan el

funcionamiento de la central. Se entrena dicha red para que aprende cómo se comporta

hidráulica, mecánica y eléctricamente la central. Esto supone que no se necesita un

modelo matemático elaborado a partir de ecuaciones para simular la dinámica de la

central. La salida de esta red es el dato que interesa controlar, es decir, el nivel del

agua. La estructura del controlador tiene las mismas entradas que en la formulación de

(Niimura and Yokoyama, 1995) y sus sentencias difusas son similares. En el estudio se

detallan los trabajos de entrenamiento y comprobación realizados en ambas redes

neuronales.

En (Fraile-Ardanuy, Pérez et alt., 2006) se plantea un control doble. Por un lado,

mediante un controlador PID, se controla el nivel del agua en la cámara de carga

mediante la acción del distribuidor de la turbina. Por otro una red neuronal manipula la

velocidad de la turbina para optimizar su rendimiento, es decir, se implanta la velocidad

variable como método para controlar.

Otra aportación del mismo grupo de trabajo relacionada con el control de nivel se

muestra en (Fraile-Ardanuy, Sarasúa et alt., 2007). En este trabajo se plantea un

modelo no lineal basado en una pequeña minicentral fluyente emplazada en el

laboratorio de Hidráulica de la E.T.S.I. de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M. en

Madrid. Esta minicentral que consta de azud, galería, chimenea, tubería y turbina

controla el nivel en el azud mediante la variación de la velocidad de giro de la turbina

(velocidad variable). El controlador que opera normalmente es un clásico PI. Los

autores estudian la implantación de la lógica difusa para mejorar el comportamiento del

controlador PI.

2.4.6 Controlador PID

Como se puede comprobar en el apartado donde se destallan los modelos de centrales

hidroeléctricas, el tipo de controlador que se utiliza en prácticamente todos los modelos

es el clásico PID. En algunos casos se omite la acción derivativa convirtiendo la acción

del controlador en la misma que ejerce un controlador mecano-hidráulico. A pesar del

tiempo transcurrido desde su diseño, su robustez y sencillez lo convierten en el

controlador más usado para controlar procesos industriales. En el trabajo de (Åström

and Hägglund, 2001) se analiza el futuro de este tipo de controlador. Se razona que la

versatilidad y la facilidad de implantación así como lo intuitiva que resulta su sintonía lo



convierten en un controlador apto y adecuado para múltiples usos en la actualidad. Se

concluye que las nuevas tecnologías como la lógica difusa o las redes neuronales

pueden ser una ayuda y un soporte para ampliar el rango de utilización del controlador

PID.

2.5 HIPÓTESIS DE PARTIDA Y METODOLOGÍA PROPUESTA PARA EL PRESENTE ESTUDIO

A partir de todo lo reflejado anteriormente y teniendo muy presente el alcance y el

ámbito de la presente tesis se seleccionan los planteamientos e hipótesis que, de entre

todos los estudiados, permitan cumplir con el objetivo inicial. Esta selección implica la

división del trabajo en dos grandes bloques: modelado y estudio de estabilidad.

1ª Fase: Elaboración del modelo de minicentral.

Se estudia la dinámica de la minicentral fluyente en sus tres variantes fundamentales:

en derivación con canal, a pie de presa y en derivación en presión. El control que se

plantea es el control de nivel en la cámara de carga en el primer caso y en el azud de

derivación en los otros dos. La dinámica de los elementos almacenadores de agua

(azud, cámara de carga y chimenea de equilibrio) resulta, por tanto, fundamental en el

modelo. Esto determina el horizonte temporal de las simulaciones y la frecuencia de los

fenómenos oscilatorios que aparecen durante las mismas, relacionadas con las

constantes temporales de los depósitos y de las conducciones. Es decir, en los tres

modelos estudiados resulta predominante la dinámica de los elementos hidráulicos de la

central y se plantea el estudio de un modelo en baja frecuencia. Aquellos componentes

cuyo comportamiento es mucho más rápido a penas son relevantes en estos casos por

lo que se omiten en los modelos. Es el caso del alternador o del servo que acciona el

distribuidor de la turbina.

La minicentral se supone conectada a una red de gran potencia, despreciándose la

dinámica del grupo turbina-generador, en general mucho más rápida que la del

subsistema hidráulico; ello implica que, dada la reducida inercia del grupo, la velocidad

de giro de la turbina viene impuesta por la frecuencia de la red.

Las conducciones forzadas de las minicentrales hidroeléctricas presentan en la mayor

parte de los casos longitudes moderadas. Esto conduce a omitir el comportamiento

elástico tanto del agua como de la tubería forzada. Por otro lado el rango de validez de

los modelos de central se limita a pequeñas desviaciones alrededor de un punto de

funcionamiento.



El controlador utilizado es el PID como en la gran mayoría de los modelos estudiados,

ignorando la ganancia derivativa. Esta configuración resulta ser adecuada en general.

Además hay que tener presente que las minicentrales normalmente no están concebidas

para operar en isla. Por tanto, dado que la componente derivativa puede ocasionar

inestabilidades no deseadas además de que aporta poco al control de nivel en el azud o

en la cámara, se toma la opción de no incluirla.

Por último, para reflejar el comportamiento del agua en lámina libre, en el modelo de

central con canal de derivación se utiliza el modelo desarrollado por Xavier Litrico que

parte de la división del canal en dos tramos (uniforme y remanso) y que estudia el

almacenamiento y el tránsito del agua en ambos tramos. Se conecta el modelo de canal

con el resto de central y se comprueba mediante otro modelo contrastado el correcto

funcionamiento.

2ª Fase: Estabilidad de la central.

La gran mayoría de los estudios de estabilidad y de ajuste de controladores parten de

un modelo lineal de central, por lo que se linealizan las ecuaciones que gobiernan el

modelo no lineal de central. Mediante simulaciones con el modelo no lineal se

comprueba que las respuestas a una pequeña perturbación de ambos modelos son muy

similares en las tres tipologías de central estudiadas.

Dentro del alcance de la tesis se incluye el estudio de la estabilidad de la minicentral en

su fase de diseño; en este ámbito, la teoría del control clásico se presenta como una

herramienta muy valiosa. Las ecuaciones de estado del modelo linealizado se escriben

en forma canónica, lo que permite la obtención de la matriz dinámica del sistema y su

polinomio característico. Mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz se

obtienen las regiones de estabilidad en función de determinados parámetros de diseño

de la central, como son las superficies de los elementos almacenadores, la longitud de

las conducciones o las ganancias del controlador.

Finalmente, la técnica del lugar raíces, propia del control clásico, se presenta como un

buen método para establecer una relación entre las ganancias del controlador y la

dinámica de la central. De esta forma sabiendo, qué tipo de respuesta se considera

adecuada para la central y relacionando la posición de los polos con las diferentes

ganancias, se establece un criterio de sintonía del controlador PI. El criterio se utiliza

para sintonizar las ganancias del modelo no lineal comprobando su idoneidad mediante

las correspondientes simulaciones.

CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y 3.1 CÁMARA DE CARGA


CAPÍTULO 3 Modelo de una minicentral fluyente con canal de

derivación y cámara de carga

3.1 INTRODUCCIÓN

Existen diferentes tipologías de minicentrales fluyentes. El objeto del presente capítulo

es el de estudiar analíticamente el comportamiento de los diferentes elementos que

componen una minicentral fluyente en derivación con canal y cámara de carga. Dado

que el estudio de la central se realiza desde el punto de vista analítico y bajo ciertas

condiciones es preciso realizar diferentes simplificaciones que permitan modelar cada

elemento de la central.

3.2 CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTECON CANAL DEDERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA


Una vez obtenidas las expresiones que gobiernan las dinámicas de cada componente se

elabora un modelo que permite reproducir con la mayor exactitud posible el

funcionamiento de la central. Por otro lado el modelo debe ser lo suficientemente

simplificado como para permitir el estudio de su estabilidad.

En este tipo de centrales el agua circula en lámina libre entre el azud de derivación y la

cámara de carga, desde la que parte la tubería forzada. Esto implica una complicación

desde el punto de vista analítico y desde el punto de vista funcional.

La exigencia necesaria para modelar un curso de agua en lámina libre es mucho mayor

que la requerida para simular el comportamiento de una conducción en presión. En el

primer caso es imprescindible la utilización de las ecuaciones de Saint-Venant

completas, que en lámina libre no presentan una solución inmediata. Por ello es

necesario linealizar dichas ecuaciones y establecer una matriz de transferencia que

relacione los caudales y calados en la embocadura y la desembocadura del canal.

A lo largo del capítulo se incluye la linealización propuesta así como la definición de la

matriz de transferencia necesaria para generar el diagrama de bloques que representa

el modelo lineal del canal. Como el estudio de la central se enfoca principalmente al

estudio de su estabilidad frente a una pequeña modificación de las condiciones iniciales

de equilibrio, la linealización del modelo de canal no falsea los resultados. Para

comprobar dicha afirmación se contrastan los resultados obtenidos con el modelo lineal

con los procedentes de una simulación mediante el programa informático MIKE11. En el

trabajo de (Clemens, Bautista et alt., 2005) se analiza el comportamiento de diferentes

programas informáticos que simulan un curso de agua en lámina libre entre los que se

encuentra el citado. Su valoración del programa propuesto es positiva a lo que se suma

su amplia difusión por lo que se considera adecuado para corroborar el modelo lineal

con función de transferencia.

La complicación funcional que supone la lámina libre frente a las conducciones en

presión se basa en el hecho de que, si bien las variaciones de caudal y calado se

transmiten aguas abajo del curso de agua aunque con cierto retardo, dichas variaciones

se propagan lentamente hacia aguas arriba y sólo alcanzan una determinada zona del

canal. Por tanto, una desviación de la cota del agua en la cámara de carga o del caudal

turbinado puede no afectar al caudal o al calado en la embocadura del canal y si se

produce la afección ésta no ocurre de manera inmediata. Este fenómeno se pone de

manifiesto claramente en las ecuaciones linealizadas que derivan en el modelo

propuesto.



El control que se propone en el presente estudio se resume en modificar la posición del

distribuidor (variable controladora) para mantener constante, no la velocidad del grupo,

sino el nivel de agua en el azud de derivación (variable controlada). De este modo,

manteniendo constante el nivel se consigue turbinar todo o parte del caudal procedente

del río. Como la potencia de la central es reducida y se supone conectada a una red de

gran potencia dicho control se supone posible.

Pero, suponiendo que se implanta el control propuesto, una variación en el caudal

procedente del río modifica el nivel del agua en el azud, lo que acciona el distribuidor de

la turbina y origina una modificación del caudal que parte de la cámara de carga. Esto

implica una variación del nivel en la cámara de carga que, como se demuestra a lo largo

del capítulo, puede no influir en el nivel del agua en el azud. Concretamente cuando el

canal presenta dos tramos diferenciados, el remanso y el uniforme, las variaciones del

nivel en el remanso no se transmiten aguas arriba del tramo uniforme por lo que no

llegan a la embocadura del canal. Cuando la curva de remanso ocupa toda la longitud

del canal, la variación del nivel en la cámara de carga sí condiciona el desagüe en la

embocadura del canal. Por tanto en una central con conducciones en lámina libre no es

posible controlar el nivel en el azud mediante la acción del distribuidor en todos los

casos.

Se propone el control del nivel en la cámara de carga a través del distribuidor de modo

que consiga turbinarse todo el caudal procedente del canal. Sería necesario introducir

un sistema de control del nivel del agua en el azud de derivación para conseguir

adecuar el caudal turbinado al caudal que circula por el río. Este control podría accionar

la posición del la compuerta (variable controladora) que comunica el canal y el azud

para mantener constante el nivel en el azud (variable controlada).

El control principal que determina el funcionamiento y la estabilidad de la central es el

efectuado por el movimiento del distribuidor. El control requerido en la compuerta del

azud implica únicamente la dinámica del propio azud. Por tanto, en el presente estudio

se plantea únicamente el modelo de central con el control del nivel en la cámara

manteniendo en todo momento la apertura de la compuerta aguas arriba del canal

constante.

Los principales componentes que forman parte del modelo de central fluyente con canal

y cámara de carga son los siguientes:

Azud de derivación: mediante un dique se forma un pequeño vaso en el que,

fundamentalmente, se remansa el agua para obtener un nivel casi constante. En



ocasiones, cuando el proyecto lo justifica, se produce una pequeña regulación

embalsando el agua procedente del río.

Compuerta: elemento que comunica el azud con la embocadura del canal.

Dependiendo del caudal a turbinar la compuerta se puede disponer de pared

delgada o tipo Taintor. En ambos casos el desagüe se produce bajo compuerta

existiendo una relación entre los niveles antes y después de la compuerta y el

caudal que circula a través de ella.

Canal de derivación: cauce abierto por el que el agua circula en lámina libre y

régimen lento. Dependiendo de la longitud, la pendiente de la solera y el nivel

del agua en la cámara de carga se aprecian en el canal dos tramos: un primer

tramo en el que el caudal circula en régimen uniforme y un segundo tramo

compuesto por una curva de remanso.

Cámara de carga: depósito o elemento almacenador cuya misión es la de

remansar el agua para que acceda a la tubería forzada sin ningún tipo de

turbulencia. Normalmente además asegura que ante una diferencia entre el

caudal aportado por el canal y el turbinado no se introduce aire en la tubería

forzada. Para ello debe tener un volumen suficiente para que, ante una

disminución brusca del caudal procedente del canal, se pueda accionar el

distribuidor en condiciones de seguridad y evitar el vaciado completo de la

cámara mientras se turbina el volumen acumulado en la propia cámara. En el

caso contrario, que la cámara aumente su nivel, se dispone en la cámara de un

aliviadero que evacua el exceso de agua para evitar que se desborde. En el caso

estudiado de central se evita tanto el vaciado como el desbordamiento de la

cámara dado que se controla el nivel del agua mediante el movimiento del


Tubería forzada: conducto en presión que comunica la cámara de carga con la

turbina.

Grupo turbina-generador: componente de la central que transforma la

energía del agua en energía mecánica de rotación en el eje inicialmente y en

energía eléctrica finalmente.

Regulador de turbina: elemento que modifica la posición del distribuidor de la

turbina para mantener el nivel de agua en la cámara de carga constante.

Dispone de dos componentes principales: un elemento de control para fijar la

consigna en función de las condiciones de funcionamiento y el dispositivo servo-



hidráulico que acciona el distribuidor. A los efectos de este estudio la dinámica

de estos componentes puede reducirse a la de un controlador tipo PI (Raabe,

1985), (Wilhelmi, 1997) ya que la respuesta del dispositivo servo-hidráulico es

en general suficientemente rápida.

En la primera parte del capítulo se estudian las ecuaciones de Saint-Venant, partiendo

de su obtención que se detalla en el Apéndice A. Como se ha comentado con

anterioridad, se plantea la linealización de las ecuaciones como solución frente a su

complejidad. Una vez linealizadas se compone la matriz de transferencia, que permite

expresar los calados en la embocadura y desembocadura del canal en función de los

caudales en dichos puntos en el dominio de frecuencias y en condiciones uniformes.

A continuación se divide el canal en dos tramos: uniforme y remanso aplicando los

coeficientes de la matriz de transferencia uniforme a cada tramo, suponiendo por tanto

dicho régimen en cada uno de ellos. Por último dado que la matriz de transferencia está

expresada en el dominio de frecuencias se estudian los coeficientes aplicados a altas y

bajas frecuencias.

Una vez realizado el estudio de la simulación de un curso de agua en lámina libre se

completa el modelo de central a partir del planteamiento de las ecuaciones diferenciales

que gobiernan el comportamiento físico de cada uno de los elementos que componen la

central. El modelo resultante se denomina Modelo completo.

Zc

X

Q

Turbina-tubería forzada

Qr

Zref

Zc

Zref

X

Controlador PI

Qr

Q

Zc

Conducciones

Figura 3.1 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara de carga



En ocasiones es aconsejable medioambientalmente mantener un caudal ecológico entre

el azud donde se sitúa la toma y el lugar donde se produce la descarga. Para lograr

dicho objetivo se dispone de un aliviadero o vertedero en la parte superior del cuerpo

del azud. De esta forma, se asegura un caudal ecológico. Por tanto, los modelos se

estudian considerando la acción del aliviadero u omitiéndola. Esto modifica

notablemente la dinámica que se desarrolla en el azud y la de toda la central por

extensión.

Las condiciones de funcionamiento de la central que enmarcan el alcance de las

simulaciones y los resultados a obtener, son pequeñas variaciones de las condiciones

iniciales de equilibrio a partir de la modificación de las variables de entrada del modelo:

caudal del río, nivel de referencia en la cámara de carga… A esta circunstancia cabe

añadir que otro de los propósitos de la de la elaboración del modelo de central es el

estudio de su estabilidad. Por ello se confecciona, a partir del denominado Modelo completo un Modelo lineal que simplifica la formulación de las ecuaciones que rigen

cada componente de la central a partir de su linealización y que elimina los elementos

de la central que no influyen en su estabilidad.

Zc

X

Qp

Turbina - tubería forzada Qc

Zref

Qp

Qc

Zc

Cámara de carga

Zc

Zref

X

Controlador PI

Figura 3.2 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de carga

Esto supone no incluir en el Modelo lineal todos los componentes de la central aguas

arriba de la cámara de carga, dado que la acción del controlador sobre el distribuidor no

modifica el caudal que aporta el azud al canal ni la dinámica del propio azud. Ambos

modelos deben comportarse de forma muy similar bajo pequeña perturbación a pesar



de que el Modelo completo incluye las no linealidades como por ejemplo las de las

pérdidas de carga en la tubería forzada que depende del cuadrado del caudal.

En ambos modelos se ha considerado la aproximación de “columna de agua rígida”

(Jiménez O.F. and Chaudry, 1987) dado que el parámetro de Allievi tanto en la tubería

forzada como en la galería en presión es mayor uno.

12

>=gHaVϕ (3.1)

Además de lo dicho anteriormente existen otras dos simplificaciones que se han

aplicado a los dos modelos y que no falsean los resultados obtenidos. Una de ellas es

suponer despreciable temporalmente la dinámica del mecanismo hidráulico del

distribuidor de la turbina. La otra es realizar la misma simplificación en el alternador de

modo que los modelos suponen instantánea la conversión de energía mecánica

procedente de la turbina en energía eléctrica realizada en el alternador. No se incluye

por tanto en el modelo la inercia del rotor del alternador cuya dinámica se desarrolla en

una escala temporal mucho más pequeña que el de la central completa.

En resumen, el presente capítulo elabora un modelo que simula el comportamiento de

una central fluyente con canal de derivación y cámara de carga con control de nivel en

la cámara. Para ello se estudia el comportamiento del un fluido que circula en lámina

libre así como el de los diferentes componentes de la central. Las ecuaciones obtenidas

sirven para elaborar los diagramas de bloques en el entorno de programación MATLAB

que conectados entre sí configuran el Modelo completo de central. Con vistas al

posterior estudio de la estabilidad de la central y partiendo del Modelo completo se

determina el denominado Modelo lineal. Mediante la correspondiente simulación se

aprecia la similitud de ambos modelos lo que permite extrapolar las conclusiones sobre

la estabilidad del Modelo lineal al Modelo completo.

3.2 MODELACIÓN DE UN CURSO DE AGUA EN LÁMINA LIBRE

Las ecuaciones que rigen el comportamiento de un fluido son las ecuaciones de Saint-

Venant cuya formulación se demuestran en el Apéndice A. La complejidad de dichas

ecuaciones aplicadas a un canal en lámina libre en régimen variable en el tiempo y

variado en el espacio es considerable. Por tanto se plantea la linealización de las

ecuaciones para modelar el flujo del agua en el canal de derivación.



3.2.1 Ecuaciones de Saint-Venat linealizadas

Partimos de las ecuaciones de Saint-Venant:

lqxQ

tYT =

∂∂

+∂∂

(3.2)

02 34

22

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂ A

xYSg

ARgnQ

xYT

AQ

xQ

AQ

tQ c (3.3)

Que linealizadas:

00 =∂Δ∂

+∂Δ∂

xq

tyT (3.4)

( ) 02 0002

02

00 =Δ−Δ−∂Δ∂

−+∂Δ∂

+∂Δ∂ yq

xyTVc

xqV

tq γβ (3.5)

Siendo

0YYy −=Δ 0QQq −=Δ (3.6)

( )rVgS

−−= 12

00β (3.7)

SxY

r ∂∂

=

0

(3.8)

( )( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−++

∂∂

= 211 200

0200 ooo CFrCrCSgT

xT

Vγ (3.9)

YR

TPCo ∂∂

+= 0

0

0

341 (3.10)

El régimen permanente queda definido por la expresión

01 2

0

00 =−−

=FrIS

dxdY

(3.11)

Se supone que el número de Froude es menor que uno, es decir que el agua en el canal

circula en régimen lento en todo momento y lugar. La pérdida de energía por

rozamiento con el cauce se valora mediante la expresión de Mannig-Strickler:



340

20

220

0 RAnQ

I c= (3.12)

3.2.2 Matriz de transferencia

Las entradas al modelo son las variaciones de los caudales tanto aguas arriba como

aguas abajo del canal

( ) ( )tqtu ,01 Δ= ( ) ( )tLqtu ,2 Δ= (3.13)

y las variables obtenidas las variaciones de los calados en ambos puntos.

( ) ( )tyty ,01 Δ= ( ) ( )tLyty ,2 Δ= (3.14)

De esta forma la matriz de transferencia que sirve para relacionar las entradas y las

salidas resulta de 2 x 2.

( ) ( ) ( ) 0,,00 =∂

Δ∂+Δ⋅⋅=

∂Δ∂

+∂Δ∂

xsxqsxysxT

xq

tyT (3.15)

( ) ( ) ( )sxysxTx

sxq ,,0 Δ⋅⋅−=

∂Δ∂

(3.16)

( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0,,2,

2

02

02

0

0000

0002

02

00

=∂

Δ∂−+

+Δ⋅+−Δ⋅−

=Δ−Δ−∂Δ∂

−+∂Δ∂

+∂Δ∂

xsxyxTxVxC

sxysxTxVxsxqxs

yqxyTVC

xqV

tq

γβ

γβ

(3.17)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )sxyxTxVxcxsxTxV

sxqxTxVxc

xsx

sxy

,2

,,

02

02

0

000

02

02

0

0

Δ−

+⋅+

+Δ−

+−=

∂Δ∂

γ

β

(3.18)

Expresado de forma matricial:

( )( ) ( ) ( )

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

∂∂

sxysxq

xAsxysxq

x s ,,

,,

(3.19)

Siendo As(x)



( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+⋅

−

+−⋅

=xTxVxcxsxTxV

xTxVxcxs

sxTxAs

02

02

0

000

02

02

0

0

02

0γβ (3.20)

Si el régimen fuera uniforme la matriz sería constante y la solución se podría plantear

de la siguiente forma:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ΔΔ

sLqsq

sLpsLpsLpsLp

sLysy

,,0

,,,,

,,0

2221

1211 (3.21)

Siendo

( ) ( )LL

LL

eesTeesLp

12

21

0

1211 , λλ

λλ λλ−

−= (3.22)

( ) ( )LL eesTsLp

120

2112 , λλ

λλ−

−= (3.23)

( ) ( ) ( )

( )LL

L

eesTesLp

12

21

0

2121 , λλ

λλλλ−

−=

+

(3.24)

( ) ( )LL

LL

eesTeesLp

12

21

0

2122 , λλ

λλ λλ−

−= (3.25)

Donde:

( ) ( )[ ]( )2

0200

20

20

2000000

220

20000

2,1 2442

VCTsVCTVTsTCsVT

s−

+−−+±+=

γβγγλ (3.26)

Un curso de agua en lámina libre, ya sea un canal o un río normalmente, no desarrolla

el régimen uniforme. La solución propuesta para el régimen uniforme se puede aplicar a

un caso genérico dividiendo el tramo total en diferentes subtramos en los que se pueda

aplicar el régimen uniforme. De esta forma se calculan tantas matrices constantes como

subtramos se hayan obtenido conectando cada uno de los subtramos entre sí. Cuanto

mayor sea el número de divisiones que se efectúen en el curso original de agua mejor

será la aproximación al comportamiento real del agua.

3.2.3 División del canal en dos tramos; uniforme y remanso

Dado que lo que se pretende modelar es un canal con pendiente constante se plantea la

división en dos tramos únicamente. En la Figura 3.3 se refleja dicha división en el tramo

uniforme y el remanso.



Figura 3.3 División del canal en dos tramos

Para poder efectuar la partición se plantean dos hipótesis:

La curva de remanso se puede representar mediante una línea recta

La matriz de transferencia de ambos tramos se aproxima tanto en bajas como en

altas frecuencias utilizando el tiempo de retardo en cada uno de ellos.

Para realizar la división propuesta se supone que:

La superficie del agua en el tramo uniforme es paralela a la solera

La superficie del agua en el remanso se representa mediante una línea recta

tangente a la línea de energía del remanso real en el punto x = L, es decir, al

final del canal.

( )( ) 0

1 20

0 =−−

=LFrLIS

I L (3.27)

La intersección entre ambas rectas sucede en la abscisa l1:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−= 0,max1L

nL

IYY

Ll si SL ≠0 (3.28)

Ll =1 si SL =0 (3.29)

En el caso de que l1 sea cero no hay remanso mientras que si l1 es igual a L el remanso

ocupa todo el canal.

De esta forma el calado Y puede expresarse

Tramo uniforme Tramo de remanso



[ ]( ) [ ]⎩

⎨⎧

∈⇒−+∈⇒

=LlxIlxY

lxYxY

,,0

)(111

11 (3.30)

Con

nYY =1 si l1 ≠0 (3.31)

LL LIYY −=1 si l1 =0 (3.32)

Los coeficientes pij del tramo uniforme, denominados ijp se obtienen de las expresiones

(3.22), (3.23), (3.24) y (3.25) dando a x el valor de l1.

Los coeficientes pij del remanso, denominados ijp se obtienen aplicando las mismas

expresiones dado a x un valor l2 que pertenece al intervalo [ ]Ll ,1 . Aplicando los

polinomios de Taylor a la matriz As(x) alrededor del punto l2 se determina el valor de l2 para minimizar el efecto del término de primer orden. Aplicando dicho criterio resulta:

21

2Lll +

= (3.33)

De esta forma conectando las dos matrices As(l1) y As(l2) correspondientes a los dos

tramos se obtienen los coeficientes Pij de la matriz que modela el canal completo:

2211

21121111 ˆ

ˆˆˆpp

pppp−

+= (3.34)

2211

121212 ˆ

ˆpp

ppp−

−= (3.35)

2211

122121 ˆ

ˆpp

ppp−

= (3.36)

2211

21122222 pp

pppp−

+= (3.37)

3.2.4 Estudio del modelo en función del dominio de frecuencias

Una vez establecida la conexión entre los dos tramos (uniforme y remanso) se plantea

la aproximación de la respuesta de la matriz de transferencia en función del dominio de

frecuencia: baja o alta.



3.2.4.a Estudio de baja frecuencia

Cuando se considera la baja frecuencia, la matriz de transferencia queda dominada por

la influencia del elemento integrador y del retardo. Así, la relación entre el caudal aguas

abajo y el nivel aguas arriba se puede considerar un integrador que actúa con un

retardo y cuya ganancia es la variación de volumen con respecto a la variación del nivel

aguas abajo. La situación es simétrica respecto al nivel aguas arriba. El integrador, dado

que tiene unidades de área se puede denominar “área equivalente de almacenamiento”.

Las variables (integrador y retardo) que hacen alusión al nivel aguas arriba tienen el

subíndice u mientras que las variables que se refieren al nivel aguas abajo mantienen el

subíndice d.

Para un tramo con nivel constante de agua y en baja frecuencia los coeficientes de la

matriz de transferencia responden a las siguientes expresiones:

( )sA

spu

111 =° (3.38)

( )sA

espu

suτ−

° −=12 (3.39)

( )sA

espd

sdτ−

° −=21 (3.40)

( )sA

spd

122 =° (3.41)

Para reflejar el comportamiento de los dos tramos unidos (uniforme y remanso) y tras

aplicar las condiciones de conexión reflejadas en las expresiones (3.38), (3.39), (3.40) y

(3.41), se obtienen las siguientes expresiones de retardos y las áreas:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

u

ddd A

AAAˆ

1 (3.42)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

d

uuu A

AAA ˆ1ˆ (3.43)

ddd τττ += ˆ (3.44)

uuu τττ += ˆ (3.45)



Los retardos τ y las áreas equivalentes A se obtienen a partir de las siguientes

expresiones sustituyendo el valor de x por l1 para obtener los valores referentes al

tramo uniforme (τ y A ) y por l2 para el remanso (τ y A ).

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−= −

− xVcT

d eVcT

A2

0200

0

10

20

20

20

γ

γ (3.46)

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−= − 1

20

200

0

0

20

20

20

xVcT

u eVcT

Aγ

γ (3.47)

00 Vcx

d +=τ (3.48)

00 Vcx

u −=τ (3.49)

3.2.4.b Estudio de alta frecuencia

Cuando se realiza una aproximación de la matriz de transferencia considerando altas

frecuencias su comportamiento queda determinado en este caso por el retardo y las

ondas de gravedad. No es sencillo obtener una simplificación del fenómeno oscilatorio

asociado a las ondas de gravedad. Para simplificar dicho fenómeno se considera un

valor medio y se supone el comportamiento estático.

Los coeficientes que caracterizan la matriz de transferencia simplificada en altas

frecuencias resultan:

( ) ∞∞ = 1111 psp (3.50)

( ) suepsp τ−∞∞ −= 1212 (3.51)

( ) sdepsp τ−∞∞ = 1221 (3.52)

( ) ∞∞ −= 2222 psp (3.53)

En este caso también es necesario introducir el comportamiento de los dos tramos en

que queda dividido el canal:

∞∞

∞∞∞∞ −+=

2211

21121111 ˆ

ˆˆˆpp

pppp (3.54)



∞∞

∞∞∞ −

−=2211

121212 ˆ

ˆpp

ppp (3.55)

∞∞

∞∞∞ −=

2211

122121 ˆ

ˆpp

ppp (3.56)

∞∞

∞∞∞∞ −+=

2211

21122222 pp

pppp (3.57)

Siendo los coeficientes ∞ijp para cada tramo:

( ) x

x

e

eFF

FcTp δ

δ

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+

−=∞ 1

11

1

11

2

0

0

00011 (3.58)

( )( )

x

xVcT

ee

FcTp

δ

γ

+−=

−−

∞11

22

0200

0

2

2000

12 (3.59)

( )( )

x

xVcT

ee

FcTp

δ

γ

+−=

−

∞11

22

0200

0

2

2000

21 (3.60)

( ) x

x

e

eFF

FcTp δ

δ

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+

+=∞ 1

11

1

11

2

0

0

00022 (3.61)

En el tramo uniforme x = l1 y:

( )( )( )2

000

200

112FFA

IFCT o

−−+

=δ (3.62)

En el tramo uniforme x = l2 y:

( )

( )( )

( ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−+−

−−+

−=

Loo

o

IFCdYdT

TA

FC

SFC

FFAT

40

02

0

020

20

2000

0

212

12

1δ (3.63)



3.2.5 Modelo completo

Para establecer la matriz de transferencia completa se suman los coeficientes obtenidos

para bajas y altas frecuencias. De este modo, en dichos coeficientes se engloban por un

lado los dos tramos (uniforme y remanso) y por otro el estudio de todas las frecuencias.

( ) ( ) ( ) ∞∞° +=+= 111111111 p

sAspspsP

u

(3.64)

( ) ( ) ( ) s

u

uepsA

spspsP τ−∞∞° ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+= 12121212

1 (3.65)

( ) ( ) ( ) s

d

depsA

spspsP τ−∞∞° ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= 21212121

1 (3.66)

( ) ( ) ( ) ∞∞° −−=+= 222222221 p

sAspspsP

d

(3.67)

3.3 MODELO DE CENTRAL COMPLETO

La representación de una minicentral fluyente con canal de derivación y cámara de

carga se efectúa mediante diagramas de bloques interconectados. Las variables de

entrada al sistema compuesto por los bloques son por un lado el caudal aportado por el

río y por otro el nivel de referencia que se determine como constante en la cámara de

carga.

Para simplificar su estudio y elaboración se divide el modelo inicial en tres bloques

independientes. La turbina y la tubería forzada que mantienen dinámicas similares se

agrupan en el bloque Turbina-tubería forzada.

El bloque Conducciones agrupa a todos los elementos de la central que se encuentran

entre el río y la tubería forzada. Éstos son, desde aguas arriba, el azud, la compuerta en

la embocadura del canal, el propio canal y la cámara de carga.

La labor del controlador es la determinación de la posición del distribuidor de la turbina

para mantener el nivel constante en la cámara de carga la realiza un controlador PI. El

diagrama de bloques que lo simula se denomina Controlador PI.



Zc

X

Q


Qr

Zref

Zc

Zref

X

Controlador PI

Qr

Q

Zc

Conducciones

Figura 3.4 Diagrama de bloques del modelo de central con canal de derivación y cámara de carga

3.3.1 Turbina-Tubería forzada

En la Figura 3.5 se muestra el diagrama de bloques correspondiente a la turbina y la

tubería forzada.

1Q

Q

X

H

Turbina

H

Zc

Q

Tubería Forzada

2Zc

1X

Figura 3.5 Diagrama de bloques del conjunto turbina-tubería forzada

El sistema tiene como entradas la posición del distribuidor determinada por el

controlador PI (X) y el nivel del agua tomado en la cámara de carga (Zc) procedente del

bloque de Conducciones.

La salida del sistema es el caudal turbinado en cada momento (Q) que coincide con el

caudal que circula por la tubería forzada. La dinámica de dicha tubería es muy rápida

por lo que se supone coincidente el caudal turbinado con el que circula por la tubería.



Se genera una variable interna H, el salto neto turbinado que conecta los dos bloques

del sistema.

3.3.1.a Turbina

El funcionamiento de una turbina y las relaciones entre las variables que determinan su

comportamiento se reflejan en la colina de rendimientos. Un ejemplo de colina de

rendimientos se muestra en la Figura 3.6. (Vallarino & Cuesta, 2000) correspondiente a

una turbina Francis. Dichas colinas están referenciadas a velocidad y caudal unitarios

(3.68) que permiten adaptar el gráfico a turbinas semejantes de la serie.

HDNN ⋅=1

HDQQ

⋅⋅=

211

(3.68)

De este modo conociendo el diámetro del rodete de la turbina D, se puede conocer su

comportamiento.

Figura 3.6 Colina de rendimientos

Dado que el modelo es matemático es necesario concretar las expresiones analíticas de

las colinas de rendimientos que permiten obtener el caudal turbinado Q y el par

mecánico de la turbina C a partir del salto neto H, la velocidad de giro del grupo N y la

posición del distribuidor X. Estas expresiones teóricamente se corresponden con la



conservación de la cantidad de movimiento o ecuación de Euler y la de la conservación

de la energía. Genéricamente se pueden expresar:

( )XNHfQ Q ,,= ( )XNHfM Cc ,,= (3.69)

El modelo de minicentral fluyente que se plantea en el presente estudio tiene por objeto

el estudio del control y la estabilidad de la minicentral cuando opera en un punto de

funcionamiento y se producen pequeñas perturbaciones en las condiciones de

operación. En dicho entorno de trabajo, dado que la formulación matemática de las

expresiones (3.69) que se traducen en la colina de rendimiento de la turbina presenta

cierta dificultad, se opta por su linealización tanto en las simulaciones como en el

estudio de estabilidad.

Linealizando las ecuaciones (3.69) en el entorno del punto de equilibrio inicial resultan

las siguientes expresiones en valores por unidad:

τ131211 bnbhbq ++= τ232221 bnbhbmc ++= (3.70)

donde los coeficientes bij vienen definidos por las pendientes de las correspondientes

curvas características o de rendimientos.

El control que se plantea en una minicentral fluyente es mantener un nivel de agua en

la cámara de carga a fin de turbinar el máximo caudal procedente del canal. Esto

implica que la potencia y por tanto el par mecánico generados por la turbina no son

necesarios en el presente modelo, ya que la red a la que está conectada la central

absorbería las variaciones de potencia generada.

De esta forma se puede asegurar que la gran inercia de todo el sistema eléctrico

mantenga constante la velocidad de giro de los grupos de la minicentral (n=0).

Teniendo en cuenta estas dos apreciaciones se puede concluir que la ecuación que

representa el comportamiento de la turbina en un modelo de pequeña perturbación es

la siguiente:

τ1311 bhbq += (3.71)

Según se aprecia en la Figura 3.5 el bloque de la Turbina tiene como entradas la

posición del distribuidor (X) y el caudal a turbinado (Q) mientras que la salida que se

precisa del bloque es el salto neto (H) todos ellos en valores absolutos. Partiendo de la

expresión (3.71) se obtiene la siguiente ecuación que permite obtener la variación del



salto en función de los cambios en el caudal y la posición del distribuidor en valores por

unidad:

τ11

13

11

1bbq

bh −= (3.72)

El modelo ha sido concebido para que en un principio las variables sean tratadas en

valores absolutos, por tanto, para utilizar la ecuación (3.72) es necesario pasar a

valores por unidad tanto las variables de entrada en el bloque (Q y X) como la de salida

(H). En la Figura 3.7 que se muestra a continuación se presenta el diagrama de bloques

resultante que refleja el comportamiento linealizado de una turbina alrededor de un

punto inicial de funcionamiento.

q

Tau

h

1H

h0

b13/b11

1/b11

q0

q0

alfa0

alfa0

1/Xb

Hb

1/Qb

2X

1Q

Figura 3.7 Diagrama de bloques del modelo de Turbina

Observando el diagrama de bloques se comprueba que es necesario obtener

únicamente los valores de los coeficientes b11 y b13 para definir completamente la

turbina.

Partiendo de las curvas características o colinas de rendimientos como las que se

muestran en la Figura 3.6 se plantea la determinación de los coeficientes b11 y b13.

Obtención de b11

El coeficiente b11 en valores por unidad representa la variación de caudal frente a la del

salto cuando la velocidad y la posición del distribuidor son constantes:

b

b

QH

HQb ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=11 (3.73)



Sabiendo que:

HDQQ

21

1 = H

NDN 11 = (3.74)

se obtiene:

( )

b

b

b

b

b

b

QH

HDQ

HQHD

QH

HHDQ

HQHD

QH

HHDQb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂

∂=

2

21112

1

211

121

211

11

(3.75)

Por otro lado:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

31

21

21

1

21

21

2

1

1

1

1

1 2N

DNHQ

NN

DN

HQ

NH

HQ

NQ

(3.76)

Por lo que:

21

2

31

1

11

2 DNN

NQ

HQ

∂∂

−=∂∂

(3.77)

Finalmente se puede escribir:

b

b

QH

NQ

NHN

HDQb ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=1

12

31

211

11 22 (3.78)

La variación de caudal unitario respecto de la velocidad unitaria es la pendiente de la

curva de apertura de distribuidor constante, que en el entorno del punto de

funcionamiento se considera tramo recto.

Obtención de b13

El coeficiente b13 representa la variación de caudal frente a la posición del distribuidor,

suponiendo el salto y la velocidad del grupo constantes.

( ) ( )b

b

b

b

b

b

QX

XQ

QHDQ

QX

XHDQ

QX

XQb

∂∂

∂∂

=∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= 1

1

211

211

13 (3.79)

Lo que resulta:



b

b

QX

XQHDb∂∂

= 12113 (3.80)

Para calcular la variación de caudal unitario respecto de la apertura del distribuidor se

considera que dicha variación mantiene el valor del salto neto constante. Esto permite

obtener dicho valor mediante la pendiente de la curva procedente de las colinas de

rendimientos cortadas con el plano de velocidad unitaria N1 constante.

3.3.1.b Tubería forzada

La ecuación que rige el comportamiento de la tubería forzada es la que permite evaluar

las pérdidas de carga que se producen a lo largo del conducto (Osuna, 1978).

ZZQQKdt

dQAg

Lcpprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(3.81)

El coeficiente que cuantifica las pérdidas Krp se obtiene utilizando la fórmula de Manning

que aplicada a secciones circulares resulta:

( )( ) p

p

prp L

Dn

K 333,5

229,10= (3.82)

Para simplificar la expresión se determina el parámetro Fp:

p

pp Ag

LF

⋅= (3.83)

La diferencia de presiones entre los dos extremos de la tubería forzada son las entradas

en el bloque. Es necesario añadir al salto neto procedente de la turbina (H) la cota de la

descarga (Zdesc) para trabajar en cotas absolutas y poder compararla con la cota de

cámara de carga (Zc).

La cota de descarga es un dato de referencia que se mantiene constante

independientemente del punto de operación de la central. En el caso de que la cota

varíe en distintas situaciones de funcionamiento se incluyen dichas variaciones en las

pérdidas de la turbina.

desccc ZHZ += descZHZ += (3.84)

De esta forma la ecuación resultante (3.85) se modela según el diagrama de bloques de

la Figura 3.8.



( )[ ] pprpp

desccp QQK

FZHZ

dtdQ

⋅⋅−+−=1

(3.85)

1Q

Krp

1s

Zdesc

1/Fp

2Zc

1

H

Figura 3.8 Diagrama de bloques del modelo de Tubería forzada

Otra forma de enunciar la ecuación de la dinámica de la tubería forzada que se utilizará

en el estudio de la estabilidad de la central se muestra a continuación:

HHQQKdt

dQAg

Lspprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(3.86)

3.3.2 Conducciones

La figura Figura 3.9 muestra el diagrama de bloques del sistema compuesto por las

conducciones. Está compuesto de cuatro subsistemas a su vez correspondientes a cada

uno de los elementos que lo componen: Cámara de carga, canal, compuerta y azud.

Las variables de entrada al bloque son el caudal que aporta el río al azud (Qr), variable

de entrada al sistema de central completo, y el caudal que se introduce en la tubería

forzada y que se turbina (Q) procedente del sistema Turbina-tubería forzada.

En cada bloque se generan variables internas que sirven para interconectarlos. De esta

la cámara de carga aporta el nivel del agua (Zc) y recibe el caudal aportado por el canal

a la cámara (Qc).

Las variables de entrada en el canal son el nivel en la cámara (Zc) y el caudal que pasa

por la compuerta (Qm) que separa el azud del canal, mientras que las variables

generadas en dicho bloque son el caudal aportado a la cámara (Qc) y el nivel del agua

aguas abajo de la compuerta (Zm).



La compuerta determina el caudal que pasa a través de ella (Qm) a partir de los niveles

aguas abajo y aguas arriba de la misma (Zm) y (Zf).

Por último, el azud recibe el caudal procedente del río (Qr) y el caudal que se deriva

hacia la central (Qm) para obtener el nivel de la lámina de agua (Zf).

1

Zc

Qc

QZc

Cámara de carga

Zf

ZmQm

Compuerta

Zc

Qm

Qc

Zm

Canal

Qr

Qm

Zf

Azud

2Qr

1Q

Figura 3.9 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones

3.3.2.a Cámara de carga

La cámara de carga básicamente se compone de un depósito de dimensiones suficientes

para remansar el agua procedente de canal. De esta forma se limita la turbulencia del

agua que se introduce en la cámara de carga.

La cámara de carga es un elemento de seguridad frente a las diferencias de caudales

entre el que aporta el canal y el que se turbina. De modo que en condiciones de

equilibrio ambos caudales son idénticos pero durante la operación de la central la

cámara de carga permite almacenar ciertos excesos de caudal procedentes del canal y

evitar que entre aire en la tubería forzada cuando el caudal turbinado es superior al que

llega a través del canal.

Por tanto la ecuación que rige el comportamiento de la cámara establece un balance de

caudales entrante (Qc) y saliente (Qp) y determina la variación del nivel del agua en la

cámara (Zc) provocada por la diferencia de los caudales.

pcc

c QQdt

dZA −= (3.87)

El diagrama de bloques que representa la ecuación (3.87) se muestra en la Figura 3.10.



1Zc

1s

1/Ac

2Q

1Qc

Figura 3.10 Diagrama de bloques del modelo de Cámara de carga

En el estudio de estabilidad de la central se precisa la ecuación de la cámara con las

alturas relativas. Dado que la cota de la descarga es constante, independientemente del

punto de operación de la central, se puede escribir:

desccc ZHZ += 0=dt

dZdesc (3.88)

pcc

c QQdt

dHA −= (3.89)

3.3.2.b Canal

Según lo expuesto en el apartado 3.2 el modelo lineal de canal expresado en el dominio

de frecuencia se puede simular mediante las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )LqsPqsPy Δ⋅+Δ⋅=Δ 1211 00 (3.90)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )LqsPqsPXy Δ⋅+Δ⋅=Δ 2221 0 (3.91)

Como se puede comprobar en la Figura 3.9, en el modelo de central propuesto las

entradas y salidas del bloque Canal no coinciden con las supuestas anteriormente. En el

caso de la central modelada se conoce el caudal procedente del azud de derivación que

llega al canal a través de la compuerta y el calado del agua en la cámara de carga, es

decir en la desembocadura del canal. Los datos que se precisan son el caudal que

aporta el canal a la cámara de carga y calado en la embocadura del canal, aguas abajo

de la compuerta. Siguiendo estas premisas se reordenan las ecuaciones (3.90) y (3.91)

de modo que permitan simular el canal según el modelo propuesto.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )01

22

21

22

qsPsPLy

sPLq Δ⋅−Δ⋅=Δ (3.92)



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )LysPsP

qsP

sPsPsPy Δ⋅+Δ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ

22

12

22

211211 00 (3.93)

De esta forma el diagrama de bloques resultante que refleja el comportamiento de la

dinámica de un canal en lámina libre se recoge en la Figura 3.11.

Delta q

Delta y

Ym

Yc

2Zm

1Qc

Ym0

Qb

Qb

P12

P21

P11

1

Zcom

Zcam

Yc01

P22

-P21

P22

-P12*P21

P22

2Qm

1Zc

Figura 3.11 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación

Es necesario desarrollar las diferentes funciones de transferencia resultantes de los

coeficientes Pij(s) para poder introducirlas como diagrama de bloques en el modelo de

canal. A continuación se muestran dichos desarrollos acompañados de las funciones de

transferencia resultantes expresadas en forma de bloque.

Desarrollo del coeficiente –P21(s)/P22(s)

( )( )

d

d

e

sAspA

sAspA

psA

epsA

sPsP

d

d

d

d

d

d τ

τ

−

∞

∞

∞

−∞

⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

=−

⋅−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅−=−

22

21

22

21

22

21

1

1

1

1

(3.94)

( )( )

despAspA

sPsP

d

d τ−

∞

∞ ⋅⋅⋅+⋅⋅+

=−22

12

22

21

11

(3.95)



1Out1

exp(-Tau_d·s)

Ad*p21.s+1

Ad*p22.s+11

In1

Figura 3.12 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente –P21(s)/P22(s)

Desarrollo del coeficiente –P12(s)P21(s)/P22(s)

( ) ( )( )

( ) s

d

d

d

d

u

u

d

s

d

s

u

dd

du

e

sAspA

sAspA

sAspA

psA

epsA

epsA

sPsPsP

⋅+−

∞

∞∞

∞

⋅−∞

⋅−∞

⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅+

−=

=−

⋅−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅−

−=−

ττ

ττ

22

2112

22

2112

22

2112

1

11

1

11

(3.96)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) s

udu

dudu

s

ud

du

dd

dd

espAAsA

sppAAspApA

esAspA

spAspAsP

sPsP

⋅+−

∞

∞∞∞∞

⋅+−

∞

∞∞

⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+−

=⋅⋅⋅⋅+

⋅⋅+⋅⋅⋅+−=−

ττ

ττ

222

212212112

22

2112

22

2112

1

111

(3.97)

1Out1

exp(-Tau_d·s -Tau_u·s)

Au*Ad*p12*p21.s +Ad*p21+Au*p12.s+12

Au*Ad*p22.s +Au.s21In1

Figura 3.13 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente –P12(s)·P21(s)/P22(s)

Desarrollo del coeficiente P11(s)/1

( )sA

spApsA

sP

u

u

u ⋅⋅⋅+

=+⋅

= ∞∞

1111

11 111

(3.98)



1Out1

Au*p11.s+1

Au.s1

In1

Figura 3.14 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente P11(s)/1

Desarrollo del coeficiente P12(s)/P22(s)

( )( )

s

d

d

u

u

d

u u

u

e

sAspA

sAspA

psA

epsA

sPsP ⋅−

∞

∞

∞

−∞

⋅

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅+

=−

⋅−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅−

= τ

τ

22

12

22

12

22

12

1

1

1

1

(3.99)

( )( )

( )( )

s

duu

duds

ud

du uu espAAAspAAAe

sAspAsAspA

sPsP ⋅−

∞

∞⋅−

∞

∞ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

= ττ

22

12

22

12

22

12

11

(3.100)

1Out1

exp(-Tau_u·s)

Ad*Au*p12.s+Ad

Au*Ad*p22.s+Au1

In1

Figura 3.15 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente P12(s)/P22(s)

Desarrollo del coeficiente 1/P22(s)

( ) spAsA

psA

sP d

d

d

⋅⋅+⋅

−=−

⋅−

=∞

∞22

2222 11

11 (3.101)

1Out1

-Ads

Ad*p22.s+11

In1

Figura 3.16 Diagrama de bloques del modelo de Canal de derivación, Coeficiente 1/P22(s)



3.3.2.c Validación del modelo lineal de canal. Simulación mediante MIKE11

Una vez elaborado el modelo de canal mediante MATLAB se modela el canal mediante

un software hidráulico que presente la suficiente garantía para poder validar los

resultados obtenidos con la hipótesis y aproximación de Litrico.

El programa seleccionado es el desarrollado por DHI Water & Environment denominado

MIKE 11. Dicho programa tiene su aplicación en la modelación de tramos fluviales o

canales incluyendo el régimen variable (variación de caudales en el tiempo) en sus

aplicaciones así como el transporte de sedimentos.

Dado que el canal es de sección constante y que la información importante se concentra

en las secciones de los extremos se considera válido como herramienta de calibrado y

contrastado del modelo desarrollado con MATLAB.

Para establecer una comparación entre ambos modelos de canal es necesario partir de

un canal con una geometría y condiciones de contorno definidas. El modelo de central

que se presenta en este capítulo tiene como punto de partida los estudios realizados en

el Departamento de Hidráulica y Energética de la Escuela de Caminos, Canales y

Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. Uno de los resultados obtenidos es un

modelo de turbina con velocidad variable que ha sido adaptado a las necesidades del

presente trabajo. Por tanto se toma como caudal que circula por el canal el caudal de

diseño de la central mencionada.

En la siguiente tabla se muestran la geometría y los valores de partida necesarios para

definir el modelo de canal. Se plantea un canal rectangular de sección constante que

garantice el régimen lento en toda su longitud.

Tabla 3.1 Valores numéricos del canal

El modelo lineal queda definido por los coeficientes Pij(s) que determinan sus funciones

de transferencia. Según lo reflejado en las expresiones (3.64), (3.65), (3.66) y (3.67) se

obtienen los parámetros que definen el comportamiento del agua en el canal. Se

plantea tanto la división en dos tramos (uniforme y remanso) como el estudio en baja y

alta frecuencia.

Características del canal

Caudal Q(m3/s) 14,40 Calado en cámara (m) 3,00

Longitud (m) 5.000 Manning nc 0,014

Anchura (m) 3,50 Pendiente S 0,0015



Tabla 3.2 Parámetros del modelo de canal lineal

El modelo elaborado con el programa MIKE11 está compuesto por 16 secciones

rectangulares de 3,50 m de anchura de solera. El calado en régimen uniforme es 1,656

m mientras que, como se refleja en la Tabla 3.1, el calado del agua en la cámara de

carga es de 3,00 m lo que provoca que se produzca una curva de remanso hacia aguas

arriba según el régimen lento.

En la Figura 3.17 se observa el perfil longitudinal del canal modelado mediante MIKE11

cuando circula por él un caudal constante de 14,40 m3/s.

Figura 3.17 Perfil longitudinal del canal modelado por MIKE11

División en tramos del modelo lineal

l1 (m) 3.932 l2 (m) 4465

Parámetros del modelo lineal

dτ (s) 766 ∞11p 0,189874081

uτ (s) 2.872 ∞12p 1,49917E-09

Ad (m2) 2.966 ∞21p 0,009349009

Au (m2) 28.268.155.621 ∞22p 0,087518882



Para comprobar la correspondencia entre los dos modelos se plantean dos simulaciones

en las que se hace variar cada una de las variables que actúan como condiciones de

contorno:

Disminución del 10% de caudal que circula por el canal en un tiempo de 300 s.

Disminución de 10 cm de la cota del agua en la cámara de carga en un tiempo

de 300 s.

A continuación se muestran los resultados de ambas simulaciones efectuadas con

ambos modelos, lineal y MIKE11.

Simulación 1. Disminución de caudal en la embocadura del canal

Como se comprueba en la Figura 3.18 se plantea un descenso del caudal en la

embocadura del canal mientras que se mantiene constante el calado en la cámara de

carga. En el modelo de central en el que se incluye el canal este fenómeno se produciría

por una disminución del caudal aportado por el río o por un cierre parcial de la

compuerta que comunica el azud de derivación con el canal.

Figura 3.18 Caudal procedente del azud de derivación



En la Figura 3.19 y la Figura 3.20 se muestran los resultados de las dos salidas que

aporta el modelo de canal, el caudal que desemboca en la cámara de carga y el calado

en la embocadura del canal, aguas abajo de la compuerta.

Figura 3.19 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga

Figura 3.20 Calado en la embocadura del canal



La Figura 3.19 refleja que el modelo lineal de canal presenta cierto desfase con el canal

representado por MIKE11. A pesar de ello la forma de la respuesta es similar.

En cambio la respuesta de ambos modelos en cuanto al calado en la embocadura Y(0)

presenta una diferencia notable. Si bien la forma de la respuesta es similar no lo es

tanto el valor asintótico que presentan ambos calados. Sabiendo que una vez se

produce la disminución de caudal se tiende al régimen uniforme en la embocadura del

canal, se comprueba que el modelo lineal es el que se aleja de la realidad.

En la Figura 3.11 se observa que el calado Y(0) es función de:

el caudal Q(0) multiplicado por el término P11(s)

el caudal Q(0) multiplicado por el término P12(s)/P21(s), que incluye un retardo

de uτ

el calado Y(L) multiplicado por el término P12(s)·P21(s)/ P22(s), que incluye un

retardo de du ττ +

Observando la respuesta del canal en ambos modelos se comprueba que una vez se

producen los retardos no aparece una variación significativa de la variable estudiada.

Por tanto puede asegurase que el calado en la embocadura del canal es directamente

proporcional al caudal que circula por esa misma sección siendo dicha relación

instantánea.

( ) ( ) ( )00 11 qsPy Δ≈Δ (3.102)

En la expresión (3.64) que detalla la función de transferencia del parámetro P11(s) se

comprueba que el término que determina la respuesta del calado en la embocadura

frente a una variación del caudal que llega al canal es ∞11p . El valor de dicho parámetro

por tanto es necesario calibrarlo.

( ) ( )00 11 qpy Δ≈Δ ∞ (3.103)

La respuesta de ambos modelos (lineal y MIKE11) presenta una rapidez de respuesta

similar, la diferencia se centra en el valor final que alcanzan ambas respuestas. Dado

que la evolución del calado en la embocadura del canal únicamente depende del caudal

en esa sección y de una manera instantánea se plantea la búsqueda de una relación

entre ( )0qΔ y ( )0yΔ .

( ) ( )0'0 11 qpy Δ≈Δ ∞ (3.104)



Para ello se opta por la linealización de la expresión de Mannig-Strickler. Aunque dicha

ecuación implica régimen permanente y en el caso del canal el caudal varía, se puede

suponer que, dado que el la variación nunca es brusca, se suceden estados

permanentes para cada caudal. La expresión general de la ecuación de Manning-

Strickler es:

( ) ( )YRYAnQS c

342

22

= (3.105)

que reordenada resulta:

( ) ( ) 23422 QYRYA

nS

c

= (3.106)

Si se linealiza la expresión:

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )23423422 Q

dQdYR

dYdYAYRYA

dYd

nS

c

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + (3.107)

Sabiendo que:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ybYAybYdYdYAYA

dYd

Δ=Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 222 (3.108)

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) yYP

bYRyYb

bYYbbYR

yYb

bYdYdYRYR

dYd

m

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

+−+

=

=Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

231

231

3134

34

222

34

234

(3.109)

( ) qQQdQd

Δ= 22 (3.110)

Se sustituye en (3.107) y resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) qQyYP

bYRYAYbRYAnS

mc

Δ=Δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

342

231234

2 (3.111)

( ) ( )( )

( )( ) qQyYRYP

b

YAb

nYAYSR m

c

Δ=Δ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+ 2342

2

2

234

(3.112)



( )( )( ) qyYRYP

bQ

YAQb m Δ=Δ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

2

32

(3.113)

Por tanto puede establecerse que:

( )( )( )YR

YPbQ

YAQb

p

m

211

32

1'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

=∞ (3.114)

Para comprobar si la repuesta del canal es adecuada se realiza la misma simulación

dando un nuevo valor a ∞11p , sustituyéndolo por el ∞11'p propuesto que

numéricamente adopta el valor siguiente:


∞11'p 0,085669539



La Figura 3.21 muestra los resultados de la simulación añadiendo los obtenidos a partir

de la linealización de la ecuación de Manning-Strickler. Como puede comprobarse la

respuesta es ese caso es muy similar a la obtenida a través del programa MIKE11, por

lo que puede concluirse que la corrección mediante las linealización de la expresión de

Manning-Strickler del Modelo lineal inicial mejora dicho modelo.

Simulación 2. Reducción del calado en la cámara de carga o desembocadura

del canal

Para completar el estudio del comportamiento del modelo lineal se simula una variación

de la otra variable de entrada al modelo, el calado en la desembocadura del canal. En el

modelo completo de central el nivel del agua en la desembocadura del canal se

corresponde con el nivel en la cámara de carga.

En la siguiente figura se muestra la variación del calado en la sección aguas abajo del

canal manteniendo constante el caudal durante la simulación.

Figura 3.22 Calado en la cámara de carga

Los resultados se muestran en la Figura 3.23 y la Figura 3.24 en las que se muestran

las dos salidas del modelo: el caudal en la desembocadura del canal y el calado en la

embocadura.



El caudal aportado por el canal a la cámara de carga, Figura 3.23, presenta una

dinámica similar en ambos modelos aunque el modelo lineal refleja un caudal menor

que el procedente de MIKE11. A pesar de ello puede afirmarse que globalmente el

Modelo lineal presenta un comportamiento satisfactorio.

Figura 3.23 Caudal que aporta el canal a la cámara de carga




En la Figura 3.24 se comprueba como el calado en la embocadura del canal se mantiene

constante durante la simulación en ambos modelos. Esto supone que la modificación de

las condiciones de contorno no se transmite hacia aguas arriba a lo largo del tramo

uniforme del canal.

Para realizar una comprobación más profunda y extensa del modelo lineal y analizar la

influencia de los diferentes parámetros de diseño del canal (anchura de solera,

rugosidad y pendiente) en su definición se elaboran diferentes modelos variando dichos

parámetros.

Tabla 3.3 Características de canales simulados

Se realizan las dos simulaciones efectuadas anteriormente para cada uno de los

modelos utilizando las expresiones lineales y el programa MIKE11. En el Apéndice C se

muestran los resultados de las simulaciones. En todas ellas se observan resultados

similares a los obtenidos en el presente apartado.

Analizando con detalle los resultados obtenidos en las simulaciones realizadas se

observa:

Cuanto mayor es la anchura de la solera más se aproxima el modelo lineal.

Los modelos con menor rugosidad se asemejan mejor al MIKE11

Si la pendiente disminuye la diferencia entre modelo se acentúa

Analizando globalmente los resultados, los modelos que más coincidencias presentan en

el caudal entre el Modelo Lineal y el resultado del programa MIKE11, son los

correspondientes a los modelos C, D y F. El rasgo común en estos modelos es tener un

elevado número de Froude en régimen uniforme.

Tabla 3.4 Número de Froude y longitud del tramo uniforme

MODELO A B C D E F G

Longitud (m) 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

Anchura (m) 3,5 3,0 4,0 3,5 3,5 3,5 3,5

nc 0,014 0,014 0,014 0,012 0,016 0,014 0,014

S 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0030 0,0008

MODELO A B C D E F G

Froude 0,61631 0,56720 0,65290 0,73120 0,53042 0,90240 0,43154



Puede concluirse, por tanto, que la aproximación realizada por X. Litrico y ampliada y

corregida en el presente trabajo, refleja con suficiente fidelidad el comportamiento

hidráulico de un canal en lámina libre y que por tanto dicho modelo es apto para ser

incluido en el modelo de central para el que es requerido.

3.3.2.d Compuerta

El dispositivo de control que se dispone entre el azud de derivación y el canal es una

compuerta de pared delgada. El caudal que evacúa la compuerta Qm depende

inicialmente de los niveles del agua en el azud Zf y en el tramo inicial de canal Zm y por

supuesto de la apertura de la compuerta d. El control de nivel en el presente estudio

para esta tipología central con canal de derivación y cámara de carga se efectúa en la

propia cámara. No se incluyen, por tanto, las maniobras que se puedan efectuar en la

compuerta, de modo que la apertura de la compuerta se considera constante.

Para establecer la relación entre niveles y caudal es preciso inicialmente determinar si el

desagüe se efectúa en situación libre, Figura 3.25, o anegada, Figura 3.26.

Para aperturas pequeñas de compuerta se produce desagüe en situación libre con curva

de remanso S3 aguas abajo de la compuerta hasta encontrar el calado conjugado del de

régimen uniforme del canal. Para aperturas mayores el resalto desaparece y el desagüe

se ve sumergido.

La condición para que se produzca un desagüe en situación libre es que el calado Y3 sea

mayor que el calado Y2. De esta forma se puede producir la curva de remanso S3. En

caso contario el desagüe sería sumergido.

Para ello se calcula el calado conjugado al calado del régimen uniforme del canal Y4. El

calado en el régimen uniforme Y4 resulta de la diferencia entre la cota del agua en la

embocadura del canal Zm y la cota de la solera de la compuerta Zcomp.

( )

( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

−+−=

=−+==

18121

18121

32

2

24443

compm

mcompm

conj

ZZgbQZZ

FYYY

(3.115)

El calado Y2 es proporcional a la apertura de la compuerta, siendo la razón de

proporcionalidad el coeficiente de contracción de la compuerta Cc.

cdCY =2 (3.116)



En caso de que el desagüe sea libre para obtener el caudal que desagua la compuerta

se plantea la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2:

( )( ) 222

2

22

2

21 22 c

mccompf

m

CdgbQdCZZ

bYgQYY +=−=+= (3.117)

De la que se despeja el valor de Qm:

( )( )ccompfcm dCZZgbdCQ −−= 2 (3.118)

Figura 3.25 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe libre

Si el desagüe es sumergido se sigue aplicando la ecuación de Bernoulli a las secciones 1

y 2, Figura 3.26. La velocidad en la sección 2 será la correspondiente a la sección

contraída Y’2.

( )( ) 222

2

222

2

21 22 c

mcompf

m

CdgbQYZZ

bYgQYY +=−=+= (3.119)

( )( )22 YZZgbdCQ compfcm −−= (3.120)

Figura 3.26 Perfil longitudinal de la lámina de agua en la compuerta con desagüe anegado

Y1

d

Y2 Y3

Y’2

1 2 3

Y2

Y1

Y3

Y4

1 2 3 4

S3

d



Para obtener el calado Y2 se igualan las impulsiones entre las secciones 2 y 3:

3

22

33

22

22 21

21

bYQbgYN

bdCQbgYN m

c

m ρρρρ +==+= (3.121)

( ) ( )compm

mcompm

c

m

ZZbQbZZg

bdCQbgY

−+−=+

22

22

2 21

21

(3.122)

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+−=

ccompm

mcompm dCZZgb

QZZY 1122

22

2 (3.123)

De esta forma se configura el diagrama de bloques que se muestra a continuación. Las

entradas son los niveles aguas arriba Zf y aguas abajo de la compuerta Zm mientras que

la salida es el caudal que pasa del azud al canal a través de la compuerta Qm.

Y3

Y'2

Y2

1Qm1

MATLABFunction

Resalto

MATLABFunction

Impulsión

Cc

d

MATLABFunction

Bernoulli

2Zm

1Zf

Figura 3.27 Diagrama de bloques del modelo de Compuerta

La función Resalto permite obtener el caudal Y3 según la expresión (3.115) mientras

que la función Impulsión posibilita la obtención de Y2 en el caso de que el desagüe sea

anegado (3.123).

En la función Bernoulli se aplican las expresiones (3.118) o (3.120) dependiendo de que

el calado Y3 sea mayor o menor que el calado Y’2 lo que implica desagüe libre o

anegado respectivamente.



3.3.2.e Azud

La minicentral fluyente con canal de derivación y cámara de carga consta normalmente

de un pequeño dique que conforma un azud de dimensiones reducidas y de limitada

capacidad. El objeto del azud es ralentizar la velocidad del agua a fin de encauzarla

hacia la toma.

El volumen almacenado en el azud en estos casos no es suficiente para permitir la

regulación, se turbina directamente el caudal procedente del río. Existe la posibilidad de

que no se tome todo el caudal procedente del río para su turbinación, sino que se vierta

parte del caudal a través de un aliviadero de labio fijo sobre el dique del azud. En este

caso la ecuación que relaciona los caudales entrantes y salientes del azud y el nivel del

agua en el mismo es la siguiente:

mwrf

f QQQdt

dZA −−= (3.124)

Dado que el presente modelo está concebido para funcionar en pequeña perturbación

se considera que, alrededor de la cota inicial de equilibrio del agua en el azud, la

superficie del azud (Af) se considera constante.

El modelo planteado presenta dos variantes en función de si se vierte o no parte del

caudal aportado.

Se turbina todo el caudal procedente del río, lo que implica que la ecuación y el

diagrama de bloques son los siguientes:

( )f

mrf

AQQ

dtdZ 1

−= (3.125)

1Zf

1s

1/Af2

Qm

1Qr

Figura 3.28 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación

Se vierte parte del caudal por el aliviadero, de modo que el río mantenga un

caudal mínimo entre el azud de toma y la descarga. En este caso se introduce en el

diagrama una función de Desagüe (3.126) que permite valorar el caudal vertido al río

por un aliviadero fijo situado en la coronación del azud de derivación.



( )3alivfalivdw ZZLCQ −⋅= (3.126)

La ecuación y el diagrama resultantes se muestran a continuación:

( )f

mwrf

AQQQ

dtdZ 1

−−= (3.127)

1Zf

QW

1s

Zaliv

MATLABFunction

Desague

1/Af2

Qm

1Qr

Figura 3.29 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por coronación

Tomando las condiciones (3.128) se obtienen las expresiones del desagüe y del azud

considerando alturas referenciadas a la cota de descarga. La ecuación (3.130) resulta

de introducir el efecto del vertido en la ecuación general del azud.

0=dt

dZdesc descalivaliv ZHZ += (3.128)

( )3alivfalivdw HHLCQ −⋅= (3.129)

( ) talivfalivdrf

f QHHLCQdt

dHA −−⋅−= 3 (3.130)

3.3.3 Controlador PI

Las minicentral fluyente que se modela debe turbinar en cada momento el caudal

disponible procedente del río. Para ello inicialmente lo más sencillo es utilizar como

consigna de control el nivel del agua en el azud de derivación. El problema que surge si

se plantea dicho control es que la manipulación del distribuidor, es decir, del caudal

turbinado, no se transmite aguas arriba del canal de modo que la acción controladora

(posición del distribuidor) no tiene influencia sobre la variable controlada (el nivel en el

azud). Se plantea por tanto el control del nivel de la lámina de agua en la cámara de



carga. De esa forma se asegura que se turbine el caudal que aporta el canal en cada

momento.

Para conseguir que las variaciones del caudal del río fueran acordes al caudal turbinado

y que por tanto se vierta un caudal constante por el aliviadero sería necesario mantener

el nivel de la lámina de agua en el azud constante. Para ello se debería disponer de un

segundo controlador del nivel que accionara la compuerta que comunica el azud con la

embocadura del canal. Esta situación supera el alcance de la simulación y del estudio de

estabilidad planteados en el presente estudio por lo que se mantiene la compuerta fija y

se determina el nivel de agua en la cámara de carga como variable a controlar mediante

la manipulación del distribuidor de la turbina.

Dentro de los algoritmos de control existentes se selecciona el Controlador PI cuyo uso

está ampliamente extendido por su sencillez y robustez. Además es el que mejor se

adapta a las necesidades del modelo. La componente o ganancia proporcional (k)

determina la rapidez de la acción controladora. La ganancia integradora (Ti) elimina el

error entre el valor medido y el de referencia.

En este caso, dada la dinámica relativamente lenta del sistema, no se producirán

sobreoscilaciones importantes que justifiquen la inclusión en el controlador de una

componente derivada (Controlador PID).

El funcionamiento del controlador PI se basa en modificar la consigna de apertura del

distribuidor (X) partiendo de la diferencia entre la cota del agua en la cámara (Zf) y la

cota deseada denominada de referencia (Zref). La ecuación matemática que gobierna

este tipo de controladores se muestra a continuación así como el diagrama de bloques

resultante.

( )reffi

ZZdtT

kXX −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫

10 (3.131)

o bien:

( )dt

ZZdk

TZZ

dtdX reff

i

reff −+

−= (3.132)



1X

1s

k

1/TiX0

2Zref

1Zc

Figura 3.30 Diagrama de bloques del Controlador PI

La ecuación resultante (3.134) con saltos relativos utilizada en el estudio de estabilidad

se obtiene utilizando:

descrefref ZHZ += (3.133)

( )dt

HHdk

THH

dtdX reff

i

reff −+

−= (3.134)

3.4 EJEMPLO DE APLICACIÓN

El modelo de central que se presenta en este capítulo tiene como punto de partida los

estudios realizados en el Departamento de Hidráulica y Energética de la Escuela de

Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. Uno de los

resultados obtenidos es un modelo de turbina con velocidad variable que ha sido

adaptado a las necesidades del presente trabajo. Por tanto las dimensiones iniciales de

los elementos que componen la turbina y que determinan el punto de funcionamiento

óptimo de la central se obtuvieron de dichos estudios previos.

El modelo de central necesita de otros elementos, aparte de la turbina, cuyas

dimensiones deben concretarse. Para obtener ciertos valores orientativos que permitan

hacer una primer acercamiento a un modelo real y que sean afines a la turbina

seleccionada inicialmente se han consultado los ejemplos recogidos en el Manual de Minicentrales Hidroeléctricas (Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía

(IDAE) , 1996). De esta forma se aproxima el modelo virtual a una central existente de

características similares.

Dados los órdenes de magnitud de las variables más importantes (salto neto, caudal) se

selecciona la Central Hidroeléctrica de Talave en el río Mundo, término municipal de

Lietor (Albacete) como referencia para el modelo a confeccionar. La tipología de dicha

central no es exactamente la descrita anteriormente (canal de derivación y cámara de

carga), pero dado que el estudio en el que se incluye el presente capítulo incluye otras



tipologías de minicentrales fluyentes se adoptan los valores representativos de dicha

central recogidos en la publicación:

Caudal 16 m3/s

Salto 40 m

Potencia instalada 5.070 kW

Equipamiento 2 turbinas Francis

Partiendo del trabajo previo, con los valores obtenidos de la central seleccionada y

teniendo en consideración el modo de operación del modelo, mantener constante el

nivel de la lámina de agua en el azud de derivación, se dimensiona cada elemento que

compone el modelo de central.

Las dimensiones del canal de derivación y de la cámara de carga son hipotéticos dado

que la central tomada como referencia carece de dichos elementos.

3.4.1 Datos de la central

En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada.

Tabla 3.5 Valores numéricos del Modelo completo

Genéricos

Turbinas 2 grupos Francis

Caudal 2 x 7,200 m3/s

Cota de agua en el azud 150,20 m.s.n.m

Cota de la descarga 110,90 m.s.n.m

Salto bruto 39,30 m

Salto neto 31,54 m

Hb 30,00 m

Qb 7,200 m3/s

Tubería forzada

Dp 2 x 1,200 m

Lp 40 m



np 0,011

Krp 0,01836 s/m2

A 1000 m/s

V 6,633 m/s

Ρ 10,30>1

Cámara de carga

Ac 100,00 m2

Zcam 140,396 m.s.n.m

Canal de derivación

Sección Rectangular

b 3,500 m

L 5.000 m

nc 0,014

S 0,0015 m/m

F 0,616

dτ 766 s

uτ 2.872 s

Ad 2.966 m2

Au 28.268.155.621 m2

∞11'p 0,085669539

∞12p 1,49917E-09

∞21p 0,009349009

∞22p 0,087518882

Compuerta

Zcomp 147,896 m.s.n.m.

Cc 0,62

d 1,20 m



Azud

Zaliv 150,00 m.s.n.m.

Zref 150,20 m.s.n.m.

Af 2070,00 m2

Laliv 15,00 m

Cd 2,13

Turbina

Diámetro D1 1,180 m

Velocidad de giro N 333 r.p.m

Figura 3.31 Zona de operación en las Colinas de Rendimientos

Coeficientes b11, b13

nI 70 r.p.m

QI 0,92 m3/s

η 0,89

X 22 mm

Q 7,200 m3/s

H 31,54 m

h0 1,051

q0 1,000

1

1

NQ∂∂

-0,0020

XQ∂∂ 1 0,0325

b11 0,547

b13 0,777

ZONA DE OPERACIÓN

CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA 3.49


3.4.2 Calibración del controlador PI

Una vez definidas los parámetros que caracterizan la minicentral fluyente con canal de

derivación se procede a la estimación de las ganancias del controlador PI. Para la

correcta calibración del controlador se han consultado las referencias (Dormido &

Morilla, 2002) y (Johnson, Katebi, and Wilkie, 2002) dado que las sintonizaciones

propuestas en la bibliografía no plantean el control de nivel. Inicialmente se recurre al

criterio de Ziegler – Nichols, ampliamente utilizado en la sintonización de este tipo de

controladores.

El control de nivel se ubica en la cámara de carga. Como se ha demostrado en el

estudio del canal el nivel del agua en la cámara no influye en el comportamiento de los

elementos de la central aguas arriba de dicha cámara (canal, compuerta y azud de

derivación). Por tanto, a la hora de plantear la dinámica de la central para la calibración

del controlador PI y del posterior estudio de su estabilidad los componentes de la

central que se deben tener en consideración son la turbina, la tubería forzada, la

cámara de carga y el controlador PI.

De esta forma se podría plantear, desde el punto de vista de la estabilidad y la sintonía

del controlador PI, un modelo reducido en el que la variable de entrada no fuera el

caudal del río sino el caudal procedente del canal que llegara a la cámara de carga,

Figura 3.32. Este modelo elimina aquellos elementos de la central que no influyen en su

estabilidad ni en la determinación de las ganancias del controlador.

Zc

X

Q


Qc

Zc

Zref

X

PI

Zref

Qc

Q

Zc

Cámara de carga

Figura 3.32 Modelo reducido de central con cámara de carga

El criterio empírico planteado por Ziegler – Nichols presenta dos posibilidades;lazo

cerrado y lazo abierto. La dinámica del sistema de tercer orden que resulta del modelo



reducido de central no es compatible con la simulación en lazo cerrado. Esto se debe a

que no es posible generar una respuesta oscilatoria de la variable controlada (nivel en la

cámara) para un valor dado de k anulando 1/Ti.

Cuando se plantea el bucle en lazo abierto, variando bruscamente el valor de la acción

controladora se genera en la central una respuesta estable.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000143

143.5

144

144.5

145

145.5

tiempo (s)

cota

del

agu

a en

la c

ámar

a de

car

ga (m

.s.n

.m)

K = 1,957

0,632*K = 1,237

t1 = 130,7 s

t2 = 393,0 s

0,283*K = 0,544

Figura 3.33 Respuesta de la central en lazo abierto

Una vez realizada dicha simulación las fórmulas que permiten obtener las ganancias son

las siguientes:

0

9,0KTT

k p= k

TTi 3,0

0= (3.135)

Las constantes temporales T0 y Tp se obtienen a partir de la Figura 3.33 en la que se

muestra la evolución de la cota del azud en el bucle abierto.

( )125,1 ttTp −= pTtT −= 20 (3.136)

Aplicando las fórmulas anteriormente recogidas con los valores procedentes de la

simulación en lazo abierto y reflejados en la Figura 3.33 se obtienen las ganancias del

controlador PI, k y Ti. Pero en el caso del modelo reducido de central los valores de las



ganancias no son coherentes dado que el valor de T0 partiendo de los obtenidos resulta

negativo.

Por tanto, no es posible la sintonización inicial del controlador PI que acciona el

distribuidor de la turbina mediante los métodos empíricos clásicos. Es necesario en este

caso el estudio detallado de la estabilidad de la central. En capítulos posteriores se

desarrolla dicho estudio que aporta un posible criterio de sintonía. El objeto del presente

capítulo es presentar un modelo de central con canal de derivación y cámara de carga y

comprobar su comportamiento mediante la simulación. Para ello se parte de ganancias

iniciales k y Ti que aseguran la estabilidad y que permiten dicha simulación a pesar de

que no se obtengan a partir de ningún criterio conocido.

Tabla 3.6 Ganancias

k 20 Ti 5,0 s

3.4.3 Simulación

Una vez definido completamente el modelo en sus dos variantes (sin vertido y con

vertido de caudal al río) y dados valores numéricos a cada parámetro de la central se

plantea una simulación para comprobar su funcionamiento y la interconexión de cada

una de los elementos que componen el modelo.

Para ello se modela una disminución brusca del 10% del caudal nominal turbinado (14,4

m3/s).

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350012.5

13

13.5

14

14.5

15

tiempo (s)

Cau

dal m

3 /s

Caudal ríoCaudal embocadura canalCanal desembocadura -cámara de carga

Figura 3.34 Evolución de caudales, central sin vertedero



En la Figura 3.34 se muestran los caudales del río, en la embocadura del canal (aguas

abajo de la compuerta y en la desembocadura del canal (cámara de carga) en el

modelo en el que no se existe vertido al río por coronación. Mientras que en la Figura

3.35 se observan los mismos caudales junto con el caudal vertido al río en el modelo

que contempla dicho fenómeno.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350015.5

16

16.5

17

17.5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350014

14.2

14.4

14.6

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 35001.5

2

2.5

3

Caudal río

Caudal vertido por aliviadero

Caudal embocadura canalCaudal desembocadura -cámara de carga

Figura 3.35 Evolución de caudales, central con vertedero

En el modelo sin vertedero se observa que el caudal del río, variable de entrada, y el

caudal que es desaguado por la compuerta, caudal de salida, presentan evoluciones

muy distintas. Esto se explica por dos motivos. Por un lado el azud actúa como

elemento laminador de la variación brusca de caudal del río. La superficie del azud es

suficientemente grande como para que atenúe el cambio de caudal que aporta el río.

Por otro lado la relación entre el nivel de agua en el azud y el caudal que pasa a través

de la compuerta no es lineal según se observa en las ecuaciones que explican el

funcionamiento hidráulico de la compuerta. La reducción del caudal produce una



disminución del nivel de la lámina de agua, dado que no se controla el nivel en el azud,

según se observa en la Figura 3.36. Esto explica la evolución temporal del caudal que

desagua la compuerta.

El canal en lámina libre retarda la llegada de la disminución de caudal laminada en el

azud a la cámara de carga. El retardo en el caso del canal modelado supera los 1000 s

según se observa en la Figura 3.34.

En la Figura 3.35 se observa cómo influye la misma simulación (reducción 10% de

caudal turbinado) en el modelo con vertedero. En este caso el caudal inicial que circula

por el río es mayor (17,26 m3/s) dado que se compone del caudal nominal turbinado

(14,40 m3/s) y el caudal vertido al río por el aliviadero sobre el dique (2,86 m3/s). Al

igual que en el modelo sin vertedero se produce una laminación del caudal procedente

del río en ambos desagües.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500149.9

149.95

150

150.05

150.1

150.15

150.2

150.25

tiempo (s)

cota

agu

a en

azu

d (m

.s.n

.m)

Modelo con vertederoModelo sin vertedero

Figura 3.36 Nivel de agua en el azud

Pero el caudal que es desaguado por la compuerta y que llega a la cámara de carga es

mucho menor, según se observa. Esto se debe a que la disminución de caudal afecta a

ambos desagües, el de la compuerta y el del vertedero pero no por igual. El nivel del

agua en el azud también varía, Figura 3.36., pero el vertido por el aliviadero es más

sensible que el vertido bajo compuerta frente a la variación de la cota en el azud. Por

ello la disminución de poco más de 5 cm en la cota del agua en el azud produce una



reducción de 0,35 m3/s aproximadamente en el caudal bajo la compuerta mientras que

dicha variación de la cota produce una disminución de 1,05 m3/s en el aliviadero.

El retardo del caudal producido en el canal es similar en ambos modelos.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500143.38

143.382

143.384

143.386

143.388

143.39

143.392

143.394

143.396

143.398

143.4

tiempo (s)

cota

agu

a en

cám

ara

(m.s

.n.m

)


Figura 3.37 Nivel de agua en la cámara de carga

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 350019

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Figura 3.38 Posición del distribuidor



La evolución de la variable controlada, nivel de la lámina de agua en la cámara de carga

y de la acción controladora, posición del distribuidor, de ambos modelos se aprecian en

la Figura 3.38 y la Figura 3.37 respectivamente.

Lógicamente la variación del nivel en la cámara de carga es mucho mayor en el modelo

sin vertido dado que la disminución de caudal es mayor.

La acción del controlador PI reflejada en la posición del distribuidor muestra que los

valores iniciales dados a las ganancias k y Ti generan una respuesta satisfactoria de

ambos modelos de central fluyente con canal de derivación y cámara de carga.

3.5 MODELO DE CENTRAL LINEAL

Uno de los objetivos del presente estudio, una vez se desarrolla el modelo de central y

se aplica a un ejemplo numérico, es el de realizar un análisis detallado de su estabilidad.

El alcance de dicho análisis comprende el comportamiento de la central bajo pequeña

perturbación de la condiciones de equilibrio alrededor de un punto de funcionamiento.

En este caso para facilitar el desarrollo de la observación de la estabilidad de la central

se plantea un modelo lineal que bajo las condiciones de operación de pequeña

perturbación se comporta de manera muy similar al modelo inicial.

La estabilidad de la central viene determinada de una forma importante por la acción

controladora. Es decir, el estudio de la estabilidad se centra en comprobar, aparte de

cómo influyen los distintos componentes de la central en su estabilidad, qué afecciones

produce sobre la dinámica de toda la central las ganancias con las que se sintoniza el

controlador.

En el caso de central con canal de derivación y cámara de carga se mantiene constante

el nivel de la lámina de agua en la cámara mediante un controlador PI. Como ya se ha

indicado anteriormente los elementos situados aguas arriba de la variable controlada

(canal, compuerta y azud) no repercuten en dicho control y por lo tanto no influyen en


El llamado Modelo lineal, por tanto, comprende únicamente los elementos de la central

cuya dinámica interviene en la estabilidad de la central. El diagrama de bloques del

Modelo lineal se muestra en la siguiente figura.



Zc

X

Qp

Turbina - tubería forzada Qc

Zref

Qp

Qc

Zc

Cámara de carga

Zc

Zref

X

Controlador PI

Figura 3.39 Diagrama de bloques del modelo Lineal de Central con canal y cámara de carga

El modelo de central completo, Modelo completo, supone la central conectada a una red

de gran potencia, de modo que la velocidad del grupo no precisa de control de

velocidad o potencia (N=0). La linealización de dicho modelo y el posterior estudio de

estabilidad, desarrollado en capítulos posteriores, contempla la posibilidad del

funcionamiento en isla y por ello de que varíe la velocidad del grupo.

A continuación se presentan las ecuaciones que rigen las dinámicas de los elementos

que configuran la Modelo lineal. Inicialmente son cuatro ecuaciones lo que puede hacer

pensar en un sistema de cuarto orden. La linealización permite agrupar la dinámica de

la turbina y de la tubería forzada en el subsistema Turbina-tubería forzada.

Turbina

τ131211 bnbhbq ++= (3.137)

Tubería forzada

HHQQKdt

dQAg

Lcpprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(3.138)

Azud de derivación

pcc

c QQdt

dHA −= (3.139)



Controlador PI

( )dt

HHdk

THH

dtdX refc

i

refc −+

−= (3.140)

Después de realizar las simplificaciones señaladas y dado que el estudio de estabilidad

se realiza en pequeña perturbación se expresan las variables en valores por unidad y se

linealizan las ecuaciones anteriormente descritas.

Las variables de estado son aquellas que describen el funcionamiento interno del

sistema. Deben ser variables continuas y derivables, dado que evolución temporal es

descrita por cada una de las ecuaciones de estado mediante su derivada temporal.

Las entradas del sistema representan las variaciones que se producen en el exterior y

que modifican el estado inicial del sistema dando lugar a la evolución temporal del

mismo.

En este modelo se considera la posibilidad de que el valor inicial de las variables de

estado o de entrada no sea el considerado como base. De esta forma las variables

expresadas en valores por unidad resultan:

Variables de estado

( )ppbp qqQQ += 0 (3.141)

( )ccbc hhHH += 0 (3.142)

( )ττ += 0bXX (3.143)

Variables de entrada

( )ccbc qqQQ += 0 (3.144)

( )refrefbref hhHH += 0 (3.145)

( )nnNN b += 0 (3.146)

3.5.1 Turbina-Tubería forzada

La expresión que indica el comportamiento del agua entre la turbina y la cámara de

carga se refleja en la ecuación (3.86). Aplicando los valores por unidad dicha ecuación

resulta:



( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )hhHhhH

qqQqqQKdt

qqQdgAL

bccb

ppbppbrpppb

p

p

+−+=

=++++

00

000

(3.147)

En condiciones iniciales de equilibrio:

00

=dt

dqp (3.148)

El alcance del modelo es la pequeña perturbación por lo que se pueden despreciar los

términos de segundo orden como qp2, por lo que la expresión (3.147) resulta:

( )( )

hHhHhHhH

qqqqQKdt

dqgA

QL

bbcbcb

pppprpp

p

bpb

−−+=

=+++

00

002

(3.149)

( ) ( )hhHhhH

qqQKqQKdt

dqgA

QL

cbcb

pprpprpp

p

bpbb

−+−=

=++

00

02202 2 (3.150)

Las condiciones iniciales implican:

( )00202 hhHqQK cbpbrp −= (3.151)

lo que lleva a expresar la ecuación de la tubería forzada de la siguiente forma:

( )hhHqqQKdt

dqgA

QLfbppbrp

p

p

bp −=+ 02 2 (3.152)

Denominando:

bp

bpw HgA

QLT ='

b

brp

HQK

p2

'= (3.153)

La expresión linealizada obtenida es:

hT

hT

qT

qpdt

dq

wf

wp

w

pp

'1

'1

''2 0

−+−= (3.154)

Si se despeja el valor de h de la expresión (3.70), procedente de la linealización de las

expresiones genéricas que corresponden a la colina de rendimientos de la turbina:



τ11

13

11

12

11

1bbn

bbq

bh −−= (3.155)

y considerando que se pueden identificar el caudal turbinado y el caudal que circula por

la tubería forzada:

pqq = (3.156)

se obtiene la expresión linealizada del la tubería forzada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+−= τ

11

13

11

12

11

0 1'

1'

1'

'2bb

nbbq

bTh

Tq

Tqp

dtdq

pw

fw

pw

pp (3.157)

nbT

bbT

bh

Tq

Tqp

bTdtdq

wwf

wp

w

p

w

p

11

12

11

130

11 '''1

''2

'1

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= τ (3.158)

Al igual que en el modelo con galería en presión y chimenea de equilibrio desarrollado

en el Capítulo 6, el parámetro Tw’ o tiempo de arranque del agua se trata de un

elemento almacenador de energía cinética pero en este caso en la tubería forzada.

Representa el tiempo necesario para acelerar sin rozamiento la masa de fluido

contenido en la tubería forzada desde el reposo hasta el caudal Qb, sometida a la altura

Hb.

El parámetro p’ representa las pérdidas unitarias por rozamiento que se producen en la

tubería forzada.

En la siguiente figura se muestra el diagrama de bloques que modela la expresión

(3.158). Dado que el diagrama representa el comportamiento de la misma central que

la modelada en el Modelo completo no se incluye la variación de la velocidad del grupo

n en el diagrama.



hc

Tau

qp

1Qp

qp0

1/Tw'

b13/(b11*Tw')

hc0

Tau0

1s

1/Xb

Zdesc

Qb

1/Hb

2*p'*qp0/Tw'+1/(Tw'*b11)

2X

1Zc

Figura 3.40 Diagrama de bloques del modelo lineal de Turbina - Tubería forzada

3.5.2 Cámara de carga

Introduciendo en la expresión (3.89) las variables reflejadas anteriormente en valores

por unidad:

( )[ ] ( ) ( )ppbccbccb

c qqQqqQdt

hhHdA +−+=+ 00

0

(3.159)

pbcbpbcbc

bcc

bc qQqQqQqQdtdhHA

dtdhHA −+−=+ 00

0

(3.160)

Sabiendo que en la situación inicial se cumple:

000

pbcbc

bc qQqQdt

dhHA −= (3.161)

La ecuación puede escribirse:

pbcbc

bc qQqQdtdhHA −= (3.162)

Si se denomina:

b

bcc Q

HAT = (3.163)



Se obtiene la expresión linealizada que gobierna el elemento almacenador de la central:

cc

pc

c qT

qTdt

dh 11+−= (3.164)

El parámetro Tf, constante de la cámara de carga, se conoce como el tiempo de llenado

del componente almacenador. Representa el tiempo necesario para elevar la cota del

agua en el azud una altura Hb con un caudal Qb.

La dinámica del azud de derivación linealizada se muestra en el siguiente diagrama de

bloques.

hc

qp

qc

1Zchc0

qc0

qp0

1s

1/Qb

1/Qb

Hb

Zdesc

1/Tc

2Qc

1

Qp

Figura 3.41 Diagrama de bloques del modelo lineal de Cámara de carga


La expresión (3.134) describe el comportamiento dinámico del controlador. Si se aplican

los valores por unidad a la misma resulta:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ]dt

hhHhhHdk

ThhHhhH

dtXd

refrefbccb

i

refrefbccbb

+−++

++−+

=+

00

000 ττ

(3.165)



( ) ( )

( ) ( )dt

hhdkH

dthhdkH

hhTHhh

TH

dtdX

dtdX

refrefb

ccb

refrefi

bcc

i

bbb

+−

++

++−+=+

00

000 ττ

(3.166)

( ) ( )

( ) ( )dt

hhdkH

dthhd

kH

hhTHhh

TH

dtdX

dtdX

refcb

refcb

refci

brefc

i

bbb

−+

−+

+−+−=+

00

000 ττ

(3.167)

De las condiciones iniciales se desprende:

000 =− refc hh 00

=dt

dτ (3.168)

Por otro lado, al igual que en el modelo con galería en presión, se supone que el valor

de referencia del controlador varía únicamente por escalones y no de una forma

continua por lo que puede escribirse:

0=dt

dhref (3.169)

De modo que la expresión linealizada del controlador resulta:

( )dtdhkHhh

TH

dtdX c

brefci

bb +−=

τ (3.170)

Se sustituye el valor de la variación temporal de la cota en el azud de derivación por

unidad, hc, por la ecuación (3.164):

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−= c

cp

cbrefc

i

bb q

Tq

TkHhh

TH

dtdX 11τ

(3.171)

y llamando

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (3.172)

se obtiene la ecuación linealizada definitiva del controlador de nivel:

cf

refcpf

qT

hhqTdt

d αββ

ατ+−+−=

11 (3.173)



En la siguiente figura que refleja el diagrama de bloques se aprecia cómo influye el

vertido en el controlador. La diferencia de caudales determina la acción proporcional

mientras que el error entre las cotas de referencia y del agua en el azud la acción

integradora.

Tau

hc

href

1X

1s

k

Hb/Xb

1/Ti

1/Hb

1/Hb

Tau0

Zdesc

Zdesc

href0

Xb

hc0

2Zref

1Zc

Figura 3.42 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI

3.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN. COMPARACIÓN MODELO COMPLETO – MODELO LINEAL

Para comprobar el funcionamiento del Modelo lineal se conectan los diagramas de

bloques definidos en el apartado anterior a partir de la linealización de las expresiones

correspondientes al Modelo completo.

Se mantienen los datos geométricos de la central modelada en el Modelo completo y se

realiza en ambos modelos la misma simulación. De este modo es posible comparar las

dinámicas de ambos modelos. En este caso, dado que el Modelo lineal está compuesto

únicamente por la cámara, la tubería forzada y la turbina se simula en sendos casos una

disminución brusca del caudal que aporta el canal a la cámara de carga.

Para que ambos modelos sea similares en la simulación se eliminan del Modelo completo el canal, la compuerta y el azud, de modo que los dos modelos presentan la

misma estructura.




En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada aplicados

a Modelo lineal. Se incluyen las constantes temporales, de pérdidas… que han sido

definidas durante la linealización de las ecuaciones procedentes del Modelo completo.

Tabla 3.7 Valores numéricos del Modelo lineal

Genéricos





Salto bruto 39,30 m

Salto neto 31,54 m

Hb 30,00 m

Qb 7,200 m3/s

Cámara de carga

Zref 143,396 m.s.n.m.

hc0 1,083

Tc 208,3 s

Galería en presión

qp0 1,000

Tw’ 1,109 s

p’ 0,0327

Turbina



nI 70 r.p.m



QI 920 l/s

X 22,0 mm

0τ 1,000

b11 0,547

b13 0,777

Controlador PI

k 20,0

Ti 5,0 s

3.6.2 Simulación

En la siguiente figura se muestra la variación del caudal procedente del canal que sirve

como dato de entrada para la simulación en ambos modelos.

0 50 100 150 200 250 30012.8

13

13.2

13.4

13.6

13.8

14

14.2

14.4

14.6

14.8

tiempo (s)

caud

al (

m3 /s

)

Figura 3.43 Caudal aportado por el canal a la cámara de carga

Como resultados de la simulación se presentan la evolución temporal tanto de la

variable controlada (nivel del agua en la cámara de carga) como de la variable

controladora (posición del distribuidor) en la Figura 3.44 y la Figura 3.45

respectivamente.



0 50 100 150 200 250 300143.25

143.3

143.35

143.4

tiempo (s)

nive

l de

agua

en

cám

ara

de c

arga

(m.s

.n.m

)

Modelo linealModelo completo

Figura 3.44 Nivel de agua en la cámara de carga

0 50 100 150 200 250 30018.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)



Ambas figuras muestran que los dos modelos, completo y lineal, se comportan

prácticamente de forma idéntica. Por tanto puede realizarse el estudio de estabilidad de

la central tomando el Modelo lineal como punto de partida. A pesar de ello, dado que en

la formulación y la interconexión de bloques existen diferencias entre modelo se

considera oportuno ilustrar y comprobar el estudio de estabilidad, realizado en capítulos



sucesivos, a partir de la formulación del Modelo lineal mediante simulaciones en el

Modelo completo.

CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA 4.1

CAPÍTULO 4 Modelo de una minicentral fluyente a pie de presa

4.1 INTRODUCCIÓN

En ocasiones la morfología del terreno en el que se desea implantar la minicentral u

otros condicionantes como los geológicos, hidráulicos o económicos aconsejan la central

a pie de presa como tipología de central idónea para el aprovechamiento hidroeléctrico.

El contenido del presente capítulo trata de modelar este tipo de centrales en el que se

suprimen los elementos que conectan el azud de derivación y la central. En este caso la

central se encuentra inmediatamente aguas abajo del cuerpo de presa.


4.2 CAPÍTULO 4 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE A PIE DE PRESA

Los elementos que configuran este tipo de centrales son menos ya que se eliminan la el

canal de derivación y la cámara de carga propios de la central modelada en el Capítulo

3. Por tanto los principales componentes que forman parte de una minicentral fluyente

a pie de presa son los siguientes:

Azud de derivación: estructura que genera un pequeño vaso en el se remansa

y embalsa el agua procedente del río. En este caso, dado que la descarga se

produce muy próxima a la ubicación del cuerpo de presa no es necesario verter

un caudal constante por el aliviadero. Por tanto se considera que se turbina todo

el caudal procedente del río dado que apenas esto afecta al régimen hidráulico

del río.

Tubería forzada: conducto en presión que comunica el azud de derivación con

la turbina.

Grupo turbina-generador: componente de la central que transforma la



Regulador de turbina: elemento que modifica la posición del distribuidor de la

turbina para mantener el nivel de agua en el azud de captación constante.



hidráulico que acciona el distribuidor. En el presente modelo se considera la

acción inmediata del dispositivo servo-hidráulico por lo que el regulador de la

turbina se identifica únicamente con el controlador que modifica la posición del

distribuidor en función de la diferencia de cotas del agua en el azud y la de

referencia.

El estudio de esta tipología de centrales no es sólo su modelado sino que también se

plantea el estudio de su estabilidad. Es por ello que se configuran dos modelos de

central fluyente a pie de presa.

Para reflejar el comportamiento global de la central se elabora el denominado Modelo completo, Figura 4.1. Dicho modelo elaborado a partir de diagramas de bloques se rige

a partir de las ecuaciones en derivadas parciales que gobiernan todos y cada uno de los

componentes de la central.

El Modelo lineal contiene en este caso todos los elementos de la central pero las

ecuaciones que se modelan en cada bloque proceden de la linealización alrededor de un



punto de funcionamiento de las ecuaciones originales del Modelo completo. El Modelo lineal, aunque en este caso contiene los mismos componentes que el Modelo completo

de tercer orden, permite una simplificación notable en el estudio de la estabilidad de la

central.

Zf

X

Qp

Turbina - Tubería forzada

Qr

Zref

Zref

Zf

X

Controlador PI

Qr

Qp

Zf

Azud

Figura 4.1 Diagrama de bloques del Modelo completo de central fluyente a pie de presa

Se puede observar de las figuras anteriores que el Modelo lineal presenta mayor

número de conexiones entre los bloques que lo componen a causa de la linealización de

las ecuaciones que lo componen.

En el apartado final del capítulo se presenta una comparación de ambos modelos

mediante una simulación. De esta forma se comprueba la modificación en el

comportamiento dinámico de central que implica su linealización. Dado que en este caso

ambos modelos tienen los mismos componentes y sólo se diferencian en dicha

simplificación, si se trabaja en pequeña perturbación es de esperar que los resultados

no difieran en demasía.

El modelo acepta la aproximación de “columna de agua rígida”. Para ello se comprueba

que el parámetro de Allievi, ρ, es mayor que la unidad.

Como ya se ha comentado anteriormente se supone instantánea la dinámica del servo-

hidráulico que acciona el distribuidor a partir de la señal generada por el controlador PI.



Otra simplificación dispuesta en ambos modelos es considerar que apenas existe un

lapso de tiempo desde que la turbina genera energía mecánica hasta que ésta se

transforma en energía eléctrica en el alternador. Se desprecia la inercia del rotor del

alternador ya que como se ha comprobado la dinámica de la alternador se desarrolla en

una escala temporal mucho menor que la del resto de la central.

En el presente capítulo por tanto se muestra la elaboración de un modelo de minicentral

fluyente de tipología a pie de presa. Dicho modelo presenta dos variantes, completo y

lineal. El primero se utiliza para generar una representación del comportamiento

dinámico de la central lo más fiel a la realidad, mientras que el segundo es el punto de

partida del estudio de estabilidad de la central desarrollado en el Capítulo 5.

4.2 MODELO COMPLETO

4.2.1 Turbina-tubería forzada

La turbina y la tubería se engloban en un mismo bloque que se muestra en la Figura

4.2. Las variables entradas en el diagrama son la posición del distribuidor X y la cota de

la lámina de agua en el azud de derivación Zf. Se crea una variable interna H, el salto

neto turbinado, procedente de la turbina. La variable de salida del bloque es el caudal

Qp, caudal que circula por la tubería forzada y que se identifica con el caudal turbinado.

1Qp

Qp

X

H

Turbina

H

Zf

Qp

Tubería Forzada

2

X 1Zf

Figura 4.2 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada

4.2.1.a Turbina

El comportamiento de la turbina, como en el modelo de central con galería en presión y

chimenea de equilibrio, se engloba en las llamadas colinas de rendimientos. Dichas

colinas permiten situar el punto de funcionamiento de la turbina a partir de coordenadas



unitarias (QI y nI). Por tanto la misma figura sirve para representar cualquiera de las

turbinas semejantes hidráulicamente.

Como el diagrama de bloques de la turbina precisa de una expresión matemática que

describa su comportamiento se parten de las ecuaciones de la conservación de la

cantidad de movimiento o de Euler y de la conservación de energía. Dichas expresiones

permiten obtener el caudal turbinado Q y el par generado por la turbina C a partir del

salto neto H, la velocidad de giro N y la posición del distribuidor X.

( )XNHfQ Q ,,= ( )XNHfC C ,,= (4.1)


Dado que las expresiones anteriores resultan de gran complejidad y que uno de los

objetivos del modelo es el estudio de la estabilidad bajo pequeña perturbación se opta

por linealizar las expresiones (4.1) alrededor de un punto de funcionamiento. Las

ecuaciones linealizadas en valores por unidad resultan:

τ131211 bnbhbq ++= τ232221 bnbhbc ++= (4.2)

Dado que la turbina se encuentra conectada a la tubería forzada se puede considerar

que el caudal turbinado y el caudal que circula por la tubería se pueden identificar.



pqq = (4.3)

Observando el diagrama de bloques del conjunto Turbina – tubería forzada, Figura 4.2,

se manipulan las expresiones linealizadas de modo que las variables de entrada en el

bloque turbina sean la posición del distribuidor τ y el caudal procedente de la tubería

forzada qp en valores por unidad. La central, como en casos anteriores, se considera

conectada a una red de gran potencia lo que permite suponer que la velocidad de giro

de la turbina es impuesta y no varía (n = 0). Por tanto la ecuación que gobierna el

diagrama de bloques que representa el comportamiento dinámico de la turbina resulta:

τ11

13

11

1bb

qb

h p −= (4.4)

Para la obtención de los coeficientes bij se utilizan las expresiones deducidas en el

apartado 3.2.1.a y que se muestran a continuación:

b

b

QH

NQ

NHN

HDQb ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=1

12

31

211

11 22 (4.5)

b

b

QX

XQHDb∂∂

= 12113 (4.6)

El modelo se ha elaborado de modo que las unidades de trabajo estén en valores

absolutos, de modo que las variables que sirven de entrada en el bloque de la turbina

se deben pasar a valores por unidad. El proceso inverso se realiza con el salto neto

turbinado obtenido inicialmente en valores por unidad. En la Figura 4.4 se recoge el

diagrama de bloques resultante que modela la turbina.

Tau

qp

h

1H

h01/b11

b13/b11

qp0

Tau01/Xb

Hb1/Qb

2Qp

1X





La ecuación que rige el comportamiento de la tubería forzada permite evaluar las

pérdidas de carga que se producen a lo largo del conducto. En el presenta modelo se

considera la misma expresión que la utilizada en el modelo de central con galería en

presión y chimenea de equilibrio. En este caso se sustituye la cota de la chimenea de

equilibrio por la cota directamente del azud de derivación que es el elemento que se

encuentra aguas arriba de la tubería forzada.

ZZQQKdt

dQAg

Lfpprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(4.7)



( )( ) p

p

prp L

Dn

K 333,5

229,10= (4.8)


p

pp Ag

LF

⋅= (4.9)

La diferencia cota o de presión entre los dos extremos de la tubería forzada resulta la

entrada en el bloque. Esta diferencia procede, por tanto, de la cota de la lámina de

agua en el azud y del salto turbinado. Es necesario añadir al salto neto procedente de la

turbina (H) la cota de la descarga (Zdesc) para trabajar en cotas absolutas y poder

compararla con la cota del azud de derivación (Zf).


independientemente el punto de operación de la central. En el caso de que la cota varíe

en distintas situaciones de funcionamiento se incluyen dichas variaciones en las


descff ZHZ += descZHZ += (4.10)


la Figura 4.5.

( )[ ] pprpp

descfp QQK

FZHZ

dtdQ

⋅⋅−+−=1

(4.11)



1Qp

Krp

1s

Zdesc

1/Fp

2

H

1Zf


4.2.2 Azud de derivación

El azud que remansa y almacena parcialmente el agua procedente del río en caso de

una minicentral fluyente a pie de presa se encuentra inmediatamente aguas arriba de la

central. El agua una vez que pierde velocidad puede pasar a la tubería forzada cuya

captación se encuentra en el vaso del propio azud. Dado que el vertido del agua

turbinada se produce a poca distancia de la toma puede decirse que no hay tramo de

río afectado si se turbina todo el caudal procedente del río. El cuerpo del azud

dispondrá de un aliviadero para verter caudal en caso de emergencia o de parada de la

central pero en circunstancias normales de funcionamiento se considera que el caudal

vertido por el aliviadero es nulo(Qw= 0). Por tanto, la evolución de la cota del agua en el

azud (Zf) responde a la siguiente ecuación:

prf

f QQdt

dZA −= (4.12)




El diagrama de bloques tiene como entradas la diferencia existente entre el caudal

entrante en el azud procedente del río Qr y el caudal captado por la tubería forzada Qp.

( )f

trf

AQQ

dtdZ 1

−= (4.13)




La siguiente figura muestra el diagrama de bloques que modela la expresión final que

representa el comportamiento dinámico del azud.

1Zf

1s

1/Af2

Qp

1Qr



Dado que la dinámica de central a pie de presa es similar a la de central con galería en

presión y chimenea de equilibrio se plantea el controlador PI como elemento de control

que corrija el error medido entre la cota de la lámina de agua en el azud de derivación

Zf y el valor tomado de referencia Zref. El controlador PI se adapta bien a las

necesidades del modelo, siendo su uso uno de los más extendidos por su sencillez y

robustez.

La ecuación matemática que gobierna este tipo de controladores se muestra a

continuación

( reffi

ZZdtT

kXX −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫

10 ) (4.14)

o bien:

( )dt

ZZdk

TZZ

dtdX reff

i

reff −+

−= (4.15)




( )dt

HHdk

THH

dtdX reff

i

reff −+

−= (4.17)

El diagrama de bloques que modela por tanto el controlador PI se muestra en la

siguiente figura:




El modelo de central fluyente que se utiliza para la modelación de un ejemplo de central

a pie de presa parte del trabajo realizado previamente en el Departamento de Hidráulica

y Energética de la Escuela de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica

de Madrid y del modelo de central con galería en presión y chimenea de equilibrio

desarrollado en capítulo 3.

Dado que el alcance del ejemplo es completar la modelación y permitir la realización de

ciertas simulaciones que ilustren el estudio de su estabilidad se opta por configurar el

modelo numérico tomando como referencia los datos de la central con galería en

presión y chimenea de equilibrio. Se sitúa el azud en el mismo sitio, es decir se

mantiene la cota de la lámina de agua 150,20 m.s.n.m. Dado que la central en este tipo

de centrales si sitúa aguas abajo del cuerpo de azud, si se conserva el salto neto en

condiciones nominales (31,54 m) la cota de la descarga debe modificarse (117,71

m.s.n.m).

Los coeficientes correspondientes a la turbian, bij, se calculan a partir de la posición del

punto de funcionamiento en la Colina de rendimientos, Figura 4.8.



Genéricos







Salto bruto 32,49 m

Salto neto 31,54 m

Hb 30,00 m

Qb 7,200 m3/s

Tubería forzada

Dp 2 x 1,200 m

Lp 40 m

np 0,011

Krp 0,01836 s/m2

a 1000 m/s

v 6,633 m/s

ρ 10,30>1

Azud


Af 2070,00 m2

Turbina








nI 70 r.p.m

QI 0,92 m3/s

η 0,89

X 22 mm

Q 7,200 m3/s

H 31,54 m

h0 1,051

q0 1,000

1

1

NQ∂∂

-0,0020

XQ∂∂ 1 0,0325

b11 0,547

b13 0,777


Una vez definidas los parámetros que caracterizan la minicentral fluyente a pie de presa

se procede a la estimación de las ganancias del controlador PI. Para ello se recurre de

nuevo al criterio de Ziegler – Nichols, ampliamente utilizado en la sintonización de este

tipo de controladores.

En este caso la dinámica de la central no es tampoco compatible con la simulación en

lazo cerrado por lo que se plantea bucle un lazo abierto en el que se somete a la central

a una variación instantánea de la acción controladora, posición del distribuidor.

Una vez realizada dicha simulación las fórmulas que permiten obtener las ganancias son

las siguientes:

0

9,0KTT

k p= k

TTi 3,0

0= (4.18)

ZONA DE OPERACIÓN



Las constantes temp s T0 y Tp se o

muestra la evolución de la cota del azud en el bucle abierto.

orale btienen a partir de la Figura 4.9 en la que se

( )125,1 ttTp −= pTtT −= 20 (4.19)

0 1 2 3 4 5 6

x 104

150.2

150.21

150.22

150.23

150.24

150.25

150.26

150.27

150.28

150.29

tiempo (s)

cota

del

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

K = 0,092

0,632*K = 0,0581

t1 = 2585,8 s t2 = 8090,8 s

0,283*K = 0,0260

Figura 4.9 Respuesta de la central en lazo abierto

Aplicando las fórmulas anteriormente recogidas con los valores procedentes de la

simulación en lazo a obtenidas no son

coherentes dado que el valor de T obtenido a partir de la Figura 4.9 resulta negativo

de ambas centrales son el elemento almacenador, la tunería forzada, la turbina y el

aseguarada.

bierto y reflejados en la Figura 4.9 las ganancias

0

La dinámica de la central a pie de presa es muy similar a la central con canal y cámara

de carga, estudiada en el capítulo anterior. Los compontes que intervienen en el control

controlador. Lo que realmente diferencia ambas centrales desde el punto de vista del

control es la dimensión del elemento almacenador que en el caso de central a pie de

presa es el azud de derivación y en el caso de canal y cámara es la propia cámara.

Por tanto se utilizan para realizar una primera simulación las mismas ganancias que se

emplearon para la central con canal y cámara ya que la estabilidad debe estar



Tabla 4.2 Ganancias

k 20

T 5,0 s i

4.3.3 Simulación

controlador permite realizar una simulación que refleje el

comportamiento del Modelo completo de minicentral fluyente a pie de presa

La calibración del

desarrollado hasta ahora. Para ello se simula una disminución brusca del 10% del

caudal nominal turbinado en el caudal del río, Figura 4.10.

0 50 100 150 200 250 30012.5

13

13.5

14

14.5

tiempo (s)

caud

al (m

3 /s)

Figura 4.10 Caudal en el río

En los siguientes gráficos se m al tanto del nivel de agua en

el azud, Figura 4.11, como de la posición del distribuidor, Figura 4.12.

uestran la evolución tempor


0 500 1000 1500 2000 2500 3000150.13

150.14

150.15

150.16

150.17

150.18

150.19

150.2

150.21

150.22

150.23

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)


0 500 1000 1500 2000 2500 300017

18

19

20

21

22

23

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Como se observa en la figuras la simulación refleja estabilidad pero la diferencia de

superficies entre el azud y la cámara de carga produce que la respuesta de ambas

centrales sea muy diferente en el tiempo. En el caso de central a pie de presa se



observa mucho mayor sobrepaso y tiempo de establecimiento. Es decir que la oscilación

presenta una mayor amplitud y que el tiempo en el que se alcanza la estabilidad es

mayor.

4.4 MODELO LINEAL

El estudio de la estabilidad del modelo de central a pie de presa precisa de la

linealización de las ecuaciones que lo componen. En este caso los componentes de la

central: azud, tubería forzada, turbina y controlador permiten generar un modelo lineal

de tercer orden. Por tanto no es preciso omitir la dinámica de ninguno de ellos para

obtener un modelo sencillo para el tratamiento de su estabilidad.

Aunque el Modelo completo tenga como una de la hipótesis de partida que la central

esté conectada a una red de gran potencia (N = cte) en la linealización y el posterior

estudio de la estabilidad se incluye la variación de la velocidad del grupo como uno de

las posibles cambios que pueden sufrir las variables de entrada.

A continuación se recogen las ecuaciones que permiten simular los componentes de la

central a pie de presa. Inicialmente son cuatro ecuaciones pero la tubería forzada y la

turbina se asocian en una misma expresión, de forma que el sistema resultante es de

tercer orden.

Turbina

τ131211 bnbhbq ++= (4.20)

Tubería forzada

HHQQKdt

dQAg

Lfpprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(4.21)

Azud de derivación

prf

f QQdt

dHA −= (4.22)

Controlador PI

( )dt

HHdk

THH

dtdX reff

i

reff −+

−= (4.23)



La linealización del sistema de ecuaciones se realiza utilizando valores por unidad. Cada

variable se decompone en una suma, valor del estado inicial y variación de la variable.

Las variables de estado son aquéllas cuya evolución temporal se obtiene de cada

bloque. En el modelo de central a pie de presa, modelo de tercer orden, son tres las

variables de estado: caudal que circula por la tubería, cota del agua en el azud y

posición del distribuidor.

Las variables de entrada representan las modificaciones de las condiciones iniciales de

equilibrio. En el presente modelo se considera que puede variar el caudal procedente

del río, el nivel de referencia al que debe permanecer la cota del agua en el azud y la

velocidad de giro de la central (se plantea la posibilidad de la velocidad variable y de

operación en isla).

Variables de estado

( )ppbp qqQQ += 0 (4.24)

( )ffbf hhHH += 0 (4.25)

( )ττ += 0bXX (4.26)


( )rrbr qqQQ += 0 (4.27)


( )nnNN b += 0 (4.29)

4.4.1 Ecuación del subsistema Turbina – tubería forzada

El comportamiento del fluido en la tubería forzada entre el elemento almacenador y la

turbina se refleja en la ecuación (4.21). Aplicando los valores por unidad dicha ecuación

se transforma en:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )hhHhhH

qqQqqQKdt

qqQdgAL

bffb

ppbppbrpppb

p

p

+−+=

=++++

00

000

(4.30)





00

=dt

dqp (4.31)

El alcance del modelo es la pequeña perturbación por lo que se pueden despreciar los

términos de segundo orden como qp2, por lo que la expresión (4.30) resulta:

( )( )

hHhHhHhH

qqqqQKdt

dqgA

QL

bbfbfb

pppprpp

p

bpb

−−+=

=+++

00

002

(4.32)

( ) ( )hhHhhH

qqQKqQKdt

dqgA

QL

fbfb

pprpprpp

p

bpbb

−+−=

=++

00

02202 2 (4.33)

Las condiciones iniciales implican:

( 00202 hhHqQK fbpbrp −= ) (4.34)

lo que lleva a expresar la ecuación de la tubería forzada de la siguiente forma:

( hhHqqQKdt

dqgA

QLfbppbrp

p

p

bp −=+ 02 2 ) (4.35)

Denominando:

bp

bpw HgA

QLT ='

b

brp

HQK

p2

'= (4.36)

La expresión linealizada obtenida es:

hT

hT

qT

qpdt

dq

wf

wp

w

pp

'1

'1

''2 0

−+−= (4.37)

Si se despeja el valor de h de la expresión (4.20), procedente de la linealización de las

expresiones genéricas que corresponden a la colina de rendimientos de la turbina:

τ11

13

11

12

11

1bbn

bbq

bh −−= (4.38)

y considerando que se pueden identificar el caudal turbinado y el caudal que circula por

la tubería forzada:


pqq = (4.39)

se obtiene la expresión linealizada del la tubería forzada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+−= τ

11

13

11

12

11

0 1'

1'

1'

'2bb

nbbq

bTh

Tq

Tqp

dtdq

pw

fw

pw

pp (4.40)

nbT

bbT

bh

Tq

Tqp

bTdtdq

wwf

wp

w

p

w

p

11

12

11

130

11 '''1

''2

'1

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= τ (4.41)

Al igual que en el modelo con galería en presión y chimenea de equilibrio, el parámetro

Tw’ o tiempo de arranque del agua se trata de un elemento almacenador de energía

cinética pero en este caso en la tubería forzada. Representa el tiempo necesario para

acelerar sin rozamiento la masa de fluido contenido en la tubería forzada desde el

reposo hasta el caudal Qb, sometida a la altura Hb.

El parámetro p’ representa las pérdidas unitarias por rozamiento que se producen en la

tubería forzada.


(4.41). Dado que el diagrama representa la misma central que la modelada en el

Modelo completo no se incluye la variación de la velocidad del grupo n en el diagrama.

hf

Tau

qp

1Qp

qp0

1/Tw'

b13/(b11*Tw')

hf0

Tau0

1s

1/Xb

Zdesc

Qb

1/Hb

2*p'*qp0/Tw'+1/(Tw'*b11)

2X

1Zf

Figura 4.13 Diagrama de bloques del modelo lineal del subsistema turbina – tubería forzada




4.4.2 Ecuación del Azud

Introduciendo en la expresión (4.22) las variables reflejadas anteriormente en valores

por unidad:

( )[ ] ( ) ( ppbrrbffb

f qqQqqQdt

hhHdA +−+=

+ 000

) (4.42)

pbrbpbrbf

bff

bf qQqQqQqQdt

dhHA

dtdh

HA −+−=+ 000

(4.43)

Sabiendo que en la situación inicial se cumple:

000

pbrbf

bf qQqQdt

dhHA −= (4.44)

La ecuación puede escribirse:

pbrbf

bf qQqQdt

dhHA −= (4.45)

Si se denomina:

b

bff Q

HAT = (4.46)

Se obtiene la expresión linealizada que gobierna el elemento almacenador de la central:

rf

pf

f qT

qTdt

dh 11+−= (4.47)

El parámetro Tf, constante del azud, se conoce como el tiempo de llenado del

componente almacenador. Representa el tiempo necesario para elevar la cota del agua

en el azud una altura Hb con un caudal Qb.

La dinámica del azud de derivación linealizada se muestra en el siguiente diagrama de

bloques.


hf

qp

qr

1Zfhf0

qr0

qp0

1s

1/Qb

1/Qb

Hb

Zdesc

1/T.f

2

Qp

1Qr

Figura 4.14 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación

4.4.3 Ecuación del controlador de nivel



( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ]dt

hhHhhHdk

ThhHhhH

dtXd

refrefbffb

i

refrefbffbb

+−++

++−+

=+

00

000 ττ

(4.48)

( ) ( )( ) ( )

dthhd

kHdt

hhdkH

hhTH

hhTH

dtdX

dtdX

refrefb

ffb

refrefi

bff

i

bbb

+−

++

++−+=+

00

000 ττ

(4.49)

( ) ( )

( ) ( )dt

hhdkH

dthhd

kH

hhTH

hhTH

dtdX

dtdX

reffb

reffb

reffi

breff

i

bbb

−+

−+

+−+−=+

00

000 ττ

(4.50)




000 =− reff hh 00

=dt

dτ (4.51)

Por otro lado, al igual que en el modelo con galería en presión, se supone que el valor

de referencia del controlador varía únicamente por escalones y no de una forma

continua por lo que puede escribirse:

0=dt

dhref (4.52)


( )dt

dhkHhh

TH

dtdX f

breffi

bb +−=

τ (4.53)

Se sustituye el valor de la variación temporal de la cota en el azud de derivación por

unidad, hf, por la ecuación (4.47):

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−= r

fp

fbreff

i

bb q

Tq

TkHhh

TH

dtdX 11τ

(4.54)

y llamando

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (4.55)


rf

reffpf

qT

hhqTdt

d αββ

ατ+−+−=

11 (4.56)


vertido en el controlador. La diferencia de caudales determina la acción proporcional

mientras que el error entre las cotas de referencia y del agua en el azud la acción

integradora.



Tau

hf

href

1X

1s

k

Hb/Xb

1/Ti

1/Hb

1/Hb

Tau0

Zdesc

Zdesc

href0

Xb

hf0

2Zref

1Zf

Figura 4.15 Diagrama de bloques del modelo lineal de Controlador PI


Como se observa en los diagramas de bloques y se ha comentado con anterioridad, en

el caso de central a pie de presa el Modelo completo y el Modelo lineal tienen la mismos

elementos y por tanto la misma geometría. Por tanto, el punto de operación en la Colina

de rendimientos se mantiene idéntico en ambos modelos al igual que el salto neto

turbinado.

La única diferencia entre ambos son las no-linealidades procedentes de las pérdidas que

desaparecen cuando se linealizan las expresiones del Modelo completo.

Se mantienen, a su vez, los valores numéricos de las ganancias del controlador PI

calibrado para el Modelo completo.



Genéricos







Salto bruto 32,49 m

Salto neto 31,54 m

Hb 30,00 m

Qb 7,200 m3/s

Azud


hf0 1,159

Tf 4312,5 s


qp0 1,000

Tw’ 1,109 s

p’ 0,0327

Turbina



nI 70 r.p.m

QI 920 l/s

X 22,0 mm

0τ 1,000

b11 0,547

b13 0,777

Controlador PI

k 5941,3

Ti 0,0075



4.5.2 Simulación

Mediante la simulación del Modelo lineal se puede comprobar no sólo el

comportamiento dinámico de dicho modelo, s¡no la similitud que presenta la

linealización de las ecuaciones frente al modelo completo.

En las siguientes figuras se muestran los resultados correspondientes a la misma

simulación que se efectuó con el Modelo completo, superponiendo en la misma figura la

evolución temporal de la cota del agua en el azud, Figura 4.16 y de la posición del

distribuidor, Figura 4.17, de ambos modelos.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000150.13

150.14

150.15

150.16

150.17

150.18

150.19

150.2

150.21

150.22

150.23

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

Modelo completoModelo lineal


Como se puede comprobar en ambas figuras el resultado obtenido a partir de los dos

modelos es prácticamente idéntico. Esto se debe a que en el caso de la central a pie de

presa el Modelo completo y el Modelo lineal constan de los mismos componentes

mientras que en el caso de la central con galería en presión y chimenea de equilibrio el

Modelo lineal carecía de tubería forzada.

En esta tipología de central las no linealidades se encuentran únicamente en la tubería

forzada que tiene unas dimensiones reducidas. En cambio, en la tipología de central con

galería que se refleja en el capítulo 6 las pérdidas generadas en la propia galería con

una longitud mayor, la ecuación de desagüe del vertedero y las pérdidas en la tubería

forzada producen diferencias entre ambos modelos.



0 500 1000 1500 2000 2500 300017

18

19

20

21

22

23

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)



Por último el hecho de que la central sólo disponga de un elemento almacenador reduce

la importancia de las pérdidas y por tanto de las no linealidades. La dinámica oscilatoria

generada entre los dos elementos almacenadores que forman parte de la central con

galería en presión y chimenea de equilibrio, azud y la propia chimenea de equilibrio,

genera unas pérdidas adicionales que acentúan la diferencia de comportamiento entre

los dos modelos lineal y completo.

En el estudio de estabilidad de esta tipología de centrales desarrollado en el Capítulo 5,

por tanto, los resultados y conclusiones obtenidas a partir de las ecuaciones linealizadas

se pueden implantar en el Modelo completo sin que se prevea que las no linealidades

modifiquen los resultados obtenidos.

Aunque las dinámicas del Modelo lineal y del Modelo completo no presentan diferencias

sustanciales, se considera adecuado completar las deducciones obtenidas a partir de las

ecuaciones linealizadas con las simulaciones correspondientes en el Modelo completo .En el capítulo 5, en el que se plantea el estudio de la estabilidad de las centrales con

canal y cámara de carga y a pie de presa, las simulaciones efectuadas con el Modelo completo ilustran y facilitan la comprensión de los razonamientos elaborados a partir de

la Técnica del lugar de raíces.


CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN 5.1 Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA

CAPÍTULO 5 Estudio de la estabilidad de minicentrales fluyentes con canal de

derivación y cámara de carga o a pie de presa

5.1 INTRODUCCIÓN

Una vez elaborado los modelos que representan el comportamiento dinámico de las

minicentrales fluyentes, con canal y cámara y a pie de presa, se plantea el estudio de su

estabilidad. Como métodos para realizar dicho estudio se utilizan el criterio de Routh -

Hourwitz y la técnica del lugar de raíces. Ambos procedimientos se aplican al Modelo lineal de minicentral fluyente dado que las ecuaciones lineales simplifican notablemente

el sistema a analizar facilitando el estudio de su estabilidad. Según lo demostrado en los


5.2 CAPÍTULO 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE MINICENTRALES FLUYENTES CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA O A PIE DE RESA

capítulos 3 y 4 el comportamiento del Modelo lineal apenas difiere del Modelo completo,

por ello todos los resultados obtenidos a partir del Modelo lineal se ilustran y

comprueban mediante simulaciones realizadas con el Modelo completo. De esta forma

se extrapolan las conclusiones obtenidas a partir de un modelo simplificado a un modelo

que se aproxima mucho al funcionamiento de una minicentral fluyente real.

El criterio de Routh - Hourwitz, a partir del polinomio característico del sistema, permite

delimitar regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento en el que se

encuentre la misma. De esta forma se comprueba cómo afecta la modificación del punto

de operación de la minicentral en el comportamiento de la misma frente a pequeñas

perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio.

La técnica del lugar de raíces se basa en calcular los autovalores o polos de la matriz

dinámica del sistema y representarlos en el plano s. La posición de los polos permite

obtener información de la respuesta del sistema frente a perturbaciones de las

condiciones iniciales de equilibrio. Mediante la técnica del lugar de raíces, dada una

geometría de la central y un punto de funcionamiento, se estudia la inlfuencia que

ejercen las ganancias del controlador PI en la respuesta de la central. Esto permite

analizar la relación que existe entre los parámetros k y Ti del controlador PI y la

respuesta de la central frente a una modificación de las condiciones iniciales de

equilibrio. El estudio de dicha relación permite establecer un criterio heurístico para

ajustar las ganancias del controlador PI que no sólo asegure la estabilidad de la

respuesta sino que la optimice reduciendo la oscilación y el tiempo de establecimiento.

En el capítulo 3 en el que se modela la minicentral con canal y cámara de carga se

observa como una de sus conclusiones finales que las modificaciones tanto del nivel de

agua como del caudal en la cámara de carga no se transmitían significativamente aguas

arriba de la misma. De esta forma cualquier cambio en la posición del distribuidor de la

turbina conlleva una variación del caudal que circula por la tubería forzada y del nivel de

agua en la cámara de carga; sin embargo en este caso dicha variación no se ve

reflejada sustancialmente en el caudal que circula por el canal, y por consiguiente, en el

azud de derivación donde se recoge el agua procedente del río. Podría decirse de forma

simplificada que las variaciones de las condiciones iniciales de equilibrio no “viajan”

aguas arriba de la cámara de carga a lo largo del canal en lámina libre.

La observación de este fenómeno obliga a descartar el control del nivel de agua en el

azud de derivación mediante el movimiento de la posición del distribuidor. De esta

forma se sitúa el control de nivel en la cámara de carga. Dado que la variación de la

cota del agua en la cámara de carga no se propaga aguas arriba del canal, para



mantener el nivel del agua en el azud de derivación sería necesaria la inclusión de un

mecanismo de control en la compuerta de toma en el azud y la central. Esto permitiría

que el nivel de agua en el azud se mantuviera constante. Como el comportamiento de

los elementos situados aguas arriba de la cámara (canal, compuerta y azud) no influye

en la estabilidad del sistema y el control del nivel de agua en el azud no es

imprescindible, no se considera en este estudio el sistema de control de la compuerta

de toma en el azud.

Por tanto, el modelo de central necesario para analizar el control de una central con

canal y cámara de carga se asimila al de una central a pie de presa. La única diferencia

entre ambas es la dimensión del elemento almacenador aguas arriba de la tubería

forzada: cámara de carga y azud. Por tanto en este capítulo se plantea la estabilidad de

ambas tipologías de minicentral de forma conjunta ya que desde el punto de vista de su

control el esquema es el mismo.

En una central a pie de presa el vertido del caudal turbinado se produce en un punto

inmediatamente próximo a la toma por tanto no es necesario plantear el vertido de

caudal ecológico sobre el azud.

La cámara de carga generalmente cuenta con un aliviadero que permite desalojar todo

el caudal procedente del río que no se turbina por razones de explotación. El aliviadero

también vierte agua cuando una modificación en el régimen de funcionamiento de la

central genera oscilaciones de nivel en la cámara de carga. Evitar este tipo de vertidos

supondría elevar mucho los cajeros de la cámara, lo que conlleva un encarecimiento

considerable de la instalación. Dado que el control planteado permite mantener el nivel

de agua en la cámara, no es necesario incluir la dinámica del aliviadero ya que no

verterá agua en condiciones normales de utilización de la central. Otra de las ventajas

obtenidas con este tipo de control es que, en la medida en que se turbinan las

variaciones de caudal procedentes del canal no será preciso modificar la posición de la

compuerta aguas arriba del mismo.

El estudio de la estabilidad de una central con control de nivel en la cámara de carga o

en el azud en el caso de ser a pie de presa, mediante la modificación de la posición del

distribuidor, es el objetivo del presente capítulo. Para ello se utilizará la metodología

propuesta en el apartado siguiente basada en el criterio de Routh – Hourwitz y la

técnica del lugar de raíces, pilares de la teoría del control clásico.



5.2 METODOLOGÍA PROPUESTA

En los siguientes puntos se describen los pasos seguidos en el estudio de la estabilidad

calibración del controlador PI de las minicentrales fluyentes con canal y cámara de

carga y a pie de presa.

Dichos pasos de muestran a continuación:

a. La matriz dinámica del sistema resulta del agrupamiento matricial de las

ecuaciones linealizadas de cada elemento que compone la central, por tanto la

matriz representa al Modelo lineal de central. En este caso la matriz es de tercer

orden ya que la dinámica de la tubería forzada y la turbina se refleja en una

misma ecuación. De esta forma las ecuaciones que la componen son: turbina –

tubería forzada, azud o cámara y controlador.

b. A partir del polinomio característico de la matriz dinámica se aplica del criterio

de Routh – Hourwitz. Dicho criterio permite establecer la condición de

estabilidad de una minicentral con control de nivel en el azud o en la cámara

de carga.

c. La condición de estabilidad se materializa en las regiones de estabilidad. En

este caso dichas regiones no dependen de las dimensiones del elemento

almacenador como se verá posteriormente. Las variables que modifican las

regiones de estabilidad son las referentes a la tubería forzada, al punto de

operación de la central y las ganancias del controlador PI.

d. La selección de las ganancias del controlador se realiza a partir de la

construcción del lugar de raíces de las propias ganancias. Para ello se elabora el

lugar de raíces de k manteniendo constante el valor de Ti en los dos modelos,

con canal y cámara de carga y a pie de presa.

e. Los resultados procedentes del lugar de raíces se completan con simulaciones

en el Modelo completo de ambas centrales. De esta forma se termina de

establecer la relación entre la posición de los polos en el lugar de raíces y el

comportamiento del Modelo completo.

f. Contrastando el lugar de raíces con los resultados procedentes de las

simulaciones se establece un criterio heurístico para la determinación de la

ganancia k.



g. Siguiendo la filosofía a partir del lugar de raíces del Modelo lineal, completada

con simulaciones en el Modelo completo se selecciona la pareja de

ganancias k y Ti que proporcionen la respuesta más adecuada para ambos

casos de central, con canal y cámara de carga y a pie de presa.

h. Partiendo de la aplicación analítica del criterio heurístico enunciado se desarrolla

una formulación matemática que permite obtener las ganancias del

controlador PI a partir de la geometría de la central y del punto de operación en

el que se encuentre.

i. Por último, dado que los resultados obtenidos proceden de un Modelo lineal concebido para la simulación de pequeñas perturbaciones de las condiciones

iniciales de equilibrio se comprueba en el Modelo completo el ajuste de las

ganancias realizado mediante la simulación de una gran perturbación de

una de las variables de entrada, el caudal del río o del canal.

5.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA

El modelo refleja el comportamiento de la central, cuyas ecuaciones se han descrito y

linealizado anteriormente en los Capítulos 3 y 4, operando alrededor de un punto de

funcionamiento por lo que se suponen pequeñas perturbaciones.

Dado que las ecuaciones de las dos centrales son iguales salvo la nomenclatura se

propone, para el estudio de la estabilidad, el uso de variables que engloben a los dos

modelos. De este modo el caudal que se introduce en el modelo como variable de

entrada se denomina Qe, que representa al caudal procedente del río en la central a pie

de presa o el que aporta el canal de derivación en el caso de central con canal y cámara

de carga. La variación en valores por unidad de la cota del agua en el elemento

almacenador pasa a ser ha mientras que la constante de tiempo de dicho elemento Ta.

Turbina – Tubería forzada

nbT

bbT

bh

Tq

Tqp

bTdtdq

wwa

wp

w

p

w

p

11

12

11

130

11 '''1

''2

'1

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= τ (5.1)

Elemento almacenador

pa

ea

a qT

qTdt

dh 11+−= (5.2)



Controlador PI

ea

refapa

qT

hhqTdt

d αββ

ατ+−+−=

11 (5.3)

El presente modelo se representa mediante tres componentes fundamentales: elemento

almacenador, tubería forzada y controlador, de modo que la matriz dinámica del sistema

será de tercer orden. Las expresiones que describen el comportamiento del sistema se

agrupan matricialmente para realizar el estudio de estabilidad. Constituyen las

ecuaciones de estado del sistema y su formulación en forma canónica (Wilhelmi, 1992)

se expresa:

BUAXdtdX

+= (5.4)

donde:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

τa

p

hq

X (5.5)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

ref

e

hqn

U (5.6)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

βα 10

010

00' 11

12

a

a

w

T

T

bTb

B (5.7)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

01

001''

1'

'2'1

11

130

11

βα

a

a

www

p

w

T

T

bTb

TTqp

bT

A (5.8)



La minicentral fluyente se modela gracias a las ecuaciones de estado que relacionan las

diferentes variables. Dentro de estas variables se encuentran las entradas al sistema y

las denominadas variables de estado.

5.4 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD

Un sistema se puede calificar como estable cuando las raíces del polinomio

característico de su matriz dinámica se encuentran en el semiplano abierto negativo

(Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática. Universidad de Sevilla, 2005).

Siendo la matriz A la matriz dinámica del sistema compuesto por el azud, los conductos,

la chimenea y la turbina es necesaria la obtención de su polinomio característico.

5.4.1 Polinomio característico

El resultado del siguiente determinante permite la obtención del polinomio

característico:

λβ

α

λ

λ

λ

1

01''

1'

'2'1

)(

11

130

11

−

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=−=

a

a

www

p

w

T

T

bTb

TTqp

bT

AIAp (5.9)

Desarrollando el determinante por la tercera columna:

βα

λ

λ

λλ 1

1

'1'

1'

'2'1

)(11

13

0

11

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

a

a

w

a

ww

p

w

T

TbT

b

T

TTqp

bTAp (5.10)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= λα

βλλλ

aawwaw

p

w TTbTb

TTTqp

bTAp 1

''1

''2

'1)(

11

130

11

2 (5.11)

βλ

αλλ

11

13

11

131120

11

3

''''2

'1)(

bTTb

bTTbb

Tqp

bTAp

awaww

p

w

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= (5.12)

Si se adopta la nomenclatura generalmente utilizada para la definición del polinomio

característico, éste se expresa de la forma:



322

13)( aaaAp +++= λλλ (5.13)

''2

'1 0

111

w

p

w Tqp

bTa += (5.14)

11

13112 ' bTT

bba

aw

α+= (5.15)

β11

133 ' bTT

ba

aw

= (5.16)

5.4.2 Criterio de Routh-Hurwitz

La estabilidad del sistema se puede garantizar si todas las raíces del polinomio

característico tienen parte real negativa. Para ello Routh propuso la construcción de una

tabla mediante el algoritmo llamado de Routh y que coincide con el criterio de

estabilidad desarrollado por Hurwitz, por ello el criterio lleva conjuntamente el nombre

de los dos autores.

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz dice que el polinomio tiene sus raíces en el

semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y

no nulos.

El polinomio característico de la matriz dinámica del sistema, en este caso, es de tercer

grado. La tabla que resulta aplicando el algoritmo de Routh resulta:

3

1

321

31

2

0

011

213

aa

aaaaaa

− (5.17)

Si se impone que cada uno de los elementos de la primera columna es no nulo y mayor

que cero:

0, 31 >aa (5.18)

0321 >− aaa (5.19)

De lo que se puede deducir que:

01

32 >>

aaa (5.20)



Por lo que el criterio de Routh – Hurwitz aplicado al sistema de tercer orden implica las

siguientes condiciones de estabilidad:

0,, 321 >aaa (5.21)

0321 >− aaa (5.22)

En general q0t, los parámetros del controlador PI, k y Ti, las constantes de tiempo y los

coeficientes de pérdidas siempre son mayores que cero

0,,,,,,0 >pTTTq fwst βα (5.23)

Por otro lado, en lo que se refiere a los coeficientes pertenecientes a la ecuación

linealizada de la turbina:

τ131211 bnbhbq ++= (5.24)

se puede deducir que:

Cuando se abre el distribuidor y se mantienen constantes el salto y la velocidad

de giro el caudal aumenta, lo que implica que b13 es positivo.

Cuando se incrementa el salto neto en la turbina y se mantienen constantes la

posición del distribuidor y la velocidad de giro, el caudal crece, lo que obliga a

b11 a ser positivo.

En condiciones normales de funcionamiento, por tanto, la condición (5.21) se cumple

siempre mientras que la condición más restrictiva que determina la región de estabilidad

de la minicentral fluyente es la (5.22). Sustituyendo en dicha expresión los diferentes

valores de los coeficientes ai la estabilidad queda asegurada si se cumple:

0'''

'2'1

11

13

11

13110

11

>−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

βα

bTTb

bTTbb

Tqp

bT awaww

p

w

(5.25)

que desarrollada resulta:

0'''

'21

11

13

11

1311

11

110

>−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

βα

bTTb

bTTbb

bTbqp

awaww

p (5.26)

( ) 0''21 13

131111

110

>−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +β

α bbbbT

bqp

w

p (5.27)



( )( )1311

1311110'21'

bbbbbqpT pw α

β++

< (5.28)

5.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central

Como puede comprobarse en la expresión (5.28) en la que se fija la condición de

estabilidad, en el caso de central fluyente a pie de presa o con canal en lámina libre, las

dimensiones del azud o de la cámara de carga no repercuten en la estabilidad de la

central.

La estabilidad de una central fluyente con cámara de carga y canal de derivación en

lámina libre depende únicamente del punto de funcionamiento de la turbina (b11, b13 y

qpo), de las dimensiones y materiales de la tubería forzada (p’ y Tw’) y del ajuste del

controlador (α y β).

Por tanto, la primera conclusión, a partir de la aplicación del criterio de estabilidad de

Routh – Hurwitz, que puede deducirse es que las dimensiones de la cámara de carga o

del azud en una central a pie de presa no influyen en la estabilidad de la central cuando

se controla el nivel en el azud o la cámara de carga.

5.5 REGIÓN DE ESTABILIDAD

En la expresión (5.28), que determina la condición de estabilidad, la relación que existe

entre los parámetros α y β es lineal por lo que la región de estabilidad en este caso

queda establecida por una línea recta.

Dado que la superficie del elemento almacenador (Cámara de carga o Azud) no tiene

repercusión en la estabilidad de la central únicamente se estudia la influencia que ejerce

el punto de funcionamiento en la estabilidad. Para ello el valor de p’ se obtiene a partir

de los valores básicos de la central procedentes de los Capítulos 6 y 7. El caudal Qb

resultante de los dos grupos de la central es 14,4 m3/s la altura Hb es 30 m y el

coeficiente de pérdidas Krp = 0,01836. Con estos parámetros p’ = 0,0327.

5.5.1 Influencia del punto de funcionamiento en la estabilidad

Se varía la carga con la que opera la central para comprobar cómo interviene esta

variable en la estabilidad. Para ello se modifica el caudal inicial (qp0) y se determinan los

coeficientes de la ecuación linealizada de la turbina (b11 y b13).

El ámbito del estudio de estabilidad del control de la minicentral es la pequeña

perturbación alrededor de un punto de funcionamiento. Para ello se seleccionan tres



zonas de operación en la colina de rendimientos. El objetivo es comprobar cómo se

modifican las condiciones de estabilidad cuando la central se encuentra en diferentes

situaciones. Las tres zonas de operación corresponden a la turbinación del caudal

nominal ZONA I, a la operación en baja carga ZONA II (caudal menor) y al

funcionamiento con sobrecarga ZONA III (caudal mayor que el nominal).

En la siguiente tabla se muestran los valores asociados al funcionamiento de la central

en cada punto de operación. Se mantiene constante en todo momento el salto bruto de

la central, es decir, se conserva el nivel de la lámina de agua en el azud de derivación.

Tabla 5.1 Valores nominales

Punto 1 2 3

Q (m3/s) 7,20 4,93 9,54

H (m) 31,54 33,20 29,17

nI (r.p.m) 70,00 68,20 72,75

QI(m3/s) 0,92 0,61 1,26

h0 1,051 1,107 0,972

qt0 1,000 0,684 1,325

En la Figura 5.1 se sitúan los tres puntos de funcionamiento en las Colinas de

Rendimientos de la turbina. Como puede observarse la velocidad unitaria en los tres

casos es similar.




Figura 5.1 Colina de rendimientos. Puntos de funcionamiento

Las zonas de operación seleccionadas se muestran en la Figura 5.2 y se encuentran

definidas alrededor de los puntos A, D y M. Las aperturas de distribuidor elegidas 14, 22

y 34 mm reflejan las tres situaciones de operación. El caudal nominal lógicamente se

turbina con una apertura de distribuidor de 22 mm, mientras que las otras dos

posiciones son para caudales menor y mayor respecto del nominal.

Dentro de la ecuación que limita la región de estabilidad (4.39) los parámetros que

caracterizan la zona de operación en la que se encuentra la central son los coeficientes

de la ecuación linealizada de la turbina (b11 y b13) y el caudal inicial en valores por

unidad (qt0).

1

2

3



Figura 5.2 Colina de rendimientos. Zonas de operación para el ajuste de parámetros

En la siguiente tabla se recogen los valores obtenidos aplicados a las zonas y puntos de

operación seleccionados en la colina de rendimientos:

Tabla 5.2 valores de los parámetros que definen cada zona de operación

Punto A D M

nI (r.p.m) 70 70 70

QI(m3/s) 0,92 0,63 1,22

η 0,890 0,810 0,835

A

D

M

ZONA

ZONA I

ZONA



Punto A D M

X (mm) 22 14 34

1

1

NQ∂∂

-0,00200 -0,00267 0,00000

XQ∂∂ 1 0,0325 0,0367 0,0250

b11 0,547 0,421 0,630

b13 0,777 0,876 0,597

La región de estabilidad en este caso es un semiespacio abierto que queda delimitado

por una recta. Las combinaciones de α y β, es decir, de k y Ti, que resulten a la derecha

y por debajo de la recta generan un control estable de la central.

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

α

T w/ β

Situación 1

α = 5 K = 3.67 Tw /β = 25 Ti = 0.061

Situación 2

α = 25 K = 18.33 Tw /β = 25 Ti = 0.061

ZONA I

ZONA II

ZONA III

Figura 5.3 Regiones de estabilidad en función del punto de funcionamiento

La estabilidad del sistema mejora conforme se cierra el distribuidor, siendo la región

menos restrictiva la ZONA II. Este fenómeno es inverso al observado en los modelos

con galería en presión (Capítulo 7 y Capítulo 8) en los que la operación con baja carga

presenta una región de estabilidad más reducida. En una central con canal y cámara de

carga o a pie de presa cuanto menor caudal se turbine mejores son las condiciones de


estabilidad. También se comprueba que el aumento de la longitud de la tubería forzada,

incremento de Tw, repercute negativamente en la estabilidad de la central. Esto coincide

con lo expuesto por diferentes autores según se comprueba en el capítulo 2.

Para comprobar los datos aportados por las regiones de estabilidad se simulan dos

situaciones en una de las centrales modeladas con anterioridad, en este caso con

cámara, capítulo 3. En ambas situaciones se simula un descenso del caudal procedente

del canal mientras que se varía el ajuste del controlador. En la simulación 1 las

ganancias del controlador se sitúan fuera de la región de estabilidad, mientras que en la

situación 2 el punto de ajuste del controlador se ubica en la región estable.

0 50 100 150 200 250 300 350 40012.5

13

13.5

14

14.5

15

caud

al rí

o(m

3 /s)

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

20

40

60

80

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 50 100 150 200 250 300 350 400142

142.5

143

143.5

144

144.5

tiempo (s)

cota

agu

a cá

mar

a (m

.s.n

.m)

Figura 5.4 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)

Como se puede comprobar en las simulaciones los resultados del estudio de estabilidad

en forma de regiones de estabilidad se ponen de manifiesto en el modelo de central

elaborado.



0 50 100 150 200 250 300 350 40012.5

13

13.5

14

14.5

15

caud

al rí

o(m

3 /s)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

17,5

20

22,5

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 50 100 150 200 250 300 350 400

143.35

143.375

143.4

143.425

tiempo (s)

cota

agu

a cá

mar

a (m

.s.n

.m)

Figura 5.5 Situación 1, Modelo con canal. Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)

5.6 CRITERIOS PARA EL AJUSTE DEL CONTROLADOR PI

Uno de los objetivos del estudio de la estabilidad de una central, aparte de la obtención

de valores de referencia para las dimensiones de los elementos almacenadores, es el

ajuste de los parámetros del controlador de nivel PI (k y Ti).

La primera condición que deben cumplir dichos parámetros es garantizar la estabilidad

de la central. Una vez asegurada la estabilidad se seleccionan los componentes del

controlador para que la respuesta del sistema sea satisfactoria además de estable. La

rapidez con la que controlador lleva a la variable controlada al valor de referencia y la

forma en que lo hace, concretamente la oscilación de la respuesta, son las

características fundamentales que configuran la idoneidad de un controlador.

La respuesta en el dominio del tiempo de un sistema con realimentación o lazo cerrado,

como el de la central modelada, puede describirse de acuerdo con la localización de los

polos de la matriz dinámica en el plano s. El estudio de la posición de dichos polos

permite prever el tipo de respuesta del sistema frente a variaciones de las variables de

entrada. Si se establece un criterio que precise el tipo de respuesta considerada óptima

pueden determinase los valores de k y Ti que garantizan dicha respuesta.




Por tanto, partiendo de la matriz dinámica del sistema y de su polinomio característico,

se construye el lugar de raíces correspondiente a cada uno de los parámetros k y Ti

para estudiar su influencia en la respuesta del modelo y seleccionar los valores que

optimicen dicha respuesta.

El sistema que compone la minicentral fluyente es de tercer orden por lo que los lugares

de raíces que se elaboren a partir de dicho sistema constarán de tres series de polos.

Según se refleja en (Ogata, 1994) la respuesta de sistemas de orden superior es la

suma de las respuesta de sistemas de primer y segundo orden. Para comprender y

analizar los resultados obtenidos es interesante conocer previamente el lugar de raíces

de un sistema genérico más sencillo: de segundo orden. Mediante la comprensión y

caracterización de su lugar de raíces y de la relación que existe entre dicho gráfico y la

respuesta del sistema frente a perturbaciones externas, es posible percibir el

funcionamiento de un sistema de rango superior.

5.6.1 Caracterización del lugar de raíces de un sistema de segundo orden y su respuesta

El polinomio característico de un sistema de segundo orden se expresa de forma

genérica (Nise, 1995):

22 2)( nnAp ωλζωλ ++= (5.29)

donde:

ωn = frecuencia natural de la respuesta del sistema no amortiguado

ζ = cos θ = amortiguamiento relativo (sistema subamortiguado)

En la Figura 5.6 se representan en el plano s los parámetros que caracterizan la

posición de los polos de un sistema de segundo orden. Como se puede comprobar los

polos son conjugados cuando el amortiguamiento relativo ζ es menor que uno (sistema

subamortiguado).

La ecuación de la respuesta natural de un sistema de segundo orden frente a una

perturbación de tipo escalón se puede expresar de la siguiente forma:

( ) ( φωζ

σ −−

−= tetc dtd cos

111

2) (5.30)

donde:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= −

2

1

1tan

ζζφ (5.31)

σd =amortiguamiento exponencial de la respuesta

ωd = frecuencia de la oscilación amortiguada.

Figura 5.6 Representación de polos conjugados en el plano s

Cuando el sistema es estable la respuesta alcanza un valor asintótico (se dice que es

estable). Para comprobarlo se calcula la pendiente de la respuesta, que resulta:

( ) ( tsenedt

tdcd

tn d ωζ

)ω σ21−

−= (5.32)

Si el sistema es asintóticamente estable se debe cumplir por tanto:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∞→∞→ tsenedt

tdcd

tntt

d ωζ

ω σ21

limlim (5.33)

lo cual sucede cuando σd < 0. Se puede concluir que la condición para que un sistema

sea asintóticamente estable es que sus polos tengan la parte real menor que cero.

Una vez asegurada la estabilidad, se estudia la calidad de la respuesta frente a

variaciones de las condiciones iniciales. Para ello se establece la relación que existe


entre la respuesta temporal del sistema de segundo orden frente a un escalón, Figura

5.7, y los parámetros descritos anteriormente.

Figura 5.7 Especificaciones de la respuesta de un sistema de segundo orden

A continuación se describen las constantes temporales que caracterizan la respuesta y

su relación con los parámetros de la oscilación.

Td = Periodo de la oscilación amortiguada.

ddT

ωπ2

= (5.34)

Tp = tiempo de pico. Tiempo requerido para alcanzar el primer máximo de la

oscilación siendo la expresión que permite su obtención:

dpT

ωπ

= (5.35)

Te = tiempo de establecimiento. Tiempo necesario para que la oscilación

amortiguada permanezca con un error del ± 2% respecto del valor permanente.

Se calcula mediante la ecuación:

deT

σ4

= (5.36)



Tr = tiempo de subida. Tiempo empleado por la onda para llegar desde el 0,10

hasta 0,9 del valor final. No existe una formulación explícita que permita su

cálculo.

Una primera estrategia para optimizar la respuesta es minimizar el tiempo de

establecimiento. De acuerdo con las expresiones anteriores, para ello, en un sistema de

segundo orden, se debe intentar maximizar el amortiguamiento exponencial σd. De esta

forma, como se comprueba en la Figura 5.8, se logra que la variable controlada llegue

antes al valor de la consigna.

Figura 5.8 Influencia de σd en la respuesta

Una segunda opción para mejorar la respuesta es reducir la oscilación. Esto supone

disminuir la frecuencia de la oscilación amortiguada ωd. Esto se pone de manifiesto en

la Figura 5.9.

Figura 5.9 Influencia de ωd en la respuesta

Como conclusión puede decirse que en un sistema de segundo orden la respuesta es

estable cuando sus polos tienen la parte real negativa y mejoran la respuesta del

sistema cuando están más distantes del eje imaginario, y más próximos al eje real.



5.6.2 Lugar de raíces. Introducción

El objetivo de utilizar el lugar de raíces en el estudio de estabilidad es analizar la

influencia que ejercen cada una de las dos ganancias (proporcional e integradora) del

controlador PI en la dinámica del sistema. De esta forma, estableciendo unas pautas de

comportamiento y fijando ciertos criterios basados en el óptimo funcionamiento de la

central es posible ajustar el controlador.

El punto de funcionamiento de la central, es decir, la carga o caudal con el que opera,

influye considerablemente en la estabilidad de la central y por consiguiente en el control

de la misma. Inicialmente se considera el punto de funcionamiento nominal.

Posteriormente se plantea la extrapolación de las conclusiones obtenidas a cualquier

punto de funcionamiento.

El lugar de raíces procede del cálculo de los autovalores de la matriz dinámica del

sistema. A continuación se muestra dicha matriz, que en este caso resulta de tercer

orden, sustituyendo los valores de α y β para que figuren explícitamente k y Ti.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=

01

001''

1'

'2'1

11

130

11

b

b

icb

b

c

www

p

w

XH

TTXHk

T

bTb

TTqp

bT

A (5.37)

En la Tabla 5.3 se muestran los valores nominales de la central con canal de derivación

y cámara de carga y a pie de presa. Ambos modelos presentan los mismos valores salvo

la constante de tiempo del elemento almacendor aguas arriba de la tubería forzada Ta.

Esta constante es menor en el caso de la cámara de carga dado que sus dimensiones

son mucho menores que el azud de la central a pie de presa.

Tabla 5.3 Valores nominales del modelo

Tw’ 1,109 s

Cámara de carga 208,33 s Ta

Pie de presa 4312,50 s

b11 0,547

b13 0,777

p’ 0,0327



Qb 7,20 m3/s por 2 grupos

Hb 30 m

Xb 22 mm

5.6.3 Lugar de raíces de la ganancia k

Dado que las dos ganancias del controlador aparecen de forma similar en la matriz

dinámica del sistema es necesario fijar una de ellas para construir el lugar de raíces que

procede de la variación de la otra ganancia. Inicialmente se determina, por tanto, un

valor constante de Ti para observar la influencia de la componente proporcional, k, del

controlador.

Esto se corresponde con fijar una ordenada constante en la región de estabilidad

cercana a la base para garantizar la estabilidad. De esta forma, como se indica en la

Figura 5.10, se determina Tw’/β = 10, es decir, Ti = 0,924 s.

Figura 5.10 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw’/β = 10

A continuación se hace variar el valor de la ganancia proporcional k y se calculan los

autovalores para cada valor de k. Para ello se sustituyen las constantes temporales

asociadas a los dos modelos, con canal y cámara de carga y a pie de presa. Dado que el



valor de la constante de tiempo del elemento almacenador es distinto se generan dos

lugares de raíces diferentes correspondientes a cada modelo. La Figura 5.11 muestra el

lugar de raíces de la ganancia k para el modelo de central con canal y cámara de carga

mientras que la Figura 5.12 y la Figura 5.13 reflejan el lugar de raíces de la constante k

del controlador de la central a pie de presa.

Figura 5.11 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central con cámara de carga

El sistema en ambos casos y por tanto la matriz dinámica, son de tercer orden, por lo

que para cada valor de la ganancia proporcional se obtienen tres autovalores o polos.

Para valores reducidos de k los denominados Polo 1 y Polo 2 son polos conjugados

mientras que el Polo 3 se mantiene en el eje real. Cuando aumenta el valor de la

ganancia k los tres polos se encuentran sobre el eje real. Por último, para valores de k

superiores a cierto valor los polos 2 y 3 pasan a ser conjugados mientras que el Polo 1

se acerca al eje imaginario pero manteniendo siempre negativa su parte real.



Figura 5.12 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa

Figura 5.13 Lugar de raíces de k con Ti = 0,151; Central a pie de presa (Ampliación)

Ambos modelos de central, como se refleja en la Figura 5.3, presentan idénticas

regiones de estabilidad. Por tanto, aunque los lugares de raíces sean distintos debido a



que dependen de la constante de tiempo del elemento almacenador, deben mostrar

polos inestables para el mismo valor de la ganancia k. Esto se comprueba en las figuras

anteriores donde se observa que para valores de k inferiores a 3,3 ambos modelos se

muestran inestables.

Se concluye, como se había demostrado anteriormente, que las dimensiones del

elemento almacenador, ya sea una cámara de carga o un azud, no influyen en la

estabilidad de la central. En cambio, la constante temporal de la cámara o el azud

influyen en la dinámica de cada central y por tanto generando diferentes lugares de

raíces.

5.6.4 Estudio de la respuesta en función de k

Una vez fijados los valores de k que garantizan la estabilidad de la central se plantea el

estudio del comportamiento del Modelo completo en función de la variación de la

ganancia proporcional k. Para ello se simula una disminución del 10% del caudal de

diseño (14,40 m3/s) del canal o del río con diferentes sintonías del controlador PI (k

variable y Ti constante). Dicha simulación permite establecer la relación entre la

posición de los polos en el lugar de raíces y la dinámica de la central para cada valor de

la ganancia k.

Dado que las dinámicas de la cámara de carga y del azud son muy diferentes el tiempo

de respuesta de la central es distinto. Por tanto, se realiza la misma simulación en

ambos modelos pero modificando los tiempos de simulación.

En el caso de la central con canal y cámara de carga el tiempo de simulación se fija en

100 segundos mientras que para la central a pie de presa el tiempo de simulación será

de 1.500 segundos.

Figura 5.14 Variación de caudal en el canal, Central con cámara de carga



Figura 5.15 Variación de caudal en el río, Central a pie de presa

5.6.4.a Central con canal de derivación y cámara de carga

Como se ha comentado en apartados anteriores la posición de los polos en el lugar de

raíces, su cercanía a los ejes real e imaginario así como la relación entre la posición de

los diferentes polos determina la forma en que el controlador opera y por lo tanto la

tipología de la respuesta de la variable controlada (nivel de agua en la cámara de carga)

y de la variable controladora (posición del distribuidor).

La simulación se realiza en cuatro casos para diferentes valores de la ganancia k (25,

50, 75, 100). Como se puede apreciar en la Figura 5.16 la selección de dichos valores

permite conocer el influjo que tiene la posición de los polos del lugar de raíces en el

comportamiento de la central. Para k = 25 y 50 los Polos 1 y 2 son conjugados mientras

que el Polo 3 se encuentra en el eje real. Cuando k es 75 los tres polos se encuentran

sobre el eje real mientras que cuando k adquiere el valor de 100 son los Polos 2 y 3 los

que se muestran conjugados mientras que el Polo denominado 1 se encuentra sobre el

eje real.

La posición de los polos permite obtener ciertos parámetros correspondientes al

comportamiento de un sistema de segundo orden. Aunque el sistema de central con

canal y cámara de carga resulte de tercer orden y no se mantengan dos modos de

oscilación asociados a dos parejas de polos conjugados se mantiene la técnica de

calcular los valores recogidos en la siguiente tabla. Dichos parámetros, obtenidos a

partir de cada polo y que caracterizan a sistemas de segundo orden, permiten

comprender y predecir el comportamiento del modelo completo, a pesar de ser éste de

tercer orden.



Figura 5.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central con cámara de carga

Tabla 5.4 Parámetros de los polos en función de k, Central con cámara de carga

k Polo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 0,18647 0,30139 -0,0562 -0,1778 35,3 17,7 71,2

2 0,18647 0,30139 -0,0562 0,1778 35,3 17,7 71,2 25

3 - >1,0000 -1,5951 0,0000 - - 2,5

1 0,19621 0,68143 -0,1337 -0,1436 43,8 21,9 29,9

2 0,19621 0,68143 -0,1337 0,1436 43,8 21,9 29,9 50

3 - >1,0000 -1,4401 0,0000 - - 2,8

1 - >1,0000 -0,1291 0,0000 - - 31,0

2 - >1,0000 -0,3493 0,0000 - - 11,5 75

3 - >1,0000 -1,2290 0,0000 - - 3,3

1 - >1,0000 -0,0774 0,0000 - - 51,7

2 0,84648 0,96281 -0,8150 0,2287 27,5 13,7 4,9 100

3 0,84648 0,96281 -0,8150 -0,2287 27,5 13,7 4,9



En las siguientes ilustraciones se muestra la evolución temporal de la cota en la cámara

de carga (Figura 5.17) y de la posición del distribuidor (Figura 5.18) para los cuatro

valores de k mencionados anteriormente. En todos ellos el valor de la ganancia

integradora Ti se mantiene constante procedente del Tw/β = 10 (Ti = 0,924 s).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.9

143.91

143.92

143.93

143.94

143.95

143.96

143.97

143.98

143.99

tiempo (s)

cota

agu

a en

la c

ámar

a (m

.s.n

.m)

k = 25 ζ1,2 < ζ3Ts 1,2> Ts 3 T ~ Td 1,2 = 35,3 s

T ~ Ts 1 = 51,7 s k = 100 ζ1 > ζ2,3Ts 1 > Ts 2,3

k = 25k = 50k = 75k = 100

Figura 5.17 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga con variación de k, Central con cámara de carga

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10017.5

18

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

k = 25 ζ1,2 < ζ3Ts 1,2> Ts 3 T ~ Td 1,2 = 35,3 s

T ~ Ts 1 = 51,7 sk = 100 ζ1 > ζ2,3Ts 1 > Ts 2,3

k = 25k = 50k = 75k = 100

Figura 5.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central con cámara de carga



En ambas figuras se observa que los polos que presentan menor amortiguamiento (ζ ) y

mayor tiempo de establecimiento (Te) son aquéllos que mayor influencia ejercen tanto

en la dinámica del distribuidor como en la del nivel en la cámara de carga. Este

fenómeno se puede resumir indicando que los polos más cercanos al eje imaginario son

dominantes en el tiempo de establecimiento de la señal del sistema completo y aquéllos

con menor amortiguamiento determinan la oscilación.

Cuando k vale 25 los Polos 1 y 2 conjugados se encuentran más próximos al eje

imaginario y presentan menor amortiguamiento que el polo 3. El Polo 3, cuyo

amortiguamiento es mayor que 1, se encuentra lo suficientemente alejado del eje

imaginario para que su tiempo de establecimiento sea tan reducido que no influya en la

respuesta global de la central. Dicha respuesta oscila con un período de oscilación

semejante al de los Polos 1 y 2 (en un sistema de segundo orden), Td = 51,7.

Cuando k toma el valor de 50 los Polos 1 y 2 siguen siendo conjugados mientras que el

Polo 3 mantiene un tiempo de establecimiento y un amortiguamiento que no influyen en

la respuesta del sistema completo. Los Polos 1 y 2 se han alejado del eje imaginario y

han aumentado su amortiguamiento, esto se refleja en la respuesta en el hecho de que

presenta menor oscilación y ésta se atenúa antes que la correspondiente a k = 25.

La ganancia k toma el valor de 75 lo que supone, como se aprecia en la Figura 5.16,

que los tres polos se encuentran sobre el eje real. Dado que el amortiguamiento de los

tres es mayor que uno se puede predecir que la respuesta de la central estará

sobreamortiguada careciendo de oscilación. En este caso el Polo 1 se acerca al eje

imaginario mientras que el Polo 2 se aleja. Por tanto la dinámica tanto del distribuidor

como del nivel de agua en el azud se ve dominada por la posición del Polo 1 cuyo

tiempo de establecimiento es el mayor de los tres.

El valor máximo seleccionado de k, 100, muestra los Polos 2 y 3 como polos conjugados

mientras que el Polo 1, sobre el eje real, se acerca al eje imaginario. Los polos

conjugados presentan oscilación pero como su posición es muy alejada del eje

imaginario frente al Polo 1, dicha oscilación no se manifiesta en la respuesta de la

central. El polo dominante sigue siendo el Polo 1 cuyo tiempo de establecimiento, Te =

51,7 s, proximidad al eje imaginario, es similar al de la respuesta de la central completa.

5.6.4.b Central a pie de presa

Para comprobar la influencia de la ganancia k en el modelo de central a pie de presa se

seleccionan cuatro valores de la ganancia k = 200, 1.000, 1.500 y 2.000, Figura 5.19.

De esta forma se comprueba las consecuencias de fijar un valor de k para el que los



polos 1 y 2 son conjugados (k = 200). También se contempla la posibilidad de que los

tres polos se encuentren sobre el eje real (k = 1.000 y 1.500) y finalmente de que los

polos 2 y 3 sean conjugados mientras que el Polo 1 permanece sobre el eje real (k =

2.000).

Figura 5.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados, Central a pie de presa

El amortiguamiento ζ, el tiempo de pico Tp, o el tiempo de establecimiento Te de cada

polo, suponiéndolo perteneciente a un sistema de segundo orden, son parámetros que

permiten analizar la respuesta del sistema global de tercer orden frente a

perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. Estos parámetros se obtienen

de la posición que presentan los polos asociados a cada valor de k en el lugar de raíces

y se muestran la siguiente tabla.

Tabla 5.5 Parámetros de los polos en función de k, Central a pie de presa

k Polo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 0,04010 0,59600 -0,0239 -0,0322 195,1 97,6 167,4

2 0,04010 0,59600 -0,0239 0,0322 195,1 97,6 167,4 200

3 - >1,0000 -1,6597 0,0000 - - 2,4




k Polo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,0068 0,0000 - - 588,2

2 - >1,0000 -0,2749 0,0000 - - 14,6 1.000

3 - >1,0000 -1,4258 0,0000 - - 2,8

1 - >1,0000 -0,0045 0,0000 - - 888,9

2 - >1,0000 -0,4944 0,0000 - - 8,1 1.500

3 - >1,0000 -1,2086 0,0000 - - 3,3

1 - >1,0000 -0,0033 0,0000 - - 1212,1

2 0,89507 0,95199 -0,8521 0,2740 22,9 11,5 4,7 2.000

3 0,89507 0,95199 -0,8521 -0,2740 22,9 11,5 4,7

Los resultados de la simulación en el Modelo completo para cada valor de k se muestran

en la Figura 5.20 y la Figura 5.21. En la primera se observa la evolución seguida por el

nivel de agua en el azud, variable controlada, y en la segunda se refleja la posición del

distribuidor o acción del controlador sobre la central.

Figura 5.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k, Central a pie de presa


Figura 5.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k, Central a pie de presa

Si se comparan ambas figuras con las obtenidas en el apartado anterior se comprueba

que la dinámica del azud es más lenta que la de la cámara de carga. Pero en ambos

casos la forma y características de la respuesta vienen determinadas por la posición de

los polos en el lugar de raíces.

Cuando k toma el valor de 200 para el que los Polos 1 y 2 son conjugados, como éstos

se encuentran próximos al eje real su influencia sobre la respuesta es considerable. Su

amortiguamiento determina el período de oscilación de la posición del distribuidor y del

nivel del agua en el azud (Td = 195,1 s). El Polo 3 se encuentra alejado del eje real y su

tiempo de establecimiento es tan reducido (2,4 s) que apenas se refleja en la

simulación.

Los valores de k intermedios, 1.000 y 1.500, cuyos polos en ambos casos se encuentran

sobre el eje real generan una respuesta sobreamortiguada coherente con el hecho de

que el amortiguamiento en todos los casos (tres polos para cada valor de k) es mayor

que uno.

En el caso de k = 2.000 los Polos 2 y 3 son conjugados mientras que el Polo 1 se

encuentra sobre el eje real pero mucho más próximo al eje imaginario que los dos

anteriores. A pesar de que el amortiguamiento de los Polos 2 y 3 es menor que uno, la



oscilación generada por los polos conjugados no se aprecia en la respuesta del modelo

completo debido a que su alejamiento del eje imaginario produce que la parte de la

oscilación debido a su acción se atenúe muy rápidamente (Te = 4,7 s). La forma de la

respuesta se debe fundamentalmente a la posición del Polo 1 en el lugar de raíces,

próximo al eje imaginario, que produce un tiempo de establecimiento elevado (Te =

1.212,1 s) y que se refleja en el de la respuesta completa.

5.6.5 Determinación de la ganancia k óptima

Una vez comprobada la relación entre la posición de los polos en el lugar de raíces y la

repuesta de la central, tanto con cámara de carga como a pie de presa, se estudia la

selección de la ganancia k que no sólo asegure la estabilidad del modelo sino que

proporcione una respuesta adecuada para el buen funcionamiento de la central.


Según lo observado en las simulaciones anteriores (Figura 5.17 y Figura 5.18) la

oscilación de la respuesta en el Modelo completo, tanto de la variable controlada como

de la variable que realiza el control, responde a una selección de k con dos polos

conjugados con amortiguamiento y próximos al eje imaginario.

Por otro lado la rapidez con que se atenúa la respuesta se ve determinada por la

cercanía de los polos al eje real, ya que el amortiguamiento exponencial (σd) es

inversamente proporcional al tiempo de establecimiento (Te).

Por tanto se puede concluir que para evitar una oscilación que perjudicaría el buen

funcionamiento de mecanismo que acciona el distribuidor se debe seleccionar un valor

de k que asegure que los tres polos se encuentran sobre el eje real. Una vez eliminada

la oscilación se plantea la posibilidad de reducir el tiempo de respuesta. Para ello se

observa que cuanto más alejados estén los tres polos del eje imaginario mayor será el

tiempo de establecimiento de la señal.

Para ello se selecciona el valor de k que anula la oscilación y que minimiza el tiempo de

respuesta (k = 68,5). Para valores menores los Polos 1 y 2 tendrían amortiguamiento lo

que añadiría oscilación a la respuesta. Si k toman valores mayores el Polo 1 se desplaza

hacia el eje imaginario lo que aumenta el tiempo de establecimiento de su sistema

asociado de segundo orden y por tanto del modelo completo de central con cámara de

carga de tercer orden.



-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Parte real

Par

te im

agin

aria

k = 68,5k = 68,5

σd = 1,2933

σd = 0,2071

Figura 5.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central con cámara de carga

En la siguiente tabla se muestran los parámetros del sistema de segundo orden

asociados al valor de k seleccionado.

Tabla 5.6 Parámetros de los polos, k = 68,5, Central con cámara de carga

k Polo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3

2 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3 68,5

3 - >1,0000 -1,2933 0,0000 - - 3,1

En la Figura 5.23 y la Figura 5.24 que muestran la evolución temporal del nivel del agua

en la cámara de carga y de la posición del distribuidor en el Modelo completo. Se

observa como el valor de la ganancia proporcional del controlador PI (k) seleccionado a

partir del Modelo lineal mejora el comportamiento de la central.

Al situar los tres polos sobre el eje real no aparece oscilación y al buscar el valor de k

que aleja en la medida de lo posible los polos del eje imaginario disminuye el tiempo de

establecimiento del sistema completo.



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.9

143.91

143.92

143.93

143.94

143.95

143.96

143.97

143.98

143.99

tiempo (s)

cota

agu

a en

la c

ámar

a (m

.s.n

.m)

T ~ Ts = 19,3 s

k = 25k = 50k = 75k = 100k = 68.5

Figura 5.23 Evolución temporal de cota de agua en la cámara de carga con la ganancia k seleccionada, Central con cámara de carga

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10017.5

18

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

T ~ Ts = 19,3 s

k = 25k = 50k = 75k = 100k = 68,5

Figura 5.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada, Central con cámara de carga




Dado que los lugares de raíces del modelo con cámara de carga y a pie de presa son

similares y de que la respuesta de la central frente a diferentes valores de k también lo

es, aunque más rápida en el caso de central con cámara de carga, se siguen las mismas

indicaciones para seleccionar la ganancia óptima k.

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Parte real

Par

te im

agin

aria

σd = 1,2922

k = 331,2


Se selecciona un valor de k que sitúe los tres polos sobre el eje real mientras que

minimice la parte real de los mismos. De esta forma se elimina la oscilación y se reduce

el tiempo en que la variable controlada se establece en su valor de referencia.

Tabla 5.7 Parámetros de los polos, k = 332,1, Central a pie de presa

k Polo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,0405 0,0000 - - 98,8

2 - >1,0000 -0,0405 0,0000 - - 98,8 331,2

3 - >1,0000 -1,6265 0,0000 - - 2,5

Como se puede comprobar en la Figura 5.25 y la Figura 5.26, simulación realizada en el

Modelo completo, el valor de k que responde a las condiciones expresadas con

anterioridad es 331,2. En la Tabla 5.7 se muestran los parámetros del sistema de



segundo orden asociados a cada polo correspondiente a valor de la ganancia k

seleccionado.

-0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Parte real

Par

te im

agin

aria

k = 331,2

σd = 0,0405

Figura 5.26 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924, Central a pie de presa (Ampliación)

A continuación se muestran los resultados de la simulación cuando la ganancia

proporcional del controlador PI adquiere el valor determinado.

0 100 200 300 400 500150.19

150.192

150.194

150.196

150.198

150.2

150.202

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

T ~ Ts = 98,8 s

k = 200 k = 1000k = 1500k = 2000k =331,2

Figura 5.27 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k seleccionada, Central a pie de presa



0 100 200 300 400 50018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

T ~ Ts = 98,8 s

k = 200k = 1000k = 1500k = 2000k = 331,2

Figura 5.28 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada, Central a pie de presa

El tiempo de simulación en la Figura 5.27 y la Figura 5.28 se ve reducido a 500 s para

obtener mejor detalle no siendo necesario que el nivel de agua en el azud llegue al

valor de referencia cuando k vale 1.000, 1.500 o 2.000.

En ambas figuras se aprecia como el valor de k obtenido de la observación del lugar de

raíces es adecuado para la central modelada. Por un lado desaparece la oscilación que

ocasionan los polos conjugados cercanos al eje imaginario (k = 200). Por otro, el

tiempo de establecimiento es menor ya que el Polo 1 no se acerca al eje imaginario

reduciendo así el tiempo en que la tanto el nivel de agua en el azud (variable

controlada) como la posición del distribuidor alcanzan la estabilidad.

5.6.6 Determinación de pares óptimos de ganancias k – Ti. Estudio de la respuesta de la central

En el apartado anterior se plantea la determinación de la ganancia k del controlador.

Para ello se fija previamente el valor de la ganancia integradora Ti. A continuación se

plantea la selección de la ganancia k para diferentes valores de Ti según el criterio

heurístico propuesto. Cuando se varía el valor inicial de Ti, se genera un nuevo lugar de

raíces de k y se selecciona k buscando que los tres polos se encuentren sobre el eje real

y lo más alejados del eje imaginario, dicho valor sea diferente del obtenido

anteriormente.



Por tanto, la aplicación del criterio basado en el lugar de raíces en un sistema de tercer

orden implica la obtención de parejas de ganancias k y Ti. A continuación se muestra la

selección de dichas parejas para cada modelo de central.


En la siguiente tabla se muestran los diferentes valores de Ti seleccionados para la

construcción de los lugares de raíces correspondientes.

Tabla 5.8 Valores de las ganancias Ti

Ti 0,076 0,038 0,025 0,019

Tw/β 20 40 60 80

A continuación se presentan los lugares de raíces obtenidos.

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

parte real

parte

imag

inar

ia

σd = 1,0608

σd = 0,3233

k = 97,8 k = 97,8


Se comprueba que por debajo de cierto valor de Ti la disposición de los polos en el lugar

de raíces varía ligeramente. En este caso el Polo 3 se mantiene en todo momento sobre

el eje real mientras que los Polos 1 y 2 se muestran conjugados para cada valor de k.

Dado que los polos 1 y 2 nunca se encuentran sobre el eje real es imposible hacer

desaparecer completamente la oscilación de la respuesta. El tiempo de establecimiento

es función de la lejanía de los polos respecto del eje imaginario, por lo que el valor de k



seleccionado es el correspondiente a aquel que iguala las partes reales de los tres polos.

De este modo se reduce el tiempo de establecimiento de la respuesta.En los siguientes

casos se aplicará dicho criterio, igualar la parte real de los tres polos, para la

determinación de la ganancia k a partir de Ti.

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

parte real

perte

imag

inar

ia Polo 3Polo 3

Polo 1Polo 1

Polo 2

Polo 2

k = 0

k = 0

k = 0

k = 25k = 50k = 75k = 100

k = 125

k = 150

k = 175

k = 200

k = 100

k = 200

k = 25 k = 75k = 50 k = 100 k = 125 k = 150

k = 200

k = 150

k = 125

k = 175

k = 75 k = 50 k = 25

k = 15,0

k = 15,0

Figura 5.30 Lugar de raíces de k con Ti = 0,0378; Central con cámara de carga

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

parte real

perte

imag

inar

ia

σd = 0,5691

σd = 0,5691

k = 123,2

k = 123,2

k = 123,2




De esta forma, aunque los polos 1 y 2 presenten cierto amortiguamiento, Tabla 5.9, que

se traduce en una pequeña oscilación en la respuesta del Modelo completo, Figura 5.35 y Figura 5.36, el comportamiento de la central es satisfactorio.

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

parte real

parte

imag

inar

ia

k = 0

k = 0

k = 0

k = 25

k = 25

k = 200

k = 200

k = 200

k = 25

k = 175

k = 175

k = 175

k = 150

k = 150

k = 150

k = 125

k = 125

k = 125k = 100

k = 100

k = 100 k = 75 k = 50

k = 75 k = 50

k = 50 k = 75

σd = 0,5691

σd = 0,5691

k = 146,5

k = 146,5

k = 146,5

Polo 3

Polo 1

Polo 2

Figura 5.32 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,0252, Central con cámara de carga

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

parte real

parte

imag

inar

ia

k = 0 k = 25 k = 125k = 100k = 50 k = 75 k = 200k = 175k = 150

k = 0

k = 0

k = 200

k = 200

k = 175

k = 175

k = 150

k = 150

k = 125

k = 125

k = 100

k = 100

k = 75 k = 50 k = 25

k = 25k = 75 k = 50

σd = 0,5961

σd = 0,5961

k = 169,7

k = 169,7

k = 169,7

Polo 2

Polo 1

Polo 3




En la siguiente tabla se muestran los parámetros asociados a la posición de los polos

seleccionados anteriormente. Dichos parámetros obtenidos a partir del Modelo lineal permiten comprender con mayor profundidad los resultados de las simulaciones

realizadas con el Modelo completo.

Tabla 5.9 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central con cámara de carga

Tw/β Ti

(s) k Polo

ωn (s-1)

ζ σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3

2 - >1,0000 -0,2071 0,0000 - - 19,3 10 0,151 68,5

3 - >1,0000 -1,2933 0,0000 - - 3,1

1 - >1,0000 -0,3233 0,0000 - - 12,4

2 - >1,0000 -0,3233 0,0000 - - 12,4 20 0,076 97,8

3 - >1,0000 -1,0608 0,0000 - - 3,8

1 0,62415 0,91180 -0,5691 -0,2563 24,5 12,3 7,0

2 0,62415 0,91180 -0,5691 0,2563 24,5 12,3 7,0 40 0,038 123,2

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

1 0,76445 0,74446 -0,5691 -0,5104 12,3 6,2 7,0

2 0,76445 0,74446 -0,5691 0,5104 12,3 6,2 7,0 60 0,025 146,5

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

1 0,88274 0,64470 -0,5691 -0,6748 9,3 4,7 7,0

2 0,88274 0,64470 -0,5691 0,6748 9,3 4,7 7,0 80 0,019 169,7

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

Cabe destacar de la tabla el hecho de que cuando el lugar de raíces no permite evitar la

oscilación, igualando la parte real de los polos, dicha parte real se mantiene constante.

Es decir, superado cierto valor de Ti e igualando partes reales de polos dicha parte real

y por tanto el tiempo de establecimiento resulta constante.

La siguiente figura muestra la posición de las parejas de ganancias seleccionadas. Se

puede observar como siguen una tendencia claramente marcada reflejada en la Figura

5.34 que permitiría establecer una ley que relacione los valores de k y Ti determinados

por el criterio heurístico desarrollado en el presente estudio de la estabilidad.



0 50 100 150 200 2500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

α

T w/ β

Tw /β = 20Ti = 0,076

α = 133,4 k = 97,8

Tw /β = 40Ti = 0,038

α = 168,0 k = 123,2

Tw /β = 60Ti = 0,025

α = 199,8 k = 146,5

Tw /β = 80Ti = 0,019

α = 231,4 k = 169,7

ZONA I

Tw /β = 10Ti = 0,151

α = 93,4k = 68,5

Figura 5.34 Parejas de ganancias seleccionadas, Central con cámara de carga

La Figura 5.35 y la Figura 5.36 muestran los resultados de simular un descenso del 10%

del caudal nominal en la central sintonizando el controlador PI con las parejas de

ganancias obtenidas.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.925

143.93

143.935

143.94

143.945

143.95

143.955

143.96

143.965

tiempo (s)

cota

agu

a en

la c

ámar

a (m

.s.n

.m)

Tw /β = 10

Tw /β = 20

Tw /β = 40

Tw /β = 60

Tw /β = 80

Figura 5.35 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para las parejas de k y Ti, Central con cámara de carga



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

Tw /β = 10

Tw /β = 20

Tw /β = 40

Tw /β = 60

Tw /β = 80

Figura 5.36 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti, Central con cámara de carga

Como conclusión se puede establecer que reducir el valor de Ti (aumentar Tw/β) implica

que el valor de k seleccionado crezca. Esto supone un mayor y veloz movimiento del

distribuidor, lo que implica una reducción del sobrepaso en la cota de la cámara de

carga.

Cuando se sobrepasa cierto valor de Tw/β los Polos 1 y 2 presentan amortiguamiento.

Esto apenas se aprecia en la simulación debido a que el tiempo de establecimiento de la

respuesta es pequeño (7 s).


En el caso de central a pie de presa la metodología es exactamente la misma que la

seguida en el caso de central con canal y cámara de carga. Las conclusiones que se

desprenden de la posición de los polos y de las simulaciones, a su vez son semejantes

en ambos casos.

Como observación añadida se puede precisar que las partes reales y por tanto los

tiempos de establecimiento de las dos centrales cuando los Polos 1 y 2 no pasan por el

eje real son los mismos. Esto implica que la dinámica de ambas centrales es similar

temporalmente siempre y cuando se sintonicen los controladores PI respectivos con las

ganancias obtenidas aplicando el criterio heurístico.



A continuación se muestran los lugares de raíces y la selección de k que se desprende

de los mismos.

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

parte entera

parte

imag

inar

ia

k = 0

k = 0

k = 0

k = 500

k = 500

k = 500

k = 1000

k = 1000

k = 1500

k = 1500

k = 2000

k = 3500k = 2000k = 1000 k = 1500

k = 2500

k = 3000

k = 3500

k = 2500

k = 3000

k = 3500

Polo 2

Polo 2 Polo 2

Polo 1Polo 3

Polo 3

σd = 1,2445

σd = 0,2315

k = 1560,9k = 1560,9

Figura 5.37. Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00605, Central a pie de presa

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

parte real

parte

imag

inar

ia

k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500

k = 2500

k = 3000

k = 3500

k = 2500

k = 3000

k = 3500

k = 2000

k = 2000

k = 0k = 500k = 1000k = 1500

k = 0k = 500k = 1000k = 1500

Polo 2

Polo 2

Polo 3

Polo 3

Polo 2

Polo 1

σd = 0,9634

σd = 0,3725

k = 2120,2k = 2120,2

k = 2500 k = 3500




-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

parte real

parte

imag

inar

ia

k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500 k = 2500 k = 3000 k = 3500

k = 2000

k = 0k = 500k = 1000k = 1500

k = 2500

k = 2000k = 500k = 1000k = 1500

k = 0

k = 2500

k = 3000

k = 3500

k = 3000

k = 3500

Polo 2

Polo 3

Polo 1

Polo 3

Polo 1

Polo 2

k = 2477,4

k = 2477,4

k = 2477,4

σd = 0,5691

σd = 0,5691


-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

parte real

parte

imag

inar

ia

k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500 k = 2500 k = 3000 k = 3500

k = 2000k = 0k = 500

k = 1000k = 1500k = 2500

k = 3000

k = 3500

k = 3500

k = 3000

k = 2500k = 2000 k = 0k = 500k = 1000k = 1500

Polo 3 Polo 3

Polo 2

Polo 2

Polo 1Polo 1

σd = 0,5691

σd = 0,5691

k = 2767,6

k = 2767,9

k = 2767,9




En la Tabla 5.10 se muestran los parámetros obtenidos a partir de la posición de los

polos y en la Figura 5.41 se ubican dichos polos en el plano.

Tabla 5.10 Parámetros de los polos en función de las parejas de k y Ti, Central a pie de presa

Tw/β Ti

(s) k Polo

ωn (s-1)

ζ σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,2315 0,0000 - - 17,3

2 - >1,0000 -0,2315 0,0000 - - 17,3 250 0,00605 1560,9

3 - >1,0000 -1,2445 0,0000 - - 3,2

1 - >1,0000 -0,3725 0,0000 - - 10,7

2 - >1,0000 -0,3725 0,0000 - - 10,7 500 0,00302 2120,2

3 - >1,0000 -0,9634 0,0000 - - 4,2

1 0,59273 0,96013 -0,5691 -0,1657 37,9 19,0 7,0

2 0,59273 0,96013 -0,5691 0,1657 37,9 19,0 7,0 750 0,00202 2477,4

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

1 0,68447 0,83144 -0,5691 -0,3803 16,5 8,3 7,0

2 0,68447 0,83144 -0,5691 0,3803 16,5 8,3 7,0 1000 0,00151 2767,9

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

200

400

600

800

1000

1200

α

T w/ β

Tw /β = 250 Ti = 0,00605

α = 2128,5 k = 1560,9

Tw /β = 750Ti = 0,00202

α = 199,8 k = 146,5

Tw /β = 1000 Ti = 0,00151

α = 231,4 k = 169,7

Tw /β = 500Ti = 0,00302

α = 2891,2 k = 2120,2

ZONA I

Figura 5.41 Parejas de ganancias seleccionadas, Central a pie de presa



A continuación se presentan los resultados procedentes de la simulación en el Modelo completo. Como se puede comprobar son muy similares a los obtenidos en el Modelo

con cámara de carga, por lo que las conclusiones obtenidas a partir de la central con

cámara de carga son aplicables a la central a pie de presa.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100150.1984

150.1986

150.1988

150.199

150.1992

150.1994

150.1996

150.1998

150.2

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

Tw /β = 250

Tw /β = 500

Tw /β = 750

Tw /β = 1000

Figura 5.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para las parejas de k y Ti, Central a pie de presa

0 20 40 60 80 100 12018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

Tw/β = 250

Tw/β = 500

Tw/β = 750

Tw/β = 1000

Figura 5.43 Evolución temporal de la posición del distribuidor para las parejas de k y Ti, Central a pie de presa



5.6.7 Selección del de par de ganancias óptimas k – Ti. para la calibración del controlador PI

Después de analizar los lugares de raíces del Modelo lineal y completar el análisis con la

simulación en el Modelo completo, tanto de la central con canal y cámara de carga

como de la central a pie de presa, se plantea la selección de la pareja de ganancias del

controlador PI que mejor se adapte al funcionamiento óptimo de ambas centrales.

Para ello se observan los dos criterios que se han utilizado para la obtención de las

diferentes parejas de ganancias:

Cuando el lugar de raíces, es decir Ti, lo permite se selecciona el valor de k que

sitúa los tres polos en el eje real y lo más alejados del eje imaginario. De esta

forma se evita la oscilación y se minimizaba el tiempo de establecimiento.

Cuando el valor de Ti resulta menor que cierto valor, no es posible evitar la

oscilación pero se puede conseguir que los tres polos tengan la misma parte real

lo que minimiza más si cabe el tiempo de establecimiento de la respuesta.

Como criterio conjunto se opta por seleccionar el valor de Ti límite a partir del cual

aparece la oscilación. Esto permite construir un lugar de raíces de k para el que cierto

valor de la ganancia k sitúa los tres polos sobre el eje real y con la misma parte

imaginaria, es decir, un polo triple. Estos lugares de raíces y la selección

correspondiente de k se muestran en la Figura 5.44 y la Figura 5.47.

Los parámetros asociados a cada pareja de ganancias seleccionadas se muestran en la

Tabla 5.11 y la Tabla 5.12. Se comprueba que la parte real y el tiempo de

establecimiento en ambos casos del polo triple es común a las dos centrales. Por lo que

se puede afirmar que la dinámica de ambas centrales una vez sintonizado el controlador

es idéntica.

Por último se ilustra la selección de la pareja de ganancias con las simulaciones del

Modelo completo en ambos casos. La Figura 5.45 y la Figura 5.46 corresponden a la

central con canal y cámara de carga, mientras que la Figura 5.48 y la Figura 5.49

reflejan los resultados de la central a pie de presa.

En ambos casos se observa que el controlador sintonizado mediante el criterio

heurístico, aunque produce mayor sobrepaso en la variable controlada, que otras

soluciones, evita la pequeña oscilación que dichas soluciones producen en la posición

del distribuidor. Dado que la oscilación es muy pequeña se debe reconocer que el



criterio heurístico propuesto no supone una mejora considerable de la respuesta de las

centrales. Esto se debe a que todas y cada una de las parejas determinadas

proporcionaban una sintonización aceptable para el controlador.

Dado que el objetivo de la sintonización es mejorar el funcionamiento del distribuidor se

concluye que el criterio es aceptable dado que reduce la oscilación del distribuidor, lo

cual es aconsejable para el buen mantenimiento del mecanismo servo-hidráulico que lo

acciona.


-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

parte entera

parte

real

k = 0

k = 0

k = 0

k = 150

k = 150

k = 150

k = 125

k = 125

k = 125

k = 100

k = 100

k = 100k = 75

k = 75

k = 75

k = 50

k = 50

k = 50

k = 25

k = 25

k = 25

σd = 0,5691

Tw/β = 33,3k = 115,4Ti = 0,046


Tabla 5.11 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga

Tw/β Ti

(s) k Polo

ωn (s-1)

ζ σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

2 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0 33,3 0,046 115,4

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100143.925

143.93

143.935

143.94

143.945

143.95

143.955

143.96

143.965

tiempo (s)

cota

agu

a en

la c

ámar

a (m

.s.n

.m)

Tw/β = 10

Tw/β = 20

Tw/β = 40

Tw/β = 60

Tw/β = 80

Tw/β = 33,3

Figura 5.45 Evolución temporal de la cota de agua en la cámara de carga para la pareja de k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

Tw/β = 10

Tw/β = 20

Tw/β = 40

Tw/β = 60

Tw/β = 80

Tw/β = 33,3

Figura 5.46 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti seleccionada, Central con cámara de carga




A continuación se sigue el mismo proceso para la determinación de la pareja de

ganancias para la central a pie de presa.

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

parte entera

parte

imag

inra

ria

k = 0 k = 500 k = 2000k = 1000 k = 1500 k = 2500 k = 3500

k = 2500

k = 3000

k = 3500

k = 2000 k = 0

k = 500k = 1000k = 1500

k = 3500

k = 3000

k = 2500

k = 2000

k = 500k = 1000k = 1500k = 0

σd = 0,5691

Tw/β = 693,7k = 2409,3Ti = 0,00218

Figura 5.47 Lugar de raíces y selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,00218, Central a pie de presa

Tabla 5.12 Parámetros de los polos en función de la pareja k y Ti seleccionada, Central a pie de presa

Tw/β Ti

(s) k Polo

ωn (s-1)

ζ σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

1 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

2 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0 693,7 0,00218 2409,3

3 - >1,0000 -0,5691 0,0000 - - 7,0

En las simulaciones se comprueba que las ganancias seleccionadas cumplen con el

objetivo fijado.



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100150.1984

150.1986

150.1988

150.199

150.1992

150.1994

150.1996

150.1998

150.2

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

Tw /β = 250

Tw /β = 500

Tw /β = 750

Tw /β = 1000

Tw /β = 693,7

Figura 5.48 Evolución temporal de la cota de agua en el azud para la pareja de k y Ti seleccionada, Central a pie de presa

0 20 40 60 80 100 12018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

Tw/β = 250

Tw/β = 500

Tw/β = 750

Tw/β = 1000

Tw/β = 693,7

Figura 5.49 Evolución temporal de la posición del distribuidor para la pareja de k y Ti seleccionada, Central a pie de presa



5.6.8 Comportamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento

En los apartados anteriores se ha planteado una metodología en la que partiendo del

lugar de raíces del Modelo lineal y completando la información obtenida mediante

simulaciones en el Modelo completo se permite la selección de las ganancias k y Ti del

controlador PI. El criterio para la determinación de las ganancias seleccionadas

persigue, aparte de garantizar la estabilidad de la central, el buen funcionamiento

mecánico del dispositivo servo-hidráulico que acciona el distribuidor.

Una de las principales conclusiones obtenidas a partir de las simulaciones realizadas es

que el criterio heurístico que se ha ido desarrollando no se puede aplicar en el caso de

la central a pie de presa. Esto se debe a que la precisión que se necesita del sensor de

nivel es excesiva a la vez que la acción controladora es considerable. La superficie del

azud es suficientemente grande como para que la estabilidad de la central

prácticamente esté garantizada siempre y para que la sintonía del controlador sea una

labor sencilla en el caso de controlar nivel. Se sugiere en este caso seleccionar una de

las ganancias correspondiente con la precisión del sensor y obtener la otra a partir del

su lugar de raíces y el criterio establecido.

En el caso de la central con canal y cámara de carga, como se ha observado con

anterioridad, una vez definidos los elementos que configuran la central, dimensiones y

materiales, el punto de operación en que opera la central influye en la estabilidad de la

misma. De este modo la central cuando opera con baja carga, es decir con pequeños

caudales, se observa que la región de estabilidad es ligeramente mayor que cuando lo

hace en condiciones nominales o con sobrecarga.

Dado que los lugares de raíces que han permitido la sintonización del controlador PI se

han obtenido suponiendo que la central opera en condiciones nominales es predecible

que un cambio del escenario de operación modifique el comportamiento de la central si

se mantienen las ganancias obtenidas en condiciones nominales.



0 20 40 60 80 100 120 140 1600

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

α

T w/ β

ZONA II

ZONA IControlador PIk = 115,4 α = 157,4Ti = 0,046 Tw/β = 33,3

ZONA III

Figura 5.50 Situación de las ganancias del controlador en las regiones de estabilidad, Central con canal de derivación y cámara de carga

Si se sitúa el punto que representa las ganancias k y Ti en las regiones de estabilidad, ,

Figura 5.50, se observa que el punto se encuentra dentro de la región de estabilidad de

las tres zonas de operación. Por tanto podemos asegurar que con dichas ganancias la

central se muestra estable bajo cualquier condición de funcionamiento.

En la figura se comprueba que el punto que representa las ganancias se encuentra

suficientemente alejado de la línea que delimita la región de estabilidad de las tres

zonas como para presuponer que la respuesta de las centrales en cualquiera de los tres

supuestos de operación (baja carga, carga nominal y sobre carga) será suficientemente

satisfactoria.

Dicha afirmación coincide con los resultados de las simulaciones que se efectúan en el

Modelo completo. Se simula una disminución brusca del 10 % del caudal nominal

turbinado (14,4 m3/s) cuando la central opera en los tres puntos de operación

correspondientes a las tres zonas I, II y III. En todas ellas se mantiene el controlador PI

sintonizado con las ganancias obtenidas en el apartado anterior.

Cuando las centrales operan en condiciones nominales el caudal que circula por el canal

o el río es de 14,4 m3/s, ZONA I. Si el caudal que llega a la cámara de carga es de 9,86

m3/s se opera en baja carga, ZONA II. En el caso de que el caudal supere el valor



nominal llegando a los 19,08 m3/s el punto de operación de la central se corresponde

con el de sobre carga, ZONA III.

En la Figura 5.51, la Figura 5.52 y la Figura 5.53 se muestran los resultados de las

simulaciones de carga nominal, baja carga y sobre carga respectivamente en la central

con canal y cámara de carga.

Respecto al funcionamiento de la central en diferentes puntos de funcionamiento puede

decirse que la modificación del régimen de operación manteniendo la sintonización del

controlador no cambia sustancialmente el comportamiento de la central. Si se observan

detenidamente las figuras se comprueba que cuando se turbina un caudal menor que el

nominal, Figura 5.52, se comprueba que el sobrepaso es ligeramente menor que en

condiciones nominales, Figura 5.51. Esto confirma que en el caso de central con canal y

cámara de carga la estabilidad y el control de la central mejora cuanto menor es el

caudal que se turbina.

Cuando las centrales operan con sobre carga, Figura 5.53, tanto el sobrepaso como el

tiempo en que se atenúa la oscilación son mayores que cuando se turbinan caudales

inferiores. Esta variación es muy sutil por lo que se puede concluir que la modificación

del punto de operación no supone un cambio notable en el comportamiento del sistema

si se mantienen las ganancias del controlador sintonizadas para la situación nominal de

funcionamiento.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5012.5

13

13.5

14

14.5

15

caud

al c

anal

(m3 /s

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5018

19

20

21

22

23

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94

143.945

143.95

143.955

143.96

143.965

143.97

tiempo (s)

cota

agu

a en

cá

mar

a (m

s.n.

m)

Figura 5.51 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 508

8.5

9

9.5

10

10.5

caud

al c

anal

(m3 /s

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5011

12

13

14

15

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94

143.945

143.95

143.955

143.96

143.965

143.97

tiempo (s)

cota

agu

a en

cá

mar

a (m

s.n.

m)

Figura 5.52 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 9,86 m3/s (ZONA II)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5017.5

18

18.5

19

19.5

caud

al c

anal

(m3 /s

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5028

29

30

31

32

33

34

35

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.93

143.94

143.95

143.96

143.97

tiempo (s)

cota

agu

a en

cá

mar

a (m

s.n.

m)

Figura 5.53 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 19,08 m3/s (ZONA III)



5.7 AJUSTE DEL CONTROLADOR ADAPTATIVO

5.7.1 Introducción

El control adaptativo se plantea como una posibilidad para mejorar el control de la

central cuando la variación en las condiciones en que opera dicha central puede afectar

a la estabilidad o empeorar considerablemente la bondad de la acción de control.

En el apartado anterior se han realizado simulaciones en el Modelo completo en las que

se contemplaba la modificación del punto de operación de la central manteniendo las

ganancias del controlador PI obtenidas en condiciones nominales. Los resultados

obtenidos permiten concluir que la variación del punto de funcionamiento de la central

no modifica notablemente la acción del controlador sintonizado en condiciones

nominales a partir del criterio heurístico.

De modo que no se justifica incluir un control adaptativo en este tipo de central ya que

una vez sintonizado el controlador PI, dicho ajuste permite garantizar la estabilidad y el

buen funcionamiento de la central en cualquier punto de funcionamiento.

A continuación se plantea la formulación matemática del criterio heurístico establecido a

partir de la técnica del Lugar de raíces. El objetivo de dicha formulación no es el de ser

la base de un control adaptativo sino el de establecer expresiones que permitan

sintonizar el controlador PI de una central con control en la cámara de carga.

Dado que las ecuaciones resultantes incluyen datos referentes al punto de operación de

la central se estudia posteriormente, mediante simulaciones en el Modelo completo, qué

ajuste de ganancias obtenido para cada punto de operación puede adoptarse como

definitivo dado que no se contempla la introducción del control adaptativo.

En el caso de la central a pie de presa, como se ha comentado con anterioridad, el

criterio obtenido no es apropiado. Se aconseja en este caso determinar una de las

ganancias de modo que se garantice que un control apropiado con la precisión del

sensor y del controlador y obtener la otra ganancia a partir de su lugar de raíces.

5.7.2 Formulación matemática

Tomando como referencia el criterio heurístico enunciado anteriormente se plantea la

posibilidad de establecer una relación numérica entre el punto de funcionamiento de la

turbina y los parámetros óptimos del controlador.



El sistema es de tercer orden, es decir, lo polos de la matriz dinámica se pueden

expresar genéricamente como una pareja de polos conjugados y un polo sobre el eje

real.

jbap ±=2,1 cp =3 (5.38)

Partiendo de dichos polos que son raíces del polinomio característico, dicho polinomio se

puede expresar:

( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]cjbajbaP −−−+−= λλλλ (5.39)

que desarrollado resulta:

( ) ( ) ( ) ( )cabacbacaP 222223 22 −−+−++−= λλλλ (5.40)

El criterio heurístico planteado anteriormente sugiere que:

Los tres polos coinciden en un mismo punto que pertenece al eje real, o que

implica:

dca σ−== 0=b (5.41)

Introduciendo estos conceptos en el polinomio característico se obtiene la siguiente

expresión:

( ) ( ) ( ) ( ) dddddddP σσλσσσλσσλλ 2223 22 −−++++= (5.42)


( ) 3223 33 dddP σλσλσλλ +++= (5.43)

Partiendo de la matriz característica el polinomio característico puede expresarse en

función de los parámetros que configuran la central fluyente:

322

13)( aaaAp +++= λλλ (5.44)

''2

'1 0

111

w

p

w Tqp

bTa += (5.45)

11

13112 ' bTT

bba

aw

α+= (5.46)



β11

133 ' bTT

ba

aw

= (5.47)

donde:

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (5.48)

Igualando los polinomios característicos y sustituyendo los valores de α y β se obtiene el

siguiente sistema de ecuaciones de tercer orden:

''2

'13

0

11 w

p

wd T

qpbT

+=σ (5.49)

11

13112

'3

bTTbb

awd

ασ

+= (5.50)

βσ

11

133

' bTTb

awd = (5.51)

El valor de σd se despeja de la expresión (5.40):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

''2

'1

31 0

11 w

p

wd T

qpbT

σ (5.52)

Si se introduce σd en la segunda ecuación del sistema se obtiene el valor de k:

11

1311

20

11 '''2

'1

313

bTTbb

Tqp

bT aww

p

w

α+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (5.53)

α131111

20

11

''

'2'1

31 bbbTT

Tqp

bT aww

p

w

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (5.54)

b

baw

w

p

w HbX

bbTTT

qpbT

k13

1111

20

11

''

'2'1

31

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (5.55)

Utilizando la tercera ecuación del sistema es posible despejar el valor de Ti:

β11

13

30

11 '''2

'1

31

bTTb

Tqp

bT aww

p

w

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (5.56)



β1311

30

11 27'

''2

'1 bbTT

Tqp

bTaw

w

p

w

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (5.57)

b

baw

w

p

wi HbXbTT

Tqp

bTT 13

11

30

11 27'

''2

'11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (5.58)

Utilizando las expresiones (5.55) y (5.58) es posible determinar las ganancias

apropiadas para cada central suponiendo determinado un punto de operación. En el

siguiente apartado se plantea qué punto de operación permite el ajuste que mejor se

adapte a la central.

5.7.3 Aplicación a la central modelada

La formulación obtenida permite obtener las ganancias del controlador PI que

garantizan una respuesta estable en la central, tanto con canal y cámara de carga como

a pie de presa. Los parámetros que influyen en las expresiones obtenidas con

básicamente las dimensiones y materiales de los componentes que configuran la central

y el punto de operación de la misma.

Tomando como valores de referencia los de las centrales con canal y cámara de carga,

descritos en el Capítulo 3 y los de la central a pie de presa recogidos en el Capítulo 4 se

pueden obtener los valores de las ganancias que mejor se ajustan a cada central en los

tres puntos de operación utilizados en el presente estudio, funcionamiento nominal,

baja carga y sobre carga. En la Tabla 5.13 se muestran los de la central con canal y

cámara de carga.

Tabla 5.13 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador correspondientes, Central con cámara de carga y canal de derivación

ZONA I ZONA II ZONA III

qt0 1,000 0,685 1,333

b11 0,547 0,421 0,630

b13 0,777 0,876 0,597

k 115,4 128,9 135,1

Ti 0,046 0,032 0,044



Como se puede comprobar a partir de los valores obtenidos en ambas tablas la

modificación del punto de operación de la central no supone un cambio notable en las

ganancias del controlador k y Ti.

Si se introducen los puntos correspondientes a la sintonización del controlador PI en

cada punto de operación, en las regiones de estabilidad, Figura 5.54, se comprueba que

los tres puntos se encuentran próximos entre sí y asegurando la estabilidad del sistema

en cualquier supuesto.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

10

20

30

40

50

60

α

T w/ β

ZONA II

Controlador PI ZONA I k = 115,4 α = 157,4 Ti = 0,046 Tw/β = 33,3

Controlador PI ZONA II k = 128,9 α = 175,8 Ti = 0,032 Tw/β = 47,3

ZONA I

Controlador PI ZONA III k = 135,1 α = 184,2 Ti = 0,044 Tw/β = 34,4

ZONA III

Figura 5.54 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de operación en las regiones de estabilidad, Central con cámara de carga y canal de

derivación

Para ilustrar las conclusiones deducidas hasta ahora y determinar qué pareja de

ganancias se adapta mejor a todos los regímenes de operación de cada central se

realizan tres simulaciones en el Modelo completo de cada una de las centrales. Las

simulaciones consisten en una reducción brusca del 10% del caudal nominal turbinado

en las tres situaciones definidas a lo largo del presente estudio. En cada una de las

simulaciones se observa el comportamiento de la central cuando el controlador se

sintoniza según las ganancias obtenidas de los tres puntos de funcionamiento. De modo

que en realidad cada simulación encierra otras tres.

En la Figura 5.55, la Figura 5.56 y la Figura 5.57 se muestra el resultado de las

simulaciones realizadas en la central con canal de derivación y cámara de carga. Cada



figura corresponde a carga nominal, baja carga y sobre carga respectivamente. En cada

una de ellas se observa la influencia de las tres parejas de ganancias.

En cualquiera de las situaciones de carga que se plantean la respuesta es satisfactoria

para todas y cada una de las parejas de ganancias. El sobrepaso de la oscilación de la

cota del elemento almacenador es similar al igual que el tiempo de establecimiento de

la respuesta.

Si se sintoniza el controlador PI con las ganancias obtenidas a partir de baja carga,

ZONA II, la respuesta de la central es más rápida en las tres simulaciones y el

sobrepaso es menor. La pega que se presenta está sintonización del controlador es que

aparece una ligera oscilación cuando el caudal turbinado es mayor, es decir en situación

nominal o de sobre carga.

En cambio, cuando el controlador toma los valores procedentes de la sobre carga, ZONA

III, ambas centrales se muestran cierta lentitud y el sobrepaso es mayor.

Las simulaciones realizadas con el controlador PI sintonizado suponiendo una situación

nominal de funcionamiento, ZONA I, presentan un comportamiento entre los dos antes

comentados. Por un lado el sobrepaso del nivel de agua en el elemento almacenador,

azud o cámara de carga, es el mayor de todos. Pero por otro lado la respuesta es más

rápida que la obtenida de la ZONA III y no presenta la oscilación ocasionada por la

sintonización de ZONA II.

Dado que la filosofía del criterio heurístico establecido en el presenta capítulo se basa

en preservar el buen funcionamiento del controlador PI, evitar su oscilación, aunque

esto suponga un mayor sobrepaso de la variable controlada, se opta por adoptar las

ganancias del controlador PI obtenidas a partir de la situación de operación nominal,

ZONA I.

Dicha selección se ha basado en la primacía de un criterio que favorece el buen

funcionamiento del mecanismo servo-hidráulico que acciona el controlador. Pero a la

vista de los resultados de las simulaciones en los que se muestra un comportamiento

muy similar para todas las sintonizaciones del controlador, cualquiera ellas sería

correcta y adecuada para componer un controlador PI que pueda ejercer su función

bajo cualquier situación de carga.



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5012.5

13

13.5

14

14.5

15ca

udal

can

al (m

3 /s)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5018

19

20

21

22

23

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94

143.945

143.95

143.955

143.96

143.965

143.97

tiempo (s)

cota

agu

a en

cá

mar

a (m

.s.n

.m)

k y Ti ZONA I

k y Ti ZONA II

k y Ti ZONA III

Figura 5.55 Caudal del canal, posición del distribuidor y cota de agua en la cámara de carga, con caudal 14,40 m3/s

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 508

8.5

9

9.5

10

10.5

caud

al c

anal

(m3 /s

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5011

12

13

14

15

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.94

143.945

143.95

143.955

143.96

143.965

tiempo (s)

cota

agu

a en

cá

mar

a (m

.s.n

.m)

k y Ti ZONA I

k y Ti ZONA II

k y Ti ZONA III




0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5017.5

18

18.5

19

19.5

caud

al c

anal

(m3 /s

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5028

29

30

31

32

33

34

35

posi

ción

di

strib

uido

r (m

m)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50143.93

143.94

143.95

143.96

143.97

tiempo (s)

cota

agu

a en

cá

mar

a (m

.s.n

.m)

k y Ti ZONA I

k y Ti ZONA II

k y Ti ZONA III


5.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN

El criterio de sintonía y las conclusiones del estudio de estabilidad de las centrales con

canal y cámara de carga y a pie de presa tienen como punto de partida la linealización

de las expresiones que representan la dinámica de los elementos que componen la

central (turbina, tubería forzada, elemento almacenador y controlador PI). La

elaboración de un Modelo lineal y su estudio tienen sentido ya que generalmente la

central únicamente sufre pequeñas variaciones de las variables externas (caudal del río,

velocidad de giro del grupo o nivel de referencia) alrededor de un punto de

funcionamiento nominal. Las expresiones linealizadas y las originales en estos casos

tienen un funcionamiento muy similar. Esto se comprueba en los Capítulos 3 y 4 en los

que se superponen los resultados de someter al Modelo completo y el Modelo lineal al

mismo descenso de caudal del río o del canal dependiendo del tipo de central.

Existen situaciones en las que las variables de entrada sufren cambios notables en un

breve espacio de tiempo y que no tienen por qué corresponderse con una situación de

emergencia. Este es el caso de las centrales que están dispuestas en cascada, siendo

las ubicadas aguas arriba centrales de punta. Las centrales situadas aguas abajo deben

ser capaces de absorber los incrementos y descensos de caudal producidos por una

puesta en marcha o parada de la central de punta. Las variaciones de caudal que se



producen en una central de puntas suelen ser muy bruscos por lo que la operación de la

central en un régimen de gran perturbación es algo normal.

En el caso de la central con canal de derivación y cámara de carga el accionamiento de

la compuerta situada en la toma del canal puede suponer una reducción o aumento

significativo y brusco del caudal que alimenta la cámara de carga.

Dado que, como se ha comentado anteriormente, la sintonización del controlador PI se

realiza a partir del lugar de raíces de las ganancias k y Ti del Modelo lineal y que dicho

modelo tiene su funcionamiento en el ámbito de la pequeña perturbación se simula una

reducción del 50% del caudal turbinado en un breve intervalo de tiempo (10 s), Figura

5.58.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 507

8

9

10

11

12

13

14

15

tiempo (s)

caud

al c

anal

(m3 /s

)

Figura 5.58 Caudal del canal, Situación de gran perturbación

Mediante esta simulación se persigue un doble objetivo. En primer lugar se comprueba

la diferencia que muestran los resultados del Modelo lineal y del Modelo completo. Una

vez demostrado que ambos modelos se comportan de forma prácticamente idéntica es

interesante comprobar cómo afecta la simulación al Modelo lineal.

Por otro lado, dado que el controlador se ha sintonizado a partir de un modelo

concebido para operar en pequeña perturbación y sabiendo que en algún momento de

su explotación pueden aparecer grandes perturbaciones de las condiciones de equilibrio,



se hace necesario comprobar el comportamiento de la central con el controlador

sintonizado mediante el criterio heurístico obtenido en dichas situaciones.

Es un hecho el que un cambio considerable del caudal turbinado modifica notablemente

el punto de operación en la colina de rendimientos. Esto supone que los coeficientes bij

obtenidos a partir de dichas curvas cambian su valor. En el caso de la simulación

propuesta se considera constante el valor numérico de los coeficientes dado que su

modificación conforme varía el punto de operación de la turbina introduce una

complejidad en el modelo que no está justificada, dado el alcance del presente estudio.

En la Figura 5.59 y la Figura 5.60 se muestran los resultados procedentes de la central

con canal y cámara de carga.

De las simulaciones efectuadas se desprende que la sintonización del controlador PI

según el criterio establecido presenta un resultado satisfactorio bajo gran perturbación.

En ambos casos se observa que cuando se somete a la central a un cambio importante

del caudal que alimenta al elemento almacenador el Modelo lineal y el Modelo completo

se comportan de forma muy similar. Esto se debe a que únicamente la dinámica de la

tubería forzada presenta no linealidades que son suprimidas en el Modelo lineal. Dicho

conducto es de longitud reducida comparada con la correspondiente a una galería en

presión. La turbina también supondría una diferencia, pero en el Modelo completo la

ecuación de la turbina que se utiliza ya está linealizada. A esta similitud en los modelos

se añade el hecho de que estas tipologías de centrales únicamente incluyen un depósito

lo que evita la oscilación amortiguada por las pérdidas en los conductos.

Es conveniente señalar que en los modelos estudiados no se considera el efecto elástico

del agua y de los conductos así como las variaciones de los coeficientes bij de la turbina.

Estos dos fenómenos, la elasticidad del agua y las no linealidades de la turbina, son

determinantes para el estudio de la estabilidad bajo gran perturbación como se

comprueba en la bibliografía comentada al respecto. Por tanto, los resultados obtenidos

no se pueden generalizar totalmente al funcionamiento completo de la central mientras

que sí tienen relevancia en el ámbito de la pequeña perturbación alrededor de un punto

de funcionamiento nominal.


CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA 6.1 DE EQUILIBRIO

CAPÍTULO 6 Modelo de una minicentral fluyente con galería en presión y chimenea

de equilibrio

6.1 INTRODUCCIÓN

El objetivo del presente capítulo es la representación mediante un modelo matemático

de una minicentral hidroeléctrica fluyente. Dentro de la tipología de minicentrales

fluyentes se trata de aquellas en las que la central se encuentra conectada con el punto

de toma de agua mediante un conducto en presión.

Los principales componentes de este tipo de minicentrales son desde aguas arriba hasta

la turbina los siguientes:


6.2 CAPÍTULO 6 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO

Azud de derivación, estructura que genera un pequeño vaso en el se remansa

y embalsa el agua procedente del río.

Galería en presión, conducto que transporta el agua en presión desde el azud

hasta la central o más concretamente hasta la chimenea de equilibrio.

Chimenea de equilibrio, elemento almacenador dispuesto al final de la galería

que proporciona seguridad a la central. Su misión es absorber las variaciones de

energía cinética que generan los cambios del caudal turbinado por la central. De

esta forma se evitan las sobrepresiones y el golpe de ariete en la galería en

presión, sobretodo si ésta es de gran longitud.

Tubería forzada, conducto en presión que comunica la galería en presión con

la turbina.

Grupo turbina-generador, componente de la central que transforma la



Regulador de turbina, elemento que modifica la posición del distribuidor de la

turbina para mantener el nivel de agua en el azud de captación constante.



hidráulico que acciona el distribuidor. A los efectos de este estudio la dinámica

de estos componentes puede reducirse a la de un controlador tipo PI (Raabe,

1985), (Wilhelmi, 1997) ya que la respuesta del dispositivo servo-hidráulico es

en general suficientemente rápida.

Inicialmente se desarrolla un modelo que incluye el comportamiento dinámico de todos

y cada uno de los elementos enunciados anteriormente. Para ello se estudian las

ecuaciones diferenciales que rigen su comportamiento físico y se configuran los bloques

del programa que sirve de base informática. Este modelo, que en adelante se

denominará Modelo completo, no sólo incluye todos los componentes de la central sino

que contiene las no linealidades propias de las ecuaciones.

El alcance del estudio al que pertenece el presente capítulo es la modelación de una

minicentral hidroeléctrica en condiciones normales de funcionamiento, por tanto se

considera que las variables de entrada al modelo (caudal del río, nivel de referencia de

la cota en el azud…) experimentan pequeñas modificaciones, es decir, el modelo opera

bajo pequeña perturbación. Pero además de la correcta simulación de la central otro de



los objetivos del estudio es el posterior tratamiento de la estabilidad de la misma. Para

facilitar dicho tratamiento es conveniente simplificar el modelo inicial. Dado que el

funcionamiento normal de la central implica pequeñas variaciones de las condiciones de

contorno alrededor de un punto de operación nominal se contempla la linealización de

las ecuaciones del modelo como una simplificación que elimina las no linealidades

manteniendo un comportamiento similar con el modelo original. El modelo compuesto

por las ecuaciones linelizadas se denomina Modelo lineal.

Por otro lado el Modelo completo, como se verá con posterioridad, resulta un sistema de

quinto orden. Dado que la dinámica de la tubería forzada es muy rápida frente a la del

resto de componentes de la central, dentro de la simplificación que supone el Modelo lineal, se propone la supresión de la tubería forzada. De este modo se reduce un grado

el orden del sistema lo que facilita enormemente el estudio de su estabilidad sin que

esto suponga una diferencia notable entre ambos modelos.

Tanto en el Modelo completo como en el Modelo lineal se plantean dos variantes

relacionadas con la dinámica del Azud de derivación. En ocasiones es aconsejable

medioambientalmente mantener un caudal ecológico entre el azud donde se sitúa la

toma y el lugar donde se produce la descarga. Para lograr dicho objetivo manteniendo

constante el nivel de agua en el azud se dispone de un aliviadero o vertedero en la

parte superior del cuerpo del azud. De esta forma, manteniendo el nivel de agua en el

azud constante por encima de la cota del vertedero, se asegura un caudal ecológico

desaguado constante. Por tanto, los modelos se estudian considerando la acción del

aliviadero u omitiéndola. Esta división también afecta al estudio de la estabilidad, en el

Capítulo 7 se trabaja la estabilidad de la central sin vertedero y en el Capítulo 8 se

plantea un estudio análogo de la estabilidad de la central incluyendo la dinámica del

vertedero en el azud de derivación.

En el apartado final del presente capítulo se compara, mediante los resultados

proporcionados por la simulación, el comportamiento de los dos modelos, lineal y

completo, y considerando en ambos casos el vertedero en el azud u omitiéndolo. La

implicación de la comparación es importante dado que si el comportamiento de los dos

modelos resultara completamente diferente no se podrían aplicar las conclusiones,

relacionadas con el estudio de estabilidad, procedentes del Modelo lineal, al Modelo completo.

Como se ha indicado anteriormente la elaboración de los modelos de minicentral se

basa en los diagramas de bloques. Cada uno de los bloques puede representar uno o

varios componentes de la central. En el caso de que sea uno solo el elemento, su



contenido representa la ecuación diferencial que rige el comportamiento de dicho

componente. En caso de que el bloque englobe varias partes su contenido serán

diferentes bloques correspondientes a cada una de esas partes.

En el caso del Modelo completo para facilitar la comprensión y el trabajo con el modelo

informático se han agrupado los componentes de la central en tres grupos principales

que se muestran en la Figura 6.1. En el bloque Conducciones se encuentran la

chimenea de equilibrio, la galería en presión y el azud.

Figura 6.1 Diagrama de bloques del Modelo de central con galería en presión y chimenea de equilibrio

Zf

Zref

X

Regulador PI

Qr

Zref

Zs

Zf

Qt


Qt

X

Zs

Chimenea-Turbina

Qr

Qt

Zf

Azud

Figura 6.2 Diagrama de bloques del Modelo lineal de central con galería en presión y chimenea de equilibrio



Como puede comprobarse en los diagrama de bloques que representan el Modelo completo de minicentral fluyente las entradas del modelo son el caudal procedente del

río (Qr) y la cota de referencia a la que se desea que se mantenga el agua en el azud de

derivación (Zref).

Un cambio en el caudal del río, por ejemplo una reducción, producirá una disminución

en el nivel del agua en el azud que es detectado por un sensor. Esta medida es

comparada con el valor de referencia y el error generado por la dicha comparación es

utilizado por el controlador PI para manipular el distribuidor. En este caso el distribuidor

se cierra, lo que reduce el caudal turbinado. Esto finalmente eleva el nivel de agua

hasta el valor deseado.

En ambos modelos se ha considerado la aproximación de “columna de agua rígida”

(Jiménez O.F. & Chaudry, 1987) dado que el parámetro de Allievi tanto en la tubería

forzada como en la galería en presión es mayor uno.

12

>=gHaVϕ (6.1)

Además de lo dicho anteriormente existen otras dos simplificaciones que se han

aplicado a los dos modelos y que no falsean los resultados obtenidos. Una de ellas es

suponer despreciable temporalmente la dinámica del mecanismo hidráulico del

distribuidor de la turbina. La otra es realizar la misma simplificación en el alternador de

modo que los modelos suponen instantánea la conversión de energía mecánica

procedente de la turbina en energía eléctrica realizada en el alternador. No se incluye

por tanto en el modelo la inercia del rotor del alternador cuya dinámica se desarrolla en

una escala temporal mucho más pequeña que el de la central completa.

En resumen, el presente capítulo realiza una descripción del modelo de minicentral

hidroeléctrica fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio desarrollado en el

entorno de programación MATLAB. Se elaboran dos modelos, uno completo y otro

linealizado en el que se excluye la dinámica de la tubería forzada. A lo largo del texto se

muestran los diagramas de bloques que representan cada elemento de la central de

acuerdo con las ecuaciones que los gobiernan. Por último tomando valores concretos se

realiza una simulación que ilustra el funcionamiento del Modelo completo y su adecuado

comportamiento. Posteriormente se comprueba, simulando el mismo caso con el Modelo lineal, la similitud del comportamiento de dinámico de ambos modelos.



6.2 MODELO COMPLETO

6.2.1 Turbina-tubería forzada

El sistema compuesto por la turbina y la tubería forzada que se representa en la Figura

6.3 tiene como entradas la posición del distribuidor determinada por el controlador PI

(X) y la cota de la lámina del agua en la chimenea de equilibrio (Zs) procedente del

bloque Conducciones.

Genera una variable interna H, el salto neto en la turbina, que es la entrada en el

bloque Tubería forzada. Por último tiene como salida el caudal que es turbinado en cada

momento.

Figura 6.3 Diagrama de bloques del conjunto Turbina-Tubería forzada

6.2.1.a Turbina

El funcionamiento de una turbina y las relaciones entre las variables que determinan su

comportamiento se reflejan en la Colina de rendimientos. Un ejemplo de colina de

rendimientos se muestra en la Figura 6.4. (Vallarino & Cuesta, 2000) correspondiente a

una turbina Francis. Dichas colinas están referenciadas a velocidad y caudal unitarios

(6.2) que permiten adaptar el gráfico a turbinas semejantes de la serie.

HDNN ⋅=1

HDQQ

⋅⋅=

211

(6.2)

De este modo conociendo el diámetro de la turbina D, se puede conocer su

comportamiento.

Dado que el modelo es matemático es necesario concretar las expresiones analíticas de

las colinas de rendimientos que permiten obtener el caudal turbinado Q y el par



mecánico de la turbina C a partir del salto neto H, la velocidad de giro del grupo N y la

posición del distribuidor X. Estas expresiones teóricamente se corresponden con la

conservación de la cantidad de movimiento o Ecuación de Euler y la de la conservación

de la energía. Genéricamente se pueden expresar:

( )XNHfQ Q ,,= ( )XNHfC C ,,= (6.3)


El modelo de minicentral fluyente que se plantea en el presente estudio tiene por objeto

el estudio del control y la estabilidad de la minicentral cuando opera en un punto de

funcionamiento y se producen pequeñas perturbaciones en las condiciones de

operación. En dicho entorno de trabajo, dado que la formulación matemática de las

expresiones (6.3) que se traducen en la colina de rendimiento de la turbina presenta

cierta dificultad, se opta por su linealización tanto en las simulaciones como en el

estudio de estabilidad.

Linealizando las ecuaciones (6.3) en el entorno del punto de equilibrio inicial resultan las

siguientes expresiones en valores por unidad:



τ131211 bnbhbq ++= τ232221 bnbhbc ++= (6.4)

donde los coeficientes bij vienen definidos por las pendientes de las correspondientes

curvas características o de rendimientos.

El control que se plantea en una minicentral fluyente es mantener un nivel de agua en

el azud de derivación a fin de turbinar el máximo caudal procedente del río. Esto implica

que la potencia y por tanto el par mecánico generados por la turbina no son necesarios

en el presente modelo, ya que la red a la que está conectada la central absorbería las

variaciones de potencia generada.

De esta forma se puede asegurar que la gran inercia de todo el sistema eléctrico

mantenga constante la velocidad de giro de los grupos de la minicentral (n=0).

Teniendo en cuenta estas dos apreciaciones se puede concluir que la ecuación que

representa el comportamiento de la turbina en un modelo de pequeña perturbación es

la siguiente:

τ1311 bhbq += (6.5)

Según se aprecia en la Figura 6.3 el bloque de la Turbina tiene como entradas la

posición del distribuidor (X) y el caudal a turbinado (Q) mientras que la salida que se

precisa del bloque es el salto neto (H) todos ellos en valores absolutos. Partiendo de la

expresión (6.4) se obtiene la siguiente ecuación que permite obtener la variación del

salto en función de los cambios en el caudal y la posición del distribuidor en valores por

unidad:

τ11

13

11

1bbq

bh −= (6.6)

El modelo ha sido concebido para que en un principio las variables sean tratadas en

valores absolutos, por tanto, para utilizar la ecuación (6.6) es necesario pasar a valores

por unidad tanto las variables de entrada en el bloque (Q y X) como la de salida (H). En

la Figura 6.5 que se muestra a continuación se presenta el diagrama de bloques

resultante que refleja el comportamiento linealizado de una turbina alrededor de un

punto inicial de funcionamiento.




Observando el diagrama de bloques se comprueba que es necesario obtener

únicamente los valores de los coeficientes b11 y b13 para definir completamente la

turbina.

Partiendo de las Curvas Características o Colinas de Rendimientos como las que se

muestran en la Figura 6.4 se plantea la determinación de los coeficientes b11 y b13.

Obtención de b11

El coeficiente b11 en valores por unidad representa la variación de caudal frente a la del

salto cuando la velocidad y la posición del distribuidor son constantes:

b

b

QH

HQb ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=11 (6.7)

Sabiendo que:

HDQQ

21

1 = H

NDN 1

1 = (6.8)

se obtiene:

( )

b

b

b

b

b

b

QH

HDQ

HQHD

QH

HHDQ

HQHD

QH

HHDQb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂

∂=

2

21112

1

211

121

211

11

(6.9)

Por otro lado:



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

=∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

31

21

21

1

21

21

2

1

1

1

1

1 2N

DNHQ

NN

DN

HQ

NH

HQ

NQ

(6.10)

Por lo que:

21

2

31

1

11

2 DNN

NQ

HQ

∂∂

−=∂∂

(6.11)

Finalmente se puede escribir:

b

b

QH

NQ

NHN

HDQb ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=1

12

31

211

11 22 (6.12)

La variación de caudal unitario respecto de la velocidad unitaria es la pendiente de la

curva de apertura de distribuidor constante, que en el entorno del punto de

funcionamiento se considera tramo recto.

Obtención de b13

El coeficiente b13 representa la variación de caudal frente a la posición del distribuidor,

suponiendo el salto y la velocidad del grupo constantes.

( ) ( )b

b

b

b

b

b

QX

XQ

QHDQ

QX

XHDQ

QX

XQb

∂∂

∂∂

=∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= 1

1

211

211

13 (6.13)

Lo que resulta:

b

b

QX

XQHDb∂∂

= 12113 (6.14)

Para calcular la variación de caudal unitario respecto de la apertura del distribuidor se

considera que dicha variación mantiene el valor del salto neto constante. Esto permite

obtener dicho valor mediante la pendiente de la curva procedente de las colinas de

rendimientos cortadas con el plano de velocidad unitaria N1 constante.


La ecuación que rige el comportamiento de la tubería forzada es la que permite evaluar

las pérdidas de carga que se producen a lo largo del conducto (Osuna, 1978).



ZZQQKdt

dQAg

Lspprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(6.15)



( )( ) p

p

prp L

Dn

K 333,5

229,10= (6.16)


p

pp Ag

LF

⋅= (6.17)

La diferencia de presiones entre los dos extremos de la tubería forzada son las entradas

en el bloque. Es necesario añadir al salto neto procedente de la turbina (H) la cota de la

descarga (Zdesc) para trabajar en cotas absolutas y poder compararla con la cota de la

chimenea de equilibrio (Zs).


independientemente el punto de operación de la central. En el caso de que la cota varíe

en distintas situaciones de funcionamiento se incluyen dichas variaciones en las


descss ZHZ += descZHZ += (6.18)


la Figura 6.6.

( )[ ] pprpp

descsp QQK

FZHZ

dtdQ

⋅⋅−+−=1

(6.19)

Otra forma de enunciar la ecuación de la dinámica de la tubería forzada que se utilizará

en el estudio de la estabilidad de la central se muestra a continuación:

HHQQKdt

dQAg

Lspprp

p

p

p −=⋅⋅+⋅

(6.20)




6.2.2 CONDUCCIONES

El bloque Conducciones está compuesto por tres sub-bloques: chimenea de equilibrio,

galería en presión y azud. En la Figura 6.7 se muestra el diagrama. Tiene como

entradas el caudal turbinado procedente del bloque Turbina-Tubería forzada y el caudal

del río que realiza la aportación al azud de derivación. El caudal del río junto con la cota

a la que se desea aproximar la lámina en el azud son las variables externas al sistema.

Figura 6.7 Diagrama de bloques del conjunto Conducciones

6.2.2.a Chimenea de equilibrio

La chimenea de equilibrio se asimila a un depósito de sección constante que absorbe las

variaciones de energía cinética del agua causadas por los cambios de caudal turbinado.

La ecuación que rige su comportamiento relaciona la diferencia de caudales entrante

procedente de la galería en presión (Qt) y saliente (Qp) mediante la tubería forzada, con

la variación de la cota del agua (Zs).

ptss

s QQQdt

dZA −== (6.21)



En una situación de equilibrio el nivel del la cota del agua en la chimenea no sufre

variaciones por lo que el caudal Qs es nulo, es decir, se igualan los caudales de la

galería y de la tubería forzada.

El diagrama de bloques que representa la ecuación (6.21) se muestra en la Figura 6.8.

Figura 6.8 Diagrama de bloques del modelo de Chimenea de equilibrio

En el estudio de estabilidad de la central se precisa la ecuación de la chimenea con las

alturas relativas. Dado que la cota de la descarga es constante, independientemente del

punto de operación de la central, se puede escribir:

descss ZHZ += 0=dt

dZdesc (6.22)

ptss

s QQQdt

dHA −== (6.23)

6.2.2.b Galería en presión

Al igual que la tubería forzada, la galería es un conducto en presión, por tanto la

ecuación que gobierna su comportamiento es análoga a la aplicada a la tubería.

sfssrsttrtt

t

t ZZQQKQQKdt

dQgAL

−=++ (6.24)

Las pérdidas en la embocadura de la chimenea no se incluyen en el estudio de

estabilidad cuando se linealiza la ecuación (6.24) dado que los elementos de segundo

orden no son tenidos en consideración. Por otro lado, dado que su omisión queda del

lado de la seguridad y que en el modelo lineal se anulan dichas pérdidas, como

simplificación en las simulaciones no se consideran las pérdidas en la embocadura de la

chimenea de equilibrio.

Las pérdidas en la galería se obtienen mediante la fórmula de Manning:



( )( ) t

t

trt L

DnK 333,5

229,10= (6.25)

Introduciendo el término Ft y ordenando la ecuación inicial resulta la expresión (6.27)

que se modela según el diagrama de la Figura 6.9.

t

tt Ag

LF⋅

= (6.26)

( ) ttrtt

sft QQK

FZZ

dtdQ

−−=1

(6.27)

Figura 6.9 Diagrama de bloques del modelo de Galería en presión

Utilizando las expresiones (6.21) y (6.28) se obtiene la ecuación de las pérdidas en la

galería en presión con alturas relativas a la cota de descarga.

descff ZHZ += (6.28)

sfssrsttrtt

t

t HHQQKQQKdt

dQgAL

−=++ (6.29)

6.2.2.c Azud de derivación

En una minicentral fluyente convencional el azud está compuesto por un pequeño dique

que permite que el agua del río se remanse y se pueda realizar la captación de parte o

todo el caudal para su turbinación. En el caso de que se mantenga parte del caudal en

el río (Qw) la evolución de la cota del agua en el azud (Zf) responde a la siguiente

ecuación:

twrf

f QQQdt

dZA −−= (6.30)







En el presente estudio se aborda el control y la estabilidad de la central considerando

dos supuestos:

Se turbina todo el caudal procedente del río, lo que implica que la ecuación y el

diagrama de bloques son los siguientes:

( )f

trf

AQQ

dtdZ 1

−= (6.31)


Se vierte parte del caudal por el aliviadero, de modo que el río mantenga un

caudal mínimo entre el azud de toma y la descarga. En este caso se introduce en el

diagrama una función de Desagüe (6.32) que permite valorar el caudal vertido al río por

un aliviadero fijo situado en la coronación del azud de derivación.

( )3alivfalivdw ZZLCQ −⋅= (6.32)

La ecuación y el diagrama resultantes se muestran a continuación:

( )f

twrf

AQQQ

dtdZ 1

−−= (6.33)

Tomando las condiciones (6.34) se obtienen las expresiones del desagüe y del azud

considerando alturas referenciadas a la cota de descarga. La ecuación (6.36) resulta de

introducir el efecto del vertido en la ecuación general del azud.

0=dt

dZdesc descalivaliv ZHZ += (6.34)

( )3alivfalivdw HHLCQ −⋅= (6.35)



( ) talivfalivdrf

f QHHLCQdt

dHA −−⋅−= 3 (6.36)

Figura 6.11 Diagrama de bloques del modelo de Azud de derivación con vertido por coronación

6.2.3 CONTROLADOR PI

Las minicentral fluyente que se modela debe turbinar en cada momento el caudal

disponible procedente del río. Para ello lo más sencillo es utilizar como consigna de

control el nivel del agua en el azud de derivación. El que se vierta o no caudal por el

aliviadero del azud dependerá del valor de referencia elegido para el nivel de agua en el

azud.

Dentro de los algoritmos de control existentes se selecciona el Controlador PI cuyo uso

está ampliamente extendido por su sencillez y robustez. Además es el que mejor se

adapta a las necesidades del modelo. La componente o ganancia proporcional (k)

determina la rapidez de la acción controladora. La ganancia integradora (Ti) elimina el

error entre el valor medido y el de referencia.

En este caso, dada la dinámica relativamente lenta del sistema, no se producirán

sobreoscilaciones importantes que justifiquen la inclusión en el controlador de una

componente derivada (Controlador PID).

El funcionamiento del controlador PI se basa en modificar la consigna de apertura del

distribuidor (X) partiendo de la diferencia entre la cota del agua en el azud (Zf) y la cota

deseada denominada de referencia (Zref). La ecuación matemática que gobierna este

tipo de controladores se muestra a continuación así como el diagrama de bloques

resultante.

( reffi

ZZdtT

kXX −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫

10 ) (6.37)


o bien:

( )dt

ZZdk

TZZ

dtdX reff

i

reff −+

−= (6.38)





( )dt

HHdk

THH

dtdX reff

i

reff −+

−= (6.40)


El modelo de central que se presenta en este capítulo tiene como punto de partida los

estudios realizados en el Departamento de Hidráulica y Energética de la Escuela de

Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. Uno de los

resultados obtenidos es un modelo de turbina con velocidad variable que ha sido

adaptado a las necesidades del presente trabajo. Por tanto las dimensiones iniciales de

los elementos que componen la turbina y que determinan el punto de funcionamiento

óptimo de la central se obtuvieron de dichos estudios previos.

El modelo de central necesita de otros elementos, aparte de la turbina, cuyas

dimensiones deben concretarse: galería en presión, chimenea de equilibrio, tubería

forzada. Para obtener ciertos valores orientativos que permitan hacer una primer

acercamiento a un modelo real y que sean afines a la turbina seleccionada inicialmente

se han consultado los ejemplos recogidos en el Manual de Minicentrales Hidroeléctricas (Instituto para la Diversificación y Ahorro de la Energía (IDAE), 2006). De esta forma se

aproxima el modelo virtual a una central existente de características similares.



Dados la tipología de central y los órdenes de magnitud de las variables más

importantes (salto neto, caudal) se selecciona la Central Hidroeléctrica de Talave en el

río Mundo, término municipal de Listar (Albacete) como referencia para el modelo a

confeccionar. Los valores representativos de dicha central recogidos en la publicación

son:

Caudal 16 m3/s

Salto 40 m

Potencia instalada 5.070 kW

Equipamiento 2 turbinas Francis

Galería en presión 680,89 m

Partiendo del trabajo previo, con los valores obtenidos de la central seleccionada y

teniendo en consideración el modo de operación del modelo, mantener constante el

nivel de la lámina de agua en el azud de derivación, se dimensiona cada elemento que

compone el modelo de central.


En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada.


Genéricos





Salto bruto 34,67 m

Salto neto 31,54 m

Hb 30,00 m

Qb 7,200 m3/s

Chimenea de equilibrio

As 30,00 m2



Tubería forzada

Dp 2 x 1,200 m

Lp 40 m

np 0,011

Krp 0,01836 s/m2

A 1000 m/s

V 6,633 m/s

Ρ 10,30>1


Dt 2,500 m

Lt 680 m

nt 0,014

Krt 0,010351 s/m2

A 900 m/s

V 2,934 m/s

Ρ 4,272>1

Azud



Af 2070,00 m2

Laliv 15,00 m

Cd 2,13

Turbina







nI 70 r.p.m

QI 0,92 m3/s

η 0,89

X 22 mm

Q 7,200 m3/s

H 31,54 m

h0 1,051

q0 1,000

1

1

NQ∂∂

-0,0020

XQ∂∂ 1 0,0325

b11 0,547

b13 0,777

ZONA DE OPERACIÓN




Para la correcta calibración del controlador se han consultado las referecias (Dormido &

Morilla, 2002) y (Johnson, Katebi, and Wilkie, 2002). Concretamente la metodología

propuesta por Ziegler y Nichols para realizar una calibración empírica del controlador en

lazo cerrado es introducir un escalón en la variable de referencia (Nivel de agua en

azud). En este caso se cambia el valor de referencia de 150,20 por 150,10 m.s.n.m. A

continuación se busca la componente proporcional del controlador kc que genera una

respuesta senoidal estable manteniendo nula la componente integradora, Figura 6.15.

Los parámetros del controlador se obtienen a partir de la respuesta obtenida utilizando

las fórmulas:

ckk 45,0= k

tT ci 2,1= (6.41)

En las siguientes figuras se muestran las ondas senoidales producidas en la oscilación

del nivel de agua en el azud. La Figura 6.14 se obtienen a partir del modelo sin

vertedero y la Figura 6.15 procede del modelo con vertedero.

0 100 200 300 400 500 600 700150.04

150.06

150.08

150.1

150.12

150.14

150.16

150.18

150.2

150.22

tiempo (s)

cota

de

agua

en

azu

d (m

.s.n

.m.)

tc = 125 s

Figura 6.14 Modelo sin vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc = 132,5



Figura 6.15 Modelo con vertedero, oscilación estable de la variable controlada, kc = 152,0

Aplicando las expresiones (6.41) en el ejemplo de aplicación se desarrollan las

ganancias del controlador PI que se indican en la siguiente tabla:

Tabla 6.2 Ganancias calibradas según el criterio de Ziegler - Nichols

Modelo sin vertedero

Modelo con vertedero

k 59,63 68,40

Ti 1,75 s 1,49 s

Se comprueba que la inclusión del vertedero en la dinámica del azud de derivación

modifica notablemente el valor de las ganancias del controlador PI.

6.3.3 Simulación

Una vez calibrado el controlador PI se realiza una simulación para comprobar el

funcionamiento del modelo tanto con vertedero como sin él. Para ello se efectúa una

reducción brusca del 10 % del caudal nominal turbinado (14,4 m3/s) en el caudal que

circula por el río. Las figuras que se muestran a continuación muestran la evolución

temporal de las principales variables del modelo durante la simulación.



Dado que el modelo con aliviadero vierte caudal ecológico y que el caudal nominal

turbinado es 14,4 m3/s el caudal procedente del río en dicho modelo debe ser mayor

dado que no se turbina todo el agua que aporta el río.

0 500 1000 1500 2000 250012.5

13

13.5

14

14.5

15

15.5

16

16.5

17

17.5

18

tiempo (s)

caud

al rí

o (m

3 /s)

Modelo con vertederoModelo sin verterdero

Figura 6.16 Caudal en el río

0 500 1000 1500 2000 2500150.16

150.165

150.17

150.175

150.18

150.185

150.19

150.195

150.2

150.205

150.21

tiempo (s)

cota

agu

aen

azu

d (m

.s.n

.m)





0 500 1000 1500 2000 250018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)



0 500 1000 1500 2000 2500148

148.1

148.2

148.3

148.4

148.5

148.6

148.7

148.8

148.9

tiempo (s)

niev

el e

n la

chi

men

ea (m

.s.n

.m)


Figura 6.19 Nivel en la chimenea de equilibrio



0 500 1000 1500 2000 250012.5

13

13.5

14

14.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Figura 6.20 Caudal turbinado

0 500 1000 1500 2000 25002.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

tiempo (s)

Cau

dal (

m3 /s

)

Modelo con vertedero

Figura 6.21 Caudal vertido por el aliviadero del azud

Como se puede observar en la mayor parte de las figuras la dinámica del modelo de

central sin vertedero con controlador PI calibrado según el criterio del Ziegler - Nichols

se muestra mucho más inestable que el modelo de central con vertedero con PI



calibrado según el mismo criterio. Este fenómeno se comprobará y se estudiará con

mayor profundidad en los Capítulos 7 y 8 en los que se valora la influencia que ejercen

ciertas variables de diseño, como el vertedero, en la estabilidad de un modelo de central

fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio.

6.4 MODELO LINEAL

La elaboración del modelo lineal se basa, lógicamente, en la linealización de las

ecuaciones que describen el modelo completo recogidas en el apartado anterior. Para

poder obtener resultados aplicables a modelos reales y establecer condiciones de

estabilidad relativamente sencillas, es necesario reducir la complejidad y el tamaño de

las ecuaciones. Como se ha indicado anteriormente, la dinámica de la tubería forzada

que conduce el agua desde la chimenea de equilibrio hasta la turbina es mucho más

rápida que la del resto de componentes de la central. Por tanto, en el Modelo lineal no

se incluye la tubería forzada y se considera que el agua pasa directamente desde la

chimenea de equilibrio a la turbina.

En cambio aunque la central descrita en el apartado anterior la minicentral está

conectada a una red de gran potencia, n = 0, la linealización del modelo y el posterior

estudio de estabilidad desarrollado en capítulos posteriores contempla la posibilidad del

funcionamiento en isla y por ello de que varíe la velocidad del grupo.

A continuación se recogen las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior que, una

vez linealizadas, sirven de base para la elaboración del Modelo lineal. Inicialmente son

cinco ecuaciones lo que puede hacer pensar en un sistema de quinto orden. La

linealización permite agrupar la dinámica de la turbina y de la chimenea de equilibrio en

el subsistema Chimenea de equilibrio – Turbina.

Al igual que el Modelo completo el Modelo lineal presenta dos variantes resultantes de

incluir o no la ecuación del vertedero en el azud de derivación.

Turbina

τ131211 bnbhbq ++= (6.42)


QQQdt

dHA tss

s −== (6.43)




sfssrsttrtt

t

t HHQQKQQKdt

dQgAL

−=++ (6.44)

Azud de derivación

wtrf

f QQQdt

dHA −−= (6.45)

Controlador PI

( )dt

HHdk

THH

dtdX reff

i

reff −+

−= (6.46)

Después de realizar las simplificaciones señaladas y dado que el estudio de estabilidad

se realiza en pequeña perturbación se expresan las variables en valores por unidad y se

linealizan las ecuaciones anteriormente descritas.

Las variables de estado son aquellas que describen el funcionamiento interno del

sistema. Deben ser variables continuas y derivables, dado que evolución temporal es

descrita por cada una de las ecuaciones de estado mediante su derivada temporal.

Las entradas del sistema representan las variaciones que se producen en el exterior y

que modifican el estado inicial del sistema dando lugar a la evolución temporal del

mismo.

En este modelo se considera la posibilidad de que el valor inicial de las variables de

estado o de entrada no sea el considerado como base. De esta forma las variables

expresadas en valores por unidad resultan:

Variables de estado

( )ttbt qqQQ += 0 (6.47)

( )ffbf hhHH += 0 (6.48)

( )ssbs hhHH += 0 (6.49)

( )ττ += 0bXX (6.50)





( )rrbr qqQQ += 0 (6.51)


( )nnNN b += 0 (6.53)

6.4.1 Ecuación de equilibrio en el subsistema Chimenea de equilibrio - Turbina

Aplicando los valores por unidad a la expresión (6.43) resulta:

( )[ ] ( ) ( qqQqqQdt

hhHdA bttbssb

s +−+=+ 00

0

) (6.54)

qQqQqQqQdtdh

HAdt

dhHA bbtbtb

sbs

sbs −−+=+ 00

0

(6.55)


000

qQqQdt

dhHA btb

sbs −= (6.56)

Por lo que:

qQqQdtdh

HA btbs

bs −= (6.57)

Introduciendo el valor de q, expresión (6.42), procedente de la linealización de las

expresiones genéricas que corresponden a la colina de rendimientos de la turbina, en la

ecuación de la chimenea:

( τ131211 bnbhbQqQdtdh

HA sbtbs

bs ++−= ) (6.58)

Llamando:

b

bss Q

HAT = (6.59)

se obtiene la expresión definitiva del comportamiento linealizado de la chimenea de

equilibrio y la turbina. En esta expresión se incluye la posibilidad de que la velocidad del



grupo varíe (central en isla) aunque en el diagrama de bloques que forma parte del

modelo, Figura 6.22, se suprime dicha posibilidad.

nTb

Tb

hTbq

Tdtdh

sss

st

s

s 1213111−−−= τ (6.60)

El parámetro Ts o constante de la chimenea de equilibrio se conoce como el tiempo de

llenado de la chimenea. Representa el tiempo necesario para elevar la cota del agua de

la chimenea de equilibrio una altura Hb con un caudal Qb.

A continuación se muestra el diagrama de bloques que representa la ecuación linealizad

(6.60). Se considera que la central está conectada a una red de gran potencia (n = 0).

qt

Tau

hs

1Zs

hs0

1/Ts

b13/Ts

q0

Tau0

1s

1/Xb

Hb

Zdesc

1/Qb

b11/Ts

2X

1Qt

Figura 6.22 Diagrama de bloques del subsistema lineal Turbina – Chimenea de equilibrio

6.4.2 Ecuación de la Galería en presión

En la ecuación (6.44) se refleja el comportamiento del fluido entre el azud y la

chimenea de equilibrio. Aplicando los valores por unidad dicha ecuación resulta:

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ssbffbssbssbrs

ttbttbrtttb

t

t

hhHhhHqqQqqQK

qqQqqQKdt

qqQdgAL

+−+=+++

+++++

0000

000

) (6.61)


00 =sq 00

=dt

dqt (6.62)



y limitando el alcance del modelo a pequeña perturbación se despreciarán los términos

de segundo orden como qt2 y qs

2, con lo que (6.61) se reduce a:

( )( )

sbsbfbfb

ssbrsttttbrtt

t

bt

hHhHhHhH

qqQKqqqqQKdtdq

gAQL

−−+=

=++++

00

2002

(6.63)

( ) ( )sfbsfb

ttbrttbrtt

t

bt

hhHhhH

qqQKqQKdtdq

gAQL

−+−=

=++

00

02202 2 (6.64)

De las condiciones iniciales se conoce:

( )00202sfbtbrt hhHqQK −= (6.65)

Por tanto resulta:

( sfbttbrtt

t

bt hhHqqQKdtdq

gAQL

−=+ 02 2 ) (6.66)

Si se denominan:

bt

btw HgA

QLT =

b

brt

HQKp

2

= (6.67)

La expresión final linealizada obtenida es:

sw

fw

tw

tt hT

hT

qTpq

dtdq 112 0

−+−= (6.68)

El parámetro Tw o tiempo de arranque del agua en la galería en presión, tiene una

lectura similar al tiempo de llenado de la chimenea. En el caso de la chimenea se

trataba de un elemento almacenador de energía potencial mientras que la galería

almacena energía cinética. Representa el tiempo necesario para acelerar sin rozamiento

la masa de fluido contenido en la galería en presión desde el reposo hasta el caudal Qb,

sometida a la altura Hb.

El parámetro p representa las pérdidas unitarias por rozamiento que se producen a lo

largo de la galería en presión.


(6.68).



Hs

Hf

hs

hf

qt

1Qt

(2*p*q0)/Tw

1/Tw1s

Qb

1/Hb

1/Hbhf0

hs0

q0

Zdesc

Zdesc

2Zf

1Zs

Figura 6.23 Diagrama de bloques del modelo lineal de Galería en presión

6.4.3 Ecuación de almacenamiento en el Azud

Como en el apartado que estudiaba la ecuación que rige el comportamiento del azud se

plantean dos posibilidades: turbinar todo el caudal procedente del río o verter parte del

caudal por el aliviadero, a la hora de linealizar se contemplan las dos opciones. En los

posteriores estudios de estabilidad se dedica el Capítulo 7 al tratamiento de la central

con azud sin vertido y en el Capítulo 8 se observa cómo influye en la estabilidad de la

central la inclusión del vertido de parte de caudal procedente del río en el modelo de

central.

Se turbina todo el caudal procedente del río

Se introduce en la expresión (6.45) que refleja el comportamiento del azud, suponiendo

que no existe vertido por el aliviadero, (Qw = 0), las variables en valores por unidad:

( )[ ] ( ) ( ttbrrbffb

f qqQqqQdt

hhHdA +−+=

+ 000

) (6.69)

( )tbtbrbrb

ffbf qQqQqQqQ

dthhd

HA −−+=+ 00

0

(6.70)

tbrbtbrbf

bff

bf qQqQqQqQdt

dhHA

dtdh

HA −+−=+ 000

(6.71)

Sabiendo que en la situación inicial de equilibrio se cumple:


0000

=−= tbrbf

bf qQqQdt

dhHA (6.72)

(6.71) se reduce a:

tbrbf

bf qQqQdt

dhHA −= (6.73)

Denominando:

b

bff Q

HAT = (6.74)

Se obtiene la expresión linealizada:

rf

tf

f qT

qTdt

dh 11+−= (6.75)

El parámetro Tf es el tiempo de llenado del azud. Su significado físico es análogo al de

la chimenea de equilibrio.

El diagrama de bloques que permite simula el comportamiento lineal del azud sin

vertido se muestra en la siguiente figura.

hf

qt

qr

1Zfhf0

qr0

q0

1s

1/Qb

1/Qb

Hb

Zdesc

1/T.f

2

Qt

1Qr

Figura 6.24 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación




Se vierte parte del caudal del río por el aliviadero

La ecuación que describe el comportamiento dinámico del azud incorpora el efecto del

vertido por el aliviadero lo cual se ve reflejado en su linealización. Introduciendo las

variables expresadas en valores por unidad en la ecuación (6.45) resulta:

( )[ ]

( ) ( )( ) ( )ttbalivffbalivdrrb

ffbf

qqQHhhHLCqqQ

dthhHd

A

+−−+⋅−+=

=+

0300

0

(6.76)

de lo que se obtiene:

( )( )3000

0

alivffbalivdtbrbtbrb

fbf

fbf

HhhHLCqQqQqQqQ

dtdh

HAdt

dhHA

−+⋅−−+−=

=+ (6.77)

Desarrollando el término en raíz cuadrada:

( )300

000

23

alivfbalivdfalivfbbalivd

tbrbtbrbf

bff

bf

HhHLChHhHHLC

qQqQqQqQdt

dhHA

dtdh

HA

−⋅−⋅−⋅⋅−

−−+−=+ (6.78)

En condiciones iniciales de equilibrio se cumple:

( )30000

alivfbalivdtbrbf

bf HhHLCqQqQdt

dhHA −⋅−−= (6.79)

Por lo que la ecuación linealizada resulta:

falivfbbalivdtbrbf

bf hHhHHLCqQqQdt

dhHA ⋅−⋅⋅−−= 0

23

(6.80)

Se agrupan los términos de la siguiente forma:

rbf

bfalivfb

f

alivdt

bf

bf qHA

QhHhHA

LCqHA

Qdt

dh+⋅−

⋅−−= 0

23

(6.81)

Introduciendo en (6.81) el tiempo de llenado del azud Tf y la constante de vertido del

azud M


b

bff Q

HAT = alivfb

f

alivd HhHA

LCM −⋅

= 0 (6.82)

se obtiene la expresión definitiva de la ecuación del azud de derivación con vertedero

linealizada:

rf

ftf

f qT

hMqTdt

dh 1231

+⋅−−= (6.83)

A continuación se muestra el diagrama de bloques que modela el azud con vertido por

coronación

qr

qthf

1Zfhf0

qr0

q0

1s

1/Qb

1/Qb

Hb

Zdesc

(3*M)/2

1/T.f

2

Qt

1Qr

Figura 6.25 Diagrama de bloques del modelo lineal de Azud de derivación con vertido por coronación

6.4.4 Ecuación del controlador de nivel en el Azud

Al igual que en el azud de derivación la introducción en el modelo de central del vertido

en el aliviadero modifica la ecuación lineal del controlador PI. Por ello se plantean los

dos supuestos.



Se turbina todo el caudal procedente del río



( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ]dt

hhHhhHdk

ThhHhhH

dtXd

refrefbffb

i

refrefbffbb

+−++

++−+

=+

00

000 ττ

(6.84)

( ) ( )( ) ( )

dthhd

kHdt

hhdkH

hhTHhh

TH

dtdX

dtdX

refrefb

ffb

refrefi

bff

i

bbb

+−

++

++−+=+

00

000 ττ

(6.85)

( ) ( )

( ) ( )dt

hhdkH

dthhd

kH

hhTHhh

TH

dtdX

dtdX

reffb

reffb

reffi

breff

i

bbb

−+

−+

+−+−=+

00

000 ττ

(6.86)

De las condiciones iniciales se conoce:

000 =− reff hh 00

=dt

dτ (6.87)

Por otro lado se supone que el valor de referencia del controlador varía únicamente por

escalones y no de una forma continua por lo que puede escribirse:

0=dt

dhref (6.88)


( )dt

dhkHhh

TH

dtdX f

breffi

bb +−=

τ (6.89)

Se sustituye el valor de la variación temporal de la cota en el azud por unidad, hf, por la

ecuación (6.83):

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−= r

ft

fbreff

i

bb q

Tq

TkHhh

TH

dtdX 11τ

(6.90)



y llamando

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (6.91)


rf

refftf

qT

hhqTdt

d αββ

ατ+−+−=

11 (6.92)

Dicha ecuación se modela mediante el diagrama de bloques recogido en la siguiente

figura.

Tau

hf

href

1X

1s

k

Hb/Xb

1/Ti

1/Hb

1/Hb

Tau0

Zdesc

Zdesc

href0

Xb

hf0

2Zref

1Zf

Figura 6.26 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI

Se vierte parte del caudal del río por el aliviadero

La linealización de la ecuación del controlador se realiza inicialmente de manera análoga

al caso anterior, partiendo de la expresión (6.46):

( )dt

dhkHhh

TH

dtdX f

breffi

bb +−=

τ (6.93)

Pero el valor de hf y su derivada se ven modificados por el vertido en el azud, como se

comprueba en la expresión (6.83), de lo que resulta:



( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−−+−= r

fft

fbreff

i

bb q

ThMq

TkHhh

TH

dtdX 1

231τ

(6.94)

Introduciendo las constantes α y β:

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (6.95)

se obtiene la expresión del controlador linealizada:

rf

refftf

qT

hhMqTdt

d αβ

αβ

ατ+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−=

1231

(6.96)


vertido en el controlador. En el modelo sin aliviadero, Figura 6.26, la diferencia de

caudales determina la acción proporcional mientras que el error entre las cotas de

referencia y del agua en el azud la acción integradora. En el caso del modelo lineal con

vertido por el aliviadero del azud la variación cota del agua en el azud de derivación

expresada en valores por unidad (hf) no sólo influye en la acción integradora e integral

a través del error sino que también determina la acción proporcional del controlador PI.

Tau

hf

href

1X

1s

k

Hb/Xb

1/Ti

3*M*Hb/2*Xb

1/Hb

1/Hb

Tau0

Zdesc

Zdesc

href0

Xb

hf0

2Zref

1Zf

Figura 6.27 Diagrama de bloques del modelo lineal de controlador PI con vertido en el azud de derivación




Una vez configurados los diagramas de bloques basados en las expresiones linealizadas

del Modelo completo se conforma el Modelo lineal. Para ello, al igual que en el Modelo completo, se incluye el vertido en el azud de derivación de parte del caudal procedente

del río para mantener un caudal constante entre la toma y la descarga.

La geometría y los valores nominales necesarios para modelar la central son los

recogidos en el apartado anterior. Dado que la cota de la descarga (Zdesc) se mantiene

constante y que se suprime la ecuación que refleja la disipación de energía en la tubería

forzada es fácil concluir que el salto neto turbinado (H) difiere ligeramente entre ambos

modelos. En el caso del Modelo lineal el salto neto es mayor dado que no se consideran

las pérdidas producidas a lo largo de la tubería forzada.

Esta variación del salto neto (H) modifica el caudal (QI) y la velocidad de giro (nI)

unitarios que resultan de las siguientes expresiones:

HDQQ

21

1 = H

NDN 11 = (6.97)

Por lo que al representar el punto de funcionamiento en la Colina de rendimientos, se

observa que dicho punto modifica su posición, Figura 6.28.

Por tanto, suprimir la dinámica de la tubería forzada del modelo y sus pérdidas,

manteniendo la geometría de la central, implica un punto de funcionamiento distinto

Esto se traduce en una pequeña disminución de la apertura del distribuidor. Dado que el

nuevo punto de operación se encuentra dentro de la Zona de operación señalada en la

Figura 6.28 se mantiene constante el valor de los coeficientes bij aunque se modifica la

apertura del distribuidor en condiciones nominales de equilibrio X.

Por otro lado como la central es prácticamente la misma se mantienen las ganancias de

controlador PI (k y Ti) obtenidas mediante el criterio de Ziegler y Nichols para el Modelo lineal.



Figura 6.28 Punto de operación del Modelo lineal en las Colinas de Rendimientos


En la siguiente tabla se recogen los valores numéricos de la central modelada aplicados

a Modelo lineal. Se incluyen las constantes temporales, de pérdidas… que han sido

definidas durante la linealización de las ecuaciones procedentes del Modelo completo.


Genéricos





Salto bruto 34,67 m

Salto neto 32,49 m

Hb 30,00 m



Qb 7,200 m3/s


hs0 1,083

Ts 62,5 s


qt0 1,000

Tw 6,778 s

p 0,0715

Azud



hf0 1,159

Tf 4312,5 s

M 0,0069

Turbina



nI 68,9 r.p.m

QI 917 l/s

X 21,5 mm

0τ 0,977

b11 0,547

b13 0,777



Controlador PI

Modelo sin vertedero Modelo con vertedero

k 59,63 68,40

Ti 1,75 1,49

6.5.2 Simulación

Definido el modelo se procede a simular un descenso brusco del 10% del caudal

turbinado (14,4 m3/s), es decir, la misma simulación que la realizada con el Modelo completo. De esta forma no sólo se puede comprobar el correcto funcionamiento del

Modelo lineal sino que se pueden comparar los resultados obtenidos de ambos modelos.

El control que se efectúa en la central es de nivel por lo que es interesante observar la

dinámica de los elementos almacenadores de la central: azud y chimenea de equilibrio.

Así mismo también se incluye la evolución de la acción controladora, movimiento del

distribuidor para comprobar si se comporta de forma similar en los dos modelos. A

continuación se muestran los resultados de la simulación acompañados de los obtenidos

anteriormente en el Modelo completo.

6.5.2.a Modelo sin vertedero

0 500 1000 1500 2000 250017.5

18

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Figura 6.29 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal



0 500 1000 1500 2000 2500150.16

150.165

150.17

150.175

150.18

150.185

150.19

150.195

150.2

150.205

tiempo (s)

cota

agu

aen

azu

d (m

.s.n

.m)


Figura 6.30 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal

0 500 1000 1500 2000 2500148

148.1

148.2

148.3

148.4

148.5

148.6

148.7

148.8

148.9

tiempo (s)

niev

el e

n la

chi

men

ea (m

.s.n

.m)


Figura 6.31 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal



6.5.2.b Modelo con vertedero

0 500 1000 1500 2000 250018

18.5

19

19.5

20

20.5

21

21.5

22

22.5

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Figura 6.32 Posición del distribuidor, Modelo completo – Modelo lineal

0 500 1000 1500 2000 2500150.175

150.18

150.185

150.19

150.195

150.2

150.205

150.21

tiempo (s)

cota

agu

aen

azu

d (m

.s.n

.m)


Figura 6.33 Cota de agua en el azud, Modelo completo – Modelo lineal



0 500 1000 1500 2000 2500148

148.1

148.2

148.3

148.4

148.5

148.6

148.7

tiempo (s)

niev

el e

n la

chi

men

ea (m

.s.n

.m)


Figura 6.34 Nivel en la chimenea de equilibrio, Modelo completo – Modelo lineal

6.5.2.c Comentarios a las simulaciones

En las figuras anteriores se observa que la respuesta de ambos modelos es similar en

ciertos aspectos pero con ciertas diferencias.

El movimiento del distribuidor, Figura 6.29 y Figura 6.32, mantiene la diferencia de 0,5

mm resultado de que el punto de funcionamiento fuera distinto en la Colina de

rendimientos, Figura 6.28. Se comprueba que los modos de oscilación son similares

aunque el Modelo lineal muestra ligeramente un mayor sobrepaso respecto del valor

final.

En ambos elementos almacenadores, azud y chimenea de equilibrio, la dinámica es

similar. La forma de la respuesta, oscilación y amplitud es prácticamente la misma. La

ausencia de las pérdidas en la tubería forzada provoca que la cota del agua en la

chimenea, Figura 6.31 y Figura 6.34, no se mantenga igual una vez se atenúa la

oscilación y se llega a la nueva situación de equilibrio.

Como conclusión puede resumirse que el Modelo lineal tiene un comportamiento

suficientemente similar al Modelo completo. La variable controlada, el nivel de agua en

el azud, es prácticamente el mismo es prácticamente la misma, tanto en el modelo con

vertedero como sin él. Esto permite iniciar el estudio de estabilidad de la minicentral

fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio a partir del Modelo lineal. Esto,



como se observa en el Capítulo 7, permite trabajar con una formulación relativamente

sencilla y obtener resultados que con el Modelo completo serían difícilmente

alcanzables. Sin embargo, dado que los resultados obtenidos en las simulaciones

muestran ciertas diferencias entre ambos modelos se plantea la necesidad de ilustrar y

comprobar las conclusiones acerca de la estabilidad obtenidas a partir de la formulación

del Modelo lineal mediante simulaciones en el Modelo completo.


CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA 7.1 EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO

CAPÍTULO 7 Estudio de la estabilidad de una minicentral fluyente con galería en

presión y chimenea de equilibrio

7.1 INTRODUCCIÓN

El criterio de Routh – Hourwitz y la técnica del lugar de raíces aplicados a minicentrales

compuestas por un elemento almacenador, tubería forzada y turbina, además del

controlador, facilitan la delimitación de las llamadas regiones de estabilidad y la

elaboración de un criterio heurístico que permite sintonizar el controlador de nivel PI. En

el presente capítulo de plantea la utilización de procedimientos similares a la dinámica

de minicentrales con conducciones en presión (galería en presión y chimenea de

equilibrio), para el estudio de su estabilidad y posterior ajuste del controlador de nivel

PI.


7.2 CAPÍTULO 7 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO

El criterio de Routh - Hourwitz, a partir del polinomio característico del sistema, permite

delimitar regiones de estabilidad en función de las dimensiones de los elementos

almacenadores de la central (azud y chimenea) y del punto de funcionamiento en el que

se encuentre la misma. De esta forma se comprueba cómo afecta la variación de la

superficie tanto de la chimenea como del azud de derivación en el comportamiento de

la central frente a pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. A

su vez, la modificación del punto de operación de la minicentral también implica un

cambio en las condiciones de estabilidad.

La estabilidad de la central y el criterio de calibrado del controlador PI se plantea a

partir del Modelo lineal de ambas tipologías de centrales. Los resultados teóricos

obtenidos se aplican posteriormente al Modelo completo en ambos casos para ilustrar y

completar las conclusiones obtenidas.

El Modelo lineal permite la modelación de la central operando bajo pequeñas

perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. Cuando se simulan

modificaciones importantes de las variables de entrada el Modelo lineal difiere

notablemente del Modelo completo. Por ello en el último apartado del presente capítulo

se observa cómo se comporta la central bajo gran perturbación con el controlador PI

calibrado según el criterio heurístico razonado con anterioridad a partir del lugar de

raíces del Modelo lineal.

La técnica del lugar de raíces posibilita el estudio de la influencia que ejercen las

ganancias del controlador PI sobre el comportamiento de la central. Utilizando la misma

metodología que la empleada en el estudio de la estabilidad de centrales con canal y

cámara y a pie de presa se plantea la sintonía de dichos parámetros de forma que se

mejore el funcionamiento de la central.

Por tanto, en el presente capítulo, se estudia la estabilidad de una minicentral fluyente

con se control del nivel de agua en el azud de derivación y se enuncia un criterio

heurístico para ajustar las ganancias (k y Ti) del controlador PI que asegure la

estabilidad de la central y optimice su respuesta.


El estudio de estabilidad y la posterior sintonización del controlador PI a partir del lugar

de raíces de las ganancias k y Ti siguen un método parecido al empleado en el capítulos

5 en el que se desarrolla un estudio similar para centrales con canal y cámara de carga



y a pie de presa. Pero es este caso el sistema es de cuarto orden lo que modifica

parcialmente los pasos a seguir. Dichos pasos de muestran a continuación:

a. El punto de partida del estudio de estabilidad es la matriz dinámica del

sistema. Dicha matriz se configura a partir de las ecuaciones del modelo

linealizadas en el Capítulo 6. Dado que se suprime la dinámica del tubería

forzada la matriz resulta de cuarto orden correspondiente con los cuatro

elementos restantes: turbina – chimenea, galería en presión, azud y controlador

PI. Por tanto la matriz dinámica representa al Modelo lineal.

b. A partir del polinomio característico de la matriz dinámica se aplica del criterio

de Routh – Hourwitz. Dicho criterio permite establecer la condición de

estabilidad de una minicentral con control de nivel en el azud.

c. Aplicando la condición de estabilidad es posible elaborar Regiones de

estabilidad en función de las dimensiones de los elementos almacenadores de

la central (chimenea de equilibrio y azud) y del punto de operación de la misma.

Dichas regiones, con α y Tw/β (k y Ti) en las abscisas y ordenadas

respectivamente, permiten estudiar cómo influyen las dimensiones de chimenea

y azud y del punto de funcionamiento en el control y estabilidad de la central.

d. Una vez estudiada la estabilidad de la central se plantea la selección de las

ganancias del controlador PI de modo que la respuesta de la central frente a

variaciones de las condiciones iniciales de equilibrio sea además de estable

adecuada para el buen funcionamiento de la central. Para ello se elabora el

lugar de raíces de la ganancia k, manteniendo fijo el valor de Ti.

e. Dado que el lugar de raíces procede del Modelo lineal se completa la información

con simulaciones en el Modelo completo a fin de establecer una

correspondencia completa entre la posición de los polos en el lugar de raíces y el

comportamiento completo de la central.

f. Basado en el lugar de raíces e ilustrado por las simulaciones del Modelo completo se establece un criterio heurístico para la determinación de la

ganancia k que asegure una respuesta estable y conveniente de la central.

g. Manteniendo fijo el valor de k obtenido se elabora el Lugar de raíces de la

ganancia Ti. Añadiendo simulaciones que completen la relación entre los

polos y el comportamiento del Modelo completo se establece un criterio



heurístico similar al anterior, en este caso, para la selección de la ganancia

Ti.

h. Se realiza la formulación matemática del criterio heurístico deducido a partir

del lugar de raíces del Modelo lineal y las simulaciones del Modelo completo. Se

comprueba que la sintonización del controlador PI no sólo depende de las

dimensiones de los componentes de la central sino que también es función del

punto de operación de la misma.

i. Por último se simula en la central un descenso acusado del caudal procedente

del río para observar si el criterio obtenido a partir del lugar de raíces del Modelo lineal tiene un funcionamiento correcto bajo una gran perturbación de las

condiciones iniciales de equilibrio.

7.3 MATRIZ DINÁMICA DEL SISTEMA

Las ecuaciones del Modelo lineal sirven como base para la elaboración de matriz

dinámica del sistema.

Chimenea de equilibrio – Turbina

nTb

Tb

hTbq

Tdtdh

sss

st

s

s 1213111−−−= τ (7.1)


sw

fw

tw

tt hT

hT

qTpq

dtdq 112 0

−+−= (7.2)

Azud de derivación

rf

tf

f qT

qTdt

dh 11+−= (7.3)

Controlador PI

rf

refftf

qT

hhqTdt

d αββ

ατ+−+−=

11 (7.4)

Las expresiones que describen el comportamiento del sistema se agrupan

matricialmente para realizar el estudio de estabilidad. Esta matriz permite obtener el

polinomio característico para aplicar el criterio de Routh – Hurwitz.



BUAXdtdX

+= (7.5)

donde:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

τs

f

t

hhq

X (7.6)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nhq

U ref

r

(7.7)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

01

00

001000

12

βα

f

s

f

T

Tb

TB (7.8)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

−−

=

001

01

0001

0112

1311

0

βα

f

sss

f

www

t

T

Tb

Tb

T

T

TTTpq

A (7.9)


La aplicación del Criterio de Routh – Hurwitz para comprobar la estabilidad de la central

exige el cálculo del polinomio característico a partir de la matriz dinámica del sistema.


El polinomio característico de la matriz del sistema se obtiene del desarrollo del

siguiente determinante:



( )

λβ

α

λ

λ

λ

λ

01

01

001

0112

1311

0

−

+−

−+

=−=

f

sss

f

www

t

T

Tb

Tb

T

T

TTTpq

AIAP (7.10)

Desarrollando el determinante:

( )

ss

f

www

t

f

f

www

t

s

Tb

T

T

TTTpq

T

T

TTTpq

TbAP

11

0

0

13

01

01

112

01

01

112

+−

−+

+

+

−

−+

−=

λ

λ

λ

λ

βα

λ

λ

(7.11)

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−+

+−

−=

λ

λλ

λλ

βα

λ

f

ww

t

s

s

f

w

f

f

ws

T

TTpq

Tb

T

TT

T

TTT

bAP

1

12

01

11

1

11

0

11

13

(7.12)

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

fww

t

s

wsffws

TTTpq

Tb

TTTTTTbAP

112

1111

011

213

λλλλ

λαλβ

(7.13)



( )

fwsw

t

s

wsfwsfws

TTTb

Tpq

Tb

TTTTTb

TTTb

AP

12

1

110

112

21313

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+++=

λλλλλ

λα

λβ

(7.14)

( )

βλ

α

λλλ

fwsfwsfws

wfws

t

wssw

t

TTTb

TTTb

TTTb

TTTTbpq

TTTb

Tpq

AP

131113

2110

3110

4 1212

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

(7.15)

Según la nomenclatura referida al polinomio característico adoptada en los capítulos

anteriores:

( ) 432

23

14 aaaaAP ++++= λλλλ (7.16)

sw

t

Tb

Tpq

a 110

12

+= (7.17)

wfws

t

TTTTbpq

a 121 110

2 ++

= (7.18)

fws TTTbba 1113

3+

=α

(7.19)

βfws TTTba 13

4 = (7.20)


Para establecer la estabilidad del sistema se aplica el criterio de Routh-Hurwitz, que dice

que un polinomio tiene sus raíces en el semiplano abierto negativo si todos los

elementos de la primera columna son positivos y no nulos.

Para un polinomio de cuarto grado como el del sistema de la central fluyente la tabla,

aplicando el algoritmo de Routh resulta:



4

321

421

23321

41

321

31

42

0

01

1

12

0314

aaaa

aaaaaa

aa

aaaaa

aa

−−−

− (7.21)

Imponiendo que cada uno de los elementos de la primera columna es mayor que cero:

0, 41 >aa (7.22)

0321 >− aaa (7.23)

0421

23321 >−− aaaaaa (7.24)

Esta última expresión se puede escribir:

( ) 04213213 >−− aaaaaa (7.25)

De modo que como

0421 >aa (7.26) 0321 >− aaa

se obtiene que

03 >a (7.27)

De la misma forma sabiendo que

0, 31 >aa (7.28)

y entrando en (7.26) se concluye que

02 >a (7.29)

De modo que, como (7.26) está incluida en (7.25) por se a3>0, el criterio de Routh-

Hurwitz implica finalmente que las condiciones más restrictivas son las siguientes:

0,,, 4321 >aaaa (7.30)

0421

23321 >−− aaaaaa (7.31)



Como se indica en el apartado 6.3.1, en general, q0p, los parámetros del controlador PI,

k y Ti, las constantes de tiempo, los coeficientes de pérdidas y los coeficientes b11 y b13

de la turbina siempre son mayores que cero:

0,,',,',,, 13110 >bbpTTq awp βα (7.32)

De este modo las condiciones de estabilidad contenidas en la expresión (7.30) se

cumplen implícitamente cuando la central opera normalmente. La condición de

estabilidad más restrictiva, por tanto, que determina la zona de estabilidad del sistema

compuesto por la minicentral fluyente queda determinada por:

0421

23321 >−− aaaaaa (7.33)

Sustituyendo en dicha expresión resulta:

02

1212

13

2

110

2

1113

1113110

110

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

βα

α

fwssw

t

fws

fwswfws

t

sw

t

TTTb

Tb

Tpq

TTTbb

TTTbb

TTTTbpq

Tb

Tpq

(7.34)

que desarrollada permite obtener la condición de estabilidad:

βα

α

fwssw

t

fws

fwsfws

sftf

sw

t

TTTb

Tb

Tpq

TTTbb

TTTbb

TTTTTbpqT

Tb

Tpq

13

2

110

2

1113

1113110

110

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +>

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(7.35)

( )[ ]( )

( )β

α

α

fws

sw

t

sftsw

t

TTTbTb

Tpq

bb

bbTTbpqTb

Tpq

132

110

21113

111311011

0

2

212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++>

>+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(7.36)

( )[ ]( )

( )β

α

α

fws

sw

wst

sftsw

t

TTTbTT

TbTpqbb

bbTTbpqTb

Tpq

132

110

21113

111311011

0

2

212

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++>

>+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(7.37)



( )[ ]

( ) ( )( ) ws

fwst

sftsw

t

TTbbTbTbTpq

bb

TTbpqTb

Tpq

1113

132

110

1113

11011

0

2

212

++

++>

>++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

αβα

(7.38)

7.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una minicentral

Una de las posibilidades que presenta el estudio de estabilidad es la de proporcionar

información previa que permita el dimensionamiento de ciertos elementos de la central

de modo que se garantice el correcto funcionamiento del sistema.

Con esta filosofía Thoma (Wilhelmi, 1997) dedujo en 1910 una condición que da un

valor mínimo para la sección de la chimenea de equilibrio que asegura la estabilidad de

la central en isla con regulador de velocidad convencional.

wb

b

tb

bgth T

pHQ

pAgHQL

A22 2

2

=> (7.39)

Esta condición asegura la estabilidad al realizar el control de la velocidad del grupo y no

del nivel en el azud de derivación, pero se utilizará como valor de referencia. Tomando

pues como referencia la condición de Thoma para la superficie de la chimenea de

equilibrio se plantea la estabilidad del sistema en función de las secciones de los

elementos almacenadores.

Denominando:

th

s

AAl = (7.40)

se puede escribir:

wb

bsth T

pHQ

lAA

2== (7.41)

wb

bs T

pHlQA

2= (7.42)

introduciendo:

b

bss Q

HAT = (7.43)



se obtiene que:

ws TplT

2= (7.44)

Para valorar la influencia de la relación de áreas de los elementos almacenadores,

chimenea y azud, se introduce el siguiente término:

s

f

AA

m = (7.45)

de lo que se puede obtener en este caso:

mAA

TT

s

f

s

f == (7.46)

wsf Tp

mlmTT2

== (7.47)

Si se introducen las constantes de tiempo (7.44) y (7.47) en la condición de estabilidad:

( )

( )( ) ww

wwwt

wwtww

t

TTplbb

TplmbTbT

plpq

bb

TplT

plmbpq

lTpb

Tpq

2

222

222122

1113

13

2

110

1113

11011

0

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++>

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

αβα

(7.48)

( )

( ) ( )( ) w

tw

wwttw

TbbmbblqTbb

TplT

plmbpq

lbq

Tp

1113

132

1102

1113

110110

22212

++

++>

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

αβα

(7.49)

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) w

tw

wttw

TbbmbblqTbb

Tplmbpqblq

lTp

1113

132

1102

1113

110

110

21212

++

++>

>+++

αβα

(7.50)

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )1113

132

110

1113110

110 121

bbmbblqTbbmbpqblq tw

tt ++

++>+++αβ

α (7.51)



( ) ( )[ ] ( ) ( )( )1113

132

110

1113110

110 121

bbmbblqTbbmbpqblq tw

tt ++

+>+−+++αβ

α (7.52)

( ) ( )[ ] ( ){ } ( )( ) mbblq

bbbbmbpqblqT

ttt

w

132

110

1113111311

011

0 121+

++−+++<

ααβ

(7.53)

Como puede observarse el desarrollo efectuado conduce a una expresión final

aparentemente similar a la obtenida por (Jiménez O.F. & Chaudry, 1992). Sin embargo

este análisis tiene un alcance mayor, ya que permite considerar la influencia en la

estabilidad del modelo del el punto de funcionamiento de la turbina reflejado en los

parámetros b11 y b13 y la situación inicial, qt0.


7.5.1 Influencia de las características de la planta

Obtenida la expresión que permite establecer la condición de estabilidad se representa

gráficamente en función de los parámetros de ajuste del controlador, α y β.

Para ello, como se recoge en la Figura 7.1 se dibujan las curvas por debajo de la cuales

el modelo de central es estable para diferentes valores de l y m. El valor de p necesario

para la construcción de los gráficos se ha obtenido a partir de los datos básicos de la

central tomada como ejemplo en el capítulo anterior. El caudal Qb resultante de los dos

grupos de la central es 14,4 m3/s la altura Hb es 30 m y el coeficiente de pérdidas Krt =

0,010351. Con estos parámetros p = 0,07154.



Figura 7.1 Regiones de estabilidad

Para comprobar por separado la influencia que ejercen tanto las dimensiones de la

chimenea de equilibrio como las del azud de derivación en la estabilidad del sistema de

una forma independiente se construyen la Figura 7.2 y Figura 7.3.

En la Figura 7.2 se muestran las regiones de estabilidad que quedan por debajo de las

curvas cuando se varía la superficie de la chimenea de equilibrio respecto de la

recomendada por Thoma (l) y se mantiene su proporcionalidad en relación al azud de

derivación (m).

En este caso el aumentar el área de la chimenea de equilibrio mejora la estabilidad

permitiendo mayores valores del elemento proporcional k del controlador. En cambio la

variación de l no permite aumentar el valor del componente integrador del controlador

PI.

En el caso de aumentar la superficie del azud y mantener como área de la chimenea la

obtenida mediante la expresión de Thoma, Figura 7.3, se comprueba que se mejora la

estabilidad. Tanto el parámetro proporcional como el integrador amplían su rango de

aplicación.



Figura 7.2 Regiones de estabilidad m = 10

Figura 7.3 Regiones de estabilidad l = 1

Por tanto, viendo las figuras, puede asegurarse que aumentar proporcionalmente las

superficies de los elementos almacenadores del sistema que representa la central



fluyente mejora su estabilidad ampliando el rango de utilización de los parámetros del

controlador (k y Ti)

Con las figuras construidas o con la expresión que limita la región de estabilidad puede

conocerse, dadas unas dimensiones de la chimenea y azud y valores básicos de diseño

(Qb, Hb y Krt), la influencia de los parámetros de control (k y Ti) en la estabilidad del

sistema. Esto permite realizar un predimensionamiento de los elementos almacenadores

(Azud y Chimenea) del sistema y de ajustar los parámetros del controlador PI.


Establecidas las regiones de estabilidad en función de las relaciones de las áreas de los

elementos almacenadores del modelo, es necesario fijar dichas áreas para comprobar la

incidencia del punto del funcionamiento de la turbina en la estabilidad del sistema

completo.

Se toman los siguientes valores correspondientes a la central modelada en el capítulo

anterior:

Azud Af 2070,00 m2

Chimenea As 30,00 m2

Thoma Ath 22,74 m2

l 1,32

m 69,01

El ámbito del estudio de estabilidad del control de la minicentral es la pequeña

perturbación alrededor de un punto de funcionamiento. Para ello se seleccionan tres

zonas de operación en la colina de rendimientos. El objetivo es comprobar cómo se

modifican las condiciones de estabilidad cuando la central se encuentra en diferentes

situaciones. Las tres zonas de operación corresponden a la turbinación del caudal

nominal ZONA I, a la operación en baja carga ZONA II (caudal menor) y al

funcionamiento con sobrecarga ZONA III (caudal mayor que el nominal).

La identificación de los puntos de funcionamiento seleccionados A, D y M asociados a

ZONA I (carga nominal), ZONA II (baja carga) y ZONA III (sobre carga) figura en el

apartado 5.5.1. En la siguiente tabla se recogen los parámetros que determinan el

punto de operación de la central para cada uno de ellos.



Tabla 7.1 Valores de los puntos en la colina de rendimientos

Punto A D M

qc0 1,000 0,684 1,325

b11 0,547 0,421 0,630

b13 0,777 0,876 0,597

Como puede observarse en la Figura 7.4, cuanto más cerrado está el distribuidor menor

es la región de estabilidad, por lo que, como conclusión, puede asegurarse que el punto

de funcionamiento en el que esté operando la central influirá en la estabilidad de la

misma cuando se controle el nivel en el azud de derivación. Si el distribuidor aumenta

su apertura, lo que implica que se turbina más caudal, se incrementa el rango de

estabilidad del sistema.


Los resultados obtenidos referentes a la estabilidad de la central a partir del criterio de

Routh – Hurwitz proceden de la matriz dinámica del Modelo lineal de central. En el

capítulo en el que se configuran los modelos, completo y lineal, se observa que el

comportamiento de los dos modelos difiere ligeramente. De modo que para ilustrar los

resultados obtenidos en forma de regiones de estabilidad y aplicarlos al Modelo



completo de minicentral se realizan tres simulaciones utilizando dicho modelo. Variando

las ganancias del controlador PI se determinan tres puntos en la región de estabilidad

asociada al punto de funcionamiento nominal (ZONA I), Figura 7.5. De los tres puntos

dos se encuentran fuera de la región de estabilidad (A y C) mientras que un tercer

punto se encuentra dentro.

ZONA I

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

20

25

30

Simulación A α = 10

k = 7.3 Tw /β = 10

Ti = 0.924

α

T w/ β

Simulación B α = 10 k = 62.3 Tw /β = 10 Ti = 0.924

Simulación C α = 180 k = 132.0 Tw /β = 10 Ti = 0.924

Figura 7.5 Simulaciones A, B y C en la región de estabilidad

En la Figura 7.6, Figura 7.7 y Figura 7.8 se muestran los resultados de simular un

descenso brusco en el caudal del río del 10% del caudal nominal. En la Figura 7.6 y la

Figura 7.8 cuyas ganancias k y Ti quedaban fueran de la zona de estabilidad se aprecia

claramente cómo se genera la inestabilidad. En cambio aquel controlador PI calibrado

de acuerdo con la zona de estabilidad produce una respuesta de la central acotada y

estable Figura 7.7.



0 500 1000 1500 2000 250012.5

13

13.5

14

14.5

15ca

udal

río

(m3 /s

)

0 500 1000 1500 2000 250010

15

20

25

30

posi

ción

dist

ribui

dor (

mm

)

0 500 1000 1500 2000 2500150.1

150.15

150.2

150.25

150.3

tiempo (s)

cota

agu

a en

azud

(m.s

.n.m

)

Figura 7.6 Simulación A, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)

0 500 1000 1500 2000 250012.5

13

13.5

14

14.5

15

caud

al rí

o(m

3 /s)

0 500 1000 1500 2000 250016

18

20

22

24

posi

ción

dist

ribui

dor (

mm

)

0 500 1000 1500 2000 2500150.16

150.18

150.2

150.22

tiempo (s)

cota

agu

a en

azud

(m.s

.n.m

)

Figura 7.7 Simulación B, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)



0 500 1000 1500 2000 250012.5

13

13.5

14

14.5

15

caud

al rí

o(m

3 /s)

0 500 1000 1500 2000 250010

15

20

25

30

posi

ción

dist

ribui

dor (

mm

)

0 500 1000 1500 2000 2500150.1

150.15

150.2

150.25

150.3

tiempo (s)

cota

agu

a en

azud

(m.s

.n.m

)

Figura 7.8 Simulación C, caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)

7.5.3 Comparación con el modelo con canal y cámara de carga y a pie de presa

Una vez identificada la estabilidad para cada punto de operación de la central se

procede a comparar el comportamiento de dicha central con la estudiada en el capítulos

5 (con canal y cámara de carga y a pie de presa).

Superponiendo la región de estabilidad correspondiente a la central con cámara de

carga o central a pie de presa y la región de estabilidad propia de la central con galería

en presión, Figura 7.9, se observa que la central con un único elemento almacenador se

muestra mucho más estable en un mismo punto de operación.

En la Figura 7.9 se observa que, manteniendo un valor constante de Tw’/β, para valores

pequeños de α o de la ganancia proporcinal k el modelo con galería en presión se

muestra inestable. Éste fenómeno también se observa cuando la ganancia proporcional

supera cierto valor. En cambio el modelo con cámara de carga o a pie de presa se

muestra estable en una región muy amplia.

Para comprobar ambos comportamientos se realizan simulaciones en los modelos en

tres situaciones:



Situación 1: región de inestabilidad para el modelo con galería en presión.

Situación 2: región estable para ambos modelos.

Situación 3: región de inestabilidad para el modelo con galería en presión.

Figura 7.9 Regiones de estabilidad, modelo con canal o a pie de presa - modelo con galería en presión

Dichas simulaciones consisten en una reducción del 10 % del caudal nominal turbinado.

La diferencia de dimensiones entre la cámara de carga y el azud, ambos situados aguas

arriba de la tubería forzada, no influye en la estabilidad de la central como se ha

demostrado anteriormente, pero determina la forma de la respuesta frente a una

variación de las condiciones iniciales de equilibrio. Para valorar dicho fenómeno se

realizan las simulaciones para los dos supuestos, cámara de carga y azud según los

modelos descritos en los capítulos 3 y 4. El área de la cámara de carga es de 100 m2

mientras que la superficie del azud en condiciones iniciales de equilibrio es de 2070 m2.

A continuación se presentan los resultados de las simulaciones. Cada una de las tres

situaciones se representa por dos figuras. En una de ellas se representa el

comportamiento de la central con galería en presión y en la otra se muestra la evolución

de las centrales con cámara de carga y a pie de presa.



Figura 7.10 Situación 1, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)

Figura 7.11 Situación 1, Modelo con galería en presión. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)



Figura 7.12 Situación 2, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)




Figura 7.14 Situación 3, Modelo con canal o a pie de presa. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I




En la Figura 7.10 y la Figura 7.11 que reflejan la Situación 1 se observa como la central

con galería en presión se muestra inestable como se preveía, al estar el punto de

operación fuera de la región de estabilidad. El modelo con canal o central a pie de presa

es estable en sus dos tipologías. La respuesta de la central con canal y cámara de carga

es mucho más rápida y ostenta menor sobrepaso por lo que aquella propia de la central

a pie de presa, por lo que es previsible que la correcta sintonización del controlador PI

de cada central conduzca a valores de las ganancias diferentes.

La Situación 2, Figura 7.12 y Figura 7.13, asegura la estabilidad en ambos casos. Se

observa que el aumento de la ganancia proporcional del controlador (k) mejora la

respuesta de las tres centrales, tanto de la central con galería en presión como de las

centrales con cámara de carga y a pie de presa.

En la Figura 7.14 y la Figura 7.15 se comprueba como un nuevo aumento del

componente proporcional del controlador produce inestabilidad en el modelo con galería

en presión. En los modelos con un único elemento almacenador, la respuesta del

modelo con cámara de carga se presenta posiblemente excesivamente rápida, por lo

que es posible que su ganancia óptima sea menor que el valor dado para la simulación.

En cambio en el modelo de central a pie de presa el aumento de dicho parámetro del

controlador PI mejora tanto el tiempo de establecimiento como el sobrepaso de la

oscilación.

De las simulaciones efectuadas con las tres centrales puede concluirse que los modelos

con cámara de carga y a pie de presa son mucho más estables que el modelo con

galería en presión. Así mismo se observa que para el mismo valor de k y Ti la respuesta

del modelo con cámara de carga es mucho más rápida y con menos sobrepaso que la

del modelo a pie de presa. Por tanto, es de prever que, aunque la región de estabilidad

de ambos modelos sea común, los parámetros del controlador se sintonicen en valores

diferentes en ambos casos.


Fijada la región de estabilidad para cada punto de operación de la central se puede

asegurar que todo par de ganancias que queden dentro de dicha región cerciora la

estabilidad de la respuesta. Así mismo, en el apartado anterior se ha demostrado, a

partir de las diferentes simulaciones, que la variación de las ganancias modifica la

respuesta y que las mismas ganancias no son igualmente apropiadas para cada tipo de

central.



Existen diferentes métodos para la determinación de las constantes del controlador.

Muchos de ellos son empíricos, como el criterio de Ziegler-Nichols utilizado en el

capítulo anterior para dotar al controlador PI de valores iniciales. Este tipo de

procedimientos parten del estudio de la respuesta del sistema frente a un cambio en las

variables de entrada y presentan fórmulas empíricas que permiten precisar el valor de

los parámetros del controlador a partir de ensayos realizados en el modelo.

En el estudio de la estabilidad de los modelos de central fluyente con canal y cámara de

carga y a pie de presa, se ha enunciado un criterio heurístico cuya formulación permite

obtener las ganancias del regulador PI. Este ajuste no sólo garantiza la estabilidad sino

que facilita una respuesta adecuada tanto de la variable controlada como del

distribuidor.

Se plantea a continuación el seguimiento de la metodología expuesta en el apartado 5.6

que conduce a la elaboración del criterio de sintonía del controlador PI. Este criterio de

ajuste se basa en la construcción de los lugares de raíces del Modelo lineal de las

componentes del controlador PI y en el estudio de la influencia que ejerce la posición de

los polos en la respuesta del sistema frente a cambios en las variables de entrada al

mismo en el Modelo completo.


La principal limitación que presenta la técnica del lugar de raíces es que sólo permite

evaluar la influencia de uno de los parámetros, k o Ti, del controlador en la respuesta

del sistema frente a la perturbación de una de las variables de entrada. Para ello es

necesario mantener constante el otro parámetro del controlador. Por ello se procede al

estudio de cada parámetro independientemente.

El punto de funcionamiento, como se ha observado anteriormente, influye en la

estabilidad y por tanto es previsible que también afecte al ajuste de los parámetros del

controlador. Inicialmente se aborda la obtención del lugar de raíces para el punto de

funcionamiento nominal con una apertura de distribuidor de 22 mm y un caudal 7,2

m3/s circulando por cada uno de los dos grupos (ZONA I).

La construcción del lugar de raíces responde al cálculo de los autovalores de la matriz

dinámica del sistema, expresión (7.9), que sustituyendo los valores α y β resulta:



⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

−−

=

001

01

0001

0112

1311

0

ib

b

fb

b

sss

f

www

t

TXH

TXH

k

Tb

Tb

T

T

TTTpq

A (7.54)

La central fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio que se ha modelado

presenta las constantes temporales, valores base y parámetros de funcionamiento en

condiciones nominales recogidas en la Tabla 7.2.


Tw 6,778 s

Ts 62,500 s

Tf 4313,00 s

b11 0,547

b13 0,777

p 0,0715


Hb 30 m

Xb 22 mm


Puesto que el lugar de raíces sólo permite evaluar la influencia de un parámetro del

controlador en la estabilidad del sistema, se mantiene constante un valor medio del

parámetro Ti para observar la repercusión de la componente proporcional k del

controlador PI.



Figura 7.16 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10

Esto equivale a establecer una ordenada en la región de estabilidad como se indica en

la Figura 7.16. Como valor medio se determina Tw/β = 10, es decir, Ti = 0,924 s.

A continuación se calculan los autovalores de la matriz dinámica del sistema haciendo

variar el valor del parámetro k y sustituyendo las constantes temporales y parámetros

del modelo por su valor numérico.

Dado que el sistema presenta una matriz de cuarto orden, resultado de las cuatro

ecuaciones diferenciales de primer orden que describen su comportamiento dinámico,

se obtendrán cuatro autovalores que corresponden a dos parejas de polos complejos

conjugados como se puede comprobar en la Figura 7.17.

Cada una de estas parejas representa un modo propio del sistema. Por tanto la

respuesta dinámica del modelo estará compuesta por la superposición de dos

oscilaciones de frecuencia y amplitud diferentes.



Figura 7.17 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924

El lugar de raíces recogido en la Figura 7.17 muestra claramente el recorrido de los

autovalores correspondientes a los dos modos propios del sistema. Se observa que para

valores pequeños del parámetro k, uno de dichos modos es inestable, puesto que tiene

autovalores con parte real positiva, mientras que el otro modo presenta la inestabilidad

cuando se alcanzan valores mayores. Por tanto la primera condición que debe presentar

la componente proporcional del controlador k es estar comprendido entre 13,5 y 118,3.


Para comprender mejor la influencia del parámetro k en el comportamiento dinámico

del sistema y dado que la construcción del lugar de raíces procede del Modelo lineal se

simula una disminución del 10% del caudal nominal del río (14,4 m3/s) en el Modelo completo.

Dicha simulación se efectúa variando la componente proporcional del controlador,

realizándose para k = 25, 50, 75 y 100. La componente integradora Ti mantiene el valor

determinado (0,924 s). La posición de los para dichos valores de k se muestra en la

Figura 7.19.

Dado que el sistema compuesto por la minicentral fluyente tiene para cada valor de k

dos pares de polos conjugados se plantea la respuesta del modelo completo como la



superposición de dos modos. La influencia de cada modo en el sistema completo queda

reflejada por un coeficiente de participación (Wilhelmi, 1992),(Takahashi, 1972).

Figura 7.18 Variación de caudal en el río

La respuesta de cada uno de estos modos puede asimilarse a la de un sistema de

segundo orden. De este modo, partiendo de la información recogida en el apartado

5.6.1 y de la superposición de respuestas, se puede analizar el comportamiento global

del sistema frente a una variación de las variables de entrada.

Figura 7.19 Posición de los polos para los valores de k seleccionados



La respuesta del sistema queda determinada por los dos modos caracterizados cada uno

por la pareja de polos conjugados. Se denominará Modo I aquel cuyos autovalores

conjugados se encuentran más alejados del eje real, en la Figura 7.17, y se designará

Modo II al que responde a los polos más próximos al eje real.

Los parámetros asociados a cada modo (asimilado a un sistema de segundo orden),

recogidos en la Tabla 7.3, determinan su forma y el tipo de respuesta. Por lo que

analizando ambos modos y a partir de sus propiedades es posible deducir determinados

aspectos del comportamiento del Modelo completo a pesar de que este mantenga no –

linealidades y sea un sistema de orden superior.

Tabla 7.3 Parámetros de los modos de oscilación en función de k

k Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04702 0,28286 -0,0133 0,0451 139,3 69,7 300,8 25

II 0,01688 0,09481 -0,0016 0,0168 374,0 187,0 2500,0

I 0,04544 0,20246 -0,0092 0,0445 141,2 70,6 434,8 50

II 0,01746 0,32652 -0,0057 0,0165 380,8 190,4 701,8

I 0,04559 0,11188 -0,0051 0,0453 138,7 69,4 784,3 75

II 0,01742 0,56262 -0,0098 0,0144 436,3 218,2 408,2

I 0,04684 0,04056 -0,0019 0,0468 134,3 67,1 2105,3 100

II 0,01690 0,76919 -0,0130 0,0108 581,8 290,9 307,7

Las siguientes figuras muestran la respuesta simulada del sistema frente a la

disminución de caudal considerada. La Figura 7.20 describe la variación de la cota de la

lámina de agua en el azud de derivación, cuya desviación es corregida por el

controlador. La Figura 7.21 recoge la evolución de la posición del distribuidor, variable

de estado manipulada por el controlador.



Figura 7.20 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k

Figura 7.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k

En ambas figuras se observa la influencia del modo de oscilación menos amortiguado en

la evolución final de las variables de estado representadas. Dicho modo de oscilación es



el que presenta menor amortiguamiento y mayor tiempo de establecimiento. Por tanto

es el que más influencia ejerce en la respuesta global del Modelo completo.

Cuando la ganancia k vale 25, los polos conjugados del Modo II presentan un tiempo de

establecimiento y un amortiguamiento de 2500,0 s y 0,09481 respectivamente mientras

que el Modo I 300,8 s y 0,28286. Por tanto el Modo II es el modo dominante en la

respuesta. Se comprueba que el período de la oscilación amortiguada del Modo II,

374,0 s, se aproxima al que muestra la onda simulada del Modelo completo, tanto en la

posición del distribuidor, como en la cota del agua en el azud.

Cuando el valor de k crece se observa que ambos modos evolucionan de forma inversa.

Mientras que el Modo II mejora su comportamiento, reduciendo el tiempo de

establecimiento y aumentando el amortiguamiento, el Modo I ve incrementado su

tiempo de establecimiento y reducido el amortiguamiento, lo que perjudica su

estabilidad y la calidad de su respuesta.

Los valores intermedios de k, 50 y 75, tienden a aproximar las partes reales de los polos

de sendos modos. Esto acerca sus tiempos de establecimiento y mejora la respuesta

global del sistema.

En cambio, cuando k adquiere el valor de 100 se observa con claridad que el Modo I es

el que domina en las respuestas. El período de su oscilación amortiguada, 134,3 s, es el

que determina la forma de la onda final en el Modelo completo.


Del análisis realizado se desprende que para dar un valor de k que no sólo garantice la

estabilidad del sistema, sino que mejore su respuesta, es necesario observar el

comportamiento de los dos modos que gobiernan el sistema. El modo cuyos polos se

encuentren más próximos al eje imaginario es el que más influye en la respuesta del

sistema completo. Este modo es el menos amortiguado y el que ostenta un mayor

tiempo de establecimiento por lo que su oscilación tarda más en atenuarse.



Figura 7.22 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924

Cuanto más alejados estén ambos polos del eje imaginario, mayor será el

amortiguamiento exponencial (σd) y menor el tiempo de establecimiento de cada

respuesta. Dado que los dos modos influyen de manera similar en la respuesta global y

evolucionan, conforme crece el parámetro k, de forma inversa, se determina como

criterio para la selección del parámetro k, aquel que iguale la parte real de los polos de

ambos modos (σd). De esta forma se equiparan los tiempos de establecimiento de los

mismos, mejorando la respuesta completa del Modelo completo.

En la siguiente tabla se recogen los parámetros de ambos modos para el valor k

seleccionado.

Tabla 7.4 Parámetros de los modos de oscilación, k = 60,1

K Modoωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04532 0,16547 0,0075 0,0447 140,6 70,3 533,3 60,1

II 0,01749 0,42882 0,0075 0,0158 397,7 198,8 533,3

Como se puede observar en la Figura 7.23 y la Figura 7.24 la evolución temporal tanto

de la cota de la lámina de agua en el azud como de la posición del distribuidor

presentan una mejor respuesta para el valor de k seleccionado que en los casos



anteriores. Al igualar los tiempos de establecimiento de ambos modos, se amortigua con

mayor celeridad la oscilación de ambos modos alcanzándose el valor de referencia con

mayor rapidez. Por tanto se comprueba que el criterio adoptado para la selección de la

componente proporcional del controlador PI (k) es adecuado y conveniente.

Figura 7.23 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k seleccionada

Figura 7.24 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada



Con lo expuesto hasta aquí, se ha determinado un valor apropiado para k cuando Tw/β = 10. Es por tanto necesario plantear la cuestión de que manteniendo el mismo criterio

(igualar la componente real de los polos) qué valor se obtiene de k cuando se fija un

valor inicial distinto de Tw/β. En la Tabla 7.5 se recogen los valores de k obtenidos

analíticamente siguiendo el mismo criterio, igualar los tiempos de establecimiento,

suponiendo diferentes valores de Tw/β y por lo tanto de Ti, componente integrador del

controlador PI.

Tabla 7.5 Obtención de k y Te a partir de Tw/β

Tw/β Ti k Te

1,0 9,25 60,1 553,0

2,5 3,70 60,1 553,0

5,0 1,85 60,1 553,0

7,5 1,23 60,1 553,0

10,0 0,92 60,1 553,0

12,5 0,74 60,1 553,0

15,0 0,62 60,1 553,0

17,5 0,53 60,1 553,0

20,0 0,46 60,1 553,0

Como puede observarse la variación del parámetro que pondera la acción integradora

dentro del controlador no modifica el valor de k seleccionado inicialmente. Se introduce

numéricamente la hipótesis de que aplicando el criterio utilizado los parámetros k y Ti resultan independientes.

Dicha hipótesis se ve corroborada analíticamente posteriormente cuando se plantee la

formulación matemática del criterio heurístico establecido.

7.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti

Una vez determinado el parámetro proporcional k del controlador se calcula el lugar de

raíces procedente de la matriz característica manteniendo dicho valor constate. Para ello

se calculan los autovalores de la matriz variando el valor de Ti, según se indica en la

Figura 7.25.



Figura 7.25 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 60,1

Al igual que en el apartado anterior, la matriz dinámica representa un sistema de cuarto

orden, por lo que el lugar de raíces, Figura 7.26, queda compuesto por cuatro polos que

se asocian en general a dos parejas de polos conjugados asociados a cada valor de Ti.

Cada par de polos conjugados responde a uno de los dos modos de oscilación que

componen el sistema dinámico.

El modo denominado Modo I es el que presenta polos más alejados del eje imaginario

no llegando nunca a hacerse inestable. Mientras que el Modo II, como puede

observarse en el lugar de raíces, puede presentar inestabilidad al existir polos con parte

real positiva. Esto sucede cuando el valor Ti es inferior a 0,35. Por tanto se asegura la

estabilidad del sistema cuando Ti es mayor que 0,35.

Cuando Ti toma valores superiores a 0,45 los polos se sitúan en el eje σd = 0,0075. Las

parejas de polos del Modo I se alejan del eje real no superando en ningún momento la

parte imaginaria o frecuencia de la oscilación amortiguada, ωd, el valor de 0,050. La

otra pareja de polos, Modo II, se acerca al eje real conforme crece Ti.

Como se observa en el lugar de raíces, superado cierto valor del parámetro Ti, los polos

del Modo II alcanzan el eje real siendo nula su parte imaginaria. Esos polos dejan de ser

complejos conjugados recorriendo el eje real en direcciones opuestas. Uno de ellos se

acerca al eje imaginario aunque sin sobrepasarlo por lo que no afecta a la estabilidad



del sistema mientras que el otro se aleja del mismo. Este fenómeno implica que ese

modo pierde su oscilación, su amortiguamiento relativo es mayor que 1. Se trata en

este caso de una respuesta sobreamortiguada.

Figura 7.26 Lugar de raíces de Ti con k = 60,1

7.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti

Para comprobar la influencia del parámetro Ti en la respuesta frente a una modificación

de las variables de entrada se simula una disminución del 10% del caudal nominal

similar a la del apartado anterior, Figura 7.18. De esta forma se complementa los

resultados obtenidos a partir del lugar de raíces procedente del Modelo lineal con los

obtenidos de la simulación en el Modelo completo.

Se realizan cuatro simulaciones para los valores de Ti = 0,4, 2, 6 y 10. De esta forma,

como se aprecia en la Figura 7.27, se estudia la respuesta del Modelo completo para las

diferentes posiciones que toman los polos en el lugar de raíces del Modelo lineal. Cuando los pares de polos complejos conjugados tienen la misma parte imaginaria,

cuando ambos polos se encuentran sobre el mismo eje y cuando los polos del Modo II

se encuentran sobre el eje real.



Figura 7.27 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados

En la siguiente tabla se recogen los parámetros asociados a cada modo de oscilación y

que determinan en cada caso su amplitud y frecuencia. Cuando los polos del Modo II se

encuentran sobre el eje real dejan de ser complejos conjugados por lo que tienen parte

reales diferentes.

Tabla 7.6 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti

Ti Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,03548 0,31284 -0,0111 0,0337 186,4 93,2 360,4 0,4

II 0,03391 0,11205 -0,0038 0,0337 186,4 93,2 1052,6

I 0,04720 0,15890 -0,0075 0,0466 134,8 67,4 533,3 2

II 0,01141 0,65726 -0,0075 0,0086 730,6 365,3 533,3

I 0,04809 0,15596 -0,0075 0,0475 132,3 66,1 533,3

- >1,0000 -0,0112 0,0000 - - 357,1 6 II

- >1,0000 -0,0037 0,0000 - - 1081,1

I 0,04794 0,14950 -0,0075 0,0477 131,7 65,9 533,3

- >1,0000 -0,0130 0,0000 - - 307,7 10 II

- >1,0000 -0,0019 0,0000 - - 2105,3



La Figura 7.28 y la Figura 7.29 muestran las respuestas frente a la disminución de

caudal del río tanto de la cota de agua en el azud como de la posición del distribuidor.

Figura 7.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti

Figura 7.29 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti



Garantizada la estabilidad del sistema, si se observan los resultados procedentes de las

simulaciones y se contrastan con el lugar de raíces, se aprecia que existe un intervalo

importante de valores de Ti en el que los polos de ambos modos presentan σd

constante. Los valores de Ti que aseguran esa condición están comprendidos entre 0,42

y 4,53 s lo que equivale a Tw/β = 22,0 y 2,0. En la Figura 7.25, en la que aparece la

región de estabilidad, se aprecia que este intervalo comprende la mayor parte de la

región de estabilidad.

Cuando Ti adquiere un valor bajo, 0,4 s, ambos modos tienen la misma parte imaginaria

por lo que el período de la oscilación amortiguada es el mismo, Td = 186,4 s. Los polos

del Modo II se encuentran mucho más próximos al eje imaginario que los del Modo I, es

decir, su amortiguamiento es mucho menor lo que acrecienta el tiempo de

establecimiento de la respuesta del sistema de segundo orden asociado a dicho modo.

Esto produce que el Modo II sea aquel cuya influencia predomina en la respuesta global

imponiendo una oscilación con un tiempo de establecimiento elevado (1052,6 s).

El valor de Ti = 2,0 s se encuentra en el tramo descrito anteriormente en que la

ubicación de todos los polos garantiza un tiempo de establecimiento constante. El Modo

I se aleja del eje real. Se comprueba que conforme los polos se alejan del eje real

(aumento de ωd), disminuye el tiempo de pico pero a su vez se reduce el

amortiguamiento relativo y aumenta el sobrepaso de la respuesta. Como el alejamiento

de los polos tiende a un valor constante no se modifica mucho su amortiguamiento. Es

decir, que cuando Ti supera el valor de 0,42 s la influencia del Modo I en la respuesta

del sistema completo puede considerarse aproximadamente constate.

En cambio, los polos del Modo II se acercan paulatinamente al eje real (reducción de

ωd),: conforme crece Ti la respuesta se hace más amortiguada. Esto se observa cuando

Ti adquiere los valores de 6 y 10 s que sobrepasan el límite de 4,53 s y los polos se

ubican en el eje real. Esto provoca que el amortiguamiento relativo sea mayor que la

unidad, con lo que desaparece la oscilación. En las figuras se observa que en las

respuestas para dichos valores de Ti se anula la prácticamente oscilación pero aumenta

considerablemente el tiempo de aproximación de las variables a su valor de referencia.

Aparece un polo denominado lento, el que se acerca al eje real, que produce una

respuesta sobreamortiguada, es decir sin sobrepaso pero con elevado tiempo de

establecimiento. Este comportamiento se acentúa conforme crece Ti y el polo lento se

acerca al eje real.

El Modo I sigue presente en la respuesta, como se puede apreciar en las figuras, con

una ligera oscilación, que para Ti = 10 s tiene un período Td = 131,7 s.



7.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima

Al igual que se ha seleccionado el componente k del controlador para mejorar la

respuesta de la central frente a variaciones de las variables de entrada se procede a la

determinación de la ganancia Ti que no sólo garantice la estabilidad de la central, sino

que optimice la respuesta.

Los criterios para la selección de Ti deben garantizar:

la rapidez de la respuesta, para alcanzar en un tiempo razonable el valor de

referencia;

mínima oscilación, para reducir el trabajo mecánico del distribuidor de la turbina

que es accionado por el controlador.

La primera condición equivale a minimizar el tiempo de establecimiento. Lo cual implica

seleccionar un valor de Ti para el que los polos de ambos modos tengan mayor

amortiguamiento exponencial de la respuesta σd. Esto obliga a situar los polos en el

intervalo en el que su componente real es constante (Eje σd = 0,0075) lo que garantiza

el menor tiempo de establecimiento evitando el polo lento.

Una vez cumplido este objetivo, para reducir la oscilación, según se ha mencionado

anteriormente, es necesario aumentar el amortiguamiento relativo. Esto no es posible

realizarlo en ambos modos conjuntamente, pero dado que la posición de los polos del

Modo I varía muy poco para Ti > 1, se determina un valor de Ti que maximice el

amortiguamiento del Modo II.

Se selecciona por tanto Ti = 4,53 s, valor que proporciona el amortiguamiento crítico.

Un valor superior de Ti genera un sistema sobreamortiguado. Esto no conviene porque

aunque la respuesta se suaviza considerablemente, ésta se ralentiza mucho debido a la

aparición del denominado polo lento.



Figura 7.30 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 60,1

Los parámetros asociados a los sistemas de segundo orden relacionados con cada uno

de los modos de oscilación se muestran en la Tabla 7.7. En ella se observa como el

tiempo de establecimiento de la respuesta coincide con el correspondiente al valor de k

seleccionado (Tabla 7.4). Los dos polos del Modo II coinciden en un mismo punto

situado en el eje real por lo que su amortiguamiento es la unidad: amortiguamiento

crítico.

Tabla 7.7 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 4,53

Ti Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04799 0,15628 0,0075 0,0474 132,6 66,3 533,3 4,53

II - 1,00000 0,0075 0,0000 - - 533,3

En las siguientes figuras se aprecia como la selección del parámetro Ti realizada a partir

del lugar de raíces del Modelo lineal mejora la respuesta del sistema que conforma el

Modelo completo. Dado que se ha eliminado la oscilación de uno de los modos, la

oscilación de todo el sistema es pequeña lo que genera una oscilación suave que

favorece considerablemente el mantenimiento y el buen funcionamiento del distribuidor.

Por otro lado el tiempo de establecimiento, al igualar las partes enteras de los modos,

se ve reducido por lo que se mejora la calidad de la respuesta.



Figura 7.31 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti seleccionada

Figura 7.32 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti seleccionada




Se ha obtenido, partiendo del punto de funcionamiento nominal de la central, un criterio

heurístico para sintonizar el controlador PI. Con los valores de los parámetros

seleccionados se persigue un doble objetivo: recortar el tiempo de respuesta y reducir la

oscilación.

Pero como se observado anteriormente la estabilidad del sistema depende del punto de

funcionamiento de la central. Es necesario comprobar, por tanto, si la selección de los

parámetros k y Ti, siguiendo el criterio establecido, es adecuada para otros puntos de

operación.


Como se puede comprobar la posición de los parámetros del controlador PI se

encuentra dentro de la región de estabilidad de las tres situaciones de punto de

funcionamiento procedentes del Modelo lineal y planteadas con anterioridad. Esto

supone que inicialmente la central (Modelo completo) tendrá una respuesta estable

frente a una variación de las entradas en el sistema.

Garantizada la estabilidad se realiza la simulación en el Modelo completo en la que se

reduce el caudal del río un 10% de su caudal nominal (14,4 m3/s) en tres situaciones



diferentes de funcionamiento. Cuando el distribuidor tiene menor apertura (ZONA II) el

caudal el caudal que circula por el río es de 9,86 m3/s mientras que cuando la apretura

del distribuidor es mayor que en la situación nominal (ZONA III), el caudal es de 19,08

m3/s.

Figura 7.34 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)

Figura 7.35 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 9,86 m3/s (ZONA II)



Figura 7.36 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 19,08 m3/s (ZONA III)

Como se refleja en la Figura 7.33, y se comprueba en los resultados de las

simulaciones, las tres situaciones presentan un modelo estable. En cambio la calidad de

la respuesta difiere notablemente en los tres casos.

Cuando la posición del distribuidor corresponde a caudales reducidos, ZONA II, el

modelo posee una región más reducida de estabilidad. Si se mantienen los parámetros

del controlador obtenidos para la situación nominal la respuesta obtenida presenta una

oscilación que no desaparece en los 2500 s que dura la simulación, Figura 7.35. Por

tanto el tiempo de establecimiento se incrementa y el trabajo realizado por el

distribuidor perjudica su funcionamiento y el del resto de componentes de la central.

Si la simulación se realiza cuando el punto de funcionamiento se encuentra en la ZONA

III, en la que el distribuidor tiene una apertura mayor que la requerida en la situación

nominal, Figura 7.36, la respuesta obtenida muestra un tiempo de establecimiento

similar a la situación nominal. Por el contrario la variación de la cota de la lámina del

agua en el azud, durante la simulación, presenta una oscilación de amplitud superior en

este caso. Mientras que en la simulación bajo condiciones de funcionamiento nominales

la cota se desplaza respecto del valor de referencia 3 cm, en la simulación con apertura

mayor de distribuidor dicho desplazamiento llega a los 5 cm.



Se comprueba en la Figura 7.34, Figura 7.35 y la Figura 7.36 que aunque los

parámetros seleccionados aseguren la estabilidad del sistema en los tres puntos de

funcionamiento, la respuesta obtenida en las simulaciones empeora en diferentes

aspectos.

Por tanto, sintonizar el controlador PI requiere conocer el punto de funcionamiento en el

que opera la turbina. En caso de que se prevea turbinar diferentes caudales con

distintas aperturas de distribuidor es necesario ajustar el controlador conociendo el

fenómeno completo, es decir, teniendo en cuenta la influencia de la posición del

distribuidor en la calidad de la respuesta. La situación más restrictiva, vistos los

resultados, es aquella de menores caudales y aperturas de distribuidor.

Otra posibilidad para sintonizar el controlador es utilizar el control adaptativo. Obtenidos

los parámetros del controlador que optimizan la respuesta del sistema para cada punto

de funcionamiento, se configura un controlador PI cuyas componentes se adecuen al

punto de operación de la central en cada momento.


7.7.1 Introducción

Una vez establecido un criterio heurístico para determinar los parámetros del

controlador PI de la central y habiendo observado que dichos parámetros no resultan

óptimos para cualquier punto de funcionamiento se plantea el control adaptativo como

medio para realizar un control favorable independientemente del caudal turbinado.

El término adaptativo (Rodríguez & López, 1996) significa cambiar el comportamiento

del controlador conforme a nuevas circunstancias. Por tanto el regulador o controlador

adaptativo modifica su acción en respuesta a cambios en la dinámica del sistema y a las

perturbaciones.

Existen dos grupos fundamentales de controladores adaptativos según la configuración

del sistema. En la Figura 7.37 se muestra un esquema de un modelo con control

adaptativo en bucle cerrado. Este tipo de reguladores modifican su acción en función de

la repuesta que genera el sistema frente a la acción del controlador. De modo que en el

esquema se encuentran dos bucles, el del propio controlador y el del mecanismo de

adaptación.

El otro tipo de control adaptativo se muestra en la Figura 7.38 y se denomina de bucle

abierto. En este tipo de sistema la acción controladora está regida por una variable que



no corresponde a la respuesta de la planta. Se realiza la medida de esa variable,

denominada variable auxiliar, que permite modificar los parámetros del controlador

adaptándolos a la nueva situación.

Figura 7.37 Sistema adaptativo en bucle cerrado

Figura 7.38 Sistema adaptativo en bucle abierto

Según el criterio heurístico de calibración de los parámetros del controlador PI de la

central, el lugar de raíces resulta determinante para la obtención de dichos parámetros.

La construcción de dicho lugar de raíces responde a los autovalores de la matriz

dinámica del sistema. Como se puede observar en la matriz, (7.9), las variables que

pueden modificar el lugar de raíces y por tanto los parámetros del controlador, son las

asociadas al punto de funcionamiento de la turbina (b11, b13 y qt0).



Si se basa la modificación del controlador PI en esta relación, no dependería de la salida

del sistema, o variable controlada, que en la central se trata del nivel de agua en el

azud de derivación, sino que sería función del punto de funcionamiento de la turbina.

Este planteamiento responde a un sistema adaptativo de bucle abierto en el que la

Variable Auxiliar es el punto de funcionamiento de la turbina. Dicha variable permite

obtener mediante el criterio basado en el lugar de raíces los parámetros del controlador

PI (k y Ti) óptimos para cada punto de funcionamiento.

A continuación se plantea la obtención de la relación matemática que permite relacionar

el punto de funcionamiento de la turbina con los parámetros del controlador óptimos

según el criterio heurístico elaborado en los apartados 7.6.4 y 7.6.7


El sistema compuesto por la central fluyente presenta una matriz dinámica de cuarto

orden. Sus autovalores, raíces del polinomio característico, que a su vez son los polos

del sistema, se pueden escribir de forma genérica:

jbap ±=2,1 jdcp ±=4,3 (7.55)

Estas dos parejas de polos conjugados corresponden a los modos de oscilación que

presenta el sistema.

Partiendo de dichos polos que son raíces del polinomio característico, dicho polinomio se

puede expresar:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]jdcjdcjbajbaP −−+−−−+−= λλλλλ (7.56)

que desarrollado resulta:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )( )22222222

2222234

242

dcbadcabacacdcbacaP

++++++−

−++++++−=

λ

λλλλ (7.57)

El criterio heurístico planteado anteriormente sugiere que:

Las partes enteras de cada una de las parejas de polos complejos conjugados

sean iguales entre sí, de modo que se iguale el tiempo de establecimiento de sus

oscilaciones.

dca σ−== (7.58)




Una de las parejas de polos tiene su parte imaginaria nula, para maximizar su

amortiguamiento relativo y evitar la aparición de un polo lento. La frecuencia del

otro modo se denomina ωd.

db ω= (7.59) 0=d

Introduciendo estos conceptos en el polinomio característico se obtiene la siguiente

expresión:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[( )( )2222

2222

22222

34

0

02

40

2

+++

++−+−−

−−−+++++

+−−−=

ddd

ddddd

ddddd

ddP

σωσ

λσσωσσ

λσσσωσ

λσσλλ

] (7.60)


( ) ( )( ) ( 22222

22234

22

64

dddddd

dddP

σωσλωσσ

λωσλσλλ

++++

++++=

) (7.61)

Por otro lado, partiendo de la matriz dinámica del sistema, se puede obtener el

polinomio característico en función de los parámetros de configuran la central fluyente,

expresión (7.16):

( ) 432

23

14 aaaaAP ++++= λλλλ (7.62)

sw

t

Tb

Tpq

a 110

12

+= (7.63)

wfws

t

TTTTbpq

a 121 110

2 ++

= (7.64)

fws TTTbba 1113

3+

=α

(7.65)

βfws TTTb

a 134 = (7.66)

donde:

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (7.67)


Si se identifican cada una de las expresiones de los polinomios característicos,

sustituyendo los valores α y β se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

sw

td T

bTpq 11

024 +=σ (7.68)

wfws

tdd TTTT

bpq 1216 110

22 ++

=+ωσ (7.69)

( )fws

b

b

ddd TTT

bX

kHb 11132222

+=+ωσσ (7.70)

( )b

ibfws

ddd

HTXTTT

b13222 =+ σωσ (7.71)

De la expresión (7.68) se despeja el valor de σd:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

sw

td T

bTpq 11

0241σ (7.72)

Introduciendo σd en la segunda ecuación del sistema:

wfws

td

sw

t

TTTTbpq

Tb

Tpq 1212

416 11

02

2

110

++

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ω (7.73)

se obtiene el valor de ωd2:

2

110

110

2 283121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+=

sw

t

wfws

td T

bTpq

TTTTbpqω (7.74)

Una vez despejadas las variables σd y ωd2 es posible, mediante la tercera ecuación del

sistema la obtención del parámetro del controlador k.

fws

b

b

sw

t

wf

ws

t

sw

t

sw

t

TTT

bX

kHb

Tb

Tpq

TT

TTbpq

Tb

Tpq

Tb

Tpq 1113

2

110

1102

110

110

2831

212412

242

+=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (7.75)



fws

b

b

sw

t

wfws

t

sw

t

TTT

bX

kHb

Tb

Tpq

TTTTbpq

Tb

Tpq

1113

2

110

110

110 2

411212

21

+=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(7.76)

b

b

sw

t

wfws

t

sw

tfws

HbXb

Tb

Tpq

TTTTbpq

Tb

TpqTTT

k13

11

2

110

110

110 2

411212

2 ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (7.77)

De forma análoga, utilizando la cuarta ecuación del sistema se despeja el valor de 1/Ti.

b

ibfws

sw

t

sw

t

wf

ws

t

sw

t

HTXTTT

bTb

Tpq

Tb

Tpq

TT

TTbpq

Tb

Tpq

13

2

110

2

110

1102

110

241

2831

21241

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(7.78)

b

ibfws

sw

t

sw

t

wfws

t

HTXTTT

bTb

Tpq

Tb

Tpq

TTTTbpq 13

2

1102

110

110

16122

165121

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+(7.79)

13

2

1102

110

110

1622

1651211

bHXTTT

Tb

Tpq

Tb

Tpq

TTTTbpq

T b

bfws

sw

t

sw

t

wfws

t

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

+= (7.80)

Por tanto es posible realizar un control adaptativo utilizando las expresiones (7.77) y

(7.80) que permiten obtener respectivamente los parámetros del controlador k y Ti en

función del punto de funcionamiento de la turbina (qt0, b11 y b13).

Es interesante añadir que se confirma analíticamente lo que ya se demostró

numéricamente. Las ganancia k y Ti obtenidas a partir del criterio heurístico establecido

en el presente estudio son independientes. Esto se observa en las expresión (7.77) en

la que para calcular k no aparece Ti y en la ecuación (7.80) donde para determinar Ti no

es preciso delimitar k previamente.


Una vez obtenida la relación numérica entre los parámetros que definen el punto de

funcionamiento de la turbina y los componentes del controlador se aplican dichas

expresiones a las zonas de operación que se han definido con anterioridad.



En la Tabla 7.8 se observa cómo influye la variación del punto de funcionamiento de la

turbina, reflejada en los diferentes valores de qt0, b11 y b13, en el ajuste del controlador

PI. Tanto los valores de k como de Ti se muestran muy sensibles a la modificación del

punto de funcionamiento.

Tabla 7.8 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador correspondientes


qt0 1,000 0,685 1,333

b11 0,547 0,421 0,630

b13 0,777 0,876 0,597

k 60,1 38,2 98,3

Ti 4,53 9,91 2,21

Con los parámetros del controlador determinados para cada zona según el criterio

heurístico se puede prever si el modelo se comporta de una forma estable según se

opere en cada punto de funcionamiento y con cada ganancia.

En el caso de la central con galería en presión y chimenea de equilibrio, tanto con como

sin aliviadero, la sintonización del controlador PI basada en el criterio heurístico se

muestra mucho más sensible al régimen de operación de la central que las otras

tipologías de centrales modeladas a partir de un sistema de tercer orden. Esto justifica

en este caso la implantación del control adaptativo.

Inicialmente se observa en la Figura 7.39 que cuando la central opera con poco caudal,

si el controlador se ajusta con las ganancias asociadas a la ZONA III, se generan

inestabilidades. Para comprobar este fenómeno y el comportamiento de la central

cuando las ganancias del controlador varían según la zona de operación se realizan tres

simulaciones carga nominal, baja carga y alta carga en el Modelo completo.



Figura 7.39 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de operación en las regiones de estabilidad

A continuación se muestran los resultados de la simulación en los tres casos:

Reducción del 10 % del caudal nominal (14,40 m3/s) cuando el caudal del río es

14,40 m3/s


9,86 m3/s


19,08 m3/s



Figura 7.40 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s





Se observa en las tres figuras que la mejor respuesta corresponde a los valores del

controlador calculados respectivamente para cada punto de funcionamiento de la

turbina.

Cuando el caudal del río es el nominal, 14,40 m3/s, Figura 7.40, el punto de

funcionamiento es el correspondiente a la ZONA I. La respuesta del sistema

introduciendo k y Ti de la ZONA III presenta una oscilación muy poco amortiguada

mientras que los valores del controlador de la ZONA II provocan una variación de la

cota del agua en el azud considerable. Por tanto los parámetros obtenidos mediante el

criterio son óptimos para este régimen de explotación.

Si la central opera con baja carga, caudal 9,86 m3/s, Figura 7.41, los parámetros

calculados para la ZONA III generan inestabilidad en el modelo. A su vez si el

controlador se rige por los parámetros propios de la ZONA I la respuesta está muy poco

amortiguada. El controlador calibrado para la ZONA II, según la formulación del criterio

heurístico, permite generar una respuesta estable y amortiguada, aunque eso suponga

un aumento en la amplitud del sobrepaso de la variable controlada.

En la situación en que el caudal del río es mayor que el nominal, 19,08 m3/s, Figura

7.42, las respuestas de los modelos con el controlador calibrado conforme a los tres



puntos de funcionamiento son estables, sin oscilaciones significativas. Sin embargo los

parámetros que consiguen reducir la amplitud de la oscilación y por tanto optimizan la

respuesta del sistema son los obtenidos mediante el criterio heurístico enunciado.

Se puede concluir, por tanto, que el criterio heurístico establecido y su formulación

matemática permiten calibrar adaptativamente el controlador PI de la central de modo

que, dado el punto de funcionamiento de la central, los parámetros k y Ti del

controlador obtenidos, generen una repuesta óptima y estable.

Calibrar el controlador con un único par de parámetros k y Ti para alta carga puede

generar inestabilidades cuando la central opere con caudales pequeños.

Si no existe la posibilidad de implantar el control adaptativo en la central la calibración

del controlador debe realizarse para la situación de menor caudal. De este modo,

aunque la calidad de la respuesta no sea la que pudiera conseguirse mediante el control

adapatativo, ésta siempre sería en todo caso estable.

7.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN

Como se ha demostrado en Capítulo 6 la elaboración del Modelo lineal permite

simplificar considerablemente el modelo original lo que facilita notablemente el estudio

de su estabilidad. Así mismo se comprueba a partir de los resultados de simulaciones

que el Modelo lineal se comporta muy similarmente al Modelo completo cuando se

plantean pequeñas perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. Este

funcionamiento se corresponde con el régimen de operación normal en pequeña

perturbación de la central. Para dicho comportamiento se ha calibrado el controlador PI

del Modelo completo según un criterio heurístico obtenido a partir del Lugar de raíces

del Modelo lineal.

Pero a lo largo de la vida útil de una central pueden producirse situaciones en las que se

generen grandes perturbaciones de las variables externas sin que esto suponga una

situación de emergencia como el disparo de la central. Este es el caso muy común de

minicentrales que se encuentran aguas abajo de centrales de punta. Este tipo de

centrales turbinan grandes cantidades de agua en períodos de tiempo relativamente

cortos lo que produce una variación de caudales en el régimen del río realmente

notable.



0 500 1000 1500 2000 25006

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

tiempo (s)

caud

al (

m3 /s

)

Figura 7.43 Caudal del río, Situación de gran perturbación

Por tanto se plantea el estudio de la respuesta de la central cuando se produce un

fenómeno de este tipo. Se introduce una variación del 50% caudal nominal turbinado

suponiendo que dicha variación haya sido producida por una central de punta aguas

arriba de la minicentral. La central de punta ocasiona un cambio en el caudal del río que

pasa de 14,4 a 7,2 m3/s en un tiempo de 100 s.

El objetivo de simular dicho descenso de caudal es doble. Por un lado se plantea dicha

situación en los Modelos completo y lineal de forma que se pueda comprobar la

diferencia de comportamiento entre ambos modelos. El planteamiento inicial parte de

que ambos modelos actúan de forma similar bajo pequeña perturbación pero que sus

dinámicas bajo gran perturbación debe ser claramente diferente.

Por otro lado se comprueba si la calibración del controlador PI realizada mediante el

criterio heurístico y comprobada en pequeña perturbación se adapta bien a la gran

perturbación. Para ello se acompaña el resultado de la simulación con el producto de

simular el mismo descenso de caudal pero con el modelo de central con galería en

presión y chimenea de equilibrio con controlador PI calibrado según el criterio de Ziegler

– Nichols.

Aunque una disminución de caudal de tal calibre modificaría notablemente el punto de

operación de la turbina y por tanto los coeficientes bij que rigen la ecuación linealizada



de la turbina, en la simulación se consideran dichos valores constantes para simplificar

el modelo. En el caso de no hacer la simplificación sería necesario incluir una función

que permutara los valores de los coeficientes bij según el punto de operación en que se

encontrara la turbina.

7.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal

En las siguientes figuras se recogen los resultados de la simulación de gran perturbación

tanto en el Modelo lineal como en el Modelo completo. Se muestra la evolución del

distribuidor y de los dos elementos almacenadores: chimenea y azud.

0 500 1000 1500 2000 25002

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Figura 7.44 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo



0 500 1000 1500 2000 2500150

150.05

150.1

150.15

150.2

150.25

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)


Figura 7.45 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo

0 500 1000 1500 2000 2500148

148.5

149

149.5

150

150.5

tiempo (s)

niev

el e

n la

chi

men

ea (m

.s.n

.m)


Figura 7.46 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo



En las tres figuras se muestra claramente la diferencia de comportamiento de los dos

modelos, completo y lineal. Como denominador común se aprecia en todas ellas que el

Modelo completo presenta una leve oscilación que no se muestra en el Modelo lineal.

El distribuidor no sólo presenta valores iniciales y finales diferentes sino que dicha

diferencia no es la misma lo que supone un movimiento relativo distinto en ambos

casos.

La cota de agua en el azud presenta mucha similitud debido a que la gran superficie de

agua del azud ralentiza su dinámica e iguala los resultados de ambos modelos. Pero la

evolución temporal de la cota de agua en el otro elemento almacenador de menores

dimensiones, chimenea de equilibrio, refleja clara y notoriamente cómo distorsiona el

Modelo lineal los resultados cuando actúa bajo gran perturbación.

7.8.2 Comparación Criterio heurístico – Criterio Ziegler – Nichols

Una vez comprobado que el Modelo lineal no refleja correctamente el comportamiento

de la central cuando está sometida a grandes variaciones de las condiciones de

equilibrio se comparan los resultados obtenidos a partir de la calibración propuesta en el

presente estudio y los calculador a partir del Criterio de Ziegler – Nichols.

Para ello se simula el descenso de caudal planteado con anterioridad, Figura 7.43, en el

Modelo completo de central con el controlador calibrado con las ganancias obtenidas

aplicando el criterio heurístico y el Criterio de Ziegler – Nichols.

Tabla 7.9 Ganancias del controlador

Lugar de raíces Ziegler – Nichols

k 60,1 59,63

Ti 4,53 1,75

En la Figura 7.47 se refleja la evolución temporal de la variable controlada, nivel del

agua en el azud de derivación, mientras que en la Figura 7.48 se muestra el recorrido

de la acción controladora, la posición del distribuidor.



0 500 1000 1500 2000 2500150

150.05

150.1

150.15

150.2

150.25

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

Criterio Lugar de raícesCriterio Ziegler-Nichols

Figura 7.47 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols

0 500 1000 1500 2000 25002

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

Crietrio Ziegler-NicholsCriterio Lugar de raíces

Figura 7.48 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols



Se observa en ambas figuras que tanto el criterio heurístico como el de Ziegler – Nichols

resultan estables bajo gran perturbación.

En la simulación propuesta se comprueba la existencia de dos oscilaciones

diferenciadas. Esto se corresponde con el estudio de estabilidad desarrollado en el

presente capítulo que planteaba la dinámica de la central fluyente con galería en

presión y chimenea de equilibrio como una superposición de dos modos de oscilación

(Modo I y Modo II) reflejados en el lugar de raíces de ambas ganancias.

Una de las oscilaciones, la de menor período, no se atenúa completamente en ninguno

de los dos casos. Pero la oscilación de menor frecuencia en el caso del controlador

sintonizado mediante el criterio heurístico no presenta sobreoscilación. Esto responde a

la filosofía que encierra el criterio: situar los polos sobre el eje real para conseguir un

amortiguamiento mayor que la unidad.

En cambio la simulación realizada con el controlador PI calibrado según el criterio de

Ziegler – Nichols refleja una sobreoscilación prejudicial para el correcto funcionamiento

del servo – hidráulico que es accionado por el controlador PI.

Los tiempos de establecimiento de ambas respuestas son similares. El sobrepaso que

presenta la cota del agua en el azud es ligeramente superior en el caso del calibrado

con el criterio heurístico, sin embargo dicha diferencia no es notoria además de que se

da prevalencia a minimizar la oscilación de la respuesta del distribuidor. Por tanto, se

puede asegurar que en el caso de una central fluyente con galería en presión y

chimenea de equilibrio el criterio heurístico procedente del lugar de raíces permite

obtener valores para las ganancias del controlador PI, k y Ti, de modo que la respuesta

de la central no sólo es estable sino que adecuada para el correcto funcionamiento de la


CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN 8.1 Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN

CAPÍTULO 8 Estabilidad de una minicentral fluyente con galería en presión

y chimenea de equilibrio. Efectos del vertido en el azud de derivación

8.1 INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores se ha planteado la elaboración de un modelo mediante

diagramas de bloques que simule el funcionamiento de una minicentral fluyente con

galería en presión y chimenea de equilibrio. Así mismo se ha estudiado estabilidad

mediante el criterio de Routh-Hurwitz y se ha determinado un criterio para la

sintonización del controlador PI a partir de la técnica del lugar de raíces. Para poder

realizar el estudio de la estabilidad se ha realizado un Modelo lineal que se comporta


8.2 CAPÍTULO 8 ESTABILIDAD DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON GALERÍA EN PRESIÓN Y CHIMENEA DE EQUILIBRIO. EFECTOS DEL VERTIDO EN EL AZUD DE DERIVACIÓN

prácticamente igual que el Modelo completo y que facilita enormemente el trabajo con

el sistema de ecuaciones que gobierna el modelo de central.

Según el modelo planteado, el tramo de río comprendido entre el azud de derivación y

la zona de descarga del caudal turbinado, no presenta ningún caudal circulante. Esta

circunstancia implica un impacto medioambiental considerable tras la implantación de la

central, ya que se priva de agua a un tramo de río que según los casos puede ser

importante. Para evitar esta situación se introduce un aliviadero de labio fijo en el azud

de derivación con cota inferior a la señal de consigna. De este modo, dado que el nivel

del azud se mantiene constante, se vierte por el aliviadero un caudal ecológico también

constante. Obviamente el hecho de que el caudal procedente del río no sólo se turbine

sino que también se vierta por el aliviadero influye en la dinámica del azud y por tanto

de la minicentral.

Dado que la lectura que genera la consigna que llega al controlador es el nivel del agua

en el azud comparada con el valor de referencia, la acción de control se ve afectada por

la acción del vertedero situado sobre la coronación del azud. Es de esperar que las

regiones de estabilidad de la minicentral elaboradas en el capítulo 7 se vean

modificadas incluyendo el aliviadero en el estudio.

Por otro lado, si cambian las regiones de estabilidad de la central, las ganancias del

controlador PI obtenidas mediante el criterio basado en el Lugar de raíces puede que no

resulten óptimas si el modelo incluye el vertido en el azud de derivación.

En el presente capítulo se plantea la influencia en la estabilidad de la central de un

aliviadero en el azud de derivación que permita verter un caudal constante. Se parte del

criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz y de la técnica del lugar de raíces para

determinar las regiones de estabilidad y plantear un criterio de sintonización del

controlador PI. Al igual que en el capítulo anterior se parte del Modelo lineal de central

para el tratamiento de la estabilidad y el lugar de raíces y se aplican los resultados al

Modelo completo mediante simulaciones.


El proceso seguido para el estudio de la estabilidad en el modelo de central fluyente en

presión con aliviadero en el azud de derivación es muy similar al desarrollado en el caso

anterior (sin vertido por coronación).

Una vez elaborada la matriz dinámica se aplica el criterio de Rotuh – Hurwitz y se

generan las regiones de estabilidad. En este caso las curvas no sólo dependen de las



dimensiones de los elementos almacenadores (azud y chimenea) y el punto de

funcionamiento de la central sino que también vienen determinadas por la capacidad de

desagüe del aliviadero.

Se contrastan las regiones de estabilidad de los dos modelos (con y sin aliviadero)

acompañando dicha comparación con diferentes simulaciones realizadas con el Modelo completo.

Para la sintonización del controlador PI se sigue el mismo proceso que en el Capítulo 7

basado en el lugar de raíces de cada una de las ganancias del controlador del Modelo lineal y en la simulación con el Modelo completo.

Una vez obtenidos numéricamente los valores de k y Ti se plantea la formulación

matemática que permite calibrar el controlador PI de una central semejante en

cualquier punto de funcionamiento.

Finalmente se plantea la simulación bajo gran perturbación y se comparan los

resultados obtenidos mediante el criterio heurístico razonado durante el capítulo con el

criterio de sintonía de Ziegler-Nichols que se utilizó en el Capítulo 6 para calibrar

inicialmente el Modelo completo de central con galería en presión, chimenea de

equilibrio y vertedero en el azud de derivación.

8.3 MATRIZ DEL SISTEMA

A continuación se recogen las ecuaciones linealizadas en el Capítulo 6 que conforman el

Modelo lineal que incluye vertido en el azud.

Turbina - Chimenea de equilibrio

nTb

Tb

hTbq

Tdtdh

sss

st

s

s 1213111−−−= τ (8.1)


sw

fw

tw

tt hT

hT

qTpq

dtdq 112 0

−+−= (8.2)

Azud de derivación

rf

ftf

f qT

hMqTdt

dh 1231

+⋅−−= (8.3)



Controlador PI

rf

refftf

qT

hhMqTdt

d αβ

αβ

ατ+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−=

1231

(8.4)

Para obtener el polinomio característico y aplicar el criterio de Routh – Hurwitz es

necesaria la matriz dinámica del sistema, A. Dicha matriz resulta de expresar las

ecuaciones linealizadas en su forma canónica:

BUAXdtdX

+= (8.5)

donde:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

τs

f

t

hhq

X (8.6)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nhq

U ref

r

(8.7)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

01

00

001000

12

βα

f

s

f

T

Tb

TB (8.8)

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

−−

−−

=

00231

01

00231

0112

1311

0

MT

Tb

Tb

T

MT

TTTpq

A

f

sss

f

www

t

αβ

α

(8.9)




El estudio para comprobar la estabilidad de la central se desarrolla como en el capítulo

anterior: obtención del polinomio característico y aplicación del criterio de Routh –

Hurwitz.


Para el estudio de la estabilidad se determina el polinomio característico de la matriz

dinámica del sistema que se obtiene del desarrollo del siguiente determinante:

( )

λαβ

α

λ

λ

λ

λ

0231

01

00231

0112

1311

0

MT

Tb

Tb

T

MT

TTTpq

AIAP

f

sss

f

www

t

+−

+−

+

−+

=−= (8.10)

Detallando dicho desarrollo del determinante:

( )

ss

f

www

t

f

f

www

t

s

Tb

T

MT

TTTpq

MT

MT

TTTpq

TbAP

11

0

0

13

01

0231

112

0231

0231

112

+−

+

−+

+

+

+−

+

−+

−=

λ

λ

λ

λ

αβ

α

λ

λ

(8.11)



( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−

++

++−

+−=

MT

TTpq

Tb

T

MT

T

MT

MT

TTbAP

f

ww

t

s

s

f

w

f

f

ws

231

12

01231

1

231

231

1

0

11

13

λ

λλ

λλ

αβ

α

λ

(8.12)

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=

fww

t

s

ws

fffws

TTM

Tpq

Tb

MTT

TM

TM

TTTbAP

11232

2311

23

2311

011

13

λλλλ

λλ

αλαβ

(8.13)

( )

fwsw

t

s

w

t

swsws

fwsfws

TTTbM

Tpq

Tb

Tpq

TbM

TTTT

TTTb

TTTbAP

1223

21231

110

11

01122

1313

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

++=

λλλλλ

λλλλλ

αλβ

(8.14)

( )

fwsfww

t

ssw

t

w

t

ssw

t

wswsfwsfws

TTTb

TTM

Tpq

TbM

TbM

Tpq

MTpq

Tb

Tb

Tpq

MTTTTTTT

bTTT

bAP

1120

111120

2

30

1121130

34

21313

1223

232

23

2322

1231

λλλλλ

λλλλλ

λλαλβ

++++

++++++

++++=

(8.15)

Finalmente la expresión del polinomio característico del sistema resulta:

( )

βαλ

λ

λλ

fwsfwsws

t

fwsw

wst

ws

t

sw

t

TTTb

TTTbbM

TTbpq

TTM

TTTbTpq

TTbpq

MTb

TpqAP

131311110

110

110

2

110

34

2123

122321

232

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

(8.16)



Si se adopta nomenclatura análoga al estudio anterior se expresa el polinomio de la

forma:

( ) 432

23

14 aaaaAP ++++= λλλλ (8.17)

MTb

Tpqa

sw

t

232 11

0

1 ++= (8.18)

fwsw

wst

ws

t

TTM

TTTbTpq

TTbpq

a 122321 11

011

0

2 ++

++

= (8.19)

fwsws

t

TTTbb

MTT

bpqa

α1311110

321

23 +

++

= (8.20)

βfws TTTba 13

4 = (8.21)


Según el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, el polinomio característico tiene sus

raíces en el semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna de

la tabla de Routh son positivos y no nulos.

Para el polinomio característico del sistema aplicando el algoritmo de Routh resulta:

4

321

421

23321

41

321

31

42

0

01

1

12

0314

aaaa

aaaaaa

aa

aaaaa

aa

−−−

−

(8.22)

Según el razonamiento expuesto en el apartado 7.4.2 las condiciones de estabilidad se

pueden resumir en:

0,,, 4321 >aaaa (8.23) 0421

23321 >−− aaaaaa

En condiciones normales de funcionamiento y en pequeña perturbación la cota de la

lámina de agua en el azud se encuentra por encima del nivel del aliviadero por lo que M

es mayor que cero.



En general q0t, los parámetros del controlador PI, k y Ti, las constantes de tiempo, los

coeficientes de pérdidas y los coeficientes b11 y b13 de la turbina siempre son mayores

que cero

0,,,,,,,, 13110 >bbpTTTq fwst βα (8.24)

De este modo las condiciones de estabilidad contenidas en la primera expresión (8.23)

se cumplen implícitamente cuando la central opera normalmente. La condición de

estabilidad más restrictiva, por tanto, que determina la zona de estabilidad del sistema

compuesto por la minicentral fluyente queda determinada por:

0421

23321 >−− aaaaaa (8.25)

Sustituyendo en dicha expresión los valores de cada término ai:

0232

212123

122321

232

13

2

110

2

1311110

1311110

110

110

110

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

β

αα

fwssw

t

fwsws

t

fwsws

t

fwsw

wst

ws

t

sw

t

TTTbM

Tb

Tpq

TTTbbM

TTbpq

TTTbbM

TTbpq

TTM

TTTbTpq

TTbpqM

Tb

Tpq

(8.26)


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +++>

>⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ +++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

MTTT

bTTT

bMTb

Tpq

TTT

bbMTbpq

TTT

bbMTbpq

TTT

TMTTbTpqTbpqM

Tb

Tpq

fwsfwssw

t

fws

ft

fws

ft

fws

sfwstft

sw

t

αβ

α

α

1313

2

110

2

1311110

1311110

110

110

110

23

232

2321

2321

23221

232

(8.27)

Simplificando la expresión (8.27):



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

wfssw

t

ft

ft

sfwstftsw

t

TTTbMTb

Tpq

bbMTbpq

bbMTbpq

TMTTbTpqTbpqMTb

Tpq

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++>

>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

β

α

α

13

2

110

2

1311110

1311110

110

11011

0

232

2321

2321

23221

232

(8.28)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )wfs

ft

sw

t

ft

sfwstftsw

t

TTTbbMTbpq

bMTb

Tpq

bbMTbpq

TMTTbTpqTbpqMTb

Tpq

α

β

α

1311110

13

2

110

1311110

110

11011

0

2321

232

2321

23221

232

+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+

++++>

>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.29)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )wfs

ft

sw

wswst

ft

sfwstftsw

t

TTTbbMTbpq

bTT

MTTTbTpq

bbMTbpq

TMTTbTpqTbpqMTb

Tpq

α

β

α

1311110

13

2

110

1311110

110

11011

0

2321

232

2321

23221

232

+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++

+

++++>

>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.30)

Se obtiene finalmente la condición de estabilidad para una minicentral fluyente con

galería en presión y chimenea de equilibrio con vertido en el azud de derivación:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) wsft

fwswst

ft

sfwstftsw

t

TTbbMTbpq

TbMTTTbTpq

bbMTbpq

TMTTbTpqTbpqMTb

Tpq

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+

++++>

>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

α

β

α

1311110

132

110

1311110

110

11011

0

2321

232

2321

23221

232

(8.31)



8.4.3 Aplicación al predimensionamiento de una central

Al igual que en el apartado 4.5.3, tomando como referencia la condición de Thoma para

la superficie de la chimenea de equilibrio, se plantea la estabilidad del sistema en

función de las superficies de los elementos almacenadores siendo:

s

f

AA

m = (8.32)

th

s

AAl = (8.33)

Siguiendo el razonamiento expuesto en el mismo apartado se puede escribir:

ws TplT

2= (8.34)

wf Tp

mlT2

= (8.35)

Si aplicamos las relaciones anteriores a la ecuación de estabilidad resulta:

( )

( ) ( )

( ) ( ) wwwt

wwwwwt

wt

wwwwtwt

ww

t

TTplbbMT

pmlbpq

Tp

mlbMTTplTbT

plpq

bbMTp

mlbpq

Tp

mlMTp

mlTbTplpqT

pmlbpq

MlTpb

Tpq

223

221

223

222

23

221

223

222

221

2322

1311110

132

110

1311110

110

110

110

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+

++++>

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

α

β

α (8.36)

( ) ( )

( ) ( )

( ) α

β

α

1311110

13

2

110

1311110

110

110

110

23

221

23

2

23

221

12321

223

bbMTp

mlbpq

mTbMTplbnq

bbMTp

mlbpq

MTmblqmbpqp

lTMblq

wt

wwt

wt

wttw

t

+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+

++++>

>⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.37)



por lo que finalmente como condición de estabilidad se establece la siguiente expresión

en función de las relaciones de superficies de los elementos almacenadores:

( ) ( )

( ) ( )

( )

mbMTplblq

bbMTp

mlbpq

bbMTp

mlbpq

MTmblqmbpq

plTMblq

T

wt

wt

wt

wtt

wt

w

13

2

110

1311110

1311110

110

110

110

23

2

23

221

23

221

12321

223

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+++⋅

⋅

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

<

α

α

β

(8.38)

Esta expresión es análoga a la ecuación (7.53) obtenida para un modelo sin vertido en

el azud. En este caso la estabilidad de la central no sólo depende de las dimensiones del

azud y la chimenea (l y m) y del punto de funcionamiento en el que opere la central

(qt0, b11 y b13). La estabilidad también es función del parámetro M que introduce el

vertido en el azud en la condición de estabilidad.


8.5.1 Influencia de las características de la planta

Al igual que en los estudios precedentes, para determinar la influencia de las

dimensiones de la chimenea de equilibrio y del azud, se considera que el punto de

funcionamiento de la turbina se encuentra en la denominada ZONA I (funcionamiento

nominal).

En este caso, además de las relaciones entre las dimensiones del azud de derivación, de

la chimenea de equilibrio y de la condición de Thoma, caracterizadas por los parámetros

m y l, se introduce la geometría del vertedero. Ésta se valora mediante la variable M.

En las siguientes figuras se muestran las diferentes zonas de estabilidad que resultan

variando los parámetros que las condicionan (l, m y M). Para poder obtener las curvas

se mantiene el valor de p (pérdidas unitarias) calculado en el capítulo anterior basado

en el modelo descrito en el Capítulo 6. Con un caudal Qb de 14,4 m3/s, un salto base Hb

de 30 m y un coeficiente de pérdidas Krt = 0,010351 el valor de p resulta 0,07154.



Figura 8.1 Regiones de estabilidad, M = 0,005

Como característica común a todas las figuras obtenidas se observa que la región de

estabilidad comprende parte del eje Tw/β. Es decir, que pequeños valores de la

ganancia k del controlador no implican inestabilidades en el modelo de minicentral

fluyente.

Figura 8.2 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y m = 10



Figura 8.3 Regiones de estabilidad, M = 0,005 y l = 1

En la Figura 8.2 se observa la influencia en la estabilidad de la superficie de la chimenea

de equilibrio respecto de la recomendada por Thoma (l). Para ello se mantienen

constantes su proporción con la sección del azud (m) y las dimensiones del aliviadero

del azud (M). Cuando l aumenta se observa cómo mejora la estabilidad. En este caso la

mejora permite un aumento de la ganancia proporcional de controlador k mientras que

la ganancia integradora Ti apenas amplía su rango de estabilidad incrementando el valor

de l.

Cuando se aumenta la sección del azud de derivación, se mantiene en la chimenea de

equilibrio el área de Thoma y no se modifican las condiciones de desagüe en el

aliviadero, se observa en la Figura 8.3 cómo crecen la regiones de estabilidad. En este

caso tanto la ganancia proporcional como la integradora ven incrementado su rango de

aplicación.

En la Figura 8.4 se observa la influencia del vertedero en la estabilidad del modelo.

Manteniendo constantes las dimensiones de los elementos almacenadores se varía el

parámetro M que es proporcional a la longitud de aliviadero y al coeficiente de desagüe.

Cuanto mayor es el valor de M mayor es la capacidad de desagüe del aliviadero y,

según se observa en la figura, mayor es la estabilidad que presenta el modelo. En

cambio si se reduce la capacidad de desagüe, es decir M, la región de estabilidad tiende

a asemejarse a la del modelo sin vertedero en el azud de derivación.



Figura 8.4 Regiones de estabilidad, m = 30 y l = 1

Puede concluirse, a la luz de lo visto en las figuras anteriores, que aumentar

proporcionalmente las dimensiones de los elementos almacenadores e incrementar las

condiciones de desagüe del aliviadero mejoran la estabilidad del modelo de minicentral

fluyente con galería en presión y chimenea de equilibrio. Esta mejora implica un mayor

rango de utilización de las ganancias de controlador PI (k y Ti).

Gracias a las regiones de estabilidad construidas o mediante la expresión que limita

dichas regiones, puede conocerse, dadas las dimensiones de la chimenea, el azud y el

aliviadero y los valores básicos de diseño (Qb, Hb y Krt), la influencia de las ganancias del

controlador (k y Ti) en la estabilidad del sistema. Esto permite, por tanto, realizar un

predimensionamiento tanto de los elementos almacenadores como del aliviadero del

azud y ajustar los parámetros del controlador PI para garantizar la estabilidad del

sistema.


Una vez conocida la variación que experimentan las condiciones de estabilidad del

sistema por la modificación del aliviadero del azud y las superficies de azud y chimenea

se fijan dichos valores para comprobar la incidencia del punto de funcionamiento de la

turbina en la estabilidad del modelo completo.



Se toman los siguientes valores correspondientes a la central modelada en el Capítulo 6:

Tabla 8.1 Datos geométricos de la minicentral

Azud Af 2070,00 m2

Chimenea As 30,00 m2

Área de Thoma Ath 22,74 m2

Laliv 20,00 m

Cd 2,13

Hbhref-Haliv 0,20 m

l 1,32

m 69,01

M 0,0069

Las zonas de operación consideradas son las que se encuentran alrededor de los puntos

A, D y M en la colina de rendimientos (Figura 4.4). Por tanto los valores de los

parámetros que determinan el punto de funcionamiento de la central (b11, b13 y qt0)

coinciden con los obtenidos en el apartado 5.5.1 y se recogen en la siguiente tabla:

Tabla 8.2 Valores de los puntos en la colina de rendimientos

Punto A D M

qt0 1,000 0,684 1,325

b11 0,547 0,421 0,630

b13 0,777 0,876 0,597

En la Figura 8.5 se observa que de forma global la apertura del distribuidor supone una

mejora en la estabilidad.




Cabe añadir que la posición asociada al menor caudal y menor apertura de distribuidor

(ZONA II) permite mayores valores de Tw/β. Cuando la ganancia proporcional es

pequeña, dado que la constante de tiempo del integrador del controlador PI (Ti) es

inversamente proporcional a la ordenada del gráfico, puede concluirse que cuando el

azud tiene aliviadero y el caudal turbinado es reducido puede incrementarse en cierta

medida la acción integradora del controlador manteniéndose la estabilidad.

8.5.3 Comparación con el modelo sin vertedero

Una vez analizadas las regiones de estabilidad del modelo con vertedero, se desprende

la conclusión de que dicho modelo tiene una región de estabilidad más amplia que

cuando no se considera el vertido por el aliviadero frente al que carece de aliviadero en

el azud de derivación.

Este fenómeno ya se observó en el Capítulo 6 donde las simulaciones permitieron

comprobar que el modelo con vertedero presentaba menores oscilaciones que el modelo

sin vertdero.

Para comprobar dicha apreciación en las regiones de estabilidad se superponen en el

mismo gráfico, Figura 8.6, las regiones de estabilidad de ambos modelos en condiciones

nominales de funcionamiento de la central (ZONA I).



Figura 8.6 Regiones de estabilidad, modelo sin vertedero - modelo con vertedero

En dicha figura se observa como, si se mantiene un valor constante de Tw/β, para

valores pequeños de la ganancia proporcional del controlador PI, k, el modelo con

vertedero presenta estabilidad donde el modelo sin aliviadero es teóricamente inestable.

En la zona central de la región de estabilidad el modelo con aliviadero admite mayor

acción integradora sin que ello implique inestabilidad en el modelo. Por último,

manteniendo de nuevo constante el valor de Tw/β, superado cierto valor de k el modelo

sin aliviadero se muestra inestable mientras que el modelo con vertedero no.

Para ilustrar lo expuesto anteriormente a partir de la Figura 8.6 se simula en el Modelo completo una reducción de 10 % del caudal turbinado en ambos modelos en tres

supuestos:

Situación 1: región de inestabilidad para el modelo sin vertedero

Situación 2: región estable para ambos modelos.

Situación 3: región de inestabilidad para el modelo sin vertedero.

En el Modelo completo con vertedero en el azud de derivación el caudal que circula por

el río es mayor, dado que debe desaguar por el aliviadero el caudal ecológico. Con el

coeficiente de desagüe, la longitud del aliviadero y la diferencia de cotas entre el nivel



de referencia y la del aliviadero recogidos en la Tabla 8.1 se vierte un caudal de 2,86

m3/s.

Figura 8.7 Situación 1, Modelo con vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I)

Figura 8.8 Situación 1, Modelo sin vertedero. Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 14,40 m3/s (ZONA I)



Como puede observarse en la Figura 8.7 y la Figura 8.8, correspondientes a la Situación

1, el modelo sin vertedero se muestra inestable, circunstancia que se reflejaba en las

regiones de estabilidad, mientras que la respuesta del modelo con aliviadero está

perfectamente acotada y es estable.

Para desarrollar la Situación 2, Figura 8.9 y Figura 8.10, se selecciona un valor de k =

58,17, ganancia proporcional del controlador, muy próxima a la obtenida en el apartado

4.6.5 (k = 60,1) y que garantizaba la calidad de la respuesta del modelo sin vertedero.

En el modelo con aliviadero, la posición del distribuidor y la cota del agua en el azud

muestran así mismo una respuesta satisfactoria.

En la Situación 3, presentada en la Figura 8.11 y la Figura 8.12, se observa como el

modelo sin vertedero es inestable dado que la oscilación tanto del nivel del agua en el

azud como la posición del distribuidor es creciente. La simulación realizada en el modelo

con vertedero presenta una oscilación que no se amortigua completamente a lo largo de

la simulación. Se comprueba en este caso que la oscilación se atenúa muy lentamente.

Esto se debe a que las ganancias de la Situación 3 se encuentran muy próximas al límite

de estabilidad.

Por tanto puede asegurarse que la introducción de un aliviadero en la parte superior del

azud que garantice un caudal ecológico aguas abajo del mismo, no sólo añade

beneficios medioambientales y de explotación sino que mejora la estabilidad de la

central fluyente. El rango de ganancias del controlador que aseguran la estabilidad es

mayor y la respuesta de la central tiene menor sobrepaso y tiempo de asentamiento.


En el apartado anterior se ha estudiado la influencia que ejercen las ganancias del

controlador de nivel, las dimensiones de los elementos almacenadores (chimenea de

equilibrio y azud) y del aliviadero así como el punto de funcionamiento en el que opera

la central en la estabilidad de la misma.

Fijadas las dimensiones de los componentes principales de la central y establecido el

punto de funcionamiento en la colina de rendimientos es posible determinar una región

de estabilidad en función de las ganancias del controlador. Todo par de ganancias que

se encuentre dentro de esa región garantiza la estabilidad de la central. Una vez

asegurada la estabilidad, se plantea el ajuste de las ganancias del controlador de modo

que la repuesta del sistema frente a una modificación de las condiciones iniciales de

equilibrio sea satisfactoria.



En el apartado 4.6 se plantea un criterio heurístico que reduce el tiempo de respuesta y

el sobrepaso de la oscilación de la variable controlada en el modelo sin vertedero en el

azud de derivación. A continuación, siguiendo un proceso análogo, se plantea la

obtención de un criterio para la sintonización de las ganancias del controlador PI de

forma que la respuesta de la central sea óptima y estable.


El lugar de raíces, o representación de los polos de un sistema procedentes de los

autovalores de su matriz dinámica, facilita el estudio de la forma de su respuesta. La

posición de dichos polos permite analizar la frecuencia y la amplitud que presenta la

oscilación de la respuesta así como la rapidez con que el controlador lleva al modelo a

los valores de referencia.

En este caso la técnica del lugar de raíces sigue presentando la limitación de permitir

únicamente evaluar la influencia de uno de los parámetros, k o Ti, en la respuesta del

sistema. Por tanto, dado que el lugar de raíces sólo admite la valoración de uno de los

parámetros del controlador se realizará la sintonización de cada uno de ellos por

separado. Para ello se mantiene constante una de las ganancias y se varía la otra.

El lugar de raíces se obtiene mediante el cálculo de los autovalores de la matriz

dinámica del sistema, (8.9). Dicha matriz sustituyendo los valores de α y β para que

figuren explícitamente k y Ti resulta:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

−−

−−

=

00231

01

00231

0112

1311

0

kMTX

HTX

Hk

Tb

Tb

T

MT

TTTpq

A

ib

b

fb

b

sss

f

www

t

(8.39)

La central fluyente con galería en presión, chimenea de equilibrio y aliviadero en el azud

de derivación que se ha modelado presenta las constantes temporales, valores base y

parámetros de funcionamiento en condiciones nominales recogidas en la Tabla 8.3.




Tw 6,778 s

Ts 62,500 s

Tf 4313,00 s

b11 0,547

b13 0,777

p 0,0715

M 0,0069


Hb 30 m

Xb 22 mm


Al igual que en el modelo anterior, es necesario fijar una de las dos ganancias que

conforman el controlador PI, para poder construir el lugar de raíces asociado a la otra.

Se determina, por tanto, un valor constante de Ti para observar la influencia de la

componente proporcional, k, del controlador.

Figura 8.13 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, Tw/β = 10



Se establece un valor de Ti que asegure la estabilidad, lo que se corresponde con una

ordenada constante cercana a la base de la región de estabilidad. Como valor medio se

determina Tw/β = 10, es decir, Ti = 0,924.

Una vez fijado el valor de Ti se calculan los autovalores de la matriz dinámica del

sistema para valores diferentes de k. Para ello se sustituyen las constantes temporales y

parámetros del modelo por su valor numérico.

Como la matriz es de cuatro por cuatro, procedente del sistema de cuatro ecuaciones

diferenciales de primer orden del Modelo lineal, cada valor de la ganancia k permite la

obtención de cuatro autovalores o polos. Estos cuatro polos corresponden a dos parejas

de polos complejos conjugados como se comprueba en la Figura 8.14.

Cada par de polos representa un modo propio del sistema. La inclusión del vertido por

el aliviadero del azud no modifica el hecho de que la repuesta dinámica del modelo

estará de nuevo compuesta por la superposición de dos oscilaciones de frecuencia y

amplitudes diferentes.

Figura 8.14 Lugar de raíces de k con Ti = 0,924

El lugar de raíces se muestra en la Figura 8.14 y en él se reflejan el recorrido de los

autovalores correspondientes a los dos modos propios del sistema. Uno de ellos, el

Modo II, cuyos polos se encuentran más cercanos al eje real, no presenta partes reales



positivas por lo que no genera inestabilidades. En cambio, el Modo I tiene polos con

parte real positiva cuando k supera el valor de 137,9. Por tanto puede asegurarse que

cuando la ganancia k no supera dicho valor se garantiza la estabilidad del sistema.


Para realizar una comprensión completa del lugar de raíces y de la influencia de la

ganancia k en el comportamiento del sistema se realiza una simulación en el Modelo completo de central con aliviadero en el azud. Se modela una disminución brusca del

caudal procedente del río (10 % del caudal nominal turbinado), Figura 8.15.

La simulación se realiza con diferentes valores de k (25, 50, 75 y 100). Es decir,

realmente se efectúan cuatro simulaciones, una con cada valor de k. La posición de los

polos correspondientes a los valores de k seleccionados se muestra en la Figura 8.16. La

constante de tiempo de integración del controlador PI se mantiene constante (Ti =

0,924 s).

Figura 8.15 Variación de caudal en el río

Según lo expuesto en el capítulo anterior la respuesta del sistema del Modelo completo

compuesto por la minicentral fluyente puede estudiarse como la superposición de dos

modos asociados a un coeficiente de participación. La respuesta de cada uno de estos

modos puede asimilarse a la de un sistema de segundo orden, cuyas características se

muestran el apartado 5.6.1.



Figura 8.16 Posición de los polos para los valores de k seleccionados

La respuesta de un sistema de segundo orden está íntimamente relacionada con la

posición de los dos autovalores conjugados de su matriz dinámica en el plano s. La

respuesta del Modelo completo de central, por tanto, queda determinada por la posición

de los polos complejos conjugados de cada uno de los modos en el lugar de raíces del

Modelo lineal. El Modo I es el que tiene sus polos más alejados del eje real mientras los

polos del Modo II son los más próximos a dicho eje.

De la posición de los polos complejos conjugados de cada modo asimilado a un sistema

de segundo orden se obtienen los parámetros que se muestran en la Tabla 8.4. En este

caso cuando k toma el valor de 100 los polos del Modo II se encuentran sobre el eje

real por lo que no son conjugados. La respuesta asociada a dicho modo está por

consiguiente sobreamortiguada.

Tabla 8.4 Parámetros de los modos de oscilación en función de k

k Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04716 0,26294 -0,0124 0,0455 138,1 69,0 322,6 25

II 0,01677 0,45910 -0,0077 0,0149 421,7 210,8 519,5




k Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04699 0,18300 -0,0086 0,0462 136,0 68,0 465,1 50

II 0,01684 0,68295 -0,0115 0,0123 510,8 255,4 347,8

I 0,04792 0,11478 -0,0055 0,0476 132,0 66,0 727,3 75

II 0,01651 0,88452 -0,0146 0,0077 816,0 408,0 274,0

I 0,04929 0,06086 -0,0030 0,0492 127,7 63,9 1333,3

- >1,0000 -0,0230 0,00000 - - 173,9 100 II

- >1,0000 -0,0112 0,00000 - - 357,1

Las siguientes figuras muestran la respuesta simulada del Modelo completo frente a la

disminución de caudal considerada. La Figura 8.17 describe la variación de la cota de la

lámina de agua en el azud de derivación, cuya desviación es corregida por el

controlador. La Figura 8.18 recoge la evolución de la posición del distribuidor, variable

de estado manipulada por el controlador.

Cuando k toma el valor de 25, el Modo II presenta un mayor tiempo de establecimiento

(519,5 s) de forma que el Modo I (322,6 s); por tanto su oscilación tarda más en

amortiguarse y se manifiesta dominante en la dinámica del sistema. La frecuencia de la

onda calculada para el Modo II, 421,7 s, es la que muestra aproximadamente la

respuesta del sistema.

Figura 8.17 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de k


Figura 8.18 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de k

Cuando las partes reales de ambos polos se aproximan, lo que sucede cuando k toma

los valores de 50 y 75, los tiempos de establecimiento de ambas oscilaciones se

aproximan y se mejora el comportamiento general del sistema.

En la simulación en que k adquiere el valor de 100, el Modo I resulta dominante según

lo expuesto anteriormente. El período de la oscilación amortiguada del modo coincide

con el de las ondas de finales, 127,7 s. Los polos del Modo II se encuentran sobre el eje

real con un amortiguamiento relativo mayor que la unidad, es decir, que su respuesta

es sobreamortiguada y no presenta oscilación.


De las respuestas obtenidas en el apartado anterior, tanto de la posición del distribuidor

como de la cota del agua en el azud, se desprende que para mejorar la respuesta del

sistema a partir de la selección de la ganancia k es necesario estudiar la influencia de

los dos modos que componen la respuesta.

El modo dominante en la respuesta es aquel con mayor tiempo de establecimiento y

menor amortiguamiento. Esto conduce, en el plano s, a que sus polos complejos

conjugados se encuentren más próximos al eje imaginario. Cuanto más alejados estén



los polos de ambos modos del eje imaginario mejor será el comportamiento de la

central.

Figura 8.19 Selección de k en el lugar de raíces con Ti = 0,924

Ambos modos influyen de forma similar en la respuesta y evolucionan conforme crece el

valor de k de forma inversa. Por tanto se determina como criterio para la selección de la

ganancia k aquel que iguale la parte real de los polos conjugados de ambos modos (σd),

ver Figura 8.19. De esta forma se equiparan los tiempos de establecimiento y se obtiene

una respuesta completa más amortiguada.

A continuación se muestran los parámetros de ambos modos para el valor de k

seleccionado.

Tabla 8.5 Parámetros de los modos de oscilación, k = 40,2

k Modoωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04690 0,21535 -0,0101 0,0458 137,2 68,6 396,0 40,2

II 0,01694 0,59622 -0,0101 0,0136 462,0 231,0 396,0

Si se realiza la misma simulación en el Modelo completo para el valor de k fijado (40,2)

y se compraran los resultados con los obtenidos anteriormente, Figura 8.20 y Figura



8.21, se observa que se mejora en cualquiera de los casos la respuesta del sistema. El

tiempo de establecimiento de ambos modos se asemeja con el del sistema completo y

la respuesta se amortigua con mayor rapidez. Por tanto se comprueba que el criterio

adoptado para la determinación de la componente proporcional del controlador PI (k),

es adecuado y conveniente.

Figura 8.20 Evolución temporal de cota de agua en el azud con la ganancia k seleccionada

Figura 8.21 Evolución temporal de la posición del distribuidor con la ganancia k seleccionada



Se ha determinado numéricamente un valor apropiado para la ganancia k cuando Tw/β = 10. Al igual que en modelo sin aliviadero es conveniente plantear qué valor de k

resulta cuando se modifica el valor fijo de Ti necesario para la elaboración del lugar de

raíces. En la siguiente tabla se recogen los valores de k obtenidos siguiendo el mismo

criterio, igualar los tiempos de establecimiento, suponiendo diferentes valores de Tw/β y

por lo tanto de Ti, constante de tiempo de integración del controlador PI.

Tabla 8.6 Obtención de k y Te a partir de Tw/β

Tw/β Ti k Te

1,0 9,25 40,2 396,0

2,5 3,70 40,2 396,0

5,0 1,85 40,2 396,0

7,5 1,23 40,2 396,0

10,0 0,92 40,2 396,0

12,5 0,74 40,2 396,0

15,0 0,62 40,2 396,0

17,5 0,53 40,2 396,0

20,0 0,46 40,2 396,0

En la tabla se refleja que numéricamente no existe dependencia entre los valores de las

ganancias del controlador k y Ti. Posteriormente se establecerá la misma conclusión de

forma analítica.

8.6.5 Lugar de raíces de la ganancia Ti

Después de haber fijado el valor de la componente proporcional del controlador PI se

procede a la determinación del parámetro Ti. Para ello, de forma análoga a la obtención

de k, se obtiene el lugar de raíces calculando los autovalores de la matriz característica.

En este caso se hace variar Ti, mientras que se mantiene constante el valor de k, 40,2

(Figura 8.22 ).



Figura 8.22 Región de estabilidad punto de funcionamiento nominal, k = 40,2

De nuevo la matriz dinámica representa un sistema de cuarto orden y como se puede

apreciar en el lugar de raíces, Figura 8.23, existen cuatro polos que se asocian, en

general, a dos parejas de polos complejos conjugados. Cada pareja de polos

corresponde a uno de los dos modos de oscilación que componen la respuesta del

sistema dinámico completo.

Se denomina Modo I a aquel cuyos autovalores conjugados se encuentran inicialmente

(valores pequeños de Ti) más alejados al eje imaginario y se designa Modo II al que

responde primeramente a los polos más próximos del eje imaginario.

En el lugar de raíces puede observarse que uno de los modos (Modo I) es siempre

estable mientras que el otro presenta inestabilidad para valores de Ti inferiores a 0,28 s.

Como primera conclusión puede asegurarse que para valores superiores al dado la

central es estable.



Figura 8.23 Lugar de raíces de Ti con k = 40,2

Cuando el valor de Ti supera 0,35 s los polos de ambos modos tienen la mima parte

real, es decir, se sitúan en el eje σd = 0,0101. Las parejas de polos del Modo I se alejan

del eje real sin sobrepasar en ningún momento su parte imaginaria ωd el valor de 0,050.

La pareja de polos correspondiente al Modo II se acerca al eje real conforme crece la

ganancia Ti.

En el lugar de raíces se aprecia como, superado cierto valor de Ti, los autovalores

asociados al Modo II se encuentran en el eje real, por lo que su parte imaginaria es

nula. Una vez en el eje real, si aumenta el parámetro Ti los polos dejan de ser

conjugados recorriendo dicho eje en direcciones opuestas. El polo que se acerca al eje

real no lo alcanza en ningún caso por lo que no afecta a la estabilidad de la central. La

respuesta de este modo, cuando el amortiguamiento relativo es mayor que uno es

sobreamortiguada.

8.6.6 Estudio de la respuesta en función de Ti

Siguiendo la metodología desarrollada en apartados precedentes se analiza la influencia

que ejerce la variación de la ganancia integral del controlador en el Modelo completo

mediante simulaciones. Se modela una disminución del 10% del caudal nominal

turbinado (14,4 m3/s), Figura 8.15, para los valores de Ti = 0,35, 1, 3 y 5 s.



Los valores de Ti seleccionados, cuyos polos se muestran en la Figura 8.24, ayudan a la

comprensión y al estudio del comportamiento de la central para las diferentes

posiciones que pueden tomar dichos polos en el lugar de raíces: polos conjugados con

la misma parte imaginaria (Ti = 0,35 s) , polos sobre el mismo eje paralelo al eje

imaginario (Ti = 1,0 s) y polos del Modo II sobre el eje real (Ti = 3 y 5 s).

Figura 8.24 Posición de los polos para los valores de Ti seleccionados

En la siguiente tabla se recogen los parámetros que se desprenden de la posición de los

polos para los que se realizan las simulaciones y que determinan en cada caso su la

forma de la respuesta asociada a cada modo.

Tabla 8.7 Parámetros de los modos de oscilación en función de Ti

Ti Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,03747 0,40837 -0,0153 0,0342 183,7 91,9 261,4 0,35

II 0,03454 0,13899 -0,0048 0,0342 183,7 91,9 833,3

I 0,04710 0,21446 -0,0101 0,0460 136,6 68,3 396,0 1,0

II 0,01638 0,61647 -0,0101 0,0129 487,1 243,5 396,0

I 0,04895 0,20632 -0,0101 0,0479 131,2 65,6 396,0

- >1,0000 -0,0139 0,0000 - - 287,8 3,0 II

- >1,0000 -0,0062 0,0000 - - 645,2




Ti Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04934 0,20468 -0,0101 0,0483 130,1 65,0 396,0

- >1,0000 -0,0170 0,0000 - - 235,3 5,0 II

- >1,0000 -0,0031 0,0000 - - 1290,3

La Figura 8.25 y la Figura 8.26 muestran la evolución temporal de la variable

controlada, nivel de agua en azud y de la acción de control, posición del distribuidor,

para las simulaciones realizadas en el Modelo completo.

Figura 8.25 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con variación de Ti

Se comprueba que existe un intervalo de valores de la ganancia Ti en el que los polos

de ambos modos presentan parte real constante. Esto sucede entre 0,39 y 2,41 s, es

decir, Tw/β = 23,7 y 3,8, lo que representa la mayor parte de la región de estabilidad,

Figura 8.22.

Cuando Ti toma el valor 0,35 s, los dos modos presentan la misma parte imaginaria.

Esto equivale a decir que el período de la oscilación del sistema de segundo orden

asociado a cada modo es el mismo (Td = 183,7 s). Los polos del Modo II se encuentran

mucho más próximos al eje imaginario que los del Modo I lo que hace que su

amortiguamiento sea mucho menor y su tiempo de establecimiento mayor. Esto da


lugar a que el Modo II que tarda mucho más en atenuarse, sea el que mayor influencia

ejerce sobre la respuesta del sistema completo.

Figura 8.26 Evolución temporal de la posición del distribuidor con variación de Ti

El valor Ti = 1,0 s pertenece al intervalo descrito anteriormente en que los modos

presenta la misma parte real. Dado que los polos del Modo I se alejan del eje real pero

convergen hacia un valor constante de ωd se puede asegurar que superado el valor de

Ti = 0,39 la contribución del Modo I a la respuesta del sistema no se modifica

sustancialmente.

Los polos del Modo II se acercan al eje real lo que aumenta el amortiguamiento relativo

de la oscilación asociada al modo y disminuye el sobrepaso de la respuesta. Cuando el

valor de Ti supera los 2,41 s, es decir en las simulaciones donde Ti = 3 y 5 s, los polos

del Modo II dejan de ser complejos conjugados y se sitúan sobre el eje real. En este

caso el amortiguamiento relativo es superior a la unidad, la respuesta es

sobremortiguada y desaparece la oscilación. Esto supone también un aumento del

tiempo de establecimiento de la respuesta debido a que aparece un polo lento, el que

se va acercando al eje real y que conforme aumenta el valor de Ti disminuye la rapidez

con la que el controlador lleva al nivel de agua en el azud al valor de referencia.



En este caso la oscilación que aporta el Modo I a al respuesta completa apenas se

aprecia en la simulación. Por tanto, cuando Ti supera cierto valor y aparece el polo lento

la respuesta del sistema queda determinada en su mayor parte por dicho polo:

desaparece la oscilación y se ralentiza notablemente la acción del controlador PI.

8.6.7 Determinación de la ganancia Ti óptima

Dado que tanto el lugar de raíces como el comportamiento del modelo frente a

perturbaciones de las condiciones iniciales de equilibrio son similares a los obtenidos en

el modelo sin vertedero (Capítulo 7), se mantiene el mismo criterio para la

determinación de Ti:

la rapidez de la respuesta, para alcanzar en un tiempo razonable el valor de

referencia;

mínima oscilación, para reducir el trabajo mecánico del distribuidor de la turbina

que es accionado por el controlador.

Figura 8.27 Selección de Ti en el lugar de raíces con k = 40,2

La selección de Ti, en consecuencia, es análoga a la seguida en el modelo anterior. El

valor de Ti debe garantizar que el los polos de ambos modos se encuentran sobre el eje

σd = 0,0101 y dado que la frecuencia del Modo I tiende a un valor constante se



minimiza la oscilación ocasionada por el Modo II acercando sus polos al eje real sin que

aparezca el polo lento.

Esto conduce a determinar Ti = 2,41, valor que proporciona al Modo II un

amortiguamiento relativo crítico (ζ = 1,000), como constante de tiempo óptima para

calibrar el controlador PI (Figura 8.27).

En la siguiente tabla se muestran los parámetros del sistema de segundo orden

asociado a cada uno de los modos para la ganancia Ti seleccionada. Ambos modos

presentan el mismo tiempo de establecimiento que el obtenido en el proceso de ajuste

de la ganancia proporcional (Ver Tabla 8.6). Los polos del Modo II coinciden en un

mismo punto, sobre el eje real, lo que corresponde al amortiguamiento relativo crítico.

Tabla 8.8 Parámetros de los modos de oscilación. Ti = 2,41

Ti Modo ωn

(s-1) ζ

σd

(s-1) ωd

(s-1) Td

(s) Tp (s)

Te (s)

I 0,04876 0,20715 -0,0101 0,0477 131,7 65,9 396,0 2,41

II - 1,00000 -0,0101 0,0000 - - 396,0

En las figuras que se muestran a continuación, Figura 8.28 y Figura 8.29, se comprueba

cómo la respuesta del Modelo completo de central con las ganancias proporcional e

integral del controlador PI seleccionadas a partir del lugar de raíces del Modelo lineal es

adecuada.

Se evita la oscilación excesiva en el movimiento del distribuidor lo que mejora su

funcionamiento y se reduce el tiempo de establecimiento. Por tanto se considera como

válido el criterio seguido para la sintonización de las ganancias del controlador PI que

optimicen la respuesta del sistema.



Figura 8.28 Evolución temporal de la cota de agua en el azud con la ganancia Ti seleccionada

Figura 8.29 Evolución temporal de posición del distribuidor con la ganancia Ti seleccionada




Los valores de k y Ti seleccionados en los apartados anteriores responden al

funcionamiento nominal de la central. Dado que el punto de funcionamiento de la

central influye, como se ha observado con anterioridad, en la estabilidad de la misma es

conveniente comprobar si dichos parámetros, obtenidos mediante el criterio heurístico

establecido, son adecuados para otros puntos de funcionamiento.


El punto de ajuste seleccionado se encuentra dentro de las zonas de estabilidad de los

tres puntos de funcionamiento de la central, por lo que es de esperar que las respuestas

de la central en las situaciones distintas de la nominal (ZONA II y ZONA III) sean

estables.

La simulación realizada en el Modelo completo es la disminución del 10% del caudal

nominal turbinado (14,40 m3/s) en el caudal del río. Esta simulación se ejecuta cuando

por el río circula un caudal de 17,26 m3/s (ZONA I), cuando el caudal se reduce a 12,72

m3/s (ZONA II) y cuando por el cauce discurre un caudal de 21,94 m3/s. En los tres

casos se mantiene un caudal vertido por el aliviadero del azud de derivación de 2,85

m3/s.



Figura 8.31 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 17,26 m3/s (ZONA I)

Figura 8.32 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 12,72 m3/s (ZONA II)



Figura 8.33 Caudal del río, posición del distribuidor y cota de agua en el azud, con caudal 21,94 m3/s (ZONA III)

Se comprueba, como se indicó anteriormente a partir de la Figura 8.30, que los tres

puntos de funcionamiento son estables. En cambio la respuesta de la central, cuando el

punto de funcionamiento varía, es notablemente diferente.

Si el caudal que circula por el río es menor que el nominal, punto de funcionamiento en

ZONA II, el distribuidor presenta una respuesta con una pequeña oscilación que se

atenúa con mayor lentitud que la respuesta en situación nominal. Dicha oscilación es

contraria al buen funcionamiento mecánico del distribuidor. Además, la vuelta a la

situación de equilibrio tras la perturbación inicial se produce con menor rapidez que la

obtenida en el punto de funcionamiento nominal.

Cuando el caudal es mayor y la central opera en punto de funcionamiento perteneciente

a la ZONA III la respuesta obtenida es similar a la de actividad en situación nominal. El

movimiento del distribuidor es adecuado pero el sobrepaso que presenta la variable

controlada, nivel en el azud, es mayor en este caso.

Por tanto puede asegurarse que, aunque nunca se pierde la estabilidad de la central, la

respuesta obtenida cuando varía el punto de funcionamiento y se mantienen constantes

los parámetros del controlador empeora en diferentes aspectos.



Al igual que sucede con el modelo sin aliviadero en el azud, para sintonizar el

controlador PI es necesario conocer el punto de funcionamiento en el que opera la

turbina. En el caso de turbinar diferentes caudales, cosa muy frecuente en una central

fluyente, se debe contemplar el hecho de que la calidad de la respuesta puede no ser la

esperada si se varía la posición del distribuidor. La situación más restrictiva vuelve a ser

aquella en que se turbinan menores caudales dado que es la que presenta una región

de estabilidad es menos extensa.

Se plantea el control adaptativo como solución para obtener una respuesta óptima de la

central frente a pequeñas perturbaciones del caudal que circula por el río. Mediante el

control adaptativo se varían los parámetros del controlador PI, k y Ti, de modo que en

cualquier momento se adecuen al punto de operación de la central.


8.7.1 Introducción

La consideración de la acción de un aliviadero en el azud de derivación modifica

ligeramente el comportamiento del sistema pero no cambia el hecho de que el punto de

funcionamiento de la turbina influye notablemente en la estabilidad de la central. La

calibración óptima del controlador PI depende, según el criterio heurístico elaborado, de

la zona de operación en la que se encuentre la turbina.

Al igual que en el modelo anterior, sin aliviadero, el control adaptativo se produce en

bucle abierto, Figura 7.38. La Variable Auxiliar medida es la zona de operación de la

turbina.

Por tanto es necesario, para poder llevar a cabo el control adaptativo, establecer una

relación entre los parámetros que determinan el punto de funcionamiento de la central

y las componentes proporcional e integral del controlador PI.


A continuación se plantea la relación matemática existente entre el punto de

funcionamiento de la central y las ganancias óptimas del controlador PI a partir del

criterio heurístico desarrollado con anterioridad.

Los polos o autovalores de la matriz dinámica del sistema de cuarto orden que procede

de la modelización de la central se pueden denominar genéricamente:




jbap ±=2,1 jdcp ±=4,3 (8.40)

Estas dos parejas de polos conjugados corresponden a los modos de oscilación que

generalmente presenta el sistema.

El polinomio característico desarrollado como en el apartado 4.8.2 se expresa:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )( )22222222

2222234

242

dcbadcabacacdcbacaP

++++++−

−++++++−=

λ

λλλλ (8.41)

El criterio heurístico elaborado, similar al planteado en el modelo sin aliviadero, indica

que:

Las partes enteras de cada una de las parejas de polos complejos conjugados

sean iguales entre sí, de modo que se iguale el tiempo de establecimiento de sus

oscilaciones.

dca σ−== (8.42)

Una de las parejas de polos tiene su parte imaginaria nula, para maximizar su

amortiguamiento relativo y evitar la aparición de un polo lento. La frecuencia del

otro modo se denomina ωd.

db ω= (8.43) 0=d

Introduciendo de nuevo estos conceptos en el polinomio característico se obtiene la

siguiente expresión desarrollada:

( ) ( )( ) ( 22222

22234

22

64

dddddd

dddP

σωσλωσσ

λωσλσλλ

++++

++++=

) (8.44)

El polinomio característico, tomando como punto de partida la matriz dinámica del

sistema (8.9), resulta:

( ) 432

23

14 aaaaAP ++++= λλλλ (8.45)

MTb

Tpqa

sw

t

232 11

0

1 ++= (8.46)

fwsw

wst

ws

t

TTM

TTTbTpq

TTbpqa 12

2321 11

011

0

2 ++

++

= (8.47)


fwsws

t

TTTbbM

TTbpqa α131111

0

321

23 +

++

= (8.48)

βfws TTTba 13

4 = (8.49)

donde:

b

b

XkH

=α b

ib

HTX

=β (8.50)

Si se igualan cada uno de los polinomios característicos y sustituyendo los valores α y β se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de cuarto orden:

MTb

Tpq

sw

td 2

324 110

++=σ (8.51)

fwsw

wst

ws

tdd TT

MTT

TbTpqTT

bpq 1223216 11

011

022 +

++

+=+ωσ (8.52)

( )fws

b

b

ws

tddd TTT

bX

kHbM

TTbpq 1113

110

22 212322

++

+=+ωσσ (8.53)

( )b

ibfws

ddd

HTXTTT

b13222 =+ σωσ (8.54)

La expresión (8.51) permite obtener el valor de σd:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= M

Tb

Tpq

sw

td 2

3241 11

0

σ (8.55)

Si se introduce σd en la expresión (8.52):

fwsw

wst

ws

t

dsw

t

TTM

TTTbTpq

TTbpq

MTb

Tpq

122321

232

416

110

110

22

110

++

++

=

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ω

(8.56)

se obtiene el valor de ωd2:



2

110

110

110

2

232

83

122321

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

−++

++

=

MTb

Tpq

TTM

TTTbTpq

TTbpq

sw

t

fwsw

wst

ws

tdω

(8.57)

Aplicando las variables σd y ωd2 obtenidas a la ecuación (8.53) se puede despejar la

componente proporcional del controlador PI, k:

fws

b

b

ws

t

sw

t

fwsw

wst

ws

t

sw

t

sw

t

TTT

bX

kHbM

TTbpq

MTb

Tpq

TTM

TTTbTpq

TTbpqM

Tb

Tpq

MTb

Tpq

111311

0

2

110

110

110

2

110

110

2123

232

83

1223

21232

412

232

42

++

+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

−++

+

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.58)

fws

b

b

ws

t

sw

t

fw

sw

wst

ws

t

sw

t

TTT

bX

kHbM

TTbpq

MTb

Tpq

TT

MTT

TbTpqTT

bpq

MTb

Tpq

111311

0

2

110

110

110

110

2123

232

411

22321

232

41

+=

+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

++

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.59)

( )

1113

110

2

110

110

110

110

2123

232

411

22321

232

2

bX

kHb

MTbpq

MTb

Tpq

TT

MTT

TbTpqTT

bpq

MTb

TpqTTT

b

b

ft

sw

t

fw

sw

wst

ws

t

sw

tfws

+=

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

++

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.60)

Finalmente el valor de k puede formularse mediante la siguiente expresión:



( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

++

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= 11

110

2

110

110

110

110

13

2123

232

411

22321

232

2

b

MTbpq

MTb

Tpq

TT

MTT

TbTpqTT

bpq

MTb

TpqTTT

bHXk

ft

sw

t

fw

sw

wst

ws

t

sw

tfws

b

b (8.61)

Para la obtención de la constante de tiempo del integrador Ti se utiliza la expresión

(8.54):

b

ibfws

sw

t

sw

t

fwsw

wst

ws

t

sw

t

HTXTTT

b

MTb

Tpq

MTb

Tpq

TTM

TTTbTpq

TTbpqM

Tb

Tpq

13

2

110

2

110

110

1102

110

232

41

232

83

1223

21232

41

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

−++

+

++

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(8.62)

b

ibfws

sw

t

sw

t

fw

sw

wst

ws

t

HTXTTT

b

MTb

Tpq

MTb

Tpq

TT

MTT

TbTpqTT

bpq

13

2

110

2

110

110

110

232

232

1651

22321

161

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

++

++

(8.63)

La igualdad que relaciona Ti con el punto de operación de la turbina resulta:

2

110

2

110

110

110

13 232

232

1651

22321

161

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

++

++

= MTb

Tpq

MTb

Tpq

TT

MTT

TbTpqTT

bpq

bHXTTT

T sw

t

sw

t

fw

sw

wst

ws

t

b

bfws

i

(8.64)



Las expresiones (8.61) y (8.64) permiten realizar un control adaptativo para calibrar el

controlador PI (k y Ti) a partir del punto de funcionamiento de la turbina (qt0, b11 y b13).

Mediante la Tabla 8.6 se llegaba numéricamente a la conclusión de que si se imponía el

criterio heurístico establecido para la sintonización del controlador PI los valores de las

ganancias eran independientes el uno del otro. Esta afirmación se comprueba

analíticamente en las expresiones (8.61) y (8.64) en las que se observa cómo no es

necesario el valor de Ti para la obtención de k y viceversa.


Para comprobar la bondad del criterio establecido así como su formulación matemática

se aplican las expresiones obtenidas en el apartado anterior a diferentes puntos de

operación de la central. Se utilizan las zonas de funcionamiento definidas en la Figura

5.2.

La siguiente tabla contiene los parámetros k y Ti del controlador calibradas

matemáticamente con el criterio heurístico enunciado y obtenidos a partir de los tres

puntos de funcionamiento. Como se puede comprobar en este caso también el ajuste

de las ganancias se muestra muy sensible frente a la variación del punto de operación

(qt0, b11 y b13).

Tabla 8.9 Punto de funcionamiento de la turbina y parámetros del controlador correspondientes


qt0 1,000 0,685 1,333

b11 0,547 0,421 0,630

b13 0,777 0,876 0,597

k 40,2 20,1 73,0

Ti 2,41 4,38 1,30

Mediante la simulación en el Modelo completo de tres situaciones correspondientes a los

tres puntos de funcionamiento se comprueba si la calibración del controlador es

adecuada. En cada una de ellas se plantea el comportamiento del controlador con tres

posibles pares de parámetros correspondientes a la ZONA I, ZONA II y ZONA III.



Representando dichos pares de puntos en las zonas de estabilidad, Figura 8.34, es

posible prever si las ganancias del controlador PI calibradas para cada punto de

funcionamiento generan inestabilidades en otro rango de operación.

Figura 8.34 Situación de las ganancias del controlador correspondientes a cada zona de operación en las regiones de estabilidad

Inicialmente se comprueba en la Figura 8.34 que los tres puntos se encuentran dentro

de la región de estabilidad más restrictiva (ZONA II) por lo que no aparecerán

inestabilidades en ninguna simulación.

En la primera simulación se turbina el caudal nominal, en la siguiente un caudal inferior

y en la última un caudal superior al nominal. En todas ellas se plantea una disminución

brusca de caudal:


17,26 m3/s


12,72 m3/s


21,94 m3/s



A continuación, en la Figura 8.35, la Figura 8.36 y la Figura 8.37 se muestran los

resultados de la simulación en los tres casos.






Como se puede observar en las tres figuras correspondientes a cada situación, la

respuesta óptima de la central es aquella cuyo controlador se encuentra

adecuadamente calibrado para el régimen de funcionamiento.

Cuando el caudal del río es de 17,26 m3/s y se turbina el caudal nominal, Figura 8.35, el

punto de funcionamiento en la colina de rendimientos corresponde a la ZONA I. Si el

controlador opera con las componentes procedentes del criterio aplicado a la ZONA III

la respuesta de la central es estable pero presenta oscilaciones no aconsejables para el

buen funcionamiento del distribuidor. Mientras que si el controlador se rige por

parámetros adecuados para la ZONA II el sobrepaso y el tiempo de establecimiento de

la variable controlada, nivel de agua en el azud, son mayores que los obtenidos con el

calibrado propuesto.

En la situación en que la central opera con baja carga el caudal que circula por el río es

de 12,72 m3/s y se turbina 9,86 m3/s, Figura 8.36. En este caso, si los parámetros del

controlador son los propios de funcionamiento con caudales superiores al nominal

(ZONA III) la central presenta un comportamiento cercano a la inestabilidad. Se puede

comprobar que las ganancias representadas en la Figura 8.34 se encuentran cerca de la

curva que limita la región de estabilidad. La oscilación producida tiende a atenuarse



muy lentamente y este amortiguamiento apenas se aprecia en la figura. Si se

introducen en el controlador las componentes propias del punto de operación nominal,

ZONA I, el distribuidor realiza un recorrido poco conveniente, con oscilación. En cambio

si se utilizan k y Ti obtenidos mediante el criterio para la ZONA II la respuesta de la

central es adecuada.

Si la central opera cuando el caudal del río es de 21,94 m3/s se turbina 19,08 m3/s. En

esta situación el punto de funcionamiento corresponde a la ZONA III. Si en el

controlador se introducen los parámetros propios de otros puntos de funcionamiento no

se generan inestabilidades, pero el sobrepaso y el tiempo en que se alcanza el valor de

referencia, tanto en la variable controlada como en la posición del distribuidor son

notablemente superiores.

Analizadas las simulaciones puede concluirse que el criterio heurístico formulado

matemáticamente es adecuado para realizar un control adapatativo en la central. Según

el régimen del río y por tanto el punto de funcionamiento de la turbina se calculan las

componentes del controlador, k y Ti, que generan una respuesta estable más adecuada

para el buen funcionamiento del distribuidor.

En el modelo con vertedero también se desaconseja calibrar el controlador PI con un

único par de parámetros correspondientes a situaciones de alta carga porque cuando se

opera con caudales reducidos se pueden generar inestabilidades o comportamientos

perjudiciales para el distribuidor de la turbina.

Si no es posible realizar un control adaptativo se deben adoptar como k y Ti los

correspondientes a la situación de menor caudal. De este modo se asegura la

estabilidad de la central en cualquier punto de operación aunque el tiempo en alcanzar

el valor de referencia y el sobrepaso en la variable controlada sean mayores que los

obtenidos utilizando el control adaptativo.

8.8 COMPORTAMIENTO BAJO GRAN PERTURBACIÓN.

Al igual que en el capítulo anterior el criterio obtenido a partir del lugar de raíces

procede el Modelo lineal. Dicho modelo y el Modelo completo se comportan de forma

muy similar cuando se someten a una pequeña variación de las condiciones iniciales.

Por tanto, como se ha ilustrado mediante simulaciones a lo largo del presente capítulo,

el criterio heurístico establecido es correcto aplicándolo a la operación en pequeña

perturbación.



Pero en cierto tipo de centrales como aquellas que se encuentran aguas abajo de una

central de puntas, se puede producir sin que esto suponga una situación de emergencia

una variación brusca e importante del caudal del río producida por un cambio un inicio o

parada de dicha central.

Por tanto se opta por el estudio de la respuesta de la central frente a una variación

importante de las condiciones iniciales de equilibrio, gran perturbación. Dicha simulación

cosiste en una reducción en 100 s del 50% caudal nominal turbinado. De modo que el

caudal que circula por el río pasa de 17,26 a 10,06 m3/s en el tiempo establecido,

Figura 8.38.

0 500 1000 1500 2000 25009

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

tiempo (s)

caud

al (

m3 /s

)

Figura 8.38 Caudal del río, Situación de gran perturbación

La simulación propuesta permite establecer las diferencias entre el Modelo completo y el

Modelo lineal, que en gran perturbación debe ser notables. Posteriormente se utiliza

dicha simulación para comparar los resultados obtenidos a partir del criterio heurístico

con los que proporciona el Criterio de Ziegler – Nichols.

8.8.1 Comparación Modelo completo - Modelo lineal

A continuación se muestran los resultados obtenidos de la simulación planteada tanto

en el Modelo completo como en el Modelo lineal. Se han seleccionado para la obtención

de conclusiones la evolución del distribuidor, Figura 8.39, de la cota de agua en el azud,

Figura 8.40, y de la cota del agua en la chimenea de equilibrio, Figura 8.41.



0 500 1000 1500 2000 25004

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)


Figura 8.39 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo

0 500 1000 1500 2000 2500150.04

150.06

150.08

150.1

150.12

150.14

150.16

150.18

150.2

150.22

150.24

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)


Figura 8.40 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo



0 500 1000 1500 2000 2500148

148.5

149

149.5

150

150.5

tiempo (s)

niev

el e

n la

chi

men

ea (m

.s.n

.m)


Figura 8.41 Evolución temporal de la cota de agua en la chimenea de equilibrio, Situación de gran perturbación, Modelo lineal – Modelo completo

En el Modelo completo de central sin aliviadero, apartado 4.8.1, aparecían pequeñas

oscilaciones que el Modelo lineal no era capaz de simular. En este caso, dado que el

vertido en el azud atenúa las pequeñas oscilaciones, ambos modelos, completo y lineal

presentan resultados similares en el distribuidor y en azud. En cambio, la diferencia de

comportamiento de ambos modelos de la misma central se pone de manifiesto en la

Figura 8.41 donde se refleja la chimenea de equilibrio.

Así mismo aunque la dinámica del distribuidor sea similar los valores inicial, final y cierre

relativo son suficiente distintos como para asegurar que el Modelo lineal no refleja con

suficiente fidelidad el comportamiento dinámico de una central fluyente con aliviadero

en el azud sometida a gran perturbación de las condiciones iniciales de equilibrio..

8.8.2 Comparación Criterio heurístico - Criterio Ziegler – Nichols

En el Capítulo 6 se describe la modelación de la central fluyente con galería en presión y

chimenea de equilibrio mediante diagramas de bloques en el entorno de programación

MATLAB. Una vez elaborado el modelo, para comprobar su correcto funcionamiento, se

sintoniza el controlador PI de modo que se puedan realizar simulaciones. El criterio

utilizando para esta calibración inicial de las ganancias del controlador PI es el de

Ziegler-Nichols. Este criterio empírico, que ha servido como base para trabajos

posteriores, es el más utilizado en el campo industrial en la actualidad.



Para comprobar el comportamiento del controlador PI sintonizado por el criterio

heurístico establecido, bajo gran perturbación se compara con el controlador

sintonizado mediante el criterio de Ziegler-Nichols. Se realizan dos simulaciones y en

cada una de ellas las ganancias del controlador PI son las propuestas por cada uno de

los criterios comparados recogidas en la Tabla 8.10.

Tabla 8.10 Ganancias del controlador

Lugar de raíces Ziegler – Nichols

k 40,2 68,4

Ti 2,41 1,49

En las siguientes figuras se muestra la respuesta del sistema en ambas simulaciones a

partir de los dos criterios para la sintonización del controlador PI.

0 500 1000 1500 2000 2500150.04

150.06

150.08

150.1

150.12

150.14

150.16

150.18

150.2

150.22

150.24

tiempo (s)

cota

agu

a en

el a

zud

(m.s

.n.m

)

Criterio Lugar de raícesCriterio Ziegler-Nichols

Figura 8.42 Evolución temporal de la cota de agua en el azud, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols



0 500 1000 1500 2000 25004

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

tiempo (s)

posi

ción

dis

tribu

idor

(mm

)

Crietrio Ziegler-NicholsCriterio Lugar de raíces

Figura 8.43 Evolución temporal de posición del distribuidor, Situación de gran perturbación, Criterio Lugar de raíces – Criterio Ziegler – Nichols

Como puede apreciarse en la Figura 8.42 y la Figura 8.43, la respuesta de la central con

controlador PI calibrado mediante el criterio formulado a partir de la técnica del lugar de

raíces es más satisfactoria que la procedente de la calibración según Ziegler-Nichols. Por

un lado el sobrepaso es ligeramente superior en la respuesta del modelo con

controlador calibrado según el criterio del Lugar de raíces. El tiempo de establecimiento

de ambas respuestas es similar. Pero tanto en la posición del distribuidor como en el

nivel de agua en el azud se aprecia cierta oscilación en la simulación según el criterio de

Ziegler-Nichols. Esta oscilación no es adecuada para el correcto funcionamiento del


Como conclusión se puede resumir que la sintonización desarrollada según el criterio

basado en el Lugar de raíces es adapta mejor a las condiciones ideales de

funcionamiento de una minicentral fluyente tanto en pequeña como en gran

perturbación. Frente a los resultados obtenidos utilizando el criterio de Ziegler-Nichols el

tiempo de establecimiento es similar y a pesar de presentar un sobrepaso algo mayor la

ausencia de oscilación en la respuesta resulta definitiva para su elección.


CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES 9.1

CAPÍTULO 9 Aportaciones y conclusiones

9.1 RESUMEN DE LAS APORTACIONES ORIGINALES

En todo trabajo de investigación existe una base compuesta por los estudios previos

que versan sobre los mismos temas o relacionados, y que sirve como punto de inicio

para el desarrollo de la tesis. En el capítulo 2 se describen dichas bases compuestas por

las aportaciones de diferentes autores. Pero en muchos casos las hipótesis de partida y

trabajos iniciales se entretejen con las aportaciones del propio trabajo de tal forma que

se hace necesario, tras la exposición del trabajo desarrollado, el discernimiento de los

contenidos originales.


9.2 CAPÍTULO 9 APORTACIONES Y CONCLUSIONES

A continuación se describen las contribuciones que se desprenden de la presente tesis.

Se distingue de forma clara y concisa el trabajo inicial que las fundamenta y la evolución

que el estudio desarrollado representa.

9.1.1 Modelos de minicentrales fluyentes con control de nivel

Como se puede comprobar en el capítulo 2 la diferencia entre el número de modelos

desarrollados con anterioridad que presentan control de nivel frente a los que controlan

frecuencia y/o potencia es muy notable. El hecho de que el control de nivel se aplique

en unas condiciones muy concretas, como son la necesidad de reducir el volumen de

embalse o la combinación del uso hidroeléctrico con otros usos, produce que no haya

sido un tema de investigación muy difundido.

Uno de los objetivos de la presente tesis es la modelación de las tres tipologías más

comunes de minicentrales fluyentes: a pie de presa, en derivación con canal y cámara

de carga y en derivación con conducciones en presión y chimenea de equilibrio. Los

modelos anteriores al presente trabajo presentan diferentes limitaciones que en algunos

casos han sido superadas por los modelos planteados en la tesis.

El modelo más completo de central con control de nivel se muestra en el trabajo de

(Jiménez O.F. & Chaudry, 1992). Es el único modelo que refleja el comportamiento de

los elementos almacenadores y que incluye la chimenea de equilibrio, cuya dinámica es

importante en el control de nivel como se comprueba en los capítulos 7 y 8. La

limitación fundamental que presenta el modelo se localiza en el tratamiento que realiza

del comportamiento de la turbina. Para valorar la relación entre el caudal, la presión y la

posición del distribuidor se recurre a la fórmula de un desagüe que simplifica en exceso

dicha dinámica.

Muchos autores confirman que las denominadas colinas de rendimiento son las que

mejor reflejan el comportamiento de la turbina dado que normalmente se obtienen de

forma experimental. Pero en ninguna referencia bibliográfica se ha encontrado una

formulación que las represente a partir de las ecuaciones de conservación de la masa y

la cantidad de movimiento. En muchos casos se recurre a la hipotética linealización de

las expresiones que gobiernan la turbina alrededor de un punto de operación. A partir

de la modificación de coeficientes que varían con el punto de operación de la central se

adaptan las ecuaciones lineales para reflejar en cada caso el comportamiento de la

turbina. Esta representación de turbina ha sido la utilizada en los modelos de la

presente tesis lo que permite añadir el punto de operación de la central a las variables

que influyen en la actuación de la central así como de su estabilidad.



9.1.2 Modelo de central en derivación con canal incorporado

En todos los modelos de central consultados con anterioridad sólo existe un ejemplo en

el que se incluye la dinámica del canal cuando la tipología de central modelada

responde a la de central en derivación con canal en lámina libre y cámara de carga.

Este modelo es el reflejado en el trabajo de (Endo et al., 2000). Dicho modelo plantea

el control de nivel en la cámara de carga mediante un controlador únicamente

proporcional que abre y cierra la posición de la válvula situada en la embocadura de la

turbina de hélice sin distribuidor. La variable externa que modifica las condiciones de

equilibrio es el caudal en la embocadura del canal procedente del río. Por tanto, para

comprobar cómo influye la implantación de este tipo de controlador en la central, es

imprescindible incluir la dinámica del canal en el modelo.

El control de potencia-frecuencia exige la acción del distribuidor de la turbina y como se

ha comprobado en el capítulo 3 la modificación del caudal turbinado a través del

distribuidor no se transmite aguas arriba del canal en la mayor parte de los casos. A

esto se añade el hecho de que el horizonte temporal de las simulaciones cuando se

controla frecuencia-potencia es muy inferior a las constantes temporales del canal. Por

tanto las dinámicas del canal y del azud no intervienen en el control realizado por el

distribuidor lo que justifica su no inclusión en los modelos.

El modelo de central con canal mencionado incluye un modelo de canal basado en la

hipótesis de que un canal tiene un doble comportamiento: transporte de agua y

almacenamiento. Este enfoque es ampliamente utilizado siendo la base para el

desarrollo del método de Muskingum o del modelo planteado por (Schuurmans et al.,

1995). En este caso el canal se representa mediante un tanque y una conducción en

presión que representan el almacenamiento y el transporte de agua respectivamente.

La principal dificultad que presenta el modelo es la estimación de los parámetros que

precisa de la solución de las ecuaciones de Saint Venant mediante el método de las

diferencias finitas.

El modelo de central con canal presentado en esta tesis presenta una evolución del

modelo anterior en dos aspectos:

El modelo de canal utilizado, basado en el trabajo de (Litrico & Fromion, 2004),

mejora los modelos de transporte almacenamiento como se indica en el capítulo

2. Permite la determinación inmediata de los parámetros que lo conforman a

partir de los datos de diseño del canal



La variable externa que modifica el equilibrio es el caudal del río. Pero en este

caso se incorpora al modelo el azud que remansa el agua para la captación de

agua y la compuerta que comunica el azud con la embocadura del canal.

Durante las simulaciones realizadas la apertura de la compuerta permanece

constante dado que el control planteado no exige su accionamiento. Pero el

modelo plantea la posibilidad de variar la posición de dicha compuerta.

Por tanto, puede concluirse que el modelo de central con canal de derivación y cámara

de carga presentado en esta tesis simula el comportamiento hidráulico de la central

completa desde el azud hasta la propia turbina lo que supone una aportación original.

9.1.3 Regiones de estabilidad

En la teoría de control clásico, la utilización del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz,

empleado en esta tesis, es muy generalizada. En el estudio de estabilidad de centrales

con control de frecuencia-potencia la obtención de las regiones de estabilidad a partir

del criterio mencionado se usa para estudiar la influencia de diferentes parámetros en la

estabilidad de la central. Es un campo muy estudiado en el que no cabe apenas la

innovación.

En cambio, en el control de nivel, son pocos los estudios de la estabilidad de la central

que se encuentran en la literatura. La única referencia que trata con cierto detalle la

cuestión es el trabajo de (Jiménez O.F. & Chaudry, 1992). Frente a dicho estudio la

presente tesis evoluciona y mejora los siguientes aspectos:

El modelo de turbina utilizado en esta tesis para las tres tipologías de centrales

permite la distinción de diferentes puntos de operación durante las simulaciones.

Esto se hace posible mediante los coeficientes que caracterizan las ecuaciones

linealizadas de la turbina. La consideración de dichas ecuaciones en la obtención

del polinomio característico del sistema permite estudiar la influencia que tiene

el punto de operación de la central en la estabilidad de la misma, lo que supone

una aportación original.

El modelo no lineal de central planteado en (Jiménez O.F. & Chaudry, 1992)

incluye el vertido por el aliviadero en el azud de derivación pero cuando se

linealiza el sistema de ecuaciones para componer su matriz dinámica dicho

vertido se omite. En la linealización propuesta en esta tesis se contempla el

vertido de caudal por el aliviadero. Esto ciertamente modifica el modelo lineal.

Mediante la elaboración de las regiones de estabilidad se estudia en el capítulo 8



qué repercusiones tiene para el funcionamiento de la central verter agua por el

aliviadero cuando se controla el nivel en el azud.

Por tanto se puede concluir que la aportación de esta tesis en el estudio de la

estabilidad de la central es la consideración de su punto de operación así como del

vertido por el aliviadero.

9.1.4 Criterio de sintonía para el controlador PI

En este aspecto de nuevo la literatura en muy rica en ejemplos cuando se controla

frecuencia-potencia como se comprueba en el capítulo 2. En (Wozniak, 1991) se utiliza

la técnica del lugar de raíces como medio para establecer un criterio de sintonía para el

controlador PI. Así mismo la determinación de los polos en el plano complejo para

identificar fenómenos oscilatorios en la dinámica de la central es una práctica habitual.

La cuestión es distinta cuando se plantea el control de nivel en el azud o la cámara de

carga. No se ha encontrado ninguna referencia que plantee un criterio para la

calibración del controlador PI. Lo más parecido a este hito se encuentra en (Jiménez

O.F. & Chaudry, 1992) donde se recomienda la sintonía de las ganancias del controlador

de tal forma que el punto de funcionamiento se encuentre dentro de una zona

delimitada dentro de las regiones de estabilidad.

Otra faceta en la que esta tesis se muestra novedosa es en la obtención del criterio de

sintonía. Cuando se plantea la utilización del lugar de raíces para establecer un criterio,

independientemente del control que se realice, normalmente se identifica el sistema

estudiado con un sistema de segundo orden cuyo comportamiento es conocido. Esta

simplificación se basa en que los polos situados más cerca del eje real son los que en

muchos casos determinan la dinámica de la misma, mientras que las oscilaciones

asociadas a los polos más alejados se atenúan rápidamente. El estudio de los lugares de

raíces obtenidos en esta tesis contempla la influencia de las dos parejas de polos en el

sistema de cuarto orden y de la pareja de polos y el polo independiente sobre el eje real

cuando el sistema es de tercer orden. Mediante simulaciones se observan los modos de

oscilación asociados a cada pareja de polos. La respuesta del sistema se identifica como

la respuesta conjunta de dos sistemas de segundo orden o como la de un sistema de

segundo orden más un polo en el eje real. La determinación del criterio se basa en el

análisis y la mejora de la respuesta compuesta teniendo en cuenta todas las

oscilaciones que la conforman lo que supone una mejora de la técnica empleada

anteriormente.



9.2 CONCLUSIONES

A continuación se muestran las conclusiones que se desprenden de los trabajos

expuestos en la presente tesis.

9.2.1 Modelos de central

En los capítulos 3, 4 y 6 se describen los modelos planteados para simular la central con

canal y cámara de carga, la central a pie de presa y la central con galería en presión y

chimenea de equilibrio. En los tres casos se comprueba el comportamiento del modelo

aplicándolo a una central. Mediante simulaciones se observa la evolución temporal de

los diferentes componentes de cada central, prestando especial interés a la variable

controlada (nivel de agua) y a la acción controladora (movimiento del distribuidor). De

la elaboración de los modelos y de los resultados de las simulaciones se puede concluir

que:

La dinámica de una central que controla nivel en un depósito, ya sea la cámara

de carga o el azud, es mucho más lenta que cuando se plantea el control de

potencia o frecuencia. Las constantes temporales de los elementos

almacenadores son las que determinan la frecuencia de las oscilaciones y por

tanto la celeridad de la respuesta de la central. Obviamente, a igualdad de

ganancias del controlador PI, cuanto menor sea la superficie del depósito, más

rápido será el control. Por tanto la acción de control en la central con cámara de

carga es más leve que en los otros dos casos.

Los modelos lineales obtenidos a partir de los modelos originales, bajo pequeña

perturbación, se comportan de forma muy similar a los no lineales. En el caso de

la central con galería en presión y chimenea de equilibrio las diferencias son

mayores a causa del término cuadrático de las pérdidas en la galería. La

semejanza entre modelos posibilita que los resultados obtenidos referentes a la

estabilidad sean extrapolables al modelo no lineal.

Cuando el canal presenta dos tramos diferenciados, es decir el remanso no

ocupa toda la longitud del canal, la variación del caudal o del nivel en la

desembocadura del mismo no se manifiesta aguas arriba. Este es el caso del

canal estudiado en la presente tesis. Cuando se modifica la posición del

distribuidor varía el nivel en la cámara de carga y esto provoca una desviación

de la longitud del remanso. Pero en ningún caso, si éste no ocupa todo el canal,

esto supone una variación del nivel o del caudal en la embocadura del canal. Por

tanto, mediante el movimiento del distribuidor no es posible mantener el nivel



del agua en el azud constante. Como alternativa se plantea el control de nivel en

la cámara de carga. Existiría la posibilidad de controlar nivel en el azud

accionando la compuerta situada en la embocadura del canal pero el estudio y el

diseño de este control se encuentra fuera del alcance de la presente tesis.

En el apéndice C se incluyen las simulaciones comparadas entre el modelo de

canal con función de transferencia utilizado en el modelo de central y el canal

simulado mediante MIKE11. De los resultados obtenidos se puede concluir que el

modelo procedente de linealización de las ecuaciones de Saint Venant

compuesto por una función de transferencia se comporta adecuadamente. Como

segunda conclusión se observa que cuando el número de Froude del canal en el

tramo uniforme es elevado, los modelos se aproximan mucho mientras que

cuando el valor adimensional se reduce existe un desfase en la respuesta de

ambos modelos.

9.2.2 Estudio de la estabilidad

9.2.2.a Central en derivación con canal y central a pie de presa

A lo largo del capítulo 5 se ha estudiado la estabilidad de la central fluyente con canal

de derivación y cámara de carga y de la central fluyente a pie de presa. Ambas

tipologías de central disponen de un controlador PI que mantiene constante el nivel del

agua en el elemento almacenador situado aguas arriba de la tubería forzada, la cámara

de carga o el azud de derivación en cada caso. Como conclusiones puede resumirse:

Según se observa en la obtención de la región de estabilidad, las dimensiones

del elemento almacenador, la cámara de carga o del azud, no influyen en la

estabilidad de la minicentral. Esto se comprueba fácilmente al observar que la

región de estabilidad de ambas centrales es idéntica ya que en su formulación

no aparece ningún término que dependa de la superficie de la cámara o del

azud.

Las regiones de estabilidad, que a igualdad de tubería forzada y turbina, resultan

las mismas para las dos tipologías de minicentral, se determinan a partir de las

dimensiones y el material de la tubería forzada y del punto de operación de la

turbina. Cuanto mayor sea la longitud de la tubería forzada, menor es la

estabilidad de la central.

Si se modifica el punto de operación de la central, la región de estabilidad varía

ampliándose conforme se reduce la carga. La central, en ambos casos, se



muestra más estable cuando se reduce la carga, es decir cuanto menor es el

caudal turbinado.

Mediante el lugar de raíces obtenido a partir de la matriz dinámica del modelo

lineal se identifican las oscilaciones que aparecen en las simulaciones con la

posición de los polos en el plano complejo. Se comprueba cómo influye en la

respuesta de la central la variación de las ganancias del controlador y cómo esa

respuesta coincide con lo anticipado por el lugar de raíces. Dicha técnica, por

tanto, permite establecer un criterio heurístico para la sintonización del

controlador PI. Se seleccionan los valores para las ganancias que ubican los

polos en posiciones que mejoran la repuesta de la central reduciendo la

oscilación y el tiempo de establecimiento.

El criterio obtenido permite sintonizar adecuadamente el controlador PI según se

observa en las simulaciones. La variación del punto de operación de la central

implica la diferente sintonía de las ganancias. Pero se comprueba que si se

mantiene constante el controlador y se modifica el punto de funcionamiento de

la central no se produce la inestabilidad de la central en ningún caso. La

respuesta en estos casos es aceptable. Por tanto, cuando se controla nivel en la

cámara de carga o en el azud en una central a pie de presa, se puede simplificar

el control ajustando el controlador en el punto nominal mediante el criterio

enunciado y manteniendo las ganancias constantes en todo el rango de

funcionamiento de la central.

A igualdad de ganancias del controlador PI, la dinámica de la central a pie de

presa resulta más lenta que la de la central con cámara de carga. En cambio, si

se sintoniza el controlador de cada central de acuerdo con el criterio heurístico

obtenido a partir del lugar de raíces, las dinámicas de ambas centrales son muy

similares a pesar de la diferencia de superficies entre azud y cámara de carga.

Esto se debe a que la acción de control en la central a pie de presa es mucho

más acusada siendo el valor de las ganancias muy elevado.

En el caso de la central a pie de presa, si se sintoniza el controlador PI mediante

el criterio heurístico, la variación del nivel en el azud es muy pequeña. Esto

puede ser incompatible con la precisión del sensor de nivel situado en el azud y

con la banda muerta dentro de la cual no se ejerce ningún movimiento del

distribuidor. En cualquier caso el control de nivel de un azud de gran superficie

conduce a un control muy estable en el que se simplifica notablemente la

elección de las ganancias del controlador PI. El criterio establecido puede dotar



de valores de referencia que se adecuen a la precisión del sensor y a la amplitud

de la banda muerta.

El controlador sintonizado con las ganancias obtenidas del criterio heurístico

proporciona una respuesta estable y adecuada tanto en pequeña como en gran

perturbación de las condiciones iniciales de equilibrio en ambas centrales.

9.2.2.b Central en derivación con conducciones en presión

En el capítulo 7 se ha estudiado la estabilidad de un sistema que representa la central

fluyente con galería en presión, chimenea de equilibrio y con un controlador PI cuyo

objetivo es mantener constante el nivel de agua en el azud. Las conclusiones que se

desprenden del trabajo expuesto en el capítulo se muestran a continuación.

Las dimensiones de los elementos almacenadores (chimenea de equilibrio y azud

de derivación) intervienen en la estabilidad del sistema. Lógicamente cuánto

menor es la sección de la chimenea de equilibrio y de la superficie del azud

menor es la estabilidad que presenta la central. Es interesante destacar que la

central es estable cuando el área de la chimenea de equilibrio es menor que la

recomendada por Thoma para asegurar la estabilidad del control de frecuencia-

potencia. Por tanto, puede confirmarse que el control de nivel es más estable

frente al control de frecuencia-potencia realizado normalmente. Esto se explica

parcialmente a partir del hecho de que la variación del nivel en el azud,

ocasionada por la modificación del caudal del río, es más suave y fácilmente

controlable que la velocidad de giro de la turbina.

La longitud y la rugosidad de la conducción principal, la galería en presión,

también influye en la estabilidad de la central. Conforme aumenta la longitud de

la conducción disminuye la posibilidad de sintonizar el controlador PI asegurando


El punto de funcionamiento de la turbina, es decir la posición del distribuidor y el

caudal turbinado, influyen en la estabilidad de la central. Según se observa en

las regiones de estabilidad cuando se reduce la carga la estabilidad de la central

disminuye. Esto supone un comportamiento inverso al de las tipologías de

centrales anteriores.

Si se comparan la región de estabilidad de la central en derivación en presión

con la región obtenida para las centrales a pie de presa y en derivación con

canal se observa que la estabilidad de la central en presión es mucho menor que



la de las otras. Mediante simulaciones se comprueba que existen diferentes

sintonías del controlador PI que asegurando una respuesta estable en los

modelos a pie de presa o con canal producen un comportamiento inestable en la

central con galería y chimenea.

El sistema lineal de cuarto orden que representa la central permite la obtención

del lugar de raíces de cada ganancia del controlador. Mediante las simulaciones

se identifican en la respuesta los dos modos de oscilación representados en el

lugar de raíces por la posición de las dos parejas de polos conjugados

resultantes de un sistema de cuarto orden. Se ha elaborado un criterio

heurístico, basado en el lugar de raíces, cuya formulación proporciona un medio

para sintonizar el controlador PI. El criterio se basa en seleccionar las ganancias

que sitúan los polos de tal forma que se reduzca la oscilación de la respuesta y

su tiempo de establecimiento.

La sintonía del controlador depende, entre otros factores, del punto de

operación de la central. Tanto en las regiones de estabilidad como en las

simulaciones se comprueba que cuando se mantienen constantes las ganancias

del controlador y se modifica el punto de funcionamiento de la central en el

mejor de los casos la respuesta empeora considerablemente y en muchos casos

se vuelve inestable. Como solución ante este problema se recomienda el control

adaptativo que permite variar las ganancias del controlador conforme lo hacen

las condiciones de operación de la central. Su aplicación se considera fuera del

alcance de la presente tesis. Si no fuera posible la implantación del control

adaptativo se recomienda, para asegurar la estabilidad de la central, sintonizar

mediante el criterio heurístico, el controlador en la situación pésima. En el caso

de la central en derivación en presión esto supone plantear el punto de

operación con menor carga o caudal. Esta solución implica que la respuesta de

la central para otro punto de operación puede no ser satisfactoria.

Se comprueba que las ganancias procedentes de la calibración mediante criterio

heurístico aseguran una respuesta de la central estable y adecuada tanto en

pequeña como en gran perturbación.

9.2.2.c Central en derivación con conducciones en presión y vertido en

el azud

En el capítulo 8 se han estudiado las repercusiones en la estabilidad de la central

fluyente con galería en presión que implica la inclusión de un aliviadero en el azud de



derivación que permita verter un caudal. De esta forma se asegura el agua en el cauce

del río entre el azud y la zona de descarga manteniendo constante el nivel en el azud.

Las conclusiones que se desprenden del estudio de estabilidad de la central tras añadir

en el modelo la dinámica del aliviadero se muestran a continuación.

El aliviadero mejora la estabilidad del sistema; cuanto mayor sea el caudal

desaguado por el aliviadero más estable resulta la central y mejor es la

respuesta frente a la variación del caudal procedente del río. Esto se demuestra

a partir de las regiones de estabilidad y de las simulaciones en las que se

observa que una misma sintonía de ganancias del controlador produce

inestabilidad en el modelo sin aliviadero mientras que el modelo con vertido se

muestra estable.

Se aplica la misma metodología que en los casos anteriores utilizando el lugar de

raíces de las ganancias para su sintonía obteniéndose un criterio similar a los

precedentes. Se comprueba la sintonía mediante el criterio heurístico asegura

una respuesta de la central estable y adecuada tanto en pequeña como en gran

perturbación.

9.3 PUBLICACIONES

Los trabajos expuestos en la presente tesis han dado lugar a varias publicaciones. Los

resultados y conclusiones obtenidos a partir del modelo de central con galería en

presión y chimenea de equilibrio se recogen en:

Sarasúa, J. I.; Wilhelmi, J. R.; Fraile-Ardanuy, J.; Pérez, J. I., and Sánchez, J. A. Control de una

minicentral fluyente. XXVII Jornadas de Automática; Almería. 6-9 Septiembre;

2006.

Sarasúa, J. I.; Wilhelmi, J. R.; Fraile-Ardanuy, J.; Pérez, J. I., and Sánchez, J. A. Control of a run

of river small hydro power plant. First International Conference on Power

Engineering, Energy and Electrical Drives; Setúbal (Portugal) . 12-14 Abril; 2007.

Por otro lado el control de nivel mediante la velocidad variable se expone en:

Sánchez, J. A.; Sarasúa, J. I.; Pérez, J. I.; Fraile-Ardanuy, J.; Fraile-Mora, J.; García-Gutiérrez, P.,

and Wilhelmi, J. R. Variable speed operation and control of low-head run of river

small hydro power plant . HYDRO 2007; Granada (Espańa). 15-17 Octubre; 2007.



9.4 FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN

A lo largo de la exposición de esta tesis se han planteado simplificaciones, hipótesis y

reducciones del problema planteado con objeto de poder obtener resultados concretos.

A pesar de que tales simplificaciones se han justificado y de que no anulan las

conclusiones que se derivan de los resultados, es interesante el planteamiento de

futuros estudios que amplíen, completen y mejoren lo realizado hasta el momento. De

esta forma se ampliaría el rango de aplicación de las aportaciones del estudio. A

continuación se exponen las posibles líneas de investigación propuestas como

continuación y desarrollo de los trabajos abordados en la presenta tesis:

El modelo planteado en las tres tipologías de central fluyente se concibe para ser

aplicado durante el funcionamiento nominal de las centrales. Esto implica que se

esperan pequeñas variaciones de las condiciones iniciales de equilibrio. En este

ámbito puede considerarse que los modelos desarrollados son adecuados. Pero

es interesante ampliar las posibilidades del modelo para poder simular cualquier

situación que se plantee durante la vida de la central. Los modelos actuales no

pueden simular fenómenos como el disparo de un grupo, su puesta en marcha o

la operación en isla de la central. En estos casos se hace necesario incluir

fenómenos que durante la operación normal de la central son despreciables pero

que cuando se producen variaciones pronunciadas e instantáneas del caudal o la

presión toman relevancia. Tales fenómenos son:

o el comportamiento elástico del agua y de las conducciones en presión,

sobre todo la tubería forzada,

o el acoplamiento de los grupos que son alimentados por una misma

tubería forzada;

También es conveniente incluir las dinámicas de ciertos elementos que en los

modelos actuales se han omitido:

o servo que acciona el distribuidor de la turbina a partir de la señal

elaborada por el controlador,

o inercia del rotor de la turbina;

Una mejora sustancial que los tres modelos precisan para la simulación de las

situaciones planteadas anteriormente es la sustitución del modelo lineal de

turbina con coeficientes variables por un modelo no lineal. Las nuevas técnicas



de la lógica difusa y las redes neuronales parecen una buena herramienta para

poder acometer tal reto. Partiendo de las colinas de rendimiento de la turbina es

posible la determinación de un patrón de comportamiento de la turbina en cada

situación. Con este patrón se programa el entrenamiento de la red neuronal a

partir de múltiples situaciones.

Según se observa en las simulaciones cuando se sintoniza el controlador PI del

modelo de central a pie de presa según el criterio establecido la variación del

nivel en el azud puede resultar excesivamente pequeña. Se hace necesario

completar el estudio considerando la banda muerta, es decir, teniendo en cuenta

el intervalo de cotas entre las que el controlador no produce un movimiento del

distribuidor.

El controlador es otro de los aspectos en los que se puede plantear un desarrollo

que amplíe sus prestaciones y su robustez. Existen varias opciones para

modificar el controlador común a los tres modelos de minicentral:

o La posibilidad más inmediata es completar la acción del clásico PI con la

acción derivativa. De esta forma se mejora el control de la central

cuando se prevén grandes perturbaciones de las condiciones iniciales de

equilibrio.

o Otra opción para su mejora es la aplicación de las teorías del control

óptimo o del control robusto.

o A partir de los resultados obtenidos en la presente tesis que demuestran

que el punto de operación de la central modifica la sintonía del

controlador PI es interesante aplicar el control adaptativo. Las ganancias

del controlador se adecuan a las condiciones de funcionamiento de la

central.

o Finalmente se puede plantear el diseño de un controlador basado en las

nuevas técnicas como la inteligencia artificial, las redes neuronales o la

lógica difusa o borrosa.

Una de las conclusiones que se desprenden del modelo de central en derivación

con canal es que no es posible mantener el nivel del agua en el azud constante a

partir del movimiento del distribuidor. Se plantea entonces el control del nivel en

la cámara de carga. Es interesante programar el control conjunto de los niveles

en la cámara de carga y el azud de derivación a través del accionamiento del



distribuidor y de la compuerta situada en la embocadura del canal de forma

simultánea. Con este planteamiento la dinámica del canal sí influiría en el control

de la central y por tanto en el estudio de su estabilidad. Se abre, por tanto, un

campo amplio y atrayente de investigación en este ámbito.

Por último el trabajo que completa, confirma y otorga mayor rigor científico a los

resultados y conclusiones que se desprenden de la presente tesis es la

simulación en una minicentral fluyente real con control de nivel en el azud de

derivación. Mediante las simulaciones y la obtención de medidas se plantean dos

objetivos:

o Calibrar y corroborar la idoneidad de los modelos de central desarrollados

en esta tesis.

o Aplicar las conclusiones que se desprenden de las regiones de estabilidad

o Comprobar que el criterio de sintonía elaborado permite la obtención de

los resultados esperados.


BIBLIOGRAFÍA BIB.1

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APÉNDICE A A.1

APÉNDICE A Obtención de las ecuaciones de Saint-Venant

A.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

El fluido de densidad constante circula por un cauce en lámina libre entre dos secciones

A y B separadas por dx.

La masa de fluido que entra por la sección A en un intervalo de tiempo dt puede

escribirse como:

dtAVdtQ ⋅⋅⋅=⋅⋅ ρρ (A. 1)


A.2 APÉNDICE A

donde:

A = área de la sección (m2)

Q = caudal (m3/s)

V = velocidad media del fluido en la sección (m/s)

ρ = densidad del fluido (kg/m3)

La masa de agua que sale por la sección B resulta:

dtdxx

VAdtAVdtdxxQdtQ ⋅

∂∂

+⋅⋅⋅=⋅∂∂

+⋅⋅ ρρρρ (A. 2)

El volumen de fluido almacenado en el elemento comprendido entre las dos secciones:

( ) dtdxtAdt

tdxA

⋅∂∂

=∂⋅⋅∂ ρρ

(A. 3)

El balance másico será:

Fluido entrante – Fluido saliente = Volumen almacenado

dtdxtAdtdx

xVAdtAVdtAV ⋅

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ ρρρρ (A. 4)

dtdxtAdtdx

xVA

⋅∂∂

=⋅∂∂

− ρρ (A. 5)

tA

xQ

xVA

∂∂

=∂∂

−=∂∂

− (A. 6)

0=∂∂

+∂∂

tA

xQ

(A. 7)

Si existe un caudal lateral ql que entra por unidad de ancho la ecuación de continuidad

se puede escribir:

lqtA

xQ

=∂∂

+∂∂

(A. 8)

El área de la sección es función no sólo del tiempo sino también del calado del agua en

cada momento. Por tanto:


APÉNDICE A A.3

tY

YA

tYA

∂∂

∂∂

=∂

∂ )( (A. 9)

En una sección:

TYYAYYAA ⋅Δ=−Δ+=Δ )()( (A. 10)

por lo que:

)(YTYA=

∂∂

(A. 11)

siendo T(Y) el ancho de la sección, de modo que:

tYYT

tYA

∂∂

=∂

∂ )()( (A. 12)

quedando finalmente la ecuación de continuidad de la siguiente forma:

lqtYT

xQ

=∂∂

+∂∂

(A. 13)

A.2 ECUACIÓN DE LA DINÁMICA O DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Para la obtención de la ecuación dinámica se parte del teorema de Bernouilli que sigue

la siguiente formulación:

01=+

∂∂

+∂∂ I

tV

gxH

(A. 14)

siendo S las pérdidas de energía por unidad de longitud y H el conocido como trinomio

de Bernouilli o carga hidráulica que descompuesto resulta:

gVPhH2

2

++=γ

(A. 15)

donde:

h = altura del punto del fluido (m)

P = Presión en el punto del fluido (kg/ms2)

γ = Peso específico del fluido (kg/m2s2)


A.4 APÉNDICE A

V = velocidad en el punto del fluido (m/s)

g = aceleración de la gravedad (m/s2)

Si el movimiento es gradual las líneas de corriente son casi paralelas y puede suponerse

en AB:

ctePh =+γ

(A. 16)

y tomando el valor del punto B:

θγ

cosYzctePh +==+ (A. 17)

donde:

z = cota del lecho (m)

Y = calado en la sección (m)

Introduciendo la cara hidráulica H descompuesta en el trinomio en el teorema de

Bernouilli y suponiendo que la velocidad del fluido es uniforme en toda la sección

resulta:

012

cos2

=+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂ I

tV

ggVYz

xθ (A. 18)

( ) 01cos=+

∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂ I

tV

gxV

gV

xY

xz θ

(A. 19)

El ángulo θ representa la pendiente de la solera I, siendo éste muy pequeño, luego

puede decirse:

Sxz

−=∂∂

(A. 20)

1coslim 0 =→ θθ (A. 21)

por lo que la ecuación queda:

01=+−

∂∂

+∂∂

+∂∂ IS

tV

gxV

gV

xy

(A. 22)


APÉNDICE A A.5

Introduciendo el cambio Q/A = V

( ) ( ) 01=+−

∂∂

+∂

∂+

∂∂ IS

tAQ

gxAQ

AgQ

xy

(A. 23)

Las derivadas parciales de cada término resultan:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

=∂

∂xYT

xA

AQ

AxQ

xAQ *

2

1 (A. 24)

( )tA

AQ

AtQ

tAQ

∂∂

−∂∂

=∂

∂2

1 (A. 25)

Si aplicamos la ecuación de continuidad suponiendo que no hay aportaciones ni

derivaciones laterales (47) la última derivada se puede expresar:

xQ

AQ

AtQ

xQ

AQ

AtQ

tA

AQ

AtQ

∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−∂∂

=∂∂

−∂∂

222

111 (A. 26)

Sustituyendo las dos derivadas parciales en la ecuación (63) ésta resulta:

01112

*2 =+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂ IS

xQ

AQ

AtQ

gxYT

xA

AQ

AxQ

AgQ

xY

(A. 27)

0123

2*

3

2

2 =+−∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂ IS

xQ

gAQ

tQ

gSxY

gATQ

xA

gAQ

xQ

gAQ

xY

(A. 28)

0123

2*

3

2

2 =+−∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

+∂∂ IS

tQ

gSxY

gATQ

xA

gAQ

xQ

gAQ

xY

(A. 29)

Si la geometría del cauce no varía a lo largo del recorrido del canal puede decirse que:

0* =∂∂

xA

(A. 30)

Para cuantificar las pérdidas de energía por unidad de longitud se utiliza la fórmula de

Manning:

342

22

34

22

RAnQ

RnV

I cc == (A. 31)

Además, sabiendo que la celeridad de la onda en el cauce, c, se obtiene mediante la

expresión:


A.6 APÉNDICE A

TAgc =2 (A. 32)

y que el número de Froud, Fr, relaciona la velocidad del fluido y la celeridad mediante la

relación:

2

22

cVFr = (A. 33)

se puede realizar la siguiente simplificación:

xYFr

xY

cV

xY

AgTV

xY

gATQ

∂∂

−=∂∂

−=∂∂

−=∂∂

− 22

22

3

2

(A. 34)

Lo que deja la ecuación de la dinámica en la expresión más conocida:

( ) 0121 342

22

22 =−+

∂∂

+∂∂

+−∂∂ S

RAnQ

tQ

gSxQ

gAQFr

xY

(A. 35)

Para poder realizar la linealización de las ecuaciones siguiendo las indicaciones de

Schuurmans y Litrico se multiplica toda la ecuación por g·A y se reordena de la

siguiente forma:

0234

22

2

2

=−+∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂ gAS

ARgnQ

tQ

xQ

AQ

cVgA

xYgA

xY

(A. 36)

0234

22

2

2

=−+∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂ gAS

ARgnQ

tQ

xQ

AQ

AgATQgA

xYgA

xY

(A. 37)

02 34

22

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂ A

xYSg

ARgnQ

xYT

AQ

xQ

AQ

tQ

(A. 38)


APÉNDICE B B.1

APÉNDICE B Linealización de las ecuaciones de Saint-Venant

B.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Se parte de la ecuación inicial válida para todas las condiciones:

0=∂∂

+∂∂

tYT

xQ

(B. 1)

Se linealiza alrededor de un punto estable que sufre pequeñas perturbaciones:

*0 qQQ += (B. 2)

*0 yYY += (B. 3)


B.2 APÉNDICE B

En el punto inicial de régimen estable:

000 =∂∂

+∂∂

tY

Tx

Q (B. 4)

( ) ( )t

yTx

qt

YT

xQ

tyY

Tx

qQtYT

xQ

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂+∂

+∂+∂

=∂∂

+∂∂ **** 0000 (B. 5)

con lo que la ecuación linealizada queda:

0**=

∂∂

+∂∂

tyT

xq

(B. 6)

B.2 ECUACIÓN DE LA ENERGÍA O DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Al igual que en la ecuación de continuidad se parte de la ecuación deducida en el

Apéndice A.

02 34

22

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+∂∂ A

xYSg

ARgnQ

xYT

AQ

xQ

AQ

tQ c (B. 7)

Se linealiza alrededor de un punto estable que sufre pequeñas perturbaciones:

*0 qQQ += (B. 8)

*0 yYY += (B. 9)

En el punto de partida con régimen estable se cumple:

000

3400

2200

020

20 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

− AxY

SgRA

gnQxY

TAQ c (B. 10)

Para facilitar el desarrollo de las ecuaciones posteriores se aplica el siguiente cambio:

SxY

r ∂∂

=

0

(B. 11)

De modo que la ecuación del equilibrio estable (88) queda:

( ) ( ) 01 03400

220

020

20 =−−+− ArgS

RAgnQ

rSTAQ c (B. 12)


APÉNDICE B B.3

Se procede a linealizar la ecuación término a término:

1er Término

( )t

qt

qQtQ

∂∂

=∂+∂

=∂∂ **0 (B. 13)

20 Término

( ) ( )

( ) ( )x

qAQ

xqQ

yAT

AqQ

xqQ

yyTAyA

qQxQ

AQ

∂∂

=∂+∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=∂+∂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂

∂++=

∂∂

*2*

*1*2

**

*11*22

0

0020

0

00

0

0000

(B. 14)

3er Término

( )( )

( )

( )

*2

*2

*2

*2

*

**21*2

***

*11*

30

20

200

20

20

020

002

0

20

020

20

020

00030

20

2000

20

20

020

200

020

20

0003

0

020

020

0002

0020

202

2

ySrA

TQxT

AQ

qSrTAQ

xyT

AQ

SrTAQ

qxY

ATQ

yxY

ATQ

yxY

yT

AQ

xyT

AQ

xY

TAQ

xy

xY

yyT

TyAT

AqQQ

xyY

yyT

TyyTAyA

qQxYT

AQ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−⋅−∂∂

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

=∂+∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+∂∂

++−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−

( B. 15)

40 Término

( )

( )

*34*

2

*34*

2

*2

**34

*3

41*12

*11**

11*

037

00

220

340

20

022

034

00

20

3400

220

037

00

220

340

20

022

034

00

20

3400

220

3400

20

340

20

022

0037

00

220

3400

220

037

034

020

0

0

20

20

340

340000

22034

22

yy

RRA

gnQRA

gTnQq

RAgnQ

RAgnQ

yy

RRA

gnQRA

gTnQq

RAgnQ

RAgnQ

qRA

gnQy

RAgTnQ

yy

RRA

gnQRA

gnQ

yy

RRR

yAT

AgnqQQ

yRyR

yyTAyA

gnqQAR

gnQ

cccc

cccc

cccc

c

cc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−−++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−−++

=+−∂∂

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂

∂++=

(B. 16)


B.4 APÉNDICE B

50 Término

( ) ( )

( )

( ) ( ) *11

**

*

***

000

00000

000

000

0

yrgSTxygAArgS

ygSrTygSTxygAgSrAgSA

yTAxy

xY

Sg

yy

yTAA

xyY

SgAxYSg

−+∂∂

+−−

=+−∂∂

++−

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂+∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂+∂

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−−

(B. 17)

Juntando todos los sumandos de la ecuación linealizada:

( )

( ) 0*1

*1*34

*22

*2*2*

0

000

3700

220

340

20

022

0

3400

20

3400

220

30

20

200

20

20

020

002

0

20

020

20

0

0

=−

+∂∂

+−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−−+

+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−

−⋅−∂∂

−−∂∂

+∂∂

yrgST

xygAArgSy

yR

RAgnQ

RAgTnQ

qRA

gnQRA

gnQySr

ATQ

xT

AQ

qSrTAQ

xyT

AQ

SrTAQ

xq

AQ

tq

cc

cc

(B. 18)

Si se agrupan los términos resulta:

( )

( )0*

134

2

*22

**2*

1

00

3700

220

340

20

022

030

20

200

20

20

3400

20

020

0

020

20

00

0

03400

220

020

20

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+∂∂

+

++−∂∂

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+∂∂

+−−+−

yrgST

yR

RAgnQ

RAgTnQ

SrA

TQxT

AQ

qRA

gnQSrT

AQ

xyT

AQ

gAx

qAQ

tq

ArgSRA

gnQSrT

AQ

c

c

c

(B. 19)

Teniendo en cuenta las condiciones del régimen permanente la ecuación resulta:


APÉNDICE B B.5

( )0*

134

2

*22

**2*

00

3700

220

340

20

022

030

20

200

20

20

3400

20

020

0

020

20

00

0

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+∂∂

+

++−∂∂

−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+∂∂

yrgST

yR

RAgnQ

RAgTnQ

SrA

TQxT

AQ

qRA

gnQSrT

AQ

xyT

AQ

gAx

qAQ

tq

c

c

c (B. 20)

A continuación se desarrollan por separado los diferentes sumandos:

Término en xy∂∂

:

( )x

yTVcx

yTAQ

TTgA

xyT

AQ

gA∂∂

−=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

***0

20

202

0

20

00

002

0

20

0 (B. 21)

Término en q:

( ) *2*22*

22

*22*

22

*22

*22

02

000

020

00

02

20

0

0

0

0

02

0

00

00

0

0

0

034

020

220

00

034

00

20

020

0

qISrFrV

gqVgI

SrFrV

gqVgI

SrcV

Vg

qVgI

SrgA

TVV

gqVgI

SrTAV

qQA

RAnQ

gSrTAV

qRA

gnQSrT

AQ

−⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

( B. 22)

Si el flujo es uniformemente progresivo en un canal prismático puede asegurase (Chow,

1994):

20

0

020

20

00

11 FrSI

TgAQSI

xY

−−

=−

−=

∂∂

(B. 23)

de lo que puede deducirse:

SrFrSI

=−−

20

0

1 (B. 24)

( ) ( )[ ]20

200 111 FrrSFrSrSI −−=−−= (B. 25)

Introduciendo esto en el término en q*:


B.6 APÉNDICE B

( ) ( )[ ]{ }

( ) ( ) *12*12

*112*2

0

20

20

0

20

20

00

20

0

qrVgSqrFrrrFr

VgS

qFrrSSrFrV

gqISrFrV

g

−=−+−⋅−

=−−−⋅−=−⋅−

(B. 26)

Término en y:

( )

( )

( )

( ) *1342

*1342

*1342

*1342

00

0

00000

200

020

20

00

00

0000002

20

00

20

20

00

0

034

020

220

000

02

00

020

20

00

3700

220

340

20

022

030

20

200

20

20

yrSTy

RTP

TIITSrFrTgxT

AQ

yrgSTy

RAT

PgTAIIgT

cV

SrgTxT

AQ

yrgSTy

RR

gARAnQ

IgTgATV

SrgTxT

AQ

yrgSTy

RRA

gnQRA

gTnQSr

ATQ

xT

AQ

c

cc

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

++−+∂∂

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

++−∂∂

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

++−∂∂

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

++−∂∂

−

(B. 27)

Para facilitar la simplificación de la expresión se realiza el cambio:

χ=∂∂

yR

TP 0

0

0

34

(B. 28)

y sustituyendo S0 por lo obtenido anteriormente el término en y resulta:

( )[ ] ( )[ ] ( )( )

( ) ( )[ ] ( )( )

( )[ ]( )

( ) *22

*11222

*111112

*111112

20

200

020

20

20

20

200

020

20

20

20

200

020

20

002

02

002

000

20

20

yFrrrrFrrSgTxT

AQ

yFrrrFrrrFrSgTxT

AQ

yrFrrFrrrFrSgTxT

AQ

yrSTgTFrrSFrrITSrFrTgxT

AQ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−−+

∂∂

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+−+

∂∂

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−+−−+−+

∂∂

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−+−−+−+

∂∂

−

χχχ

χ

χ

χ

(B. 29)

Realizando el cambio:

χ+=∂∂

+= 1341 0

0

0

yR

TP

Co (B. 30)

resulta:


APÉNDICE B B.7


( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )( ) *211

*21

*21111

*22

200

020

20

200

020

20

20

200

020

20

20

200

020

20

yCFrCrCSgTxT

V

yrFrrCrFrrCCSgTxT

AQ

yrFrrrFrrSgTxT

AQ

yFrrrrFrrSgTxT

AQ

ooo

ooo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−++

∂∂

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−+

∂∂

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++++−++

∂∂

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−−+

∂∂

−

χχχ

χχχ

( B. 31)

Realizando los cambios:

( rVgS

−−= 12

00β ) (B. 32)

( )(( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−−++

∂∂

= 211 200

0200 ooo CFrCrCSgT

xT

Vγ ) (B. 33)

Se puede escribir la ecuación linealizada de la siguiente forma:

( ) 0****2*000

20

200 =−−

∂∂

−+∂∂

+∂∂ yq

xyTVc

xqV

tq γβ (B. 34)

B.3 DISCUSIÓN DE LA LINEALIZACIÓN DE X. LITRICO Y J. SCHUURMANS

La linealización desarrollada con anterioridad coincide enteramente con la presentada

por X. Litrico.

Shuurmans, en la formulación de la ecuación de la energía linealizada desprecia varios

sumandos del 3er término de la ecuación de la linealización. En concreto no considera

los sumandos en y en q.

xyT

AQ

SrTAQ

xYT

AQ

∂∂

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−*

020

20

020

20

2

2

(B. 35)

El término en q completo, y que también es nombrado β0, resulta:

( )[ *112*2

*2*2 2

000

0

0

034

020

220

3400

20 qFrr

VgSq

VgI

qQA

RAnQ

gqRA

gnQ cc −−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ] (B. 36)

que coincide exactamente con la formulación planteada por Schuurmans.

B.8 APÉNDICE B

Mientras que el término en y :

( )

( )

( )

( )[ ] ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )( )[ ]( ) ( ) ( )( )[ ]

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

( )( )[ ] *11

*1

*1)1()1(1

*11

*1111

*11111

*1341111

*134

*134

*134

200

200

200

20

200

20

200

20

200

00

0

00

20

200

00

00

000000

00

0

034

020

220

00

00

3700

220

340

20

022

0

yCFrCrCSgT

yrCrFrrCCSgT

yrrFrrSgT

yrrFrrrFrrSgT

yrFrrFrrSgT

yrFrrFrrSgT

yrSTy

RTP

TFrrSFrrSTg

yrgSTy

RAT

PgTAIIgT

yrgSTy

RR

gARAnQ

IgT

yrgSTy

RRA

gnQRA

gTnQ

ooo

ooo

c

cc

−+−+−

=−++−−

=−++++−+−

=−++−++−−

=−+−−+−−−

=−+−−+−−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

−−+−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+−

χχχ

χχχ

χχ

χ

(B. 37)

Este término difiere del propuesto por J. Schuurmans:

( )( )( )211 2000 −+−−+= ooo CFrCrCSgTγ (B. 38)

Por lo que dado que las dos formulaciones son diferentes y se comprueba que la

linealización propuesta por X. Litrico es correcta y está completa se toma ésta como

válida.


APÉNDICE C C.1

APÉNDICE C Resultados de la simulación comparativa modelo lineal-

MIKE11



Situaciones planteadas en las simulaciones:

C.2 APÉNDICE C

1) Variación del caudal en la embocadura del canal

2) Cambio en el calado en la desembocadura del canal


CAPÍTULO 3 MODELO DE UNA MINICENTRAL FLUYENTE CON CANAL DE DERIVACIÓN Y CÁMARA DE CARGA C.3

Características de canales simulados

A B C D E F G

Longitud (m) 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

Anchura (m) 3,5 3,0 4,0 3,5 3,5 3,5 3,5

n 0,014 0,014 0,014 0,012 0,016 0,014 0,014

S 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0015 0,0030 0,0008

Parámetros del modelo lineal

x1 (m) 3932 4030 3853 3872 3985 4400 3236

x2 (m) 4465 4515 4427 4436 4493 4700 4118

dτ (s) 766 730 798 760 768 744 761

uτ (s) 2872 2427 3292 4159 2296 12919 1721

Ad (m2) 2966 2244 3760 3296 2741 1930 4774

Au (m2) 28268155621 691486083 1,3406E+12 5,2148E+13 1,0050E+09 8,7347E+69 5,7918E+05

∞11p 0,189874081 0,19001432 0,19884588 0,2858959 0,15710345 0,82686408 0,12827383

∞12p 1,49917E-09 3,9007E-08 3,9327E-11 1,7302E-12 1,8653E-08 3,2813E-69 0,00016679

∞21p 0,009349009 0,00724819 0,00977156 0,02252187 0,00394575 0,01195262 0,01293873

∞22p 0,087518882 0,09188478 0,08440911 0,09840292 0,08096507 0,11065987 0,07180761

∞11'p 0,085669539 0,10437355 0,07307236 0,07537952 0,09587463 0,06442567 0,1119405

Parámetros del modelo lineal de los canales simulados

C.4 APÉNDICE C


APÉNDICE C C.5


C.6 APÉNDICE C


APÉNDICE C C.7


C.8 APÉNDICE C


APÉNDICE C C.9


C.10 APÉNDICE C


APÉNDICE D D.1

APÉNDICE D Listados de los programas utilizados en los diagramas de bloques de

MATLAB

En los diagramas de bloques que componen los modelos de central en sus diferentes

tipologías es necesaria la inclusión de pequeños programas informáticos en el entorno

de programación MATLAB. Éstos desempeñan diferentes funciones a partir de

ecuaciones matemáticas. Los programas representan la dinámica de:

Resalto: obtiene el calado aguas abajo de la compuerta en la embocadura del

canal en caso del desagüe libre.

Impulsión: calcula el calado aguas abajo de la compuerta en la embocadura

del canal en caso de desagüe sumergido.


D.2 APÉNDICE D

Bernoulli: determina el caudal que pasa por la compuerta y que pasa desde el

azud de derivación al canal.

Desagüe: calcula el caudal que se vierte sobre el aliviadero del azud.

A continuación se incluyen los listados de los programas informáticos.

D.1 FUNCIÓN RESALTO

% Función Resalto function SalidaResalto=Resalto(f) global g b Zcomp Qm=f(1) Zm=f(2) Y3=(Zm-Zcomp)*0.5*((1+8*Qm^2/((Zm-Zcomp)^3*g*b^2))^0.5-1) SalidaResalto(1)=Y3

D.2 FUNCIÓN IMPULSIÓN

% Función Impulsion function SalidaImpulsion=impulsion(p) global g b d Cc Zcomp Qm=f(1) Zm=f(2) Y2=((Zm-Zcomp)^2+2*Qm^2/(b^2*g)*(1/(Zm-Zcomp)-1/(d*Cc)))^0.5 SalidaImpulsion(1)=Y2

D.3 FUNCIÓN BERNOULLI

% Función Bernoulli function SalidaBernoulli=bernoulli(q) global g b d Cc Zcomp Y'=q(1)


APÉNDICE D D.3

Zf=q(2) CaladoComp=Cc*d if Y'>CaladoComp Qm=b*d*Cc*(2*g*((Zf-Zcomp)-d*Cc))^0.5 else Qm=b*d*Cc*(2*g*((Zf-Zcomp)-Y'))^0.5 end SalidaBernoulli(1)=Qm

D.4 FUNCIÓN DESAGÜE

% función Desagüe function SalDesague=Desague(r) global LongAliv Cd Dcotas=r(1) if Dcotas>=0 Qaliviadero=Cd*LongAliv*Dcotas^(3/2) else Qaliviadero=0 end SalDesague(1)=Qaliviadero


DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL: HIDRÁULICA Y … · Muy a lo lejos me veo batallando con la...

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