Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y...

Departamento de Ingenierıa deSistemas y Automatica

CONTROL PREDICTIVO LINEAL DE PLATAFORMA

Autor: D. Jose Antonio Yanes MelusTutor: D. Francisco Rodrıguez Rubio

Octubre 2004

A SandraA mis padres

Indice general

1. Introduccion 15

1.1. El control automatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. El control automatico en la industria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1. Desarrollo previo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Organizacion de la documentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto 19

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Aplicaciones Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1. Pedestal de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.2. Servo amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3. Codificadores de la posicion del eje de la carga . . . . . . . . . 24

5

6 INDICE GENERAL

2.3.4. Motor de continua sin escobillas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.5. Ordenador personal de sobremesa . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.6. Tarjetas controladoras dSPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Control digital 31

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Modelo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Tiempos discretos y Valores discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Ecuaciones dinamicas del conjunto motor-carga 35

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Funcion de transferencia de un motor de corriente continua . . . . . . 36

4.3. Funcion de transferencia discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.1. La transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.2. Transformada Z del doble integrador para la posicion, y elintegrador para la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.3. Transformada Z del modelo viscoso (integrador + polo) . . . . 39

5. Modelado de la friccion 41

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Modelo utilizado en el presente proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1. Modelo simple de friccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.2. Consideraciones sobre el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

INDICE GENERAL 7

6. Identificacion 45

6.1. Identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.1. El modelo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Experimentos de identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.1. Obtencion de la friccion viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.2. Obtencion de la friccion de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.3. Obtencion de la inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.4. Obtencion de la friccion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.5. Valores finales del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Control Predictivo Lineal 59

7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1.1. El Control Predictivo Basado en Modelo . . . . . . . . . . . . 59

7.1.2. Metodos de resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.1.3. Las restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.1.4. Modelos de prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.1.5. La ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2.1. El controlador GPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2.2. El controlador PFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2.3. Ecuaciones del PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8 INDICE GENERAL

8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma 73

8.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.2. Controladores ensayados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3. Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.3.1. Experimento de seguimiento de escalones . . . . . . . . . . . . 79

8.3.2. Experimento de seguimiento de senales senoidales . . . . . . . 83

8.3.3. Experimento de seguimiento de triangulos . . . . . . . . . . . 87

8.3.4. Experimento de sensibilidad al ruido . . . . . . . . . . . . . . 91

8.3.5. Experimento de saturacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.4. Resultados obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9. Conclusiones 99

9.1. Comparacion de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.2. Valoracion del controlador PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9.3. Desarrollos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Indice de figuras

2.1. Pedestal de sensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2. Comunicacion PC ⇔ Plataforma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Motor de continua sin escobillas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Modelo 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Servo amplificador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6. Diagrama de transmision electro-mecanica. . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7. Representacion del motor utilizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. Puesto de trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1. Resolucion del encoder incremental de la carga . . . . . . . . . . . . . 34

5.1. Caracterıstica estatica para el modelo de friccion. . . . . . . . . . . . 43

6.1. Modelo continuo del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2. Modelo discreto del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.3. Valores de la friccion viscosa y de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.4. Seleccion de puntos para obtener la inercia . . . . . . . . . . . . . . . 51

9

10 INDICE DE FIGURAS

6.5. Variacion de la desviacion tıpica de la inercia al variar la friccionviscosa y la friccion de coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.6. Experimento de friccion estatica positiva . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.7. Experimento de friccion estatica negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.8. Experimento dinamico de friccion estatica positiva . . . . . . . . . . . 54

6.9. Experimento dinamico de friccion estatica negativa . . . . . . . . . . 55

6.10. Diagrama de bloques del modelo discreto con compensacion de lafriccion de coulomb en realimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.11. Diagrama de bloques del modelo discreto con compensacion de lafriccion de coulomb en prealimentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1. Actuaciones con polinomios de primer grado vinculados a la accionanterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2. Actuaciones con polinomios de primer grado sin vinculacion a la ac-cion anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.3. Esquema de control del controlador PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1. Esquema de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2. Esquema de control PFC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.3. Seguimiento de escalones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.4. Tension aplicada en el seguimiento de escalones . . . . . . . . . . . . 80

8.5. Consumo acumulado en el seguimiento de escalones . . . . . . . . . . 81

8.6. Valores frecuenciales de la senal de control (medidos en dB) . . . . . 82

8.7. Seguimiento de referencia senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.8. Tension aplicada en el seguimiento de senoides . . . . . . . . . . . . . 84

INDICE DE FIGURAS 11

8.9. Consumo acumulado en el seguimiento de senoides . . . . . . . . . . . 85


8.11. Seguimiento de rampas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.12. Tension aplicada en el seguimiento de rampas . . . . . . . . . . . . . 88

8.13. Consumo acumulado en el seguimiento de rampas . . . . . . . . . . . 89


8.15. Referencia constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.16. Tension aplicada para referencia constante . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.17. Consumo acumulado para referencia constante . . . . . . . . . . . . . 93


8.19. Tension aplicada para el seguimiento de escalones de gran amplitud . 95

8.20. Comparacion del error cuadratico medio, de los controladores paradiferentes referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.21. Comparacion de la tension maxima aplicada, de los controladorespara diferentes referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.22. Comparacion del consumo, de los controladores para diferentes refer-encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.23. Comparacion de la componente de alta frecuencia de la senal de con-trol, de los controladores para diferentes referencias . . . . . . . . . . 98

12 INDICE DE FIGURAS

Indice de cuadros

2.1. Datos tecnicos del pedestal de sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Especificaciones del servo amplificador . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3. Datos del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Coeficientes de reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.1. Obtencion de la friccion viscosa. Velocidad en o/s, Tension en V, σ2

en Vs/o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2. Valores medios de la friccion viscosa y de coulomb . . . . . . . . . . . 49

6.3. Valores medios de la friccion viscosa y de coulomb . . . . . . . . . . . 52

6.4. Valores medios de la friccion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.5. Valores medios de la friccion estatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.6. Datos del fabricante y datos identificados . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.7. Valores del modelo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.1. Parametros del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2. Parametros del controlador PID rapido . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3. Parametros del controlador PFC-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

13

14 INDICE DE CUADROS

8.4. Parametros del controlador PFC-NR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.1. Comparacion de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. El control automatico

El control automatico es el mantenimiento de un valor deseado dentro de unacantidad o condicion, midiendo el valor existente, comparandolo con el valor deseado,y utilizando la diferencia para proceder a reducirla. En consecuencia, el controlautomatico exige un lazo cerrado de accion y reaccion que funcione sin intervencionhumana.

El elemento mas importante de cualquier sistema de control automatico es la-zo de control realimentado basico. El concepto de la realimentacion no es nuevo,el primer lazo de realimentacion fue usado en 1774 por James Watt para el con-trol de la velocidad de cualquier maquina de vapor. Posteriormente, J.C. Maxwellproporciono el primer analisis matematico riguroso de un sistema de control reali-mentado en 1868. A pesar de conocerse el concepto del funcionamiento, los lazos sedesarrollaron lentamente hasta que los primeros sistemas de transmision neumaticacomenzaron a volverse comunes en los anos 1940, los anos pasados han visto unextenso estudio y desarrollo en la teorıa y aplicacion de los lazos realimentados decontrol. En la actualidad los lazos de control son un elemento esencial para la ma-nufactura economica y prospera de virtualmente cualquier producto, desde el acerohasta los productos alimenticios.

15

16 Capıtulo 1. Introduccion

1.2. El control automatico en la industria

El control automatico de procesos es parte del progreso industrial desarrolladodurante lo que ahora se conoce como la segunda revolucion industrial. El uso in-tensivo de la ciencia de control automatico es producto de una evolucion que esconsecuencia del uso difundido de las tecnicas de medicion y control. Su estudiointensivo ha contribuido al reconocimiento universal de sus ventajas.

El control automatico de procesos se usa fundamentalmente porque reduce elcosto de los procesos industriales, lo que compensa con creces la inversion en equipode control. Ademas hay muchas ganancias intangibles, como por ejemplo la elimi-nacion de mano de obra pasiva, la cual provoca una demanda equivalente de trabajoespecializado. La eliminacion de errores es otra contribucion positiva del uso delcontrol automatico.

El principio del control automatico o sea el empleo de una realimentacion omedicion para accionar un mecanismo de control, es muy simple. El mismo principiodel control automatico se usa en diversos campos, como control de procesos quımicosy del petroleo, control de hornos en la fabricacion del acero, control de maquinasherramientas, y en el control y trayectoria de un proyectil.

El uso de las computadoras analogicas y digitales ha posibilitado la aplicacionde ideas de control automatico a sistemas fısicos que hace apenas pocos anos eranimposibles de analizar o controlar.

Resumiendo:

La Ingenierıa de Control esta presente en virtualmente todos los sistemas mo-dernos de ingenierıa.

El control es una tecnologıa a menudo ((invisible)), ya que el exito mismo desu aplicacion la vuelve indetectable.

El control es la clave tecnologica para lograr:

• productos de mayor calidad

• minimizacion de desperdicios

• proteccion del medio ambiente

• mayor rendimiento de la capacidad instalada

• mayores margenes de seguridad

1.3. Objetivos del proyecto 17

El control es multidisciplinario (incluye sensores, actuadores, comunicaciones,computo, algoritmos, etc.)

El diseno de control tiene como meta lograr un nivel de rendimiento deseadofrente a perturbaciones e incertidumbre.

1.3. Objetivos del proyecto

1.3.1. Desarrollo previo

El presente proyecto tiene su origen en otro anterior [8], de diseno e imple-mentacion del control de una plataforma giroestabilizada de dos grados de libertad.Esta plataforma se encuentra en el Laboratorio del Departamento de Ingenierıa deSistemas y Automatica. Dicho proyecto:

Desarrollo el hardware y software necesario para la adquisicion y monitoriza-cion de datos que permiten el control de la plataforma.

Desarrollo el software para la implementacion informatica de las tecnicas decontrol.

Modelo el sistema dinamico que constituye la plataforma incluyendo elfenomeno de la friccion.

Establecio la base que permite investigar nuevos controladores en la plataformareal, ası como obtener nuevos modelos de friccion.

1.3.2. Objetivos

Teniendo como base este anterior proyecto, se han fijado los objetivos siguientes:

1. Implementacion de una nueva tecnica de control en la plataforma ⇒ ControlPredictivo Lineal Basado en Polinomios con Restricciones en el Control.

2. Comparacion con otros controladores.

3. Mejora del seguimiento de trayectorias en posicion y velocidad, para cualquiertipo de referencia.

18 Capıtulo 1. Introduccion

4. Reduccion del ruido presente en los motores.

5. Reduccion del consumo electrico.

1.4. Organizacion de la documentacion

La documentacion del proyecto se divide en los siguientes documentos:

Memoria descriptiva. La presente memoria resume tanto los planteamientosteoricos adoptados, como los resultados practicos obtenidos durante el desar-rollo del proyecto. En el capıtulo 2 se describe el equipo utilizado para eldesarrollo del proyecto. En el capıtulo 3 se trata el tema de la discretizacion,como concepto a tener en cuenta para el control digital. En el capıtulo 4 seexpresan las ecuaciones que rigen el movimiento del pedestal, y se expresa lacorrespondencia en el dominio discreto del tiempo, mediante la transformadaZ. En el capıtulo 5 se expone el modelo de friccion empleado en el controldel pedestal. En el capıtulo 6 se muestran los metodos y experimentos realiza-dos, para lograr una identificacion del modelo de friccion. En el capıtulo 7 seexponen las ecuaciones del controlador predictivo basado en polinomios conrestricciones en el control. En el capıtulo 8 se muestran los experimentos masrepresentativos realizados sobre la plataforma. Y finalmente, en el capıtulo 9se exponen las conclusiones.

Apendice. Contiene los siguientes apartados:

1. Codigos fuente. Consiste en el listado de codigos fuente de las aplicacionessoftware desarrolladas.

2. Graficas de los multiples experimentos realizados sobre la plataforma.

3. Diagramas de bloques realizados utilizando SIMULINK.

CD-ROM. En este soporte se incluyen:

• Los numerosos ficheros de datos procedentes de los ensayos de identifi-cacion y control.

• Las aplicaciones desarrolladas para la manipulacion de los datosobtenidos.

• Figuras y fotos relacionadas con la plataforma.

• Los documentos anteriormente mencionados: Memoria descriptiva yApendice.

Capıtulo 2

Equipo utilizado para el desarrollodel proyecto

2.1. Introduccion

La pieza fundamental alrededor de la cual gira todo el desarrollo del proyecto es elpedestal de sensores que puede observarse en la figura 2.1 ubicado en los laboratoriosdel Departamento de Ingenierıa de Sistemas y Automatica de la Escuela Superiorde Ingenieros de Sevilla, y cuyas caracterısticas fundamentales quedan reflejadas enel cuadro 2.1.

Figura 2.1: Pedestal de sensores.

19

20 Capıtulo 2. Equipo utilizado para el desarrollo del proyecto

Cobertura Angular Orientacion 0o a 360o

Elevacion -70o a 40o

Velocidad Maxima Orientacion 40o/sElevacion 20o/s

Carga Maxima 30 Kg. balanceadosFrenos Electricos en ambos ejes

Tipo de motor de continua, sin escobillasSensor angular encoder

Control del motor Senal ±10Vdc

Cuadro 2.1: Datos tecnicos del pedestal de sensores.

La planta consiste en el pedestal con sus sensores y actuadores. El sistema incluyeservomotores de corriente continua y encoders para la realimentacion de la posicion.El par de rotacion del rotor lo proporciona un motor de corriente continua de imanpermanente, cuya posicion angular es medida por un encoder optico de 2000 pulsospor revolucion. El eje del motor se acopla al eje de la carga mediante una reductoray el eje de la carga va equipado con otro encoder de 10000 impulsos por revolucioncon el fin de medir la posicion relativa de los dos ejes y la medida de holguras en losengranajes.

Para medida y control se utiliza un periferico de entrada/salida, que es unainterfaz hardware entre la planta y las tarjetas de control dSPACE basadas enprocesadores digitales de senal (DSP). La senal de posicion generada por los en-coders se recibe en el periferico de E/S y se dirige a las tarjetas dSPACE donde unalgoritmo de control puede ser implementado por el usuario. La senal de control esredirigida desde las tarjetas dSPACE al periferico de E/S y de este a los actuadores.Un ordenador de sobremesa aloja las dos tarjetas dSPACE (una para cada eje delmovimiento) y direcciona el flujo de informacion y los comandos de control medianteun programa software especialmente disenado para ello (ver figura 2.2).

2.2. Aplicaciones Software

Para la realizacion de este proyecto se utilizaron numerosas aplicaciones software.Centrandonos en aquellas consideradas por el autor como las principales, se tiene:

Matlab . Se utiliza la version 5.3 (actualmente hay versiones mas recientes)que incluye la herramienta de simulacion Simulink v3.0

2.2. Aplicaciones Software 21

Figura 2.2: Comunicacion PC ⇔ Plataforma.

Para la implementacion de los algoritmos de control en las tarjetas contro-ladoras, se usa la toolBox Real Time WorkShop junto con la librerıa RealTime Interface Library proporcionada por la firma dSPACE . Junto con lastarjetas controladoras se proporciona un software para el intercambio y moni-torizacion de datos en tiempo real entre los programas que se ejecutan en lastarjetas controladoras y el ordenador que las aloja.

Software dSPACE . Engloba varios programas. Se utiliza la aplicacion Con-troldesk que permite la visualizacion, modificacion y adquisicion de datos entiempo real. Ademas incorpora una interfaz con Matlab que permite, medi-ante el Real time Workshop (RTW) y Real Time Interface Library (RTI), lacompilacion de modelos realizados en Simulink y su posterior carga en lastarjetas dSPACE .


2.3. Hardware

2.3.1. Pedestal de sensores

Dotado de dos grados de libertad, uno en orientacion y el otro en elevacion (verfigura 2.4). El movimiento es generado por dos motores de corriente continua deiman permanente, sin escobillas (ver figura 2.3) dispuestos con encoders opticos,con una velocidad nominal de giro de ωn=2000 rpm y un par nominal Tn=0.3Nm,controlados mediante respectivos servo amplificadores.

Figura 2.3: Motor de continua sin escobillas.

Figura 2.4: Modelo 3D.

2.3. Hardware 23

2.3.2. Servo amplificador

Para cada eje se dispone de un servo amplificador PWM (Pulse Width Modula-tion) BE15A8 de Advanced Motion Controls [2] (ver figura 2.5) que consta de tresentradas de sensores Hall.

Figura 2.5: Servo amplificador.

Las caracterısticas mas destacadas se observan en el cuadro 2.2.

Especificaciones Servo amplificador

Alimentacion DC 20-80V

Corriente de pico ±15A

Maxima corriente continua ±7,5A

Potencia disipada a corriente continua 30W

Cuadro 2.2: Especificaciones del servo amplificador

.

Los servo amplificadores pueden funcionar en modo corriente o en modo veloci-dad. En modo corriente, el servo amplificador cierra un bucle de corriente regulandola tension aplicada al motor mediante PWM de forma que la consigna es la inten-sidad que se hace circular considerada como un porcentaje de la corriente maxima


admisible de cada motor. En modo velocidad el servo amplificador cierra un buclede velocidad sobre el bucle de corriente, de modo que la consigna se traduce en elporcentaje de velocidad maxima de la configurada para ese motor. Se trabajara enla configuracion modo corriente [8].

2.3.3. Codificadores de la posicion del eje de la carga

Para controlar el movimiento de cada uno de los ejes es necesario conocer en todoinstante tanto su posicion como su velocidad. Por tanto, es necesario incorporar alsistema de accionamiento de cada eje un dispositivo que nos de una medida de laposicion de dicho eje.

La precision del posicionamiento no solo dependera de la resolucion del sensorde posicion, sino tambien de efectos no considerados como flexion de la estructurao juegos angulares introducidos por elementos reductores.

El encoder incremental esta formado por tres elementos:

Un disco con franjas transparentes y opacas alternadas, dispuestas en sentidoradial.

Un emisor de luz o fotocelula colocado en una cara del disco.

Un receptor de luz en la cara opuesta del emisor.

Al girar el disco, el haz de luz del emisor resulta interceptado por las franjasopacas y las franjas transparentes lo dejaran pasar, de modo que el receptor recibepulsos de luz. La senal de salida del receptor consiste en trenes de impulsos, cuyafrecuencia es proporcional a la velocidad de giro del disco, y el numero de pulsos,proporcional al angulo girado por el disco.

Con objeto de conocer la direccion del disco, los encoders utilizan bien dos con-juntos emisor/receptor desfasados 90o entre sı, bien un disco con dos pistas de franjasdesfasadas 90o una con respecto a la otra. En ambos casos se obtienen como salidados senales en forma de trenes de pulsos y desfasadas 90o. Dependiendo de cual delas dos senales de salida este en avance de fase, se determina el sentido de la rotaciondel disco.

Las dos senales del encoder se conectan a un contador, que se incrementara aldetectar el giro en una direccion y decrementara en la direccion opuesta. El valor

2.3. Hardware 25

del contador indica el angulo girado respecto a una posicion de referencia, valor cerodel contador.

Los encoders incrementales no determinan la posicion absoluta de un eje, sinosu posicion relativa a la posicion de origen. Por tanto, cada vez que se alimenta denuevo el sensor es necesario realizar una secuencia de busqueda de ceros.

La resolucion de los encoders incrementales es funcion del numero de franjas deldisco, y por tanto, esta limitado por el tamano de los sensores.

Para el proyecto, en cada eje se dispone un codificador de posicion incremental,para medir la posicion del eje de la carga. Estos encoders tienen una resolucion de10000 impulsos por vuelta [5] y estan alimentados a 5Vdc.

2.3.4. Motor de continua sin escobillas

En robotica, al igual que en otros campos en los que se precisan accionamientosde velocidad variable, los motores de corriente continua han sido los mas utiliza-dos hasta hace algunos anos, debido a que resultaba mas sencillo controlarlos envelocidad que los de corriente alterna. El motor de corriente continua presenta elinconveniente del obligado mantenimiento de las escobillas. Por otra parte, no esposible mantener el par con el rotor parado mas de unos segundos, debido a loscalentamientos que se producen en el colector.

Para evitar estos problemas se han desarrollado los motores sin escobilla. Enestos, los imanes de excitacion se situan en el rotor y el devanado de inducido en elestator, con lo que es posible convertir la corriente mediante interruptores estaticos,que reciben la senal de conmutacion a traves de un detector de posicion del rotor.

Para el proyecto se dispone de dos motores de continua sin escobillas, que in-corporan un freno electrico que se libera alimentandolo con una tension continua de24V, lo que permite bloquear los ejes del movimiento en cualquier posicion.

La diferencia mas significativa entre el servo y los sistemas de control demovimiento paso a paso es el empleo de realimentacion mediante encoder en lossistemas controlados por servo que relata la posicion real del eje de motor al regu-lador. Si hay cualquier presencia de errores, el servo puede tomar la accion correctivapara asegurar el motor alcanza la posicion apropiada. Los reguladores paso a pasosolo pueden emitir una orden de movimiento y esperar que el motor sea capaz de


seguirla. Esta situacion es analoga al dar a alguien una orden con sus ojos cerrados.La presencia de realimentacion en un sistema regulado por servo determina variasventajas inmediatas: no hay pulsos perdidos, es decir los sistemas con servo conocenexactamente donde se encuentra el motor en cualquier momento, todas las ordenesde paso son ejecutadas.

Los motores que se utilizan en este proyecto estan dispuestos dentro del pedestalde sensores, el de orientacion en posicion vertical, y el de elevacion en posicion hori-zontal. Estos motores disponen de un encoder optico absoluto. Este tipo de encoderpermite conocer la posicion absoluta del eje. Se diferencia del encoder incrementalen que el disco cuenta con varias pistas concentricas, con las franjas distribuidassiguiendo un codigo. El numero de emisores/receptores es igual al numero de pistasdel disco. Las senales de salida representan, en forma de codigo, el angulo del eje degiro del disco. La resolucion de un encoder absoluto se expresa como 2n, siendo n elnumero de pistas del disco.

Se pueden usar distintos tipos de codificacion para el disco; los codigos masutilizados son el binario, GRAY, BCD. El codigo binario presenta el inconvenientede que en algunos casos el avance de un paso al siguiente implica el cambio deestado de dos o mas bits. Este problema se resuelve utilizando el codigo GRAY,cuya caracterıstica es que de un paso al siguiente solo cambia el estado de un dıgito.

A partir de los catalogos de los motores utilizados, de Rockwell Automation [7]se presentan las caracterısticas que se resumen en el cuadro 2.3.

Parametro Valor

KT 0.139 Nm/A

KE 14.6 V/kRPM

Jm 0.09617 Kgm2

Ra 3.0Ω

La 7.8 mH

Alimentacion frenos 24Vdc

Cuadro 2.3: Datos del motor

.

Se dispone en cada eje de una reductora, siendo en el eje de orientacion de 80:1y en el de elevacion de 160:1. Ademas, la correa de transmision tienen una relacion

2.3. Hardware 27

de 5:1 (ver figura 2.6), por lo que la reduccion efectiva seran las que se muestran enel cuadro 2.4.

Figura 2.6: Diagrama de transmision electro-mecanica.

Ası se obtiene:

Orientacion :

ωn = 2000rpm · 1

400= 5rpm

Tn = 0,34 · 400 = 120Nm

Elevacion :

ωn = 2000rpm · 1

800= 2,5rpm

Tn = 0,34 · 800 = 240Nm

Eje Reductora

Orientacion 400:1

Elevacion 800:1

Cuadro 2.4: Coeficientes de reduccion

.

Los motores vienen equipados con codificadores de posicion opticos con unaprecision de 2000 pulsos por vuelta y disponen de dos conectores, uno mediante el


que se cablean las senales del motor propiamente dicho y otro que cablea las senalesdel encoder optico (ver figura 2.7)

Figura 2.7: Representacion del motor utilizado.

2.3. Hardware 29

2.3.5. Ordenador personal de sobremesa

Equipado con microprocesador Intel Pentium 4 a 2.8 GHz, 512 MB de memoriaRAM y 74.5 GB de disco duro, y sistema operativo Windows 2000. En este orde-nador se alojan las tarjetas dSPACE y una tarjeta de red mediante la cual puedecomunicarse con otros ordenadores, posibilitando ası futuras aplicaciones de controlpor vision asistido por un ordenador auxiliar.

Figura 2.8: Puesto de trabajo.

2.3.6. Tarjetas controladoras dSPACE

Son del modelo DS1102 y se encuentran instaladas en dos slots ISA del ordenadorpersonal, y tiene como caracterısticas mas importantes:

especıficamente disenada para desarrollo de controladores multivariables dealta velocidad y simulaciones en tiempo real.

basada en el procesador DSP TMS320C31 de Texas Instruments.

Reloj de 60MHz


interrupciones externas.

Memoria RAM de 128K x 32-bit.

Entradas analogicas: 2 canales paralelos de 16 bits, con tiempo de conversionde 4µs, 2 canales paralelos de 12 bits, con tiempo de conversion de 1.25µs,±10V de tension de entrada.

Salidas analogicas: 4 canales paralelos de 12 bits, con tiempo de ajuste de 4µsy ±10V de rango de tension de salida.

Entrada/Salida digital: subsistema programable basado en el DSP a 25MHzTMS320P14 de Texas Instruments, 16 lıneas de entrada/salida digital, hasta6 canales de generacion PWM,interrupcion por el usuario

Interfaz del encoder incremental: multiplicacion de pulso cuadruple, 2 canalesde entradas paralelos para dos lıneas de fase y una de ındice para cada uno,filtro de ruido y contador de posicion de 24 bits [3].

Caracterısticas fısicas: alimentacion a ±5V, 1.5A y ±12V , 100mA. Conectorde 62 pines hembra [8]

Capıtulo 3

Control digital

3.1. Introduccion

El control digital de procesos se enfrenta con un problema muy claramentedefinido: la discretizacion. Mientras que el proceso que se desea controlar es un sis-tema continuo, el controlador digital esta discretizado en su propia constitucion. Estadiscretizacion obliga a disenar los controladores con una perspectiva diferente. Uncontrolador PID (continuo) puede realizarse mediante simples elementos analogicos,mientras que un controlador digital obliga a incluir otros elementos, de acoplamientoy sincronizacion, que no son propios del control en si mismo, pero que influyen enel y deben ser tenidos en cuenta.

Sensores

Los sensores se encargan de obtener los datos del proceso. Los encoders aquı uti-lizados introducen ya una primera discretizacion, ya que por su propia constitucionalcanzan una resolucion bien definida.

31

32 Capıtulo 3. Control digital

Actuadores

El actuador se encarga de transmitir el par, indicado por la senal de control, alproceso. Un servoamplificador se encarga de realizar una correcta transmision de parmediante una modulacion por anchura de pulsos. La constante de tiempo electricadel actuador, es despreciable frente a la constante de tiempo mecanica del sistema.

El computador

Todas las senales de entrada y salida de un computador son digitales, necesi-tando convertidores digital-analogico y analogico-digital, para operar con senalesanalogicas.

3.2. Modelo discreto 33

3.2. Modelo discreto

Las senales con las que se trabaja son digitales, y ademas de estar discretizadasen el tiempo, los valores que pueden adquirir estan discretizados.

Ası, en cada perıodo de muestreo se recibe una senal del encoder que determinadonde se encuentra situada la carga. Esta senal es tratada informaticamente paradeterminar la mejor actuacion. Y antes del siguiente perıodo de muestreo se envıala senal de actuacion, para volver a repetir el proceso.

Desde el punto de vista de la planta a controlar, todo es un sistema continuo. Sesuministra un par, y la planta responde girando un angulo.

Desde el punto de vista del controlador digital, la planta se comporta como unsistema en tiempos discretos, y por tanto el modelo de la planta debe realizarseatendiendo a esta discretizacion. De esta forma, se usara la ’Transformada en z’para trabajar con un modelo del sistema en tiempos discretos.

3.3. Tiempos discretos y Valores discretos

Una situacion muy remarcada de discretizacion la presenta la senal del encoder.Esta senal es obtenida periodicamente y, por tanto, esta discretizada en el tiempo.Pero ademas, la senal del encoder que informa sobre la posicion de la carga, solopuede adquirir ciertos valores dados por su resolucion.

El encoder de la carga tiene una resolucion de 10.000 pulsos por vuelta. Y ademascuenta con dos discos desfasados 90o para poder determinar el sentido de giro, ası seobtienen 4 estados posibles (los 4 cuadrantes de 90o) por cada pulso.

1

4

360 [o/vuelta]

10000 [pulsos/vuelta]= 0,009 [o/pulso] (3.1)

34 Capıtulo 3. Control digital

Figura 3.1: Resolucion del encoder incremental de la carga

Capıtulo 4

Ecuaciones dinamicas del conjunto

motor-carga

4.1. Introduccion

Los motores sin escobillas de corriente continua (”DC brushless motors”) sonsimilares en aplicacion y funcionamiento a los motores de corriente continua conescobillas (”brush-type DC motors”). Difieren en la construccion y en el metodo deconmutacion. Un motor sin escobillas tiene un estator ensamblado con un rotor coniman permanente, y con dispositivos internos y externos para medir la posicion. Lacombinacion de un rotor interno de iman permanente y bobinas externas ofrece lasventajas de un menor inercia del rotor y una disipacion del calor mas eficiente quelos motores con escobillas. Ademas, la eliminacion de escobillas reduce el coste demantenimiento y el ruido, e incrementa la vida y fiabilidad del motor.

35

36 Capıtulo 4. Ecuaciones dinamicas del conjunto motor-carga

4.2. Funcion de transferencia de un motor de co-

rriente continua

El motor convierte energıa electrica en energıa mecanica de rotacion. La funcionde transferencia del motor de corriente continua se obtendra por aproximacion linealdespreciando los efectos de segundo orden tales como la histeresis.Se denomina Ie y Ue a la intensidad y tension de excitacion respectivamente.El flujo magnetico φe es proporcional a la intensidad de excitacion:

φ(t) = keie(t) (4.1)

El par desarrollado por el motor se puede relaciona con la corriente de armaduramediante la expresion

Tm(t) = k1φ(t)ia(t) = k1keie(t)ia(t) (4.2)

Aplicando la transformada de Laplace:

Tm(s) = (k1keIe(s))︸︷︷︸km

Ia(s) = kmIa(s) (4.3)

siendo km la constante del motor.

Del circuito de excitacion se puede obtener una relacion entre la tension deexcitacion y la corriente de excitacion en la forma:

Ue(t) = Reie(t) + Ledie(t)

dt(4.4)

que transformando al dominio de Laplace queda como

Ue(s) = (Re + sLe)ie(s) (4.5)

El par motor sera igual al par desarrollado por la carga mas un par de perturbaciones

Tm(s) = TL(s) + Td(s) (4.6)

El par desarrollado por la carga se puede expresar como:

TL(s) = Js2θ(s) + Bsθ(s) (4.7)

4.2. Funcion de transferencia de un motor de corriente continua 37

Si se considera nulo el par de perturbaciones Td, la funcion de transferencia de lacombinacion motor-carga queda:

θ(s)

Ue(s)=

km

s(Js + B)(Les + Re)=

km

JLe

s(s + BJ)(s + Re

Le)

(4.8)

El motor de corriente continua controlado por armadura usa la corriente ia(t),denominada corriente de armadura, como variable de control. La tension de controlde la armadura puede considerarse una fuente de esfuerzo siendo la corriente quecircula a traves de la fuente de alimentacion y del devanado de la armadura es lamisma.

El acoplamiento de los segmentos electrico y mecanico, hace que la energıa electri-ca se transforme en energıa mecanica a traves de un transductor o elemento giratorio.Cuando se establece una corriente de campo constante, el par motor se expresa enla forma que se vio en la ecuacion (4.8), en la que km es funcion de la permeabilidadmagnetica del material.

La corriente de armadura se relaciona con la tension de alimentacion en la forma:

Ua(s) = (Ra + sLa)Ia(s) + Ub(s) (4.9)

siendo Ub la fuerza contraelectromotriz, que es proporcional a la velocidad delmotor (Ub(s) = kbω(s)) Despejando Ia(s) en la ecuacion (4.9) se obtiene:

Ia(s) =Ua(s)− kbω(s)

(Ra + sLa)(4.10)

El par de la carga es el expresado en la ecuacion (4.7), con lo que la funcion detransferencia es:

G(s) =θ(s)

Ua(s)=

km

s[(Ra + Las)(Js + B) + kbkm]=

=km

s[(JLas2 + (JRa + BLa)s + kbkm](4.11)

Para muchos motores de corriente continua la constante de tiempo τa = La

Raes

despreciable, con lo que quedarıa:

G(s) =θ(s)

Ua(s)=

km

s[Ra(Js + B) + kbkm](4.12)

Es interesante hacer notar que kb = km, considerando el regimen permanente y elbalance de potencia, cuando se desprecia la resistencia del rotor.


La potencia inyectada al rotor es igual a (kbω)ia, y la potencia desarrollada enel eje es Tω. En el regimen permanente estas potencias son iguales:

Tω = (kbω)ia (4.13)

T = kmia (4.14)

de donde se deduce que km = kb.

4.3. Funcion de transferencia discreta

4.3.1. La transformada Z

Es posible calcular la funcion de transferencia directamente a partir de la fun-cion de transferencia del sistema continuo. Se supone un sistema continuo con unafuncion de transferencia G(s) con un MO0 (Mantenedor de Orden 0). La funcion detransferencia se determina por la respuesta a una senal dada y es unica. Consider-emos una entrada escalon unitario. La secuencia u(k) es una secuencia de unos yla senal u(t) es tambien un escalon. La salida y(t), expresada en transformada de

Laplace es Y (s) = G(s)s

Si consideramos que la salida y(k) tiene una transformada en Z⇒ Y (z) = Z(y) =Z(L−1(Y (s)) para obtener la Funcion de Transferencia se divide por la Transformadaen Z de la entrada, el escalon en este caso: (1− z−1)Y (z)

Pasos:

1. Antitransformar Y (s) = G(s)s

2. Calcular la Transformada en Z (de una tabla)

3. Multiplicar por (1− z−1)

4.3. Funcion de transferencia discreta 39

4.3.2. Transformada Z del doble integrador para la posicion,

y el integrador para la velocidad

El modelo dinamico mas simple, que relaciona la tension aplicada con el angulogirado, puede representarse por un doble integrador. En ese caso no se consideranefectos de friccion viscosa y la funcion de transferencia continua queda:

Posicion ⇒ Gp(s) =θ(s)

Ua(s)=

KM

s2

Gp(s) ⇒ (MO0) ⇒ Gp(z−1) = KM

T 2(1 + z−1)z−1

2(1− z−1)2(4.15)

Donde T es el perıodo de muestreo del sistema.

La funcion de transferencia continua que relaciona la tension aplicada con lavelocidad sera un integrador. De esta forma:

V elocidad ⇒ Gv(s) =ω(s)

Ua(s)=

KM

s

Gv(s) ⇒ (MO0) ⇒ Gv(z−1) = KM

Tz−1

(1− z−1)(4.16)

4.3.3. Transformada Z del modelo viscoso (integrador + po-

lo)

Considerando la friccion viscosa y haciendo uso de la ecuacion obtenida (4.12)en el analisis de un motor de corriente continua, podemos establecer la siguienterelacion entre la tension aplicada y el angulo girado:

Posicion ⇒ Gp(s) =θ(s)

Ua(s)=

KM

s(TMs + 1)

Gp(s) ⇒ (MO0) ⇒

Gp(z−1) = KMTM

( TTM− 1 + e

− TTM )z−1 + (1− e

− TTM − ( T

TM)e

− TTM )z−2

1− (1 + e− T

TM )z−1 + e− T

TM z−2(4.17)


De la misma manera la funcion de transferencia para la velocidad, teniendo en cuentala friccion viscosa, sera:

V elocidad ⇒ Gv(s) =ω(s)

Ua(s)=

KM

TMs + 1

Gv(s) ⇒ (MO0) ⇒ Gv(z−1) = KM

(1− e− T

TM )z−1

1− e− T

TM z−1(4.18)

Capıtulo 5

Modelado de la friccion

5.1. Introduccion

La friccion es un fenomeno terriblemente complicado que surge en el contactode superficies. Los experimentos indican una dependencia funcional en una variedadenorme de parametros, incluyendo la velocidad de deslizamiento, la aceleracion, ladistancia de deslizamiento crıtica, la carga de temperaturas, normal, la humedad, lapreparacion superficial,. . .

En muchos aplicaciones de la ingenierıa, el exito de modelos en la prediccionde resultados experimentales se muestra fuertemente sensible al modelo de friccion.Ademas, una amplia seccion de la ingenierıa y disciplinas de ciencia ha desarrolla-do metodos interesantes de representar la friccion, con modelos que provienen delas areas de mecanica fundamentales y la dinamica de sistemas, ası como de otrasmuchas areas [1]. Ademas, la utilidad de modelo de friccion y el exito del sistema elmodelo dinamico dependen fuertemente el uno del otro.

La friccion presenta gran variedad de obstaculos al control efectivo de maquinas.Los esquemas de compensacion deben tratar con la no linealidad inherente de losproblemas de friccion.

41

42 Capıtulo 5. Modelado de la friccion

5.2. Modelo utilizado en el presente proyecto

5.2.1. Modelo simple de friccion

El modelo mas simple de friccion expresa la fuerza de friccion instantanea, Ff (t),en funcion de la velocidad de deslizamiento v(t). Dicho modelo incluye los terminosde friccion de Coulomb, friccion viscosa y/o friccion estatica.

Friccion de Coulomb.Fuerza de magnitud constante, y que actua en direccion opuesta al movimiento.

Cuando:

v(t) 6= 0 ⇒ Ff (t) = −Fcsgn(v(t))

donde Fc es una constante positiva.

Friccion viscosa.Fuerza de magnitud proporcional a la velocidad y sentido contrario.

Cuando:

v(t) 6= 0 ⇒ Ff (t) = −Fvv(t)

donde Fv es una constante positiva.

Friccion estatica.No es realmente una fuerza de friccion, pues ni es disipativa (no realiza trabajo)

ni consecuencia del deslizamiento. Cuando:

v(t) = 0 ⇒ Ff (t) =

−Fext(t) si Fext(t) ≤ Fs

−Fssgn(Fext(t)) si Fext(t) > Fs

donde Fext(t) es la fuerza aplicada externamente, y Fs es una constante positiva,relativa al valor maximo que puede aplicarse sin que se produzca deslizamiento.

5.2. Modelo utilizado en el presente proyecto 43

5.2.2. Consideraciones sobre el modelo

1. El modelo utilizado consta unicamente de tres parametros constantes:

Fc, friccion de coulomb

Fv, friccion viscosa

Fs, friccion estatica

Cada uno de estos tres parametros podrıa dividirse en dos o mas, representandocada uno de ellos una porcion de la caracterıstica de friccion. Por ejemplo, sepodrıa usar diferentes parametros para velocidades positivas y negativas, opara velocidades altas y bajas.

En el modelo utilizado, caracterizaremos la curva de friccion, por estos tresparametros, utilizando un valor medio.

2. De la experimentacion con el controlador, se puede observar que la curva defriccion varıa con otros muchos parametros, algunos de ellos no medibles apriori: temperatura de las partes en movimiento relativo, viscosidad del lubri-cante, fuerzas normales y tangenciales sobre el eje, vibraciones, etc.; y otros,aunque medibles, no se han utilizado para la caracterizacion: aceleracion, ve-locidades de aplicacion del par, duracion de pares mantenidos en zona muerta,etc.

Figura 5.1: Caracterıstica estatica para el modelo de friccion.

44 Capıtulo 5. Modelado de la friccion

Capıtulo 6

Identificacion

6.1. Identificacion

La identificacion puede ser el proceso mas importante del diseno de un contro-lador predictivo. De la bondad de la identificacion depende en gran medida el exitodel control.

El modelo utilizado hace referencia a una ecuacion dinamica, que contempla lainercia y la friccion viscosa, unicamente. El termino de la friccion de coulomb tienecaracter no lineal, y por tanto, no puede ser modelado de esta manera. Ası, parapoder introducir los efectos de la friccion de coulomb y friccion estatica, se opta porrealizar una compensacion en la actuacion, sumando o restando segun el signo de lavelocidad, un par de friccion cte. en cada momento.

45

46 Capıtulo 6. Identificacion

6.1.1. El modelo utilizado

Vamos a usar la ecuacion de transferencia simplificada para modelar el sistematension-posicion:

G(s) =θ(s)

Ua(s)=

km

s[Ra(Js + B) + kbkm]

Expresaremos esta funcion de forma mas sencilla como:

GM(s) =KM

s(TMs + 1)(6.1)

Donde:

KM =km

BRa + kmkb

Es la ganancia estatica (6.2)

TM =JRa

BRa + kmkb

Es la cte. de tiempo del sistema (6.3)

Figura 6.1: Modelo continuo del sistema

Usando la transformada Z mediante (4.17) y (4.18) podemos modelar el sistemamediante una funcion de transferencia discreta:

6.1. Identificacion 47

Figura 6.2: Modelo discreto del sistema

El modelo discreto de la Tension-Posicion queda como:

GP (z−1) =θ

Ua

=b1z

−1 + b2z−2

(1− z−1)(1− a1z−1)(6.4)

donde:

a1 = e− T

TM (6.5)

b1 = KMTM(T

TM

− 1 + e− T

TM ) (6.6)

b2 = KMTM(1− e− T

TM − T

TM

e− T

TM ) (6.7)

Mientras que el modelo discreto de la Tension-Velocidad queda como:

GV (z−1) =θ

Ua

=bvz

−1

(1− avz−1)(6.8)

donde:

av = e− T

TM (6.9)

bv = KM(1− e− T

TM ) (6.10)

Donde se puede comprobar que, dado que la velocidad es la derivada de la posi-cion con el tiempo:

av = a1 (6.11)

bv =b1 + b2

T(6.12)


6.2. Experimentos de identificacion

6.2.1. Obtencion de la friccion viscosa

La ecuacion del movimiento, considerando la friccion, la podemos expresar como:

Iθ + σ2θ + Fcsign(θ) = Ua (6.13)

Donde:

I =RaJ

km

(6.14)

σ2 =(RaB + kmkb)

km

(6.15)

Se realizan experimentos a velocidad constante para eliminar el termino iner-cial de la ecuacion. Entonces: θi = 0

Para eliminar el efecto de la friccion de coulomb se extraen los resultados deforma diferencial.

Ası:

σ2θi+1 + Fcsign(θi+1) = Ua(i+1) (6.16)

σ2θi + Fcsign(θi) = Ua(i) (6.17)

Haciendo (6.16) - (6.17) obtenemos:

σ2 =∆Ua

∆θ(6.18)

En la tabla (6.1) estan los valores experimentales obtenidos en dicho experimento.

6.2.2. Obtencion de la friccion de coulomb

Tomando el modelo de friccion que solo considera los terminos de coulomb yviscoso, podemos obtener del experimento un valor de la friccion de coulomb paracada par tension-velocidad mediante la expresion:

6.2. Experimentos de identificacion 49

Velocidad 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tension 0,7 0,8 1,05 1,3 1,56 1,79 2 2,25 2,47 2,69 2,9 3,13

σ2 0,20 0,25 0,25 0,26 0,23 0,21 0,25 0,22 0,22 0,21 0,23

Velocidad 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Tension 3,33 3,48 3,68 3,87 4,09 4,3 4,47 4,68 4,87 5,06 5,27

σ2 0,20 0,15 0,20 0,19 0,22 0,21 0,17 0,21 0,19 0,19 0,21

Cuadro 6.1: Obtencion de la friccion viscosa. Velocidad en o/s, Tension en V, σ2 en Vs/o

Fc = U − σ2θ (6.19)

El valor medio obtenido, de esta manera, para la friccion viscosa y de coulomb sepresenta en el cuadro (6.2)

σ2 0,2089 Vs/o

Fc 0,7236 V

Cuadro 6.2: Valores medios de la friccion viscosa y de coulomb

6.2.3. Obtencion de la inercia

Para obtener la inercia del sistema realizamos movimientos senoidales ampliosy seleccionamos aquellos puntos en los que la aceleracion esta lejos de ser nula.Ası mismo, debido a otros efectos de friccion no considerados, deberemos desecharaquellos puntos cuya velocidad sea muy baja. De esta manera, nos quedaremos conlos puntos que indica la figura (6.4)

De la ecuacion de movimiento (6.13) podemos poner:

I =Ua − Fcsign(θ)− σ2θ

θ(6.20)

Previamente hay que conocer los valores de Fc y σ2 para calcular I. Buscaremoslos valores que minimicen la varianza de la muestra obtenida, mediante el siguientemetodo:


Figura 6.3: Valores de la friccion viscosa y de coulomb

1. Partiendo del valor Fc obtenido en el experimento anterior, calculamos el valorde I para cada uno de los valores de la muestra y lo expresamos en funcion deσ2

2. Calculamos el valor de σ2 que minimiza la varianza de la distribucion de I

3. Tomando ahora como dato el valor de σ2 obtenido, calculamos el valor de Ipara cada uno de los valores de la muestra y lo expresamos en funcion de Fc

4. Calculamos el valor de Fc que minimiza la varianza de la distribucion de I. Yvolvemos a iterar hasta que Fc y σ2 converjan.

En la segunda iteracion ya ha convergido a los valores dados en el cuadro (6.3)

Comparando estos valores con lo obtenidos en el experimento a velocidad cons-tante se observa que:


Figura 6.4: Seleccion de puntos para obtener la inercia

Figura 6.5: Variacion de la desviacion tıpica de la inercia al variar la friccion viscosa y la

friccion de coulomb


σ2 0,2089 Vs/o

Fc 0,704 V

I 0,00746 V s2/o

Cuadro 6.3: Valores medios de la friccion viscosa y de coulomb

1. El valor de la friccion viscosa obtenido en ambos experimentos es identico.

2. El valor de la friccion de coulomb, obtenido en el experimento dinamico, esinferior al valor obtenido en el experimento estatico (velocidad constante).Nos quedaremos con el valor inferior para evitar sobrecompensaciones de lafriccion, que pueden conducir a sobreoscilaciones y/o otros comportamientosindeseados.

6.2.4. Obtencion de la friccion estatica

Experimento estatico

Para obtener un valor de la friccion estatica se realiza el siguiente experimento:Se introducen senales de control en rampa, de forma que la tension va creciendo deforma constante. En el momento, en que el encoder de la carga indica que ha habidomovimiento, se anota ese valor de tension como valor de la friccion estatica, quehay que vencer para poner en movimiento el sistema. A continuacion se introducenuevamente la rampa desde cero, repitiendose el proceso muchas veces. De estaforma se obtiene un valor de la friccion estatica para velocidad nula, tal y como lahabıamos definido.

V alor medio Unidades

Fs + 0.3704 V

Fs − 0.4914 V

Cuadro 6.4: Valores medios de la friccion estatica


Figura 6.6: Experimento de friccion estatica positiva

Figura 6.7: Experimento de friccion estatica negativa


Figura 6.8: Experimento dinamico de friccion estatica positiva

Experimento dinamico

Para realizar este experimento se procede a realizar un control en bucle cerradocon la siguiente filosofıa:

1. Si la velocidad es nula se incrementa el par motor una cantidad constante ∆U

2. Si la velocidad no es nula se reduce el par motor en la misma cantidad ∆U

De esta manera, se pretende mantener el sistema con un movimiento constante avelocidad practicamente nula, siendo el valor del par motor en esas circunstancias,el valor de la friccion estatica a velocidades muy bajas (pero no siempre nulas), porlo que esta friccion debera considerarse como un valor intermedio entre la friccionde coulomb a velocidades muy bajas y la friccion estatica.


Figura 6.9: Experimento dinamico de friccion estatica negativa

V alor medio Unidades

Fs + 0.6468 V

Fs − 0.5859 V

Cuadro 6.5: Valores medios de la friccion estatica

Consideraciones sobre la friccion estatica

Dado que los valores de friccion estaticas obtenidos son menores que los obtenidospara la friccion de coulomb, podemos ignorar en primera aproximacion el efecto de lafriccion estatica cuando estemos usando una compensacion de la friccion de coulomb,pues el valor aplicado en compensacion de esta, es superior al valor necesario paraponer en movimiento el sistema.


6.2.5. Valores finales del modelo

Finalmente de la ecuacion (6.14) y los datos del fabricante:

V alor Unidades

km 0.139 NmA

kb 0.139 V srad

Ra 3.0 Ω

La 7.8 mH

J 0.0198 kgm2

B 0.548 kgm2

s

Fc 0.704 V

Cuadro 6.6: Datos del fabricante y datos identificados

Finalmente, haciendo uso de las ecuaciones (6.2, 6.3, 6.5 y 6.9) obtenemos (conT=0.01s):

V alor Unidades

a1 0.7558 −

b1 0.006127o

V

b2 0.005566o

V

bv 1.169o

V s

Fc 0.704 V

Cuadro 6.7: Valores del modelo discreto

GP (z−1) =θ

Ua

=b1z

−1 + b2z−2

(1− z−1)(1− a1z−1)

A partir de la senal de referencia, se puede aplicar la compensacion en preali-mentacion. De esta forma, evitamos la dinamica que puede aparecer en el bucle derealimentacion.


Figura 6.10: Diagrama de bloques del modelo discreto con compensacion de la friccion de

coulomb en realimentacion

Figura 6.11: Diagrama de bloques del modelo discreto con compensacion de la friccion de

coulomb en prealimentacion

Capıtulo 7

Control Predictivo Lineal

7.1. Introduccion

7.1.1. El Control Predictivo Basado en Modelo

El Control Predictivo Basado en Modelo (MBPC) consiste en resolver un pro-blema de optimizacion en cada instante k, para calcular una senal de control, uk,para aplicar al sistema a controlar. Al contrario que otros metodos de control, elMBPC necesita de un modelo del sistema a controlar, esto conlleva la necesidadde un estudio previo del sistema. El objetivo del MBPC es minimizar una funcionobjetivo, J(u), en cada instante k. Esta funcion objetivo, o funcion de costes, seevalua usualmente en funcion de los siguientes puntos:

yk − rk diferencia entre las salidas y las referencias futuras

uk senal de control

4uk incremento de la senal de control

59

60 Capıtulo 7. Control Predictivo Lineal

Y se utilizan una matrices de ponderacion para variar el comportamiento deseado.De esta forma, se puede expresar:

J(u) =

Np∑k=1

λk · (yk − rk)2 +

Nc−1∑k=0

βk · u2k +

Nc−1∑k=0

αk · 4u2k (7.1)

Donde Np y Nc son el horizonte de prediccion y de control respectivamente. Esteconcepto de horizonte hace referencia a cuanto se mira hacia delante, y usualmentese emplea el termino horizonte deslizante para describirlo, significando que en cadainstante el horizonte contemplado es desplazado una unidad hacia el futuro pararesolver las ecuaciones y obtener la senal de control. Hay que destacar que de laresolucion de las ecuaciones se obtiene una secuencia de senales de control uk k =0, ..., Nc − 1 de la que solo sera aplicable la primera.

7.1.2. Metodos de resolucion

El metodo de resolucion del problema de optimizacion puede ser fundamental ala hora de la implantacion del controlador, dado que ha de encontrarse una solucionvalida antes del siguiente tiempo de muestreo. Unos posibles metodos pueden ser:

Programacion cuadratica: metodo recursivo y repetido en cada paso, tieneun gran coste computacional, por lo que hace difıcil escoger pequenos tiemposde muestreo.

Resolucion analıtica: metodo precomputacional, las ecuaciones quedan re-sueltas en funcion de parametros, de manera que el coste computacional esmuy bajo, al no tener que resolver el problema en cada instante.

7.1.3. Las restricciones

Este problema de optimizacion puede dotarse de restricciones en cualquiera delas variables que se deseen contemplar. Estas restricciones las podemos dividir endos tipos:

Igualdades: Este tipo de restricciones reduce la carga computacional en losdos metodos anteriormente contemplados.

7.1. Introduccion 61

Desigualdades: Este tipo de restricciones no pueden aplicarse, generalmente,cuando se realiza una resolucion analıtica.

7.1.4. Modelos de prediccion

Es necesario un modelo de prediccion que represente el comportamiento del sis-tema a controlar. Este se puede obtener mediante:

Un estudio de las propiedades fısicas del sistema

Una identificacion matematica

Ademas, existen varias formas de representar el modelo de prediccion:

Respuesta al impulso

Respuesta al escalon

Funcion de transferencia

Espacio de estados

A partir de aquı se usara la forma Funcion de transferencia para cualquierexplicacion, por haber sido la forma elegida para la aplicacion.

Este modelo tiene la forma

A(z−1)y(t) = B(z−1)u(t)

al que se le anade ademas un modelo de perturbaciones

n(t) =C(z−1)e(t)

D(z−1)

donde e(t) es un ruido blanco. Este modelo es conocido como CARIMA.Si se escoge

D(z−1) = 1− z−1 = 4


para realizar un modelo integrado, se consigue un control sin error en permanente. Yescogiendo C(z−1) = 1 por simplicidad computacional, finalmente el modelo quedacomo:

A(z−1)y(t) = B(z−1)u(t) +e(t)

4(7.2)

modelo conocido como ARIMA, donde:

A(z−1) = 1 + a1z−1 + . . . + anaz

−na

B(z−1) = b0 + b1z−1 + . . . + bnbz

−nb

7.1.5. La ley de control

Obtencion de la ley de control:

Una vez obtenido un modelo de prediccion y una funcion de costes, se eligen losparametros adecuados para el comportamiento deseado del sistema controlado. Ası,haciendo:

minJ(u) ⇒ dJ(u)du

= 0 ⇒ u = u(Np, Nc, λ, δ, α, β, Tm)

con: d2J(u)du2 = H > 0

se obtiene la secuencia de actuaciones uk que minimiza la funcion de costesJ(u). De esta secuencia de actuaciones, se usa unicamente la primera u0, ya que ensiguiente perıodo de muestreo, se volvera a recalcular la secuencia que minimice lafuncion de costes.

7.2. Ecuaciones

7.2.1. El controlador GPC

El ’Controlador Predictivo Generalizado’ se encuentra ampliamente co-mentado en la literatura cientıfica [4].

7.2. Ecuaciones 63

Se trata de un control predictivo basado en modelo mediante funcion de trans-ferencia, y usa la siguiente funcion de costes:

J(u) =

Np∑k=1

λk · (yk − rk)2 +

Nc−1∑k=0

4u2k

El modelo de prediccion se puede descomponer en una parte forzada mas una libre.La parte forzada responde a las entradas del sistema, mientras que la parte librerefleja la evolucion intrınseca del sistema. Ası:

y = G4u + f

Derivando la funcion de costes e igualando a cero se obtiene la ley de control como:

4u = −H−1 · h

donde:

H

2= GTλG + I

h

2= GTλ(f − r)

Y finalmente se puede expresar:

4u = k1 · (r− f)

donde k1 es la primera fila de (H2)−1

De esta forma la variacion de la actuacion es ponderada mediante los errores futurospredecidos.

7.2.2. El controlador PFC

El controlador PFC ’Predictive Functional Control’ ideado por Richalet [4], tienelas siguientes caracterısticas, que lo distinguen del sistema de control predictivo linealmas general:

1. La ley de control esta estructurada como una suma de funciones base.

2. La funcion de costes solo comprende algunos puntos, llamados ’puntos de co-incidencia’.


Las funciones base

Con el objetivo de reducir el numero de ecuaciones a resolver, reduciendo ası lacarga computacional, la ley de control responde a:

u(k) =i=n∑i=1

µiBi(k) (7.3)

donde las funciones Bi son escogidas en funcion de la naturaleza del proceso y de lareferencia, siendo normalmente polinomiales. El controlador aquı desarrollado utilizapolinomios como funciones base, que debe seguir la actuacion durante el horizontede control. El grado del polinomio se puede escoger para sintonizar el controlador.

Los puntos de coincidencia

El PFC aquı desarrollado no tiene en cuenta este concepto, en el que el con-trolador solo tiene en cuenta algunos puntos dentro del horizonte de prediccion,reduciendo ası la carga computacional al reducir el numero de variables.

7.2.3. Ecuaciones del PFC-R

El controlador desarrollado en el presente proyecto consiste en una variaciondel GPC, anadiendole un termino de error en velocidad a la funcion de costes, yestructurando la ley de control mediante funciones polinomicas como en un PFC,restringiendo ademas la actuacion mediante la obligacion de hacer coincidir el poli-nomio de control con los valores pasados.

Identificando el modelo del sistema como se vio en el capıtulo 6, se puedenobtener los modelos en posicion y velocidad necesarios para la formulacion:

Modelo ARIMA para la posicion:

A1(z−1)y(t) = B1(z

−1)u(t) +e1(t)

4

Identificando terminos se obtiene:

y = Gy · 4u + fy

7.2. Ecuaciones 65

Modelo ARIMA para la velocidad:

A2(z−1)v(t) = B2(z

−1)u(t) +e2(t)

4Identificando terminos se obtiene:

v = Gv · 4u + fv

Una forma de identificacion de terminos para y y v se puede encontrar en [4]

La funcion de costes escogida tiene en cuenta los errores en posicion y velocidadfuturos, ademas del coste del incremento de la actuacion:

J(u) =

Np∑k=1

λk · (yk − rk)2 +

Np∑k=1

δk · (vk − rk)2 +

Nc−1∑k=0

αk · 4u2k (7.4)

En forma matricial:

J =1

24uTH4u +4uTh + f0

Restricciones en el polinomio de control

Con el objeto de reducir el ruido que aparece en la senal de control, se aplicauna restriccion sobre el polinomio en que se basa esta senal. Esta restriccion vin-cula la secuencia de actuaciones, predecidas en cada perıodo de muestreo, con lasactuaciones pasadas.

En el caso particular de un polinomio base de primer orden, y una restriccion depasado unitaria, se obtiene una secuencia de actuaciones, con forma de recta, quepasa necesariamente por la ultima actuacion. En ese caso concreto, el conjunto deecuaciones se convierte en una sola ecuacion con una sola incognita.

En la figura 7.1, se puede apreciar un ejemplo de aplicacion de polinomios deprimer grado con restricciones. En cada momento t, se calcula una recta de ac-tuaciones futuras, uk, k = 0, ..., Nc − 1. Como consecuencia de fijar el offset de larecta en el valor de actuacion anterior, se obtiene una secuencia de actuaciones enel tiempo, u0(t), de forma muy suave, que seran las realmente aplicadas.

En la figura 7.2, se aprecia el efecto de liberar las actuaciones de la restriccioncomentada. En ese caso la secuencia de actuaciones u0(t), presenta una forma bruscacon rapidos cambios de magnitud.


Figura 7.1: Actuaciones con polinomios de primer grado vinculados a la accion anterior

La senal de control sera polinomica de grado p:4u(k) = b0+b1k+. . .+bpkp ⇔

4u = K1b + K2b

El polinomio de control contendra q valores pasados: 4u = K1b + K2b

Queda: 4u−q

· · ·4u−1

4u0

· · ·4uNc−1

=

1 −q · · · (−q)p

......

. . ....

1 −1 · · · (−1)p

1 0 · · · 0...

.... . .

...1 (Nc − 1) · · · (Nc − 1)p

·

b0

b1...bp

(7.5)

En forma compacta: [4u4u

]=

[K1 K2

K1 K2

]·[

bb

](7.6)

7.2. Ecuaciones 67

Figura 7.2: Actuaciones con polinomios de primer grado sin vinculacion a la accion anterior

donde las dimensiones de los distintos vectores y matrices son:

K1 : (Nc x (p− q + 1)) b : ((p− q + 1) x 1)K2 : (Nc x q) b : (q x 1)K1 : (q x (p− q + 1)) 4u : (q x 1)K2 : (q x q) 4u : (Nc x 1)

4u = K1 · b + K2 · b4u = K1 · b + K2 · b

(7.7)

Despejando:

b = K−12 (4u− K1b)

y sustituyendo se obtiene:

4u = K1b + K2K−12 (4u− K1b) = (K1 −K2K

−12 K1)b + K2K

−12 4u

4u = Kpb + Kc4u = Kpb + fc


y = Gy4u + fyv = Gv4u + fv4u = Kpb + fc

(7.8)

La funcion de costes escogida:

J =

Np∑i=1

λi(yi − ri)2 +

Np∑i=1

δi(vi − ri)2 +

Nc−1∑i=0

αi4u2

i (7.9)

J =1

24uTH4u +4uTh + f0 (7.10)

Donde:

H

2= GT

y λGy + GTv δGv + α

h

2= GT

y λ(fy − r) + GTv δ(fv − r)

Sustituyendo 4u por Kpb + fc:

J =1

2(Kpb + fc)

TH(Kpb + fc) + (Kpb + fc)Th + f0

se llega a:

J =1

2bTH′b + bTh′ + f ′

0

donde:

H′ = KTpHKp

h′ = KTp (Hfc + h)

f ′0 = fT

c (1

2Hfc + h) + f0

Ası, mediante:

∂J

∂bT= H′b + h′ = 0

se obtiene:

b = −H′−1h′

La secuencia de actuaciones futuras viene dada por:

4u = Kpb + Kc4u

7.2. Ecuaciones 69

y en virtud del concepto de horizonte deslizante tan solo interesa el primer elementode la secuencia:

4u0 = b0

De esta forma queda:

4u0 = ky(r− fy) + kv(r− fv) + kr4u

donde ky, kv y kr son, respectivamente, la primera fila de:

ky = (H′)−1KTpGT

y λ

kv = (H′)−1KTpGT

v δ

kr = − (H′)−1KTp (HKc)

Finalmente la senal de entrada al sistema se obtiene por integracion:

u0 = 4u0 + u−1

Y esta senal, u0, que sera la que aplicaremos, la podemos expresar en funcion deparametros de sintonizacion, valores de referencia en posicion y velocidad futuros, yvalores de realimentacion de los sensores de posicion, de velocidad y de actuacionesanteriores:

u0 = u0(Np, p, q, λ, δ, α, β︸︷︷︸parametros

, r︸︷︷︸ref

, yp,4up︸︷︷︸valores pasados

)

Extension de la funcion de costes al consumo electrico

Con el objeto de reducir el consumo electrico de los motores, se introduce en lafuncion de costes un nuevo termino que tiene en cuenta esta particularidad.

La funcion de costes es ahora:

J =

Np∑i=1

λi(yi − ri)2 +

Np∑i=1

δi(vi − ri)2 +

Nc−1∑i=0

αi4u2

i +Nc−1∑i=0

βici

J =1

2bTHb + bTh

Donde ci es el consumo de energıa calculado mediante (4.10) como:

ci = ui(ui − kevi)

Y haciendo un desarrollo similar al anterior se llega:

4u0 = ky(r− fy) + kv(r− fv) + kr4u + kcufu + kcvfv (7.11)


donde ky, kv, kr, kcu y kcv son, respectivamente, la primera fila de:

ky = (H′)−1KTpGT

y λ

kv = (H′)−1KTpGT

v δ

kr = − (H′)−1KTp (HKc)

kcu = − (H′)−1KTp (GT

u β −GTv βke)

kcv = (H′)−1KTpGT

u βke

con:

H

2= GT

y λGy + GTv δGv + α + GT

u βGu −GTu βkeGv

h

2= GT

y λ(fy − r) + GTv δ(fv − r) + GT

u βfu −GTu βkefv −GT

v βkefu

H′ = KTpHKp

h′ = KTp (Hfc + h)

7.2. Ecuaciones 71

Figura 7.3: Esquema de control del controlador PFC-R

Capıtulo 8

Resultado de los experimentos

sobre la plataforma

8.1. Introduccion

Con el fin de comprobar la bondad del controlador disenado, se realizaron mul-titud de experimentos, introduciendo distintas senales de referencia, y usando dife-rentes controladores.

Para poder comparar los resultados obtenidos entre los distintos metodos de con-trol, se realizo una sintonizacion de los distintos parametros de los controladores,y a partir de ahı se mantuvieron fijos dichos parametros, con el fin de que la sin-tonizacion no desvirtue la comparacion de las diferentes estrategias.

Para realizar las comparaciones entre los diferentes controladores, se usaron cua-tro ındices distintos, representando cada uno una cualidad del controlador:

Error de seguimiento en posicion Este ındice representa el error cometido en-tre la carga y la referencia durante el seguimiento y posicionamiento, yesta definido como un error cuadratico medio, equivalente a la suma de los

73

74 Capıtulo 8. Resultado de los experimentos sobre la plataforma

cuadrados de los errores partido por el numero de muestras tomadas en elexperimento.

Ruido en el motor Este ındice mide el ruido que aparece en la senal de actuacion(tension del motor) y se expresa en decibelios. Se agrupa todo el espectro fre-cuencial en dos valores: tension aplicada a baja frecuencia; y tension aplicadaa alta frecuencia.

Tension maxima aplicada Este ındice indica el mayor valor de la tension aplicadaal motor durante todo el experimento.

Consumo Este ındice expresa el consumo electrico total del motor, expresado enJulios, durante el experimento completo.

8.2. Controladores ensayados

El controlador PFC desarrollado en el capıtulo 7 se ensaya con dos variantes:

Con restricciones de pasado en el polinomio de control (PFC-R)

Sin restricciones en el polinomio de control (PFC-NR)

Se ensaya ademas un controlador PID con el fin de realizar una comparacion conlos controladores predictivos realizados.

Controlador PID

El control PID se basa en proporcionar una actuacion que es proporcional alerror instantaneo, a la integral del error pasado, y a la derivada instantanea delerror. Ası, expresado en terminos discretos:

u((k + 1)t) = Kp e(kt) + Ki

kt∑0

e(kt) + Kd∆e(kt)

∆t

e(kt) = r(kt)− y(kt)

Debido al fuerte ruido que introduce el termino derivativo, anulamos la constanteKd

8.2. Controladores ensayados 75

Figura 8.1: Esquema de control PID

Kp Ki Kd

2 2.5 0

Cuadro 8.1: Parametros del controlador PID

Este controlador debera responder suavemente ante referencias en escalon.

Presentara pequenos retrasos y ganancias no unitarias ante referenciassenoidales rapidas.

Controlador PID rapido

Se ensayo un controlador con la misma filosofıa pero de comportamiento masrapido, con el objetivo de reducir el error cometido en seguimientos de referenciascon cambios de velocidad.

Al igual que en el caso anterior anulamos la constante Kd para evitar amplificarlos ruidos.

Kp Ki Kd

5 10 0

Cuadro 8.2: Parametros del controlador PID rapido


Este controlador sera suficientemente rapido en el seguimiento de referenciasen rampa o senoidales, pero a cambio produce sobreoscilaciones demasiadobruscas cuando se introducen referencias en escalon.

Este tipo de control no es muy indicado para el control del pedestal, ya que laselevadas aceleraciones, que se producirıan en determinados momentos, provo-carıan cargas inerciales demasiado elevadas, que pueden causar danos por fati-gas estructurales de los elementos que componen el pedestal.

Controlador PFC con restriccion de pasado (PFC-R)

Las ecuaciones de este controlador se desarrollan en el capıtulo 7. Consiste en uncontrol predictivo lineal basado en modelo, usando como funcion de costes el erroren posicion, error en velocidad, consumo electrico, e incrementos de tension.

La ecuacion base del polinomio de control es una recta, por lo que para el calculode la secuencia de actuaciones futuras, solo quedan dos variables independientes: lapendiente y el offset. La restriccion de pasado que se realiza en este controlador,consiste en fijar el offset de esta recta en el valor de ultima actuacion. De estaforma, queda unicamente la pendiente de la recta como variable independiente aoptimizar segun la funcion de costes.

Figura 8.2: Esquema de control PFC

8.2. Controladores ensayados 77

Grado del polinomio 1

Grado de restriccion 1

Horizonte de prediccion 30

Horizonte de control 30

Coste de error en posicion 100

Coste de error en velocidad 1

Coste de incremento de tension 1

Coste de consumo electrico 1

Cuadro 8.3: Parametros del controlador PFC-R

Este controlador debera responder mas suavemente ante referencias en escalonque el controlador PID rapido, ademas sera igualmente rapido en el seguimien-to de referencias en rampa o senoidales, por lo que esta indicado para cualquiertipo de referencia.

Por la estrategia del control se espera que el ruido se atenue en gran medida.

La introduccion de la restriccion en el polinomio de control, puede provocarligeras desviaciones respecto de la solucion virtualmente optima.

Controlador PFC sin restriccion de pasado (PFC-NR)

Este controlador es, basicamente, el mismo que el anterior, pero sin imponerninguna restriccion en el polinomio de control.

Este controlador debera responder de forma muy parecida al PFC-R, aunqueal no tener la restriccion del anterior pueden aparecer mayores ruidos.


Grado del polinomio 1

Grado de restriccion 0

Horizonte de prediccion 30

Horizonte de control 30

Coste de error en posicion 100

Coste de error en velocidad 1

Coste de incremento de tension 1

Coste de consumo electrico 1

Cuadro 8.4: Parametros del controlador PFC-NR

8.3. Experimentos

Se realizaron multiples experimentos de seguimiento de trayectorias, de los quese destacan los que se muestran en los puntos siguientes.

Se emplearon trayectorias en escalon, senoidales, triangulares, constantes, convariadas amplitudes, con el fin de representar lo mejor posible el comportamientode los diferentes controladores.

Se probo ademas el comportamiento de los controladores ante el ruido, al inyectarun ruido blanco de media nula en el sensor de posicion (encoder).

Para cada referencia adoptada, se representa el comportamiento de todos loscontroladores sobre la misma figura, para cada uno de los ındices de valoracion(Error en posicion, Tension aplicada, Consumo, y Ruido)

Ademas se ofrece una comparacion de los valores obtenidos para los distintosındices respecto al controlador PID. Representados como variacion relativa respectoal valor del PID.

8.3. Experimentos 79

8.3.1. Experimento de seguimiento de escalones

Senal de referencia : Cuadrada

Amplitud = 2o (pico a pico)Frecuencia = 0,2 Hz

Figura 8.3: Seguimiento de escalones


Experimento de seguimiento de escalones: tension

Figura 8.4: Tension aplicada en el seguimiento de escalones


Experimento de seguimiento de escalones: consumo

Figura 8.5: Consumo acumulado en el seguimiento de escalones


Experimento de seguimiento de escalones: ruido

Figura 8.6: Valores frecuenciales de la senal de control (medidos en dB)


8.3.2. Experimento de seguimiento de senales senoidales

Senal de referencia : Senoidal


Figura 8.7: Seguimiento de referencia senoidal


Experimento de seguimiento de senales senoidales: tension

Figura 8.8: Tension aplicada en el seguimiento de senoides


Experimento de seguimiento de senales senoidales: consumo

Figura 8.9: Consumo acumulado en el seguimiento de senoides


Experimento de seguimiento de senales senoidales: ruido



8.3.3. Experimento de seguimiento de triangulos

Senal de referencia : Triangular


Figura 8.11: Seguimiento de rampas


Experimento de seguimiento de triangulos: tension

Figura 8.12: Tension aplicada en el seguimiento de rampas


Experimento de seguimiento de triangulos: consumo

Figura 8.13: Consumo acumulado en el seguimiento de rampas


Experimento de seguimiento de triangulos: ruido



8.3.4. Experimento de sensibilidad al ruido

Senal de referencia : Constante

Amplitud = 0o

Ruido blanco anadido al encoder

Figura 8.15: Referencia constante


Experimento de sensibilidad al ruido: tension

Figura 8.16: Tension aplicada para referencia constante


Experimento de sensibilidad al ruido: consumo

Figura 8.17: Consumo acumulado para referencia constante


Experimento de sensibilidad al ruido: ruido



8.3.5. Experimento de saturacion

Figura 8.19: Tension aplicada para el seguimiento de escalones de gran amplitud


8.4. Resultados obtenidos

A la vista de los resultados obtenidos en los experimentos, realizados sobre laplataforma de orientacion, se puede destacar para los controladores PFC-R y PFC-NR ensayados, respecto del controlador PID:

PFC-NR

Error en posicion (figura 8.20) El error cometido por el PFC-NR se reduce no-tablemente, sobre todo en el caso de referencias no constantes. En el caso deruido en el sensor de posicion, el posicionamiento final es muy ruidoso en elcaso de referencias constantes.

Tension maxima aplicada (figura 8.21) Los valores de tension maxima, aplicadospor el controlador al motor, son superiores a los proporcionados por el PID parareferencias triangulares. Dependiendo de la referencia pueden ser superiores oinferiores.

Consumo (figura 8.22) EL controlador PFC-NR, logra disminuir notablemente elconsumo electrico del motor, gracias a la aplicacion del par de forma massuave. Aunque la presencia de ruidos puede elevar mucho el consumo.

Ruido (figura 8.23) La senal de control se aplica, dependiendo de la referencia, auna frecuencia muy alta, bastando unicamente la discretizacion del encoderpara inyectar ruido de alta frecuencia en la senal de control.

PFC-R

Error en posicion (figura 8.20) El error cometido se reduce notablemente, sobretodo en el caso de referencias con velocidad no nula.

Tension maxima aplicada (figura 8.21) Los valores de tension maxima, aplicadospor el controlador al motor, son muy inferiores para referencias en escalon. Elcontrolador PFC-R no reacciona tan bruscamente como el controlador PID,cuando se producen cambios en la referencia.

Consumo (figura 8.22) EL controlador PFC-R, logra disminuir notablemente elconsumo electrico del motor, gracias a la aplicacion del par de forma massuave.

Ruido (figura 8.23) La senal de control se aplica a una frecuencia muy baja, sincomponentes de alta frecuencia, incluso con grandes ruidos en el sensor deposicion.

8.4. Resultados obtenidos 97

Figura 8.20: Comparacion del error cuadratico medio, de los controladores para diferentes

referencias

Figura 8.21: Comparacion de la tension maxima aplicada, de los controladores para difer-

entes referencias


Figura 8.22: Comparacion del consumo, de los controladores para diferentes referencias

Figura 8.23: Comparacion de la componente de alta frecuencia de la senal de control, de

los controladores para diferentes referencias

Capıtulo 9

Conclusiones

9.1. Comparacion de controladores

A partir de los experimentos realizados se muestra la tabla 9.1, que contienela valoracion de los distintos parametros que se han considerado para evaluar labondad de los controladores. En dicha tabla se observa que el controlador PFC-Raventaja a los demas en todos los parametros.

Para cada uno de los controladores se puede destacar:

El controlador PID

Este controlador tiene que utilizarse con el termino derivativo muy bajo, debidoa la gran amplificacion del ruido que presenta ese termino. Debido a esto, elPID pierde capacidad de sintonizacion.

Este controlador produce saturaciones en el motor cuando se siguen referenciascon variaciones bruscas, como es el caso de secuencias en escalon.

El comportamiento del controlador varıa notablemente segun el tipo de refer-encia adoptada. De esta forma, un controlador multiproposito para seguimien-to de referencias mixtas, se ve obligado a usar valores relajados en su sin-tonizacion, para evitar fuertes sobreoscilaciones.

99

100 Capıtulo 9. Conclusiones

PID PFC-R PFC-NR

Sensibilidad al ruido Depende de la Muy baja Muy alta

en el sensor de posicion sintonizacion

Comportamiento segun Muy variable No depende No depende

tipo de referencia

Consumo electrico Variable Bajo Bajo

del motor

Error cuadratico Muy variable Muy bajo Muy bajo

medio segun referencia

Tension maxima Muy alta Baja Variable

aplicada Puede saturar Evita saturacion Puede saturar

Cuadro 9.1: Comparacion de controladores

El controlador PFC-NR

Debido a la ausencia de restricciones en el control, se pueden producir nivelesde tension demasiado elevados, por lo que satura el motor y el control pierdeel caracter optimo. Ademas estas saturaciones no predecidas pueden producirsobreoscilaciones.

Presenta una gran sensibilidad al ruido en el sensor de posicion. Esto hace queante la presencia de ruido en el sensor de posicion, el error de posicion y elconsumo aumenten notablemente, debido fundamentalmente al aumento de latension aplicada debido al ruido.

El controlador PFC-R

Su comportamiento no varıa segun el tipo de referencia adoptada, por lo quees el controlador multiproposito adecuado para el seguimiento de referenciasmixtas.

Presenta un magnıfico comportamiento frente al ruido en el sensor de posicion.El posible ruido que pueda aparecer en el sensor de posicion afecta muy pocoal controlador, que sigue utilizando una senal de control muy suave.

9.2. Valoracion del controlador PFC-R 101

El control evita la saturacion del motor al proporcionar bajos niveles de ten-sion, incluso para referencias bruscas en escalon.

Reduce en buena medida el error de posicion, independientemente de la refe-rencia adoptada, sin necesidad de resintonizacion.

El movimiento de la carga, ante cambios bruscos de la senal de referencia,se realiza de forma suave. El controlador actua antes de que se produzca elcambio, para poder frenar o acelerar antes de que la inercia lo aleje de latrayectoria deseada.

El consumo es igualmente reducido para cualquier referencia.

La adicion del coste en velocidad a la funcion de costes, aporta mayor estabi-lidad al controlador.

Permite la sintonizacion para el seguimiento de trayectorias en posicion o en ve-locidad, simplemente ajustando el parametro asociado en la funcion de costes.Ademas de poderse sintonizar para reducir el consumo.

9.2. Valoracion del controlador PFC-R

A la vista de los resultados se puede concluir que, el controlador PFC-R esun controlador muy adecuado para el seguimiento de trayectorias de orientacion,aventajando al clasico PID en todos los parametros analizados. La adicion de res-tricciones en el control convierte al PFC-R en un controlador mucho mas indicadoque el PFC-NR al dotarle de mayor rechazo del ruido. El controlador PFC-R:

Responde de manera eficaz ante cualquier tipo de referencia.

Presenta un elevado rechazo al ruido.

Tiene una gran versatilidad, pudiendose sintonizar con facilidad para: el controlen posicion, el control en velocidad,y para la reduccion del consumo.

102 Capıtulo 9. Conclusiones

9.3. Desarrollos futuros

Para mejorar la eficacia del controlador, siguiendo la misma filosofıa de control,se contempla la posibilidad de realizar las siguientes mejoras:

Realizacion de un proceso de identificacion del modelo en tiempo real, y suintegracion en el algoritmo de control para lograr obtener un controlador adap-tativo, que no se vea influenciado por las variaciones de temperatura, desgaste,suciedad, y todos aquellos cambios, que hacen necesario ajustar los parametrosdel modelo en el que se basa el controlador.

Mejora del modelo de friccion empleado, especialmente a bajas velocidades,donde se notan mas los efectos no lineales.

Uso de giroscopos para medir la orientacion de la plataforma.

Bibliografıa

[1] The Control Handbook. Ed. IEEE Press, 1996.

[2] Advanced Motion Controls. Catalogo. be15a series brushless servo amplifiers,2001.

[3] dSPACE. DS1102 PPC Controller Board, RTI Reference. 1999.

[4] E.F.Camacho and C. Bordons. Model predictive control, 1999.

[5] Eltra. Catalogo. eh-el53a / b encoder incremental, 2002.

[6] K.J.Astrom, C.Canudas de Wit, H. Olsson, and P. Lischinscky. A new model forcontrol on systems with friction. 1999.

[7] AB Motors. Catalogo. ld-series brushless servo motor, 2002.

[8] Miguel Angel Gomez Cordones. Control de plataforma giroestabilizada, 2002.

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