Departamento de Matem´atica Aplicada II....Examen de Junio (Segundo Parcial). 2002-03. E-5 Algebra....

Primer Parcial. 2002-03. E-1

Algebra. 2002-2003. Ingenierıa Aeronautica.

Departamento de Matematica Aplicada II.

Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Primer Examen Parcial. 31-1-2003.

Ejercicio 1.

(a) Sea Q : R3 −→ R la forma cuadratica definida mediante

Q(x, y, z) = x2 + 3y2 + 2αz2 − 2xy − 6yz + 2xz (α ∈ R).

a1) Reduce Q a suma de cuadrados (dando las relaciones entre las variables iniciales ylas finales) y estudiala en funcion de α.

a2) Tomando α = 1, determina (si es posible) dos puntos (x, y, z) ∈ R3 tales que

Q(x, y, z) = −4.

(b) Calcula la ecuacion reducida y (dando sus elementos caracterısticos) representa grafica-mente la cuadrica de ecuacion 4x2 + 4y2 − z2 − 16x − 8y + 16 = 0.

¿De que tipo de cuadrica se trata? ¿Es una superficie de revolucion?

(c) Calcula An siendo

A =

2 0 1 00 2 0 10 0 2 00 0 0 2

.

Ejercicio 2. Considera la matriz A

A =

−1 0 1 2 1−2 2 2 5 01 −4 0 −3 3−3 2 3 7 3

.

Sin hacer intercambios de filas, reduce la matriz A a forma escalonada por filas y de lo queobtengas deduce:

(a) La factorizacion A = LU .

(b) La dimension y una base de Col (A).

(c) La dimension y una base de Nul (A).

Algebra. F. Mayoral Ingenierıa Aeronautica.

E-2 Primer Parcial. 2002-03.

Ejercicio 3.

(a) Da la interpretacion geometrica y expresa en forma compleja y en forma matricial elresultado de las siguientes transformaciones en el plano (en el orden dado)

• Giro de centro el origen y angulo ϕ = π3.

• Simetrıa respecto al eje OY .• Homotecia de centro el origen y razon ρ = 3.• Traslacion de vector (2,−1).

(b) Calcula la ecuacion de la superficie de revolucion que se obtiene al girar la recta

d ≡{

x = 0y + z = 1

alrededor del eje OZ.

Ejercicio 4. Considera los subespacios vectoriales E y F de R4 definidos mediante

E = Gen

u1 =

12−13

, u2 =

1101

, u3 =

5142

, F ≡

x1+x2+2x3+2x4 = 0,x1+x2−3x3−3x4 = 0,x1+x2+4x3+4x4 = 0,x1+x2+5x3+5x4 = 0.

(a) Determina E ∩ F y E + F en forma implıcita y en forma parametrica.

(b) Calcula una base de E, una base de F y una base de E + F .

(c) Calcula las coordenadas de w respecto de la base de E + F obtenida en (b) y expresaw = [ 3, 2, −1, 4 ]T como suma w = u + v con u ∈ E y v ∈ F .


Segundo Parcial. 2002-03. E-3




Segundo Examen Parcial. 14-06-2003.

Ejercicio 1. Consideremos la matriz A y el vector w dados por

A =

3 3 7 −61 0 0 00 −1 0 00 0 −1 0

, w =

2−101

.

(a) [3 puntos] Estudia si A es diagonalizable.

(b) [3 puntos] Estudia si w es un autovector o un autovector generalizado de A (o ningunade las dos cosas).

(c) [3 puntos] Calcula A50w.

(d) [1 puntos] ¿Es diagonalizable AT A mediante una matriz de paso ortogonal? Justifica larespuesta.

Ejercicio 2.

(a) [4 puntos] Consideremos una matriz A real m×n, el subespacio S = Col (A) y un vectorb ∈ R

m. Demuestra que los sistemas de ecuaciones

Ax = proy S(b) y AT Ax = AT b

son compatibles y tienen los mismos conjuntos de soluciones. ¿Que tiene que verificarla matriz A para que los sistemas anteriores tengan solucion unica?

(b) [4 puntos] Consideremos los vectores y el subespacio vectorial dados por

v1 =

−11−3

, v2 =

2αα3

, u =

α0−1

; S ≡ x1 + x2 + αx3 = 0.

Determina α sabiendo que proy S(v1) = proy S(v2) = u. (un dibujo puede ayudar)

(c) [2 puntos] Sea A una matriz cuadrada de orden 25 cuyo rango es 21. ¿Que sucede alaplicar el metodo de Gram-Schmidt a los vectores columna de A? ¿Cuantas veces? ¿Porque?


E-4 Segundo Parcial. 2002-03.

Ejercicio 3.

(a) [2 puntos] Sea A una matriz cuadrada diagonalizable cuyos unicos autovalores son λ1 = 1y λ2 = 0 (con sus correspondientes multiplicidades). Demuestra que

A2 = A.

(b) [4 puntos] Sean S1 y S2 los subespacios vectoriales de R4 definidos mediante

S1 ≡ x1 + x2 + x3 + x4 = 0, S2 ≡ x1 + x2 − x3 − x4 = 0.

Determina el vector v ∈ R4 sabiendo que sus proyecciones ortogonales sobre S1 y S2 sonrespectivamente

u1 = proy S1(v) =

3−55−3

, u2 = proy S2(v) =

7−17−1

.

(c) [4 puntos] Siendo S1 y S2 los subespacios vectoriales dados en el apartado anterior,calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre el subespacio S = S1 ∩ S2.


Examen de Junio (Segundo Parcial). 2002-03. E-5




Examen Final de Junio (Segundo Parcial). 7-07-2003.

Ejercicio 1. Considera la matriz A dada por

A =

−5 1 0−8 0 −14 0 0

.

(1.1) [4 puntos] Determina, si es posible, una base de R3 formada por autovectores y auto-vectores generalizados de A.

(1.2) [4 puntos] Calcula An para n = 1, 2, . . . .

(1.3) [2 puntos] Calcula los autovalores y autovectores de A + 2I y determina los vectoresb ∈ R3 para los que el sistema de ecuaciones

(A + 2I)x = b

es compatible.

Ejercicio 2.

(2.1) [3 puntos] Enuncia las propiedades mas importante de los autovalores y autovectoresde una matriz simetrica real y el Teorema espectral (para matrices reales simetricas).

(2.2) [5 puntos] Determina una matriz real simetrica A sabiendo que sus autovalores sonλ1 = −1 (simple) y λ2 = 0 (doble) y que los vectores

v1 =

12−1

, v2 =

2−10

son autovectores de A asociados respectivamente a λ1 y λ2.

(2.3) [2 puntos] Siendo A la matriz obtenida en el apartado anterior, calcula la matriz dela proyeccion ortogonal sobre el espacio nulo de A y sobre el espacio columna de A.


E-6 Examen de Junio (Segundo Parcial). 2002-03 .

Ejercicio 3.

(3.1) [4 puntos] Halla la ecuacion reducida, dando los cambios de variables adecuados, yrepresenta la conica de ecuacion

x2 + 4xy + 4y2 − 2√

5x +√

5y = 0.

(3.2) [4 puntos] Sea S el subespacio de R4 definido por S ≡ x1+2x2+3x3+4x4 = 0. Calculalos vectores de R4 cuya proyeccion ortogonal sobre S es el vector u = [1 − 1 − 1 1]T ycuya distancia a S es 5.

(3.3) [2 puntos] Determina los valores de α para los que el sistema de ecuaciones

1 1 −11 0 −22 3 α0 1 α2

xyz

=

1000

tiene infinitas soluciones en el sentido de los mınimos cuadrados y calcula dichas solu-ciones.


Examen de Junio (Primer Parcial). 2002-03. E-7




Examen Final de Junio (Primer Parcial). 7-07-2003.

Ejercicio 4. Sean E y F los subespacios vectoriales definidos por

E = Col

−1 0 12 1 11 1 21 −1 −4

, F ≡

x1 + x2 − 2x3 − x4 = 0,2x1 + x2 − x3 = 0,

x1 + 2x2 − 5x3 − 3x4 = 0.

(4.1) [3 puntos] Determina las ecuaciones implıcitas de E y una base de F .

(4.2) [3 puntos] Calcula una base de E ∩ F y amplıala hasta una base de F .

(4.3) [1 punto] Calcula la dimension de E + F .

(4.4) [3 puntos] Demuestra que si {v1, v2, . . . , vr} es un conjunto de vectores de Rn lineal-mente independientes y P es una matriz n × n no-singular, entonces los vectoresPv1, P v2, . . . , P vr son linealmente independientes.

Ejercicio 5.

(5.1) [3 puntos] Reduce y clasifica, en funcion de a ∈ R, la forma cuadratica ϕ : R3 −→ R

definida por ϕ(x1, x2, x3) = x21 + ax2

2 + 3x23 − 4x1x2 + 2x1x3 − 8x2x3.

(5.2) [2 puntos] Determina el punto del plano que se obtiene a partir de z = 3+2i al hacerun giro de angulo θ = π/6 alrededor de z0 = 1 + i.

(5.3) [3 puntos]

(5.3.1) Calcula la parte imaginaria del coeficiente del termino de grado 3 de

(

z + ei π

4

)10.

(5.3.2) Resuelve (calcula todas las soluciones complejas de) la ecuacion

(z + 1 + i)4 = −4.

(5.4) [2 puntos] Calcula la ecuacion reducida y (dando sus elementos caracterısticos) repre-senta graficamente la cuadrica de ecuacion 4x2 − y2 − 4z2 + 8x + 4y − 8z = 8.

¿De que tipo de cuadrica se trata? ¿Es una superficie de revolucion?


E-8 Examen de Septiembre. 2002-03.




Examen Final de Septiembre. 10-09-2003.

Ejercicio 1. Considera la matriz

A =

−4 3 2−4 α 40 1 −2

para α ∈ R.

(1.1) [3 puntos] Calcular, cuando exista, la factorizacion A = LU . Para α = 2, determinaruna base y unas ecuaciones implıcitas de Col (U).

(1.2) [5 puntos] Para α = 2, calcular Anu0 siendo u0 =

111

.

(1.3) [2 puntos] Definir el concepto de matriz de Markov. Probar que λ = 1 siempre esautovalor de una matriz de Markov.

Ejercicio 2. Sea A una matriz 4 × 3 tal que

Nul (A) = Gen

−351

, Col (A)⊥ = Gen

v1 =

1−110

, v2 =

2−101

.

(2.1) [4 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal del vector v = [1 1 1 1]T ∈ R4 sobre elsubespacio Col (A).

(2.2) [2 puntos] Amplıa {v1, v2} a una base de R4 y calcula las coordenadas de v respectoa dicha base.

(2.3) [4 puntos] Determina la matriz A sabiendo que es de la forma A =

1 0 ∗2 1 ∗∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

.


Examen de Septiembre. 2002-03. E-9

Ejercicio 3.

(3.1) [2 puntos] Calcula(

3√

i)5

indicando en que cuadrante se encuentra cada valor obtenido.

(3.2) [2 puntos] Determina el punto que se obtiene al girar el punto P = (−1, 2) un angulode ϕ = π

3radianes alrededor del punto A = (1, 1). (Puedes hacerlo en forma vectorial o

en forma compleja)

(3.3) [2 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que las formas cuadraticas

Q1(x, y, z) = x2 + 2xy + 5y2 + 2αyz + z2 y Q2(x, y, z) = x2 + 2αxy + αy2 + 6z2

tienen el mismo caracter.

(3.4) [2 puntos] Representa graficamente y calcula la ecuacion de la superficie de traslacion

que se genera al trasladar (paralelamente a si misma) la parabola

{

y = z2

x = 1a lo largo

de la recta

{

x = y + 1z = 0

(3.5) [2 puntos] Sea A una matriz m × n y consideremos los sistemas de ecuaciones

Ax = b1 y Ax = b2,

siendo (b1 − b2) ∈ Col (A)⊥. Probar que las soluciones en el sentido de los mınimoscuadrados de ambos sistemas coinciden.







(y Primera Parte de la Tercera Convocatoria)

Ejercicio 1.

(1.1) [3 puntos] Calcula el coeficiente de z15 en el polinomio complejo

p(z) =(

z2 + (1 − i)z)10

e indica en que cuadrante se encuentra.

(1.2) [4 puntos] Determina la ecuacion de la hiperbola que tiene como focos los puntosF1(−3, 2) y F2(5, 2) y pasa por el punto P (4, 3). Calcula los elementos notables de dichahiperbola (centro, ejes, vertices y asıntotas).

(1.3) [3 puntos] Determina, en funcion del parametro α ∈ R, el tipo de cuadrica que corres-ponde a la ecuacion

x2 − 5y2 + αz2 − 6x − 20y + 2α2z + α3 − 12 = 0.

Determina los valores de α para los que se obtiene una superficie de revolucion.

Ejercicio 2.

(2.1) [6 puntos] Calcula la matriz M de la transformacion lineal T : R2 −→ R

2 que a unvector v ∈ R2 le asocia el vector que se obtiene de proyectar (ortogonalmente) v sobrela recta de ecuacion x + 2y = 0 y a continuacion hacer un giro de centro el origen decoordenadas y angulo π/3 radianes. ¿Darıa el mismo resultado si primero se hicierael giro y a continuacion la proyeccion ortogonal ? Justifica la respuesta. Determina elespacio nulo y el espacio columna de la matriz M .

(2.2) [4 puntos] Calcula, en funcion de α ∈ R, una base del espacio columna de la matriz

A =

1 1 0 21 1 0 α1 α 3 − α α + 1−1 2 3 1

.



Ejercicio 3.

(3.1) [6 puntos] Supongamos que al reducir una matriz A de dimensiones 17 × 30 a formaescalonada (mediante operaciones fila) se obtienen 14 pivotes. En cada uno de lossiguientes enunciados, indica si es verdadero o falso, justifica la respuesta y en los casosen los que el enunciado es falso di cual serıa el enunciado correcto:

(a) Cualquier sistema de ecuaciones de la forma Ax = b tiene infinitas soluciones.

(b) El espacio columna de A tiene dimension 17 − 14 = 3.

(c) Al reducir At a forma escalonada se obtienen 30 − 14 = 16 pivotes.

(d) Al reducir la matriz [A|A] a forma escalonada se obtienen 14× 2 = 28 pivotes.

(3.2) [4 puntos] Considera la matriz B

B =

1 −1 1 −11 2 −2 −11 −1 1 −11 2 −2 −1

.

Amplıa una base de Nul (B) hasta una base de Nul (B2).


E-12 Tercera Convocatoria. 2003-04.




Tercera Convocatoria (Segunda Parte). 30-01-2004.

Ejercicio 4. Sea A la matriz

A =

1 1 0 −10 2 0 0

a − 1 1 2 −a0 −a 0 a

, a ∈ R.

(a) [4 puntos] Determina los valores de a para los que A es diagonalizable.

(b) [4 puntos] Para a = −1, diagonaliza la matriz A y calcula An, n = 1, 2, . . . ¿Es validoel resultado para n = −1,−2, . . . ? Justifica la respuesta.

(c) [2 puntos] Para a = −1, diagonaliza cada una de las matrices siguientes:

A5, A − 7I, AT .

Ejercicio 5.

(a) [2 puntos] Enuncia las propiedades mas importantes de los autovalores y autovectoresde una matriz real simetrica y el Teorema espectral para matrices reales simetricas.

(b) [6 puntos] Determina una matriz (la matriz) A real simetrica 3 × 3 sabiendo que susautovalores son

λ1 = −1(simple ) y λ2 = 1(doble)

y que v1 = [1, 0, −2]t es autovector de A asociado a λ1. Da una interpretacion geome-trica de la transformacion lineal asociada a la matriz A.

(c) [2 puntos] Siendo ϕ : R3 −→ R la forma cuadratica asociada a la matriz A,

ϕ(x) = xT Ax, x ∈ R3,

determina, si es posible, dos vectores u1, u2 ∈ R3 tales que

ϕ(u1) = 7 y ϕ(u2) = −10.


Tercera Convocatoria. 2003-04. E-13

Ejercicio 6. Considera el subespacio vectorial S de R4 y el vector v ∈ R4 dados por

S ≡ x1 − x2 + x3 − x4 = 0, v =

1234

.

(a) [4 puntos] Calcula una base ortogonal de S.

(b) [3 puntos] Calcula el vector w proyeccion ortogonal de v sobre S y las coordenadas dew respecto a la base ortogonal obtenida en (a).

(c) [1 punto] Calcula el simetrico de v respecto a S.

(d) [2 puntos] Demuestra que si {u1, u2, . . . , up} son vectores no-nulos de Rn que son orto-

gonales dos a dos, entonces son linealmente independientes.







Ejercicio 1. Considera las matrices A(de orden 2) y B (de orden 4) dadas por

A =

[

2 22 −1

]

, B =

A0 α − 1

α + 1 00 00 0

A

=

2 22 −1

0 α − 1α + 1 0

0 00 0

2 22 −1

, α ∈ R.

(1.1) [3 puntos] Resuelve el problema de valor inicial

y′ = Ay

y(0) =

[

2−1

]

(1.2) [4 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que la matriz B es diagonalizable.

(1.3) [3 puntos] Siendo α = 1, determina si el vector u0 = [−8, 0, 10, 5]T es un autovector oun autovector generalizado de B (o ninguna de las dos cosas) y calcula Bnu0, n = 1, 2, . . .

Ejercicio 2.

(2.1) [3 puntos] Calcula el area del recinto del plano descrito por las desigualdades

(2x−y)2

4+ (x + 3y)2 ≤ 1,

(2x − y)(x + 3y) ≥ 0.

(2.2) [3 puntos] Calcula una base ortogonal del subespacio vectorial de R4 dado por

S ≡ x1 + x2 + x3 − x4 = 0

y halla las coordenadas del vector v = [1, 2, 3, 6]T respecto a dicha base ortogonal.

(2.3) [2 puntos] Enuncia el Teorema espectral para matrices simetricas reales y define losconceptos que intervienen en dicho enunciado.

(2.4) [2 puntos] Demuestra que si λ1 6= λ2 son dos autovalores de una matriz simetrica realA y v1 y v2 son autovectores de A asociados respectivamente a λ1 y λ2, entonces v1 yv2 son ortogonales.



Ejercicio 3. Consideremos el subespacio vectorial E de R4 tal que la matriz de la proyecionortogonal sobre E es

A = PE =1

4

3 1 1 −11 1 1 11 1 1 1−1 1 1 3

.

(3.1) [3 puntos] Calcula unas ecuaciones implıcitas y una base ortogonal de E⊥.

(3.2) [2 puntos] Calcula una base ortogonal de E.

(3.3) [2 puntos] Diagonaliza ortogonalmente la matriz A, si es posible.

(3.4) [3 puntos] Resuelve, en el sentido de los mınimos cuadrados, el sistema de ecuaciones

Ax =

2−101

.


E-16 Examen de Junio (Segundo Parcial). 2003-04.





Ejercicio 1. Considera la matriz A y el vector u dados por

A =

0 0 0 10 0 a2 a + 20 1 0 0a2 0 0 0

, a ∈ R, u =

1110

.

(1.1) [4 puntos] Determina los valores de a para los que A es diagonalizable. Determina losvalores de a para loa que A es diagonalizable ortogonalmente.

(1.2) [4 puntos] Para a = 0, calcula Anu, n = 1, 2, . . .

(1.3) [2 puntos] Siendo a = −3, calcula los autovalores de las matrices

A−1, A4, A7 y A − 5I.

Ejercicio 2. Consideremos el vector b ∈ R4 y el subespacio S = Col (A) siendo

A =

1 −2 31 0 00 1 00 0 1

, b =

2211

.

(2.1) [3 puntos] Determina una base ortonormal de S y otra de S⊥.

(2.2) [4 puntos] Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S.

(2.3) [3 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre S y resuelve los sistemas deecuaciones

Ax = b + k

1−12−3

, k = 0, 1, 2, . . . , 1000

en el sentido de los mınimos cuadrados.



Ejercicio 3.


y′ =

[

0 1−5 2

]

y, y(0) =

[

02

]

.

(3.2) [4 puntos] Determina el valor de α ∈ R para el que la conica

x2 − 2αxy + 2αy2 − 2x + 4αy = 0

es una parabola. Halla la ecuacion reducida, dando los cambios de variables adecuados,y representa dicha parabola.

(3.3) [2 puntos] Demuestra que si {v1, . . . , vp} es un conjunto ortonormal de vectores deRn, entonces es linealmente independiente.


E-18 Examen de Junio (Primer Parcial). 2003-04





Ejercicio 4.

(4.1) [3 puntos] Al reducir una matriz A 3 × 4 a forma escalonada se obtiene la matriz

U =

1 2 0 −20 0 1 40 0 0 0

.

Calcula la dimension y, cuando sea posible, una base de los subespacios

Nul (A), Col (A), Nul (AT ), y Col (AT ).

Cuando no sea posible obtener una base, describe la forma de obtenerla si conocieramosla matriz A.

(4.2) [4 puntos] Calcula una base y unas ecuaciones implıcitas del subespacio S de R4 quecontiene al subespacio E y al vector u definidos por

E ≡{

x1 − x2 + x4 = 02x1 + x2 − 3x3 + 2x4 = 0

, u =

1234

.

Amplıa la base de S hasta una base de R4 y calcula las coordenadas del vector

v = [−1, 2, 0, 3]T respecto a dicha base.

(4.3) [3 puntos] Define los conceptos de espacio nulo y espacio columna de una matriz.Demuestra que si A es una matriz cuadrada, se verifica que

Nul (A) ⊂ Nul (A2) y Col (A2) ⊂ Col (A).



Ejercicio 5.

(5.1) [3 puntos] Determina los valores de a ∈ R para los que la forma cuadratica dada por

ϕ(x1, x2) = [x1 x2]

[

a 11 a − 7

] [

x1

x2

]

es definida positiva. Reduce la forma cuadratica para a = 10.

(5.2) [2 puntos] Determina el punto del plano que se obtiene a partir del punto P (3, 2) al

hacer un giro de angulo θ =2π

3radianes alrededor de A = (1, 1). (Puedes realizar los

calculos y dar el resultado en forma compleja si te resulta mas comodo).

(5.3) [2 puntos] Resuelve (calcula todas las soluciones complejas de) de la ecuacion

z8 + z4 − 2 = 0.

(5.4) [3 puntos] Determina la ecuacion de la superficie de traslacion que se obtiene al

trasladar (paralelamente a sı misma) la parabola del plano OXY , g ≡{

y = x2

z = 0

}

a lo

largo de la recta d ≡{

x = zy = 0

.







Ejercicio 1.

(1.1) [2 puntos] Determina la ecuacion de la superficie de revolucion que se genera al girar la

parabola del plano OY Z

{

y + 1 = z2

x = 0alrededor del eje OZ. ¿Se trata de una cuadrica?

¿Por que?

(1.2) [2 puntos] Determina un numero complejo z sabiendo que

argumento(z) =2π

3rad y z + z = −4.

(1.3) [2 puntos] Demuestra que si A y B son dos matrices (reales) arbitrarias m×n se verificala siguiente relacion entre los subespacios vectoriales Col (A), Col (B) y Col (A + B),

Col (A + B) ⊂ Col (A) + Col (B).

(1.4) [4 puntos] Determina una base ortogonal de Col

1 1 2 10 1 1 0−1 1 0 02 1 3 0

.


A =

0 2 61 1 −3−1 1 5

.

(2.1) [3 puntos] Siendo V el subespacio vectorial de R3 generado por los dos primerosvectores -columna de A, determina los vectores x ∈ R3 tales que Ax ∈ V . ¿Se tratade un subespacio vectorial?

(2.2) [4 puntos] Calcula los autovalores, los autovectores y los autovectores generalizadosde A.

(2.3) [3 puntos] Calcula A29.



Ejercicio 3. Sea S el subespacio vectorial de Rn definido por la ecuacion implıcita

x1 + x2 + · · ·+ xn = 0.

(3.1) [2 puntos] Calcula la matriz P de la proyeccion ortogonal sobre S.

(3.2) [2 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de P .

(3.3) [2 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de las matrices

P − I, P + I, P − 5I.

(3.4) [2 puntos] Estudia el caracter de la forma cuadratica asociada a cada una de lasmatrices

P, P − I, P + I, P − 5I.

(3.5) [2 puntos] Resuelve en el sentido de los mınimos cuadrados el sistema de ecuaciones

Px =

10...0

.








Ejercicio 1.

(1.1) [2 puntos] Determina un polinomio con coeficientes reales P (z), monico (el coeficientede la maxima potencia es 1) de grado 3, sabiendo que z1 = 2 − i es una de sus raıces yque P (0) = −2.

(1.2) [3 puntos] Determina la matriz del giro (con centro el origen de coordenadas) quelleva el punto (1, 2) en el punto (a,−2), a > 0. Puedes trabajar en forma vectorial o enforma compleja. (Lo primero que hay que calcular es a).

(1.3) [2 puntos] Determina un numero complejo w sabiendo que una de sus raıces cubicases z1 = 2 − i. Calcula las otras dos raıces cubicas de w.

(1.4) [3 puntos] Reduce a suma de cuadrados la forma cuadratica Q : R3 −→ R dada por

Q(x, y, z) = −x2 + y2 + (1 − 4a)z2 − 2xy + 4xz + 4ayz.

Expresa en forma matricial la relacion entre las variables originales y las variables finales.

Ejercicio 2.

(2.1) [4 puntos] Calcula la matriz P de la proyeccion ortogonal, en R3, sobre el plano deecuacion x + y + z = 0.

(2.2) [3 puntos] Calcula la ecuacion, y haz un esbozo, de la superficie de traslacion que seobtiene al desplazar la parabola G a lo largo de la parabola D, siendo

G ≡{

y = 2x2

z = 0y D ≡

{

z = y2

x = 0.

¿Se trata de una cuadrica? ¿Por que?



Ejercicio 3.

(3.1) [3 puntos] Determina la matriz A de una transformacion lineal T : R3 −→ R2 sabiendoque el espacio nulo de A viene dado por la ecuacion implıcita x1 − x2 − x3 = 0 y que

T

111

=

[

2−1

]

.

(3.2) [5 puntos] Determina una base del espacio columna de la matriz

B =

1 3 −2 4 20 1 −2 1 1−1 4 −12 3 52 1 6 3 −1

.

Comprueba que el vector v = [9, 4, 19,−2]T esta en dicho espacio columna y calculalas coordenadas de dicho vector respecto a la base obtenida. Sin necesidad de hacermas calculos, ¿Cual es la dimension del espacio nulo de la matriz B? ¿Cual es el menornumero posible de ecuaciones implıcitas mediante las cuales se puede caracterizar dichoespacio nulo?

(3.3) [2 puntos] Escribe la formula del binomio de Newton y las condiciones para que dichaformula sea aplicable a la potencia de una suma de matrices (cuadradas del mismoorden). Calcula Cn, n = 1, 2, . . . siendo

C =

3 −2 00 3 −20 0 3

.

Nota: La calificacion del Primer Parcial es ((E1 + E2 + E3)/(2,7)).


E-24 Tercera Convocatoria. 2004-05.





Ejercicio 4. Considera los vectores

v1 =

1−2

02

, v2 =

2103

y v3 =

1301

.

(4.1) Calcula una base ortogonal del subespacio S generado por v1, v2 y v3.

(4.2) Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S y la de la proyeccion ortogonalsobre S⊥.

(4.3) Definicion de matriz ortogonal. Demuestra que si Q es una matriz ortogonal e inter-cambiamos las dos primeras filas de Q, la matriz que se obtiene tambien es ortogonal.

Ejercicio 5. Considera la matriz A y el vector w dados por

A =

−2 −2 04 2 00 2 −2

, w =

123

.

(5.1) Diagonaliza A, indicando la matriz de paso.

(5.2) Calcula los autovalores de An, n = 1, 2, . . . . ¿Hay alguna potencia An, n = 1, 2, . . . quese pueda diagonalizar mediante una matriz de paso real?

(5.3) Calcula A112w.

Nota: La calificacion de la Tercera Convocatoria es

1

2

[

(E1 + E2 + E3)

2,7+

(E4 + E5)

2

]

.







Ejercicio 1.

(1.1) Sean E y F los subespacios vectoriales de R4 definidos por

E = Gen

v1 =

1101

, v2 =

1−1−12

, v3 =

20−10

, F ≡ x1 + x3 + x4 = 0.

(1.1.a) [3 puntos] Calcula una base ortogonal de S = E ∩ F y una base de S⊥.

(1.1.b) [1 punto] Determina una base de E + F .

(1.2) Considera una conica cuya ecuacion es de la forma

x2 + 4xy − 2y2 + αx + βy + γ = 0

(1.2.a) [2 puntos] Determina que posibles conicas pueden obtenerse para los distintosvalores de α, β, γ (sin necesidad de establecer la relacion entre los valores de losparametros y el tipo de conica).

(1.2.b) [3 puntos] Reduce, clasifica y representa (en los ejes originales) la conica quese obtiene para

α = 2β = 8√

5, β = 4√

5, γ = 44.

(1.3) [1 punto] Demuestra que si v1 y v2 son dos autovectores de una matriz A asociados ados autovalores distintos λ1 6= λ2, entonces son linealmente independientes.



Ejercicio 2.

(2.1) [3 puntos] Sea S un subespacio vectorial de Rn de dimension dim (S) = r.

(2.1.a) Describe las formas de construir/obtener la matriz de la proyeccion ortogonalsobre S.

(2.1.b) Enuncia las propiedades caracterısticas de la matriz de la proyeccion ortogonalsobre S (espacio nulo, espacio columna, autovalores, autovectores,...)

(2.2) Sea A la matriz

A =

α + 9 −6 α − 3−6 α 00 0 4α + 3

, (α ∈ R).

(2.2.a) [2 puntos] Determina los autovalores de A en funcion de α ∈ R.

(2.2.b) [3 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que A es diagona-lizable y los valores de α para los que A es diagonalizable ortogonalmente.

(2.2.c) [2 puntos] Calcula, para α = 3, la matriz de la proyeccion ortogonal sobre elespacio columna de A.

Ejercicio 3. Considera la matriz A y el vector y0 dados por

A =

1 0 −20 3 −2−2 −2 2

, y0 =

2−11

.

(3.1) [4 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de A.


{

5y′ = Ayy(0) = y0.

(3.3) [2 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de A−1 y los extremos de laforma cuadratica

ϕ(x, y, z) = [x y z] A−1

xyz

sobre la esfera unidad x2 + y2 + z2 = 1 ası como los puntos donde dichos extremos sealcanzan.

(3.4) [1 punto] Calcula An, n = 1, 2, . . .







Ejercicio 1.

(1.1) [2 puntos] Sabiendo que λ1 = 4 y λ2 = −2 son los unicos autovalores (distintos) deuna matriz del tipo

eα ∗ ∗∗ 1 ∗∗ ∗ 0

(α ∈ R)

determina cual de los autovalores es doble (y por que) y el valor de α.

(1.2) [6 puntos] Determina una base de R3 formada por autovectores y autovectores gene-ralizados de la matriz

A =

5 1 −13 1 −34 −2 0

y calcula Anu0, n = 1, 2, . . . siendo u0 = [2, 1, 1]T .

(1.3) [2 puntos] Demuestra que si λ1 6= λ2 son dos autovalores de una matriz simetrica realA y v1 y v2 son autovectores de A asociados respectivamente a λ1 y λ2, entonces v1 yv2 son ortogonales.


E-28 Examen Junio (Segundo Parcial). 2004-05.

Ejercicio 2.

(2.1) [2 puntos] Siendo S ⊂ Rn un subespacio vectorial de dimension dim (S) = r, enuncialas propiedades caracterısticas de la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S (espacionulo, espacio columna, autovalores, multiplicidades, autovectores,...).

(2.2) [5 puntos] Sabiendo que la matriz de la proyeccion ortogonal sobre un subespacioE ⊂ R4 de dimension 2 es de la forma

P =1

3

2 −1 ∗ ∗−1 1 ∗ ∗0 1 ∗ ∗−1 0 ∗ ∗

determina una base ortogonal de E y los elementos que faltan en la matriz P .

(2.3) [3 puntos] Resuelve en el sentido de los mınimos cuadrados el sistema de ecuaciones

2 −1−1 10 1−1 0

[

x1

x2

]

=

1014

.


A =

0 1 0−2 0 −20 1 0

, y0 =

2−11

.

(3.1) [4 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de A y una diagonalizacionde dicha matriz (matriz de paso, matriz diagonal y relacion entre dichas matrices y lamatriz A).


{

y′ = Ayy(0) = y0.

dando la solucion y(t)

en forma real. ¿Para que valores de t = T ∈ R verifica la solucion y(t) que

y(T ) = y(0).

(3.3) [2 puntos] Determina los autovalores de An, n = 1, 2, . . . y los valores de n ∈ N paralos cuales todos los autovalores de An son numeros reales.







Ejercicio 4.

(4.1) [2 puntos] Determina la ecuacion de la superficie de revolucion que se genera al girar

la curva dada por

{

x = 0z = ey alrededor del eje OY . Haz un esbozo de dicha superficie.

(4.2) [4 puntos] Determina los numeros complejos z = x+iy, x, y ∈ R para los cuales se veri-fica que la parte real de z2−z es cero. Representa graficamente dichos numeros comple-jos. ¿Se trata de una conica? En caso afirmativo, determina sus elementos caracterısticos.

(4.3) [3 puntos] Reduce a suma de cuadrados la forma cuadratica dada por

Q1(x1, x2, x3, x4) = x21 + (α2 + 2)x2

2 − 2αx1x2 + (α − 2)x3x4

y determina su caracter en funcion de α ∈ R. ¿Como es la forma cuadratica (en dosvariables) dada por Q2(x1, x2) = Q1(x1, x2, 0, 0)?

(4.4) [1 punto] Calcula la inversa de la siguiente matriz de orden n

A =

1 1. .

.

1

aij =

1 si i + j = n + 11 si i = j = 10 en los restantes casos


A =

1 α 2 0−1 0 α − 2 α2

1 0 α + 2 1 − α2

0 1 −1 α − 2

.

(5.1) [1 punto] Determina los valores de α ∈ R para los que A admite factorizacion LU .

(5.2) [4 puntos] Calcula, en funcion de α ∈ R, la dimension y una base de Col (A).

(5.3) [3 puntos] Para α = 2, ¿tiene A inversa? Determina los vectores x ∈ R4 que verifican

que Ax esta en la recta (de R4) generada por el vector b =[

1 1 2 1]T

.

(5.4) [2 puntos] Determina el valor o valores de α ∈ R para los que el espacio nulo de A

contiene algun vector de la forma[

∗ ∗ ∗ 5]T

.







Ejercicio 1.

(1.1) [3 puntos] Calcula la ecuacion reducida y (dando sus elementos caracterısticos) repre-senta graficamente la cuadrica de ecuacion

−x2 + 2y2 − 2z2 + x − 4y − 4z =5

4.

¿De que tipo de cuadrica se trata? ¿Es de revolucion?

(1.2) [2 puntos] Halla el area del recinto plano descrito por las desigualdades

(x − y)2 + 2(x + y)2 ≤ 1,

x − y ≥ 0, x + y ≤ 0.

(1.3) [1 puntos] Demuestra que si A y B son dos matrices (reales) arbitrarias m×n se verificala siguiente relacion entre los subespacios vectoriales Nul (A), Nul (B) y Nul (A + B),

Nul (A) ∩ Nul (B) ⊂ Nul (A + B).

(1.4) [4 puntos] Siendo M la matriz

M =

1 3 −1 00 0 2 22 6 0 2−1 −3 0 −1

determina una base y unas ecuaciones implıcitas del espacio columna de M y la matrizde la proyeccion ortogonal sobre dicho espacio columna.




A =

[

1 1−1 1

]

, y0 =

[

12

]

.

(2.1) [3 puntos] Calcula los autovalores y los autovectores de A.


{

y′ = Ayy(0) = y0

dando la expresion real de la solucion.

(2.3) [2 puntos] Determina la solucion general (expresion real) del sistema

y′ = (A + 4I)y.

(2.4) [1 puntos] Determina los valores de k = 1, 2, . . . para los que la matriz Ak tieneautovalores reales.

Ejercicio 3.

(3.1) [3 puntos] Enuncia las propiedades relativas a la relacion de los autovalores y auto-vectores de una matriz cuadrada A con los de las matrices

Ak (k = 1, 2, . . . ), αA (α ∈ R o C), A + cI (c ∈ R o C).

(3.2) [2 puntos] Siendo A una matriz 4 × 4 que verifica que

A2 − 4A + 3I = 0,

determina los autovalores de A sabiendo que tiene 2 autovalores dobles.

(3.3) [4 puntos] Diagonaliza ortogonalmente la matriz

A =

2 0 1 00 2 0 11 0 2 00 1 0 2

.

(3.4) [1 puntos] Siendo A la matriz dada en el apartado anterior, determina, en funcion deρ ∈ R, el caracter de la forma cuadratica asociada a la matriz A + ρI.








Ejercicio 1.

(1.1) [2 puntos] Calcula la ecuacion de la parabola de eje horizontal que pasa por el punto(4, 4) y tiene como foco F = (0, 1). Determina los restantes elementos caracterısticos dela parabola y su representacion grafica.

(1.2) [3 puntos] Determina la expresion del giro de centro el punto (2, 1) y angulo θ = π/3radianes. Determina el punto que se obtiene al aplicar dicho giro al punto (3, 2). Puedestrabajar en forma vectorial o en forma compleja.

(1.3) [2 puntos] Siendo g y d la recta y la curva dadas respectivamente por

g ≡{

y = x,z = 0,

y d ≡{

x = 0,z = sen(y),

determina las ecuaciones parametricas y la ecuacion implıcita de la superficie que seobtiene al desplazar g a lo largo de d. Haz un bosquejo de dicha superficie.

(1.4) [3 puntos] Reduce a suma de cuadrados la forma cuadratica Q : R3 −→ R asociada ala matriz simetrica

A =

0 1 01 0 10 1 0

.

Expresa en forma matricial la relacion entre las variables originales y las variables finales.Determina dos puntos, en las coordenadas originales, donde la forma cuadratica alcanceel valor 7.



Ejercicio 2.

(2.1) [4 puntos] Calcula la matriz P de la proyeccion ortogonal, en R3, sobre un plano deecuacion x + y + az = 0 sabiendo que la proyeccion del vector [−1,−1, 1] sobre dichoplano es el vector nulo.

(2.2) [4 puntos] Determina el valor de la suma

(

n1

)

2 +

(

n2

)

22 +

(

n3

)

23 + · · ·+(

nn

)

2n

para n = 2, 3, . . . y calcula la matriz (I + 2P )2006 siendo I la matriz identidad de orden3 y P la matriz de la proyeccion del apartado anterior.

(2.3) [2 puntos] Resuelve (determina todas las soluciones complejas de) la ecuacion

(z − 1)2 = −4z2.

Ejercicio 3.

(3.1) [2 puntos] Siendo A una matriz 30 × 20 de rango 7, calcula las dimensiones de losespacios nulo y columna de la matriz B = [ A | A ] y de su transpuesta BT .

(3.2) [4 puntos] Determina una base del espacio nulo de la matriz

C =

1 3 −2 4 20 1 −2 1 1−1 4 −12 3 52 1 6 3 −1

.

Sin necesidad de hacer mas calculos, ¿Cual es la dimension del espacio columna dela matriz C? ¿Cual es el menor numero posible de ecuaciones implıcitas mediante lascuales se puede caracterizar dicho espacio columna?

(3.3) [2 puntos] Comprueba que el vector v = [2,−4,−1, 2, 0]T esta en el espacio nulo de lamatriz C del apartado anterior y calcula las coordenadas de dicho vector respecto a labase obtenida.

(3.4) [2 puntos] Calcula la factorizacion LU de la matriz C dada anteriormente.







Ejercicio 4. Considera los vectores

v1 =

−2102

, v2 =

1203

y v3 =

3101

.

(4.1) Calcula una base ortogonal del subespacio S generado por v1, v2 y v3.

(4.2) Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S y la de la proyeccion ortogonalsobre S⊥.

(4.3) Definicion de matriz ortogonal. Demuestra que si Q es una matriz ortogonal de ordenn y {u1, u2, . . . , un} es una base ortonormal de Rn, entonces

{Qu1, . . . , Qun}

tambien es una base ortonormal de Rn.


A =

2 3 20 a − 1 02 2 − a 2

, w =

123

.

(5.1) Determina los valores de a para los que A es diagonalizable.

(5.2) Diagonaliza A para a = 0 (indicando la matriz de paso, la matriz diagonal y la relacionentre dichas matrices).

(5.3) Resuelve, para a = 0, el problema de valor inicial

{

y′ = 2Ay,y(0) = w







Ejercicio 1.

(1.1) [2 puntos] Enuncia y demuestra las propiedades que conozcas relativas a autovaloresy autovectores complejos (no reales) de una matriz cuadrada real.

(1.2) [2 puntos] Determina los autovalores de una matriz real A de orden 4 sabiendo queverifica la igualdad A3 − 2A2 + A − 2I = 0 (I es la matriz identidad de orden 4).

(1.3) [4 puntos] Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre el subespacio vectorialS de R6 definido por las ecuaciones

{

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 0,x1 − x2 + x3 − x4 + x5 − x6 = 0.

(1.4) [2 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que x2 − 4xy + α2y2 + α = 0 es laecuacion de una hiperbola.


A =

0 1 00 0 1−2 0 1

, y0 =

2−11

.

(2.1) [4 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de A y una diagonalizacionde A, si existe.

(2.2) [1 punto] Calcula An, n = 1, 2, . . .


{

y′ = A2y,y(0) = y0.

(2.4) [2 puntos] Determina los valores de n = 1, 2, 3, . . . para los que la matriz An esdigonalizable mediante una matriz de paso real.



Ejercicio 3.

(3.1) [4 puntos] Diagonaliza ortogonalmente la matriz

A =

a −2a 22 −1 22 2 −1

para los valores de a ∈ R para los que sea posible.

(3.2) [4 puntos] Para los valores de a obtenidos en (3.1), determina:

el signo de la forma cuadratica ϕ asociada a la matriz 5A,

los extremos de ϕ sobre la esfera unidad x21 + x2

2 + x23 = 1 y

los puntos donde dichos extremos se alcanzan.

(3.3) [2 puntos] Para los valores de a obtenidos en (3.1), describe geometricamente como

actua la matriz1

3A sobre un vector generico de R3. ¿Cuales son los autovalores y au-

tovectores de la matriz1

3A?


E-38 Examen de Junio (Segundo Parcial). 2005-06.





Ejercicio 1. Sean A y b la matriz y el vector dados por

A =1

2√

2006

1 1 1−1 1 10 0 11 1 1

y b =

1000

.

(1.1) [3 puntos] Calcula una base ortogonal de S = Col (A).

(1.2) [3 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre S y sobre S⊥.

(1.3) [2 puntos] Resuelve, en el sentido de los mınimos cuadrados, el sistema Ax = b.

(1.4) [2 puntos] ¿Cuantas soluciones en el sentido de los mınimos cuadrados tiene cadauno de los sistemas de ecuaciones

[

A A]

y = b,

[

AA

]

z =

[

bb

]

?

¿Por que?



Ejercicio 2. Consideremos una matriz A de orden 4 cuyo polinomio caracterıstico es

p(λ) = (λ2 − λ − 6)(λ2 − 2λ + 4).

(2.1) [1 punto] Calcula los autovalores de A y demuestra que A es diagonalizable.

(2.2) [2 puntos] Calcula los autovalores de las matrices(

A − 12I)2

, A−1 + I, siendo I lamatriz identidad de orden 4.

(2.3) [1 punto] Aplicando el Teorema de Cayley-Hamilton, expresa A−1 como combinacionlineal de: I, A, A2 y A3.

(2.4) [1 punto] Determina los valores (reales o complejos) de ρ para los que la matriz A+ρIno tiene inversa.

(2.5) [2 puntos] Determina todos los valores de n = 1, 2, . . . para los que todos los auto-valores de An son numeros reales positivos.

(2.6) [3 puntos] Diagonaliza la matriz

1 3 0 02 0 0 00 0 1 30 0 −1 1

.


A =

[

1 + α α + α2

1 + α 1 + α

]

.

(3.1) [4 puntos] Diagonaliza ortogonalmente la matriz A para los valores de α ∈ R paralos que sea posible (matriz de paso Q ortogonal, matriz diagonal D y relacion entredichas matrices y la matriz A).

(3.2) [1 punto] Para los valores de α ∈ R considerados en el apartado anterior y teniendoen cuenta lo obtenido, diagonaliza ortogonalmente la matriz

B =

[

A 00 A

]

.

(3.3) [3 puntos] Para α = 0,

Calcula An, n = 1, 2, . . .

Resuelve el sistema y′ = −Ay.

(3.4) [2 puntos] Demuestra que si B es una matriz real cuadrada de orden n (par), que notiene ningun autovalor real, entonces para cualquier vector no nulo v ∈ Rn, los vectoresv y Bv son linealmente independientes.


E-40 Examen de Junio (Primer Parcial). 2005-06.





Ejercicio 4.

(4.1) [3 puntos] Determina la ecuacion de la superficie de revolucion que se genera al girar

la parabola dada por

{

x = 0y = 1 + z2 alrededor del eje OZ. ¿Se trata de una cuadrica?

¿Por que? Haz un esbozo de dicha superficie.

(4.2) [2 puntos] Resuelve la ecuacion (compleja) z5 − z4 + z − 1 = 0.

(4.3) [2 puntos] Reduce a suma de cuadrados la forma cuadratica dada por

Q1(x1, x2, x3) = αx1x2 + x2x3 + x1x3.

(4.4) [3 puntos] Determina la ecuacion del giro de centro el punto A = (3, 2) y anguloθ = π/3 radianes. Determina el punto que se obtiene al aplicar dicho giro al puntoP = (−1, 3).


A =

1 2 −1 0 1−1 −3 2 1 −2α α 0 2 0

−2α −3α 0 4 −α

.

(5.1) [2 puntos] Reduce la matriz A a forma escalonada segun los valores de α.

(5.2) [2 puntos] Calcula, en funcion de α ∈ R, la dimension y una base de Col (A).

(5.3) [2 puntos] Para α = 0, determina unas ecuaciones implıcitas y tres bases distintasde Col (A).

(5.4) [2 puntos] Determina, para α = 0, las dimensiones de los subespacios Nul (A) yNul ([A|A]).

(5.5) [2 puntos] Calcula la inversa de la siguiente matriz de orden n ≥ 3

B =

1 1. .

.

1 −1

bij =

1 si i + j = n + 1,1 si i = j = 1,

−1 si i = j = n,0 en los restantes casos.







Ejercicio 1. Sea S la matriz

S =1

5

[

3 44 −3

]

(1.1) [2 puntos] Teniendo en cuenta que S es la matriz de la simetrıa respecto de una recta(del plano R2) que pasa por el origen de coordenadas, determina dicha recta.

(1.2) [3 puntos] Utilizando las propiedades de la matriz de una simetrıa, expresa

(I + S)2, (I + S)3, ...

como combinacion lineal de I y de S y conjetura la expresion correspondiente para unapotencia generica (I + S)n. Determina

(I + S)2006

[

3−1

]

.

(1.3) [1 punto] Determina la ecuacion de la parabola de eje horizontal que tiene como verticeV = (2, 1) y pasa por el punto P = (0, 5).

(1.4) [2 puntos] Comprueba que la ecuacion compleja

(

z +1

z

)2

= 1

no tiene ninguna solucion (compleja).

(1.5) [2 puntos] Demuestra que si A y B son dos matrices (reales) arbitrarias m×n se verificala siguiente relacion entre los subespacios vectoriales Col (A), Col (B) y Col (2A − 3B),

Col (2A − 3B) ⊂ Col (A) + Col (B).




A =

0 1 11 0 11 1 0

.

(2.1) [4 puntos] Diagonaliza ortogonalmente A (matriz de paso ortogonal, matriz diagonal,relacion con la matriz A).

(2.2) [2 puntos] Determina los valores de ρ ∈ R para los que la forma cuadratica asociadaa la matriz A + ρI es Indefinida.

(2.3) [2 puntos] Calcula la matriz de la proyeccion ortogonal sobre el espacio nulo de lamatriz A + I.

(2.4) [2 puntos] Sea A una matriz real m × n y sea b ∈ Rm. Enuncia (la definicion y) laspropiedades equivalentes para que un vector x ∈ Rn sea solucion en el sentido de losmınimos cuadrados del sistema Ax = b.


A =

1 0 02 α α − 33 0 3

, α ∈ R.

(3.1) [3 puntos] Determina los valores de α para los que A es diagonalizable.

(3.2) [2 puntos] Diagonaliza A para α = 0 (matriz de paso, matriz diagonal, relacion conA).

(3.3) [1 punto] Determina, para α = 0, la solucion general del sistema lineal de ecuacionesdiferenciales

y′ = A2y.

(3.4) [2 puntos] Determina, para α = 0, la factorizacion LU de A.

(3.5) [2 puntos] Determina, para α = 0, la dimension del espacio columna de la matriz[A|A] y una base del espacio nulo de dicha matriz.








Ejercicio 1.

(1.1) [2 puntos] Determina a, b ∈ R sabiendo que z1 = 1+i es una de las raıces del polinomiop(z) = z3 − 5z2 + az + b. Determina las otras dos raıces de p(z) y la factorizacion enpolinomios de grado 1.

(1.2) [1 punto] Determina la expresion general, compleja o vectorial, del giro de centroun punto C = (x0, y0) y angulo θ ∈ R.

(1.3) [3 puntos] Determina el centro C de un giro de angulo θ = π3

sabiendo que transforma

el punto A = (2, 0) en el punto B = (3−√

32

,√

3−12

). Determina la expresion compleja ovectorial del giro y el punto que se obtiene al aplicar dicho giro al punto P = (1, 1).

(1.4) [4 puntos] Determina la ecuacion, la grafica y los elementos notables de cada una delas dos parabolas que verifican las siguientes condiciones:

El vertice V = (α, β) verifica α = 1.

El eje de simetrıa es horizontal.

La distancia del foco a la directriz es 2 (unidades de longitud).

El foco esta a la derecha de la directriz.

El punto (2, 5) pertenece a la parabola.



Ejercicio 2.

(2.1) [3 puntos] Determina la ecuacion implıcita de la superficie que se genera al girar

la parabola dada por

{

x = 0z = (y − 1)2 alrededor del eje OZ. Haz un esbozo de dicha

superficie y comprueba si el punto (X = 4, Y = 3, Z = 16) esta o no esta en la superficie.

(2.2) [3 puntos] Reduce a suma de cuadrados y determina el signo, en funcion de a ∈ R, de

la forma cuadratica asociada a la matriz A =

[

a 22 2a

]

. Expresa en forma matricial la

relacion entre las variables originales y las variables finales.

(2.2) [3 puntos] Calcula la inversa de la matriz de A y la inversa de la matriz PA, siendoA y P las matrices de orden n definidas mediante

A =

1 1 0 · · · 0

0 1 1. . .

......

. . .. . .

. . . 0...

. . .. . . 1 1

0 0 · · · 0 1

y P =

0 11 0

1. . .

1

.

(2.4) [1 punto] Determina el coeficiente de z15 en el desarrollo de (z − 3)20.


A =

−1 4 0 1 −11 −2 0 0 12 −6 0 1 −30 2 0 2 −3

(3.1) [5 puntos] Para el espacio nulo de A y el espacio columna de A, calcula ecuacionesimplıcitas independientes que determinen dichos subespacios y dos conjuntos de vectoreslinealmente independientes que generen cada uno de dichos subespacios.

(3.2) [1 punto] Determina, si existe, la factorizacion LU de A.

(3.3) [3 puntos] Determina la matriz B de la transformacion lineal T : R2 −→ R3 sabiendoque

T (v1) = T (v2) y T (v3) = w

donde v1, v2 y w son los vectores

v1 =

[

11

]

, v2 =

[

−12

]

y w =

213

.

(3.4) [1 punto] Demuestra que si M es una matriz m × n y E es una matriz, cuadradade orden n, que tiene inversa, entonces los espacios columna de las matrices M y MEcoinciden.








A =

a 1 − a −1 00 1 0 −1−1 0 1 00 −1 0 1

.

(4.1) Teorıa. Propiedades de la matriz de la proyeccion ortogonal sobre un subespacio vec-torial S ⊂ Rn de dimension r < n: autovalores, autovectores, diagonalizable o no,diagonalizable ortogonalmente o no, etc.


(4.3) Determina los valores de a para los que A es diagonalizable ortogonalmente.

(4.4) Considerando la matriz A que se obtiene para a = 1, ¿hay algun coeficiente ρ para elcual la matriz ρA sea la matriz de la proyeccion ortogonal sobre un subespacio (de R4)?¿Por que? En caso afirmativo determina dicho subespacio.


A =

1 1 00 1 1−4 2 1

, w =

123

.

(5.1) Diagonaliza A.

(5.2) Resuelve el problema de valor inicial

{

y′ = A3y,y(0) = w

(5.3) Determina el valor o valores de ρ ∈ C para los cuales la matriz A+ρI no tiene inversa.

(5.4) Diagonaliza la matriz B definida por

B =

[

A 00 A

]

.

(5.5) ¿Se puede diagonalizar la matriz AT A mediante una matriz de paso ortogonal? ¿Porque?







Ejercicio 1. Considera el subespacio vectorial E y el vector b de R4 definidos respectiva-mente mediante

E ≡{

x1 − x2 + x4 = 02x1 − 2x2 + x3 + x4 = 0

b =

1110

(1.1) [2 puntos] Calcula una base ortogonal de E y una base ortogonal de E⊥.

(1.2) [1 punto] Amplıa una base de E hasta una base de R4 que contenga al vector b.

(1.3) [3 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre E y determina todos los vectoresv de R4 cuya proyeccion ortogonal sobre E coincide con la proyeccion ortogonal de b.

(1.4) [2 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que x2 + 2y2 + 2αxy + α− 3 = 0es la ecuacion de una elipse (real).

(1.5) [2 puntos] Enuncia y demuestra las propiedades que conozcas relativas a las matricesde proyeccion ortogonal sobre un subespacio vectorial de R

n (autovalores, multiplici-dades, espacios nulo y columna, diagonalizabilidad,...)


A =

2 3 1−1 −1 20 0 3

, y0 =

12−1

.

(2.1) [4 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de A y una diagonalizacionde A si existe (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(2.2) [1 punto] Determina los valores de n ∈ N para los cuales la matriz An es diagonali-zable mediante una matriz de paso real.

(2.3) [2 puntos] Calcula una diagonalizacion real de una potencia An para la cual existadicha diagonalizacion.


{

Ay′ = A4y,y(0) = y0.




A =

3 0 α − 1α − 2 4 0

1 0 α + 1

.


(3.2) [3 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que A es diagonalizable orto-gonalmente y calcula una diagonalizacion ortogonal de A en los casos en los que seaposible (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(3.3) [3 puntos] Para los valores de α ∈ R obtenidos en el apartado (3.2) determina:

el signo de la forma cuadratica ϕ asociada a la matriz A − 2I,

los extremos de ϕ sobre la esfera unidad x21 + x2

2 + x23 = 1 y

los puntos donde dichos extremos se alcanzan.

(3.4) [1 punto] Demuestra que el producto de dos matrices ortogonales (del mismo orden)es una matriz ortogonal.


E-48 Examen de Junio. 2006-07.





Ejercicio 1. Considera la matriz A y el vector b ∈ R4 siguientes,

A =

1 1 1−1 0 11 1 10 −1 −2

y b =

231−2

.

(1.1) [3 puntos] Calcula una base ortogonal de E = Col (A) y una base ortogonal de E⊥.

(1.2) [3 puntos] Determina, si es posible, dos subespacios vectoriales F, G 6= E⊥ de dimen-sion 2 tales que E + F = R4 y E ∩ G = {0}.

(1.3) [2 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre E y la distancia de b a E.

(1.4) [2 puntos] Resuelve el sistema Ax = b en el sentido de los mınimos cuadrados ydetermina la solucion (en mınimos cuadrados) cuya segunda coordenada es x2 = 1.

Ejercicio 2. Consideremos la matriz A y el vector v1 siguientes

A =

3 1 α−1 2 − α −1−1 1 α − 1

(α ∈ R), v1 =

−11

1 − i

de los que sabemos que λ1 = 1 + i es un autovalor de A y que v1 es un autovector de Aasociado a λ1.

(2.1) [2 puntos] Calcula los otros dos autovalores de A y el valor de α ∈ R para el cual severifican las condiciones dadas.

(2.2) [2 puntos] Determina los valores de n = 1, 2, . . . para los que An es diagonalizablemediante una matriz de paso real.

(2.3) [3 puntos] Diagonaliza A y A−1 (matrices de paso, matrices diagonales, relacionesrespectivas con la matrices A y A−1).

(2.4) [1 punto] Determina los valores (reales o complejos) de ρ para los que la matrizA−1 + ρI no tiene inversa.


{

y′ = A2y,y(0) = Re (v1).


Examen de Junio. 2006-07. E-49


A =

1 −1 1−1 1 11 1 1

.

(3.1) [3 puntos] Diagonaliza ortogonalmente la matriz A.

(3.2) [2 puntos] Diagonaliza ortogonalmente la matriz A + ρA2 (ρ ∈ R) y determina losvalores de ρ ∈ R para los cuales la forma cuadratica asociada a la matriz (simetrica)A + ρA2 es definida positiva.

(3.3) [3 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que

−x2 − 2y2 + 2αxy + 1 − α = 0

es la ecuacion de una elipse (real).

(3.4) [2 puntos] Determina todas las matrices cuadradas reales M que verifican, respecti-vamente, cada una de las siguientes condiciones:

M + MT es diagonalizable ortogonalmente.

M − MT es diagonalizable ortogonalmente.







Ejercicio 4.

(4.1) [3 puntos] Determina los valores de ρ ∈ R para los cuales

x2 + 2y2 − 2z2 − 4x + 4y = ρ − 9

es la ecuacion de un hiperboloide de una hoja. Representa graficamente la cuadricaque se obtiene para ρ = 5 y determina sus elementos mas importantes.

(4.2) [3 puntos] Resuelve (Calcula todas las soluciones complejas de) la ecuacion (comple-ja) z6 + z3 − 2 = 0. Representa graficamente las soluciones en el plano complejo.

(4.3) [3 puntos] Calcula α ∈ R sabiendo que el simetrico del punto/vector P = (1, 2,−1)respecto del plano π ≡ x − y + αz = 0 es Q = (−1, 1, 2). Calcula (la expresion de) lamatriz de la simetrıa respecto a π.

(4.4) [1 punto] Calcula (la expresion de) el coeficiente de x67 en el desarrollo de

(

x − 2

x

)2007

.


A =

1 1 1α − 1 0 1

1 1 10 −1 −2

y b =

α3α2

−3

(α ∈ R).

(5.1) [4 puntos] Reduce la matriz [A|b] a forma escalonada segun los valores de α y estudiala compatibilidad y el numero de soluciones del sistema de ecuaciones Ax = b.

(5.2) [2 puntos] Determina los valores de α para los cuales A tiene factorizacion A = LUy calcula dicha factorizacion en taless casos.

(5.3) [2 puntos] Para α = 0, determina unas ecuaciones implıcitas y dos bases distintasde Col (A).

(5.4) [2 puntos] Demuestra que para cualquier matriz B se verifican las siguientes rela-ciones

Nul (B) ⊂ Nul (BT B) y Col (BBT ) ⊂ Col (B).







Ejercicio 1. Sea A = LU siendo

L =

1−1 10 2 11 0 −3 1

y U =

−1 0 2 1 31 1 3 2

−1 10 0 0 0 0

.

(1.1) [4 puntos] Calcula la inversa de L. Determina una base y ecuaciones implıcitas (inde-pendientes) para cada uno de los subespacios Nul (A) y Col (A). Calcula la dimensionde Col (AT ) y la de Nul (AT ).

(1.2) [3 puntos] Determina α ∈ R sabiendo que

x2 + 2x + αy2 + 16y − 11 = 0

es la ecuacion de una hiperbola cuyo centro esta en la recta x+y = 1. Determina los ele-mentos notables de la hiperbola considerada (Centro, Ejes, Vertices, Focos, Asıntotas)y representala graficamente.

(1.3) [2 puntos] Resuelve la ecuacion compleja

z − i

z= i − 1

expresando las soluciones en forma binomica.

(1.4) [1 punto] Demuestra que si M y N son dos matrices (reales) arbitrarias m × nse verifica la siguiente relacion entre los subespacios vectoriales Nul (M), Nul (N) yNul (M − 2N),

Nul (M) ∩ Nul (N) ⊂ Nul (M − 2N).



Ejercicio 2. Considera el subespacio vectorial S de R4 y el vector b ∈ R4 definidos, respec-tivamente, mediante

S ≡

x1 + 2x2 − x4 = 0−2x1 + x2 + 2x4 = 0x1 + 7x2 − x4 = 0

y b =

1−111

.

(2.1) [3 puntos] Calcula una base ortogonal de S y una base ortogonal de S⊥.

(2.2) [3 puntos] Calcula la matriz PS de la proyeccion ortogonal sobre S. Calcula el vectorproyeccion ortogonal de b sobre S.

(2.3) [2 puntos] Determina todos los vectores de R4 cuya proyeccion ortogonal sobre Scoincide con la proyeccion ortogonal (sobre S) del vector 3b.

(2.4) [2 puntos] Demuestra que si {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto de vectores no-nulos yortogonales dos a dos, entonces es linealmente independiente.


A =

0 1 00 0 1−2 0 1

.

(3.1) [1 punto] Determina los valores de α ∈ R para los que A + αAT es diagonalizableortogonalmente.

(3.2) [4 puntos] Diagonaliza A (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).Diagonaliza −3A + 2I.

(3.3) [1 punto] Determina los valores de n ∈ N para los que todos los autovalores de An sonnumeros reales negativos.

(3.4) [2 puntos] Determina los valores de ρ ∈ R para los que la matriz A−1+ρI tiene inversay calcula su determinante.

(3.5) [2 puntos] Determina la solucion general del sistema lineal de ecuaciones diferenciales

y′ = A2y.








Ejercicio 1.

(1.1) [1 punto] Describe la formula del binomio de Newton (escribe dicha formula y describelos elementos que intervienen) y bajo que condiciones es valida a la potencia de unasuma de matrices (cuadradas del mismo orden).

(1.2) [3 puntos] Resuelve (determina todas las soluciones complejas de) las ecuaciones com-plejas:

(a) z2 = z 2, (b) z4 − 2iz2 + 3 = 0.

(1.3) [3 puntos] Determina α ∈ R sabiendo que la cuadrica de ecuacion

x2 − 2x + 2y2 + 4α2y + 4αz2 + 2α4 = 0

no es un elipsoide y que el centro de dicha cuadrica esta en el plano de ecuacionx + y + z = 0. Determina los elementos caracterısticos de la cuadrica considerada yesboza su grafica.

(1.4) [3 puntos] Dado un numero complejo generico z ∈ C, sea t ∈ C su simetrico respectoal eje horizontal y sea w ∈ C el numero complejo que se obtiene cuando sobre t seefectua el giro de centro el origen de coordenadas y angulo θ = π

6. Expresa w en funcion

de z mediante operaciones complejas y aplica dicha transformacion z −→ w a z0 = 1+ i.



Ejercicio 2.

(2.1) [4 puntos] Determina la ecuacion, los elementos caracterısticos y la grafica de cadauna de las dos parabolas que tienen como vertice el punto V = (−3, 1) y pasan por elpunto P = (0, 7). ¿Se puede obtener una de la otra mediante un giro? ¿Por que?

(2.1) [3 puntos] Determina la matriz E, cuadrada de orden n, que verifica que

v1 v2 · · · vn

E =

vn v1 · · · vn−1

para cualquier conjunto {v1, v2, . . . , vn} de n vectores-columna. Siendo n = 4, calculala inversa de la matriz B = AE sabiendo que la matriz cuadrada A tiene inversa y quedicha inversa es

A−1 =

1 2 3 45 6 7 81 0 1 00 1 0 −1

(2.4) [1 punto] Enuncia condiciones equivalentes a que un conjunto {u1, . . . , un} de n vec-tores de Rm sea Linealmente Independiente.

(2.4) [2 puntos] Sean {u1, . . . , un} vectores de Rm, m ≥ n. Demuestra que si P es una matriz

cuadrada de orden m que tiene inversa y los vectores {Pu1, . . . , Pun} son linealmenteindependientes, entonces los vectores {u1, . . . , un} tambien son linealmente indepen-dientes. ¿Se puede obtener el mismo resultado sin exigir que la matriz P tenga inversa?¿Y sin exigir que P sea ni siquiera cuadrada? Justifica las respuestas.

Ejercicio 3. Sean A y w la matriz y el vector dados, respectivamente, por

A =

1 2 0−1 0 22 3 α0 1 1

y w =

11

α + 2β

α, β ∈ R.

(3.1) [3 puntos] Determina α y β sabiendo que una base de Col (A), el espacio columna deA, la forman dos vectores y que w ∈ Col (A).

(3.2) [2 puntos] Calcula una base y ecuaciones implıcitas de Col (A). Calcula las coorde-nadas del vector w respecto de la base calculada.

(3.3) [2 puntos] Calcula una base de Nul (A). Determina V = {x ∈ R3 : Ax = w} y larelacion de V con Nul (A).

(3.4) [3 puntos] Siendo {e1, e2, e3} la base canonica de R3 calcula la matriz B de la trans-formacion lineal T : R3 −→ R4 que verifica:

T (e1) = A(e2 + e3), T (e1 + e2) = Ae3 y T (e1 + e3) = Ae2.







Ejercicio 4. Considera la matriz A y el vector b siguientes

A =

3 α 01 α + 2 0

α − 1 0 4

, b =

−101

.

(4.1) Determina los valores de α para los que A es diagonalizable.

(4.2) Determina los valores de α ∈ R para los que A es diagonalizable ortogonalmente ycalcula una diagonalizacion ortogonal de A en los casos en que sea posible (matriz depaso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(4.3) Para los valores de α obtenidos en el apartado anterior, determina el signo de la formacuadratica ϕ(x) = xT (A−1 − 3I)x asociada a la matriz A−1 − 3I.

(4.4) Para los valores de α obtenidos en el apartado (4.2), resuelve el problema de valor

inicial

{

y′ = Ay,y(0) = b

Ejercicio 5. Considera el subespacio vectorial E y el vector b de R4 definidos respectiva-

mente mediante

E ≡{

x1 − x3 + x4 = 02x1 − 2x3 + x3 + x4 = 0

b =

1110

(5.1) Calcula una base ortogonal de E y una base ortogonal de E⊥.

(5.2) Calcula la matriz PE de la proyeccion ortogonal sobre E.

(5.3) Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre E y determina todos los vectores v de R4

cuya proyeccion ortogonal sobre E coincide con la proyeccion ortogonal de b.

(5.4) Demuestra que si una matriz cuadrada B tiene inversa y un vector u 6= 0 es autovectorde B (asociado a un cierto autovalor λ), entonces u tambien es autovector de B−1 y deB + B−1. ¿Cuales son los correspondientes autovalores de B y de B + B−1?






Segundo Examen Parcial. 6 de Junio de 2008.

Ejercicio 1. Considera el subespacio vectorial E y los vectores b y u de R4 definidos

respectivamente mediante

E ≡{

x1 − x2 + x4 = 02x1 − x2 − x3 + x4 = 0

b =

1111

, u =

1113

.

(1.1) [2 puntos] Definicion de complemento ortogonal de un subespacio vectorial S deRn. Enunciados de las propiedades mas importantes relativas al complemento ortogonalde un subespacio vectorial.

(1.2) [3 puntos] Determina una base ortogonal de E y amplıala hasta una base ortogonalde R4.

(1.3) [1 punto] Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre E.

(1.4) [2 puntos] Determina, si existen, los vectores de la recta F generada por el vector ucuya proyeccion ortogonal sobre E sea [1, 3, 1, 2]T .

(1.5) [2 puntos] Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que

x2 + α2y2 − 4xy + (α + 2)x − (α + 2)y − 5 = 0

es la ecuacion de una parabola.




A =

3 −1 −40 2 02 3 −1

, y0 =

201

.

(2.1) [4 puntos] Determina los autovalores y los autovectores de A y una diagonalizacionde A si existe (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).


{

y′ = (A − I)y,y(0) = y0.

(2.3) [1 punto] Siendo y(t) la solucion obtenida en el apartado anterior, determina, si existe,el menor valor de T > 0 para el cual y(T ) = y(0).

(2.4) [2 puntos] Determina el polinomio caracterıstico de una matriz B2 sabiendo que elde la matriz B, de orden 3, es p(λ) = −(λ − 1)(λ + 2)(λ − 3). Enuncia y demuestra laspropiedades que utilices.


A =

2 α − 2 10 3 0

α − 1 2 − α α

.


(3.2) [3 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que A es diagonalizable orto-gonalmente y calcula una diagonalizacion ortogonal de A en los casos en los quesea posible (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(3.3) [3 puntos] Para los valores de α ∈ R obtenidos en el apartado (3.2) determina:

el signo de la forma cuadratica ϕ asociada a la matriz A − I,

el maximo y el mınimo (absolutos) de ϕ sobre la esfera x21 +x2

2 +x23 = 4 (de centro

el origen de coordenadas y radio 2) y

los puntos/vectores donde dichos extremos se alcanzan.

(3.4) [1 punto] Demuestra que para cualquier matriz real B (cuadrada o no) la matriz BT B(la forma cuadratica asociada) es semidefinida positiva (o definida positiva).








A =

1 −1 1 01 0 1 −11 1 1 −2

y b =

1111

.

(1.1) [3 puntos] Calcula una base ortogonal de E = Nul (A) y una base ortogonal de E⊥.

(1.2) [3 puntos] Calcula la proyeccion ortogonal de b sobre E y la distancia de b a E.

(1.3) [2 puntos] Resuelve el sistema AT x = b en el sentido de los mınimos cuadrados ydetermina, si existe, la solucion (en mınimos cuadrados) cuya segunda coordenada esx2 = −2.

(1.4) [2 puntos] Demuestra que si {u1, u2, . . . , uk} es un conjunto de vectores no-nulosortogonales dos a dos entonces es linealmente independiente.

Ejercicio 2. Considera los siguientes vectores de R3,

u =

100

, v =

01−1

y w =

211

.

(2.1) [3 puntos] Describe en que consiste una diagonalizacion ortogonal de una matrizsimetrica real. Describe, de manera esquematica, la forma de obtenerla distinguiendolos casos en los que todos los autovalores son simples y los casos en los que hay algunautovalor multiple.

(2.2) [6 puntos] Sabiendo que u, v y w son autovectores de una matriz simetrica real A yque los autovalores de dicha matriz son λ1 = −1 (simple) y λ2 = 2 (doble),

Determina a que autovalor corresponde cada autovector.

Determina la matriz A.

Determina una diagonalizacion ortogonal de A.

(2.3) [1 punto] Determina en funcion de α ∈ R el signo de la forma cuadratica asociada ala matriz αI − A−1.


Examen de Junio. 2007-08. E-59


A =

1 −1 −40 1 02 3 −3

(3.1) [4 puntos] Diagonaliza la matriz A (matriz diagonal, matriz de paso, relacion con A).Determina una casi-diagonalizacion real de A (matriz casi-diagonal, matriz de paso,relacion con A).

(3.2) [2 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los cuales los todos los autovalores deA3 + αI son numeros reales positivos.

(3.3) [2 puntos] Halla el area del recinto plano descrito por las siguientes desigualdades:

(x − y + 2)2 + 4(2x + y − 1)2 ≤ 4

(x − y + 2)2 + (2x + y − 1)2 ≥ 1

(3.4) [2 puntos] Demuestra que si la suma de los elementos de cada una de las filas, respec-tivamente columnas, de una matriz cuadrada A es 7, entonces λ = 7 es uno de losautovalores de A.




Ejercicio 4.

(4.1) [2 puntos] Determina los valores de ρ ∈ R para los cuales

2x2 + ρy2 + (ρ2 − 4)z2 − 4x − 2z = 5

es un paraboloide hiperbolico (silla de montar). Determina el punto de silla.

(4.2) [3 puntos] Resuelve la ecuacion compleja (z − z)4 = 1. Representa graficamente lassoluciones en el plano complejo.

(4.3) [3 puntos] Calcula α ∈ R sabiendo que la proyeccion ortogonal del punto/vectorP = (1, 2,−1) sobre el plano π ≡ x − y + αz = 0 es Q = (1, 2, 3). Calcula (la expresionde) la matriz de la proyeccion ortogonal sobre π.

(4.4) [2 puntos] Calcula la inversa de la siguiente matriz de orden n = 2, 3, . . . (generico)

0 0 · · · 0 n

0 0 · · · n − 1 0...

... . .. ...

...0 2 0 · · · 01 1 · · · 1 1

.


A =

1 2 a1

a2 −1 12 a3 0a4 a5 a6

y b =

α

3α

2

−3

(α ∈ R).

(5.1) [4 puntos] Determina A sabiendo que sus espacios nulo y columna son, respecti-vamente,

Nul (A) = Gen

1−23

y Col (A) ⊂ y1 + y2 − y3 − y4 = 0.

(5.2) [2 puntos] Para la matriz A obtenida, estudia el sistema de ecuaciones Ax = b segunlos valores de α.

(5.3) [2 puntos] Determina V =

x ∈ R3; Ax = A

102

e interpreta geometricamente

el resultado.

(5.4) [2 puntos] Sea P una matriz real m × n y sean v1, . . . , vk vectores de Rn tales que{Pv1, P v2, . . . , P vk} son linealmente independientes. Demuestra que {v1, v2, . . . , vk} sonlinealmente independientes.







Ejercicio 1.

(1.1) [4 puntos] Sea π un plano en R3 que pasa por el origen de coordenadas. Sabiendo quela proyeccion ortogonal sobre π del vector v1 = (0,−1, 4)T y del vector v2 = (−1, 0, 5)T

es el vector u = (1,−2, 3), determina:

La ecuacion de π.

La matriz de la proyeccion ortogonal sobre π.

La proyeccion sobre π de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tienecomo vector direccion v = v1 − 2v2.

(1.2) [3 puntos] Sea C la parabola del plano OXY que:

Tiene como eje de simetrıa el eje OY .

Su vertice es el punto (0, 1, 0).

Pasa por el punto P = (1, 2, 0).

Determina las ecuaciones de C y la ecuacion implıcita de la superficie que se obtiene algirar C alrededor del eje OX. ¿Se trata de una cuadrica?

(1.3) [2 puntos] Resuelve la ecuacion compleja

(

1

1 + z

)4

= 1

expresando las soluciones en forma binomica. Representa graficamente dichas soluciones.

(1.4) [1 punto] Sea a un vector-columna n× 1 que verifica qiue aT a = 1. Demuestra que lainversa de la matriz A = I − 2aaT es ella misma.



Ejercicio 2. Considera el subespacio vectorial S de R4 definido mediante

S ≡

x1 + 2x2 − x3 + x4 = 02x1 + x2 + αx3 + βx4 = 0

x1 − x2 + 2x3 = 0

(α, β ∈ R).

(2.1) [3 puntos] Determina los valores de α y β para los que S tiene dimension 2. En dichoscasos, calcula una base ortogonal de S y una base ortogonal de S⊥.

(2.2) [3 puntos] Para α = 3, β = 2, determina una base de S y dos subespacios vectorialesF y G (distintos) que verifiquen

S + F = S + G = R4 y S ∩ F = S ∩ G =

{

~0}

.

(2.3) [3 puntos] Sea A es una matriz de orden 3 con polinomio caracterıstico

p(λ) = −λ3 + 2λ2 + λ − 2.

Demuestra que A es diagonalizable y verifica que

−A3 + 2A2 + A − 2I = 0.

Expresa A−1 como combinacion lineal de potencias (de exponente no-negativo) de A.

(2.4) [1 punto] Determina que tipo de conica es

x2 + y2 − 2xy + 3x = 0.

Ejercicio 3. Sean

A =

1 α − 3 3 − α0 α 10 α − 2 3

y b =

2−10

.

(3.1) [3 puntos] Determina los valores de α ∈ C para los que A es diagonalizable.

(3.2) [2 puntos] Determina una diagonalizacion de A (matriz de paso, matriz diagonal,relacion con la matriz A) para α = 3.

(3.3) [3 puntos] Determina los valores de α ∈ R para los que A es diagonalizable ortogonal-mente. Determina una diagonalizacion ortogonal de A para los valores de α ∈ R paralos que sea posible.

(3.4) [2 puntos] Para α = 3, resuelve el problema de valor inicial

{

y′(t) = (A − 2I)y(t),y(0) = b.








Ejercicio 1.

(1.1) [3 puntos] Describe la relacion entre los coeficientes de un polinomio y la suma y elproducto de sus raıces (ceros). Determina los valores de w ∈ C para los cuales todas lassoluciones de la ecuacion compleja

z +w

z= 2

son reales. Resuelve la ecuacion anterior para w = 1 + i.

(1.2) [4 puntos] Determina la ecuacion de la elipse que pasa por el punto P (115,−1) y tiene

como focos F1 = (−1,−1) y F2 = (−1, 5). Determina los restantes elementos de laelipse, su grafica y una parametrizacion (de la elipse completa).

(1.3) [3 puntos] Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea la ecuacion

x2 − 2x + αy2 + 4y − z2 = α − 1.

Esboza la grafica y determina los elementos caracterısticos de la cuadrica que se obtienepara α = 0.



Ejercicio 2.

(2.1) [3 puntos] Reduce a suma de cuadrados, en funcion de α ∈ R, la forma cuadratica

Q(x, y, z) = (α2 + 4)x2 + y2 + αz2 − 4xy + (4 − 6α)xz − 2yz.

Determina el signo de Q en funcion de los valores de α. Para α = 1, expresa en formamatricial la relacion entre las variables originales y las variables finales.

(2.2) [4 puntos] Determina la matriz de la transformacion lineal T : R2 −→ R2 que a cadavector v ∈ R2 le hace corresponder el vector T (v) = T2 (T1(v)) siendo T1 el giro deangulo θ = π

3radianes (y centro el origen de coordenadas) y T2 la simetrıa respecto al

eje horizontal.

Determina los vectores del plano que verifican que T (v) = v. Interpreta geometricamenteel resultado.

(2.3) [3 puntos] Calcula la inversa de A y la de PA, siendo

A =

1 0 0 · · · · · · 0

2 1 0. . .

...

22 2 1. . .

. . ....

.... . .

. . .. . .

. . ....

2n−2 . . .. . .

. . . 1 02n−1 2n−2 · · · 22 2 1

y P =

0 11 0

1. . .

1

.

Ejercicio 3. Sean

A =

1 −1 0 21 1 2 0−2 3 α −50 1 1 α − 2

y b =

15β2

.

(3.1) [4 puntos] Calcula, segun los valores de α ∈ R, una base y ecuaciones implıcitas parael espacio nulo y para el espacio columna de A.

(3.2) [2 punto] Siendo α = 1, calcula β ∈ R para que el vector b este en el espacio columnade A y, en dicho caso, calcula la coordenadas de b respecto de la base obtenida deCol (A).

(3.3) [3 puntos] Sea P una matriz cuadrada que verifica que P 2 = P (una matriz de proyec-cion). Determina (I + P )n como combinacion lineal de I y de P (calcula previamente

la suma

(

n1

)

+ · · ·+(

nn

)

para cada n ≥ 2).

(3.4) [1 punto] Supongamos que al reducir a forma escalonada una matriz B de dimensiones23 × 35 se obtienen 17 pivotes, ¿cuantos vectores forman una base del espacio nulo deB? , ¿y una base del espacio columna de B?








A =

1 −1 0 0−1 1 0 −10 0 a 1 − a0 −1 0 1

.

(4.1) Teorıa. Propiedades de la matriz de la proyeccion ortogonal sobre un subespacio vec-torial S ⊂ Rn de dimension r < n (autovalores, autovectores, diagonalizable o no,diagonalizable ortogonalmente o no, etc).


(4.3) Determina los valores de a para los que A es diagonalizable ortogonalmente.

(4.4) Considerando la matriz A que se obtiene para a = 1, ¿hay algun coeficiente ρ para elcual la matriz ρA sea la matriz de la proyeccion ortogonal sobre un subespacio (de R4)?¿Por que? En caso afirmativo determina dicho subespacio.

Ejercicio 5. Considera

A =

1 0 11 1 02 −4 1

y w =

123

.

(5.1) Diagonaliza A y A2.

(5.2) Resuelve el problema de valor inicial

{

y′ = A2y,y(0) = w.

(5.3) Determina el valor o valores de ρ ∈ C para los cuales la matriz A+ρI no tiene inversa.

(5.4) Diagonaliza la matriz B =

[

A 00 A

]

.

(5.5) ¿Se puede diagonalizar la matriz AT A mediante una matriz de paso ortogonal? ¿Porque?







Ejercicio 1. Considera el subespacio vectorial E y los vectores b y u de R4 definidos

respectivamente mediante

E = Gen

u =

1111

, b =

1113

.

(1.1) [2 puntos] Determina una base y unas ecuaciones implıcitas del subespacio vectorial Sde R4 formado por los vectores de E⊥ que verifican la ecuacion x1 +2x2 +x3 +2x4 = 0.

(1.2) [3 puntos] Determina una base ortogonal de S y amplıala hasta una base ortogonalde R

4.

(1.3) [1 punto] Determina el vector de S mas cercano a b.

(1.4) [2 puntos] Determina los vectores de R4 cuya proyeccion ortogonal sobre S coincidecon la proyeccion ortogonal de 2b (sobre S). (Nota. Un dibujo en R3 puede ayudar.)

(1.5) [2 puntos] Sean u1, u2 ∈ Rn dos vectores linealmente independientes que no sonortogonales y sean P1 y P2 las matrices de proyeccion ortogonal sobre las rectasS1 = Gen {u1} y S2 = Gen {u2}, respectivamente. Demuestra que u1 y u2 no sonautovectores de la matriz P1 + P2. Suponiendo que n ≥ 3, determina algun autovalorde P1 + P2 y describe algun autovector asociado.




A =

a + 1 −2a 22 0 22 2 0

.

(2.1) [2 puntos] Determina los valores de a ∈ R para los que la matriz A tiene algunautovalor complejo con parte imaginaria no nula.

(2.2) [3 puntos] Determina una diagonalizacion ortogonal de A para los valores de a ∈ R

para los que sea posible (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(2.3) [3 puntos] Para a = −1, determina:

una forma canonica de la forma cuadratica ϕ asociada a la matriz 3A − 2I,

el maximo y el mınimo (absolutos) de ϕ sobre la esfera x21 + x2

2 + x23 = 1 y

los puntos/vectores donde dichos extremos se alcanzan.

(2.4) [2 puntos] Calcula el area del recinto plano R descrito por las siguientes desigualdades

{

(x − 2y)2 + (x + y)2 ≤ 4,(2x − y)y ≤ 0.

Ejercicio 3. Considera la matriz A y el vector y0 dados respectivamente por

A =

1 1 02 1 1−2 α α

e y0 =

10−2

.


(3.2) [3 puntos] Determina, si es posible, una diagonalizacion de A para α = 0 (matriz depaso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(3.3) [1 punto] Resuelve, para α = 0, el problema de valor inicial

{

y′ = (A − 3I)y,y(0) = y0.

(3.4) [2 puntos] Determina los posibles autovalores de una matriz M real, 4× 4, que no esdiagonalizable sabiendo que el polinomio caracterıstico de la matriz M2 es

p(λ) = (λ + 1)2(λ − 4)2.

Enuncia y demuestra las propiedades que utilices.


E-68 Examen Final de Junio. 2008-09.





Ejercicio 1. Considera el subespacio S y el vector b ∈ R4 dados por

S ≡

x1 + x2 + 2x3 = 02x1 − x2 + αx3 + βx4 = 0x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0

y b =

11γ1

.

(1.1) [2 puntos] Determina dim (S) y dim (S⊥) en funcion de α y β.

(1.2) [3 puntos] Para α = 1 y β = 2 determina una base ortogonal de S y una base ortogonalde S⊥.

(1.3) [2 puntos] Determina, para α = 1 y β = 2, los valores de γ ∈ R para los cuales bequidista de S y de S⊥ (no se obtienen valores enteros).

(1.4) [2 puntos] Enuncia las propiedades mas importantes relativas a las matrices de proyec-cion ortogonal sobre un subespacio vectorial E de R

n.

(1.5) [1 punto] Sea E un subespacio vectorial de Rn y sean PE y PE⊥ las matrices deproyeccion ortogonal sobre E y sobre E⊥, respectivamente. Determina los vectores x ∈Rn que verifican que

PEx + 3PE⊥x = x.


Examen Final de Junio. 2008-09. E-69


A =

1 − a 2 22a 0 22 2 0

.

(2.1) [3 puntos] Determina los valores de a ∈ R para los que todos los autovalores de A sonreales.

(2.2) [3 puntos] Diagonaliza ortogonalmente A para los valores de a ∈ R para los que seaposible.

(2.3) [2 puntos] Para a = 1, determina los valores de ρ ∈ R para los que la forma cuadraticaϕ(x) = xT (ρA2 + 3I)x es definida positiva.

(2.4) [1 punto] Para a = 1, calcula el volumen del recinto solido {x ∈ R3 : ||Ax|| ≤ 1}.

(2.5) [1 punto] Sea M una matriz real no simetrica. Determina los valores de α, β ∈ R

para los cuales la matriz αM + βMT se puede diagonalizar ortogonalmente.


A =

1 2 −21 1 α0 1 α

, y0 =

221

.

(3.1) [3 puntos] Determina los valores de α para los que la matriz A es diagonalizable.

(3.2) [3 puntos] Diagonaliza la matriz A para α = 0. Calcula An. ¿Es valida la expresionobtenida para exponentes negativos n = −1,−2, . . . ?

(3.3) [2 puntos] Resuelve, para α = 0, el problema de valor inicial

{

Ay′ = (2A + I)yy(0) = y0.

(3.4) [2 puntos] Demuestra que si la suma de los elementos de cada una de las filas de unamatriz cuadrada B es 7, entonces la suma de los elementos de cada una de las filas de B2

es 49. (Indicacion: Expresa la condicion dada en terminos de autovalores y autovectoresde B).







Ejercicio 4.

(4.1) [3 puntos] Determina la ecuacion de la hiperbola que tiene por focos F1 = (6, 2) yF2 = (−4, 2) sabiendo que la pendiente de una de sus asıntotas es m = 3

4. Determina

los restantes elementos y la representacion grafica de la hiperbola.

(4.2) [3 puntos] Resuelve la ecuacion compleja (z + z)3 = −1. Representa graficamente lassoluciones en el plano complejo.

(4.3) [2 puntos] Calcula α > 0 sabiendo que un giro con centro el origen de coordenadaslleva el punto (3, 1) en el punto (α, α). Calcula la matriz del giro citado (no se pide elangulo de giro, es indiferente trabajar en forma compleja o en forma vectorial real).

(4.4) [2 puntos] Calcula la inversa de la siguiente matriz de orden n = 2, 3, . . . (generico)

0 0 · · · 0 n0 0 · · · n − 1 0...

... . .. ...

...0 2 0 · · · 01 1 · · · 1 1

Ejercicio 5. Considera la matriz A y el vector w ∈ R4 siguientes,

A =

1 1 −2 0−1 1 3 10 2 a 12 0 −5 a − 1

y w =

1−102

.

(5.1) [5 puntos] Determina Col (A) y Nul (A) en funcion de a ∈ R (ecuaciones implıcitas ybase, si hay). Determina los valores de a ∈ R para los que w ∈ Col (A). Determina losvalores de a ∈ R para los que w ∈ Nul (A).

(5.2) [2 puntos] Determina, para a = 0, una factorizacion LU de A.

(5.3) [2 puntos] Siendo {e1, e2, e3, e4} los vectores canonicos de R4, determina la matriz Mde orden 4 que verifica M(e1 + e2) = Ae2, Me2 = Ae3, Me3 = Ae4 y Me4 = Ae1.

(5.4) [1 punto] Demuestra que si una matriz cuadrada B verifica que Col (B) ⊂ Nul (B)entonces B2 = 0.







Ejercicio 1.

(1.1) [3 puntos] Calcula α ∈ R sabiendo que un giro con centro C = (2, 0) lleva el punto(3, 1) en el punto (α, α). Calcula la ecuacion del giro citado (es indiferente trabajaren forma compleja o en forma vectorial real).

(1.2) [1 punto] Determina un polinomio real de grado 4 de la forma p(z) = z4 + · · ·sabiendo que tiene como raıces a z1 = 1 + i y a z2 = 3i. Factoriza dicho polinomio.

(1.3) [3 puntos] Determina, segun los valores de a ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea la ecuacion x2 − 2x + 4y2 + 16y + az2 + 16 = 0. Determina el valor de a ∈ R para elcual al cortar la cuadrica con el plano z = 3 se obtiene una elipse de semiejes 8 y 4.

(1.4) [3 puntos] Enuncia la Ley de inercia de Sylvester. Reduce a suma de cuadradosla forma cuadratica ϕ(x, y, z) = x2 − 2y2 − 10z2 − 2xy + 2xz + 10yz. ¿Que se puededecir de los signos de los autovalores de la matriz simetrica asociada a ϕ? (No intentescalcular los autovalores de la matriz citada).


A =

a − 1 1 0a 0 1−2 2 0

, y0 =

110

.

(2.1) [4 puntos] Determina los valores de a para los que la matriz A es diagonalizable.

(2.2) [3 puntos] Para a = 0,

(2.2.1) Diagonaliza la matriz A (matriz de paso, matriz diagonal, relacion con A).

(2.2.2) Diagonaliza (A + ρI)−1 para los valores de ρ para los que sea posible.

(2.3) [3 puntos] Para a = 0, determina la solucion general del sistema y′ = (A + 2I)y.Ademas, para dicho sistema:

(2.3.1) Resuelve el problema de valor inicial con condicion inicial y(0) = y0.

(2.3.2) Calcula, si existe, una solucion no trivial que verifique la condicion y(0) = y(1).



Ejercicio 3.

(3.1) [3 puntos] Sean E y F dos subespacios vectoriales de R5 de dimension 3. Sabiendoque E ∩ F tiene dimension 1,

(3.1.1) ¿que puede decirse de E + F ?

(3.1.2) Si {u1, u2, u3} es una base de E y {v1, v2, v3} es una base de F , ¿que puededecirse (compatibilidad, numero de pivotes, numero de variables libres) de los sis-temas de ecuaciones

u1 u2 u3 v1 v2 v3

x = y, y ∈ R5?

¿De cuantas formas se puede descomponer un vector y ∈ R5 como suma de un

vector de E y otro de F ?

(3.2) [3 puntos] Calcula una base ortogonal del subespacio vectorial S de R5 definido me-diante

S = Gen

11−1−10

,

12341

,

01451

,

1−11−12

.

Determina una expresion de la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S en funcion delos vectores de la base obtenida.

(3.3) [1 punto] Demuestra que si una matriz, cuadrada de orden n, es diagonalizable ytiene un unico autovalor (de multiplicidad n) entonces dicha matriz es un multiplo dela matriz identidad.

(3.4) [3 puntos] Determina los valores de α para los que es diagonalizable la matriz

A =

[

α + 1 α1 0

]

.







Ejercicio 1.

(1.1) [3 puntos] Reduce a suma de cuadrados la ecuacion

x2 − 2α2x − y2 − 2y + z2 − 6z + α4 − α2 − α + 8 = 0.

Determina α sabiendo que es la ecuacion de un cono con centro (1,−1, 3). Representagraficamente dicho cono.

(1.2) [3 puntos] Determina, si existe, la inversa de A y la inversa de B siendo

A =

1 0 · · · 0 10 1 · · · 0 1...

.... . .

......

0 0 · · · 1 11 1 · · · 1 1

y B la matriz que se obtiene de A multiplicando la primera fila por 3.

(1.3) [3 puntos] Determina la matriz de la transformacion lineal T : R2 −→ R4 que a cadavector u ∈ R2 le hace corresponder el vector v ∈ R4 cuyas dos primeras coordenadas sonlas de u y la tercera y cuarta coordenadas son las del vector que se obtiene al proyectarortogonalmente u sobre la recta x = y. ¿Por que no puede estar ningun vector de laforma v = (∗, ∗, 1, 2) en el espacio columna de dicha matriz?

(1.4) [1 punto] Sea P una matriz cuadrada que tiene inversa. ¿Se puede aplicar la formuladel binomio de Newton a (P + P−1)n? Por que?

Ejercicio 2.

(2.1) [4 puntos] Sean p(z) = z2−(1− i)z− i y q(z) = p(z3). Resuelve la ecuacion p(z) = 0 yla ecuacion q(z) = 0 y representa graficamente las soluciones obtenidas. Factoriza p(z)y q(z).

(2.2) [2 puntos] Determina la ecuacion del giro de centro C = (−1, 1) y angulo θ = π3.

Determina el punto que se obtiene al aplicar dicho giro al punto P = (1, 4).

(2.3) [4 puntos] Determina la ecuacion de la hiperbola equilatera con ejes paralelos a losejes coordenados, centro en C = (3,−1) y que pasa por P = (6, 4). Determina los focos,las asıntotas y la grafica de dicha hiperbola.



Ejercicio 3. Sean A la matriz

A =

1 1 −2 10 1 1 1−1 1 t2 12 3 t − 7 2

.

(3.1) [5 puntos] Determina, segun los valores de t ∈ R,

Col (A) (ecuaciones implıcitas y vectores linealmente independientes que generendicho espacio),

Nul (A) (ecuaciones implıcitas y vectores linealmente independientes que generendicho espacio),

si la matriz A tiene factorizacion LU .

(3.2) [3 puntos] Reduce, a suma de cuadrados, la forma cuadratica

Q(x, y, z) = x2 + 2y2 + (a + 1)2z2 − 2xy + 2xz − 2(a + 1)yz.

Para a = −1, expresa en forma matricial la relacion entre las variables originales y lasvariables finales y determina dos soluciones, no triviales, de la ecuacion Q(x, y, z) = 0.

(3.3) [2 puntos] Sea M una matriz 30× 20. Sabiendo que el espacio nulo Nul (M) se puedegenerar con 9 vectores linealmente independientes,

¿cuantas ecuaciones implıcitas son necesarias para caracterizar Nul (M)?

¿con cuantos vectores linealmente independientes se puede generar el espaciocolumna Col (M)?

¿cuantas ecuaciones implıcitas son necesarias para caracterizar Col (M)?







Ejercicio 1. Sean

A =

1 −1 0 22 1 1 −11 2 1 −30 3 α −54 3α + 2 3 −7

(α ∈ R) y w =

4050

.

(1.1) [4 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que los espacios Nul (A)y Col (A) tienen la misma dimension. ¿Hay algun valor de α para el que los espaciosNul (AT ) y Col (AT ) tengan la misma dimension? Razona la respuesta. Enuncia algunode los resultados que utilices.

(1.2) [2 puntos] Calcula, para α = 1, una base ortogonal de Nul (A). Calcula la proyeccionortogonal del vector w sobre Nul (A).

(1.3) [2 puntos] Determina, de forma razonada, un vector x ∈ R4 que diste 1 de Nul (A)y de su complemento ortogonal. ¿Cuanto tiene que ser ||x||? (Un dibujo en R2 o en R3

puede ayudar).

(1.4) [2 puntos] Sean r y π una recta y un plano en R3 que pasan por el origen de coorde-nadas y sean Pr y Pπ las matrices de proyeccion ortogonal sobre r y π, respectivamente.Determina los casos en los que ambas matrices conmutan, PrPπ = PπPr. Determina elproducto PπPr en cada uno de los casos.



Ejercicio 2. Sean

A =

1 −1 a−1 1 a1 1 0

(a ∈ R) y u =

123

.

(2.1) [4 puntos] Determina los valores de a ∈ R para los que la matriz A es diagonalizable.

(2.2) [3 puntos] Para a = −2, determina, si existe, una diagonalizacion de A (matriz depaso, matriz diagonal, relacion con la matriz A).

(2.3) [2 puntos] Resuelve, para a = −2, el problema de valor inicial

{

y′(t) = A2y(t),y(0) = u.

(2.4) [1 punto] Sean M y P dos matrices cuadradas del mismo orden. Demuestra que si Ptiene inversa y v es un autovector de M , entonces P−1v es un autovector de P−1MP .

Ejercicio 3.

(3.1) [2 puntos] Enuncia y comenta el Teorema espectral para matrices simetricas reales

(3.2) [5 puntos] Sea A una matriz simetrica real que verifica:

tiene un autovalor simple, λ1 = −1,

tiene un autovalor doble, λ2 = 2, y

una matriz de paso que la diagonaliza es P =

1 −1 1−1 0 10 1 1

.

Determina:

- a que autovalor corresponde cada columna de P y

- una diagonalizacion ortogonal de A (matriz de paso ortogonal, matriz diagonal,relacion con A). No hace falta calcular A.

(3.3) [3 puntos] Siendo A la matriz del apartado anterior, calcula una diagonalizacion orto-gonal de la matriz A+ρA−1 y clasifica, en funcion de ρ ∈ R, la forma cuadratica asociadaa esta matriz.







Ejercicio 1.1.

(1.1.1) [3 puntos] Determina las ecuaciones, los elementos caracterısticos y las graficas dela elipses, con ejes paralelos a los ejes coordenados, que tienen al origen de coordenadascomo uno de sus vertices y al punto F = (−1, 1) como uno de sus focos.

(1.1.2) [3 puntos] Resuelve la ecuacion compleja (z3 + 1)2 = (2z3 − 1)2 y representa grafi-camente las soluciones en el plano complejo. Factoriza el polinomio

p(z) = (z3 + 1)2 − (2z3 − 1)2.

(1.1.3) [2 puntos] Determina, en forma compleja, la ecuacion generica del giro con centroz0 ∈ C y angulo θ ∈ R. Calcula el centro de un giro sabiendo que esta en el eje deabscisas y que el giro transforma el punto P = (4, 1) en el punto P ′ = (−1, 6).

(1.1.4) [2 puntos] Calcula la inversa de la siguiente matriz de orden n = 2, 3, . . . (generico)

0 0 · · · 0 10 0 · · · 2 1...

... . .. ...

...0 n − 1 · · · 0 1n 0 · · · 0 1

.



Ejercicio 1.2.

(1.2.1) [3 puntos] Determina, en funcion de α ∈ R, el tipo de cuadrica que corresponde ala ecuacion

(α + 1)x2 + 4x + y2 − 2y − z2 = α.


(1.2.2) [3 puntos] Enuncia la Ley de inercia de Sylvester. Determina los valores de β ∈ R

para los que las formas cuadraticas

Q1(x, y, z) = 5x2 + y2 + z2 + 2xy + 2βxz y Q2(x, y, z) = βx2 + y2 + 6z2 + 2βxy

se pueden reducir a sumas de cuadrados con los mismos coeficientes.

(1.2.3) [2 puntos] Calcula la matriz de la simetrıa respecto de la recta

r ≡{

x + y + z = 0x + 2y + z = 0

}

.

(1.2.4) [2 puntos] Sea M una matriz 30 × 20. Sabiendo que el espacio Col (M) se puedegenerar con 9 vectores linealmente independientes,


¿con cuantos vectores linealmente independientes se puede generar el espacioNul (M)?


Ejercicio 1.3. Considera los siguientes vectores de R4,

v1 =

100−1

, v2 =

0100

, v3 =

−1011

y v4 =

011−1

.

(1.3.1) [2 puntos] Siendo f : Rn −→ Rm una aplicacion lineal generica, define y comentalo que significa que una matriz M sea la matriz de f (respecto de las bases canonicasde R

n y Rm). Describe las propiedades mas relevantes de M (en relacion con f).

(1.3.2) [4 puntos] Determina la matriz A de la aplicacion lineal T : R4 −→ R4 que verificaque T (v1) = v3 y T (v2) = v4 sabiendo ademas que Nul (A) = Col (A).

(1.3.3) [2 puntos] Determina una factorizacion LU de A.

(1.3.4) [2 puntos] Demuestra que si una matriz cuadrada B verifica que Col (B) ⊆ Nul (B)entonces B2 = 0. Pon un ejemplo de una matriz (cuadrada) H que verifique queNul (H) ⊆ Col (H) pero que H2 6= 0.







Ejercicio 2.1. Considera el subespacio S y el vector b ∈ R4 dados por

S = Gen

v1 =

1120

, v2 =

1−2αβ

, v3 =

2−111

, y b =

1111

.

(2.1.1) [2 puntos] Determina dim (S) y dim (S⊥) en funcion de α y β.

(2.1.2) [3 puntos] Para α = −1 y β = 1 determina una base ortogonal de S y una baseortogonal de S⊥.

(2.1.3) [2 puntos] Expresa, para α = −1 y β = 1, el vector b como suma b = v + w de unvector v de S y uno w de S⊥.

(2.1.4) [2 puntos] Siendo PS la matriz de la proyeccion ortogonal sobre S, interpretrageometricamente la matriz 2PS − I y calcula (2PS − I)2010.

(2.1.5) [1 punto] Determina, para α = −1 y β = 1, un subespacio E 6= S⊥ que verifiqueque S ⊕ E = R4.

Ejercicio 2.2. Considera la matriz

A =

a 0 1 − a−2 −1 22 0 −1

.

(2.2.1) [4 puntos] Determina los autovalores de A y sus multiplicidades (algebraicas) segunlos valores de a ∈ R. Determina los valores de a ∈ R para los que A es diagonalizable.

(2.2.2) [1 punto] Determina los valores de ρ, a ∈ R para los que A + ρAT es diagonalizableortogonalmente.

(2.2.3) [3 puntos] Diagonaliza A para a = 0 (matriz de paso, matriz diagonal, relacion conA).

(2.2.4) [2 puntos] Usando la diagonalizacion obtenida de A para a = 0, determina unadiagonalizacion de AT y los autovectores de AT .



Ejercicio 2.3. Considera la matriz A y el vector w dados por

A =

−1 1 11 −1 γ1 γ −1

, w =

1−10

.

(2.3.1) [1 punto] Determina γ para que w sea autovector de A.

(2.3.2) [4 puntos] Calcula, para γ = 1, una diagonalizacion ortogonal de A y una diagonal-izacion ortogonal de A−1.

(2.3.3) [2 puntos] Resuelve, para γ = 1, el problema de valor inicial

{

y′(t) = Ay(t),y(ln(5)) = w.

(2.3.4) [3 puntos] Sean A y B matrices cuadradas reales de orden 2. Sabiendo que Atransforma el cuadrado unidad en un recinto de area 7 y B transforma lo transforma enuno de area 2, calcula los posibles valores del determinante de la matriz 3A−1B (cuidadocon el 3). Enuncia las propiedades mas importantes que utilices.






Examen Final de Junio (Toda la asignatura). 01-07-2010.

Ejercicio J1. Considera los siguientes vectores de R4,

v1 =

100−1

, v2 =

0100

, v3 =

−1011

y v4 =

011−1

.

(1.3.2) [4 puntos] Determina la matriz A de la aplicacion lineal T : R4 −→ R4 que verificaque T (v1) = v3 y T (v2) = v4 sabiendo ademas que Nul (A) = Col (A).

(1.1.1) [3 puntos] Determina las ecuaciones, los elementos caracterısticos y las graficas dela elipses, con ejes paralelos a los ejes coordenados, que tienen al origen de coordenadascomo uno de sus vertices y al punto F = (−1, 1) como uno de sus focos.

(1.1.2) [3 puntos] Resuelve la ecuacion compleja (z3 + 1)2 = (2z3 − 1)2 y representa grafi-camente las soluciones en el plano complejo. Factoriza el polinomio

p(z) = (z3 + 1)2 − (2z3 − 1)2.

Ejercicio J2. Considera la matriz

A =

a 0 1 − a−2 −1 22 0 −1

.

(2.2.1) [4 puntos] Determina los autovalores de A y sus multiplicidades (algebraicas) segunlos valores de a ∈ R. Determina los valores de a ∈ R para los que A es diagonalizable.

(2.2.2) [1 punto] Determina los valores de ρ, a ∈ R para los que A + ρAT es diagonalizableortogonalmente.

(2.2.3) [3 puntos] Diagonaliza A para a = 0 (matriz de paso, matriz diagonal, relacion conA).

(2.2.4) [2 puntos] Usando la diagonalizacion obtenida de A para a = 0, determina unadiagonalizacion de AT y los autovectores de AT .



Ejercicio J3. Considera

A =

−1 1 11 −1 11 1 −1

, w =

1−10

.

(2.3.2) [4 puntos] Calcula una diagonalizacion ortogonal de A y una diagonalizacion orto-gonal de A−1.

(2.3.3) [2 puntos] Resuelve el problema de valor inicial

{

y′(t) = Ay(t),y(ln(5)) = w.

(1.2.3) [2 puntos] Calcula la matriz de la simetrıa respecto de la recta

r ≡{

x + y + z = 0x + 2y + z = 0

}

.

(1.2.4) [2 puntos] Sea M una matriz 30 × 20. Sabiendo que el espacio Col (M) se puedegenerar con 9 vectores linealmente independientes,


¿con cuantos vectores linealmente independientes se puede generar el espaciocolumna Nul (M)?








Ejercicio 1.

(1.1) [3 puntos] Determina la ecuacion y la grafica de la parabola que verifica las siguientescondiciones:

Su vertice esta en la recta x = 2.

Su eje de simetrıa es horizontal.

Pasa por los puntos P = (4, 1) y Q = (4, 5).

(1.2) [3 puntos] Determina, en funcion de α ∈ R, el tipo de cuadrica que corresponde a laecuacion

(α − 1)y2 + 4y + x2 − 2x − z2 = α − 2.


(1.3) [2 puntos] Sabiendo que al reducir a forma escalonada por filas dos matrices A y B seobtiene la misma forma escalonada, ¿que puede decirse de los espacios nulos, Nul (A) yNul (B), y de los espacios columna, Col (A) y Col (B)?

(1.4) [2 puntos] Sea M una matriz 20 × 30. Sabiendo que el espacio Col (M) se puedegenerar con 9 vectores linealmente independientes,


¿con cuantos vectores linealmente independientes se puede generar el espacioNul (M)?




Ejercicio 2.

(2.1) [4 puntos] Sea n ≥ 3 generico y considera el subespacio vectorial S de Rn generadopor

v1 =

1000...0

, v2 =

1200...0

, v3 =

1230...0

.

Calcula una base ortogonal de S y la matriz de la proyeccion ortogonalsobre S. Deter-mina un vector de Rn cuya distancia a S sea 1.

(2.2) [3 puntos] Resuelve la ecuacion compleja z3 = (z)3. Representa graficamente lassoluciones en el plano complejo. Se aconseja trabajar en forma exponencial.

(2.3) [3 puntos] Sea A = QDQT una diagonalizacion ortogonal de una matriz simetrica realA de orden 3 con autovalores λ1 = 1, λ2 = −1 y λ3 = −2. Determina una diagonalizacionortogonal de A + ρA2, ρ ∈ R, y los valores de ρ ∈ R para los que la forma cuadraticaϕ(x) = xT (A + ρA2)x es definida positiva.

Ejercicio 3. Considera

A =

1 − α α −α−1 3 −1−1 2 0

y b =

20−2

.

(3.1) [3 puntos] Comprueba que λ1 = 1 es autovalor de A para cualquier valor de α.Determina, si existen, los valores de α para los cuales A es diagonalizable.

(3.2) [1 punto] Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que existe A−1 y esdiagonalizable ortogonalmente.

(3.3) [3 puntos] Diagonaliza A y A2 para α = 1 (matrices de paso, matrices diagonales,relacion con A y A2).

(3.4) [3 puntos] Resuelve, para α = 1, el problema de valor inicial

{

y′(t) = A2y(t),y(0) = b.


Departamento de Matem´atica Aplicada II....Examen de Junio (Segundo Parcial). 2002-03. E-5 Algebra....

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