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Algebra Lineal

Departamento de MatematicasUniversidad de Los Andes

Primer Semestre de 2007

Universidad de Los Andes () Algebra Lineal Primer Semestre de 2007 1 / 50

Texto guıa:


Contenidos

1 Geometrıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales

2 Dimension, rango y transformaciones lineales

3 Espacios vectorialesEspacios VectorialesConceptos bsicos en espacios vectorialesVectores en coordenadasTransformaciones lineales

4 Numeros complejos y espacios vectoriales complejosEl campo complejoEspacios vectoriales sobre el campo complejo

5 Determinantes

6 Valores y vectores propios

7 Ortogonalidad

8 Cambio de base


Contenidos





5 Determinantes


7 Ortogonalidad

8 Cambio de base


Algebra vectorial en espacios vectoriales abstractos

Definicion

Un Espacio Vectorial es una tripla (V ,+, ·) donde V es un conjunto, +una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V porescalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:

1 Asociatividad:(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

2 Conmutatividad:~u + ~v = ~v + ~u

3 Existencia de identidad aditiva:

~u +~0 = ~u

4 Existencia de inverso aditivo:

~u + (−~u) = ~0

y...


Definicion (continuacion)

donde ~u, ~v y ~w son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalaresen R, tenemos ademas

1 Distribitividad:r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w

2 Distributividad:(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v

3 Asociatividad:r · (s · ~v) = (rs) · ~v

4 Existencia de unidad multiplicativa:

1 · ~v = ~v

Tenemos por ejemplo...


Ejemplo 1

El Espacio Rn

El conjunto Rn con la suma y el producto escalar definidos, para~v = (v1, . . . , vn), ~w = (w1, . . . ,wn) en Rn y r ∈ R, segun:

~v + ~w = (v1, . . . , vn) + (w1, . . . ,wn) = (v1 + w1, . . . , vn + wn),

yr · ~v = (rv1, . . . , rvn),

forma un espacio vectorial.


Ejemplo 2

Espacios de Matrices

El conjunto Mmn(R) de matrices m × n con entradas (o componentes)reales con suma de matrices

a11 · · · a1n

a21 · · · a2n...

. . ....

am1 · · · amn

+

b11 · · · b1n

b21 · · · b2n...

. . ....

bm1 · · · bmn

=

a11 + b11 · · · a1n + b1n

a21 + b21 · · · a2n + b2n...

. . ....

am1 + bm1 · · · amn + bmn


y producto de matrices por escalares

rA =

ra11 ra12 · · · ra1n

ra21 ra22 · · · ra2n...

.... . .

...ram1 ram2 · · · ramn

,

es un espacio vectorial.

Los ejemplos anteriores, con los que ya hemos trabajado anteriormente, noson las unicas estructuras de espacio vectorial que podemos definir sobrevectores y/o matrices, podemos modificar las operaciones para obtenernuevos espacios vectoriales, o definir nuevos espacios...


Ejemplo 3

Espacio de polinomios Pn[x ]

Sea Pn[x ] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en unavariable x , con coeficientes reales. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn[x ] esun polinomio de la forma

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n,

con a0, . . . , an reales. Si definimos la suma de polinomios p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n, q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn ∈ Pn[x ] y su producto por

escalares como

p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + · · ·+ (an + bn)x

n

yr · p(x) = ra0 + ra1x + ra2x

2 + · · ·+ ranxn,

tenemos un espacio vectorial.


Ejemplo 4

Espacio de funciones F (R)

Sea F (R) el conjunto de funciones continuas f : R → R. Definiendo lasuma de dos funciones f , g ∈ F (R) como la funcion f + g cuyo valor enx ∈ R esta dado por

(f + g)(x) = f (x) + g(x),

y el producto de una funcion f por un escalar r ∈ R como la funcion cuyovalor en x ∈ R esta dado por

(r f )(x) = r(f (x)),

tenemos un espacio vectorial.


Combinaciones lineales, subespacios y bases

La gran mayorıa de los conceptos relativos a la estructura lineal de Rn

pueden definirse de forma completamente analoga sobre espaciosvectoriales abstractos.

Definicion

Una combinacion lineal de n vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn, en un espacio vectorialV arbitrario, es un vector que se puede escribir de la forma

~v = r1~v1 + r2~v2 + · · ·+ rn ~vn,

donde r1, r2, . . . , rn son escalares reales.


Ası, por ejemplo, el vector (polinomio)

p(x) = 2− x + 3x3 ∈ P3[x ]

es una combinacion de los vectores 1 + x y 1 + x3 ya que

2− x + 3x3 = (−1)(1 + x) + (3)(1 + x3).

De igual forma, el vector (matriz)

A =

(1 20 1

)∈ M2(R)

es una combinacion de los vectores

(1 00 1

)y

(0 10 0

)ya que

(1 20 1

)= (1)

(1 00 1

)+ (2)

(0 10 0

).


Definicion

El espacio generado por k vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vk en un espacio vectorial Ves el conjunto

Sp (~v1, ~v2, . . . , ~vk) = {r1~v1 + r2~v2 + · · ·+ rk ~vk | r1, r2, . . . , rk ∈ R},

de todas las combinaciones lineales de tales vectores.

Ejemplo

La matriz

(1 00 1

)genera todas las matrices diagonales y con

diagonal identica en el espacio M2(R).

Dos vectores (no paralelos) generan un plano en R3.


Definicion

Un subconjunto V ⊂ W de un espacio vectorial W es llamado subespaciode W si es cerrado bajo suma y multiplicacion por escalares, es decir:

1 Si ~v1, ~v2 ∈ V entonces ~v1 + ~v2 ∈ V .

2 Si ~v ∈ V entonces, para cualquier escalar r ∈ R, r~v ∈ V .

Al igual que en Rn, cualquier subespacio de un espacio vectorial debecontener necesariamente al vector cero ~0:

Si ~v ∈ V entonces, por la propiedad 2, −~v ∈ V y, por la propiedad 1,

~v + (−~v) = ~0 ∈ V .


Ası, por ejemplo,

{p(x) ∈ Pn[x ] | p(0) = 1}

No es un subespacio vectorial dePn[x ].

{p(x) ∈ Pn[x ] | p(0) = 0}

Es un subespacio vectorial dePn[x ].


Bases para espacios vectoriales

Al igual que en los espacios Rn, una base para un espacio es “lo mınimonecesario para generar el espacio”:

Sea V un espacio vectorial. Un conjunto finito de vectores ~v1, . . . , ~vk

(cuando existe) es llamado base para V si:

1 El conjunto {~v1, . . . , ~vk} es linealmente independiente.

2 Sp(~v1, . . . , ~vk) = V , es decir, cualquier vector de V puede escribirsecomo combinacion lineal de ~v1, . . . , ~vk .

Ejemplo

{−3, 1 + x , −1 + x + x2

}Es una base para P2[x ].

{(1 00 0

),

(1 11 0

),

(1 11 1

)}No es una base para M2(R).


Igual que para Rn, cada espacio vectorial de dimension finita tiene unabase canonica:

Bnm =

1 0 · · · 00 0 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 0

,

0 1 · · · 00 0 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 0

, · · · ,

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 1

,

para los espacios de matrices.

BPn[x] ={1, x , x2, . . . , xn

},

para los espacios de polinomios.


Bases y Dimension

Teorema

Sea V un espacio vectorial cualquiera. Un subconjunto {~v1, . . . , ~vk} de Ves una base del espacio si cualquier vector ~v ∈ V se puede escribir enforma unica como combinacion lineal de ~v1, . . . , ~vk , es decir si existenescalares unicos r1, . . . , rk tales que

~v = r1~v1 + · · · rk~vk .


Dimension

El numero de elementos de cualquier base para un espacio vectorial es elmismo cuando es finito, y es llamado la dimension del espacio vectorial.

Cuando no existe un conjunto finito de vectores linealmente independientesque generen a V decimos que tal espacio es de dimension infinita.

Por ejemplo:

1 Rn es un espacio vectorial de dimension n

2 Mnm(R) es un espacio vectorial de dimension nm

3 Pn[x ] es un espacio vectorial de dimension n + 1

4 F (R) es un espacio vectorial de dimension infinita.


Por ejemplo, sea Dn = {A ∈ Mn(R) | Aij = 0 si i 6= j} el conjunto dematrices diagonales n × n. El conjunto Dn es un subespacio vectorial deMn(R), y si A ∈ Dn, entonces

A =

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · ann

,

luego

1 0 · · · 00 0 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 0

,

0 0 · · · 00 1 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 0

, · · · ,

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

... · · ·...

0 0 · · · 1

es una base para Dn, ydim Dn = n.


Como darle coordenadas a vectores ...

Sea V un espacio vectorial de dimension n arbitrario (matrices,polinomios, ...), podemos dar una representacion de los vectores de Vcomo vectores de Rn con respecto a una base ordenada de V .

Si, por ejemplo, consideramos la base canonica para P2[x ],Bo =

{1, x , x2

}y el polinomio p(x) = 1 + 2x + 3x2, tenemos que

p(x) = (1)(1) + (2)(x) + (3)(x2).

Si tomamos en lugar de la base anterior la baseB =

{−3, 1 + x , −1 + x + x2

}para P2[x ], existen tres escalares unicos

que nos permiten escribir a p(x) en terminos de tal base:

p(x) = (−5

3)(−3) + (−1)(1 + x) + (3)(−1 + x + x2).


Tenemos entonces dos representaciones diferentes para el polinomiop(x) = 1 + 2x + 3x2 ∈ P2[x ]:

[p(x)]Bo =

123

respecto a la base canonica Bo .

[p(x)]Bo =

−53

−13

respecto a la base B.

Definicion

Dado un vector ~v ∈ V en un espacio vectorial de dimension finita y unabase BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de tal forma que ~v = α1~v1 + α2~v2 + · · ·αn~vn,para α1, α2, . . . αn ∈ R unicos. Entonces decimos que el vector ~v encoordenadas respecto a BV es el vector de Rn dado por:

[~v ]BV=

α1

α2...

αn

.


Como calcular los coeficientes cuando V = Rn

Si ~x ∈ Rn y tenemos cualquier base Bn = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de Rn, paraencontrar [~x ]Bn podemos proceder en dos pasos:

1 Escribir los vectores de la base ordenada en una matriz aumentada(~v1 ~v2 · · · ~vn ~x

).

2 Usar reduccion de Gauss-Jordan hasta obtener la la izquierda la matrizidentidad, entonces a la derecha quedara el vector que buscamos:(

I [~x ]Bn

).


Transformaciones Lineales entre espacios vectoriales

Dados dos espacios vectoriales (V ,+, ·) y (W ,⊕,�), cada uno con susoperaciones lineales, una transformacion lineal permite transferir laestructura lineal de uno en el otro:

Definicion

Una aplicacionT : V → W

entre espacios vectoriales (V ,+, ·) y (W ,⊕,�) es llamada transformacionlineal si preserva la estructura lineal (suma y producto por escalar):

1 Si ~x , ~y ∈ V , entonces T (~x + ~y) = T (~x)⊕ T (~y).

2 Si ~x ∈ V y α ∈ R, entonces T (α · ~x) = α� T (~x).


Igual que en el caso de Rn, una transformacion lineal toma combinacioneslineales α1 · ~x1 + α2 · ~x2 + · · · +αk · ~xk de vectores en V y las lleva atransformaciones lineales de vectores en W :

T (α1 ·~x1+α2 ·~x2+· · ·+αk ·~xk) = α1�T (~x1)⊕α2�T (~x2)⊕· · ·⊕αk�T (~xk).

En particular, la imagen del cero ~0V ∈ V bajo la transformacion linealdebe ser el cero ~0W ∈ W :

T (~0V ) = ~0W .

De ahora en adelante, cuando no indiquemos explıcitamente la operacionen un espacio vectorial (de vectores columna, matrices, polinomios ofunciones) asumiremos que las operaciones son las usuales, i.e. lasdefinidas por componentes.


Ejemplo

La aplicacion T : R3 → M2(R) definida por

T

xyz

=

(x + y −y−z y + z

),

es una transformacion lineal.

La aplicacion T : P2[x ] → R2 definida por

T(a0 + a1x + a2x

2)

=

(a0 + a1 + 1

a0 − a2

),

no es una transformacion lineal.


La matriz asociada a una transformacion

En el capıtulo anterior vimos como podemos asociar a una transformacionlineal T : Rn → Rk una matriz k × n. Ahora, si tenemos unatransformacion entre dos espacios vectoriales abstractos de dimensionfinita (dim V = n y dim W = k)

T : V → W

podemos hacer la misma operacion con respecto a un par de bases fijasBV y BW , para V y W respectivamente, de la forma siguiente:


1 Tomamos la base BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de V y aplicamos latransformacion a cada uno de sus vectores, obteniendo

{T (~v1),T (~v2), . . . ,T (~vn)} ⊂ W .

2 Escribimos cada vector en {T (~v1),T (~v2), . . . ,T (~vn)} como vector decoordenadas respecto a la base BW :

{[T (~v1)]BW, [T (~v2)]BW

, . . . , [T (~vn)]BW} ⊂ Rk .

3 Usamos cada uno de estos vectores como vector columna de la matrizde transformacion (respecto a BV y BW ):

AT =

| | |[T (~v1)]BW

[T (~v2)]BW· · · [T (~vn)]BW

| | |

,

obteniendo una matriz k × n.


Teorema

Sea T : V → W una transformacion lineal entre dos espacios vectorialesabstractos de dimension finita (dim V = n y dim W = k) y sean BV y BW

bases para V y W , respectivamente. Entonces, si AT es la matriz detransformacion (respecto a BV y BW ) y ~x ∈ V entonces

[T (~x)]BW= AT [~x ]BV

.


Ejemplo

Tomemos la transformacion lineal T : P2[x ] → M2(R) definida por

T(a0 + a1x + a2x

2)

=

(a0 + a1 a2

a0 − a1 a2

).

Entonces, si tomamos como base para P2[x ]

BP ={−3, 1 + x , −1 + x + x2

}tal base se transforma como

T (−3) =

(−3 0−3 0

),T (1 + x) =

(2 00 0

),

T(−1 + x + x2

)=

(0 1−2 1

).


Ejemplo (continuacion)

Si tomamos ahora como base para M2(R) la base canonica Bo , enterminos de tal base:

[T (−3)]Bo =

−30−30

, [T (1 + x)]Bo =

2000

,

[T(−1 + x + x2

)]Bo =

01−21

.

Ası, la matriz de la transformacion respecto a BP y Bo es

AT =

−3 2 00 0 1−3 0 −20 0 1

.


Contenidos





5 Determinantes


7 Ortogonalidad

8 Cambio de base


Numeros complejos

La ecuacionx2 + 1 = 0

no tiene solucion en los numeros reales R. Es decir, no existe un numeroreal r tal que r2 = −1. Sin embargo, hay conjuntos en los que la ecuacionanterior si tiene solucion. Por ejemplo, si multiplicamos la matriz

i =

(0 −11 0

)por ella misma obtenemos

i2 =

(0 −11 0

) (0 −11 0

)=

(−1 00 −1

)= −I ,

luego la ecuacion M2 + I = O si tiene solucion en M2(R).

Vamos a definir un conjunto de numeros, llamados “complejos”, que es(en algun sentido) el conjunto “mas pequeno” en el que todas lasecuaciones polinomiales tienen solucion.


El plano complejo

Definicion

Un numero complejo es una expresion de la forma

a + i b

donde a, b ∈ R y el sımbolo i denota una solucion a la ecuacionx2 + 1 = 0. Es costumbre escribir i =

√−1.

Denotaremos por C el conjunto denumeros complejos y los representaremosen um plano de la siguiente forma: Siz = a + i b ∈ C, llamaremos a a la partereal de z , Re(z), y a b su parte imaginaria,Im(z). Poniendo Re(z) en el eje de las x eIm(z) en el eje de las y podemosrepresentar a z como un vector en el plano.


Operaciones con numeros complejos

El conjunto de numeros complejos es un campo algebraico, es decir quesabemos no solamente sumar y restar numeros complejos, sino quetambien tenemos una forma de multiplicarlos y dividirlos, con propiedadessimilares a las de los numeros reales:

1 Suma: Sean z = a + ib,w = c + id ∈ C, entonces

z + w = (a + c) + i(b + d).

2 Multiplicacion: Sean z = a + ib,w = c + id ∈ C, entonces

zw = (ac − bd) + i(cb + ad).

3 Conjugacion: Si z = a + ib ∈ C, su conjugado es el numero complejo

z = a− ib.


Graficamente podemos ver el efecto de las operaciones en el planocomplejo de la forma siguiente:

Suma (y resta) Conjugacion


Para entender graficamente la multiplicacion de numeros complejos vamosa introducir una nueva representacion de z ∈ C llamada representacionpolar.

Definicion

Dado z = a + ib ∈ C, la norma o magnitud de z es el tamano del vector zen el plano complejo:

| z |=√

a2 + b2.

El argumento de z es el anguloθ que hace el vector z con eleje real en el plano complejo.Si tomamos tal angulo en elintervalo −π ≤ θ ≤ π lollamamos argumento principal.Ası,

z = r(cosθ + i senθ).


Ejemplo

Tomemos el numero z = −1 + i√

3 ∈ C, entonces su norma y suargumento principal son

| z |=√

1 + 3 = 2 y Arg(z) = −5π

6.

Ahora observemos que z2 = −2− i2√

3, luego | z2 |= 4 yArg(z2) = −25π

6 = π3 , luego el efecto de la multiplicacion es el de rotar y

alargar el vector:


Lo anterior resulta mucho mas claro si escribimos z = r(cosθ + i senθ) yobservamos que

zn = rn(cos(nθ) + i sen(nθ)).

De forma similar, el efecto de la division puede representarse graficamentede la siguiente forma:


Espacios vectoriales sobre el campo complejo

Definicion

Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V ,+, ·) donde V es unconjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos deV por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:

1 Asociatividad:(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)

2 Conmutatividad:~u + ~v = ~v + ~u

3 Existencia de identidad aditiva:

~u +~0 = ~u

4 Existencia de inverso aditivo:

~u + (−~u) = ~0

y...


Definicion (continuacion)

donde ~u, ~v y ~w son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemosademas

1 Distribitividad:r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w

2 Distributividad:(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v

3 Asociatividad:r · (s · ~v) = (rs) · ~v

4 Existencia de unidad multiplicativa:

1 · ~v = ~v

Tenemos por ejemplo...


Ejemplos

El Espacio Cn

El conjunto Cn = {~z = (z1, . . . , zn) | z1, . . . , zn ∈ C} con la suma y elproducto escalar definidos, para ~z = (z1, . . . , zn), ~w = (w1, . . . ,wn) en Cn

y r ∈ C, segun:

~z + ~w = (z1, . . . , zn) + (w1, . . . ,wn) = (z1 + w1, . . . , zn + wn),

yr · ~z = (rz1, . . . , rzn),

forma un espacio vectorial.


Ejemplos

Espacios de Matrices

El conjunto Mmn(C) de matrices m × n con entradas (o componentes)reales con suma de matrices y multiplicacion por escalares usuales es unespacio vectorial sobre C.

Espacio de polinomios Pn[x ]

Sea Pn[x ] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en unavariable x , con coeficientes complejos. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn[x ]es un polinomio de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn, con

a0, . . . , an ∈ C. Si definimos la suma de polinomios y su producto porescalares de la forma usual tenemos un espacio vectorial sobre C.

Todos los conceptos anteriormente definidos para espacios vectorialessobre R (subespacios, bases, etc.) se definen de forma identica paraespacios vectoriales sobre C.


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5 Determinantes


7 Ortogonalidad

8 Cambio de base


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