Departamento de Matemáticas 3 4 3 a CÁLCULO · PDF file18. Halla el cociente que...

Colegio Internacional Pinosierra

Departamento de Matemáticas

R-MATCNSI 1

CÁLCULO NUMÉRICO

1º Potencias y radicales 1.- Halla el valor de las siguientes expresiones:

324

222

43153

23

5

21

3

21

2

1

3

814

2

3)

104

5

3

5

5

1

2

32

4

111

3

1)

2

3

3

4

5

3

5

3

5

3)

c

b

a

2.-Simplifica y reduce las siguientes expresiones a potencias:

a)

3

x

1x b)

31

10

21

3223

32

32

c) 8

8

6

3

4

8 7

5 46 5

4 3

3 2

aa

a

aa

a

.

a

a.a

aa

a

d)y

xx3

e) cxba

cbax

31

2

1631

1

f) 24363 20423

5 22323232

yxxyxxxyx

xxyxyyx g)

2

4 32

5 34 5

b

a

cb

a

c

ba

h)

a

aa

aa

a

93

8

6

4

:

i)

23

5 34

2

3 2

2:

cb

a

cb

a j)

3 554 233 bacbaabc

3.- Efectúa las siguientes sumas y restas y racionaliza en el caso que sea necesario:

a)2

2

2

22 ab

abb

a

a

b

b

a b)

3

342

2

426 4

d

cb

c

d

db

ca

a

db

cd

a

a

cd

c) 125,0

.

9

222

1818,0

3,0

43

22

2

2

ca

cc

ac

a

b

b

a

b

ab d) 6 364 2222 )(.)( nmcbnmnama

4.- Realizar los siguientes ejercicios como radicales

a) 4 32

33 23

a

baab

babab b)

6 32

4 3223

yxxy

yxyx c)

232-3 42

4 223

)(a

a b

bba

aba

d) 6 22

4 323 4

yxxy

yxxy e)

4 2223

33 22

)(

ab b

baba

baa f)

332

3 2

)(

yx

yxxy



R-MATCNSI 2

5.- Opera y simplifica

a)5003

1254802203 b) 2222 )2.()2()2.()2( yxyxyxyx

c) 32

3

32

1

31

32 d)

aaa

a

a

a

1

1

1 e)

40

12528020

f) 6

56415024 g)

3

2

33

5

232

3 h)

31

31

1

31

31

1

2º Logaritmos

1.- Aplicando la definición de logaritmo resolver los siguientes ejercicios:

a) log2 64 = x g) log343 7 = x n) x3

51 625log

b) log3 81 = x h) 35

125

1log =x ñ) log2/3 81/16 = x

c) log101 10201 = x i) 9

3log 27 =x o) log5/3 27/125 = x

d) log16 0,5 = x j) log125 1/ 5 = x p) log8 4 2 = x

e) log10 0,00001 = x l) 128

1log

2=x q) x

343

1log

7

f) x5

31 81log m) x3

16 2log r) x32

1log

2

2.- Hallar la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:

a) loga 4=2

b) loga 9=2

c) loga 0,125=3

d) loga 125 = 3/2

e) loga 1/3 = -1/2

f) loga 0,001=-3

3.- Halla el resultado de las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos y su

definición:

a) log5 625 – log3 243 + log4 256 c) log2 4 + log3 81 – log6 216 + log4 64

b) log3 1 + log2 64 + log3 9 + log7 49 d) log3 1/9 – log5 0,2 + log6 1/36 – log2 0,5

4.- Considerando que log2 5 = 2,322 y que log2 6 = 2,585, calcule los valores de los

siguientes logaritmos sin usar calculadora:

a) log 2 10 ; b) log 2 40 ; c) log 2(5/4) ; d) log 2 30 ; e) log 2 125 ; f) log 2 (36/5)

5.- Utilizando las propiedades, exprese con un solo logaritmo:

a) log 6 + log 8 – log 3 ; b) log 9 + log 28 – ( log 7 – log 9 ) c) 3(1 – log a) ;

d) ln (et ) – ln (e/t) ; e) 2log 3 + log 5 ; f) -1+ 2

1log 5

Considerando que log6 2 = 0,387 y que log6 3 = 0,613, calcule los valores de los

siguientes logaritmos sin usar calculadora:

a) log 6 72 ; b) log 6 0,5 ; c) log6 2 24 ; d) log63

3

23

32 e)log6

5 122

1



R-MATCNSI 3

3º Binomio de Newton

Desarrolla

1. 7

ba

2. 5

ba

3. 4

2nm

4. 8

1a

5. 5

2x

6. 5

2x

7.

4

4

1

3

1ba

8. 62 cba

9. 7

ba

10.

5

3

1

3

1

yx

11. 5

32 22a

12. 722 2xa

13.

55

2

1

2

1aa

14. Halla el noveno término del desarrollo de 12

yx

15. Halla el quinto término del desarrollo de

15

21

a

16. Halla el sexto término del desarrollo de 8

yx

17. Halla el término central del desarrollo de 8

yx

18. Halla el cociente que resulta de dividir el término noveno por el sexto del desarrollo de 14

2

1a

19. Halla el término medio del desarrollo de

6

2

1

ba

20. Halla los dos términos medios del desarrollo de 7

1,0x

21. Halla el término que ocupa el lugar 505 en el desarrollo de 50623 cba

22. Hallar el término que contenga la cuarta potencia de a en el desarrollo de 10

2 a

23. Hallar el término medio en el desarrollo de 6

33 yx

24. Justifica del modo más rápido la igualdad: 164

4

3

4

2

4

1

4

0

4

25. Encuentra una regla que generalice el cálculo anterior y que permita obtener el valor de

n

nnn...

10



R-MATCNSI 4

CÁLCULO ALGEBRÁICO

1º Polinomios

1º FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM

Conceptos

Factorizar un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de factores primos.

Factor primo: En el caso de los polinomios, son polinomios que no tienen mas raíces reales,

por lo tanto aquellos que no se pueden descomponer en factores mas simples.

Mínimo común múltiplo: Una vez descompuestos en factores primos los polinomios, se eligen

los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados al mayor exponente y se

multiplican por todos los factores que no sean comunes.

Procedimientos

1) Factorizar un polinomio

a) Si no tiene término independiente se saca x o xn factor común

b) Si tiene término independiente se buscan sus raíces

Ruffinipor dos quemayor grado de es Si

grado 2º de ecuaciones lasen como procede se dos grado de es Si

c) Se factoriza del siguiente modo P(x) = (x – raíz1)(x – raíz2)....

2) Calcular el MCM

a) Se factorizan todos los polinomios siguiendo el procedimiento anterior.

b) Se toman todos los factores que sean comunes a todos los polinomios elevados a la

mayor potencia y los factores que no sean comunes y se multiplican

Ejemplo: Factorizar 2x5 – 6x

3 + 4x

2 ;

Sacamos 2x2 factor común a los tres sumandos 2x

2(x

3 – 3x + 2)

El polinomio (x3 – 3x + 2) se factoriza como se explica a continuación

Ejemplo: x3 – 3x + 2 1 0 -3 2 x

3 – 3x + 2 = (x – 1)(x

2 +x – 2)

Raíz = 1 1 1 -2

1 1 -2 0

x2 +x – 2 = 0; x =

2

31

2

91

2

)2.(1.411; de donde x = 1; x = -2

Por lo tanto x2 +x – 2 se factoriza del siguiente modo: x

2 +x – 2 = (x –1)(x + 2)

La factorización final de 2x5 – 6x

3 + 4x

2 será:

2x5 – 6x

3 + 4x

2 = 2x

2(x

3 – 3x + 2) = 2x

2(x – 1)(x

2 +x – 2) = 2x

2(x – 1)(x –1)(x + 2)

2x5 – 6x

3 + 4x

2 = 2x

2(x – 1)

2(x + 2)

Ejemplo: Halla el MCM de los siguientes polinomios: x

5 – 4x

3; 2x

5 – 6x

3 + 4x

2; x

2 + 4x +4.

x5 – 4x

3 = x

3(x – 2)(x + 2)

2x5 – 6x

3 + 4x

2 = 2x

2(x – 1)

2(x + 2)

x2 + 4x +4 = (x + 2)

2

MCM = 2x3(x + 2)

2(x – 1)

2(x + 1)(x – 2)



R-MATCNSI 5

2º IGUALDADES NOTABLES

a) (a + b)(a – b) = a2 – b

2 Ej: (3x

3 – 5xy) (3x

3 + 5xy) = (9x

6 – 25x

2y

2)

b) (a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2 Ej: (5y

2 + 3x)

2 = 25y

4 + 30y

2x + 9x

2

c) (a – b)2 = a

2 – 2ab + b

2 Ej: (6y

2 – 2y)

2 = 36y

4 – 24y

3 + 4y

2

d) (a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3 Ej: (2x + 3y)

3 = 8x

3 + 36x

2y + 54xy

2 + 27y

3

e) (a - b)3 = a

3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3 Ej: (x

2 – 2x)

3 = x

6 – 6x

5 + 12x

4 – 8x

3

Ejercicios

1.- Aplica las fórmulas de las igualdades notables a las siguientes operaciones:

a) (2x – 4)(2x + 4)

b) (3y2 + 2x)(3y

2 – 2x)

c) (3y + 2x)2

d) (2x3 – 5y)

2

e) (5 – 3x)3

f) (2y – 3)3

2.- Factorizar los siguientes trinomios en cuadrados perfectos

1. a2 − 2ab + b

2

2. x2 + 4x + 4

3. b2 − 2b + 1

4. m2 − 2mn + n

2

5. x2 − 10x + 25

6. a2 − 2a + 1

7. 1/25 + (1/3)x + (25/36)x2

8. 1/9 − (2/3)c + c2

9. (9/4)c2 − 3x + 1

10. 4a2

− 12ab + 9b2

11. a8 − 18a

4 + 81

12. x6 − 2x

3y

3 + y

6

13. m6/16− 2m

3n

2 + 16n

4

14. 9c6 − 30c

3 + 25

15. 1 − 2(x − y) + (x − y)2

16. 4 − 4(1 − x) + (1 − x)2

17. x2 + 2x(b + c) + (b + c)

2

18. (x + y)2 − 2(x + y)(y + z) + (y + z)

2

19. (a + b)2 + 2(a + b)(a − c) + (a − c)

2

20. (a + b + c)2 + 2(a + b + c)(b + c − a) + (b + c − a)

2

3.- Utiliza las fórmulas de las igualdades notables para factorizar los siguientes polinomios, cuando

sea posible:

a) (9 – x2)

b) (4x2 – 9)

c) (x2 – 6x + 9)

d) (x2 + 2x + 1)

e) (2x2 – 20x +50)

f) (x3 + 6x

2 + 12x + 8)

g) (x3 – 12x

2 + 48x – 64)

h) (x 4- 5x

3 - 2x

2 + 24x)

i) (x4 – 4x

3 – x

2 +16x – 12)

j) (2x3 – x

2 – 2x + 1)

k) 14 2x

l) 25102 xx

m) 25102 xx

n) 92x

o) 4

12 xx

p) 49 2x

q) 242025 xx

r) a2(x – y) + 2ab(y – x) – b

2(y – x)

s) (x – 5)

2 – 2

2



R-MATCNSI 6

3º Fracciones algebraicas 1.- Opera y simplifica:

a) 2

1 +

x

1 : x -

x

4 b)

x

4-x .

)2+(x

2+x 2

2 c)

2+x

1 :

x

2 .

2

x2

d) x . 1+x

1 - x :

1+x

1 +

x

2 e) x2 .

2-x

1+x -

x

2+x +

x

3 2

2

2.- Haz las operaciones indicadas y simplifica:

a) x

y -

y

x .

y+x

y-x -

y-x

y+x b)

y+x

2xy .

xy

y+x +

y

1 -

x

1

c) x

1 - x .

1+x

x -

1-x

1+x

3.- Simplifica:

a)

2-x

8+8x-x2 :

2/8 + 3/4

4-2x

x+x3

x-x3

x-9

x+6x+9

2

32

32

2

2

·

b)4x-x

2x-x +

4-x

2-x

4+5x-x

5+6x+x2

3

22

2

·

c)

0x+x-x

x :

x2-x+x

2x+2x

1x

x-x

1x

1xx

23

2

2

2

5202

5

5250

014

44·

2

23

2 d)

10+7x-x4-x

1+x :

2-x+x

2+2x

1-x

10-8x-x2

1+2x+x

1-x

232

2

2

2

·

e)

2x

12+12x+x3_

6-3x+x3

2x-x2

4+4x+x

2-x+x :

2+3x-x

3-2x+x .

9-x

6-11x+x6-x

2

2

2

2

2

2

2

2

23

f)

1 - 3-x

3+x3

3+x -

x

3+x

_

3x

x-33+x

3-x + 1

g)x+x

6+5x-x :

9x+x6+x

9 - x_

x+x

6x-x+x2

2

23

2

2

23

h)

y-xy

y-x

y

x + 1

2

22 i)

b-a

b+a - 1

b-a

b+a + 1

j))1-(a

1+2a-a_

a

1+a :

1-a

1+a -

1+a

1-a

1-a

1+a -

1+a

1-a

2

222

2

2

2

k) 42

1

2

1:

2

1122 xxxx

l)

yy

yxx

y

y

x

11 m) n)

xx

x

x

x

x

x 4

121

1

42

1

2

1:

2

1122 xxxx



R-MATCNSI 7

2º Ecuaciones

1º Ecuaciones bicuadradas y de grado superior

Resuelve las siguientes ecuaciones

1) 01x2x2

2) 02x12x2

3) 6

1232 11 x

xx

4) 04

1

4

5 24 xx

5) 01241553 2345 xxxxx

6) (x-1)3-x

3=0

7) x5+x

4-8x

3+14x

2-8x=0

8) x3-x

2-17x-15=0

9) 010029 24 xx

10) 24 40169 xx

11) 2

2 22534

xx

12) 0)4( 22x

13) 09

28

4

322

2

x

x

14) 072

16

9

2 2

2

x

x

15) 33

3

23

22 xxx

xx

x

16) 324

2

4xx

xx

17) 3

22

2

2

4

4 22

24 xx

xx

18) 2

532

42

222 xx

xxxx

xx

19) 3

322

2

2

4

4

2

224

x

xxx

20) 2221212122

xxxx

21) 04454 222 xx

22) 132

13

23

21

14

32

1

xx

xxx

23) 3

13

2

2

6

2 22

xxx

24) 3 2 4 4 0 x x x

25) 4 3 23 3 11 6 0 x x x x

26) 4 3 24 3

110 24

x x xx

x

27) 3 22 6 12

2

x x xx

x

28) 2 60( 5 13) 77x x x

x

29) x6 – 9x

3 + 8 = 0

30) 4

11

44

9

3

22

4

3

11

62

22 xxxx

x

31) 3

41

xx

32) 024048 xx

33) 11012

1

xx

34) 05

1

3

4

3

191

3

20xx

x

35) 21619 36 xx

36) )2-(x = 2

3)-(x x + 2)-(x 3)-(x

2

37) 0 = 2

x+x - 1)+(x x

38) 4 - )2-(x = 2

2)+(x 2)-(x -

3

2+x - x 2)-(x

2

39) x6+28x

3+27=0

40) x6+7x

3-8=0

41) x6-26x

3-27=0



R-MATCNSI 8

2º Ecuaciones irracionales

Procedimiento:

Si la ecuación tiene sólo un término con raíz cuadrada: Ejemplo: 3

1259

xx ;

Quitando denominadores 121593 xx

1) Se deja la raíz sola a un lado del signo =. 16293 xx

2) Se elevan los dos términos de la igualdad al cuadrado. 22

16293 xx

9(9 + x) = 4x2 + 216 + 64x

3) Se termina resolviendo como una ecuación normal. 81 + 9x = 4x2 + 216 + 64x

4x2 + 55x –135 = 0; x =

8

21605555 2

(terminar)

Si la ecuación tiene dos términos con raíz cuadrada: Ejemplo 6412 xx

1) Se deja una raíz a cada lado del signo =. 4612 xx

2) Se elevan los dos términos al cuadrado. 22

4612 xx

412)4(3612 xxx

3) Se deja la raíz que queda sola un lado de la igualdad.

2x – 1 – 36 – (x + 4) = -12 4x ; x – 41 = -12 4x

4) Se vuelve a elevar al cuadrado. 22

41241 xx ; )4(1448216812 xxx

5) Se termina resolviendo como una ecuación normal. 05761448216812 xxx ;

x2 + 226x + 1105 = 0 (resolver)

Ejercicios:

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales

1. 56x1x

2. 3

363

xxx

3. 1411

11

11

11 2

22

22

22

22

xxx

xx

xx

xx

4. 4

3

55

1

55

1

xxxx

5. x

xx

212

1 1

6. 11233 xx

7. 496263 xxx

8. 134 xx

9. 4

144

x

xxx

10. 28164 432 xxx

11. 16

122

5

12 xx

12. 274211 xxx

13. 2525 x

14. 57142 xxx

15. 213

13

x

x

16. xaaxa 21221 22

17.

18. 2

1

232

132 9

3

13 xxxx

19. 2

5

2

6

6

2

x

x

x

x

20.

4

3

55

1

55

1

xxxx

xxx

212

1 1



R-MATCNSI 9

3º Ecuaciones racionales

Procedimiento:

1) Descomponer los polinomios de los denominadores como producto de factores primos

(factorizar los denominadores).

1

1

1

2

1 2xx

x

x

x;

)1)(1(

1

1

2

1 xxx

x

x

x

2) Calcular el MCM de los denominadores.

MCM de (x – 1); (x + 1); (x – 1)(x + 1) = (x – 1)(x + 1)

3) Multiplicar los dos lados de la ecuación por el MCM simplificando en cada término.

(x – 1)(x + 1)1

2

1 x

x

x

x = (x – 1)(x + 1)

)1)(1(

1

xx

)1)(1(

)1)(1(

1

)1)(1)(2(

1

)1)(1(

xx

xx

x

xxx

x

xxx; simplificando x(x +1) – (x – 2)(x – 1) = 1

4) Operar y proceder como en una ecuación normal hasta obtener el valor o valores de x.

operando; x2 + x – x

2 + x +2x –2 = 1; 4x = 3; x =

4

3

Ejercicios: Resolver :

1. 212

1

3

21

xx

2. 274

3

4

4122

xx

x

3.2

134

1

7

1

12

x

x

x

x

x

x

4.

xx

x

x

x

21

2

11

11

5. 99

12

5

815

xx

6.246

10

42

1

63

12

2

x

x

x

x

x

x

7. 19

74

3

7

3

4 x

x

xx

8.

3

1

13

1

x

x

x

9. 09

28

4

322

2

x

x

10. 12

1

2

1

11

x

x

11. 246

16

1x

xx

x

12. 0 = 1-x

2 -

1-x

2 +

1+x

x-

2

2

13. 0 = 1+x

2 -

1-x

2 -

1+2x-x

3+x2

14. 0 = 2+x

5+x -

2+x

1+x +

1+x

2+x

15. 6-x-x

x5+3x =

2+x

x -

3-x

x+12

2

16. 1-x

1+x =

1+x

3 +

1-x

x2

17. 2 - 1+x

2+x =

1+2x+x

x2

2

18. 4-x

2+7x =

2+x

x +

2-x

1+x2

19. 2

1

12

1

11

x

xx

x

20. 11

11

11

2

x

x

xx

x

21. x

1- =

1+x

1-x - 1

1 - x

4

3-x -

2

3-x



R-MATCNSI 10

4º Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

1) 2log x – log (x –16) = 2

2) log x = 1 + log (22 – x)

3) log (3x – 1) – log (2x + 3) = 1 – log 25

4) log 8 + (x2 – 5x + 7)log 3 = log 24

5) log (5x + 4) – log 2 = 2

1log (x + 4)

6) (x2 – x – 3)log 4 = 3log

7) (x2 – 4x + 7) log 5 + log 16 = 4

8) lg(22-x

)2+x

+lg1250=4

9) 2)5lg(

)11(lg2lg 2

x

x

10) 2lg x =3 + lg (x/10)

11) 3lgx -lg32 =lg(x/2)

12) 2

7

log

125loglog

5

55

xx

13) lg 2 x · lg x 2x · lg 2x y = lg x x2

14) 9

323

32

25 lgxlg

xlg

xlg

15) 513213 lgxlgxlg

16) log6 (2x - 3) = log6 12 - log6 3

17) log2 (9x-1

+ 7) = 2 + log2 (3x-1

+ 1)

18) xx loglog

19) xlog5

1+ 1

log1

2

x

20) 32log)3log(5 x

21) 1log53log xx

22) log (x - 5)- 1/2 log (3x - 20) = log 2

23) 10log xx

24) log (x3)- 12/log x = 5

25) x 1log x =100

26) 1;01lg1lg 22 xxxxx

27) 2

3loglog

11 xx

28) 1)2(loglog 1212 xx

29) 4log)1log(1log xxx

30) 2+log2x=log2(x+6)

31) 2)2(log

log2

3

3

x

x

32) logx 100 – Logx 25 =2

33) 255

77 Logx

Log

34) Log 2 + 4xLog =Log 132 x

35) 2)3(

2

xLog

LogLogx

2.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1) xx 212.12

2) 1255.12425xx

3) xx 113 33

4) 252x-1

= 35

1

x

5) 22x+2

= 0,52x-1

6) 23x-1

=328

1

x

7) 52x-2

= 3125

1

x

8) 162x-1

=322

1

x

9) x 2

3

x

10010

10

10) 1x 5x21x x5 aa

11) aaaa xxx

12) 2.3x-1

+3x=5

13) 2.9x+1

-6=4.3x+1

14) 43

13

1x

x

15) 72x+3 –8.7

x+1 +1=0

16) 4x+1 +2

x+3 –320 =0

17) 52x- 6. 5

x+1+125=0

18) 2x-1+2

x-2+2

x-3+2

x-4=960

19) 4e -3x

-5e -x

+ex =0

20) 5x -97·5

x/2 +6

4 =0

21) 32(x+1) -28·3

x +3 =0

22) 250055 212 xx

23) 0)(5 12 xxx eeee

24) 4x-3.2

x+1+8=0

25) 81+x+2

3x-1=17/16

26) 71+2x-50.7

x+7=0

27) 9x-2.3

x+2+81=0

28) 22x+2

2x-1 +2

2(x-1) +2

2x-3 +2

2(x--2) =1984



R-MATCNSI 11

3º Inecuaciones

Procedimientos Grado 1: Se trabaja como en una ecuación normal, salvo que si tenemos un número negativo

multiplicando a la variable y lo pasamos al otro lado de la desigualdad dividiendo (o viceversa), la

desigualdad cambia de sentido. Se da como solución a la inecuación el intervalo de la recta real (-

, a) o (a, ), según corresponda.

Ejemplo: 6

35210

4

15

3

2 xx

xx; se calcula el MCM para quitar los denominadores

MCM = 12; 4(2x) – 15(1 - x) < 120x + 24 + 2(5x – 3); 8x – 15 + 15x < 120x + 24 +10x – 6 ;

23x – 15 < 130x + 18; - 107x < 33; x > 107

33; Solución: ,

107

33

Grado 2 o mayor que 2: Se buscan las raíces de la ecuación y se hace una tabla de signos para la

ecuación. Se dan como solución los intervalos que correspondan al signo de la inecuación.

Ejemplo: x4 – 2x

2 + x > 0, (se nos piden los valores de x tales que al sustituirlos en el polinomio nos

den valores mayores de 0 , es decir, valores positivos).

Calculamos las raíces de esta ecuación, para ello sacamos x factor común y al polinomio resultante le

hacemos Ruffini por ser un polinomio de grado 3. x(x3 – 2x +1) = x(x – 1)

2(x + 2), de donde se

deduce que las raíces que hemos obtenido son x = 0; x = 1; x = -2.

Tabla de signos del polinomio: +

-

+

+

-2 0 1

Los signos de la tabla se han obtenido sustituyendo la x por –3, -1, 0,5 y 2 en el polinomio.

Solución: (- , -2) U (0, 1) U (1, )

Inecuaciones racionales: Se procede como en el apartado anterior haciendo una tabla de signos con

los valores que anulan el numerador y el denominador.

Ejemplo: 02 x

3 -2x , Haciendo una tabla de signos tenemos:

2x – 3 = 0 x = 3/2 + + Solución = (- , -2) 3/2. )

x + 2 = 0 x = -2 -2 3/2

Ejercicios:

1.- Resuelve las siguientes inecuaciones:

1) 21

65

10

7

14

15

20

113 xxxx

2) 16

26

4

9

6

3

2

5 xxxx

3) 20

1311

15

23

10

3

5

34 xxxx

4) 0432 xx

5) (x + 5)2 ( x + 4 )

2 + ( x - 3 )

2

6) 04 53 xx

7) 22)5( xxx

8) 2

1

4

11

3

1232

xxxx

9) 01212 xxxx

10) 011 22 xx

11) 0132 xxxx

12) 021123

xxx

13) 06116 23 xxx



R-MATCNSI 12

2.- Resuelve las siguientes inecuaciones racionales:

1. 212

1

3

21

xx

2. 06

232

2

xx

xx

3. 01

92

2

xx

x

4. 054

312 xx

xxx

5. 2

3

2

1

4

42

2

x

x

xx

x

6. 274

3

4

4122

xx

x

7. 2

134

1

7

1

12

x

x

x

x

x

x

8.

xx

x

x

x

21

2

11

11

9. 99

12

5

815

xx

10. 246

10

42

1

63

12

2

x

x

x

x

x

x

11. 2

2

9

)62(

x

xx 0

12. 2

2

9

)63(

x

xx 0

13. 0)3)(6)(1(

)7)(1(

xxx

xx

14. 1

1

1

1

x

x

x

x

15. 04

1582

2

x

xx

16. 2

1

5

12

x

x

17. 2

1

5

12

x

x023 xx

18. 016 2xx

19. 05312 xx

20.

21.

22.

4º Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss

1. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor

total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor del dinero

disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras

esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. (1 libra = 0,615 Euros; 1 dólar = 0,896

Euros)

2. La suma de las edades de tres personas es 73 años, en el momento actual. Dentro de diez años, la

edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la más joven. Hace doce años, la persona con

edad intermedia tenía el doble de años que la más joven. Halla las edades de las tres personas.

3. Una tienda tiene tres tipos de conservas cárnicas A,B y C . Un cliente compra el primer mes 30

unidades de tipo A, 20 de B y 10 de C , teniendo que abonar 840 € Al mes siguiente compra 20

unidades de A y 25 de C y abona 690€ Sabiendo que el precio medio de los tres productos es 15€

halla el precio de cada una de las unidades

023 xx

016 2xx

05312 xx



R-MATCNSI 13

4. Sea un triángulo de vértices A(1, a), B(5, b) y C(3, c). Se sabe que las ordenadas de sus tres

vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otras dos, y que b y c son

números naturales consecutivos, siendo c > b.

5. En un instituto, donde se imparten primero y segundo ciclo de enseñanza obligatoria y bachillerato

hay en total 20 grupos de alumnos . Si se suman los grupos de bachillerato y de segundo ciclo de

enseñanza obligatoria se tiene el triple del número de grupos del primer ciclo. Si hubiera un grupo

más del segundo ciclo , su número igualaría al de bachillerato. ¿Cuántos grupos hay de cada uno?

6. Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro . Se sabe que en total hay 36 euros. El

número de monedas de A excede en dos a la suma de las monedas de las otras cajas . Si traslada

una moneda de la caja B a al caja A , esta tendrá el doble de monedas que B averigua cuantas

monedas hay en cada caja

7. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres,

mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de

niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al del hombres. Resolver el

problema. Sol, habrán asistido 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños a la excursión

8. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos.

En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.

Resolver el sistema. Sol 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

9. En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. Y 1 kg. Cierto día se envasaron

60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr.) que de tamaño mediano (500

gr.). Sabiendo que el precio del kg. de bombones es 4.000 ptas. y que el importe total de los

bombones envasados asciende a 125.000 ptas: Sol se habrán envasado 25 cajas pequeñas, 20

medianas y 15 grandes.

10.- Una autoescuela tiene abiertas 3 sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 352,

pero los matriculados en la tercera son sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera.

Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es

inferior en dos unidades al doble de los matriculados en la tercera. Plantear y resolver el sistema

de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal. Sol: 200

alumnos matriculados en la primera sucursal, 102 en la segunda y 50 en la tercera

11.-Una persona disponía de 60.000 € y los repartió en tres fondos de inversión diferentes (A, B y C),

obteniendo así 4.500€ de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirtió el doble que en los fondos

B y C juntos; sabemos también que el rendimiento de la inversión realizada en los fondos A, B y C

fue del 5%, 10% y 20% respectivamente. Plantear y resolver un sistema para determinar las

cantidades invertidas en cada uno de los fondos.

12.- Parte de los 63 huéspedes de un pequeño hotel se encuentra en el comedor; en el mismo momento

otra parte se encuentra en la sala de estar y el resto en la biblioteca. Posteriormente, 4 se desplazan

del comedor a la biblioteca, 1 de la sala de estar al comedor y 2 de la biblioteca a la sala de estar.

Ahora, ha quedado el mismo número de personas en cada una de las tres estancias. Plantear y

resolver un sistema para determinar cuántas personas se encontraban inicialmente en cada

habitación.

13.- Una tienda de música ha obtenido unos ingresos de 12768€ al vender 600 discos compactos de

tres grupos musicales. Los discos se vendían a 24 €; sin embargo, los del segundo y tercer grupo, al

ser menos recientes, se vendieron con descuentos del 30% y del 40% respectivamente. Sabemos

que el número de discos vendidos con descuento fue la mitad que el número de discos que se



R-MATCNSI 14

vendieron a su precio original. Plantear y resolver un sistema de ecuaciones para determinar

cuántos discos de cada grupo se vendieron.

14.- Una empresa ha vendido 42000 artículos de papelería, bolígrafos, gomas y rotuladores, al precio

de 1.2, 1.5 y 2 € respectivamente. El total de los ingresos producidos por esas ventas asciende a

64000 €. Se sabe, además, que el número de bolígrafos que se ha vendido es el 40% del número

total del resto de artículos vendidos.

a) Plantear un sistema para determinar el número de cada tipo de artículos vendidos.

b) Resolverlo

15.- Una librería ha vendido 3900 libros de matemáticas, correspondientes a tres editoriales diferentes,

A, B, y C. Sabemos que de la editorial B se han vendido el doble de ejemplares que de la

editorial A. Sabemos, también, que la razón entre el número de ejemplares vendidos de las

editoriales B y C es igual a 2/3 Plantear un sistema para determinar el número de libros vendidos

de cada editorial. Resolverlo

16.-Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bolsillo L1, L2 y L3 . El importe total de la

edición es de 18750 €. Los costes, en euros, por unidad, son 7, 5 y 6, respectivamente. Se sabe

que el número de ejemplares de L3 es igual a los dos séptimos de los del tipo L2 y que, si al

triple del número de ejemplares de L1 se le suma el número de ejemplares de L3 , se obtiene el

doble de ejemplares de L2.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos libros de cada tipo se han

editado.

b) Resuelve dicho sistema

23.- Un autobús urbano transporta en hora punta 90 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete

entero, que vale 1 €; estudiantes que tienen un 25% de descuento al presentar el carnet; jubilados

de la localidad que únicamente pagan el 50% del precio del billete. La recaudación del autobús

en ese viaje fue de 64 €. Calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de

jubilados era el mismo que el número del resto de viajeros.

24.- Una empresa tenía, en el año 2001, cierto número de empleados, unos hombres y otros mujeres.

En el año 2002 aumentaron en 5 los trabajadores de la empresa y en 6 el número de trabajadoras,

quedando así doble número de mujeres que de hombres. En el año 2003 aumentaron en 2 las

trabajadoras y se redujo en 4 el número de trabajadores, resultando quedar el triple de mujeres

que de hombres. Plantea un sistema para determinar el número de hombres y mujeres que

trabajan en dicha empresa en el año 2003. Resuélvelo si es posible.

25.-Una tienda posee 3 tipos de conservas, A, B y C. El precio medio de las 3 conservas es de

0.90 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, debiendo abonar 50.49 €.

Otro compra 20 unidades de A y 25 de C y abona 41.47 €. Calcula el precio de una unidad

A, otra de B y otra de C.

26.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las

mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las

mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita

averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resolver el sistema de ecuaciones planteado

27.- Un estado compra 540 000 barriles de petróleo a tres suministradores diferentes que lo

venden a 27, 28 y 31 $ el barril, respectivamente. La factura total asciende a 16 millones de

$. Si del primer suministrador recibe el 30% del total del petróleo comprado, ¿cuál es la

cantidad comprada a cada suministrador?.



R-MATCNSI 15

Resolver

a)

6323

432

22

zyx

zyx

zyx

b)

5475

123

2352

zyx

zyx

zyx

c)

7547

42

1323

zyx

zyx

zyx

d)

343

4222

22

zyx

zyx

zyx

e)

2774

432

132

zyx

zyx

zyx

f)

365

22

143

zyx

zyx

zyx

g)

753

432

242

zyx

zyx

zyx

h)

4233

2342

2

zyx

zyx

zyx

i)

353

4222

333

zyx

zyx

zyx

j)

9532

1023

632

zyx

zyx

zyx

k)

2774

432

132

zyx

zyx

zyx

l)

1523

22

143

zyx

zyx

zyx



R-MATCNSI 16

seno +

coseno +

tangente +

seno +

coseno –

tangente –

seno –

coseno –

tangente +

seno– coseno +

tangente–

-

GEOMETRÍA

1º Trigonometría

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

hipotenusa

opuestocatetosen

hipotenusa

cos

contiguocateto

contiguo cateto

opuestocatetotg

Razones inversas

contiguo cateto

hipotenusa

cos

1sec

opuesto

hipotenusa1cos

catetosenec

opuesto cateto

contiguo cateto

tan

1cot g

Signo de las razones trigonométricas

Si tomamos la circunferencia de radio 1 y trazamos un triángulo rectángulo

Es decir el seno es la coordenada y el coseno es la coordenada x del punto que determinan sobre la

circunferencia.

Con lo cual podemos deducir los signos de las razones trigonométricas en los 4 cuadrantes

Razones trigonométricas de ángulos notables 0º 30º 45º 60º 90º

SENO 0

2

1

2

2

2

3

1

COSENO 1

2

3

2

1

0

TANGENTE 0

3

3

1 3 No existe

Relaciones entre las razones trigonométricas

2

2

Cat

eto

O

pu

esto

Cateto contiguo

Hipotenusa

P=(X,Y)

1

X

Y

sen2

+ cos2

=1 1+tan2

=sec2

1+cotan2

=cosec2

xx

1cos

yy

1sen



R-MATCNSI 17

sen(180º+ )= -sen

cos(180º+ )= -cos

tg(180º+ )=tg

Relación entra las razones de ciertos ángulos

Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos

Razones trigonométricas del ángulo doble y mitad Ángulo doble Sen 2a= 2 sena cosa

Cos 2a= cos2a – sen

2a

atg

2 tg-1

a tg2 2a

Ángulo mitad

2

a cos -1)

2

a(Sen

2

a cos 1)

2

a( Cos

a cos 1

a cos -1)

2

a( tg

Transformaciones de sumas en productos y viceversa Productos en sumas

sena cosb = 2

1 [ sen(a+b) + sen(a-b) ]

cosa senb = [ sen(a+b) – sen(a+b) ]

cosa cosb = [ cos(a+b) + cos(a-b) ]

sena senb = [ cos(a+b) - cos(a-b) ]

Sumas en productos

senA + cosB =2 sen 2

BAcos

2

BA

senA - cosB =2 cos 2

BAsen

2

BA

cosA + cosB =2 cos cos

senA + senB =-2 sen sen

Teorema del seno Teorema del coseno

Csen B senA sen

a cb a

2=b

2 + c

2 – 2bc cos A

b2= a

2 + c

2 – 2ac cos B

c2 = a

2 +b

2 – 2ab cos C

a

2

1

2

1

2

12

BA

2

BA

2

BA

2

BA

sen(180º- )=sen

cos(180º- )= -cos

tg(180º- )= -tg

sen(360º- )= -sen = sen(- )

cos(360º- )= cos = cos(- )

tg(360º- )= -tg = tg(- )

Suma Sen (a+b)=sena cosb + cosa senb

Cos (a+b)=cosa cosb – sena senb

tgbtga-1

tgb tgab)(a gt

Diferencia

Sen (a-b)=sena cosb - cosa senb

Cos (a-b)=cosa cosb + sena senb

tgbtga1

tgb tgab)(a gt

sen

cos(180º- )

cos

sen(180º- )

cos(180º+ )

cos

sen(180º+ )

sen

cos(360º- )

sen(360º- )

sen

cos

b c

C

A

B



R-MATCNSI 18

EJERCICIOS

1. Sabiendo que sen a = 1 /2 y 180º < a < 270º . Calcular el resto de las razones trigonométricas

2. Sabiendo que tan a = 2 y 180º < a < 270 º . Calcular el resto de las razones trigonométricas

3. Sabiendo que sec a = 3 y 270 º < a < 360º. Calcular el resto de las razones trigonométricas

4. Sabiendo que cosec a= - 2 y 90º < a < 180º . Calcular el resto de las razones trigonométricas

5. Calcular las razones trigonométricas de 75º . ( 75º = 30º + 45º )

6. Calcular las razones trigonométricas de 15º . ( 15º = 45º - 30º )

7. Calcular las razones trigonométricas de 105º

8. Si tan a =3/4 . Hallar tan ( a + 30º ) y tan (45º- a )

9. Si tg α = – 4/3 y 90° < α < 180°, calcula: a) sen (2

– α) b) cos (180° – 2

) c) tg (900° + α)

10. Expresar el sen 3a en función de sen a

11. Si cos a= 1/5. Calcular las razones trigonométricas de ( /2 –2a )

12. Sabiendo que tan a= 2 calcular el valor de sen 4a

13. Si cotan a = 4/3 y a es un ángulo del tercer cuadrante. Hallar cos 2a , sen (a + 30º ) y tan (a/2)

14. Si a es un ángulo del segundo cuadrante y tan a = - 3/ 4 Calcular las razones trigonométricas del

ángulo ( a/ 2)

15. Sabemos que cos x = 4

3– y sen x < 0. Sin hallar el valor de x, calcula:

a) sen x b) cos (π + x) c) cos 2x d) tg2

x e) sen (

2 – x) f ) cos (π –

2

x )

16. Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6, calcula sin utilizar la calculadora sen 41°, cos 41° y tg 41°

17. Si tg (α + β) = 4 y tg α = –2 , halla tg 2β..

18. Demostrar la siguiente igualdad: sen ( a+b) . sen ( a-b ) = sen2a – sen

2 b

19. Probar que )cos()()·())·cos(cos( sensen

20. Probar que )cos()()·())·cos(cos( sensen

21. Demostrar la siguiente igualdad: cos ( a+b) . cos ( a-b) = cos2a –sen

2 b

22. Calcular cos 3a en función del cosa

23. Expresa sen 4α y cos 4α en función de sen α y cos α.

24. Probar que )cos()2

()2

(cos 22 sen

25. Probar que )(1))(1)·(2(

)(2xtg

xtgxtg

xtg

26. Demostrar: tanb- ) b-a (sen b)a ( sen

b)- (a cos - b)(a cos

27. Demostrar la siguiente igualdad : tan ( 45º + a ) – tan ( 45º - a ) = 2 tan 2a

28. Demostrar la siguiente igualdad: sen ( a+ b) . cos ( a-b) = 1/ 2 ( sen 2a + sen 2b )

29. Demostrar la siguiente igualdad: tanaa

2a cos cosa 1

2asen sen

30. .Demostrar la siguiente igualdad: tan a + tan b + tan c = tan a . tan b . tan c , sabiendo que a , b , c

son los tres ángulos de un triángulo

31. Demostrar la siguiente igualdad: b cos a cos 2

c cos - ) b -a ( cos Sabiendo que a , b, c son los tres

ángulos de un triángulo.

32. Probar que )()()2

()·cos(·2 2 xtgxsenx

xtg



R-MATCNSI 19

33. Probar que )()(

)()(

)(

)(

tgtg

tgtg

sen

sen

34. Probar que )()·(1

)()·(1

)cos(

)cos(

ytgxtg

ytgxtg

yx

yx

35. Probar que 1)2()2·cos()()cos(

)()cos(xsenx

xsenx

xsenx

36. Si a, b, y c son los tres ángulos de un triángulo demostrar : tan ( a+b ) – tan c = 0

37. Demostrar: a cos

sen- a cos

2atan

a sen2 2a

38. Demostrar 1- bcontan . atan

1 bcontan . atan

)b -a ( sen

b) a ( sen

39. Demostrar 2a cosa tan - 2atan

a tan

40. sen2(

2 )– sen

2(

2 )= sen α · sen β

41. cos2(

2 )– cos

2(

2 )= sen α · sen β

42. Resolver las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas:

1. sen 2x = cos x

2. sen2x+2senx=0

3. senx+cos2x=0

4. 2sen2 x – 1 = 0

5. 2sen2 x + 3cos x = 3

6. cos 2x + 5 cos x + 3 = 0

7. cos 2x + sen x = 1

8. cos 2x + cosx = 0

9. 4cos 2x + 3 cos x = 1

10. sen2x+cos2x=

4

1

11. cos2x-3senx+1=0

12. tan x . sec x = 2

13. 3 cosx = 2 secx – 5

14. 4 sen2 x cos

2 x + 2 cos

2 x – 2 = 0

15. 4cos 2x+3cos x =1

16. tg 2x + 2cos x = 0

17. sen 2x = 1

18. cos 2x = sen x

19. 3 senx + cos x= 1

20. Senx+ cosx=-1

21. tg2 x – tg x = 0

22. 2 cos (x/2) – cos x = 1

23. 2cos(2

x)-senx=0

24. cosx-cos(2

x)=0

25. 4 cos2(

2

x)-2= 3

26. 4 sen ( x/2 ) + 2 cos x = 3

27. 2sen x cos2 x – 6sen

3 x = 0

28. 2 sen 2x. cos x = 3 sen x

29. cos 2x – cos 6x = sen 5x + sen 3x

30. cos 4x + cos 2x = cos x

31. sen 4x – sen 2x = sen x

32. sen 6x – sen2x = sen 2x

33. 4 cos 2x + 3 cos x =1

34. 2 cos2x + cos 2x . cos x = 0

35. sen 3x – cos 3x = sen x – cos x

3



R-MATCNSI 20

43. Resolver los siguientes triángulos:

1. a= 2,5m

b= 3,5m

c= 5 m

2. a= 12m

b= 8m

A=150º

3. a=7,5m

B= 30º

C=105º

4. c=3,78m

A=105º

B=38º45

5. a=70m

b=55m

C= 75º 47´

6. A=60º

B=75º

c=

44. En el triángulo ABC los lados miden 24m, 28m y 36 m. Calcular su área.

45. Halla el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados miden 13m, 14m y 15m.

46. Uno de los lados de un triángulo mide el doble que el otro y el ángulo comprendido mide 60º.

Hallar los otros dos ángulos

47. Hallar el área del triángulo ABC sabiendo que a=1m, B= 30º y C= 45º

48. Dos individuos A y B observan un globo situado en un plano vertical que pasa entre ellos.

La distancia entre los dos individuos es de 5 kms. .Los ángulos de elevación son respectivamente

35º y 60º. Hallar la altura del globo y la distancia a cada observador.

49. Un túnel AB ha de atravesar una montaña. Para calcular su longitud se toman desde el punto C las

siguientes medidas. AC = 1950m BC= 1700m y ACB= 123º. Hallar dicha longitud

50. Sea AB una altura de pie accesible, situada en un terreno horizontal. Desde el punto E, situado a

23,41m de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo se dirige la visual a B que forma

un ángulo de 4º 12´ con la horizontal. Calcular la altura AB

51. Desde un punto a ras del suelo se ve la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 48º.

Avanzando 20 metros en dirección al edificio, el ángulo de elevación se incrementa en 64º.

Calcular la altura del edificio.

52. Un pasillo de 10 m de largo y que forma 25º con la horizontal conduce al pie de una gran torre.

Calcular la altura de ésta, sabiendo que desde el inicio del pasillo el ángulo de elevación de su

punto mas alto es de 82º.

53. Un faro esta sobre un acantilado. Desde un barco tomamos un punto C y la parte superior se ve con

un ángulo de elevación de 55º. Situándose en un punto D 40 m más cerca , se constata que dicho

ángulo de elevación se transforma en 80º, y que el de la base del faro vale 60º . ¿Cuál es la altura

del faro y del acantilado?

54. Una pendiente de 50m de largo y una inclinación de 13º conduce al pie de una colosal estatua.

Calcular la altura de esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente , el ángulo de elevación del

punto más alto es de 81º.

55. Un hombre observa que el ángulo de elevación de un globo es de 20º 30´, se acerca 400 m y

entonces la elevación es de 56º 15´. ¿Cuánto debe andar el hombre para colocarse debajo del globo?

56. Para calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles A y B se ha medido una base CD de 240 m

situada en el mismo plano que Ay B, también se han medido los ángulos. DAC= 106º, DCB= 39º

CDB= 122º y CDA= 41º. Calcular la distancia entre A y B.

57. Desde dos punto B y C de una carretera, separados 270m, se observa un árbol A . Sabiendo que el

ángulo BCA = 55º y CBA= 65º, calcula la distancia del árbol al punto más cercano.

58. Un solar de forma triangular tiene dos lados de longitudes 140,5m y 100,6 m y el ángulo opuesto al

primero es de 40º. Hallar la longitud de una cerca que lo rodee completamente.

59. Dos estaciones A y B están situadas en lados opuestos de una montaña, son vistas desde una tercera

estación C. Se conocen las distancias AC= 11,5 km. BC= 9,4 km. y el ángulo ACB= 59º 30´.

Hallar la distancia entre A y B

60. .El ángulo de elevación de una peña mide 47º. Después de caminar 1000 m hacia ella,

subiendo una pendiente inclinada 32º respecto de la horizontal, su ángulo de elevación es de 77º.

Halla la altura de la peña con respecto al plano horizontal de la primera observación.

2



R-MATCNSI 21

61. A un lado de un camino está el asta de una bandera, fija en la parte superior de un muro. Desde un

punto al otro lado del camino observamos la parte superior de la bandera con un ángulo de

elevación del 50º, si nos acercamos 4 metros el ángulo pasa a ser de 75º y el de la parte inferior de

la bandera 60º. Calcular la altura de la bandera y del muro

62. Una catedral se encuentra sobre una colina. Cuando se observa la parte superior del campanario

desde la base de la colina, el ángulo de elevación es de 48º; cuando se ve a una distancia de40

metros desde la base de la colina, es de 41º. La colina se eleva a un ángulo de 32º. Calcula la altura de

la catedral. 63. Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan

sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40o y

65o. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora

64. Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre

sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 46o y BCA = 53

o. ¿A qué

distancia de cada estación se encuentra el barco?

65. Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones

indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto

del punto B? ¿A qué altura está el globo?

66. En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto

situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la portería, cuyo

ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto?

67. Halla la altura de la torre QR de pie

inaccesible y más bajo que el punto de

observación, con los datos de la figura

68. Calcula la altura de QR, cuyo pie es

inaccesible y más alto que el punto donde se

encuentra el observador, con los datos de la

figura.

69. Para medir la altura de una montaña AB nos hemos situado en los

puntos C y D distantes entre sí 250 m, y hemos tomado las siguientes medidas: ACB = 60o

BCD = 65o

, BDC = 80o Calcula la altura de la montaña

70. Calcular la altura de un repetidor de TV ubicado en la cima de una montaña sabiendo que desde un

punto alejado del pie de la montaña la base y el vértice del repetidor se ven bajo unos ángulos de

66º y 70º respectivamente. Si nos alejamos de esa posición en línea recta 12,5 m el vértice ahora lo

vemos bajo un ángulo de 67º

71. Calcular la distancia entre dos puntos

inaccesibles (X e Y) si desde dos puntos, A y B

que distan 210 m, se observan los puntos X e Y

bajo las visuales que muestra la figura.



R-MATCNSI 22

2º Los números complejos

Número imaginario.- Se define 1-4- 4i- ;1-3 3i ;1-2 2i :Ejemplo i1

Número complejo.- Un número complejo es un número real + un número imaginario = a + bi

a = parte real del número complejo

b = parte imaginaria del número complejo

Ejemplo: 2 + 3i; -4 + 5i; 7 – 6i; 2 - 3i

Representación de un número complejo.-

Eje Imaginario

Z1 Z1 = 3 + 3i

Z2 = -3 + i

Z2 Z3= -2 - i

Eje Real

Z3

Forma cartesiana.- (a, b)

Forma binómica.- a + bi

Forma polar.- m ; m = módulo del complejo, = ángulo que forma el complejo con el eje OX

m = 22 b a

= Arctanga

b

Para calcular el ángulo es necesario representar el número complejo para saber en que cuadrante está.

Forma trigonométrica.- m(cos + isen )

Z = (a, b) = a + bi = m = m(cos + isen )

Operaciones.-

Suma y resta: Se hacen en forma cartesiana o binómica

Ejemplo.- (2, -3) + (-5, 7) = (-3, 4)

(2 – 3i) + (-5 + 7i) = -3 + 4i

Producto, división, potencias y raíces: Se hacen en forma polar

Producto: m . m´ = (m . m´)

División: m´

m

m´

m

Potencias: (m )n = (m

n)n

Raíces: n m = n soluciones = n

k2n m , donde k = 0, 1, 2 , …. , n-1



R-MATCNSI 23

Ejemplos.-

1.- Sean Z1 = 1 + 3 i , Z2 = 2 3 - 2i , Z3 = 3 + 3i . Calcular 3

1

432 ).(

Z

ZZ

Z1 m1 = 31 = 2 ; 1 = Arctang 601

3 ; Z1 = 260

Z2 m2 = 43.4 = 4 ; 2 = Arctang 33032

2 ; Z2 = 4330

Z3 m3 = 231899 ; 3 = Arctang45

3

3 ; Z3 = 3 452

3

60

445330

2

)23.(4

= 3

60

180330

2

324.4

= 3

60

510

2

1296

= 3

450648 = 3

90648 =

Si k = 0 330

3

3

0903 3636648 (Cos 30 + i Sen 30 ) = i2

1

2

3363

Si k = 1 3150

3

3

360903 3636648 (Cos 150 + i Sen 150 ) = i2

1

2

3363

Si k = 2 3270

3

3

720903 3636648 (Cos 270 + i Sen 270 ) = i0363 = i363

2.- Resuelve la ecuación x3 – 8 = 0

x3 = 8 x = 3 8 = 3

08 =

Si k = 0 2)0Sen 0 Cos(22803

003

Si k = 1 i2

1

2

32)120Sen 120 Cos(228

1203

36003

Si k = 2 i2

3

2

12)240Sen 240 Cos(228

2403

72003



R-MATCNSI 24

EJERCICIOS

1.Expresa los siguientes números complejos en forma polar y represéntalos.

a) i3

b) i3

c) i3

d) i3

e) 3

f) 2i

g) 1-i

h) –2-2i

i) –2i

j) 3-3 i3

k) -2-2 i3

l) -2

2. Escribe los siguientes números complejos en forma binómica

1º 330º

2º 4 /3

3º 190º

4º º1202

5º 2150º

6º 3300º

7º 1450º

8º º3303

9º 5 /2

10º 2 45º

11º 3 /6

12º 2 /4

3. Opera los siguientes ejercicios dando el resultado en forma polar y binómica:

1º 1120º . 360º

2º (445º ): (215º)

3º 110º . 270º .340º

4º (215º):(445º )

5º (2 /6)6

6º 10)2222( i

7º (1+i)5

8º(2-2 3 i)6

9º(42 /3):(260º)

4. Resuelve las siguientes ecuaciones en el cuerpo de los números complejos:

1º x3-8=0

2º x3+8=0

3º x5+32=0

4º x5-32=0

5º x4+1=0

6º x4-81

5. Calcula y representa las siguientes raíces:

a) 3 i

b) 3 i

c) 3 8

d) 4 1 i

e) 532

i

f) 4 1 i

g) 3

1

1

i

i

h) 4 388 i

i) 3

31

22

i

i

j) 4 31 i

k) 4 232 i

6. Sean los complejos iz2

6

2

2y .iw 31 Se pide

(a) Forma polar de z y w (c) Las raíces cuartas de w

zen forma polar y binómica

(b) Calcularw

z (d) Representar gráficamente las raíces cuartas.

7.- Calcula: (a) 45

77

2i

iiz en forma binómica y polar. (b) 3 z



R-MATCNSI 25

3º Ecuaciones de la recta en el plano. Problemas métricos

Vector: ABAB ; Punto medio de un segmento 2

ABBA

Pendiente: Inclinación de la recta, se calcula m = v2/v1 = tan .

La recta: Para calcular la ecuación de una recta necesitamos conocer un punto A(a1, a2) y un

vector dirección V (v1, v2), o dos puntos por los que pase la recta, o un punto por donde pasa y

la pendiente.

Ecuaciones de la recta:

*Ecuación vectorial: (x, y) = (a1, a2) + (v1, v2) R

*Ecuaciones paramétricas: 22

11

vay

vax R

*Ecuación continua: 2

2

1

1

v

ay

v

ax

*Ecuación general: Ax + By + C = 0, en este caso m = -A/B

*Ecuación explícita: y = mx + n

*Ecuación punto pendiente: y – a2 = m(x – a1)

Distancias:

Entre dos puntos: d(A, B) = AB = 2

22

2

11 )a(b)a(b u

De un punto a un plano: d(A, ) = 22

21

BA

CBaAa u

Ángulo entre dos rectas: = Arctang sr

sr

mm

mm

.1

Posición relativa de dos rectas:

Son coincidentes si ´´´ C

C

B

B

A

A

Son paralelas si ´´´ C

C

B

B

A

A

Se cortan en un punto si ´´ B

B

A

A, en este caso se resuelve el sistema para calcular las

coordenadas del punto de corte.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad:

*Si nos dicen que r es paralela a s, esto significa que sr VV , o lo que es lo mismo que mr = ms

*Si nos dicen que r es perpendicular a s, esto significa que sr VV , o lo que es lo mismo que

mr = -1/ms

Triángulos

Mediatriz.- Recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

Mediana.- Recta que pasa por el punto medio de un lado y por su vértice opuesto

Altura.- Recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

Circuncentro.- Punto donde se cortan las mediatrices

Baricentro.- Punto donde se cortan las medianas. G = 3

CBA

Ortocentro.- Punto donde se cortan las alturas

Área de un triángulo: A = 2

),().,(

2

Altura Base. rectaABCdBAd



R-MATCNSI 26

1º Geometría del plano 1.- Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que pasa por los puntos

A=(3,2) y B=(1,-1).

2.- ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos P=(2,1) y Q=(1,-2). ¿Para

qué valores del parámetro se obtienen los puntos P y Q y el punto medio de P y Q?.

3.- a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A=(2,2) y B=(0,4)?. b) Escribe las

ecuaciones explícita e implícita de la recta que pasa por los puntos P=(1,4) y Q=(2,3).

4.- Deduce la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) y B=(0,-2).

5.- Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿Cuál es la ecuación paramétrica de

cada uno?.

6.- Escribe la ecuación explícita de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe también la de

la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrante.

7.- Escribe en formas explícita y continua la ecuación de la recta: 2x+3y=6.

8.- Calcula la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P en los casos: a) r: {x=2-

3t; y=1+t}; P=(3,1); b) r: (x-1)/2=y/3, P=(0,5); c) r: y=2x-1, P=(1,2); d) r: 2x-3y+2=0, P=(0,0).

9.- Halla la ecuación de s que es perpendicular a r: x+y-1=0 y pasa por el punto A=(2,1). Busca las

coordenadas de un punto S perteneciente a la recta s que equidiste de A y de r.

10.- ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(0,1) y B(3,4)?.

11.- ¿Cuál es el vector de dirección y la pendiente de las siguientes rectas?: a) y=3x-2. b) (x-

1)/2=(y+2)/4.

12.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por B(3,1) y es paralela a la que pasa por los puntos

A(2,0) y C(2,-1)

13.- Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta x+y-1=0 que pasa por el punto A(2,1).

14.- Halla la ecuación de la perpendicular a la recta x+y-1=0 por su punto de abscisa 3.

15.- Halla la ecuación de la recta perpendicular al vector w (2,1) y que corta a y=x-2 en el punto de

ordenada 3.

16.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x+3y+1=0 y

x-y-2=0, y es perpendicular a la recta (x/5)+(y/3)=1.

17.- Dadas las rectas r: {x=1+λ; y=2λ} y s: (x+1)/3=(y-1)/1. a) Determinar el punto de intersección

de ambas y las ecuaciones de las rectas que pasando por dicho punto sean: b) paralela a y=x-3;c)

perpendicular a x+y+5=0.

18.- Si te dicen que el punto (3,k) pertenece a la recta y = x+6. ¿Cuánto vale k?.

19.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1) que es paralela a la que pasa por los

puntos (2,0) y (1,3).

20.- Dadas las rectas siguientes, decide cuales son paralelas y cuáles no: a) {x=2+t; y=-1+2t},

{x=3+t; y=2t}, {x=t; y=t}; b) x+y+1=0; 2x-y+2=0; c) 3x-y+1=0; 3x-y=0.

21.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes rectas pasan por el punto (1,3)?. a) x-2y+2=0; b) 2x+y-5=0;

c) y=2x-3.

22.- ¿Pertenece el punto (0,5) a la recta determinada por el vector (1,3) y el punto (2,3)?.

2º Segmentos. Pto Medio. Ptos de corte. Punto simétrico.

1.- Halla los puntos de corte con los ejes coordenados de la recta: (x+2)/2=(y-2)/2.

2.- Encuentra las coordenadas de un punto de 2x-y-6=0, que diste 2 unidades de 3x-4y+1=0.

3.- Encuentra las coordenadas del punto simétrico de P=(2,-1) respecto a la recta r: 2x+y-3=0.

4.- Dados los puntos A(3,6) y B(1,0) y la recta r: x-y+1=0, hallar: a) El simétrico de A respecto a B.

b) El simétrico de B respecto a r. c) La ecuación de la recta s, simétrica a la AB respecto de r.

5.- Hallar: a) Las coordenadas del punto P' simétrico del P(2,1), respecto del M(2,0). b) Las

coordenadas del punto A', simétrico de A(-2,1) respecto de la recta t: 2x+y-2=0. c) La ecuación de

la recta r', simétrica de la r: x+2y-3=0 respecto de la s: x+y=4.



R-MATCNSI 27

6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de la recta x-2y+2=0 con el

eje X y es paralela a la recta que pasa por el punto (2,-1) y por el punto medio del segmento de

extremos (0,4) y (2,-2).

7.- Hallar las coordenadas del punto simétrico de P(-1,-1) respecto de la recta x+3y-6=0.

8.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,2) y B(3,4) y el

ángulo que forma con el eje X.

10.- Hallar las ecuaciones de las rectas paralela y perpendicular a la 2x-y+1=0, por el punto P(3,2).

Ambas rectas cortan a los ejes OX y OY respectivamente en los puntos A y B. Calcúlese la

mediatriz de AB.

11.- Ecuación de la mediatriz del segmento que determina la recta 2x+y=4 al cortar a los ejes de

coordenadas.

12.- Dado el segmento de extremos A(3,10) y B(5,2). Halla un punto P de este segmento de manera

que la distancia PA sea tres veces PB.

3º Mediatrices y distancias

1.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A=(3,4) y B=(1,2).

2.- Calcula la distancia del punto P=(1,-1) a cada una de las rectas siguientes: a) x+3y+2=0; b)

y=2x-1;

c) (x+1)/2=(y-2)/3; d) {x=1+t; y=2-4t}, e) 4x+3y=2; f) x/2+y/3=1.

3.- Calcula la distancia entre las rectas paralelas: r: 3x+4y-15=0 y s: 3x+4y=40.

4.- Calcula la distancia entre las recta paralelas: a) r: x+y-2=0; s: x+y+1=0; b) r: y=x-3; s: x-y+2=0.

5.- Calcula las longitudes de las tres alturas del triángulo determinado por los puntos A=(1,1),

B=(1,3) y C=(3,2).

6.- Un punto P que es equidistante de A=(3,1) y de B=(3,5), dista el triple del eje de abscisas que

del eje de ordenadas. ¿Cuáles son sus coordenadas

7.- Dados los puntos A(1,-4) y B(-2,3) y la recta r: x-2y-1=0, hallar un punto P que equidiste de A y

B y sea incidente con r.

8.- Hallar la distancia entre las rectas r: 12x-5y+2=0 y s: 12x-5y+5=0.

9.- Hallar un punto de la recta r: x+y-2=0 que equidiste de los puntos A(1,3) y B(1,1).

10.- Calcular la distancia del punto P(2,1) a cada una de las rectas siguientes: a) x-y+5=0; b)

x/2=(y-2)/1; c) {x=1+2t; y=-2t}; d) x/2+y/3=1.

11.- Un punto P que es equidistante de A(2,1) y B(2,3) dista el doble del eje de abscisas que del eje

de ordenadas. ¿Cuáles son sus coordenadas?.

12.- Dada la ecuación x-y+2=0. Hallar la ecuación de una paralela a dicha recta a una distancia de 2

unidades

13.- Hallar la distancia entre las rectas paralelas: a) x+y-3=0; 2x+2y+1=0.

b) (x-1)/4=(y+1)/3; {x=4t; y=1+3t}.

14.- Hallar las coordenadas de un punto de la recta x-y-1=0 que diste 1 unidad de la recta 3x-

4y+2=0.

15.- Hallar las coordenadas de un punto P equidistante de 3 puntos dados: A(4,4), B(5,3) y C(-1,3).

16.- Hallar las ecuaciones de las rectas que son incidentes con el punto A(2,3) y distan 2 unidades

del origen de coordenadas.

4º Problemas con incógnitas 1.- Determina el valor de k para que los puntos A(2,-1), B(1,4) y C(k,9) estén alineados.

2.- Calcula el valor de a y b para que las rectas ax-y+2=0 y bx+6y-9=0 sean perpendiculares y,

además, la segunda pase por el punto P=(1,1).

3.- Calcula el valor de m para que las rectas r: mx+2y+6=0, s: 2x+y-1=0 y t: x-y=5 pasen, las tres,

por un mismo punto.



R-MATCNSI 28

4.- Determina m y n sabiendo que la recta 2x+ny=0 pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta

mx-2y+3=05.- Dadas las rectas r: 3x+y=3 y s: -2x+ay=8. Determinar "a" para que forman un

ángulo de 45º.

5.- Hallar a para que la distancia de O(0,0) a la recta r: 2x+ay-4=0 sea 2.

6.- Dada la recta mx-3y+m-4=0. Calcular m para que: a) dicha recta pase por el punto (1,-2). b)

dicha recta sea paralela a la recta (x-1)/3 = (y-2)/2.

7.- Hallar el valor de A y de B para que las rectas: Ax+2y-8=0 y 2x+By=3 se corten en el punto

(2,1).

8.- Hallar "m" y "n" sabiendo que la recta 3x+my=0 pasa por el punto (1,3) y es paralela a la recta

nx+y-2=0.

9.- Calcula el valor de a y b para que las rectas ax-3y+5=0 y bx+2y-1=0 sean perpendiculares y

además la segunda pase por el punto (-1,2).

10.- Las rectas 2x+y-2=0 y Ax+y+1=0, forman un ángulo de π/3 radianes. ¿Cuánto vale A?.

11.- Hallar el valor de "a" para que las rectas: r: 2x+ay+12=0; s: 6x-2y=10. Sean: a) Paralelas,

hallando su distancia. b) Perpendiculares

12.- Hallar "a" para que las rectas siguientes sean paralelas: a) ax+y=1 y 2x-y=a; b) (a+2)x-2y=1 y

3ax+(a-3)y = a.

13.- Halla el valor de "m" para que la recta (x-2)/m=(y+1)/2 sea paralela a la recta: {x=2t; y=t+1}.

14- Dadas las rectas siguientes, determinar "m" para que formen un ángulo de 45º. r: 3x+y=2; s:

2x+my=5.

5º Problemas de triángulos

1.- En el triángulo de vértices A=(2,2), B=(-2,0) y C=(2,4), Halla la ecuación de las medianas.

2.- Halla los vértices del triángulo cuyos lados están sobre las rectas r, s y t de ecuaciones: r: x=1; s:

x+y=2; t: 5x+y-2=0.

3.- Calcula el área limitada por la recta (x/3)+(y/6)=1, el eje de abscisas y el eje de ordenadas.

4.- Indica qué tipo de triángulo es el de vértices ABC, siendo: a) A=(3,2); B=(1,0); C=(5,4); b)

A=(2,3); B=(-1,2); C=(1,6); c) A=(1,3); B=(5,1); C=(2,5).

5.- Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A=(1,4), B=(3,-2) y C=(-1,0).

6.- Halla las coordenadas del baricentro (punto de corte de las medianas), del triángulo de vértices:

A=(0,2), B=(-3,4) y C=(3,0).

7.- Halla las ecuaciones de las alturas del triángulo que determinan los puntos A=(1,0), B=(-3,2) y

C=(-1,-2) y determina el ortocentro.

8.- En el triángulo de vértices A=(3,6) y B=(5,2) y C=(1,-2). Determina: a) el baricentro; b) el

ortocentro; c) el circuncentro.

9.- Calcula el área del triángulo formado por las rectas 3x+y-8=0; 5x-3y+10=0 y x-2y+2=0.

10.- El punto A(2,-1) es vértice del triángulo ABC. Las ecuaciones de las rectas que contienen a las

alturas son: 3x-y=0 y x-4y+1=0, respectivamente. Hallar la ecuación del lado a y los vértices.

11.- Averiguar si el triángulo ABC, donde A(-1,3), B(4,8) y C(-6,-2), es isósceles y si el de vértices

A'(2,1), B'(3,-1) y C'(6,3) es rectángulo.

12.- Los puntos B(1,4) y C(8,3) son vértices de un triángulo rectángulo. Si BC es la hipotenusa,

hallar el vértice A, sabiendo que está en la recta y=x-1.

13.- Los puntos A(1,2), B(3,0) y C(5,1) son vértices de un triángulo. Probar que el ortocentro,

circuncentro y baricentro están alineados.

14.- Dados los puntos A(-1,-1) y B(2,1), hallar sobre la recta r: y = x + 2 un punto P tal que con los

dados determine un triángulo de área 4 u2.

15.- Dado el triángulo de vértices A(0,3); B(3,1), C(2,5). Se pide: a) Ecuación de la altura

correspondiente al vértice A; b) Ecuación de la mediana correspondiente al vértice B; c) Área del

triángulo.

16.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,2) y que determina al cortar a los ejes

coordenados un triángulo de área 9 u2.



R-MATCNSI 29

17.- a) Calcula el baricentro y los puntos medios de los lados del triángulo de vértices A(1,3), B(-

3,5), C(2,1). b) Ecuación vectorial de la recta que pasa por A(2,1) y es paralela al la recta x+2y-1=0.

18.- a) En el triángulo de vértices A(2,-1), B(2,5), C(0,4): a) escribir en forma paramétrica la altura

correspondiente al vértice A. b) Hallar la distancia del punto A(1,-1) a la recta -3x+4y-18=0.

19.- Dadas las rectas: 2x-3y=3; 3x-y-1=0; {x=3-4t; y=1+2t}. Calcula el área del triángulo que

determinan. Sol: 5/2

20.- Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: A(3,1), B(4,2), C(0,5).

21.- Comprobar si es isósceles el triángulo de vértices: A(3,1), B(1,3) y C(5,5). Sol: Sí

22.- Decir que tipo de triángulo tiene de vértices: A(1,4), B(3,1) y C(7,8).

23.- Calcula el valor de a y de b para que r: ax+2y-12=0 y s: 2x+by=1 se corten en el punto (2,3).

6º Problemas de figuras geométricas

1.- Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo.

Compruébalo con el cuadrilátero de vértices: A=(4,2); B=(2,0); C=(2,4) y D=(8,4).

2.- Calcula el vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A=(1,-2); B=(3,-1) y C=(0,3).

3.- Un rombo ABCD, tiene su vértice A en el eje de ordenadas y otros dos vértices opuesto son

B=(1,4) y D=(3,2). Determina: a) las coordenadas de los vértices A y C; b) el ángulo que forman

sus lados; c) cuánto vale su área.

4.- Dos lados de un paralelogramo están sobre r: y=3x+9 y s: 2x+5y+6=0 y tiene un vértice en el

punto (3,1). Halla las ecuaciones de las rectas de los otros dos lados y las coordenadas del resto de

sus vértices.

5.- Un cuadrado de vértice A en el punto (0,1) y su centro el punto (2,1). Calcula las coordenadas de

los otros tres vértices.

6.- Conocemos dos vértices de un rectángulo, A=(1,3) y B=(3,1), y sabemos que uno de sus lados

está sobre la recta y+x=6. Calcula las coordenadas de los otros dos vértices. Sol: (2,4) (4,2)

7.- Un cuadrado tiene por vértices contiguos los puntos A=(3,2) y B=(4,1). Calcula sus otros dos

vértices. ¿Cuántas soluciones tiene el problema?. Sol: Dos soluciones: C(2,1), D(3,0); C'(4,3),

D'(5,2)

8.- De un cuadrado conocemos dos vértices opuestos A=(1,2) y C=(3,6). Calcula sus otros dos

vértices. ¿Cuántas soluciones tiene el problema?.

9.- Calcula el área del cuadrilátero de vértices A=(2,0), B=(4,4), C=(0,3) y D=(-2,-1).

10.- El punto A(2,1) es uno de los vértices de un paralelogramo. Dos de sus lados están situados en

las rectas r: x/3+y/-1=1 y s: x+y+1=0. Hallar las coordenadas de los vértices y las ecuaciones de los

otros lados.

11.- Los puntos A(0,1) y D(4,3) son vértices consecutivos de un paralelogramo. El punto M(3,1) es

el punto de intersección de las diagonales. Hallar las coordenadas de los otros vértices B y C, las

ecuaciones de los lados, el área del paralelogramo.

12.- Los puntos A(0,0) y C(1,7) son vértices opuestos de un rectángulo. Un lado está situado sobre

la recta x-3y=0. Hallar las coordenadas de los vértices B y D y las ecuaciones de los lados.

13.- Determinar las coordenadas de los vértices B y D del cuadrado que tiene por diagonal AC,

donde A(1,2) y C(5,2)

14.- El centro de un cuadrado es el punto P(2,2) y un vértice A(2,1). Hallar las coordenadas de los

otros dos vértices y el área del cuadrado.

15.- Los puntos A(2,2) y C(0,4) son vértices opuestos de un rombo. El vértice D está situado sobre

la recta r: 2x-y-1=0. Hallar las coordenadas de D y las del cuarto vértice, B.

16.- Los puntos A(1,1) y B(3,3) son vértices consecutivos de un rectángulo. Sabiendo que el vértice

D, opuesto al B, está sobre la recta x+3y+2=0, hallar las coordenadas de los vértices C y D.

17.- El lado AB del cuadrado ABCD está sobre la recta r: 4x+3y=10. Si el centro del cuadrado es el

punto M(9/2,3/2), hallar los vértices.

18.- Hallar las coordenadas del vértice D y las ecuaciones de los lados del paralelogramo de

vértices: A(2,2), B(1,3) y C(3,5).



R-MATCNSI 30

4º Cónicas

Circunferencia Elementos: Centro: (c1, c2) Radio: r = d(C, P) = d(C, rt)

Ecuación: (x – c1)2 + (y – c2)

2 = r

2; desarrollada x

2 + y

2 + Dx + Ey + F = 0;

Relaciones:

222

21

2

1

r- c c F

2c- E

2c- D

Elipse Elementos: Focos F y F´; eje focal; eje secundario; centro (c1, c2); vértices A, A´, B, B´; radio

vectores PF y PF´. Distancia focal = 2c; longitud del eje mayor = 2a; longitud del eje secundario

= 2b.

Ecuación: PF + PF´= 2a; 1)()(

2

22

2

21

b

cy

a

cx(eje focal horizontal);

1)()(

2

22

2

21

a

cy

b

cx(eje focal vertical);

Relaciones: a2 = b

2 + c

2; e =

a

c (e < 1)

Hipérbola Elementos: Focos F y F´; eje focal; eje secundario; centro (c1, c2); vértices A, A´, B, B´; radio

vectores PF y PF´. Distancia focal = 2c; longitud del eje mayor = 2a; longitud del eje secundario

= 2b.

Ecuación: PF - PF´= 2a; 1)()(

2

22

2

21

b

cy

a

cx(eje focal horizontal);

1)()(

2

2

1

2

2

2

b

cx

a

cy(eje focal vertical)

Relaciones: c2 = a

2 + b

2; e =

a

c (e > 1) Asíntotas: y = x

a

b

Parábola Elementos: Foco F; directriz y = a (parábola vertical), x = b (parábola horizontal); vértice V(v1, v2)

Ecuación: PF = d(P, directriz) = p/2;

(x – v1)2 = 2p(y – v2) (parábola vertical abierta hacia arriba);

(x – v1)2 = -2p(y – v2) (parábola vertical abierta hacia abajo);

(y – v2)2 = 2p(x – v1) (parábola horizontal abierta a la derecha)

(y – v2)2 = -2p(x – v1) (parábola horizontal abierta a la izquierda)

Relaciones: d(F, directriz) = p.



R-MATCNSI 31

EJERCICIOS

CIRCUNFERENCIAS

1.- Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4.

2.- Calcula la posición del punto P(-1,2) respecto a la circunferencia: x2+y

2-2x-3=0

3.- Halla el centro y el radio de las circunferencias:

a) x2+y

2-2x+2y-23=0; b) x

2+y

2-2y-8=0; c) x

2+y

2-2x-6y+6=0

4.- Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo centro es el

punto

a) C(2,3). b) C(1,2).

5.- Calcula las posición relativa de los puntos O(0,0); A(3,0) y B(4,0) respecto a la circunferencia

x2+y

2-9=0.

6.- Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia de centro C(-1,3) en el punto de tangencia

(2,5).

7.- Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,3); B(0,-1) y C(-1,0).

8.- ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-1,3) y pasa por el punto P(-2,1)?.

9.-. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos los puntos A(1,1) y

B(3,5)

10.- Calcula la longitud de la cuerda que determina la recta x=3 al cortar a la circunferencia x2+y

2-

4x-6y+8=0.

11.- Calcula la ecuación de una circunferencia tangente a los ejes coordenados y que pasa por

A(9,2)

12 -¿Para qué valor de b la recta y=x-b es tangente a la circunferencia x2+y

2=8?.

13 -. ¿Qué posiciones ocupan los puntos A(-1,0); B(3,3); C=(2,2); D=(5,-1) respecto a la

circunferencia: x2+y

2-6x-2y+6=0?.

14.- Escribe la ecuación de una circunferencia concéntrica a x2+y

2-4x+2y+4=0 y cuyo radio es 2.

15. -Halla la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas: x-2y+1=0;

x+3y=14 y 2x+y=3.

16.- Halla la ecuación de la circunferencia definida por los puntos A=(3,0), B=(-3,0) y C=(0,9).

17.- Halla la ecuación de la circunferencia de centro C, situado en la recta r: x+2y-5=0, y que pasa

por los puntos A=(-1,4) y B=(3,0).

18.- La recta a: x+2y-2=0 es tangente en (0,1) a una circunferencia, que pasa por el punto P (3,4).

Hallar su ecuación.



R-MATCNSI 32

19.-Determina la ecuación de la circunferencia de centro el punto A(1,1) y es tangente a la recta

r:3x+4y=32.

20.- Halla las ecuaciones de las circunferencias de radio 3, tangentes a la de ecuación

x2+y

2=25 en el punto P(4,-3).

21.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia dada, en los puntos de ordenada

y=0. x2+y

2-6x+5=0.

22.- Dada la circunferencia x: (x-2)2+(y-1)

2=4, halla las ecuaciones de las tangentes trazadas desde

A(4,3).

23.- Dada la circunferencia r: (x-1)2+(y+2)

2=4, halla las ecuaciones de las tangentes a ella paralelas

a la recta x-2y+2=0.

24.- Calcula m para que el radio de la circunferencia x2+y

2+mx+4y+4=0. sea 1.

25.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1,0) y es tangente a la recta r:

x+y-3=0 en el punto B(1,2).

26.- Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(1,2) y tangente a la recta r: y=-2x+9.

27.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(4,3) y B(-2,3) y tiene su

centro en la recta r: 2x-y-1=0

28.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia (x-2)2+(y-2)

2=1, en los puntos

de abscisa x=0.

ELIPSES

1.- Calcula la ecuación de la elipse formada por los puntos cuya suma de distancias a F1(1,1) y

F2(7,1) es igual a 10

2.-Encuentra los elementos principales de la elipse (x2/25)+(y

2/9)=1 y dibuja su gráfica.

3.- Halla los elementos principales de la elipse: 9x2+25y

2=900

4.- Escribe la ecuación reducida de la elipse cuya distancia focal es 16 y cuyo semieje mayor tiene

de longitud 10.

5.- Encuentra la ecuación reducida de la elipse cuyo semieje mayor tiene longitud 5 y que pasa por

P(4,12/5).

6.- Halla la ecuación de la tangente a la elipse (x2/25)+(y

2/9)=1. en el punto de abscisa x=5.

7.- Encuentra los semiejes, vértices y focos y averigua la excentricidad de las elipses:

a) (x2/169)+(y

2/144)=1; b) 16x

2+25y

2=400; c) x

2+16y

2=25.

8.- Determina la ecuación reducida de la elipse cuyo eje mayor mide 8 y pasa por el punto P(3,1).

9- Escribe la ecuación de la elipse cuya suma de distancias a F1(8,0) y F2(-8,0) vale 20.



R-MATCNSI 33

10.- Encuentra la ecuación de la elipse de focos F1(-1,0) y F2(1,0) cuyo semieje mayor tiene

longitud 6.

11.- Halla las ecuaciones de las elipses definidas por los siguientes datos:

a) a=3, b=2; b) a=5, c=4; c) b=1, c=2.

12.- Halla la ecuación de la elipse con centro en el origen sabiendo que los radios vectores de un

punto P son r=4 y r'=6 y que la distancia focal es 8.

13.- Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto P (6,64/10) y cuyos semiejes mayor y

menor son proporcionales, respectivamente a 5 y 4

14.- Una elipse, cuya ecuación está referida a sus ejes, tiene sus focos en F(3,0) y F'(-3,0) pasa por

P(5,0). Halla su ecuación

15.- Hallar la ecuación de la elipse con C(-2, 4); F(-2, 6) y suma de distancias 6. Escribir las

coordenadas de sus cuatro vértices.

16.- Halla la ecuación de la elipse cuyo centro es C(2,1), uno de los vértices A(7,1) y la

excentricidad e=3/5.. Calcular las coordenadas de sus 4 vértices y los focos

17.- Hallar la ecuación y todos los elementos de la elipse con C(-2, 4); F(-2, 6) y suma de distancias

6.

18.- Escribir la ecuación reducida de una elipse sabiendo que su centro está en el punto (2, 5), que

los extremos de su eje mayor son A(6, 5) y A´(-2, 5) y que su excentricidad es e = 0,25. Escribir

las coordenadas de todos los vértices y focos.

19.- Hallar la ecuación de la elipse con focos F`(-1, 2); F(-1, 6) y suma de distancias 6. Escribir las


20.- Hallar la ecuación de la elipse con C(-3, 5); F(-3, 7) y sabiendo que a=3 Escribir las




R-MATCNSI 34

HIPÉRBOLAS

1. Hallar la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que a=3 y b=2, escribir las coordenadas

de los cuatro vértices y los focos.

2. Halla las ecuaciones de las hipérbolas definidas por los siguientes datos, escribir las

coordenadas de los cuatro vértices y los focos.: a) a=2,b=2; b) a=4, c=5; c) b=1, c= 5; d) b=3, e=5/4.

3. Halla la ecuación de la hipérbola cuya diferencia de distancias a F1(5,0) y F2(-5,0) vale 6.

Escribir las coordenadas de los cuatro vértices y los focos.

4. Calcular la ecuación de la hipérbola con focos en (8,0) y simétrico y un vértice en A(-5,0).

Escribir las coordenadas de los cuatro vértices y los focos.

5. Escribe la ecuación de la hipérbola de focos (3,2) y (-3,2), cuyo semieje mayor tiene longitud 2.

Escribir las coordenadas de sus cuatro vértices.

6. Hallar la ecuación reducida de una hipérbola cuyos focos están en F(-1, 4), F´(-1, -4) y cuya

diferencia de distancias es 4. Calcular las coordenadas de los vértices

7. Hallar la ecuación reducida de una hipérbola cuyos focos están en F(3, -4), F´(3, 8) y cuya


8. Hallar la ecuación reducida de una hipérbola cuyos focos están en F(2, 2), F´(2, 10) y cuya

diferencia de distancias es 4. Calcular las coordenadas de los vértices.

9. Escribe la ecuación reducida de la hipérbola, centrada en el origen sabiendo que uno de sus

focos es F (17,0) y uno de sus vértices es A(15,0).Escribir las coordenadas de sus 4 vértices.

10. Hallar la ecuación reducida de una hipérbola cuyos focos están en F(0, 4), F´(8, 4) y cuya


11. Hallar la ecuación reducida de una hipérbola centrada en el punto C(1,2) sabiendo que a=3 y

b=2, escribir las coordenadas de los cuatro vértices y los focos.

12. Una hipérbola tiene por asíntotas y= 2x y es incidente con el punto P(6,4). Halla su ecuación.

13. Calcula m para que la recta y=x+m sea tangente a la hipérbola: x2-2y

2=4.

14. Escribe la ecuación de la hipérbola de focos (3,2) y (-3,2), cuyo semieje mayor tiene longitud 2

15. Escribe la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que su distancia focal es 16 y la

distancia de un foco al vértice más próximo es 4.

16. Escribir las ecuaciones de las hipérbolas siguientes y calcular todos sus elementos :

a) Su centro Q-3,0), F(2,0) e = 5/4

b) Sus vértices son A(6,2), A’(-2,2) y su distancia focal es 10

c) a = 8, C(2,-3), B'(-4,-3)



R-MATCNSI 35

17 .Calcular la ecuación de la hipérbola cuyo centro está en el punto (3, 1) y dos de sus vértices son

A(3,4) B(5, 1). Calcular la excentricidad. Calcular el resto de los vértices y los focos.

PARÁBOLAS

1. Una parábola de eje vertical tiene por vértice V=(3,-2) y por foco F(3,0). Halla las ecuaciones del

eje, de la directriz y de la parábola

2. Dada la parábola de ecuación y2=8x, halla las coordenadas del vértice y del foco y las ecuaciones

de la directriz y del eje

3. Hallar la ecuación de la parábola de vértice V(2,1) y F(6,1) , escribe la ecuación de la directriz

4. Hallar la ecuación de la parábola de vértice V(-2,1) y directriz y=-2 y escribe las coordenadas

del foco

5. Hallar el vértice el foco ,el eje y la directriz de las siguientes parábolas

a) y2=-8x

b) x2-4x-4y=0

c) y2+6y-8x-31=0

6. Hallar la ecuación de la parábola sabiendo que su directriz es x=4 y su foco es F(2,-1)

7. Su directriz es el eje de ordenadas y su vértice es el punto V(4,3)

8. Su foco es el punto F(1,3) y su vértice es V(1,-5)

9. Su foco es F(2,0) y la directriz es y=-2

10. Encuentra el vértice, el foco, el eje y la directriz de la parábola: y2=12x.

11. Escribir las ecuaciones de las siguientes parábolas y representarlas..

a) Vértice (2,-2) y directriz y = -5 b) Foco (6, 1) y vértice V(2, 1)

c) Directriz x = 0, vértice V(3,2) d) Vértice V(-1,3) y foco (-1,8)



R-MATCNSI 36

ANÁLISIS

1º Funciones

Dominio: Es el conjunto de números reales para los cuales existe imagen mediante la función f(x).

Dom f(x) = x R f(x)

Funciones polinómicas.- f(x) = P(x), Dom f(x) = R

Funciones racionales.- f(x) = Polinomio/Polinomio, Dom f(x) = R - x R tales que

anulan el polinomio del denominador .

Funciones irracionales.-

x2 – 5x + 6 = 0, x= 2, x= 3, + + Dom f(x) = (- , 2 3, )

2 3

Ejemplo 2: f(x) =2 x

3 -2x , , Haciendo una tabla de signos tenemos:

2x – 3 = 0 x = 3/2 + + Dom f(x) = (- , -2) 3/2. )

x + 2 = 0 x = -2 -2 3/2

Funciones exponenciales.- f(x) = ag(x)

, Dom f(x) = R - Problemas de g(x) .

f(x) = ax, Dom f(x) = R

Ejemplo 1: f(x) = 32 3xe , Dom f(x) = R

Ejemplo 2: f(x) = 4/3 xe , Dom f(x) = R - 4 .

Funciones logarítmicas.- f(x) = log(g(x)), Dom f(x) = x R / g(x) > 0

Ejemplo: f(x) = Ln(x2 – 4) x

2 – 4 >0, hacemos x

2 – 4 = 0 x = 2 y x = -2

Hacemos una tabla de signos para x2 – 4 + +

-2 2

Por lo tanto Dom f(x) = (- , -2) (2, )

Funciones trigonométricas.-

f(x) = sen(g(x)) Dom f(x) = R - Problemas de g(x) .

f(x) = cos(g(x)) Dom f(x) = R - Problemas de g(x) .

f(x) = tang (g(x)) Dom f(x) = R - x R / cos (g(x)) = 0 .

f(x) = Cosec (g(x)) Dom f(x) = R - x R / sen (g(x)) = 0 .

f(x) = Sec (g(x)) Dom f(x) = R - x R / cos (g(x)) = 0 .

f(x) = Cotang (g(x)) Dom f(x) = R - x R / sen (g(x)) = 0 .

Puntos de corte con los ejes:

Eje OX Si y = 0, despejando se obtienen los valores de x.

Eje OY Si x = 0, sustituyendo se obtiene el valor de y.

Simetrías:

Par Se tiene esta simetría cuando f(-x) = f(x). En este caso la función es simétrica respecto

del eje OY.

Impar Se tienen esta simetría cuando f(-x) = -f(x). En este caso la función es simétrica

respecto del origen de coordenadas, el punto (0, 0).

02 x

3 -2x

0 g(x) / R x f(x) Dom ,)()( xgxf

3 - R f(x) Dom , 9 x

3 -2x f(x) :Ejemplo

2

radicando el para signos de Tabla 0, 6 5x - x, 6 5x - x f(x) :1 Ejemplo 22



R-MATCNSI 37

EJERCICIOS

1º Funciones dadas por tablas ( Interpolación)

1.- El gasto en fotocopias de una oficina viene dado por la tabla:

Meses Enero Febrero Marzo

Gasto 10 12 17

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado y deducir el gasto de fotocopias para el mes de

abril.

2.- El número de alumnos matriculados en miles en las pruebas de selectividad de la Universidad de

Murcia en tres años fue el siguiente:

Años 1984 1988 1989

Alumnos 10 15 18

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado para estimar el número de alumnos

matriculados en 1986 y el número de alumnos que se matricularán en 1996.

3.- El número de funcionarios de una Comunidad Autónoma en tres años fue el siguiente:

Años 1989 1991 1995

Funcionarios 3000 3800 4100

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado para estimar el número de funcionarios en

1992 y el número en 1998. ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?.

4.- El gasto en material de oficina en euros de una empresa viene dado por la tabla:

Meses Abril Mayo Junio

Gasto 110 150 155

Obtener el polinomio interpolador de segundo grado y deducir el gasto de fotocopias para el mes de

julio.

5.- La temperatura en grados Fahrenheit (ºF) puede ser expresada como una función de primer

grado de la temperatura x en grados Celsius (ºC). En la escala Fahrenheit el agua se congela a

32ºF y hierve a 212 ºF; en la escala Celsius, se congela a 0 ºC y hierve a 100 ºC. Expresar la

temperatura Fahrenheit , y, como una función de la temperatura Celsius, x. Si la temperatura

normal del cuerpo humano es de 98,6 ºF, ¿a qué temperatura corresponde en la escala Celsius?.

6.- De una función f(x) se conocen los valores f(1) = 4, f(2) = 7 y f(4) = 31.

1) Calcular la función de interpolación cuadrática que toma dichos valores.

2) Calcular el valor de la función de interpolación para x = 3.

7.- Dada la tabla de la función f(x):

Calcular el error cometido cuando se calcula f(4) mediante la interpolación cuadrática utilizando los

otros tres valores de la tabla.

x 1 2 3 4

f(x) 3 -5 6 -2



R-MATCNSI 38

2º Concepto de función 1.-Se quiere construir un pozo en forma cilíndrica de 2 m. de diámetro. Expresa el volumen del

agua que cabe en el pozo en función de su profundidad x.

2.- El radio de un círculo mide 10 cm. Expresa el área de un rectángulo inscrito

en el mismo en función de la medida x de la base. ¿Cuál es el dominio?

3.- En un bloque de viviendas las ventanas son rectangulares y deben tener 2 m2

de luz. Si x es la longitud del lado de la base, obtén el perímetro en función de x. ¿Cuál es el

dominio?

4.- Se dispone de una cartulina de 100 x 40 cm y se quiere construir una caja con tapadera cortando

un cuadrado en dos esquinas y dos rectángulos en las otras dos. Halla la expresión del volumen

en función del lado x del cuadrado.

5.- El coste de la energía eléctrica se obtiene mediante un sumando fijo y otro proporcional a la

cantidad de energía gastada. En dos meses distintos se ha pagado 35,70 € por 340 kwh y 31,14 €

por 283 kwh. ¿Cuál es el sumando fijo?

6.- Feliciano quiere comprar un coche; tiene muy claro el modelo pero no sabe si comprarlo de

gasolina o de gasóleo. El primero vale 18000 € y el segundo 20000 €. El precio de la gasolina es

de 1,08 €/l, y el del gasóleo 0,90 €/l. Supongamos que el consumo de un coche diesel es de 5

litros cada 100 km y el de un coche de gasolina de 6 litros cada 100 km.

a) Di la función que relaciona el coste (precio del coche más precio del combustible) con

el número de kilómetros de cada coche.

b) Representa estas funciones. Observa el punto de corte. ¿Qué significa?

7.- Los piojos del cabello se reproducen duplicando su número cada 4 días. Si un niño tiene un

piojo en su cabeza, y suponiendo que todos viven:

a) ¿Cuántos piojos tendrá dentro de 12 días?

b) Escribe la función y represéntala.

c) Si en el momento inicial un niño tenía 10 piojos, contesta a los apartados a) y b).

8.- La cantidad Q(t) que queda de una masa M mg de una sustancia radiactiva al cabo de t días

viene expresada por la fórmula:

Q(t) = M . e-0,1 . t

1) Al cabo de cuanto tiempo la masa M se ha reducido a la mitad

2) Si la masa inicial M es de 27 mg, ¿cuánta sustancia quedará aproximadamente al cabo de 10

días?. Representar en este caso la masa aproximada de Q(t).

9.- Un lago está repoblado por una nueva especie de peces. Actualmente se estima una población de

136.000 peces y tres años antes de 17.000 peces. Suponiendo que la población de peces crece de

forma exponencial ( y = k.at ), calcular:

a) La función que expresa el número de peces en función del tiempo.

b) ¿Cuándo habrá 1.000.000 de peces?

c) ¿Cuántos años hace que se introdujeron los 132 primeros ejemplares?

10.- Después de invertir en bolsa un individuo pasa de tener 1000 euros a tener 1300 euros en un

mes. Si sabemos que la inversión que realiza sigue una ley exponencial ( y = k.at ), calcular:

a) La función que expresa el dinero en función del tiempo

b) Cuánto dinero tendrá al cabo de un año

c) En qué mes tendrá 66541 euros



R-MATCNSI 39

12.- El nivel de contaminación de una ciudad a las 7 de la mañana es de 20 partes por millón y crece

de forma lineal 15 partes por millón cada hora. Sea y la contaminación en el instante t después

de las 7 de la mañana.

1) Hallar la ecuación que relaciona y con t.

2) Hallar el nivel de contaminación a las 5 de la tarde.

13.- Para fomentar la utilización del transporte público entre dos puntos de una determinada ciudad,

una compañía de transportes ofrece sus servicios en unas determinadas condiciones:

1. Si el número de viajeros es menor o igual que 20 el billete costará 80€ por persona.

2. A partir de 20 viajeros el precio por billete se obtendrá restando de 80 € el número de

viajeros que excedan de 20.

Teniendo en cuenta que en cada autobús caben como máximo60 viajeros y designando como x

el número de personas por viaje, se pide:

a) La expresión algebraica y la representación gráfica de la función P(x) que proporciona el

precio que ha de pagar cada viajero.

b) La expresión algebraica y la representación gráfica de la función I(x) que proporciona los

ingresos por viaje de la compañía.

c) Obtener el número de viajeros que proporciona el máximo ingreso por viaje a la compañía,

así como el valor de dicho ingreso.

14.- A las nueve de la mañana surge un rumor en una ciudad que se difunde a un ritmo de

e2t

+ 1000 personas /hora. Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la

aparición del rumor, calcular el número de personas que lo habrán oído entre las diez y las doce

de la mañana.

15.- Se sabe que cuando comienza el invierno el número de moscas de una región decrece y dicho

número viene dado por la función tbeatN ..)( , donde t es el tiempo en días y a y b son dos

constantes no nulas.

a) Determinar el signo de las constantes a y b justificadamente

b) Sabiendo que al cabo de 64 días el número de moscas se ha reducido una 64ª parte de la

población inicial, determinar el valor de b

c) Si en esta población se estima que el numero de moscas al comenzar el invierno es de

10,000 ¿Cuántas quedarán al cabo de 60 días?

d) en el supuesto anterior cuánto tiempo tiene que pasar para que queden la mitad de moscas

16.- Hace cuatro años que se repobló una zona con 100 ejemplares de una nueva especie de pinos.

Actualmente hay 25.000 ejemplares. Se estima que el número N de pinos viene dado en función

del tiempo, t, por la función N = AeBt

, donde A y B son dos constantes. El tiempo t se considera

expresado en años desde el momento de la repoblación.

a) Determina la función que expresa el número de pinos en función del tiempo

b) ¿Cuánto tiempo se ha de esperar para que haya 200.000 ejemplares?

17.- El crecimiento de una colonia de mosquitos viene dado por la función A(t)=A0.ek.t

Donde A0 y k son constantes no negativas y t es el tiempo en días

a) Razona el signo de A0 y k

b) Si inicialmente había 1000 mosquitos y al cabo de un día aumento a 1800, determina la

función que expresa el número de mosquitos en función del tiempo en días

c) ¿ Cuánto tiempo tiene que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?



R-MATCNSI 40

18.- El crecimiento de una colonia de abejas viene dada por la siguiente función

tetP

.37,0.5,561

230)(

a) ¿Cuántas abejas había inicialmente?

b) ¿Cuánto tiempo le tomará a la abejas tener una población de 180?

19.- La función Xxf

.)09,1.(4991

1200)( da la venta en x días después del lanzamiento de un

video juego

a) ¿Cuántos video juegos se vendieron el primer día?

b) ¿Cuántos días tienen que pasar para que se vendan 6000 juegos?

20.- Se administran 50 mg. de anestesia a un paciente al principio de una operación. Se sabe que la

concentración en la sangre humana disminuye exponencialmente con arreglo a la función

f(x) = k ⋅0'95x

, donde K es la cantidad inicial y x el tiempo, en minutos, que ha transcurrido desde

su administración.

a) ¿Cuántos mg. de anestesia quedan en la sangre del paciente a la hora y media de su

administración?

b) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que le quede en sangre la mitad de la anestesia

21.- Una empresa tiene unos ingresos brutos a lo largo de los años que siguen una función del

tipo i(t)=0’5t2, con unos gastos que se adaptan a una función del tipo g(t)=2t.

a) Representa gráficamente ambas funciones.

b) ¿Qué función nos da los beneficios de la empresa a lo largo del tiempo, b(t)?

c) ¿En cuánto tiempo empezará a tener beneficios?

d) ¿Qué función h(t) nos indica a lo largo de los años, cuántas veces son mayores los ingresos

que los gastos?

3º Dominios 1º Dadas las siguientes funciones calcular su dominio, puntos de corte :

1) 4

65)(

2

2

x

xxxf

2) 4)( xxf 3)

4

65)(

2

2

x

xxxf

4)4

65)(

2

2

x

xxxf

5) 5

32)(

x

xxf 6)

13

3)(

x

xxf 7)

13

3)(

x

xxf 8)

5

4)(

2

x

xxf

9)5

32)(

x

xxf 10)

9

5)(

x

xxf 11)

3

1)(

2

x

xxf 12)

4

9)(

2

x

xxf

13) 25

42)(

2x

xxf 14)

25

42)(

2x

xxf 15)

25

42)(

2x

xxf 16)

1

4)(

2

2

x

xxf

17) 24x-xf(x) 3 18) xxf 28)( 19)

2

1)(

2

x

xxf 20)

1

12)(

2x

xxf

21) 45)( 24 xxxf 22)

4

3)(

2x

xxf

23)

45

2)(

24 xx

xxf

24) 6

62)(

2 xx

xxf

25) xx

xy

5

42

2

26)

0 xsi 5

o xsi 1

7

)( 2xxf

27) 3 1)( xxf

28)23

2 23

x

xxxy



R-MATCNSI 41

29)1

2

x

xy

30)

-1 xsi 5

-1 xsi 1

)( xxf 31)

92x

xy 32)

x

xy

1

33) )45(log 24

2 xxy 34)

2

2)(

x

xLnxf 35) 12

)( xexf 36) 110)( xxf

4º Composición de funciones y función recíproca 1º Dadas las funciones f(x)= x

2 + 1 y g(x)= x

3 , halla: a) (f o g)(x) b) (g o f)(x)

2º Dadas las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) =x3 escribe:

a) (f o f)(x) b) (f o g)(x) c) (g o f)(x) d) (f o (f o f))(x)

3º Dadas las funciones 93

2)(

xxf y 2)( xxg , calcular la expresión y el dominio de las

funciones f+g, f-g, f·g y f/g

4º Dadas las funciones del apartado anterior, realizar g o f y f o g, indicando el dominio de cada una

de ellas.

5º Sean las funciones 12)( xxf , 1)( 2xxg y

1

1)(

xxh , comprobar con ellas la

propiedad asociativa de la composición, es decir, que se cumple . Calcular

el dominio de la función resultante.

6º Calcula la función inversa de 45)( xxf y comprueba el resultado.

7º Calcula la inversa de la función 43

12)(

x

xxf , compruébalo y calcula los dominios de ambas.

8º Realizar las composiciones indicadas con las funciones propuestas:

a) 1x2xf , 3xxg 2,

2

5xxh

xgf , xgh , xhgf

b) 2x

3x3xf ,

1x2

1x2xg ,

x

1xh

xff 1 , xhf , xghf

c) xxf , 2x

1xg ,

3xxh

xhf , xgh , xfg , xgfh

9º Calcular la función recíproca de las siguientes funciones, comprobando el resultado:

a) 4x3xf b) 5x2xf c) 2

1xxf d)

3

2x5xf

e) 6

7x2xf f)

5

x21xf g)

7

9x2xf h)

9

2x7xf

i) 1x

2xxf j)

x1

2x3xf k) 2x3xf l)

2x

1xf



R-MATCNSI 42

2º Continuidad y derivabilidad Definición 1: Continuidad

Se dice que la función f(x) es continua en x = a sí se verifica:

a) La función está definida en x = a, es decir, f(a).

b) Existe f(x) ax

Lim . Para ello es necesario que f(x) y f(x) axax

LimLim y ambos sean iguales.

c) El valor del límite coincide con el valor de la función en el punto, es decir,

f(a) f(x)ax

Lim .

Por lo tanto, el valor de una función en un punto debe ser el que le asigna el límite en ese punto. De

no ser así se dice que la función f(x) es discontinua en el punto x = a.

Una función f(x) es continua en el intervalo a, b cuando lo es en todos los puntos del intervalo.

Clasificación de las discontinuidades:

Discontinuidad evitable en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando f(x) ax

Lim , pero no existe

f(a). Geométricamente corresponde a una gráfica que tiene un agujero en x = a.

Para hacer que la función sea continua en este punto basta con definir f(x) f(a)ax

Lim .

Discontinuidad de 1ª especie en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando y f(x) ax

Lim

f(a) , Pero toman valores distintos. Gráficamente corresponde a una gráfica donde el punto (a,

f(a)) está fuera de su lugar.

Discontinuidad de 2ª especie con salto finito en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando existen

los límites laterales en x= a pero toman valores distintos. Geométricamente corresponde a una

gráfica que en el punto

(a, f(a)) está rota y presenta una especie de escalón.

Discontinuidad de 2ª especie con salto infinito en x = a: Esta discontinuidad se tiene cuando alguno

de los límites laterales en x = a tiende a ó a - . Geométricamente la función tiene una asíntota

vertical en ese punto.

Definición 2: Derivabilidad

Se dice que la función f(x) es derivable en x = a si:

a) Es continua en x = a.

b) Existe f ´(a), es decir, existe f+´(a) y existe f-´(a) y son iguales

Aparte de los problemas de continuidad las funciones valor absoluto tienen problemas de

derivabilidad en los valores de x que anulan el interior del valor absoluto.



R-MATCNSI 43

Ejercicios

1º Dadas las siguientes funciones, estudiar su continuidad y derivabilidad

a)

x si x 2

f (x) 1 si 2 x 5

x 6 si x 5

b)

5x 2 si x 1

f (x) 2 si x 2

1x si x 2

2

c)

2x 4 si x 2

f (x) x 2

3 si x 2

d)

x 2 si x 3

f (x) x 2 si x 3

x 2

e)

1 si 8 x 4

f (x) x 2 si 4 x 2

8 si 2 x

x

f)

2x 4 si 4 x 4f (x)

2x 1 si x 4

g) 2

2x si x 0

f (x) x 1 si 0 x 4

1 si x 4

x 4

h) 2

x si 4 x 0

2

f (x) x si 0 x 2

x 6 si 2 x 4

2

i) 2

2

3 si x 2

3x 3 si 2 x 0f (x)

x 2x 3 si 0 x 3

x 9x 18 si x 3

j)

2 x4-x

6-3x

2x14x

1 x22

)(

x

xf

k)

2 x9- x

2x14x

1 x13

)(

2

x

xf

l) 0 xsi 32

0 xsi 1)(

2

x

xxf

2º Calcular los valores los parámetros para que la función sea continua en R. Estudiar la

derivabilidad para esos valores

1)

2 x33x

2x1 2

1 x1

)( bx

ax

xf

2)

2 x2x

2x1

1 x2

)( bx

ax

xf

2 x3x

2x1 1

1 x

)( )3 bx

ax

xf

0 si 2

0 si )( )4

xax

xexf

ax

0 sibx

0 si a5x-)( )5

2

2

xx

xxxf

0 si

0 si x -)( )6

3

xbax

xxxf

1 si )1(

1 0 si ln)( )7

1 xea

xxxxf

x



R-MATCNSI 44

3º Dada la siguiente función :

0 xsi

0 xsi 2 x

)(

k

xsen

xf

¿ Hay algún valor de k para el cual f(x) sea continua en x=0 ?

4º Considera la función 0 xsi 0

0 xsi )x

1sen(x)(

n

xf Siendo n un número natural

a) Demuestra que f es derivable en x=0 para n=2

b) Demuestra que f no es derivable en x=0 para n=1

5º Estudia analíticamente la continuidad y derivabilidad de las funciones:

0 xsi 12x

0 xsi 1

0 xsi x

x

)( º1

2 x

xf

1 xsi 1x1-x

1

1 xsi 1-x

)( º22

xf

-2 xsi 42x

44x

-2x5- si 2x

-5 xsi 5

)( º3

2 x

xf

0 xsi x

1

0 xsi 1

)( º42

xf

0 xsi x

x

0 xsix

)( º5 2 xxf

0 xsix -1

0 xsi e )( º6

-x

xf

2 xsi 6-3x

2 xsi 1)-ln(x )( º7 xf

3 xsi 23xx-

3x0 si 1

0 xsi

)( º8

2

xe

xf

3º Representar, escribir como una función a trozos y estudiar la continuidad y derivabilidad de:

a)f(x) = x2 - 1 . b) f(x) = sen x . c) f(x) = x

2 – 3x - 4 .

d) )2(log)( 2 xxf e) )1(log)(2

1 xxf f) 82)( 2 xxxf

4º Calcula el valor de "k" para que las siguientes funciones sean continuas:

a) 1> xsi kx-3

1 xsi 1+x=f(x)

2

b) 0 xsi

2

4x

0= xsi

=f(x)

23

2

xx

k

c)

x 1 si 3 kx

1 x si 1 x)(

2

xf

5º Estudiar la continuidad y representar gráficamente las discontinuidades de:

a)34

1)(

2

2

xx

xxf b)

6

4)(

2

2

xx

xxf c)

65

9)(

2

2

xx

xxf



R-MATCNSI 45

3º Límites 1.- Calcular los siguientes límites de funciones:

1. 2

43lim

2

2

1 xx

xx

x

2. 24

3

0

3lim

xx

xx

x

3. 1

26lim

3

2

2 x

xx

x

4.

x

x x

x

32

42lim

5. 2

22lim

2 x

x

x

6. 26

4lim

2

2 x

x

x

7. 62

21lim

3 x

x

x

8.

2

23

3lim

x

x x

x

9. 39lim 2 xxx

10. 9

1

3

1lim

23 xxx

11. 2

1

2 22

43lim

x

x x

x

12. xxx

2lim

13. 107

113lim

22 xx

x

x

14. 1

2

1

13lim

21 xx

x

x

15. x

x

x x

x12

53

23lim

16.

x

x x

11lim

17.

3

2

2

2

234

532lim

x

x

x xx

xx

18. 2

12

52

43lim

x

x x

x

19.

x

x x

xx

43

13lim

2

2

20. 223

2lim

2 x

x

x

21. 32

1lim

2

x

x

x

22. 11lim 22 xxx

23. 2

37lim

2 x

x

x

24. x

xx

1.lim 2

0

25.

x

x xxx

xxx

4410

8635lim

23

23

26. 96

9lim

2

3

3 xx

xx

x

27. x

xx1lim

0

28. x

x

x xx

xx1

3

3

2

410

8615lim

29. 11

2lim 2

1x

x

x

x

30.

1

2

2

1

11lim

x

x x

31. xxx

xxx

x 44

863lim

23

23

2

32. 1

3 2

3

23lim

x

x

x x

x

33. xx

x

x 1lim

2

34. 254

35lim

23

23

1 xxx

xxx

x

35.

x

x x

x3

3

4lim

36. x

x

x x

xx1

2

2

2

1

14lim

37. 2

2

x 24

53lim

xx

x

38. xx

x

x 32

65lim

4

39. 2

4

25

727lim

xx

xx

x

40. 2

2

2

2 31

12

8lim

n

n

n

n

n

41. 1

2

1

5lim

2 n

n

n

n

n

42. 294

3lim

2nn

n

n

43. 2

314lim

2

4

nn

nn

n

44. 3 4

2

12

5lim

nn

n

n

45. xxx

3lim

46. xxx

3lim

47. )12(14lim 2 xxx

48. 12

25lim

23 3 xxx

x

x

49.

x

x x

x3

4lim

50.

26

53

33lim

x

x x

x

51. 2

5

2

2

2

24

53lim

x

x

x xx

xx

52. 32

lim2

2

1 xx

xx

x



R-MATCNSI 46

4º Asíntotas

Verticales: Son rectas verticales x = a en las que se verifica que y a las cuales se acerca la

función sin llegar a cortarlas cuando se dispara hacia ó - . Están entre los valores para los que no existe

f(x).

Horizontales: Son rectas horizontales y = b a las que la función se acerca sin llegar a cortarla cuando x

tiende a hacia ó - . Se debe verificar que bxfLimx

)(

Hori Oblícuas: Son rectas de la forma y=mx+n a las que se acerca la cuando x tiende a hacia ó - .

para calcularlas x

xfLimmx

)( y ))(( mxxfLimn

x

Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2

3

32

37

xx

x b) f(x) =

x

xx 22

c) f(x) = x

x 12

d) f(x) =2

2

x

x e) f(x) =

1

62x

x f) f(x) =

5

452

x

xx

g) f(x) = 4

42

2

x

x h) f(x) =

5

112

x

x i) f(x) =

2

3

1 x

x

5º La derivada

1.- Tasa de variación media

Responde a la pregunta ¿cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la variable

x?.

Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo, medido en metros

es, S(t) = 3t2 – t + 1. Hallar la velocidad media entre t = 2 y t = 6 segundos.

Como la velocidad es la variación del espacio respecto del tiempo, se tiene:

2.- Tasa de variación instantánea

Es el límite de la tasa de variación media, cuando los intervalos donde se mueve la variable

independiente se hacen cada vez más pequeños. Estudia como varía la función en un punto.

Si la función varía positivamente es que por ese punto pasa creciendo, y si la función varía

negativamente es que por ese punto la función pasa decreciendo.

Ejemplo: La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es,

)(xfLimax

h

xfhxf

xx

xfxf

x

y )0

()0

(

12

)1

()2

(

mt

m 23 4

11103

26

)2()6(

mt

SS

x

y

h

xfhxf

xx

xfxf

xx

y )0

()0

(

0hLim

12

)1

()2

(

12x

Lim 0x

Lim i

t



R-MATCNSI 47

S(t) = 3t2 – t + 1. Hallar la velocidad del móvil en el instante t = 2.

1) S(2 + h) = 3(2 + h)2 – (2 + h) + 1 = 11 + 5h + 3h2

2) S(2) = 3.4 – 2 + 1 = 11

3) S(2 + h) – S(2) = 5h + 3h2

4) 3h 5 h

3h 5h

h

S(2) - h) S(2 2

3.- Derivada de una función en un punto

La derivada de una función en un punto x = a es:

Coincide con la tasa de variación instantánea de la función en el punto a.

Ejemplo: Calcula la derivada de la función en el punto xo = -1

4.- Función derivada

Se llama función derivada de la función f(x) y se escribe f ´(x) a la función:

Ejemplo: Calcular la derivada de la función .

5.- Interpretación geométrica de la derivada

Geométricamente la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a

la función en ese punto.

Pendiente de la recta tangente = mt = f ´(x0)

La ecuación de la recta tangente es:

y – f(x0) = f ´(x0)(x – x0)

Ejemplos:

1.- Calcular la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = 3x3 – 2x + 1 en el punto x0 = 2.

Necesitamos f(2) y f ´(2) = mt, f(2) = 3.8 – 2.2 + 1 = 21; f ´(x) = 9x2 – 2;

f ´(2) = 9.4 – 2 = 34

rt : y – 21 = 34(x – 2); 34x – y – 47 = 0

5 )35( 0

)2()2(

0hLim

it h

hLim

h

ShS

h

afhaf )()(

0hLim ´(a) f

3

2)(

x

xxf

2

3

2

3

0)2(

3

0

31

2

3)1(

)1(2

0

)1()1(

0)1(́

hhLim

hh

h

hLim

h

h

h

hLim

h

fhf

hLimf

h

xfhxf

ohLimxf

)()()(́

23)(x

6

)3)(3(

6

0)3)(3(

6

0

3

2

3)(

)(2

0

)1()(

0)(́

xhxhLim

hxhx

h

hLim

h

x

x

hx

hx

hLim

h

fhxf

hLimxf

X0

F(x0)

3

2)(

x

xxf



R-MATCNSI 48

2.- En qué punto de la gráfica de la función f(x) = x2 – 6x + 8 la recta tangente es paralela a la

bisectriz del primer cuadrante, (y = x). (Rectas paralelas significa que tienen la misma

pendiente).

La pendiente de la bisectriz y = x es m = 1, por lo tanto mt = 1

Como mt = f ´(x0), esto significa que f ´(x0) = 1, de donde 2x0 – 6 = 1 x0 = 7/2

Para calcular la segunda coordenada del punto sólo tenemos que sustituir este valor en la

función, y0 = f(x0) = f(7/2) = (7/2)2 – 6(7/2) + 8 = -3/4

El punto de tangencia es el punto P(7/2, -3/2)

6.- Reglas de derivación para las operaciones de funciones

cadena) la de (regla )´()).(´())).((´()))´((((

)(

)()´()().´(

)(

)(º3

)´().()().´())´().((2º )´()´())´()(( º1

2

xhxhgxhgfxhgf

xg

xfxgxgxf

xg

xf

xgxfxgxfxgxfxgxfxgxf

7.- Tabla de derivadas

f(x) = a f´(x) = 0 (a = constante)

f(x) = xn f´(x) = nx

n-1 (n = nº) f(x) = u

n f´(x) = un

n-1.u´ (u = f(x))

f(x) = n x f´(x) = n nxn 1

1 f(x) = n u f´(x) = ´.

1

1u

unn n

f(x) = Ln(x) f´(x) = x

1 f(x) = Ln(u) f´(x) = u´ .

u

1

f(x) = loga(x) f´(x) = ea.logx

1 f(x) = loga(u) f´(x) = .u´.log

u

1ae

f(x) = ax f´(x) = a

x.Lna f(x) = a

u f´(x) = a

u.Lna.u´

f(x) = ex f´(x) = e

x f(x) = e

u f´(x) = e

u.u´

f(x) = sen(x) f´(x) = cos(x) f(x) = sen(u) f´(x) = u´.cos(u)

f(x) = cos(x) f´(x) = -sen(x) f(x) = cos(u) f´(x) = -u´.sen(u)

f(x) = tang(x) f´(x) = )(cos

12 x

= sec2(x) = (1 + tg

2(x))

f(x) = tang(u) f´(x) = )(cos

12 u

.u´ = u´.sec2(u) = u´.(1 + tg

2(u))

f(x) = cotg(x) f´(x) = )(sen

1-2 x

= -cosec2(x) = -(1 + cotg

2(x))

f(x) = cotg(u) f´(x) = )(sen

1-2 u

.u´ = -u´.cosec2(u) = -u´.(1 + cotg

2(u))

f(x) = sec(x) f´(x) = tg(x).sec(x) f(x) = sec(u) f´(x) = u´.tg(u).sec(u)

f(x) = cosec(x) f´(x) = -cotg(x).cosec(x)

f(x) = cosec(u) f´(x) = -u´cotg(u).cosec(u)

f(x) = arc sen(x) f´(x) = 2x-1

1 f(x) = arc sen(u) f´(x) = .u´

u-1

1

2

f(x) = arc tg(x) f´(x) = 2x1

1 f(x) = arc tg(u) f´(x) =

2u1

1. u´

f(x) = arc cotg(x) f´(x) = 2x1

1- f(x) = arc cotg(u) f´(x) =

2u1

1-. u´



R-MATCNSI 49

EJERCICIOS. Tasa de variación. Aplicaciones de la derivada 1º El crecimiento de una población de bacterias sigue la ecuación p(t)=3t

2-2t+1. Calcular:

a) Velocidad media de crecimiento

b) Velocidad instantánea de crecimiento

c) Velocidad instantánea en el instante t=2

2 º El espacio recorrido por un móvil tiene la siguiente ecuación s(t)=2t2-8t+1. Calcular:

a) Velocidad media en el intervalo [2,4]

b) Velocidad instantánea


3 º El crecimiento de una población de micro organismos sigue la ecuación p(t)=5t2-3t+5. Calcular:

a) Velocidad media de crecimiento

b) Velocidad instantánea de crecimiento


4º Halla la T.V.M. de la función f (x) = –x2 + 5x – 3 en el intervalo [2, 2 + h] y, con el resultado

obtenido, calcula f ' (2).

5ºHalla la tasa de variación media de la función f (x) = ex en el intervalo [2; 2,001] y comprueba que

su valor está muy próximo a e2.

5º Ecuación de la tangente a las curvas de ecuación:

a) y=6x2-x-1 en x0=1

b) y=3x2+8 en (0,8)

c) y=6x3-4x

2+3 en (1,5)

d) f(x)=x2 en el punto x=2

e) en el punto x=0

f) 1 xsi2x -x

1 xsi 2 )(

2xf en el punto x=-1

g) 1 xsiLnx

1 xsi 24x-2x )(

2

xf en el punto x=-1

6º ¿En que punto de la gráfica de la función f(x)=x3+5x

2-8x+2 la recta tangente es paralela a la

recta y=5-8x?

7º ¿En que puntos de la gráfica de la función y=x3-x, la recta tangente es paralela a la recta y=2x-1?

8º ¿En que punto de la gráfica de la función f(x)=x2-6x+8 la tangente es paralela al eje de abscisas?

¿Y a la bisectriz del primer cuadrante?

9º Una recta tangente a la curva y = x3 tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0 , - 2).

¿Cuál es el punto de tangencia?

10 º Halla la ecuación de la tangente a la curva y = ln x que es paralela a la recta y = 3x – 2.

11º ¿Cuáles son los puntos singulares de las funciones y = sen x e y = cos x en el intervalo [0, 2π]?

12º ¿Tiene algún punto de tangente horizontal la función y = tg x?

13º Escribe la ecuación de la tangente a la curva f (x) = e2 – x

en el punto donde corta el eje de

ordenadas.

1 xsi x

1 xsi 1-x )(

2xf



R-MATCNSI 50

14º Determina el punto de la curva f(x) = x2 – 5x + 8 en el que la tangente es paralela a la bisectriz

del primer y tercer cuadrante. Escribe la ecuación de dicha tangente.

DERIVADAS Funciones no compuestas:

1) 323 3

3

23)( xxxxxf 2)

3

24 632

2

3

4)(

xx

xxxf 3)

3 22

31)(

xxxxxxxf

4) 4 3

42

5

23)(

x

xxxxxf

5) xxsenxxxf cos)( 2

6) tgxx

xxxf1

ln)( 3

7) xe

x

ctgxxf

3 2)(

8) xesenxexf xx cos)( 9) arcsenxxf x4)(

10) arctgxxxf )( 11) 14

25)(

2x

xxf 12)

x

x

ex

exxf )(

13) arcsenx

arctgxxxf )( 14)

arctgx

xxf

1)( 15)

3

ln)(

x

xxxf

16) xsenx

xsenxxf

cos

cos)( 17)

xsenx

ctgxtgxxf )( 18)

x

xx

xxf

lnln2

1)(

19) senxxexf x)( 20)

x

senxxxf

ln)(

3

21)

xexxf )(

Funciones compuestas:

1) 173 264 xxy

2) 63 24 xxy

3) 3 2 5

1

xy

4) 5

cos xsenxy

5) 3

arctgxxy

6) 3521 arcsenxxy

7) 3

12

1

xy

8) xsenxseny 33 2

9) )(coscos 33 xxy

10) )(ln senxy

11) xseny log

12) xx

xxy

cos

cos

13) 21 xarcseny

14)

3

5cos5

5cos5

xxsen

xxseny

15) 2

11arccos

xy

16) x

xarctgy

1

1

17) 2

2 1

x

xarcseny

18) xearcseny 1

19) 1ln 2xx eey

20) 6

1

5 xexy

21) x

arcsen

y

1

8

22) x

xy

2

2

cos1

cos1ln

23) 22)1( xxxarcseny

24) a

xarcsenaxay 22

25) a

xarcsenaxaxy 222

27) 422 ln24

2xxx

xy

28) 1ln 2xxy

29) )(ln)(ln xarcsenarcsenxy



R-MATCNSI 51

30) 21 x

xarcseny

31) x

xy

1

1lnlnln

32) xsensenseny 222

33) )(arccos

1cos

senxy

34) xxxy

35) xtgarctgy 2

36) y= sen4(x

3-

2xe )

37) x

senxy

38) 3x

arcsenxy

39) y= tgx.ln2x

40) y= 3 2 1x

41) y=x

senxx

4cos

2

42) y=cos5x-cosx

3-3

43) y=5.e4x

-2.3x+1

44) y=x2.lnx

45) )(tgxseny

46) )4ln(4=y x

47) 1+x

1)+Ln(x=y

48) y= cos x3 + cos

3x

49) y=ex.senx

50) 2

x)-(1=y

3

51) 2)+Ln(x =y

52) y= 3x+ x

3

53) 234

12

2

xx

xy

54) Lnx

xe=y

55) 54)+(x

5=y

56) y=x.senx+5.cosx

57) Lnx-x3.7=y

58) x+1

x-1Ln=y

59) 1x

1Ln=y

2

60) 1

arcsenxLn=y

2

2

x

61) 1

1

x

xy

62) tgxxey .2

63) 1-x

1+xsen=y

64) y=senx-1

senx+1Ln

65) )1(.2

5 xsenxy

66) y=senx.ecosx

67) tgxey x .2

68) ctgxxy 1.2

69) y=arctg(lnx)

70) y=ln(senx3)

71) x

x

e

ey

1ln

72) y=ln3(senx)

73) 1. 2xey tgx

74) )1(.52

xseny x

75) 2

xx eey

76) 1

322

2

x

xxy

77) )1(sen)1sen( 22 xxy

78) )1sen( 2xey

79) )12sen().1

1cos( x

x

xy

80) y = tg 3x + tg x3 + tg

3 x

81) y = e3x

. 12x

82) y =1

12

2

x

x

83) 1

1

10 x

x

y

84) x

xLny

)1( 2

85) )tg

sen1(

x

xLny

86) x

xxy

2

sen2

87) x

xy

2

2

sen1

sen1



R-MATCNSI 52

88) 4

32

3

x

xy

89) 3

12

2

x

xLny

90) 3

1

x

xLny

91) xy 5sen

92) 5sen xy

93) 52

3 )5(xyx

xy

2

2

cos1

cos1ln

94) f(x) = (2x4 + 5x

2 +5)

3 - 4 )25( xCos

95) f(x) = Ln3

3

52

52

x

x

96) f(x) = e6x-3

.Cos(7x)

97) f(x) = 75x

+ 7Tang( 35 2x

98) f(x) = )16(

)16(3

3

xLn

xLn

99) f(x) = )35(

)35(4

4

xLn

xLn

100) f(x) = (6x3 –2x

2 +5)

4 - 3 )43( xSen

101) f(x) = Ln3

3

25

25

x

x

102) f(x) = e3x-6

.tang(2x)

103) f(x) = 54x

+ 7Cos( 26 2x

104) 325 2

)( xxexf

105) )25cos().13()( xxsenxf

106) 3 )25tan()( xxf

107) 343 2

10)( xxxf

108) )84().63cos()( xsenxxf

109) 4 )24tan()( xxf

Problemas de funciones. Derivadas

1.- El elemento radio se descompone según la expresión Y(t) = n.e-0,0004t

, donde Y(t) es la cantidad

en gramos en el instante t, t es el tiempo en años, y n es la cantidad inicial en gramos. Si se

empieza con 500 gramos:

a) ¿Cuántos gramos quedarán al cabo de 500 años?

b) ¿Cuál será la velocidad de descomposición al cabo de t años?

c) ¿Cuál será la velocidad de descomposición a los 1000 años?

d) ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que la velocidad de descomposición sea igual a –0,1637?.

2.-a) Hacer un esquema de la gráfica de la función Y = x2 – 5x + 6, calculando sus máximos o

mínimos relativos y sus puntos de corte con el eje de abcisas.

b) Hallar el área comprendida entre la curva anterior, el eje de abcisas y las rectas x = 1 y x = 5.

3.- El número de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del pasado mes de enero ha venido

dado por la función:

Y(t) = 100 + 200e0,2t

donde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de enero de 1996.

a) ¿Cuántos enfermos había el 1 de enero?

b) Calcular la expresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución del

número de enfermos al cabo de t días

c) Determinar la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido igual a

803,42 enfermos/día.

4.- Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en miles de euros, viene

dada en función de la cantidad que se invierte, x, en miles de euros, por medio de la siguiente

expresión:

R(x) = –0,001x2

+ 0,04x + 3,5

a) ¿Qué cantidad de dinero se debe invertir para obtener la máxima rentabilidad?

b) ¿Qué rentabilidad se obtendrá?



R-MATCNSI 53

5.- El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es:

C (q) = 3q2 + 5q + 75 dólares

El coste medio por unidad es M(q) = C(q)/q

a) ¿Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo?

b) Calcula C(q) y M(q) para el valor de q que has hallado en el apartado a).

6.-La función f (x) = 9

602x

xy indica los beneficios obtenidos por una empresa desde que comenzó

a funcionar ( f (x) en miles de euros, x en años, x = 0 indica el momento de constitución de la

empresa).

a) Haz una representación gráfica aproximada de la función teniendo en cuenta el dominio

válido en el contexto del problema.

b) ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máximo? ¿Cuál es ese

beneficio?

c) ¿Perderá dinero la empresa en algún momento? ¿Es posible que llegue un momento en que

no obtenga beneficios ni pérdidas? Razona la respuesta.

7.-Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La

expresión que representa el número de clientes en función del número de horas que lleva

abierta, t, es N(t ) = 80t – 10t 2.

a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo? ¿Cuántos clientes hay en ese momento?

c) ¿A qué hora cerrará la discoteca?

8.- Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros)

dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión:

B(n) = –8n3

+ 60n2 – 96n

Determina razonadamente:

a) El número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.

b) El valor de dichos beneficios máximos.

9.- El número de personas ingresadas en un hospital por una infección después de t semanas viene

dado por la función: N(t ) =832

3502 tt

t siendo t 0

Calcula el máximo de personas ingresadas y la semana en que ocurre. ¿A partir de qué semana,

después de alcanzar el máximo, el número de ingresados es menor que 25?



R-MATCNSI 54

LIMITES L´HOPITAL

1. 675

252lim

2

2

2 xx

xx

x

2. xx

xx

x 23

3lim

4

23

0

3. x

senx

xlim

0

4. senxx

senxx

x 2

2lim

0

5. x

senxsen

x

)(lim

0

6. x

senx

x

1)cos(lim

0

7. 1

lnlim

1 x

x

x

8. senxx

x

xlim

0

9. x

xsen

x 4

)2(3lim

0

10. ))2ln(cos(

))3ln(cos(lim

0 x

x

x

11. senx

ee xx

x 0lim

12. x

e x

x

1lim

0

13. x

x

x

)1ln(lim

0

14. x

x

x

tanlim

0

15. x

xx

x 3

143coslim

0

16. x

senxx

x cos1

.lim

0

17. xx

xe x

x cos.

1lim

0

18. 2

lnlim

x

x

x

19. x

xx

x ln

122

1lim

20. 23lim

x

e x

x

21. )ln.(lim0

xxx

22. 4

2

0

2cos2lim

x

xx

x

23. senxxx

11lim

0

24. 20

1lim

x

ex x

x

25. senxx

xx

x 20

tanlim

26. 2

)1ln(lim

2 x

x

x

27. 2

2

0

32lim

x

ee xx

x

28. 1

21lim

1 x

x

x

29. 20

1lim

x

ex x

x

30. x

x

x

arctanlim

0

31. x

arcsenx

xlim

0

32. senxtgx

senxx

xlim

0

33. 20 )1(

cos1lim x

x e

x

34. 1

1)1ln(lim

0 xe

exx

x

x

35. xxx

1

)1ln(

1lim

0

36. 2

2

0

11lim

x

x

x

37. senxx

xee xx

x

2lim

0

38. 20

)2cos(1lim

x

x

x

39. x

xee xx

x 2cos1

2lim

0

40. 2

2

0

coslim

x

coxxx

x

41. 20

2)2(lim

x

xex x

x

42. xsenx

senxx

x

)1ln(lim

0

43. arcsenxx

xx

x 2

arctan2lim

0

44. xx

x

x 2ln 3lim

45. )1

(cotlim0 x

gxx

46.

xsenx

xsen

x 22

3

3lim

0

47. 320 2

1lim

xx

xe senx

x

48. xxsenx cos1

112

0lim

49. 1

1lim

2

22

0 x

x

x e

xexe



R-MATCNSI 55

6º Estudio y representación gráfica de funciones

Monotonía: Es el estudio del signo de la primera derivada en el dominio de la función. Se hace del

siguiente modo:

Obtenemos ceros y polos de f ´(x) y hacemos una tabla de signos para f ´(x) en el dominio de f(x).

Si f ´(xo) > 0 f(x) es creciente en el punto xo.

Si f ´(xo) < 0 f(x) es decreciente en el punto xo.

Si f ´(xo) = 0 xo es un posible máximo o mínimo relativo para la función f(x).

Máximos y mínimos (relativos): Son puntos x = a que anulan la primera derivada

(f ´(a) = 0) y en los cuales cambia la monotonía de la función. Para calcular los máximos y mínimos

de una función se puede seguir cualquiera de los dos métodos siguientes:

Método 1

a) Se hace la primera derivada de la función y se iguala a cero (f ´(x) = 0), obteniendo así los

puntos singulares (x = a) de la función, (posibles máximos o mínimos).

b) Se hace la segunda derivada de la función y se sustituyen en ella los puntos singulares antes

calculados, presentándose las siguientes posibilidades:

1ª) f ´´(a) > 0 En el punto (a, f(a)) la función tiene un mínimo relativo.

2ª) f ´´(a) < 0 En el punto (a, f(a)) la función tiene un máximo relativo.

3ª) f ´´(a) = 0 En el punto (a, f(a)) la función puede tener un punto de inflexión.

Método 2

a) Se estudia la monotonía de la función

b) En los puntos x = a donde la función cambia de forma continua, (que no haya en ellos una

asíntota vertical), de ser decreciente a ser creciente, la función tiene un mínimo relativo. En los

puntos x = a donde la función cambia de forma continua, (que no haya en ellos una asíntota

vertical), de ser creciente a ser decreciente, la función tiene un máximo relativo.

Curvatura: Es el estudio del signo de la segunda derivada en el dominio de f(x). Se hace del

siguiente modo:

Obtenemos ceros y polos de f ´´(x) y hacemos una tabla de signos para f ´´(x) en el dominio de f(x).

Si f ´´(xo) > 0 f(x) es cóncava hacia arriba en el punto xo.

Si f ´´(xo) < 0 f(x) es convexa en el punto xo.

Si f ´´(xo) = 0 xo es un posible punto de inflexión para la función f(x).

Puntos de inflexión: Son puntos x = a que anulan la segunda derivada (f ´´(a) = 0) y en los cuales

cambia la monotonía de la función. Para calcular los puntos de inflexión de una función se

puede seguir cualquiera de los dos métodos siguientes:

Método 1

a) Se hace la segunda derivada de la función y se iguala a cero (f ´´(x) = 0), obteniendo así los

posibles puntos de inflexión (x = a) de la función.

b) Se hace la tercera derivada de la función y se sustituyen en ella los puntos singulares antes

calculados, presentándose las siguientes posibilidades:

1ª) f ´´´(a) 0 En el punto (a, f(a)) la función tiene un punto de inflexión.

2ª) f ´´´(a) = 0 Hay que hacer la siguiente derivada de la función. Si la primera derivada que no

se anula en el punto x = a es una derivada de orden impar en el punto (a, f(a)) la función tiene

un punto de inflexión, y si la primera derivada que no se anula en el punto x = a es una derivada

de orden par, en el punto (a, f(a)) la función tiene un máximo o mínimo relativo dependiendo

del signo del número que quede al sustituir.



R-MATCNSI 56

Método 2

a) Se estudia la curvatura de la función

b) En los puntos x = a donde la función cambia de forma continua, (que no haya en ellos una

asíntota vertical), de ser cóncava a ser convexa, o viceversa, la función tiene un punto de

inflexión.

EJERCICIOS

1.- Estudia y representa la gráfica de las siguientes funciones:

2. Representa

)4()2)(5()( 2 xxxxf

f(x)= x4 – 8x

2 + 7

f(x)= 3x4 + 4x

3 – 36x

2

f(x) = x4

– 4x3 – 2x

2 + 12x

f(x)= x3 – 3x

f(x) = x4 – 2x

2

f(x) = x3 – 3x

2

f(x) = 3x4 – 4x + 1

f(x)= x4 + 2x

2

f(x)=x3-3x

2-9x

3. En la función y= x ekx , determina k para que en x=1 tenga un máximo.

4. Calcula los intervalos de concavidad, convexidad y puntos de inflexión de las curvas:

a) y=senx.cosx; x 0 2, ; b) y= e x2

; c) y=1

3x; d) y=

x

x

3

2 12

5. Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal en el punto de inflexión a las curvas

a) y x x x3 23 7 1 b) y= x4 1

8. Encontrar las funciones polinómicas dcxbxaxxf 23)( , cuya segunda derivada sea

1x . ¿Cuál o cuáles de ellas tienen un mínimo relativo en el punto (4, -1/3)?

9. Estudia el crecimiento y decrecimiento de las funciones:

a) y= 1

x; b) y= cot agx ; c) y=

e ex x

2; d) y= 2 3 12 103 2x x x

10. Estudia los máximos y mínimos de las funciones siguientes:

a) y= e x xx 2 82 ; b) y= x x x x4 3 26 12 10 8 ; c) y=x

x

2

2

1

1,d)y= x x4 28 3

11. La función y= ax bx2 6 se anula para x=1 y tiene un mínimo para x=2. Halla a y b.

12. Dada la función 135)( 23 xxxxf , calcula máximos y mínimos, intervalos de

crecimiento y decrecimiento. Estudia su curvatura.

13. Determina k para que la función x

kxxf )( tenga un máximo para 1x

14. Demostrar que la función 1

1ln

x

xy es creciente en todo su dominio.



R-MATCNSI 57

15. Determina, de forma razonada, todas las funciones f que sean polinómicas de tercer grado y que

verifiquen 0)1()1( '' ff . ¿Puede existir alguna de las funciones determinadas

anteriormente que verifique 0)1()0( ff ?

16. Estudia el crecimiento de la función xe

xxxf

32)(

2

. Determina, si existen, sus máximos y

mínimos relativos.

17. Estudia el tipo de curvatura y la existencia o no de puntos de inflexión de las siguientes

funciones:

a) 23 92)( xxxf b) x

xf2

)( c) 812)( 24 xxxf

d) 4)( 2xxf e) xexxf 2)( f) )4ln()( xxf

18. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3 – 24x

2 + 72x – 15 en su punto de

inflexión.

19. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 4x3 – 12x

2 – 10 en su punto de inflexión.

20. Estudiar y representar las siguientes funciones:

1) f(x) = x4 –2x

2 2) f(x) = 3) f(x) =

4) f(x) = 5) f(x) = 6) f(x) =

7) f(x) = 8) f(x) = 9) f(x) =

10) f(x) = 1

222

x

xx 11) f(x) =

2

3

)1(x

x 13) f(x) =

1

542x

x

14) f(x) = x +1 - x

2 15) f(x) = e

2x+1 16) f(x) = Ln(x – 3)

17) f(x) = Ln(x2 -4) 18) f(x)= 19) f(x)=

20) f(x)= 21) f(x)=ex(x-1) 22) f(x)=

23) f(x)=x.ex

x

xx 22

x

x 12

2

2

x

x

1

62x

x

5

452

x

xx

4

42

2

x

x

5

112

x

x2

3

1 x

x



R-MATCNSI 58

APLICACIONES DEL ESTUDIO DE FUNCIONES

Problemas de funciones con parámetros Criterios para determinar el valor de los coeficientes de una función bajo diferentes

condiciones de monotonía y curvatura

a) Si f(x) pasa por el punto (x0, y0) Significa que f(x0) = y0.

b) Si f(x) tiene un máximo o un mínimo relativo en x0 Significa que f’(x0) = 0.

c) Si f(x) tiene un punto de inflexión en x0 Significa que f’’(x0) = 0.

d) Si la recta tangente en x0 tiene de pendiente m Significa que f’(x0) = m (que dos rectas sean paralelas significa que tienen la misma pendiente).

La aplicación de estas condiciones dará lugar a un sistema de ecuaciones que hay que resolver.

Realiza los siguientes ejercicios:

1) Calcula los valores de a, b y c para que la siguiente función f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo en el punto (0, 2) y un punto de inflexión en x0 = 2.

2) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo relativo en x0 = 2, un punto de inflexión en (-1, 0) y su recta tangente en x0 = 0 sea y = 3x + 1.

3) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, -1) y un máximo relativo en (1, 0).

4) Calcula los valores de a, b, c, d y e para que la función f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e tenga un punto de inflexión en x0 = 0 y en ese punto su recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante (y = x), que tenga un mínimo relativo en el punto (-1, 0) y un máximo relativo en x0 = 2. . Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, -1) y un máximo relativo en (1, 0).

5) Calcula los valores de a, b, c, y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexión en x0 = 0 y en ese punto su recta tangente es y=x y tenga un mínimo relativo en el punto (-1, 0). 14.

6) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un mínimo relativo en (0, 2) y un máximo relativo en (-1, 0).

7) Calcula los valores de a, b, c, y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un punto de inflexión en x0 = 0 y en ese punto su recta tangente es y = 2x y tenga un mínimo relativo en el punto (1, 0).

8) Calcula los valores de a, b y c para que la siguiente función f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un mínimo en el punto (0, 2) y un punto de inflexión en x0 = 2.

9) Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo relativo en x0 = 2, un punto de inflexión en (-1, 0) y su recta tangente en x0 = 0 tenga de pendiente 3.

10) . Calcula los valores de a, b, c y d para que la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un máximo relativo en x0 = 1, un punto de inflexión en (2, 0) y su recta tangente en x0 = 0 tenga de pendiente 2.



R-MATCNSI 59

11) .La función y= x mx nx p3 2 tiene un máximo en x=-1 y un mínimo en x=3 y pasa

por (0,5). Halla m, n, p.

12) La función y= ax bx cx d3 2 pasa por (1,7); tiene sus extremos en x=0 y x=4 y un punto de inflexión en x=2. Calcula a, b, c, d.

13) Sea la función y= ax bx cx d3 2 . Calcula a, b, c, d para que tenga un máximo en (-1,20) y un mínimo en (3,-12).

14) La función y= x mx nx p3 2 pasa por el punto (-1,0), tiene un mínimo en x=1 y un

punto de inflexión en x=-1/3. Calcula m, n , p.

15) La función f(x)= x ax x b3 2 4 tiene un punto de inflexión en x=2/3 y se anula en x=3. Calcula los valores de a y b y los extremos de la función.

16) Halla un polinomio de tercer grado cuyo coeficiente del término de grado 3 sea 1,con un punto de inflexión en (1,1) y que como tangente en ese punto tenga a la recta x+y=2.

17) Determina la parábola y = ax2 + bx + c que es tangente a la recta y = 2x – 3 en el punto A(2, 1) y que pasa por el punto B(5, –2).

18) La curva de la figura representa a la función f(x) = edx

cbxax 2

.

Obtén el valor de a, b, c, d, e a la vista de la gráfica.

Problemas de máximos y mínimos

Para hacer problemas de máximos y mínimos debes seguir los siguientes pasos: 1) Dibuja el elemento geométrico y nombra sus lados. 2) Plantea una ecuación que relacione las variables y una función que hay que optimizar. 3) Despeja en la ecuación una variable en función de la otra y sustitúyela en la función. 4) Calcula los valores de x que hacen máxima o mínima la función, según se pida. Para

ello haz la primera derivada, iguálala a cero con lo que obtienes los puntos críticos de esa función (posibles máximos o mínimos). Haz la segunda derivada y sustituye en ella los puntos críticos. Si al sustituir te queda un valor positivo, para ese valor hay un mínimo, y si al sustituir te queda un valor negativo, para ese valor hay un máximo.

ÁREAS Y VOLUMENES (PARA PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

Paralelogramo Triángulo Trapecio

b= base

h= altura

B

Área = b . h Área =2

h.b Área= h.

2

bB

b

h h

b

b

h



R-MATCNSI 60

Polígono regular Sector circular Círculo

Área=2

a .perímetro Área Sector=

360º

r 2 2

Área= 2r

Perímetro= r 2

Prisma regular recto Pirámide regular recta Cilindro

SL= Superficie lateral

PB= Perímetro de la base

SL=Superficie lateral

la altura: es la perpendicular

desde el vértice a la base.(h)

la apotema: es la altura del

triángulo de una cara (ap)

Área lateral : SL = PB . h

Área total : ST = SL +2 SB

Volumen: V = SB . h

Área lateral: 2

. PBL

aPS

Área total: BLT SSS

Volumen: hSV B .3

1

Área lateral : SL = PB . h = 2 rg

Área total : ST = SL + 2 SB =

2 r (g+r)

Volumen: V = SB . h = r2 h

Cono Esfera

Área lateral: 2

. PBL

aPS = rg

Área total: BLT SSS =

= r (g+r)

Volumen: hSV B .3

1=1/3 r

2 h

Superficie: S = 4 R2

Volumen: V = 4/3 R3

EJERCICIOS: 1º Dividir el número 8 en dos sumandos no negativos, tales que el cubo del primero mas el

cuadrado del segundo dé el mínimo valor posible.

2º Dos números no negativos suman 40. ¿Cuál es el mínimo valor que pueden tomar la suma del cubo del primero más el triple del cuadrado del segundo, y cuánto valen los números en este caso?

3º En una amplia pradera atravesada por un camino recto se quiere vallar un campo rectangular tomando como uno de sus lados el camino. Se sabe que el metro de valla del lado del camino vale a 100 € el metro y la de los otros lados a 20 € el metro. ¿Cuál es la medida del mayor campo que se puede vallar con 36000 €?

r

α

a

g=h

r

r

g

h

r



R-MATCNSI 61

4º Dos números no negativos suman 10 . ¿ Hallar el máximo y el mínimo del producto del cubo de uno de ellos por el cuadrado del otro?

5º Se quiere construir una ventana rectangular con 2 m2 de luz. Se sabe que el precio del marco vertical es de 80 €/metro y el horizontal 10 €/metro. ¿Cuáles serán las medidas del marco más económico?

6º Se quieren vallar dos campos de deporte rectangulares iguales con un lado común con 600 m de valla (se trata de vallar el contorno de ambos y el lado de separación). Halla las dimensiones si el cercado encierra una superficie máxima.

7º Dividir un segmento de 60 cm con la condición de que los dos triángulos equiláteros construidos sobre ellos sean mínimas.

8º De entre todos los rectángulos de perímetro 28 . ¿Cuál es el que tiene mayor área?

9º La suma de todos los lados de un prima recto de base cuadrada es 72 x Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo Volumen prisma = área base . altura

Área cuadrado = Lado. Lado

10º De entre todos los rectángulos de perímetro 40 cm determinar el que tiene la diagonal menor.

11º Se desea cercar un terreno rectangular de 60m2 . Si la tela metálica cuesta 200 pts el metro . Determinar las dimensiones para que el gasto sea mínimo.

12º Las cinco caras de un estanque de base cuadrada tienen un área de 192m2. Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo. Volumen prisma = Área de la base . altura

Área cuadrado = lado. lado Área rectángulo = base . altura

13º Hallar el volumen máximo del cono que puede generar un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos , sabiendo que dichos catetos suman 12.

14º De una pieza de cartón de 12cm de lado se recorta un cuadrado en cada esquina , para formar , doblando los bordes , una caja de base cuadrada. Calcular la longitud de los lados de los cuadrados que se deben cortar, para que la caja tenga capacidad máxima.

12

15º Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.

16º Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.

17º Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo

y

y

x

x

x

x

y

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x

x

12-2x



R-MATCNSI 62

18º Un rectángulo de perímetro 12 gira alrededor de un lado y genera un cilindro, calcular las dimensiones del rectángulo para que el volumen del cilindro sea máximo.

Volumen cilindro = Área de la base . altura

19º Un rectángulo de perímetro 20 gira alrededor de un lado y genera un cilindro, calcular las dimensiones del rectángulo para que el volumen del cilindro sea máximo.

Volumen cilindro Área de la base . altura

Área del círculo r2

20º La suma de todos los lados de un prima recto de base cuadrada es 48

Calcular las dimensiones para que el volumen sea máximo Volumen prisma = área base . altura Área cuadrado = Lado. Lado 21º De entre todos los rectángulos de perímetro 20 cm determinar el que tiene la diagonal

menor.

22º Se quiere construir una pista de entrenamiento que consta de un rectángulo y de dos semicírculos adosados a dos lados opuestos del rectángulo. Si se desea que el perímetro de la pista sea de 200 m, halla las dimensiones que hacen máxima el área de la región rectangular

23º Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima.

24º Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

25º Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las

dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

26º Con una cartulina de 8X5 metros se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

27º Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre los postes. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible?

28º Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los lados cuadrangulares

29º Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máxima

30º Una empresa inmobiliaria ha decidido convertir un hotel en 65 estudios.

Alquilando a 600€ cada estudio, conseguiría alquilarlos todos, y por cada 20€

que aumente el alquiler, alquilaría uno menos. Si cada estudio alquilado requiere 60€ mensuales

de gastos, ¿a cuánto debe alquilarlos para obtener máximo beneficio?.

y y

x



R-MATCNSI 63

EJERCICIOS DE PAU

1.- Dada la curva de ecuación y = 1/x. Comprobar que el segmento de la tangente a dicha curva en

el punto ( 3, 1/3), comprendido entre los ejes de coordenadas, está dividido en dos partes iguales

por el punto de contacto.

2.- Dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + 5, se considera la recta r que une los puntos de esa

parábola de abscisas x1 = 1, x2 = 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola que es

paralela a la recta r.

3.- Estudiar y representar gráficamente: y = x3 – 3x + 2.

4.- Representar esquemáticamente la gráfica de y = ex/x, determinando para ello sus extremos

relativos, si los tiene, sus intervalos de crecimiento o de decrecimiento, puntos, límites, etc...

5.- Dada la función , se pide:

- Determinar los valores de x para los que está definida.

- Hallar su derivada.

6.- Si P es un punto cualquiera de la gráfica y = 1/x, probar que el triángulo formado por la recta

OP, la tangente a esa gráfica en el punto P y el eje Y 0 =, es isósceles. (O es el origen de

coordenadas).

7.- Razonar por qué la gráfica de la función f(x) = 2x + cosx no puede presentar extremos relativos.

8.- Obtener los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

9.- Dada la función

Dibujar su gráfica indicando su dominio de definición.

10.- Obtener los extremos relativos y absolutos así como los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función f(x) = senx + cosx en el intervalo cerrado 0, 2 .

11.- Sea f(x) = x3 + ax

2 + bx + 7. Hallar a y de b de manera que la curva y = f(x) tenga para x = 1

una inflexión con tangente horizontal.

12.- Estudiar y representar gráficamente la función .

13.- Hallar los puntos de la curva y = 3x2 – 5x + 12 en los que la tangente a esta pasa por el punto

(0, 0). Hallar también las ecuaciones de dichas tangentes.

14.- Representar gráficamente la función , estudiando su crecimiento, extremos

relativos y asíntotas.

15.- Sea f(x) la función . Hallar a y b para que f sea

senx - 1

senx 1 log xf

3 2 3 2x x f(x)

2

2

x- 9

2x y

2 x- 1

x y

4 - x

x f(x)

2

3

0 xsi b ax x-

0 x si senx f(x)

2



R-MATCNSI 64

continua y derivable en el punto x = 0. Para los anteriores valores de a y b, analizar si f(x) tiene

inflexión en el punto x = 0.

16.- Dada la función , hallar:

1.- Dominio de existencia

2.- Representación gráfica.

17.- Hallar un polinomio cuya derivada sea x2 + x – 6, y tal que el valor de su máximo sea tres

veces mayor que el de su mínimo. (Jun. Opt. 1992)

18.- Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 20m de

alambre para rodearlo, ¿qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor

superficie posible?.

19.- Hallar los valores de a, b y c en el polinomio P(x) = ax2 + bx + c de forma que P(1) = 4,

P´(1) = 8, P(2) + 15P(0) = 0. Representar la función.

20.- Representar la función y = x 2

– 7x + 10 e indicar en qué puntos no es derivable.

21.- Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R en cada uno

de los casos siguientes:

1.- El volumen del cilindro es máximo.

2.- El área lateral del cilindro es máxima.

22.- Dada , considérese la función g(x) = f(x) + cx. Determinar los valores de c

para los que la función g(x) es creciente para todo x.

23.- Se Considera la función y = x 3/2

: Dibujar su gráfica y calcular la ecuación de la recta tangente

en x = 1 a la gráfica.

24.- Representar gráficamente la función f(x) = Ln(4 – x2), estudiando su crecimiento, extremos

relativos y asíntotas.

25.- Derivar la función .

26.- Sea f una función de la que sabemos que la gráfica de su derivada f´ tiene la forma que aparece

en la figura.

f´

0 1 2

Determinar si f tiene máximos, mínimos (relativos) o puntos de inflexión en los puntos con

abscisa x = 1 y x = 2.

Lnx x

1 f(x)

2 x 1

1 f(x)

x- 1

x 1 arctg y



R-MATCNSI 65

27.- Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica f(x) = 2x3 - 6x

2 + 4 en su punto de inflexión.

28.- Representación gráfica de la función , estudiando máximos, mínimos, puntos

de inflexión, concavidad y convexidad.

29.- En la figura se representa la gráfica de la derivada f´ de cierta función f.

f´

1 2

0

Con este dato, determinar si existen máximos, mínimos (relativos) o puntos de inflexión de f en

los puntos de abscisa x = 1 y x = 2.

30.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función .

31.- Calcular los máximos y mínimos de la función y = xe–x

, así como sus intervalos de crecimiento

y decrecimiento, concavidad y convexidad.

32.- Hallar el valor de la constante b para que la función f(x) = x3 – 2x

2 + bx tenga por tangente en

el origen a la bisectriz del primer cuadrante.

33.- Dada la función y = ax4 + 3bx

3 –3x

2 –ax, calcular los valores de a y b, sabiendo que la función

presenta dos puntos de inflexión, uno en x = 1 y otro en x = ½.

34.- Sea . Hallar su única asíntota y calcular los puntos de corte de la gráfica f(x)

con la asíntota, si es que existen.

35.- Descomponer el número 100 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más

tres veces el cuadrado del segundo sea mínimo.

36.- Se divide una cuerda de longitud 1 en dos partes, no necesariamente iguales, para construir un

cuadrado y una circunferencia. Probar que de todas las posibilidades, la que encierra un área

total mínima surge cuando el radio del círculo es la mitad que el lado del cuadrado.

38.- Representar la gráfica de la función , estudiando máximos y mínimos,

asíntotas, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

39.- Dada la función p(x) = ax3 + bx

2 + cx + d, determinar el valor o valores de los parámetros a, b,

c y d para que dicha función tenga un mínimo relativo en x = 2 y probar que todas tienen un

punto de inflexión con la misma abscisa.

40.- Se considera la función , calcular su máximo justificando la

respuesta.

1 - x

x y

2

3

3 -2x

5 4x y

1 -2x

3 y

x- 4

x y

2

1 1,- x o

0 1,- x )1(

1 0, x )1(

)( 2

2

x

x

xf



R-MATCNSI 66

7º Integrales

Lo primero que debes hacer es determinar a cual de los siguientes tipos pertenece la integral:

1) Integrales inmediatas:. Son las que se resuelven utilizando una fórmula de la tabla. Pueden

ser de los siguientes tipos:

a) Potenciales:

Se diferencian porque tienen una función (casi siempre un polinomio) elevada a un número

Se trata de conseguir dentro de la integral la derivada de la base de la potencia. Esto siempre

se consigue multiplicando o dividiendo por un número.

Se resuelven utilizando las siguientes fórmulas: cn

xdxx

nn

1

1

; cn

udxuu

nn

1.

1

,

para todo n -1.

b) Logarítmicas:

Se diferencian porque tienen numerador y denominador. En el denominador hay una

función de potencia uno y en el numerador está la derivada del denominador.

Se trata de conseguir en el numerador la derivada del denominador. Esto siempre se

consigue multiplicando o dividiendo por un número.

Se resuelven utilizando la fórmula: cuLndxu

u

c) Exponenciales:

Se diferencian porque tienen un número en la base (casi siempre el número e) y una

función que depende de x en el exponente.

Se trata de conseguir la derivada de la función del exponente. Esto siempre se consigue

multiplicando o dividiendo por un número.

Se resuelven utilizando las fórmulas: cLna

adxau

uu. ; cedxeu uu.

d) Trigonométricas:

Se diferencian porque hay que integrar funciones: seno, coseno, sec2 ó cosec

2.

Se trata de conseguir la derivada del ángulo de la función trigonométrica. Esto siempre se

consigue multiplicando o dividiendo por un número.

Se resuelven utilizando las fórmulas:

cudxusenu )cos()(. cusendxuu )()cos(

cudxuu )tan()(sec. 2 cuandxuecu )(cot)(cos. 2

e) Arcos:

Se diferencian porque en el denominador pone nº + (algo)2, ó 2)lg(º oan

Se trata de conseguir en el numerador la derivada de (algo). Esto siempre se consigue

multiplicando o dividiendo por un número.

Se resuelven utilizando las fórmulas:

cuArctagdxu

u)(

1 2 cuArcsendx

u

u)(

1 2

2) Método de integración por partes: Son



R-MATCNSI 67

asrelacionad no funcines dos de producto Arc, ,Ln

Se resuelven tomando partes dentro de la integral del siguiente modo

Se llama U = LA PARTE dU = (se hace el diferencial de U)

Se llama dV = todo lo restante V = dV

Una vez tomadas las partes se aplica la fórmula dU V - V U dV U

3) Integrales de funciones racionales:. Son Polinomio

Polinomio y el polinomio del numerador no

es la derivada del polinomio del denominador.

Pueden ser de dos tipos:

1.- Si grado de numerador grado del denominador. Entonces se divide y se aplica la fórmula

I = divisor

resto cociente

2.- Si grado de numerador < grado del denominador. Entonces se descompone el polinomio del

denominador como producto de factores primos, y según sean sus raíces podemos tener los

siguientes casos:

* Raíces reales simples, Q(x) = (x – x1)(x – x2)...

21Q(x)

P(x)

xx

B

xx

A..., todas estas integrales son Ln, I = A.Ln x – x1 + B.Ln x – x2 +...

* Raíces reales múltiples, Q(x) = (x – x1)3(x – x2)

2(x – x3)...

322

212

1

3

1 )()()(Q(x)

P(x)

xx

F

xx

E

xx

D

xx

C

xx

B

xx

A...estas integrales son Ln o

potenciales,

I = ... 1

)(

1

)(

2

)(32

1

2

1

1

1

2

1 xxLnFxxLnExx

DxxLnCxx

Bxx

A

* Raíces complejas, Q(x) = (ax2+bx+c)(x – x1)..., donde las raíces de ax

2+bx+c son números

complejos de la forma m ni, donde m es la parte real de las raíces y n es la parte imaginaria.

122 x-x

A

nm) -(x

N Mx

Q(x)

P(x)+..., la primera de estas integrales se resuelve utilizando la fórmula,

n

m -x Arctang

n

N Mmc bx axLn

2

M dx

nm) -(x

N Mx 2

22+ C

d) Integrales trigonométricas no inmediatas

1.- Algunas se resuelven utilizando las fórmulas de trigonometría y descomponiendo

2.- Las restantes se hacen mediante cambios de variable

2.1.- Integrales con sumas y restas: Se cambia tang(x/2) = t, de donde Senx = 21

2

t

t

Cosx = 2

2

1

1

t

t, y dx =

21

2

t

dt

2.2.- Integrales con productos y/o divisiones:

2.2.1.- Impares en seno: Se cambia cosx = t, de donde senx = 21 t , y dx = 21 t

dt



R-MATCNSI 68

2.2.2.- Impares en coseno: Se cambia senx = t, de donde cosx = ,dx = 21 t

dt

2.2.3.- Pares en seno y coseno: Se utilizan las fórmulas cos2x =

2

2cos1 x

sen2x =

2

2cos1 x y sen2x = 2senx.cosx

2.2.4.- Potencias de tang o de cotang: Se utilizan las fórmulas tang2x = Sec

2x – 1

cotang2x = Cosec

2x –1 (Recordar que Sec

2x es la derivada de tangx)

2.2.5.- Transformación de productos en sumas: Se utilizan las fórmulas siguientes

)()(2

1.

)()(2

1.

)()(2

1.

CosCosSenSen

CosCosCosCos

SenSenCosSen

e) Integrales de funciones irracionales: Se hacen todas por cambio de variable

1.- Si hay sumas y/o restas y x está elevado a uno, se cambia x = tmcm de los índices

2.- Raíces de polinomios de grado dos, cbxax2

2.1.- Si a>0, se cambia taxcbxax2

2.2.- Si a<0 y c>0, se cambia cxtcbxax2

2.3.- Si a<0 y c<0, se cambia ))((2 xxacbxax , donde alfa y beta son las raíces de

la ecuación.

EJERCICIOS

1.- Cálculo de integrales

a) Realizar las siguientes integrales inmediatas:

1. dx45x3x 2

2. dx16x10xx 345

3. dxxxxxx )1346( 2335 3

4. dx2x

3x

x

3x

32

3

5

2

5. dxx

xx5

2

6. dxx

xxx2

44 3 8256

7. dxx

xxxx 53453 234

8. dxx

1x3

9. dxx

2x2

10. dx3x22

11. dx1xx3

2

12. dxxxx 52 )56)(3(

13. dxxxx4 2 84)2(

14. dxxxx

xx423

2

)233(

12

15. dxx1

2x

2

21 t



R-MATCNSI 69

16. dx23x

6

17. dxxxx

xx

5 23

2

933

5105

18. dx52xx

1x

2

19.

20. dx5)(x

12

21. dx13x

22

22. dxxcos

2tgx72

23. dxxCosxSen )13()13(3

24. dxcosxe senx

25. dxsenxcosx

26. dxxcos

tgx

2

27. dxx

lnx

28. dxx1

arctgx2

29. dxx1

xarcsen

2

2

30. dxx

xln 2

31. dx1e

ex

x

32. dxx

lnx

33. dxxxln

12

34. dx9x

x2

35. dxe1

e2x

x

36. dx23x

1

37. dxtgx

xtg1 2

38. dx3sen2x

39. dxxsenx 2

40. dxxx

xxx

24

)2)(24sen(

2

2

41. dxxx

xe xx

16

3

2

162

42. dxxxxxx )3)(16cos(10 2)16sen( 2

43. dxxxx )5()110(sec 22

44. dxxx

xxx

)74sen(

)2)(74cos(2

2

45. dxx

x

2

))2sen(ln(

46. dx2xsen

cos2x3

47. 3

)3cos(7

x

xdx

48. dxxxSecxe xxtan )52()1( 22)52( 2

49. dxXxx )1)(32(sec 22

50. dxe

ex

x

)(cos 122

12

51. dxxxtanx ))94(1)(2( 22

52. dxx 22x

1))-sen(artg(x2

53. dxxx

x

3 )3(cos 222

54. dxx

x

241

))2(sen(arcsen

55. dxxx )1sen())1sen(cos(

56. dxe3x

dxx4x 2



R-MATCNSI 70

57. dxe 52x

58. dxxe2x

59. dxxxtan )24(sec10 2)24(

60. dxx

e x

x

2

1

1

)1(

1

61. dxx

xx )sen(ln2 )cos(ln

62. dx9x

12

63. dxx1

x4

64. dxxsen1

cosx2

65. dxx

x24

65

66. dxx

x25

73

67. dxx1

x

4

68. dxx4

1

2

Calcular las siguientes integrales por partes:

1. dxe x 2/

2. dxLnxx 23 )(

3. xdxx 2cos3

4. dxex x52

5. dxxSenx )13(2

6. dxxArctangx.

7. dxxArc .sen

8. dxCose x 52/

b) Calcular las siguientes integrales de funciones racionales:

1. dxxx

x

3

22

2. dxxxx

xx

2

1323

3

3. dxxxx

x

)2)(3(

32

4. dxx

x

1

52

2

5. dxxx

x

44

12

6. dxxx

x

1

62



R-MATCNSI 71

EJERCICIOS DE PAU

1.- Calcular

2.- Determinar f(x) sabiendo que f ´´´(x) = 24x, f(0) = 0, f ´(0) = 1 y f ´´(0) = 2.

3.- Calcular la integral .


5.- Calcular .

6.- Calcular la primitiva de la función f(x) = (Lnx)2, que se anula en x = e.

7.- Calcular .

8.- Calcular .

9.- Calcular .

10.- Calcular el valor de la integral .



13.- Calcular

14.- Calcular el valor de la integral definida .

dx e . x ,dx 9 x

x 2x-3

2

1)dx -2x - (xe 2x

dx xcos

2tangx 7

2

xdxex sen

1

0dxxarctgx F(x)

2senxdxx F(x)

3

0

2 dx x1x F(x)

dxex x 35

dxx

x

9

1

2

dxx cos 2

1

0

222 dx xbax

2/2 cos

o

x dxxe



R-MATCNSI 72

CÁLCULO DE ÁREAS

a) Se igualan las funciones que nos dan con el objetivo de calcular los límites de integración, ó

de ver si hay otros además de los que nos da el ejercicio. Se obtiene: x = a; x = b.

b) Se dibujan las funciones para ver cuál es la que limita el área superiormente y cuál la limita

inferiormente. Otra posibilidad es sustituir en las dos funciones un valor de x que esté situado

entre los límites de integración para ver cuál de las dos funciones alcanza un valor mayor.

c) Se plantea el área o las áreas siguiendo la siguiente fórmula:

Área = )()()( aFbFxForfunciónmenorfunciónmaya

b

a

b

Ejercicos

1º Halla el área comprendida entre y = x3 – x

2 – 2x y eje X.

2ºHalla el área encerrada entre las gráficas de las funciones siguientes:

f (x) = x3 – x

2 + 4

g (x) = x2 + 3x + 4

3º Halla, en cada caso, el área limitada por:

a) f (x) = x2 – 4, el eje X y las rectas x = 0 y x = 2.

b) f (x) = 2x – x2, el eje X y las rectas x = –1 y x = 1.

c) f (x) = x2 – 2x – 3 y el eje X.

d) f (x) = 1 – x2, el eje X y las rectas x = –2 y x = 2.

e) f) f (x) = x2 + 1, el eje X y las rectas x = –1 y x = 3.

4º Calcula el área comprendida entre las curvas:

a) y = x2; y = x b)y = x

2; y = 1

c) y = x2; y = x

3 d) y = x

2; y = –x

2 + 2x

e) y = 2x2 + 5x – 3; y = 3x + 1 f ) y = 4 – x

2; y = 8 – 2x

2; x = –2; x = 2

5ºCalcula el área de los recintos limitados por:

a) La función f (x) = x2 – 2x + 1 y los ejes de coordenadas.

b) La curva y = x3, la recta x = 2 y el eje X.

6º Calcula el área comprendida entre las curvas:

a) y = x2

e y = 3 – 2x

b) y = 4 – x2 e y = 3x

2

c) y = x e y = x2 – 2

d) y = 4 – x2 e y = x2 – 4

e) y = (x + 2)2 (x – 3) y el eje de abscisas.

7º Calcula el área limitada por las siguientes curvas:

a) y = x3 + x

2; y = x

3 + 1; x = –1; x = 1

b)y = x2; y = 1 – x

2; y = 2

c) y = x(x – 1) (x – 2); y = 0

d)y = x2 – 2x; y = x

e) y = x3 – 2x; y = –x

2

f ) y = 2x – x3; y = x

2



R-MATCNSI 73

EJERCICIOS DE PAU

1.- Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación y = x2 – 4x, y el eje y = 0.

2.- Calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x) = Lnx, el eje OX y la recta tangente

a dicha gráfica en el punto x = e.

3.- Hallar el área de la región comprendida entre las parábolas y = x2 , y = -2x

2 + 3.

4.- Encontrar un número a > 1 para que el área limitada por la curva , el eje de

abscisas y las rectas x = 1 y x = a, sea 9.

5.- Hallar el valor de b para que la función f(x) = x3 – 2x

2 + bx tenga por tangente en el origen a

la bisectriz del primer cuadrante. Calcular entonces el área de la región limitada por esa

tangente y la gráfica de f.

6.- Dada la función calcular el área encerrada por la curva, el eje OX y las

rectas

perpendiculares al eje OX que pasan por el máximo y el mínimo de la función dada.

7.- Calcular el área de la región limitada por las curvas y = x2 , y = x

1/3 y las rectas x = -1 y x =

1

8.- Hallar el área de la región comprendida entre las parábolas y = x2 , y = -2x

2 + 3.

9.- Hallar el valor del parámetro a para que el área limitada por las gráficas de las funciones

en el primer cuadrante sea igual a 3 unidades.

10.- Calcular el valor de a sabiendo que el área comprendida entre la parábola y = x2 + ax y la

recta y + x = 0 es 36.

11.- Se Considera la función y = x 3/2

: Dibujar su gráfica

Calcular la recta tangente en x = 1 a la gráfica dibujada y calcular el área limitada por dicha

gráfica, la tangente y el eje OX.

12.- Hallar el área de la región acotada del plano limitada por las parábolas y = x2 – x, y

2 = 2x.

13.- Calcular el área de la región del semiplano y 0 limitada por la curva y = Lnx, su tangente

en x = 1 y la recta x = 3.

14.- Hallar los valores de a, b y c en el polinomio P(x) = ax2 + bx + c de forma que P(1) = 4,

P´(1) = 8, P(2) + 15P(0) = 0. Representar la función. Y calcular el área finita comprendida entre

la curva y el eje OX.

15.- Sabiendo que el área comprendida entre la curva y la recta y = bx es 1, calcular

el valor de b.

x

xLny

2

2 x

x y

2

a

xxfaxxf

2

21 )(y )(

x y



R-MATCNSI 74

16.- Dibujar la curva y = x2 – 3x –10 y calcular el área del recinto limitado por esta curva y la

recta y = 2x – 4.

17.- Hallar el área de las regiones comprendidas entre la curva y = x2 y las rectas y = x, x = 0,

x = 2

18.- Hallar el área comprendida entre la curva , el eje OX y las rectas verticales

que

pasan por los puntos de inflexión de dicha curva.

19.- Calcular el área encerrada entre las gráficas de las líneas y = x, e y = x(6 – x).

20.- Dada la función . Calcular el área acotada por dicha curva y la recta y = 1.

21.- Calcular el área limitada por la curva y las rectas y = 0, x = 0,

22.- Dada la función f(x) = 0 x si 1x

0 x si 32

2

2

bx

axx

a) Calcula los valores de a y b para que la función f(x) sea continua y derivable en todo su

dominio.

Para los valores de a y b calculados en el apartado a:

b) Calcula la recta tangente a esta función en el punto de abcisa x = -1.

c) Calcula el área del recinto plano acotado, limitado por la gráfica de la función f(x), su recta

tangente en x = -1, el eje OX y el eje OY.

2 x 1

1 y

2

2

x- 9

2x y

2 x- 1 y 2

2 x



R-MATCNSI 75

ANEXO REPASO VERANO MATEMÁTICAS I

1.- OPERACIONES CON NÚMEROS Y POTENCIAS

1.- Operar y simplificar teniendo en cuenta el orden de ejecución de las operaciones:

2.- Realiza Las siguientes operaciones con potencias y simplifica al máximo:

1) 34265

22464432

)(

)()(

baba

bababa 2)

2

223

42142342

1

xyyx

yxyxyx

)(

)()( 3)

5

32

34

2

3

13

2733

181

))((

)(

3.- Efectua las siguientes operaciones con radicales y simplifica al máximo

a)334 3

332

)b(a ba

aba ba

3-

3 33

b) c) 4 23323 2 bababa

d) 6 43

324 3

yxxy

yxxy e)

3 ab

ba f)

4 2323

3 324

yaya

yaay

2.- POLINOMIOS Y ECUACIONES

4.- Factoriza los siguientes polinomios

a) x3-3x

2-6x+8 b) x

3+5x

2-31x+21 c) x

4 – 5x

3 -5x

2 +45x – 36

d) x4 – 5x

3 + 5x

2 +5x – 6 e) x

4 – 5x

3 + 2x

2 +20x-24 f) x

3-x

2-14x+24

5.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 4x

242

8x

8x b)

1xx

1

3xx4

622

c) 33xx

d) 12

1x

4

x1

8

xx 22

e) 114x2x e) 2log(2x) –logx=1

f) 2logx –log(x+ 11/10)=1 g) 5lnx=3lnx + 2 ln6 h)31-x

+ 32-x

= 4/27

i) (x2-5x+9)log2 +log 125=3 j) 5

x-1=2 +

2x5

3 k) 5

2x- 6. 5

x+1+125=0

6.- Resolver las siguientes inecuaciones:

232-3 42

4 223

)(a

a b

bba

aba

2

1:

3

1:3

5

1

4

1

2

1

3

143.6

5

3

2

1

3

10

2

1

4

3

9

5.5

5

1

4

3

11

4

2

1

3

5

8

34. 1

5

3:435

4

1

2

1

2

1

3

1.3

2

1:

3

1:3

5

1

4

1

2

1

3

1432. .

4

1

3

21

2

5.1

21

3

2



R-MATCNSI 76

a) 21

6x5

10

7x

14

1x5

20

11x3 b) 02

7

1

2x

xx

c) 10x+2 –5(x-3)>4(x+3)+1 d)(2x-1)(x+3)>0

e) 03

162

x

x f) 0

1

12

x

x g) 0

2x

4x 2

3.- LÍMITES Y CONTINUIDAD

7.- Calcula los siguientes límites de sucesiones:

a)

2n2n

31n4n4

nLim b)

)223)(22(

)3)(23( 2

nnn

nnn

nLim c)

12n3

n23n

2n5

nLim

d)

22165

)43)(22(

nn

nn

nLim e)

)n34n)(2n23n(

)72n)(n23n(

nLim f) 55n2n2nlim

n

g)23

221

125

23

n

n

n

n

nLim h) 42n32n2nlim

n

i)

15n

6-2n

1-n lim

n

j) 1nn2nxLim 2 k) 4n3n5n-3nlim

n

2 l)

13n

6-n

22n lim

n

m)

2n3

6n2

1n2

xLim n) 2n

52n

2n42n

5n32n

nLim

8.- Calcular los siguientes límites de funciones:

a)5x6x

25xlim

2

2

5x b)

133 23

3

1 xxx

xxLimx

c)4x2x4x2

xx7x6lim

23

23

1x

d)9x9xx

3x4xlim

23

2

3x e)

37x

8x12x6x

23

2xlim f)

1x2x

38x

21x

lim

g)1x2x

415x

21x

lim h)1x2x

23x

21x

lim i)38x

2xx2x

23

1xlim

9.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas:

1.

2 x127x- x

2x15x

1 x12

)(

2

x

xf 2.-

3.

2 x3-x

4-3x

2x13x

1 x12

)(

x

xf 4.

2 x42x-

2x2- 9x

-2 x42

)( 2

x

xf

10.- Calcular los valores a y b que hacen continuas las siguientes funciones:

2 x9- x

2x14x

1 x13

)(

2

x

xf



R-MATCNSI 77

a) b)

c) d)

4.- DERIVADAS

10.- Deriva la siguientes funciones:

1. y = tg 3x + tg x3 + tg

3 x

2. y=sen x2 +sen

2x +2 senx

3.

4. xcos1

xcos1lny

2

2

5. f(x) = e6x-3

.Cos(7x)

6. f(x) = 75x

+ 7Tang( )35 2x

7. f(x) =

8. f(x) =

9. 2x10.2xy

10. f(x) = 54x

+ 7Cos( )

11. f(x) = e4x-3

+ sen( 1x3x 3 )

12.

13.

14. )2x5(gcot).1x3(tg)x(f

15. )2x5(eccos).1x3sec()x(f

16. )26ln(

10x

y2

ln2

x

x

17. )13().1

3( xsen

x

xseny

18. )25(

10xtg

y12

ln2

x

x

19. ))28((12 xsentgxy

20. ))32cos(ln( xy

21. )3x2cos(lny

22. )86(log3 x

ey1

)1(2

2

x

xLn

23. )32()22cos( xseney x

24.

25. ))sen(ln( 12xey

26. )12(

5xtg

y23

)1(2

2

xx

xLn

27. 1

1

10 x

x

yx

xLn )1( 2

28. ))10(cos( 12xtgy

29. )2xcos().1xln()x(f 2

30. )132( xxtg

eyx

xLn

2

)1( 2

31. )12().cos( 26 xseney x

32. )x(tg

)5x2x(seny

2

33. )2x(sen1xlny 2

34. 1x

1x2

2

10y + sen(x2-5x+7)

35. 1x1x 22

2.ey

36. 3 3 ))x(sen(tgy

2 x33x

2x1 2

1 x1

)( bx

ax

xf

2 x13x

2x1

1 x2

)( bx

ax

xf

2 x2x

2x1

1 x2

)( bx

ax

xf

2 x3x

2x1 1

1 x

)( bx

ax

xf

x

xy

2

2

sen1

sen1

)16(

)16(3

3

xLn

xLn

)35(

)35(4

4

xLn

xLn

26 2x

)25cos().13()( xxsenxf

)84().63cos()( xsenxxf

)1(sen)1sen( 22 xxy

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