DEPARTAMENTO DE SALUD INFORME DE CASOS COVID-19 · * Carolina 806 4.6 * Quebradillas 57 0.3 *...
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Notes on Expanders and Property T Richard Evan Schwartz July 15, 2020 1 Overview These notes are organized around the goal of explaining why the family of Cayley graphs ofSL 3 (Z =p), asp ranges over all primes, is an expander fam- ily. There is nothing original in the notes, but they gather together essentially all the material you need to understand this result and some related classics. After a background chapter, here is what the notes cover: Expander Families: I give the two denitions of an expander family of graphs, one based on eigenvalues of the graph Laplacian and one based on the Cheeger constant. I then show that the two denitions are equivalent. One of the directions is much harder than the other, and relies on the \hard Cheeger Inequality", Equation 11 below. I learned the proof by reading pp 7- 8 of the paper by Fan Chung calledFour Proofs of Cheeger’s Inequality and Graph Partition Algorithms. My exposition follows the proof given there, except that I change the notation and denitions a bit, only consider the d-regular case, and add explanations. The Main Examples: I show that the family of Cayley graphs ofSL 3 (Z =p), relative to the generating set formed by the elementary matrices mod p, is a 12-regular expander family. The strategy is to use a bit of representation theory to reduce the expander property to a special case of Property T for SL 3 (Z ), and then use Yehuda Shalom’s argument to establish that special case. I learned Shalom’s argument from his IHES paper, Bounded Genera- tion and Kazhdan’s Property T. The application to expanders only requires a certain nite dimensional version of Property T, and in this case we can replace all the functional analysis with linear algebra. 1
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DEPARTAMENTO DE SALUD INFORME DE CASOS COVID-19
Fecha de actualización de datos: 4 de septiembre de 2020
1Total de casos confirmados (RT-PCR) adicionales (no duplicados): 140
* Total de casos confirmados acumulados2: 16,243
3Total de casos probables (IgM+, IgM+/IgG+, IgG+) adicionales (no duplicados) 116
* Total de casos probables acumulados4: 18,249
Desglose de casos probables acumulados por inmunoglobulina (Ig) detectada:
*Subtotal de casos probables IgM+: 5604
*Subtotal de casos probables IgM+/IgG+: 4676
*Subtotal de casos probables IgG+: 7959
*Subtotal de casos probables Ig no especificada: 10
5Total de muertes COVID-19 (acumulado): 464
*Muertes Confirmadas COVID-19: 309
*Muertes Probables COVID-19: 155
1 Los casos confirmados son casos con una prueba molecular (RT-PCR) positiva. El número de casos confirmados adicionales desde el último informe no implica que estos casos corresponden a las últimas 24 horas. El total incluye casos con muestras tomadas del 26 de agosto al 2 de septiembre de 2020. La gráfica muestra la distribución de los 140 casos adicionales por la fecha de toma de la muestra.
2 El total acumulado de casos confirmados fue ajustado. Se sumaron dos (2) casos con fecha de toma de muestra del 16 de julio de 2020 y 13 de agosto de 2020, respectivamente.
3 Los casos probables son casos con una prueba serológica positiva. El número de casos probables adicionales desde el último informe no implica que estos casos corresponden a las últimas 24 horas. El total incluye casos con muestras tomadas del 28 de agosto al 2 de septiembre de 2020. La gráfica muestra la distribución de los 116 casos adicionales por la fecha de toma de la muestra.
4 El total acumulado de casos probables fue ajustado. Se restaron siete (7) casos que tuvieron una prueba molecular positiva posteriormente y que se sumaron a los casos confirmados adicionales reportados en este informe.
5 Muertes confirmadas COVID-19 son muertes de personas con una o más pruebas moleculares positivas. Muertes probables por COVID-19 incluye muertes de: 1) Personas que reúnen los criterios clínicos y la evidencia epidemiológica según definida por el CSTE; 2) Personas con una prueba serológica positiva y que reúnen los criterios clínicos o la evidencia epidemiológica según definida por el CSTE; y 3) Muertes que cumplen con los criterios de estadísticas vitales en las cuales no se realizaron pruebas de confirmación para COVID-19. Esto de acuerdo con las recomendaciones provisionales del “Council of State and Territorial Epidemiologists” (CSTE) y del “National Center for Health Statistics” de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades (CDC). El cambio en el número de muertes no debe interpretarse como que éstas hayan ocurrido en las últimas 24 horas. De igual forma, es importante señalar que el total de muertes puede variar en la medida en que se dan los procesos de registro y codificación de las causas de muerte, lo que puede tomar varios días.
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Fecha de toma de muestra
Casos confirmados (prueba molecular) no duplicados no reportados previamentecon fecha de toma de muestra del 26 de agosto al 2 de septiembre de 2020
(n=140)
Casos por fecha de toma de muestra
3 3
48 44
18
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28-Aug 29-Aug 31-Aug 1-Sep 2-Sep
Cas
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Fecha de toma de muestra
Casos probables (prueba serológica) no duplicados no reportados previamentecon fecha de toma de muestra del 28 de agosto al 2 de septiembre de 2020
(n=116)
Casos por fecha de toma de muestra
DISTRIBUCIÓN DE LOS CASOS CONFIRMADOS (PRUEBA MOLECULAR) POR MUNICIPIO DE RESIDENCIA:
Característica Frecuencia Porciento
Característica Frecuencia Porciento
(n) (%) (n) (%)
* Adjuntas 66 0.4 * Las Piedras 155 1.0 * Aguada 97 0.6 * Loíza 106 0.7 * Aguadilla 152 1.0 * Luquillo 85 0.5 * Aguas Buenas 103 0.7 * Manatí 162 1.0 * Aibonito 43 0.3 * Maricao 32 0.2 * Añasco 58 0.4 * Maunabo 24 0.2 * Arecibo 237 1.5 * Mayagüez 331 2.1 * Arroyo 26 0.2 * Moca 91 0.6 * Barceloneta 47 0.3 * Morovis 234 1.5 * Barranquitas 97 0.6 * Naguabo 63 0.4 * Bayamón 1424 9.0 * Naranjito 194 1.2 * Cabo Rojo 116 0.7 * Orocovis 131 0.8 * Caguas 544 3.5 * Patillas 28 0.2 * Camuy 84 0.5 * Peñuelas 50 0.3 * Canóvanas 275 1.7 * Ponce 297 1.9 * Carolina 1166 7.4 * Quebradillas 62 0.4 * Cataño 161 1.0 * Rincón 60 0.4 * Cayey 59 0.4 * Rio Grande 227 1.4 * Ceiba 34 0.2 * Sabana Grande 62 0.4 * Ciales 109 0.7 * Salinas 55 0.3 * Cidra 98 0.6 * San Germán 87 0.6 * Coamo 56 0.4 * San Juan 3217 20.4 * Comerío 81 0.5 * San Lorenzo 142 0.9 * Corozal 172 1.1 * San Sebastián 74 0.5 * Culebra 16 0.1 * Santa Isabel 27 0.2 * Dorado 197 1.2 * Toa Alta 470 3.0 * Fajardo 142 0.9 * Toa Baja 513 3.3 * Florida 43 0.3 * Trujillo Alto 395 2.5 * Guánica 32 0.2 * Utuado 35 0.2 * Guayama 74 0.5 * Vega Alta 217 1.4 * Guayanilla 37 0.2 * Vega Baja 398 2.5 * Guaynabo 658 4.2 * Vieques 21 0.1 * Gurabo 175 1.1 * Villalba 36 0.2 * Hatillo 116 0.7 * Yabucoa 74 0.5 * Hormigueros 69 0.4 * Yauco 134 0.9 * Humacao 111 0.7 * Otro lugar fuera de PR 143 * Isabela 84 0.5 * No disponible 338 * Jayuya 29 0.2 * Total 16243
* Juana Díaz 119 0.8 * Juncos 126 0.8 * Lajas 28 0.2 * Lares 73 0.5 * Las Marías 39 0.2
Nota: La información suministrada por fuentes externas al Departamento de Salud podría variar una vez sea finalizado el proceso de corroboración de los datos por parte de la agencia.
DISTRIBUCIÓN DE LOS CASOS CONFIRMADOS (PRUEBA MOLECULAR) POR REGION DE SALUD
Región de Salud Frecuencia Porciento
(n) (%)
* Arecibo 1600 10.1
* Bayamón 3657 23.1
* Caguas 1717 10.8
* Fajardo 525 3.3
* Mayagüez 1380 8.8
* Metro 5827 37.0
* Ponce 1066 6.9
* Fuera de PR 143
* No disponible 328
DISTRIBUCIÓN DE LOS CASOS CONFIRMADOS (PRUEBA MOLECULAR) POR GRUPOS DE EDAD Y GÉNERO:
Grupo de edad (años)
Femenino Masculino Total
(n) (%) (n) (%) (n) (%)
< 10 370 4.3 377 4.9 747 4.6
10-19 658 7.7 623 8.1 1281 7.9
20-29 1637 19.1 1239 16.1 2876 17.7
30-39 1468 17.2 1315 17.1 2783 17.1
40-49 1426 16.7 1382 18.0 2808 17.3
50-59 1319 15.4 1216 15.8 2535 15.6
60-69 826 9.7 784 10.2 1610 9.9
70-79 495 5.8 476 6.2 971 6.0
≥ 80 353 4.1 271 3.5 624 3.8
No disponible 4 - 4 - 8 -
Total 8556 100.0 7687 100.0 16243 100.0
1 3 3 9 7 5 5141110
3448
41
5949
2412
85
56
75
5250
153
50
3427
35
312
4
2824322622
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202027
1717
1 316161922
10 6 3 8231917
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4161410 9 11
2 2 7 613
5 6 3 2 5 6 819
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Fecha de toma de muestra
Casos confirmados no duplicados por fecha de toma de muestra hasta el 4 de septiembre de 2020Parte I
Casos por fecha de toma de muestra Casos acumulados
2517
911105 21212141116127
172114
21154
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4431
4844
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858980
117
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1415
195
244
214
237
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277
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294307306
273
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160
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241
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Fecha de toma de muestra
Casos confirmados no duplicados por fecha de toma de muestra hasta el 4 de septiembre de 2020Parte II
Casos por fecha de toma de muestra Casos acumulados
DISTRIBUCIÓN DE LOS CASOS PROBABLES (PRUEBA SEROLÓGICA) POR MUNICIPIO DE RESIDENCIA:
Característica Frecuencia Porciento
Característica Frecuencia Porciento
(n) (%) (n) (%)
* Adjuntas 62 0.4 * Las Piedras 151 0.9 * Aguada 135 0.8 * Loíza 88 0.5 * Aguadilla 183 1.0 * Luquillo 95 0.5 * Aguas Buenas 102 0.6 * Manatí 214 1.2 * Aibonito 82 0.5 * Maricao 31 0.2 * Añasco 136 0.8 * Maunabo 65 0.4 * Arecibo 293 1.7 * Mayagüez 337 1.9 * Arroyo 105 0.6 * Moca 169 1.0 * Barceloneta 83 0.5 * Morovis 180 1.0 * Barranquitas 253 1.5 * Naguabo 80 0.5 * Bayamón 1277 7.3 * Naranjito 295 1.7 * Cabo Rojo 162 0.9 * Orocovis 146 0.8 * Caguas 596 3.4 * Patillas 109 0.6 * Camuy 113 0.6 * Peñuelas 49 0.3 * Canóvanas 260 1.5 * Ponce 372 2.1 * Carolina 806 4.6 * Quebradillas 57 0.3 * Cataño 155 0.9 * Rincón 70 0.4 * Cayey 215 1.2 * Rio Grande 220 1.3 * Ceiba 57 0.3 * Sabana Grande 105 0.6 * Ciales 83 0.5 * Salinas 263 1.5 * Cidra 143 0.8 * San Germán 110 0.6 * Coamo 159 0.9 * San Juan 2360 13.5 * Comerío 93 0.5 * San Lorenzo 151 0.9 * Corozal 251 1.4 * San Sebastián 213 1.2 * Culebra 5 0.0 * Santa Isabel 108 0.6 * Dorado 347 2.0 * Toa Alta 501 2.9 * Fajardo 227 1.3 * Toa Baja 432 2.5 * Florida 171 1.0 * Trujillo Alto 376 2.2 * Guánica 52 0.3 * Utuado 71 0.4 * Guayama 162 0.9 * Vega Alta 274 1.6 * Guayanilla 110 0.6 * Vega Baja 286 1.6 * Guaynabo 665 3.8 * Vieques 63 0.4 * Gurabo 198 1.1 * Villalba 62 0.4 * Hatillo 83 0.5 * Yabucoa 146 0.8 * Hormigueros 59 0.3 * Yauco 187 1.1 * Humacao 211 1.2 * Otro lugar fuera de PR 610 * Isabela 130 0.7 * No disponible 200 * Jayuya 181 1.0 * Total 18249
* Juana Díaz 153 0.9 * Juncos 128 0.7 * Lajas 90 0.5 * Lares 180 1.0 * Las Marías 47 0.3
Nota: La información suministrada por fuentes externas al Departamento de Salud podría variar una vez sea finalizado el proceso de corroboración de los datos por parte de la agencia.
DISTRIBUCIÓN DE LOS CASOS PROBABLES (PRUEBA SEROLÓGICA) POR REGION DE SALUD:
Región de Salud Frecuencia Porciento
(n) (%)
* Arecibo 1814 10.4
* Bayamón 4024 23.1
* Caguas 2268 13.0
* Fajardo 667 3.8
* Mayagüez 1977 11.3
* Metro 4555 26.1
* Ponce 2134 12.2
* Fuera de PR 610
* No disponible 200
DISTRIBUCIÓN DE LOS CASOS PROBABLES (PRUEBA SEROLÓGICA) POR GRUPOS DE EDAD Y GÉNERO:
Grupo de edad (años)
Femenino Masculino Total
(n) (%) (n) (%) (n) (%)
< 10 294 2.9 267 3.3 561 3.1
10-19 585 5.8 504 6.2 1089 6.0
20-29 1656 16.5 1329 16.2 2985 16.4
30-39 1533 15.3 1214 14.8 2747 15.1
40-49 1636 16.3 1352 16.5 2988 16.4
50-59 1642 16.4 1388 16.9 3030 16.6
60-69 1284 12.8 1095 13.4 2379 13.1
70-79 851 8.5 693 8.5 1544 8.5
≥ 80 555 5.5 351 4.3 906 5.0
No disponible 10 - 10 - 20 -
Total 10046 100.0 8203 100.0 18249 100.0
Nota: Incluye 10 casos con pruebas serológicas reportadas como positivas sin especificar el anticuerpo detectado.
1828
3108910
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136
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53
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116117
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138
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4241
145154
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255
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258266268
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289
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Fecha de toma de muestra
Casos probables no duplicados por fecha de toma de muestra hasta el 4 de septiembre de 2020
Casos por fecha de toma de muestra Casos acumulados
1828
3685911010
26
106428
302821
29
81
343242
32
49
142
37394545
67
168
52
7062
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87
136
5864
58
79
106
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4956
4942
86
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922
575050
60
168
74
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605562
24
8
73706158
65
3322
46
60595051
3126
57
435560
35
1318
5363
4432
1389
3041
2738
2822
9
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68
515662
199
6976
4252
78
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Fecha de toma de muestra
Casos probables IgM no duplicados por fecha de toma de muestra hasta el 4 de septiembre de 2020
Casos por fecha de toma de muestra Casos acumulados
411213631119101184
1220
1422
1341
9111820
29
10313
2119201885
241991616
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638161617
35
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1520121291068
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4839
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59
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34
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2314
26171713
32
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6253
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31
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9094999397
42
14
139
109100
6171
413
10798
64
4131
24
1
36
188
4676
0
2000
4000
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20000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Cas
os
acu
mu
lad
os
po
r fe
cha
Cas
os
po
r fe
cha
de
tom
a d
e m
ues
tra
Fecha de toma de muestra
Casos probables IgM/IgG no duplicados por fecha de toma de muestrahasta el 4 de septiembre de 2020
Casos por fecha de toma de muestra Casos acumulados
31914
511015111612
52
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114
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19
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66
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44
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147
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57
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28
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38
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58
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41
135
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25
40
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36
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18
3
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14
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76
38
4
17
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86
72
26
10
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99105
176
61
19
144
168
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29
13
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119
15
128
56
20
165177
143
161
145
61
20
140129128
122
139
65
26
153
135126
112
76
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154
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98
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26
1
45
26
9
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0
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0
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350
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450
500
Cas
os
acu
mu
lad
os
po
r fe
cha
Cas
os
po
r fe
cha
de
tom
a d
e m
ues
tra
Fecha de toma de muestra
Casos probables IgG no duplicados por fecha de toma de muestra hasta el 4 de septiembre de 2020
Casos por fecha de toma de muestra Casos acumulados
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Def
un
cio
nes
po
r fe
cha
Fecha de la Defunción
Defunciones relacionadas al COVID-19 hasta el 4 de agosto de 2020
Defunciones por fecha
1
0 0 0
2
1
2
1
0
3
2
3 3 3
1
2
0
5
4
2
3 3 3
4
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3
0
6
3
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3
1
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4
2
3
2
5
0
2
0
1
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4
2
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2
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2
0 0
2
0 0
1
0
1 1 1 1
2 2
1 1 1
0 0
1
2
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0
2
1
0
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100
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200
250
300
350
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Def
un
cio
nes
acu
mu
lad
as p
or
fech
a
Def
un
cio
nes
po
r fe
cha
Fecha de la Defunción
Defunciones relacionadas al COVID-19 hasta el 4 de agosto de 2020Parte I
Defunciones por fecha Defunciones acumuladas
2
0 0
2
0
1 1
2
0 0
1
0 0 0
1 1
0
1
0
1
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0
1 1
0
1 1 1 1
2
3
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1
3
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5
0
1
4
2 2
1
5
3 3
5
6
5
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11
6 6 6
5
10
4
7
6
7
2
4
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14
9 9
8
14
7
8
10
7 7
5
6
5
3
4 4
6
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1 1 1
5
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1
3
1
464
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Def
un
cio
nes
acu
mu
lad
as p
or
fech
a
Def
un
cio
nes
po
r fe
cha
Fecha de la Defunción
Defunciones relacionadas al COVID-19 hasta el 4 de agosto de 2020Parte II
Defunciones por fecha Defunciones acumuladas
