Mtodos de derivacin numrica: El problema de la derivacin numrica consiste en la evaluacin de la derivada de la funcin en un punto, cuando nicamente conocemos los valores de la funcin en una coleccin de puntos x0, x1,... xn. Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la integracin numrica; de hecho la derivacin es ms complicada ya que,en la integracin los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, nonecesitamos que la aproximacin describa con fidelidad la funcin localmente. Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cul deberemos aproximar la funcin lo ms fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

f(x)pn(x)

Como ya vimos en el caso de interpolacin por rectas tenamos que:

Mientras que, para el caso de interpolacin por parbolas veamos que:

Si quisiramos evaluar el valor de la primera derivada en el punto xn, que es un punto de la tabla de datos de la que disponemos, vemos que, mediante la interpolacin por rectas no existe tal derivada, mientras que,con la interpolacin parablica sera:que es exactamente el mismo valor que obtenemos si promediamos lasderivadas por la izquierda y por la derecha de la interpolacin por rectas:

En cuanto a la segunda derivada: podramos re-escribirla del modo siguiente:lo cul es acorde con la definicin de derivada:

Si quisiramos calcular la 3 derivada tendramos que recurrir al polinomio de interpolacin de orden 3, o bien podramos hacer lo siguiente:Basndonos en el hecho de que:

Si quisiramos calcular el orden del error cometido al tomar estas aproximaciones:para la 1 derivada:Tomando esta frmula estaramos haciendo la siguiente aproximacin:Sabemos que ambas magnitudes son iguales en el lmite de h tendiendoa cero. Sin embargo, numricamente, nosotros, estamos usando usando unos h que, aunque pequeos, no son infinitesimalmente tendentes a cero.Cuanto mayores sean los h, mayor ser el error cometido. La relacin Entre el error y el valor de h se puede encontrar desarrollando en serie laaproximacin:

Desarrollando en serie la aproximacin:

Y vemos que, efectivamente:

para la 2 derivada:Tomando esta frmula estaramos haciendo la siguiente aproximacin:Desarrollando en serie:

Ejercicios:- Justificar las siguientes aproximaciones:

Tomando esta frmula estaramos haciendo la siguiente aproximacin:Desarrollando en serie:

Tomando esta frmula estaramos haciendo la siguiente aproximacin:Desarrollando en serie:

Tomando esta frmula estaramos haciendo la siguiente aproximacin:Desarrollando en serie:

Calcular las tres primeras derivadas de la funcin sen x en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001. Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente funcin en lospuntos 0.25, 0.5, 0.75 y 1.

Calcular las tres primeras derivadas de la funcin sen x en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001.h = 0.1EN RADIANES!!!

h = 0.1

h = 0.01

h = 0.01h = 0.001

h = 0.001

Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente funcin en lospuntos 0.25, 0.5, y 0.75.h = 10-2EN RADIANES!!!

h = 10-3h = 10-4h = 10-5

El valor exacto se puede evaluar teniendo en cuenta que la primeraderivada de la funcin es :

Para la segunda derivada:h = 10-2h = 10-3h = 10-4

Para los otros puntos, 0.5, y 0.75 :h = 10-4

La observacin de la segunda derivada indicara la existencia de un posible punto de inflexin (derivada segunda cero) en ese intervalo. As,por ejemplo: Haciendo una interpolacin lineal entre estos dos ltimos puntos. Esdecir, calculando la recta que pasa por los puntos (0.84, -4.409358 10-5)y (0.85, 0.008934901):

Luego el punto en el que la interpolacin lineal que se aproxima a laderivada se anula sera el siguiente: y, efectivamente, podemos comprobar que en las inmediaciones de ese punto tenemos un valor prcticamente igual a cero de la segunda derivada: