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UNIDAD No. 2: DERIVADA DE UNA FUNCIN

2.1 Introduccin.

El considerado progreso habido en las ciencias y en la tcnica durante los ltimos 100 aos procede en gran parte del desarrollo de las matemticas. La rama de la Matemtica, conocida como por Clculo integral y diferencial, es un instrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen en Fsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos, incluyendo recientemente algunos de las Ciencias Sociales y Economa.

Newton y Leibniz, independientemente uno del otro, fueron en gran parte los responsables del desarrollo de las ideas bsicas del clculo integral hasta llegar a conseguir que problemas, en su tiempo irresolubles, pudieran serlos por los nuevos mtodos y de forma ms rutinaria. El mayor logro fue esencialmente el hecho de poder fundir en uno el clculo integral y el clculo diferencial.

La idea central del clculo diferencial es la nocin de derivada. La cual fue originada por tres grandes problemas:

1. El problema de la tangente.

1. El problema de la aceleracin y de la velocidad.

1. El problema de mximos y mnimos.

Sin embargo, la derivada aparece muy tarde en la historia de la Matemtica. Este concepto no se formul hasta el siglo XVII, cuando el matemtico francs Pierre de Fermat, trat de determinar los mximos y mnimos de ciertas funciones.

Aunque la derivada se introdujo inicialmente para el estudio del problema de la tangente, pronto se vio que proporcionaba tambin un instrumento para el clculo de velocidades y, en general para el estudio de la variacin de una funcin.

Fig. 2.1

f

x

f(x)

X

Y

2.2 Incremento de una funcin

Sea una funcin f definida en un intervalo abierto que contiene al nmero real x. En la fig.2.1 se ilustra la grfica de f y la imagen de x.

Suponga que ahora que x se incrementa en h, entonces, el nuevo valor de la abscisa ser x + h, y su imagen ser f(x + h), como se muestra en la fig. 2.2

Fig. 2.2

f

x

f(x)

X

Y

x + h

h

f(x + h)

Observe que el incremento en X es h, y el incremento en Y es f(x + h) f(x)

SIMBOLOGA: Utilizaremos la letra griega delta () para indicar el incremento en una variable. Ejemplo: x, significa el incremento en x. y, significa el incremento en y

Por tanto:

x = h

y, = f(x + h) f(x)

2.3 Cociente incremental

El cociente incremental se define como:

Este cociente incremental recibe el nombre de razn promedio de cambio de y con respecto a x o tasa promedio de y con respecto a x

Ejemplo 1: Crecimiento de la poblacin: Durante el periodo de 10 aos de 2.000 a 2.010, se encontr que la poblacin de cierto pas estaba dada por la frmula:

P (t) = 1 + 0,03t + 0,001t2

Donde P est en millones y t es el tiempo medido en aos desde el inicio de 2.000. Calcule la tasa de crecimiento promedio al inicio de 2005

SOLUCIN:

Se pide la tasa de crecimiento en t = 5. El incremento de P (P) entre t = 5 y t = 5 + h es:

P = P (t + h) P (t) = P (5 + h) P (5)

Primero: Se halla P (5 + h)

P (5 + h)= 1 + 0,03(5 + h) + 0,001(5 + h)2

= 1 + 0,15 + 0,03h + 0,001[25 +10h + h2]

= 1 + 0,15 + 0,03h + 0,025 +0,01h + 0,001h 2

= 1,175 + 0,04h + 0,001h 2

Segundo se halla P (5):

P (5) = 1 + 0,03(5) + 0,001(5)2 = 1 + 0,15 + 0,025 = 1,175

Tercero: Se halla P= P (5 + h) P (5)

P (5 + h) P(5)= 1,175 + 0,04h + 0,001h 2 1,175 = 0,04h + 0,001h 2

Cuarto: Se halla el cociente incremental:

Por lo tanto, la tasa de crecimiento promedio durante ese intervalo de tiempo est dada por:

Si se calcula el lmite del cociente incremental cuando tiende a cero tenemos que:

As el inicio de 2.005, la poblacin de la ciudad estaba creciendo a una tasa de 0,04 millones anualmente (esto es, 40.000 por ao)

Este lmite se le da el nombre de DERIVADA de la funcin f y se nota como f (x).

2.4 Definicin de derivada de una funcin.

Sea f una funcin definida en un intervalo abierto que contiene a x. La derivada de f en x, denotada por f (x) est dada por:

A la derivada tambin se da el nombre de coeficiente diferencial y la operacin de calcular la derivada de una funcin de denomina diferenciacin.

Por lo tanto, para hallar la derivada de una funcin hay que seguir tres pasos:

1. Se halla el incremento de la funcin

1. Se calcula el cociente incremental

1. Se halla el lmite del cociente incremental cuando h tiende a cero

Otra forma de denotar la derivada de una funcin f, donde y = f(x), es

La derivada de una funcin en el punto x = a, tambin se le llama razn o tasa instantnea de cambio de y con respecto a x cuando x = a

Es decir, que la tasa de crecimiento instantnea de la poblacin del ejemplo 1 al inicio de 2.005 es de 40.000 por ao

El valor de depende de la eleccin de x. Esto se enfatiza cuando utilizamos la notacin f (x), la cual indica que la derivada f (x) es una funcin de x. El valor de la derivada en un punto cualquiera, digamos x = 2, es f (2). Por ejemplo, en el ejemplo 1 evaluamos P(t) en t = 5, o de forma equivalente P(5)

EJERCICIO

1. De acuerdo a la definicin anterior, halle la derivada de las siguientes funciones.

a. f(x) = xb. f (x) = x 2c. f (x) = x3d. f (x) = 4x 2e. f (x) = 6f. f (x) = 8

2. De acuerdo a los resultados obtenidos del literal (a) al (d), deduzca una frmula para hallar la derivada de f(x) = cxn

3. De acuerdo a los resultados obtenidos en (e) y (f), cul es la derivada de la funcin constante f(x) = c?

2.5 Algunas reglas para determinar la derivada de una funcin

Sean f y g dos funciones diferenciables, entonces:

1. Derivada de una suma:

2. Derivada de una resta:

1. Derivada de un producto:

1. Derivada de un cociente:

EJERCICIOS

Derive las siguientes funciones:

1) f(x) = 10x2 +9x+ 42) f(x) = 6x3 5x2 + x + 93) f(t) = 12 3t4 + 4t6

4) f(x) = (x3 7)(2x2 +3)5) f(x) = (2x2 4x +1)(6x 5)6) f(x) =

7) 8) 9)

10) 11) 12)

Mag. Erwin Maury MancillaUniversidad del Atlntico

Ciencias Econmicas