Derivada de funciones trigonometricas

Cálculo Diferencial

Derivada de Funciones Trigonométricas G.IV.

En esta guía veremos Identidades, Tablas para Derivadas y Ejercicios

resueltos de las Funciones Trigonométricas.

Innovación y Futuro Jair Ospino Ardila

http://innovacionyfuturo.wordpress.com [email protected]

Propiedades – Identidades Trigonométricas

𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

Tabla de Derivadas

Nombre Funciones Nomenclatura Derivadas Seno 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝐶𝑜𝑠 𝑢 ∗ 𝑢′ Coseno 𝐶𝑜𝑠 𝑢 −𝑆𝑒𝑛 𝑢 ∗ 𝑢′

Tangente 𝑇𝑎𝑛 𝑢 𝑆𝑒𝑐2 𝑢 ∗ 𝑢′ o también

𝑢′

𝐶𝑜𝑠2(𝑢)

Cotangente 𝐶𝑜𝑡 𝑢 ( −𝐶𝑠𝑐2 𝑢 ∗ 𝑢′ ) o también

−𝑢′

𝑆𝑒𝑛2(𝑢)

Secante 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑢 ∗ 𝑇𝑎𝑛 𝑢 ∗ 𝑢′ Cosecante 𝐶𝑠𝑐 𝑢 −𝐶𝑠𝑐 𝑢 ∗ 𝐶𝑜𝑡 𝑢 ∗ 𝑢′

ArcoSeno 𝐴𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑢′

1 − 𝑢2

ArcoCoseno 𝐴𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑢

−𝑢′

1 − 𝑢2

ArcoTangente 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑢

𝑢′

𝑢2 + 1


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 Como

𝑓 ′(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = 𝐶𝑜𝑠 𝑢 ∗ 𝑢′ Entonces

𝑓′ 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 3𝑥 ∗ (3)

𝑓′ 𝑥 = 3𝐶𝑜𝑠 3𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥

𝑓′ 𝑥 = 3𝐶𝑜𝑠 3𝑥

𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑠


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥3 Como

𝑓 ′ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −𝑆𝑒𝑛 𝑢 ∗ 𝑢′ Entonces

𝑓 ′ 𝑥 = −𝑆𝑒𝑛 𝑥3 ∗ 3𝑥2

𝑓 ′(𝑥) = −3𝑥2𝑆𝑒𝑛 𝑥3

𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥3

𝑓 ′(𝑥) = −3𝑥2𝑆𝑒𝑛 𝑥3

Ambas


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠3 𝑥 Podemos reescribir esta función de la siguiente manera

𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 3 Como

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 ∗ 𝑥 ′

𝑓 ′ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = −𝑆𝑒𝑛 𝑢 ∗ 𝑢′ Entonces

𝑓 ′ 𝑥 = 3 𝐶𝑜𝑠 𝑥 2 ∗ (−𝑆𝑒𝑛 𝑥 )

𝑓 ′ 𝑥 = −3𝑆𝑒𝑛 𝑥 ∗ 𝐶𝑜𝑠2 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠3 𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = −3𝑆𝑒𝑛 𝑥 ∗ 𝐶𝑜𝑠2 𝑥

Ambas


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛 1

𝑥2+1

Como

𝑓 ′ 𝑇𝑎𝑛 𝑢 =𝑢 ′

𝐶𝑜𝑠2 𝑢

𝑓 ′ 𝑇𝑎𝑛 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2 𝑢 ∗ 𝑢′

Derivamos el ángulo 1

𝑥2+1

0 𝑥2 + 1 − 1 2𝑥

(𝑥2 + 1)2

−2𝑥

(𝑥2 + 1)2

Entonces en función de Secante

𝑓 ′(𝑥) = Sec2 1

𝑥2 + 1 ∗

−2𝑥

(𝑥2 + 1)2

𝑓 ′(𝑥) = −2𝑥

(𝑥2 + 1)2 Sec2

1

𝑥2 + 1

𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛 1

𝑥2 + 1

𝑓 ′(𝑥)

Ambas


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 ∗ 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 Como la derivada de un producto es:

𝑓 𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑢 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′

𝑓 ′(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = 𝐶𝑜𝑠 𝑢 ∗ 𝑢′ Entonces 𝑓′ 𝑥 = −1 𝑒−𝑥 ∗ 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑒−𝑥 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 ∗ (2)

𝑓 ′(𝑥) = −𝑒−𝑥 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 + 2𝑒−𝑥𝐶𝑜𝑠 2𝑥

Tomamos factor común 𝑒−𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑒−𝑥 2𝐶𝑜𝑠 2𝑥 − 𝑆𝑒𝑛 2𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 ∗ 𝑆𝑒𝑛 2𝑥

𝑓 ′ 𝑥

Ambas


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛3 25𝑥4

Podemos reescribir esta función de la siguiente manera

𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

3

Como la derivada de una Potencia es:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 ∗ 𝑥 ′

Entonces

𝑓 ′(𝑥) = 3 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

2∗𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

(A)

En el paso anterior hemos dejado la derivada interna de la función indicada para resolverla en el siguiente paso con más calma Como la derivada de la Tangente es:

𝑓 ′ 𝑇𝑎𝑛 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐2 𝑢 ∗ 𝑢′

Entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

= 𝑆𝑒𝑐2 25𝑥4 ∗

𝑑𝑦

𝑑𝑥 25𝑥4

Reemplazamos en (A)

𝑓 ′(𝑥) = 3 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

2∗ 𝑆𝑒𝑐2 25𝑥4

∗𝑑𝑦

𝑑𝑥 25𝑥4

(B)

En el paso anterior hemos vuelto a dejar la derivada interna de la función indicada para resolverla en el siguiente paso con más calma Como la derivada de una función exponencial es:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑎𝑥 ∗ ln(𝑎) * x’ Entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥 25𝑥4

= 25𝑥4 ln 2 ∗

𝑑𝑦

𝑑𝑥 5𝑥4

Reemplazamos en (B)

𝑓 ′(𝑥) = 3 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

2∗ 𝑆𝑒𝑐2 25𝑥4

∗ 25𝑥4 ln 2 ∗

𝑑𝑦

𝑑𝑥 5𝑥4


Finalmente podemos apreciar que la última derivada indicada ya es muy sencilla.

𝑓 ′(𝑥) = 3 𝑇𝑎𝑛 25𝑥4

2∗ 𝑆𝑒𝑐2 25𝑥4

∗ 25𝑥4 ln 2 ∗ 20𝑥3

Si ordenamos para mejor visibilidad

𝑓 ′ 𝑥 = 3 ∗ 20 𝑥3 ∗ 𝑇𝑎𝑛2 25𝑥4 ∗ 𝑆𝑒𝑐2 25𝑥4

∗ 25𝑥4∗ ln 2

𝑓 ′ 𝑥 = 60𝑥3 ∗ 25𝑥4∗ ln 2 ∗ 𝑇𝑎𝑛2 25𝑥4

∗ 𝑆𝑒𝑐2 25𝑥4

𝑓 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛3 25𝑥4

𝑓′ 𝑥

Ambos


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑒𝐶𝑠𝑐 𝑥3

Como la derivada de una función exponencial es:

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑒𝑥 ∗ 𝑥′ Y la derivada de la Cosecante

𝑓 ′ 𝐶𝑠𝑐 𝑢 = (−𝐶𝑠𝑐 𝑢 ∗ 𝐶𝑜𝑡 𝑢) ∗ 𝑢′ Entonces

𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝐶𝑠𝑐 𝑥3 −𝐶𝑠𝑐 𝑥3 ∗ 𝐶𝑜𝑡 𝑥3 (3𝑥2)

𝑓 ′(𝑥) = −3𝑥2𝑒𝐶𝑠𝑐 𝑥3 𝐶𝑠𝑐 𝑥3 ∗ 𝐶𝑜𝑡 𝑥3

𝑓 𝑥

𝑓′ 𝑥


Resolver 𝑓 𝑥 =𝑥2+1

𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Podemos reescribir esta función de la siguiente manera

𝑓 𝑥 =𝑥2 + 1

𝑥 ∗

1

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Por identidad 𝐶𝑠𝑐 𝑥 = 1

𝑠𝑒𝑛 𝑥

Entonces

𝑓 𝑥 =𝑥2 + 1

𝑥 ∗ 𝐶𝑠𝑐 𝑥

𝑓 𝑥 =𝑥2 ∗ 𝐶𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶𝑠𝑐 𝑥

𝑥

Derivamos como un cociente como

𝑓 𝑥 = 𝑢

𝑧

𝑓′ 𝑥 = 𝑢 ′ ∗ 𝑧 − 𝑢 ∗ 𝑧 ′

𝑧2

Como

𝑓 𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑢

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′ Procedemos a Derivar

- Como en el numerador tenemos un producto que depende de la misma variable, tendremos que derivar como un producto primero antes de hacerlo como un cociente.

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 𝐶𝑠𝑐 𝑥 + 𝑥2 −𝐶𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 + −𝐶𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 ∗ 𝑥 − 1 𝑥2 𝐶𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶𝑠𝑐 𝑥

𝑥2

𝑓′ 𝑥 = 2𝑥2 𝐶𝑠𝑐 𝑥 − 𝑥3 𝐶𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 𝑥 𝐶𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 𝑥2 𝐶𝑠𝑐 𝑥 − 𝐶𝑠𝑐 𝑥

𝑥2

Reducimos términos semejantes y eliminamos el corchete para apreciar mejor

𝑓′ 𝑥 =𝑥2 𝐶𝑠𝑐 𝑥 − 𝑥3 𝐶𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 𝑥 𝐶𝑠𝑐 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 𝐶𝑠𝑐 𝑥

𝑥2

𝑥2 ∗ 𝐶𝑠𝑐 𝑥

Derivada del Producto


Tomamos factor común Csc x

𝑓′ 𝑥 =𝐶𝑠𝑐 𝑥 𝑥2 − 𝑥3 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 𝑥 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 1

𝑥2

Dentro del corchete tomamos factor común x Cot x

𝑓′ 𝑥 =𝐶𝑠𝑐 𝑥 𝑥2 − 𝑥 𝐶𝑜𝑡 𝑥 𝑥2 + 1 − 1

𝑥2

Ordenamos para apreciar mejor

𝑓′ 𝑥 =𝐶𝑠𝑐 𝑥 −𝑥 𝑥2 + 1 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 + 𝑥2 − 1

𝑥2

𝑓′ 𝑥 =𝐶𝑠𝑐 𝑥 − 𝑥3 + 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 + 𝑥2 − 1

𝑥2

Sacamos el signo menos del corchete

𝑓′ 𝑥 =− 𝐶𝑠𝑐 𝑥 𝑥3 + 𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑡 𝑥 − 𝑥2 + 1

𝑥2

𝑓 𝑥

𝑓′ 𝑥

Unidas


Resolver 𝑓 𝑥 = ln 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑥

2𝑥+1 3

Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos.

Dónde: ln 𝑗

𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚

Si reemplazamos seria:

𝑓 𝑥 = ln 𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − ln 2𝑥 + 1 3 Derivamos

Como derivada de ln𝑢 =𝑢′

𝑢

𝑓′ 𝑥 =2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥2(−𝑠𝑒𝑛 𝑥)

𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 −

3 2𝑥 + 1 2 ∗ (2)

2𝑥 + 1 3

𝑓′ 𝑥 =2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥


6 2𝑥 + 1 2

2𝑥 + 1 3

𝑓′ 𝑥 =2𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥

𝑥2 𝐶𝑜𝑠 𝑥− 𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥


6

2𝑥 + 1

𝑓′ 𝑥 =2

𝑥 − tan 𝑥 −

6

2𝑥 + 1

𝑓′ 𝑥 =2 − 𝑥 tan 𝑥

𝑥 −

6

2𝑥 + 1

𝑓′ 𝑥 = 2 − 𝑥 tan 𝑥 2𝑥 + 1 − 6𝑥

𝑥 2𝑥 + 1

𝑓′ 𝑥 =2 2𝑥 + 1 − 𝑥 tan 𝑥 2𝑥 + 1 − 6𝑥

𝑥 2𝑥 + 1

𝑓′ 𝑥 =4𝑥 + 2 − 𝑥 tan 𝑥 2𝑥 + 1 − 6𝑥

𝑥 2𝑥 + 1

tan 𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

cos 𝑥

Identidad


𝑓′ 𝑥 =2 − 𝑥 tan 𝑥 2𝑥 + 1 − 2𝑥

𝑥 2𝑥 + 1

𝑓 𝑥

𝑓′ 𝑥

Unidas


Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 1 − 2 𝑥2 Como

𝑓′ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 𝑢′

1−𝑢2

Entonces

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

1 − 1 − 2 𝑥2 2

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

1 − 1 − 4 𝑥2 + 4𝑥4

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

1 − 1 + 4 𝑥2 − 4𝑥4

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

4 𝑥2 − 4𝑥4

Factor común

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

4 𝑥2 − 𝑥4

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

(22) 𝑥2 − 𝑥4

𝑓′ 𝑥 =−4𝑥

2 𝑥2 − 𝑥4

𝑓′ 𝑥 =−2𝑥

𝑥2 − 𝑥4

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