Derivada funcional
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Presentación de una novedad
Título
D E R I V A D A P U N T U A L Y
F U N C I O N A L
P r o f . N i c o l á s T r í a sC . E . T . P
Objetivo a largo plazo
Exponga el objetivo previsto
I n t r o d u c c i ó n
H a s t a e l m o m e n t o , d e u n a f u n c i ó n e x p r e s a d a a l g e b r a i c a m e n t e , y = f ( x ) , p o d e m o s c o n o c e r :
D o m i n i o C o r t e s d e l a g r á f i c a c o n e l e j e X y e j e Y C o n t i n u i d a d A s í n t o t a s y r a m a s p a r a b ó l i c a s
P e r o e n c a m b i o l a f ó r m u l a e s p o c o ú t i l c u a n d o q u i e r o c o n o c e r :
I n t e r v a l o s d e c r e c i m i e n t o / d e c r e c i m i e n t o M á x i m o s y m í n i m o s r e l a t i v o s
P a r a e s t o s d o s p u n t o s e s n e c e s a r i o e l e s t u d i o d e L A S D E R I V A D A S
Deseos de los clientes
Presente los deseos de los clientes Explique los requisitos
L a i m p o r t a n c i a d e l s i g n o d e l a s t a n g e n t e s L a c l a v e p a r a e l
e s t u d i o d e l a s d o s c o s a s q u e n o s p r o p o n e m o s ( m á x i m o s m í n i m o s , e i n t e r v a l o s d e c r e c i m i e n t o y d e c r e c i m i e n t o ) s o n l a s r e c t a s t a n g e n t e s :
Satisfacción de los deseos de los clientes
Explique las características principales del producto
Relacione las características de los productos con los deseos de los clientes
L a i m p o r t a n c i a d e l s i g n o d e l a s t a n g e n t e s• E n l o s p u n t o s d e
m á x i m o o m í n i m o , l a r e c t a t a n g e n t e e s h o r i z o n t a l ( e s d e c i r , l a p e n d i e n t e e s 0 )
• E n l o s t r a m o s d e c r e c i m i e n t o l a r e c t a t a n g e n t e t i e n e p e n d i e n t e p o s i t i v a , e n l o s d e d e c r e c i m i e n t o l a t i e n e n e g a t i v a .
Análisis de costes
Señale la ventaja financiera para el cliente Realice una comparación precio/calidad
con la competencia
L l a m a m o s d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f e n x = a a l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á f i c a d e f e n e l p u n t o d e a b s c i s a a
L a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f e n a s e d e n o t a c o n e l s í m b o l o f ’ ( a ) , q u e s e l e e “ f p r i m a d e a ”
f ’ ( - 4 , 5 ) = - 3 / 2 p o r q u e l a t a n g e n t e e n e l p u n t o d e a b s c i s a 4 , 5 t i e n e p e n d i e n t e - 3 / 2 .
f ´ ( - 2 ) = 0 f ´ ( 4 ) = 0
f ´ ( 2 ) = 1 , 2 f ´ ( 6 ) = - 1 , 3
Ventajas
Resuma las características y ventajas de las novedades presentadas
I N T E R P R E T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E L A D E R I V A D A
S e a f ( x ) u n a f u n c i ó ny “ t ” l a r e c t a s e c a n t ea f ( x ) e n l o s p u n t o s P = ( x , f ( x ) ) y Q = ( x + h , f ( x + h ) ) , r e s p e c t i v a m e n t e .
Próximos pasos
Explique el resto de las acciones necesarias
P e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a u n g r á f i c o
L a r a z ó n
r e p r e s e n t a a l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a s e c a n t e q u e p a s a p o r P y Q . A m e d i d a q u e h t i e n d e a c e r o , e l p u n t o Q s e a p r o x i m a c a d a v e z m á s a P , p o r l o t a n t o l a r e c t a s e c a n t e e s t ám á s p r ó x i m o a s e r r e c t a t a n g e n t e .
P e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a u n g r á f i c o E n t o n c e s c u a n d o h 0 l a p e n d i e n t e d e l a
r e c t a s e c a n t e s e t r a n s f o r m a e n p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e e n e l p u n t o P .
L u e g o l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e v i e n e d a d a p o r :
m t =
D E F I N I C ID E F I N I C I ÓÓ NN
N O T A C I O N E S
O t r a s n o t a c i o n e s c o m u n e s p a r a l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f ( x ) s o n :
E J E R C I C I O S
E n c u e n t r e :
1 . L a d e r i v a d a d e f ( x ) = x 3 + 2 x
2 . L a p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a c u r v a e n e l p u n t o P = ( 1 , 3 )
3 . L a e c u a c i ó n d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a c u r v a e n P
R E G L A S D E D E R I V A C I Ó N
R e g l a s d e d e r i v a c i ó n
D e r i v a d a d e l a s u m a d e f u n c i o n e s :
( f + g ) ´ ( x ) = f ´ ( x ) + g ´ ( x )
D e r i v a d a d e l a d i f e r e n c i a d e f u n c i o n e s
( f - g ) ´ ( x ) = f ´ ( x ) - g ´ ( x )
D e r i v a d a d e l p r o d u c t o d e f u n c i o n e s
( f . g ) ´ ( x ) = f ´ ( x ) . g ( x ) + f ( x ) . g ´ ( x )
R e g l a s d e d e r i v a c i ó n
D e r i v a d a d e l c o c i e n t e d e f u n c i o n e s
f ( x ) ´ f ´ ( x ) . g ( x ) – f ( x ) . g ´ ( x )=
g ( x ) ( g ( x ) ) 2
E J E R C I C I O D e r i v e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :
R E G L A D E L A C A D E N A
S e r e f i e r e a l a d e r i v a d a d e f u n c i o n e s c o m p u e s t a s .D a d a l a f u n c i ó n f o g = f ( g ( x ) ) , l a r e g l a e s t a b l e c e q u e :
( f o g( f o g )) ´́ = (= ( f ( g ( xf ( g ( x ) ) )) ) ) ´́ = = ff ´́ ( g ( x( g ( x ) ) .) ) . gg ´́ ( x( x ) .) . xx ´́
E J E M P L O
S e a y = 4 u 3 ; u = 5 x 2 + 4 , e n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p u e s t a v i e n e d a d a p o r y = f ( g ( x ) ) ,
L a d e r i v a d a d e y c o n r e s p e c t o a u v i e n e d a d a p o r :
= 1 2 u 2
L a d e r i v a d a d e u c o n r e s p e c t o a x v i e n e d a d a p o r :
= 1 0 x
D E R I V A D A S D E O R D E N S U P E R I O R
S e a y = f ( x ) u n a f u n c i ó n , s i s u d e r i v a d a e x i s t e , s e d e n o t a p o r f ´ ( x ) . S i f ´ ( x ) e s u n a f u n c i ó n e n t o n c e s s i l a d e r i v a d a e x i s t e , s e d e n o t a p o r f ´ ´ ( x ) , l a c u a l s e l l a m a s e g u n d a d e r i v a d a o d e r i v a d a s e g u n d a d e l a f u n c i ó n f ( x )E n g e n e r a l l a n - é s i m a d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n v i e n e d a d a p o r f n ( x ) .
E J E M P L OE n c u e n t r e l a t e r c e r a d e r i v a d a d e
C R E C I M I E N T O Y D E C R E C I M I E N T O D E U N A F U N C I Ó N
E n q u e i n t e r v a l o s l a f u n c i ó n c r e c e y / o d e c r e c e .
F U N C I Ó N C R E C I E N T E
U n a f u n c i ó n f d e f i n i d a e n a l g ú n i n t e r v a l o s e d i c e q u e e s c r e c i e n t e e n d i c h o i n t e r v a l o s i s o l o s i :
f ( x 1 ) < f ( x 2 ) s i e m p r e q u e x 1 < x 2
F U N C I Ó N D E C R E C I E N T E
U n a f u n c i ó n f d e f i n i d a e n a l g ú n i n t e r v a l o s e d i c e q u e e s d e c r e c i e n t e e n d i c h o i n t e r v a l o s i s o l o s i :
f ( x 1 ) > f ( x 2 ) s i e m p r e q u e x 1 < x 2
T E O R E M AS e a f u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n [ a , b ] y d e r i v a b l e e n u n
i n t e r v a l o ( a , b ) s e t i e n e q u e :
M A X I M O S Y M I N I M O S R E L A T I V O S
V A L O R M A X I M O R E L A T I V O
S e d i c e q u e f t i e n e u n m á x i m o r e l a t i v o e n u n p u n t o c s i p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o ( a , b ) t a l q u e
V A L O R M I N I M O R E L A T I V O
S e d i c e q u e f t i e n e u n m í n i m o r e l a t i v o e n u n p u n t o c , s i c p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o ( a , b ) t a l q u e :
P U N T O S C R I T I C O S
S i l a f u n c i ó n f e s t á d e f i n i d a e n u n p u n t o c , s e d i r á q u e c e s u n n ú m e r o c r i t i c o d e l a f u n c i ó n f s i
f ´ ( c ) = 0 o s i f ´ n o e s t á d e f i n i d a e n c .
O B S E R V A C I Ó N
S i u n a f u n c i ó n t i e n e u n v a l o r m á x i m o r e l a t i v o o u n v a l o r m í n i m o r e l a t i v o e n c , s e d i c e e n t o n c e s q u e l a f u n c i ó n t i e n e u n e x t r e m o r e l a t i v oe n c
T E O R E M A
L o s e x t r e m o s r e l a t i v o s s o l o o c u r r e n e n l o s p u n t o s c r í t i c o s .
F I N