Derivada funcional

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Presentación de una novedad D ERIVAD A PU NTUAL Y FUNCIO NAL Prof. Nicolás Trías C.E.T.P

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Page 1: Derivada funcional

Presentación de una novedad

Título

D E R I V A D A P U N T U A L Y

F U N C I O N A L

P r o f . N i c o l á s T r í a sC . E . T . P

Page 2: Derivada funcional

Objetivo a largo plazo

Exponga el objetivo previsto

I n t r o d u c c i ó n

H a s t a e l m o m e n t o , d e u n a f u n c i ó n e x p r e s a d a a l g e b r a i c a m e n t e , y = f ( x ) , p o d e m o s c o n o c e r :

D o m i n i o C o r t e s d e l a g r á f i c a c o n e l e j e X y e j e Y C o n t i n u i d a d A s í n t o t a s y r a m a s p a r a b ó l i c a s

P e r o e n c a m b i o l a f ó r m u l a e s p o c o ú t i l c u a n d o q u i e r o c o n o c e r :

I n t e r v a l o s d e c r e c i m i e n t o / d e c r e c i m i e n t o M á x i m o s y m í n i m o s r e l a t i v o s

P a r a e s t o s d o s p u n t o s e s n e c e s a r i o e l e s t u d i o d e L A S D E R I V A D A S

Page 3: Derivada funcional

Deseos de los clientes

Presente los deseos de los clientes Explique los requisitos

L a i m p o r t a n c i a d e l s i g n o d e l a s t a n g e n t e s L a c l a v e p a r a e l

e s t u d i o d e l a s d o s c o s a s q u e n o s p r o p o n e m o s ( m á x i m o s m í n i m o s , e i n t e r v a l o s d e c r e c i m i e n t o y d e c r e c i m i e n t o ) s o n l a s r e c t a s t a n g e n t e s :

Page 4: Derivada funcional

Satisfacción de los deseos de los clientes

Explique las características principales del producto

Relacione las características de los productos con los deseos de los clientes

L a i m p o r t a n c i a d e l s i g n o d e l a s t a n g e n t e s• E n l o s p u n t o s d e

m á x i m o o m í n i m o , l a r e c t a t a n g e n t e e s h o r i z o n t a l ( e s d e c i r , l a p e n d i e n t e e s 0 )

• E n l o s t r a m o s d e c r e c i m i e n t o l a r e c t a t a n g e n t e t i e n e p e n d i e n t e p o s i t i v a , e n l o s d e d e c r e c i m i e n t o l a t i e n e n e g a t i v a .

Page 5: Derivada funcional

Análisis de costes

Señale la ventaja financiera para el cliente Realice una comparación precio/calidad

con la competencia

L l a m a m o s d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f e n x = a a l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a g r á f i c a d e f e n e l p u n t o d e a b s c i s a a

L a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f e n a s e d e n o t a c o n e l s í m b o l o f ’ ( a ) , q u e s e l e e “ f p r i m a d e a ”

f ’ ( - 4 , 5 ) = - 3 / 2 p o r q u e l a t a n g e n t e e n e l p u n t o d e a b s c i s a 4 , 5 t i e n e p e n d i e n t e - 3 / 2 .

f ´ ( - 2 ) = 0 f ´ ( 4 ) = 0

f ´ ( 2 ) = 1 , 2 f ´ ( 6 ) = - 1 , 3

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Ventajas

Resuma las características y ventajas de las novedades presentadas

I N T E R P R E T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E L A D E R I V A D A

S e a f ( x ) u n a f u n c i ó ny “ t ” l a r e c t a s e c a n t ea f ( x ) e n l o s p u n t o s P = ( x , f ( x ) ) y Q = ( x + h , f ( x + h ) ) , r e s p e c t i v a m e n t e .

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Próximos pasos

Explique el resto de las acciones necesarias

P e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a u n g r á f i c o

L a r a z ó n

r e p r e s e n t a a l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a s e c a n t e q u e p a s a p o r P y Q . A m e d i d a q u e h t i e n d e a c e r o , e l p u n t o Q s e a p r o x i m a c a d a v e z m á s a P , p o r l o t a n t o l a r e c t a s e c a n t e e s t ám á s p r ó x i m o a s e r r e c t a t a n g e n t e .

Page 8: Derivada funcional

P e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a u n g r á f i c o E n t o n c e s c u a n d o h 0 l a p e n d i e n t e d e l a

r e c t a s e c a n t e s e t r a n s f o r m a e n p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e e n e l p u n t o P .

L u e g o l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e v i e n e d a d a p o r :

m t =

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D E F I N I C ID E F I N I C I ÓÓ NN

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N O T A C I O N E S

O t r a s n o t a c i o n e s c o m u n e s p a r a l a d e r i v a d a d e l a f u n c i ó n f ( x ) s o n :

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E J E R C I C I O S

E n c u e n t r e :

1 . L a d e r i v a d a d e f ( x ) = x 3 + 2 x

2 . L a p e n d i e n t e d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a c u r v a e n e l p u n t o P = ( 1 , 3 )

3 . L a e c u a c i ó n d e l a r e c t a t a n g e n t e a l a c u r v a e n P

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R E G L A S D E D E R I V A C I Ó N

Page 13: Derivada funcional

R e g l a s d e d e r i v a c i ó n

D e r i v a d a d e l a s u m a d e f u n c i o n e s :

( f + g ) ´ ( x ) = f ´ ( x ) + g ´ ( x )

D e r i v a d a d e l a d i f e r e n c i a d e f u n c i o n e s

( f - g ) ´ ( x ) = f ´ ( x ) - g ´ ( x )

D e r i v a d a d e l p r o d u c t o d e f u n c i o n e s

( f . g ) ´ ( x ) = f ´ ( x ) . g ( x ) + f ( x ) . g ´ ( x )

Page 14: Derivada funcional

R e g l a s d e d e r i v a c i ó n

D e r i v a d a d e l c o c i e n t e d e f u n c i o n e s

f ( x ) ´ f ´ ( x ) . g ( x ) – f ( x ) . g ´ ( x )=

g ( x ) ( g ( x ) ) 2

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E J E R C I C I O D e r i v e l a s i g u i e n t e f u n c i ó n :

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R E G L A D E L A C A D E N A

S e r e f i e r e a l a d e r i v a d a d e f u n c i o n e s c o m p u e s t a s .D a d a l a f u n c i ó n f o g = f ( g ( x ) ) , l a r e g l a e s t a b l e c e q u e :

( f o g( f o g )) ´́ = (= ( f ( g ( xf ( g ( x ) ) )) ) ) ´́ = = ff ´́ ( g ( x( g ( x ) ) .) ) . gg ´́ ( x( x ) .) . xx ´́

Page 17: Derivada funcional

E J E M P L O

S e a y = 4 u 3 ; u = 5 x 2 + 4 , e n t o n c e s l a f u n c i ó n c o m p u e s t a v i e n e d a d a p o r y = f ( g ( x ) ) ,

L a d e r i v a d a d e y c o n r e s p e c t o a u v i e n e d a d a p o r :

= 1 2 u 2

L a d e r i v a d a d e u c o n r e s p e c t o a x v i e n e d a d a p o r :

= 1 0 x

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D E R I V A D A S D E O R D E N S U P E R I O R

S e a y = f ( x ) u n a f u n c i ó n , s i s u d e r i v a d a e x i s t e , s e d e n o t a p o r f ´ ( x ) . S i f ´ ( x ) e s u n a f u n c i ó n e n t o n c e s s i l a d e r i v a d a e x i s t e , s e d e n o t a p o r f ´ ´ ( x ) , l a c u a l s e l l a m a s e g u n d a d e r i v a d a o d e r i v a d a s e g u n d a d e l a f u n c i ó n f ( x )E n g e n e r a l l a n - é s i m a d e r i v a d a d e u n a f u n c i ó n v i e n e d a d a p o r f n ( x ) .

Page 19: Derivada funcional

E J E M P L OE n c u e n t r e l a t e r c e r a d e r i v a d a d e

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C R E C I M I E N T O Y D E C R E C I M I E N T O D E U N A F U N C I Ó N

E n q u e i n t e r v a l o s l a f u n c i ó n c r e c e y / o d e c r e c e .

Page 21: Derivada funcional

F U N C I Ó N C R E C I E N T E

U n a f u n c i ó n f d e f i n i d a e n a l g ú n i n t e r v a l o s e d i c e q u e e s c r e c i e n t e e n d i c h o i n t e r v a l o s i s o l o s i :

f ( x 1 ) < f ( x 2 ) s i e m p r e q u e x 1 < x 2

Page 22: Derivada funcional

F U N C I Ó N D E C R E C I E N T E

U n a f u n c i ó n f d e f i n i d a e n a l g ú n i n t e r v a l o s e d i c e q u e e s d e c r e c i e n t e e n d i c h o i n t e r v a l o s i s o l o s i :

f ( x 1 ) > f ( x 2 ) s i e m p r e q u e x 1 < x 2

Page 23: Derivada funcional

T E O R E M AS e a f u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n [ a , b ] y d e r i v a b l e e n u n

i n t e r v a l o ( a , b ) s e t i e n e q u e :

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M A X I M O S Y M I N I M O S R E L A T I V O S

Page 25: Derivada funcional

V A L O R M A X I M O R E L A T I V O

S e d i c e q u e f t i e n e u n m á x i m o r e l a t i v o e n u n p u n t o c s i p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o ( a , b ) t a l q u e

Page 26: Derivada funcional

V A L O R M I N I M O R E L A T I V O

S e d i c e q u e f t i e n e u n m í n i m o r e l a t i v o e n u n p u n t o c , s i c p e r t e n e c e a l i n t e r v a l o ( a , b ) t a l q u e :

Page 27: Derivada funcional

P U N T O S C R I T I C O S

S i l a f u n c i ó n f e s t á d e f i n i d a e n u n p u n t o c , s e d i r á q u e c e s u n n ú m e r o c r i t i c o d e l a f u n c i ó n f s i

f ´ ( c ) = 0 o s i f ´ n o e s t á d e f i n i d a e n c .

Page 28: Derivada funcional

O B S E R V A C I Ó N

S i u n a f u n c i ó n t i e n e u n v a l o r m á x i m o r e l a t i v o o u n v a l o r m í n i m o r e l a t i v o e n c , s e d i c e e n t o n c e s q u e l a f u n c i ó n t i e n e u n e x t r e m o r e l a t i v oe n c

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T E O R E M A

L o s e x t r e m o s r e l a t i v o s s o l o o c u r r e n e n l o s p u n t o s c r í t i c o s .

Page 30: Derivada funcional

F I N