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Derivada Numerica

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Definicion de derivada Derivada aproximada Derivada numerica: MATLAB

Topicos

1 Definicion de derivada

2 Derivada aproximada

3 Derivada numerica: MATLABAproximacion derecha: u′

Aproximacion izquierda: u′

Aproximacion centrada: u′

Aproximacion centrada: u′′

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DerivadaEs la razon de cambio de una variable dependiente conrespecto a una variable independiente.La definicion matematica de la derivada esta dada por unaaproximacion por diferencias:

∆y

∆x=

f(xi + ∆x)− f(xi)

∆x,

dy

dx= lim

∆x→0

f(xi + ∆x)− f(xi)

∆x

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Segunda derivadaRepresenta la derivada de la primera derivada.Expresa la rapidez de cambio de la pendiente.

d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)

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Derivadas de funciones de mas de una variableSe toma la derivada en un punto manteniendo constantetodas las variables excepto una.

∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y)− f(x, y)

∆x

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y

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Topicos







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Discretizacion dudx

De la formula de Taylor se tiene:

u(x±4x) = u(x)±∆xu′(x) +∆x2

2u′′(x)± ∆x3

6u′′′(x) +

∆x4

24u′′′′(x) + · · ·

(1)Al sustituir x = xi, x + ∆x = xi+1, x−∆x = xi−1, u(x±4x) =ui±1 y u(x) = ui, la formula (1) se transforma en:

ui±1 = ui ±∆xu′i +∆x2

2u′′i ±

∆x3

6u′′′i +

∆x4

24u′′′′i + · · · (2)

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Discretizacion dudx

De (2+) se obtiene: Aproximacion derecha o haciaadelante

u′i =ui+1 − ui

∆x, ε = o(∆x) (3)

De (2-) se obtiene: Aproximacion izquierda o hacia atras

u′i =ui − ui−1

∆x, ε = o(∆x) (4)

De (2+)-(2-) se obtiene: Aproximacion centrada

u′i =ui+1 − ui−1

2∆x, ε = o(∆x2) (5)

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Discretizacion d2udx2

De (2+)+(2-) se obtiene: Aproximacion centrada para lasegunda derivada

u′′i =ui+1 − 2ui + ui−1

∆x2, ε = o(∆x2) (6)

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Topicos







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Aproximacion derecha: u′

Primera derivada dudx

Aproximacion derecha

u′i =ui+1 − ui

∆x

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Programa MATLAB

function pder ivada d v1 (F , x i , x f , np )syms xde r f =@( xx ) double ( subs ( d i f f (F , x ) , x , xx ) ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i : dx : x f +dx ] ;n=size ( x , 2 ) ;for i =1:n−1

dF ( i ) =(F ( x ( i +1) )−F( x ( i ) ) ) / dx ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 1 : n−1) ’ dF ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )fp lo t ( der f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plot ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ green ’ ) ;hold o f f ;

end

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Ejemplo 1: f(x) = x2

F=@( x ) x ˆ 2 ;x i =0;x f =4;np=4;pder ivada d v1 (F , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 11 32 53 74 9

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Aproximacion izquierda

u′i =ui − ui−1

∆x

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Programa MATLAB

function pde r i vada i v1 (F , x i , x f , np )syms xde r f =@( xx ) double ( subs ( d i f f (F , x ) , x , xx ) ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i−dx : dx : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;for i =2:n

dF ( i ) =(F ( x ( i ) )−F( x ( i−1) ) ) / dx ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 2 : n ) ’ dF ( 1 , 2 : n ) ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )fp lo t ( der f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plot ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ ye l low ’ ) ;hold o f f ;

end

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F=@( x ) x ˆ 2 ;x i =0;x f =4;np=4;pde r i vada i v1 (F , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 −11 12 33 54 7

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Aproximacion centrada

u′i =ui+1 − ui−1

2∆x

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Programa MATLAB

function pder ivada c v1 (F , x i , x f , np )syms xde r f =@( xx ) double ( subs ( d i f f (F , x ) , x , xx ) ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i−dx : dx : x f +dx ] ;n=size ( x , 2 ) ;for i =2:n−1

dF ( i ) =(F ( x ( i +1) )−F( x ( i−1) ) ) / (2∗dx ) ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 2 : n−1) ’ dF ( 1 , 2 : n−1) ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )fp lo t ( der f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plot ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ red ’ ) ;hold o f f ;

end

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F=@( x ) x ˆ 2 ;x i =0;x f =4;np=4;pder ivada c v1 (F , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 01 22 43 64 8

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Segunda derivada d2udx2

Aproximacion centrada

u′′i =ui+1 − 2ui + ui−1

∆x2

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Programa MATLAB

function sder ivada c v1 (F , x i , x f , np )syms xder2 f=@( xx ) double ( subs ( d i f f (F , x , 2 ) , x , xx ) ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i−dx : dx : x f +dx ] ;n=size ( x , 2 ) ;for i =2:n−1

dF ( i ) =(F ( x ( i +1) )−2∗F( x ( i ) ) +F( x ( i−1) ) ) / ( dx ˆ 2 ) ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 2 : n−1) ’ dF ( 1 , 2 : n−1) ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )fp lo t ( der2f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plot ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ red ’ ) ;hold o f f ;

end

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F=@( x ) x ˆ 3 ;x i =0;x f =4;np=4;sder ivada c v1 (F , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 01 62 123 184 24

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