Derivada parcial

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En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa como

(donde es una 'd' redondeada conocida como el 'símbolo de la derivada parcial')

Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función A paralela al eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el algebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Tabla de contenidos

[ocultar] 1 Ejemplos 2 Notación 3 Definición formal y propiedades

4 Véase también

Ejemplos [editar]

Considera el volumen V de un cono; Éste depende de la altura h del cono y su radio r de acuerdo con la fórmula

La derivada parcial de V respecto a r es

;

y describe la velocidad de cambio con que el volumen de un cono cambia si su radio varía y su altura se mantiene constante. La derivada parcial respecto a h es

y representa la velocidad de cambio con que el volumen cambia si su altura varía y su radio se mantiene constante.

Otro ejemplo tiene que ver con el área A de un círculo, aunque éste sólo depende del radio r del círculo de acuerdo con la fórmula

La derivada parcial de A respecto a r es

Otro ejemplo, dada la función

la derivada parcial de A respecto de x es:

mientras que con respecto de y es:

Notación [editar]

Para el siguiente ejemplo, f será una función en x, y y z.

Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales de segundo orden:

Derivadas cruzadas de segundo orden:

Definición formal y propiedades [editar]

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rn y f : U → R una función.

Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a1, ..., an) ∈ U con respecto a la i-ésima variable xi como:

Incluso si todas las derivadas parciales existen en el punto a, la función no necesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de a y son continuas, entonces la función es diferenciable y continua cerca de a . En este caso, f es una función C1.

A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, las derivadas parciales (llamadas cruzadas) puede ser intercambiadas por el teorema de Clairaut.

En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

Límite matemático

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En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que una sucesión o una función tiene un límite si progresivamente alcanza un número, que se llama el límite. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Tabla de contenidos

[ocultar] 1 Límite de una sucesión

o 1.1 Definición 2 Límite de una función

o 2.1 Introducción o 2.2 Indeterminaciones

3 Propiedades de los límites

4 Enlaces externos

Límite de una sucesión [editar]

Artículo principal: Límite de una sucesión

Definición [editar]

La definición del límite en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x va a . Decimos que la sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), y escribimos

si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Más precisamente:

Límite de una función [editar]

Artículo principal: Límite de una función

Introducción [editar]

Informalmente, decimos que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos

si se puede encontrar suficientemente cerca de tal que es tan cerca de como se

quiera. ( puede ser finito o infinito.) Es decir, el límite es si tiende a cuando tiende a . Más precisamente, decimos que:

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

Indeterminaciones [editar]

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

Propiedades de los límites [editar]

1.

2.3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.(al igual que su recíproca)

11.(al igual que su recíproca)

12.

(al igual que su recíproca)

13.

<=> f(x) acotada y g(x) infinitésimo

Continuidad (matemática)

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Sean (X,TX) e (Y,TY) dos espacios topológicos. Una aplicación se dice que es continua si:

f − 1(G) es un abierto de X,

cualquiera que sea el abierto G de Y.

Con la misma notación, si , diremos que f es continua en x cuando se obtiene que f − 1(V) es un entorno de x, cualquiera que sea el entorno V de f(x).

Es "inmediato" entonces comprobar que f es continua cuando y sólo cuando es continua en , cualquiera que sea éste, es decir, cuando sea continua en cada uno de los puntos

de su dominio.

o

Funciones reales de una variable real [editar]

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir que se puede dibujarla sin levantar el lápiz del papel, como en la figura de la izquierda.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

El intervalo J de y es el codominio (también conocido como contradominio, rango o imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I).

El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto [editar]

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función; f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

Existe f(x1):

tiene limite por la izquierda:

tiene limite por la derecha:

El límite por la derecha por la izquierda y el valor de la función coinciden:

Es decir: el límite de la tasa de variación es cero cuando el incremento de la variable independiente, h, tiende a cero:

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo

abierto I, centrado en x1, tal que .

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral [editar]

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.

Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo [editar]

Una función, f es continua en un intervalo I, si y sólo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

f es continua en un intervalo I ⇔

Dado que una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si la función es continua en todos los puntos del intervalo, entonces f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y

sólo si es continua en el intervalo (a, b) y además es continua en el punto a por la derecha y en el punto b por la izquierda.

La función anterior es continua tanto en [-6, 1) como en (1, 6].

Algunas funciones continuas importantes [editar]

Función seno y coseno

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Diferenciación

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo Δ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente

cuando Δx se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x.

(Esta notación depende del nombre de la función y su variable. En este caso, la función se llama "y", y la variable "x"). Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias:

Nótese que la expresión corresponde a la variacion de (o sea,

). Esta es , ya que se expresa en el eje y. La variacion en el eje x corresponde a h. Hasta ahora tenemos una secante.

Luego, a h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Con esto estamos diciendo simplemente que la variacion es ínfima, la secante la estamos conviertiendo en tangente.

Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada como una función:

Esta es la llamada notación de la derivada como incremento.

Similarmente, considerando el incremento como h en lugar de Δx, definimos la derivada como :

Estas expresiones proveen la regla de los 4 pasos para el cálculo de la derivada de una función y es más sencilla También puede demostrarse que puede definirse la derivada como sigue:

O de un modo más general como:

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto x = a es:

Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática, es decir, podemos interpretar la derivada de una función de dos maneras:

1.- Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico de ella.

2.- Es la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado en un punto .

derivadas dimensionales

4. Derivada direccional y vector gradiente. Se llaman derivadas direccional de la función z =

f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por

su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir ,con lo cual , de

donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)

Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

derivada de la cadena REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,  

  y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,  

  entonces la función compuesta  

  definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene  

    Ejemplo: cálculo de derivadas Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.   Resolución:   La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.  

 

  Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x2  

  Por la regla de la cadena,   h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x2  

  Resolución:  

 

    De g(x) = x3, se deduce g'(x) = 3x2. En consecuencia,

  Por la regla de la cadena,  

  Regla de la cadena para la función potencial   Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m  

  aplicando la regla de la cadena, será:  

[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)   Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).   Así,

      Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.   Resolución:   Si u = x2 + 1, u' = 2x   En este caso m = 3   f'(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2   Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano   Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que  

  Ejercicio: cálculo de derivadas

  Resolución:  

  Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:  

  Se aplica la regla de la cadena:  

  Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |   Resolución:   u = sen x; u' = cos x  

  Regla de la cadena para las funciones exponenciales   Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = au y para otra g(x) = eu,   f'(x) = (au )' = u' · au · ln a   g'(x) = (eu )' = u' · eu     Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

  Resolución:   Llamando u = x · sen x, u' = 1 · sen x + x cos x   f'(x) = (4x sen x )' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4  

  Resolución:  

  Regla de la cadena para las funciones trigonométricas  

  Ejemplos Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)   Resolución:   Si u = sen x, u' = cos x   f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)   Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)   Resolución:   u = x2 - 1; u' = 2x   g'(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)   Calcular la derivada de h(x) = sen3x2   Resolución:

  Llamando u = sen x2, hay que derivar sen3x2 = u3.   Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'   Llamando v = x2; u = sen v.   u' = v' · cos v = 2x · cos x2   Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' = 3 · sen2x2 · 2x · cos x2 = = 6x · sen2x2 · cos x2   Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante resultado, aunque se evita hacer su demostración.

Max y min

Valor máximo y valor mínimo de una función

Si f es una función dada, entonces es un valor máximo relativo de f, si existe un

intervalo abierto tal que y para , siendo x un valor del dominio de la función.

Si para toda x en el dominio de f, entonces es el valor máximo de f o máximo absoluto.

Similarmente, es un valor mínimo relativo de la función f, si existe un intervalo abierto

tal que y para , con x en el dominio de f.

Si para toda x en el dominio de f, entonces se dice que es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto.

Ejemplo:

Considere una función f definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

 

 

 

Note que , es un máximo relativo y es el máximo valor que toma la función en el intervalo en que está definida.

Similarmente, es un valor mínimo relativo y es el mínimo absoluto de la función

en .

  Teorema 2

 

Sea c un punto interior del dominio de una función f.

Si es un valor máximo relativo de f y si existe entonces .

Prueba: al final del capítulo.

Ejemplo:

Considere la función f definida por  

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Puede observarse que cuando x toma el valor de entonces la función tiene un valor

máximo. En este caso es precisamente el vértice de la parábola con ecuación:

.

Según el teorema anterior debe cumplirse que es igual a cero.

En efecto, como , al sustituir x por -2 se obtiene que

, que era lo que quería comprobarse.

  Teorema 3

Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si es un valor

mínimo  relativo de f y si existe, entonces .

La demostración es similar a la del teorema anterior.

Ejemplo:  

Considere la función f definida por:

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Note que la función f tiene un valor mínimo en dado por . El punto es

el vértice de la parábola con ecuación .

De acuerdo con el teorema debe cumplirse que sea igual a cero.

Como entonces y se verifica lo enunciado respecto al valor mínimo.

Observación:

El recíproco de los dos teoremas anteriores no es cierto. Es decir, el hecho de que sea igual a cero, no implica que en exista un máximo o un mínimo.

Por ejemplo, para la función f con ecuación , se tiene que , y si ; sin embargo, en no hay ni un valor máximo ni un valor mínimo, como puede

observarse en la siguiente representación gráfica de la función.

 

 

  Definición 

  Sea f una función. Recibe el nombre de valores críticos del dominio de f,

aquellos en los que es igual a cero o en los que no existe.

Ejemplo:

Determinemos los valores críticos de las funciones con ecuaciones:

a.    ,

b.  ,

   

  Solución: a.

Como , entonces

Ahora: si y solo si o sea si , ó, , ó,

Luego, los valores críticos de f son: x=0, x=1, y x=-1.

 

b.

Como entonces

Luego , de donde si y solo si , o sea, si

Por lo tanto el valor crítico de f es .

Note que aunque se indefine en , como este valor no pertenece al dominio de f, entonces no es valor crítico de dicha función.

Observación:

Reciben el nombre de valores extremos de una función f los valores máximos relativos y los valores mínimos relativos de f. Dada una función f cuyo dominio es el intervalo k, un

valor será un valor crítico de x para la función f si:

a.    ó

b.   no existe óc. c es un extremo del intervalo k. 

En este último caso, si entonces "a" y "b" son valores críticos. Si o si

entonces "a" es un valor crítico. Si , o si entonces "b" es un

valor crítico. Si , entonces ni "a" ni "b" son valores críticos (note que los valores extremos de un intervalo abierto no son elementos del intervalo).

INTEGRALES MULTIPLES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS.

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

Si f es continua en toda la legión R, entonces al refinar el ancho de la red para hacer tender "x, "y a cero, las sumas en (1) tienden a un límite llamado integral doble de f sobre R. Su notación es

Entonces,

Igual que en las funciones de una sola variable, las sumas tiende a este límite independientemente de cómo se subdividan los intervalos [a, b] y [c, d] que determinan R, siempre que las normas de las subdivisiones tiendan ambas a cero. El límite (2) también es independiente del orden en que se numeren las áreas "Ak e independiente de la selección del punto (xk, yk) dentro de cada "Ak. Los valores de las sumas aproximadas individuales Sn depende de esas selecciones, pero al final las sumas tienden al mismo límite. La prueba de la existencia y unicidad de este límite para una función continua f se da en textos más avanzados.

La continuidad de f es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición suficiente para la existencia de la integral doble, pero no es una condición necesaria. El límite en consideración también existe para muchas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES.

Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.

1.

2.

3.

4.

5.

Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan.

INTEGRALES DOBLES COMO VOLUMENES.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk)

"Ak en la suma Sn = "Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

TEOREMA DE FUBINI PARA CALCULAR INTEGRALES DOBLES.

Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

en el plano xy. Entonces el volumen es

Donde A(x) es el área de la sección transversal en x. Para cada valor de x podemos calcular A(x) como la integral

Que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. Al calcular A(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. Al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es

Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.

¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?

¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

Por tanto el volumen de todo el sólido es

EJEMPLO. Calcule

Solución. Por el teorema de Fubini,

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES ACOTADAS NO RECTANGULARES.

Para definir la integral doble de una función f(x, y) sobre una región acotada no rectangular, imaginamos de nuevo R cubierta por una retícula rectangular, pero incluimos en la suma parcial sólo las pequeñas piezas de área "A = "x"y que se encuentran totalmente dentro de la región. Numeramos las piezas en algún orden, escogemos un punto arbitrario (xk, yk) en cada "Ak y formamos la suma

La única diferencia entre esta suma y la de la ecuación (1) para regiones rectangulares es que ahora las áreas "Ak pueden dejar de cubrir toda R. Pero conforme la red se vuelve más fina y el número de términos en Sn aumenta, más de R queda incluida. Si f es continua y la frontera de R está hecha de las gráficas de un número finito de funciones continuas de xy/o de y, unidas extremo con extremo, entonces las sumas Sn tendrán un límite cuando las normas de las subdivisiones que definen la malla rectangular tiendan independientemente a cero. Llamamos al límite integral doble de f sobre R.

Este límite también puede existir en circunstancias menos restrictivas.

Las integrales dobles de funciones continuas sobre regiones no rectangulares tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales sobre regiones rectangulares. La propiedad de aditividad de dominio correspondiente a la propiedad 5 dice que si R se descompone en regiones no traslapadas R1 y R2 con fronteras que están nuevamente hechas de un número finito de segmentos de rectas o curvas, entonces

.

Si R es una región limitada “arriba” y “abajo” por las curvas y=g2(x) y y=g1(x) y lateralmente por las rectas x=a, x=b, nuevamente podemos calcular el volumen por el método de rebanadas. Primero determinamos el área de la sección transversal

Y luego integramos A(x) de x=a a x=b para obtener el volumen como una integral iterada:

(8)

De manera similar, si R es una región, limitada por las curvas x=h2 (y) y x=h1 (y) y las rectas y=c y y=d, entonces el volumen calculado por el método de rebanadas está dado por la integral iterada

EJEMPLO. Encuentre el volumen del prisma cuya base es el triángulo en el plano xy limitado por el eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya parte superior se encuentra en el plano

z=f(x, y)=3-x-y.

Solución. Para cualquier x entre 0 y 1, y puede variar de y=0 a y=x. Por consiguiente.

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.

Usamos integrales triples para hallar los volúmenes de formas tridimensionales, la masa y los momentos de sólidos y los valores promedio de funciones de tres variables.

INTEGRALES TRIPLES.

Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen "x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma

Si F es continua y la superficie que limita a D está hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas, entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, las sumas Sn tenderán a un límite

Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.

Las integrales triples tienen las mismas propiedades algebraicas que las integrales simples y dobles. Si F=F(x, y, z) y G=G(x, y, z) son continuas, entonces

1.

2.

3.

4.

Si el dominio D de una función continua F se subdivide por medio de superficies suaves en números finito de celda sin traslapes D1, D2,…..Dn, entonces

5.

EJEMPLO. Establezca los límites de integración para evaluar la integral triple de una función F(x, y, z) sobre un tetraedro D con vértices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 0).

Solución.

Paso 1: La superficie superior que limita a D se encuentra en el plano y=1. La superficie inferior se encuentra en el plano y=x+z. La frontera superior de R es la recta z=1-x.

La frontera inferior es la recta z=0.

Paso 2: Los límites y de integración. La recta que pasa por un punto típico (x, y) en R paralela al eje y entra a D en y=x+z y sale en y=1.

Paso 3: Los límites z de integración. La recta L que pasa por (x, y) paralela al eje z entra a R en z=0 y sale en z=1-x.

Paso 4: Los límites x de integración. Conforme L barre a través de R, es el valor de x varía de x=0 a x=1. La integral es

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS.

COORDENADAS CILINDRICAS.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

=Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Encuentre los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar una función F(r, , z) sobre la región D limitada abajo por el plano z=0, lateralmente por el cilindro circular

y arriba por el paraboloide

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el círculo

Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, ) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale en

Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integral es

COORDENADAS ESFERICAS.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

Esfera, radio 4, centro en el rigen.

Se abre desde el origen y forma un ángulo de py3 radianes con el eje z positivo.

Medio plano, articulado a lo largo del eje z, que forma un ángulo de radianes

con el eje x positivo.

El elemento de volumen en coordenadas esféricas es el volumen de una cuña esférica definida por los

diferenciales

La cuña es aproximadamente una caja rectangular con un arco circular de longitud

en un lado y un arco circular de longitud

y espesor de en otro lado. Por consiguiente, el elemento de volumen en coordenadas esféricas es

Y las integrales triples adoptan la forma

EJEMPLO. Encuentre el volumen de la región superior D cortada de la esfera sólida

por el cono

Solución El volumen es

, que es la integral, de

Paso 1: Hacemos un croquis de D y su proyección R sobre el plano xy.

Paso 2: Los límites

de integración. Dibujamos un rayo M desde el origen que forme un ángulo

con el eje z positivo. También dibujamos L, o sea la proyección de M sobre el plano xy, junto con el ángulo

, que L forma con el eje x positivo. El rayo M entra a D en

=0 y sale en =1.

Paso 3: Los limites

de integración. El cono

forma un ángulo de

con el eje z positivo. Para cualquier

, el ángulo

varía entre

=0 y

=.

Paso 4: Los límites

de integración. El rayo L barre sobre R cuando

varía de 0 a .

El volumen es

INTEGRALES DE LINEA.

Cuando una curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k, , pasa por el dominio de una función f(x, y, z) en el espacio, los valores de f a lo largo de la curva están dados por la función compuesta f(g(t), h(t), k(t)). Si integramos esta composición respecto a la longitud de arco de

t = a a t = b, calculamos la así llamada integral de línea de f a lo largo e la curva. A pesar de la geometría tridimensional, la integral de línea es una integral ordinaria de una función real sobre un intervalo de números reales.

Definición y notación.

Supongamos que f(x, y, z) es una función cuyo dominio contiene la curva r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,

. Subdividimos está última en un número finito de subarcos. El subarco típico tiene longitud "sk. En cada subarco escogemos un punto (xk, yk, zk) y formamos la suma

(1)

Si f es continua y las funciones g, h y k tienen primeras derivadas continuas, entonces las sumas en (1) tienden a un límite cuando n cree y las longitudes "sk tienden a cero. Llamamos a este límite la integral de f sobre la curva de a a b. Si la curva se representa por una sola letra, C por ejemplo, la notación para la integral es

(2)

Evaluación de curvas suaves.

Si r (t) es suave para (v=dr/dt es continua y nunca (0), podemos usar la ecuación

Para expresar ds en la ecuación (2) como ds =. Un teorema del cálculo avanzado dice que entonces podemos evaluar la integral de f sobre C como

Esta fórmula evaluará correctamente la integral sin importar qué parametrización usemos (siempre y cuando sea suave).

Como evaluar una integral de línea.

Para integrar una función continua f(x, y, z) sobre una curva C:

1. Encuentre una parametrización suave C,

r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,

2. Evalúe la integral como

(3)

Note que si f tiene el valor constante 1, entonces la integral de f sobre C da la longitud de C.

Ejemplo. Integre sobre el segmento de recta C que une el origen y el punto (1, 1, 1).

Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar:

r (t) = g(t)i +h(t)j+k(t)k,

Las componentes tienen primeras derivadas continuas y nunca es 0, por lo que la parametrización es suave. La integral de f sobre C es

Aditividad.

Las integrales de línea tienen la útil propiedad de que si una curva C se forma por la unión de un número finito de curvas C1, C2,…., Cn extremo con extremo, entonces la integral de una función sobre C es la suma de las integrales sobre las curvas que la forman:

(4)

Ejemplo. Una trayectoria del origen a (1, 1, 1) que es la unión de los segmentos de las rectas C1 y C2.

Integres sobre C1 y C2.

Solución. Escogemos la parametrización más simple que podemos imaginar para C1 y C2, y revisamos las longitudes de los vectores velocidad:

C1: r (t) = ti +tj,

;

C2: r (t) = i+ j+ tk,

;

Con esa parametrización encontramos que

interages iteradas

INTEGRALES DOBLES

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,

F(x,y)= 1, o

F(x,y)= y,

Cuando se trate de calcular el área,

o el momento del área respecto al eje x.

La notación

"A" F(x, y)dA (1)

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,

A=xy=yx (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden

A1, A2…….An (3)

sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en

z= F(x, y)

El término

F(xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.

La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas:

"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)

Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.

Vamos a explicar ahora el significado de la notación

"A" F(x,y) dy dx

El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);

para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.

Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

(7)

Considerando x como constante se hace la integración respecta a y.

Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo

z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.

dV=A(x)dx,

Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincide con

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

(8)

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

(9)

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

(10)

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES

Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será

dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11)

en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular

a) la masa

M="" (x, y)dA; (12)

b) el primer momento de la masa respecto al eje x

Mx="" y (x, y)dA (13a)

c) su primer momento respecto al eje y,

My="" x(x, y)dA (13b)

de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

(14)

y el momento de inercia respecto al eje y es

(15)

Tiene también interés el momento de inercia polar respecto al origen dado por

(16)

Esta ultima formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y)

En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.

Observación 1.- Cuando una partícula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r con velocidad angular o velocidad lineal v= r, su energía cinética es

½mv²=½mr²².

Si un sistema de partículas de masa m1,m2,…,mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular , siendo r1,r2,…,rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es

(17)

donde

(18)

es le momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de sus distancias rk.

Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de que esta animado esto

(19)

y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo el sistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilíneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotación de igual modo que la masa de un automóvil podría consumir trabajo para iniciar o detener su movimiento.

Si en lugar de un sistema discreto de partículas, como en las ecuaciones 17, 18, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se hallan a distancia r± del eje donde 0 cuando tienden a cero la máxima dimensión del m. El momento de inercia de la mas total respecto al eje en cuestión se define por

(20)

Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano xy.

Además de su importancia en relación con la energía cinética de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempeña un papel decisivo en la teoría de la flexión de vigas cargadas, cuyo “coeficiente de rigidez” viene dado por EI, siendo E el modulo de Young, e I, el momento de inercia de una sección recta de la viga respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad. Cuanto mayor sea I, tanto mejor resistirá la viga a la flexión. Este hecho se utiliza en las vigas de perfil en I con cuyas alas superior e inferior están a distancias relativamente grandes del centro, y proporcionan, por tanto, mayores valores de r2 en la ecuación 20, contribuyendo así a incrementar el momento de inercia respecto al que sería si toda la masa se hallase distribuida uniformemente; por ejemplo, en una viga de de perfil cuadrado.

Observación 2.- Los momentos son también importantes en estadística. El primer momento se utiliza en el calculo de la media (es decir, valor promedio) de un conjunto de datos. El segundo momento (que corresponde al momento de inercia) se usa en el cálculo de varianza (²) o de la desviación típica ().

Los momentos tercero y cuarto también se Emplean en relación con ciertas magnitudes estadísticas denominadas torcimiento o sesgo y curtosis y el momento de t-ésimo se define por

En esta expresión; rk recorre todos los valores de la variable estadistica en consideración por ejemplo: rk puede representar altura en centímetro o peso en decagramos, etc. Mientras que mk Es el número de individuos de todo el grupo cuya “medida” es igual a rk. Una tabla de valores mk en función de rk constituye una “distribución de frecuencias”, de la Mt es el t-ésimo momento. La medida r se define por

(21)

donde M1 es el primer momento, y m="mk, el número total de individuos de la “población” considerada. La varianza 2 depende del segundo momento respecto a la media, y se define por

(22a)

donde es la llamada desviación típica. Tanto la varianza como la desviación típica miden la forma en que los valores de r tienden a agruparse en torno a r (pequeños valores de ) o a diseminarse (grandes valores de ). Mediante transformaciones algebraicas en (22ª), la varianza se puede escribir también así

(22b)

Hay una diferencia esencial entre el significado atribuido a y en el caso de la fórmula

(23)

que expresa el área en la figura 5 bajo la curva y=f(x) desde x=a a x=b , y el que se le da en las integrales dobles de las ecuaciones 12 a 13. En 23 se debe remplazar y por f(x) deducido de la ecuación de la curva, antes de integrar, puesto que y significa la ordenada del punto (x, y) sobre la curva y=f(x). Pero en el caso de las integrales dobles 12 a 13 no hay que reemplazar por una función de x antes de integrar, porque el punto (x, y) es, en general, un punto del elemento dA=dydx y x e y son variables independientes. Las

ecuaciones de las curvas que constituyen la frontera la región A intervienen solo en los límites de integración. Así:

1.- En el caso de integrales simples tales como

(24)

no se integra respecto a y, sino que se sustituye y por su valor en función de x antes de realizar la integración.

2.- En el caso de integrales dobles, tales como

(25)

hay que integrar respecto a y; por consiguiente no se debe sustituir y antes de efectuar la integración. Las ecuaciones y=f1(x) e y=f2(x) de las curva de contorno de A se utilizan para los límites de integración y solo se deberán sustituir después de efectuar la integración.

COORDENADAS POLARES

Consideremos la región A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1(), r=f2(), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector

R: 0 " r " a, " "

Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro 0 y radios r, 2r,….mr y trazamos por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda dividido en tres tipos de subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N, eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

(26)

(27)

según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es rk-½r; el del exterior, rk-½r; por consiguiente

que después de efectuar operaciones se reduce a 27.

Imaginemos reiterado este proceso con reticulos cada vez más tupidos, y consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es contínua y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida a A:

(28)

Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

(29)

Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en términos generales.

X=f(u, v), y=g(u, v) (30)

Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante otra región G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y g, la siguiente ecuación constituye la formula para el pase de las coordenadas xy a las coordenadas uv en una integral doble:

(31)

donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano que se define por el siguiente determinante

En el caso de coordenadas polares se tiene:

x=r cos , y=r sen

y

Por consiguiente, la ecuación 31 se adopta la forma:

" " (x, y) dx dy = " " (cos + sen ) r dr d (32)

que corresponde a la 29

El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles

A=" " dx dy= " " r dr d (33)

con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región dada se puede dividir en porciones de área

dAxy= dx dy (34)

Mediante rectas paralelas a los ejes x e y o que también puede dividirse en porciones de áreas

dAr=r dr d (35)

Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero observese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un calculo elemental que se ve que

dAxy=dx dy= d(r cos )d(r sen) " r dr d = dAr

area

El área es la magnitud geométrica que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: largo y ancho. Para superficies planas el concepto es intuitivo y no requiere introducir técnicas de geometría diferencial avanzadas.

Sin embargo, para poder definir el área de una superficie en general, que es un concepto métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión, cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Área de figuras planas [editar]

Área de un rectángulo [editar]

El rectángulo está formado por dos pares de rectas paralelas formando ángulos de 90º entre sí, el área sería la multiplicación de dos de sus lados a y b Ej:

Área de un cuadrado [editar]

El cuadrado se incluye como un caso especial de rectángulo, donde todos sus lados tienen la misma longitud quedando la fórmula de la siguiente forma:

A = a2

O se multiplica su longitud dos veces. Para hallar el área de un triángulo se multiplica el largo por el ancho y se lo divide por dos.Ejemplo: A= a.b:2

Área de un triángulo [editar]

El área de un triángulo se calcula mediante la siguiente fórmula

si el triángulo es rectángulo y la altura del mismo es igual que su base la fórmula quedaría de la siguiente forma, donde h y b corresponde a los catetos:

si lo que conocemos es la longitud de sus lados aplicamos la fórmula de Herón.

donde a, b , c son los valores de las longitudes de sus lados p = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Área de un círculo [editar]

En un espacio euclídeo, el área delimitada por un círculo o circunferencia se calcula mediante la siguiente expresión matemática:

El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por Π.

En una variedad riemanniana también pueden construirse círculo pero en general el área no viene dada por la expresión anterior a menos que la curvatura sea nula.

Área encerrada entre dos funciones [editar]

Una forma para hallar el área encerrada entre dos funciones es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x) y g(x) en el intervalo [a;b]

Por ejemplo, si se quiere hallar el área encerrada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2]:

se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral

se obtiene:

Por lo que se concluye que el área encerrada es

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral.

Área de revolución [editar]

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un cierto eje la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar

conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

Unidades de medida de superficies [editar]

Sistema métrico (SI) [editar]

Múltiplos:

Kilómetro cuadrado: 106 metros cuadrados

Hectárea: 104 metros cuadrados

Area: 10² metros cuadrados

Unidad básica:

metro cuadrado: Unidad derivada del SI

Submúltiplos:

centímetro cuadrado: 10-4 metros cuadrados

barn: 10-28 metros cuadrados

Sistema inglés de medidas [editar]

pulgada cuadrada pie cuadrado yarda cuadrada Acre milla cuadrada legua cuadrada cuerda

Unidades de superficie en desuso, para consultar unidades

rurales que no están incluidas en este artículo.

Unidad de medida Metrología

Contenido

Apunte de Integrales: Cálculo de Volúmenes, Coordenadas Cilíndricas, Integrales de Superficie, Campos Conservativos, Integral por sustitución, Ecuaciones Diferenciales.

INTEGRALES TRIPLES

Calculo de Volúmenes:Vol (v) = ∫∫∫ V dx dy dz

Calculo de Masas: Masa (V) = ∫∫∫ V δ (x, y, z) dx dy dz

Centro de masa: (∫∫∫ V x δ (x, y, z) dx dy dz) /M Momento de inercia: I0 = ∫∫∫ Vd ² δ (x, y, z) dx dy dz

Extensión del teorema de Fubini a regiones generales:

∫∫∫ V F (x, y, z) dx dy dz = F (x, y, z) dx dy dz

Teorema: Cambio de variables:

Dada f: k R³ R, F continua, G: r* R³ R³, G C¹, inyectiva con G (k*), tal que det (DG (u, v, w) ≠ 0, (u, v, w) k*): entonces: ∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ kF(g(u, v, w)) .|det (DG)|du dv dw

F(x, y, z) = dv

F(g(x, y, z)).|det(DG)| = dvObs: el teorema sigue siendo valido si det DG (u, v, w) = 0 sobre un conjunto de puntos de medida 0 en k*.

Aplicación: Coordenadas Cilíndricas :

X = r cos θY = r sen θ

Z = z

r = √ (x ² + y ²) (distancia al eje z)dv =

G (r.cos θ,r.sen θ, z)

∫∫∫ kF(x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫ k*F(r.cos θ, r.sen θ, z).r.dz.dr.d θ

Método de trabajo:

Ejemplo: Calcular el volumen de μ limitado por √ (x ² + y ²)≤ z ≤ R

Vol = r dz dr d θ = (Rr-r ²) dr d θ = Rr ²/2-r³/3 | d θ = R³/6 d θ = π R³/3

Integrales de Superficie:en superficie (reemplazar Z por su valor en la superficie)

Area (s) = ∫∫ Axy |F|/|F´z|dx dy; Φ (flujo) = ∫∫ Axy F .F /|F´z| dx dy

Ejemplo: s: z = √(x ² + y ²) Limites: x ² + y ² ≤ R

F (x, y, z) = √(x ² + y ²)-z

F´ x = x/ (√ (x ² + y ²))

F = (x/ (√ (x ² + y ²)), y/ (√ (x ² + y ²)), -1)F´ y = y/ (√ (x ² + y ²))

F´ z = -1

|F| = √2

Area Lateral = ∫∫ Axy |F|/|F´z| dx dy =∫∫ Axy √2.dx dy = √2 ∫∫ Axy dx dy = √2 π R ²

Area del circulo

Teorema de Gauss (o de la divergencia):

Obs: Con este método se calcula el vector normal exterior a la superficie.

F ds = ∫∫∫ V .F dx dy dz

F :Divergencia

Te dan el flujo de una determinada función F (x, y, z). Delimitan una superficie con planos o superficies y piden calcular el flujo a través de la superficie frontera.

Divergencia: ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z (derivadas de las componentes de la función del flujo)

Obs: Si me queda el flujo neto negativo, significa que tiene sentido opuesto al normal exterior.

Puntos: Fuente: origina campo (campo positivo). Sumidero: recibe campo. Pasante: Lo que entra = lo que sale.

Teorema de Stocks (o del rotor): F dl = ∫∫ S x F.ds

Obs: la relación entre la orientación de la curva y de la superficie esta dada por la regla de la mano derecha.

En practica: Te piden calcular la circulación de una F (x, y, z) a lo largo de una curva.

xF =

i j k

∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z

F1 F2 F3

(F1, F2, F3) Componentes del campo que circula

Componente i = ∂/∂y F3 - ∂/∂z F2 (derivada respecto de y de F3 menos la derivada respecto de z de F2)

F dl = ∫∫ Axy x F F / |F´z| El gradiente del plano en el que encuentro la figura

El gradiente me define un sentido de recorrido con la regla de la mano derecha. Cuando

recorro la figura debo respetar este sentido (es distinto que )

Teorema de Green (Teorema de Stokes aplicado al plano xy):

F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy

Obs: El sentido de circulación corresponde a recorrer la curva de manera tal que la región S queda a la izquierda (en general sentido antihorario).

Obs: verificar que el campo F y sus derivadas están definidos en toda la región S.

Aplicación al calculo de áreas: F dl = ∫∫ S (∂f2/∂x -∂F1/∂y) dx dy. Si (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) es una constante K:

F dl = ∫∫ SK dx dy con K ≠ 0 = K Area (S)Area (S) = 1/K F dl, con (∂f2/∂x - ∂F1/∂y) = K ≠ 0

Caso particular: F (x, y) = (0, x) ∂f2/∂x - ∂F1/∂y = 1 Luego: Area (S) = (0, x) dl

Ejemplo: Calculo del Area de la elipse:

x ²/a ² + y ²/b ² = 1 G (θ) = (a cos (θ),b sen (θ))

Area (S) = (0, x) dl (0, a cos (θ)) . (a (-sen (θ)), b cos (θ)) d θ = a b cos ² (θ) d θ =

= a b (θ /2 + sen (2 θ)/4)|02.π (por tabla) = a b (π + 0) = a b π

Campos Conservativos: φ/ F (x) = φ (x)

Condición necesaria: Derivadas cruzadas iguales.

Búsqueda de φ :

F = (f1, f2) = (φ ´x, φ ´ y)

Luego, se construye con los términos comunes colocados 1 sola vez mas los términos no comunes mas una constante pura

φ = ∫ φ ´x dx = ∫ f1 dx = f1 (x, y) + k (y)

φ = ∫ φ ´y dy = ∫ f2 dy = f2 (x, y) + δ (x)

Integral por sustitución:

r √(4- r ²).dr = √u (-du/2) = 1/2 √u du = 1/2 1/2 1/ √u |04 = 1/2 1/2 1/4 = 1/16

u = 4- r ² Nuevos limites de interacción: reemplaza 0² en u = 4 - r ² 4-2 ² = 0 0

du = -2 r dr 4-0 ² = 4 4

du/2 = r dr

Para el calculo de Volúmenes y áreas se puede verificar con formulas ya conocidas:

vol esfera = 4/3 π R³ área elipse = a b π Luego, sumando y restando estos valores conocidos, se puede verificar el resultado.

Ecuaciones Diferenciales:Orden: el numero de la derivada mas alta.

Grado: el exponente de la derivada mas alta.(Y´) ² + Y = 4 (primer orden segundo grado)

Ecuación de 1er orden: y´ + a (x) y = b (x) linealesIdentifico a (x) y b (x) . Si y´ tiene un coeficiente se lo debe sacar multiplicando a ambos miembros por 1/ constante (esta constante puede ser una x).

Calculo u (x): u (x) = e ∫ a (x) dx.

Yg (x) = (∫u (x) b (x) dx + c) / u (x) y averiguo la solución general. Calculo c para el problema en particular con algún punto dato que nos hayan dado.

Regla de la mano derecha:

Demostraciones que se piden para los finales:Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa:

F´ (x0, ř) F i´ (x0, ř), 1≤ i≤ m

F´ (x0, ř) = lim h 0 (F (x0 + h ř) - F (x0))/h = lim h 0 G (h)

lim h 0 G (h) lim h 0 Gi (h), 1≤ i ≤ m

lim h 0 Gi (h) = lim h 0 (Fi (x + h ř) - Fi (x0)) /h = F i´ (x0 + h ř), 1≤ i ≤m