Sergio Yansen Núñez

Actividad N° 1

Calcule, en caso de existir, los siguientes límites:

a) lim limBÄ BÄ

#

$

#&

#

�

=/8Ð B� Ñ#B�$B

&�#B

#B�& �"

6 4 b) ˆ ‰

Ô ÕÔ Õ

Actividad N° 2

Sea una función definida como sigue:0

si

si

si

0ÐBÑ œ

� " B � #

+ B œ #

B � #

ÚÝÝÝÝÝÛÝÝÝÝÝÜ

B �%B�%#�B

' � B � #,B � #,

#

l l

È

Determine, si es posible, y tales que sea continua en .+ , − 0 B œ #‘

Actividad N° 3

a) Sea tal que ; ; ; .0ÐBÑ œ 1 1 B 1Ð"Ñ œ " 1Ð "Ñ œ # 1 Ð"Ñ œ % 1 Ð "Ñ œ $’ Š ‹“ˆ ‰# w w$

Determime .0 Ð "Ñw

b) Determine la derivada de 2ÐBÑ œ #=/8 Ð&BÑ 'ÐB "Ñ68ÐB $Ñ

$ $ &

%

Actividad N° 4

Sea C œ /B#

Determine tal que 1ÐBÑ C #C � 1ÐBÑ † C œ !ww

Sergio Yansen Núñez

Resolución

Actividad N° 1

Solución:

a) lim limBÄ BÄ

# #

$ $

#

=/8Ð B� Ñ =/8Ð B� Ñ#B�$B BÐ#�$BÑ

6 4 6 4œ

Sea ? œ B # #$ $entonces B œ ? �

lim

BÄ#

$

=/8Ð B� ÑBÐ#�$BÑ

6 4œ

lim?Ä!

=/8Ð Ð?� Ñ� Ñ

Ð?� ÑÐ#�$Ð?� ÑÑ

6 4#

$# #

$ $

œ

lim?Ä!

=/8Ð ?Ñ

Ð?� ÑÐ�$?Ñ

6#

$

œ

lim?Ä!

=/8Ð ?Ñ

Ð?� ÑÐ�$?Ñ

##

6#

$

† œ

lim?Ä!

�# �#

?�

=/8Ð ?Ñ'?# #

$ $

†

6œ † " œ $

b) limBĈ &

#

�‰

Ô ÕÔ Õ

&�#B

#B�& �"

�"!�"œ œ "

Actividad N° 2

Solución:

1) , # − H970 0Ð#Ñ œ +

2) existe lim lim limBÄ# BÄ#BÄ#

0ÐBÑ Í 0ÐBÑ œ 0ÐBÑ� �

lim lim lim limBÄ# BÄ# BÄ# BÄ#� � � �

0ÐBÑ œ � " œ � " œ B # � " œ "B �%B�%#�B �Ð#�BÑ

ÐB�#Ñ# #

l l

lim lim limBÄ# BÄ# BÄ#� � �

0ÐBÑ œ œ †È È È

È' � B � # ' � B � #,B � #, ,B � #,

' � B � #

' � B � #

Sergio Yansen Núñez

œ œlim limBÄ# BÄ#� �

'�B � %

,ÐB � #ÑÐ ' � B � #Ñ ,ÐB � #ÑÐ ' � B � #Ñ

�ÐB�#Ñ È È

œ œ limBÄ#�

�" "

,Ð ' � B � #Ñ %,È

lim limBÄ# BÄ#� �

0ÐBÑ œ 0ÐBÑ Í " œ Í , œ " "%, %

limBÄ#

0ÐBÑ œ "

$Ñ 0ÐBÑ œ 0Ð#Ñ Í " œ + limBÄ#

Por tanto, es continua en si y sólo si y .0 # + œ " , œ "%

Actividad N° 3

Solución:

a) 0ÐBÑ œ 1 1 B’ Š ‹“ˆ ‰# $

0 ÐBÑ œ $ 1 1 B † 1 1 B † 1 B † #Bw # w # w ##’ Š ‹“ Š ‹ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰

0 Ð "Ñ œ $ 1 1 " † 1 1 " † 1 " † # † Ð "Ñw w w#’ Š ‹“ Š ‹ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰

œ $ 1Ð "Ñ † 1 Ð "Ñ † % † Ð #Ñ’ “# w

œ $ † # † $ † Ð )Ñ#

œ #))

b)

2 ÐBÑ œw† †Ð#=/8 Ð&BÑ 'ÐB "Ñ Ñ 68ÐB $Ñ�Ð#=/8 Ð&BÑ 'ÐB "Ñ Ñ Ð68ÐB $ÑÑ

Ð68ÐB $ÑÑ

$ $ & w % $ $ & % w

% #

2 ÐBÑ œw

† †Ð'=/8 Ð&BÑ-9=Ð&Bц& $!ÐB "Ñ †$B Ñ 68ÐB $Ñ�Ð#=/8 Ð&BÑ 'ÐB "Ñ Ñ †%B

68 ÐB $Ñ

# $ % # % $ $ & $

# %

"

B � $%

Sergio Yansen Núñez

2 ÐBÑ œw

† †Ð$!=/8 Ð&BÑ-9=Ð&BÑ *!ÐB "Ñ B Ñ 68ÐB $Ñ�Ð#=/8 Ð&BÑ 'ÐB "Ñ Ñ

68 ÐB $Ñ

# $ % # % $ $ &

# %

%B$

B � $%

Actividad N° 4

Solución:

C œ /B#

C œ / † #B œ #/ Bw B B# #

C œ #Ð/ † #B † B � / † "Ñ œ %B / � #/ww B B # B B# # # #

Reemplazando la expresiones de , en se obtiene:C C C #C � 1ÐBÑ † C œ !ww ww

%B / � #/ #/ � 1ÐBÑ † / œ !# B B B B# # # #

%B / � 1ÐBÑ † / œ ! †# B B# # / "

/B#

%B � 1ÐBÑ œ !#

Por tanto, 1ÐBÑ œ %B#