Derivadas de Funciones Implicitas (1)

8/15/2019 Derivadas de Funciones Implicitas (1)

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Funciones implícitas

x− y

= xy − 6

tan (

x − 4 y )

=

x + y 4

7 x2 − 8 xy + 3 x − y 2+ 22 y − = 0

y = arc sen x4− y

2

Un$ #unc"*n escr"$ en #orm$ "m,l9c"$ ,uede es$r $s9 ,or dos r$:ones) un$& ,or5ue l$ !$%r"$+le de,end"ene -,or lo ener$l& l$ y / se$ $le+r$"c$mene "m,os"+le des,e$rl$& como cu$ndo$,$rece como ,$re de $l;n $rumeno $l m"smo "em,o 5ue no ,$re de $l;n $rumeno. Por

eem,lo& en 4 y = sen

(2 x − y

2

)

l$ !$r"$+le de,end"ene y $,$rece como ,$re del $rumeno

del seno ' $demás como no $rumeno en 4 y. L$ or$ r$:*n es s"m,lemene ,or5ue $s9 con!"no

escr"+"rl$& como en x2+ y + 7 = 0 -se ,odr9$ des,e$r l$ y /

dyP$r$ o+ener l$ der"!$d$ de un$ #unc"*n "m,l9c"$ se em,le$n l$s m"sm$s #*rmul$s

dx

' l$s m"sm$s rel$s de der"!$c"*n esud"$d$s


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cu$l ,uede de$ll$rse en l$ s"u"ene rel$)

Para derivar funciones imp!ci"as#

1$ Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas fórmulas antes vistas.

dy%$ Despejar , para lo cual:

dx

a$ Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términosque contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan.

dy&$ !actorizar en el lado izquierdo '

dx

dyc$ Despejar , dividiendo en el lado derecho el factor que le

dx

multiplica.

dyEem,lo 1) O+ener s"

dx

7 xy8− y

= 3 x + 4 y

Soluc"*n) P$so 1) A,l"c$ndo el o,er$dor der"!$d$ en $m+os m"em+ros de l$ "u$ld$d

d(7 xy8 − y )

=d

(3 x + 4 y )dx dx


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d 7 xy8 −

d y

=

d 3 x +

d 4

ydx dx dx dx

d 7 xy8 d '? d3=@

d4 '( )

dx dx N dx dx N

son de l$ #orm$) uv un cdu

dx

7 xd

y8

+ y8 d 7 x −

− 1 d y = 3 + 4

dy N dx

N dx N N Ndx dx

dv du

n%1

duu @ v n u

dx dx dx

7 x ⎡8 y

dy ⎤

+ y

8 [7] − y 2 dy

= 3 + 4

dy⎢

dx⎥

dx dx ⎣ ⎦

7 xydy

+ 7 y8 − y2dy

= 3 + 4dy

dx dx dx

P$so 2$) Escr"+"endo en el l$do ":5u"erdo odos los Brm"nos 5ue conen$n $ l$ der"!$d$ 'del l$do derec


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dyP$so 2+) F$cor":$ndo

dx

dy(7 xy − y 2 − 4)

= 3 − 7 ydx

dyP$so 2c) >es,e$ndo

dx

dy 3 − 7 y8=

dx 7 xy − y 2 − 4

dyEem,lo 2) C$lcul$r l$ der"!$d$ s"

dx y = x ln y + sen x

Soluc"*n) >e+e enerse cu"d$do con c$sos como Bse. A,$renemene l$ !$r"$+le y esá des,e$do ,or $,$recer del l$do ":5u"erdo como ;n"co Brm"no& ,ero re$lmene no esá des,e$d$ ,or el


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dy= x

dln y + ln y

d x + cos x

d x

dx N d

x N

Nd x

N

dx

dv du duu @ v cos u

dx dx dx

⎡ d y

⎤ dy

= x⎢

dx ⎥ + ln y [1] + cos x []

dx

⎢

y

⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎡ dy dy

= x⎢ dx

⎤⎥

+ ln y+ cos x

dx⎢

y⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦

dy= x dy

+ ln y + cos xdx y dx

Escr"+"endo en el l$do ":5u"erdo los Brm"nos 5ue con"enen $ l$ der"!$d$ ' del derec


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' #"n$lmene des,e$ndo l$ der"!$d$)

dy=

ln y + cos x

dx 1 −

x

y

Por l$s rel$s de escr"ur$& como no de+e de$rse el resul$do como un$ #r$cc"*n com,le$& esdec"r& #r$cc"*n so+re #r$cc"*n& enonces ,$r$ 5u"$r el denom"n$dor ,$rc"$l y +$s$ mul",l"%c$r numer$dor ' denom"n$dor ,or y)

dy=

y (l n y + cos x )dx

y ⎛1 −

x ⎞

⎝ y ⎠

dy =

y ln y + y cos xdx y − x

dyEem,lo ) $ll$r s"

dx x2 + 7 y − 4 x − y + = 0

Soluc"*n) >er"!$ndo en $m+os l$dos)

d x2 +

d7 y −

d4 x −

d y +

d =

d0

dx dx dx dx dx dx

x + 17 y 2dy

− 4 −d y

= 0dx dx

Escr"+"endo en el l$do ":5u"erdo los Brm"nos 5ue con"enen $ l$ der"!$d$ ' del derec


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17 y 2dy

−dy

= 4 − xdx dx

F$cor":$ndo l$ der"!$d$)

d y(17 y 2 − 1)

= 4 − x dx

' #"n$lmene des,e$ndo l$ der"!$d$)

dy=

4 − x

dx 17 y 2 −

1


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E(E)CICIO 1*

dyO+ener l$ der"!$d$ de l$s s"u"enes #unc"ones "m,l9c"$s)

dx

1/ 4 xy6

= 7 x2

− 8 y

/ y 2

− y = x2

− x

7/ 2 xy − 8 x + y = y − 6 x7

8/ y = 2 x + 8 y

3/ y = e x

+ e y

2/

4/

/

6/

10/

y + x = 3 − 4 x2 y

11 x y − 11 xy = x − 12 x

− y

4= 4 x y 2

y = y 4

− x4

y=

2 x− x

8

y

11/

1/

ln y + ln x = y − x

sen xy = xy

12/

14/

ln xy = xy

cos (2 x − 1 y ) = 2 x − 1 y

17/ tan ( x2 − y ) = x2 +

y

1/ x y2

− = 0 y x

2

18/ x − y = xy 16/ y ln x + x ln y = 0

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