Derivadas Direccionales

Derivadas Direccionales

Derivadas DireccionalesConceptos Básicos

Profesor: Danilo Gómez Correa

Universidad Andrés Bello

Segundo Semestre 2014

Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales


Contenidos

1 Derivadas Direccionales




DefiniciónSea una f : R3 → R , y sea ~u = cos(α)i + cos(β)j + cos(γ)k un vector unitario.Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u, que se denota D~u

es:

D~uf(x, y, z) = lımh→0

f(x+ h cosα, y + h cosβ, y + h cos γ)− f(x, y, z)

h

siempre que este límite exista.

TeoremaSi f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de fen la dirección del vector unitario ~u es:

D~uf(x, y, z) = fx(x, y, z) cosα+ fy(x, y, z) cosβ + fz(x, y, z) cos γ

Nota: Podemos denotar D~uf(x, y, z) =∂f

∂~u



Ejemplo

Hallar la derivada direccional de f(x, y) = 4−x2− 14y

2 (Superficie)

en (1, 2) en la dirección ~v =(cos

π

3

)i+

(sin

π

3

)j.

Ejemplo

Hallar la derivada direccional de f(x, y) = x2 sin 2y (Superficie)en (1, π2 ) en la dirección ~v = 3i− 4j.

Ejemplo

Hallar la derivada direccional de f(x, y, z) = 3x2 + xy − 2y2 −yz+ z2 (Superficie) en (1,−2,−1) en la dirección ~v = 2i−2j−k.



Propiedades

Si f : R3 → R es diferenciable, y ~u = (a, b, c) se tiene:1 D~uf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · ~u.2 ∇f(x, y, z) = 0, entonces D~uf(x, y, z) = 0, ∀~u3 La dirección de máximo incremento de f está dada por∇f(x, y, z). El valor máximo de D~uf(x, y, z) es:

‖∇f(x, y, z)‖ Valor Máximo D~uf(x, y, z)

4 La dirección de mínimo incremento de f está dada por−∇f(x, y, z). El valor mínimo de D~uf(x, y, z) es:

−‖∇f(x, y, z)‖ Valor Mínimo D~uf(x, y, z)



EjemploLa temperatura en grados Celsius en la superficie de una placametálica esta dada por:

T (x, y) = 20− 4x2 + y2

donde x e y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partirde (2,−3) aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasao ritmo de crecimiento?



Planos tangentes y rectas normales

DefiniciónSea f diferenciable en un punto P (x0, y0, z0) de la superficie S dada por f(x, y, z)tal que ∇f(x0, y0, z0) 6= 0.

1 Al plano que pasa por P y es nor-mal a ∇f(x0, y0, z0) se le llamaplano tangente a S en P .

2 A la recta que pasa por P y esnormal a ∇f(x0, y0, z0) se le llamarecta normal a S en P .

Figura: Plano tangente a la superficieS en P



Planos tangentes

TeoremaSi f es diferenciable en P (x0, y0, z0), entonces una ecuación del plano tangentea la superficie dada por f(x, y, z) = 0 en P (x0, y0, z0) es:

fx(P )(x− x0) + fy(P )(y − y0) + fz(P )(z − z0) = 0

La ecuación vectorial esta dada por:

∇f(x0, y0, z0) · ~u = 0

donde ~u = (x− x0)i+ (y− y0)j + (z− z0)k pertenece al plano tangente de f en P .



Rectas normales

TeoremaSi f es diferenciable en P (x0, y0, z0), entonces una ecuación del recta normal ala superficie dada por f(x, y, z) = 0 en P (x0, y0, z0) es:

x = x0 + fx(P )t

y = y0 + fy(P )t, con t ∈ Rz = z0 + fz(P )t

La ecuación vectorial esta dada por:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) · t(∇f(x0, y0, z0))

.



EjemploHallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide

z2 − 2x2 − 2y2 = 12

En el punto P (1,−1, 4).

EjemploHallar una ecuación del plano tangente al paraboloide

z = 1−1

10(x2 + 4y2)

En el punto P (1, 1, 12

).

EjemploHallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficiedada por xyz = 12 en el punto (2,−2,−3).



Observaciones1 El gradiente es normal a las superficies de nivel (¡Probar!)2 Se puede definir la ecuación de una recta tangente a una

curva.3 Se puede definir el ángulo de inclinación de un plano.


Derivadas Direccionales

Documents

Transcript of Derivadas Direccionales