Derivadas II
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Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel Curso de Matemáticas II Tema: Cálculo Diferencial rofesor: Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
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MATEMATICA
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Definici!n de deri"ada
#a deri"ada de una funci!n es la raz!n de cam$io de dicha
funci!n cuando cam$ia x% es decir% cuánto cam$ian los "alores
de y, cuando x cam$ia una cierta cantidad.
(amos a mostrar algunos e&em'los )a resueltos de deri"adas%
con la intenci!n de *ue ustedes "a)an deduciendo un
'rocedimiento +regla, 'ara resol"erlas.
x x f 3)( =
Regla 'ara
encontrar deri"adas
1−n ( )
Deri"adas es'eciales
11− ( )
= dx
E&em'los de deri"adas
13− ( )
= dx
E&em'los de deri"adas
14 −( )
= dx
E&em'los de deri"adas
Sea la funci!n:
Sean las funciones:
710 += x dx
5201524 45 +−−= x x x dx
df
Deri"a las siguientes funciones:
x xdx
de funciones
Si la funci!n *ue "o) a deri"ar f(x) es el 'roducto de las funciones g(x)
) h(x), e-iste una regla 'ara encontrar la deri"ada de esta funci!n.
) x( h ) x( g ) x( f =
dx
dx
Claramente 'odemos identificar g(x)= x/01 x ) h(x)=23 x/45
) recordando la regla 'ara deri"ar 'roductos de funciones
tenemos *ue
df −++−=
)3)(4()( 2 x x x f +−=
)2)(4()3)(1( 2 x x x dx
df −++−=
383 2 −+−= x x
)2)(3()( 2132 x x x x x f +−−= −−
)4)(3()2)(36( 232214 x x x x x x x x dx
df +−++−+= −−−−
34224 523 −−+= −− x x x
E&ercicios 'ro'uestos
de "arios factores
6n caso es'ecial en este ti'o de deri"adas% se 'resenta cuando
de$emos deri"ar más de dos factores o t7rminos. ara este caso
de$emos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores% es decir
)()()()( xh x g xe x f =
dx
dx
dx
de
dx
df )()()()()()( ++=
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( −−−+−−−+−−−= x x x x x x dx
df
)236()32)(5( 2 x x x x x x −++−++−+−−=
)56()25)(5( 2 x x x x −+−++−−= 22 56251025 x x x x x −+−−++−=
31203 2 −+−= x x
Deri"adas
Si la funci!n *ue "o) a deri"ar f(x) es un cociente de funciones g(x) )
h(x), e-iste una regla 'ara encontrar la deri"ada de esta funci!n.
) x( h
23
54 )(
Claramente 'odemos identificar g(x)=5 x01 ) h(x)=3 x4/) recordando
la regla 'ara deri"ar 'roductos de funciones
tenemos *ue
la mínima e-'resi!n% como fue en este caso.
2
2
)1(
10168
Deri"adas
Si la funci!n *ue "o) a deri"ar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, e-iste una regla 'ara encontrar la deri"ada de esta
funci!n.
2)45()( −= x x f
Claramente 'odemos identificar h(x)=1 x-5 ) recordando la regla de la
cadena
( ) ( )614367 2
1 2
1 2 −+−=
( ) 2 1
)
( ) 2 1
x x
x
x
x