Participante : Michelle CanelónC.I : 22.202.657

Derivadas Logarítmicas

En las ciencias matemáticas ,específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de una función f queda definida por la fórmula :

donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

• Derivada de un Logaritmo: en base a es igual a la derivada de la función

dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.

Ejemplo:

• Derivada de un Logaritmo Natural :

La derivada de un logaritmo natural es igual a la derivada de la función dividida por la función.

Ejemplo:

Propiedades de los logaritmos :En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.

Ejemplos:

A)

Aplicando las Propiedades de los logaritmos obtenemos :

B)

Aplicando las Propiedades de los logaritmos obtenemos:

C)

• Derivadas Parciales

La definición formal de derivada parcial sigue siendo el cálculo de un límite,

como la derivada de una función de una variable.

Sea U un subconjunto abierto de Rn y una función f: U→R. Definimos la

derivada parcial de f en el punto p∈U, p=p1,...,pn, respecto la

variable xi como:

• Derivada parcial de una función de varias variables

Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

Se muestra como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función :

Sabiendo que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu ,siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivadade u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que laderivada de u respecto y es 2y (con la x constante) Así tenemos:

Esta definición de derivada seextiende a funciones de tres o másvariables, por ejemplo, para unafunción de tres variables w =f(x,y,z) sus tres derivadas parcialesson:

en cada una de ellas se consideranconstantes los dos parámetros distintos alos que se realiza la derivada.

• Derivadas parciales de segundo orden

Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principiotenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:

(se lee "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)

Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:

En continuidad con el ejemplo, calculemos estas derivadas para la función :

Las derivadas son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema.

• Derivadas parciales de orden superior

A su vez, la derivada parcial puede verse como otra función definida en U y derivarse parcialmente. Si todas sus derivadas parciales existen y son continuas, llamamos a f una función C2; en este caso, el las derivadas parciales (llamadas parciales) pueden ser intercambiadas por teorema de Clairaut Schwartz.

En R2, si se cumple lo ya dicho, se asegura que:

• Ejemplo de cálculo de derivadas parciales