Derivadas Parciais

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O C y C x T x T y , , , , Para isso, vamos observar seu comportamento nas direções e isoladamente. Tomemos um ponto qualquer , do domínio de uma função , , como na figura ao lado, e vamos estudar o comportamento da na vizinhança desse ponto. Primeiramente vamos fixar o valor de e permitir que apenas varie. Isso equivale a estudar o comportamento da função ao longo da curva C x , interseção do gráfico da com o plano . Mas ao fixarmos o estamos, na verdade, definindo uma função de uma só variável , . Se é derivável em , vamos denominar esta derivada como a Derivada Parcial da f com relação a , no ponto , , e denotaremos , . Assim , ´ Ou, na notação de Leibniz : , , ´

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Derivadas Parciais, Funções de Várias Variáveis, Plano Tangente

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Page 1: Derivadas Parciais

O

Cy

Cx

Tx

Ty

��, ��•

� ��, �, � �, � �•

Para isso, vamos observar seu comportamento

nas direções � e � isoladamente.

Tomemos um ponto qualquer ��, �� do domínio

de uma função ���, �� , como na figura ao lado,

e vamos estudar o comportamento da � na

vizinhança desse ponto.

Primeiramente vamos fixar o valor de � e permitir que

apenas � varie. Isso equivale a estudar o

comportamento da função ao longo da curva Cx ,

interseção do gráfico da�com o plano � � �.

Mas ao fixarmos o � estamos, na verdade, definindo uma função de uma só variável

� � � � �, � . Se � é derivável em �, vamos denominar esta derivada como a Derivada

Parcial da f com relação a �, no ponto ��, ��, e denotaremos ����, ��. Assim

�� �, � � �´ �

Ou, na notação de Leibniz :

��� �, � � �� �, � � �´���

Page 2: Derivadas Parciais

Equivalentemente, se fixarmos o valor de � e permitirmos que apenas � varie, isso

equivale a estudar o comportamento da função ao longo da curva Cy , interseção do

gráfico da�com o plano � � �.

Pela definição de derivada podemos escrever:

�´ � � lim�→�

� � � � ����

O que nos fornece a expressão da derivada parcial da � , em termos de limite

�� �, � � lim�→�

� � � �, � ���, ��

Neste caso vamos definir a Derivada Parcial da f com relação a !, no ponto ��, �� por:

"

"�� �, � � �� �, � � lim

�→�

� �, � � � ���, ��

Page 3: Derivadas Parciais

Se tomarmos todos os pontos do domínio da � onde existem as derivadas parciais,

então podemos definir as Funções Derivadas Parciais da função f, as quais

denotaremos �� e �! , e serão dadas pelas expressões :

"�

"�� �� �, � � lim

�→�

� � � �, � ���, ��

"�

"�� �� �, � � lim

�→�

� �, � � � ���, ��

Na prática, para calcular a derivada parcial �� �, � de uma função �, basta tratar a

variável � como constante e derivar a função normalmente com relação a �, usando

as regras usuais de derivação.

Exemplos :

1. � �, � � �$� � 3��& ⇒ �� �, � � 2�� � 3�3 e �� �, � � �2 � 9��2

2. � �, � � �*+ � ,-��& ⇒ �� �, � � *+ �+.

/e �� �, � � �*+ � 3,-��2

Page 4: Derivadas Parciais

Sendo ���, ��uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais também o são.Logo, faz sentido falar nas derivadas parciais das funções derivadas parciais, ����� ,����� , ����� , ����� , as quais denominam-se Derivadas Parciais de Segunda Ordem.

Costuma-se usar as seguintes notações para as Derivadas Parciais de Segunda Ordem:

�� � � �// �"

"�

"�

"��"$

"�$�

�� � � �/+ �"

"�

"�

"��

"$

"�"��

�� � � �+/ �"

"�

"�

"��

"$

"�"��

�� � � �++ �"

"�

"�

"��"$

"�$�

Page 5: Derivadas Parciais

Exemplo: Para ���, �� � �3 � �2�3 2�2 vamos determinar ��, ��, ���, ���, ���*���

Teorema de Schwartz (Inversão da ordem das derivadas parciais) : Seja ��0, �0� umponto do dmínio da�. Se ��� e ��� forem ambas contínuas em ��0, �0�, então :

��� ��, �� � ��� ��, �� 12345

3/3+�

345

3+3/

����, �� � 3�2� 2��3 �� �, � � 3�2�2 4�

��� �, � �3

3+3�2 � 2��3 = 6��$��� �, � �

3

3/3�2� 2��3 = 6� �2�&

��� �, � �3

3/3�2�$ 4� = 6��$ ��� �, � �

3

3+3�2�$ 4� = 6�$� 4

Page 6: Derivadas Parciais

Podemos também definir as derivadas de ordem 3 ou maior, como por exemplo :

�/// �"&�

"�& , �+++�

"&�

"�& , �888�

"&�

"�&

�/++ �"&�

"�"�$ , �/+8�

"&�

"�"�"� , �+88�

"&�

"�"�$ , *9:.

Usando o Teorema de Schwartz pode-se mostrar que, assim como ocorre nas derivadasparciais de segunda ordem, podemos trocar a ordem de derivação sem alterar o

resultado. Ou seja :

���� � ���� � ����12���� � ���� � ����…

Exemplo: Para ���, �, �� � <*-�3� � ��� calcule ����, ����, �����

�� � 3 cos 3� � �� , �//� 9<*- 3� � �� , �/+� 3�<*-�3� � ���

�//+ � 9�:1< 3� � �� , �/+8� 3�<*- 3� � �� � ��:1<�3� � ���

Page 7: Derivadas Parciais

O

Cy

Cx

Tx

Ty

��, ��•

� ��, �, � �, � �•

Voltando a nossa figura, podemos ver que acurva Cx é, na verdade, o gráfico da função����, definida anteriormente, cuja derivadaé a própria derivada parcial �� .

Desta forma, podemos afirmar que:

� A derivada parcial �� mede a taxa devariação da função ���, �� quando nosdeslocamos na direção � , do mesmomodo que �� mede a taxa de variação da �

quando nos deslocamos na direção � ;

� O valor de �� fornece também a inclinaçãoda reta tangente ao gráfico da � na direçãoparalela ao eixo �, do mesmo modo que ��

fornece a inclinação da reta tangente aográfico da � na direção paralela ao eixo �.

É importante notar que as retas Tx e Ty , paralelas respectivamente aos eixos � e � etangentes ao gráfico da � , definem o Plano Tangente ao gráfico da � no ponto P .

Page 8: Derivadas Parciais

Tomemos a função ���, �� � 4 �2 2�2 . VamosDeterminar ���1,1� e ���1,1� e esboçar as retastangentes a superfície que representa o gráfico a função.

4

2

2(1,1)

� � 1

�1,1,1�•

@�

� � 4 �2 2�2

�/ �, � �"�

"�� 2� ⇒

�/ 1,1 � 2

Fazendo � � 1 na expressão da função �determinaremos @� .

� � 2 �2

Que nesse caso é uma parábola.

Determinando a derivada parcial ���1,1�

Assim, a inclinação da reta tangente noponto P (1,1,1) é -2. E a equação da reta é

� � 2� � 3

Primeiramente, notamos que ��1,1� � 1

Page 9: Derivadas Parciais

4

2

2(1,1)

� � 1

�1,1,1�

@�

� � 4 �2 2�2

�+ �, � �"�

"�� 4� ⇒

�+ 1,1 � 4

Fazendo � � 1 na expressão da função �determinaremos @� .

� � 3 2�2

Que nesse caso é uma parábola.

Determinando a derivada parcial ���1,1�

Assim, a inclinação da reta tangente noponto P (1,1,1) é -4. E a equação da reta é

� � 4� � 5

Page 10: Derivadas Parciais

O

Cy

Cx

Tx

Ty

��0, �0�•

��0, �0, �0�•

Tomemos um ponto ��0, �0�do domínio dafunção � �, � evamos chamar de �0 o valor dafunção neste ponto. Ou seja, �0 � � �0, �0 .

Vamos então determinar a Equação do Plano

Tangente ao gráfico da função no ponto��0, �0, �0�, em função das suas derivadasparciais neste ponto.

Tomemos inicialmente a equação geral de um planopassando pelo ponto , que pode ser escrita naforma :

� �0 � � � �0 � � � �0

Mas para que esse plano seja tangente ao gráfico da �, devemos impor a condição de quea interseção do mesmo com o plano vertical � � �0 seja a reta Tx , tangente ao gráfico da� no ponto P. Ou seja, substituindo � � �0 na equação acima, devemos ter� � �� �0, �0 , o que nos dará:

� �0 � � � �0 ⇒ � �0 � �� �0, �0 · � �0 �1�

Analogamente, devemos ter também : � �0 � �+ �0, �0 · � �0 �2�

Page 11: Derivadas Parciais

Combinando as equações (1) e (2) , chegamos a equação do plano tangente aográfico da � no ponto ��0, �0, �0�.

Exemplo: Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função� �, � � 4 �2 2�2, no ponto �1,1,1�.

Como já calculamos anteriormente :

�/ �, � �"�

"�� 2� ⇒ �/ 1,1 � 2 �+ �, � �

"�

"�� 4� ⇒ �+ 1,1 � 4e

Logo, usando a expressão do plano tangente, como deduzida acima, ficamos com :

� �0 � �/ �0, �0 � �0 � �+ �0, �0 � �0 ⇒

� 1 � 2�� 1� 4�� 1�

ou� � 2� 4� � 7

� �0 � �/��0, �0� � �0 � �+��0, �0� � �0

Page 12: Derivadas Parciais

Determine a equação do plano tangente ao gráficoda função ���, �� � 2�2 � �2, no ponto �1,1,3�.

�/ �, � �"�

"�� 4� ⇒ �/ 1,1 � 4

�+ �, � �"�

"�� 2� ⇒ �+ 1,1 � 2

Assim a equação do plano tangente em �1,1,3� é :

� 3 � 4 � 1 � 2�� 1�

ou

� � 4� � 2� 3�

•�1,1,3�