DERIVADAS - UNIDAD IV
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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
UNIDAD 4
DERIVADAS
Estoy bien, estudio bien
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
DERIVADAS
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante conozca y aplique los
conceptos básicos referentes a las derivadas, creando conciencia de la importancia que
en la actualidad tiene este concepto en las matemáticas y en la vida cotidiana.
OBJETIVOS – PROBLEMAS
Manejar, entender y aplicar la noción de derivada en distintos campos de la vida
cotidiana.
EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA
¿Cuál es el concepto de Derivada?
¿Cómo puede aportar la Derivada en la vida cotidiana?
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REFERENTES TEÓRICOS
DERIVADA Y SUS APLICACIONES
En 1604, en la cumbre de su carrera científica, Galileo llegó a la conclusión de que para un
movimiento rectilíneo en el que la velocidad aumenta proporcionalmente a la distancia
recorrida, la ley del movimiento debía ser precisamente aquella que él había descubierto
en la investigación de la caída de los cuerpos. Entre 1695 y 1700.Ninguno de los números
mensuales de las actas Eruditorum de Leipzig se publicó sin artículos de Leibniz, de los
hermanos Bernoulli o del Marqués L`Hôpital que trataban, con notación ligeramente
distintas de la de hoy día en uso, problemas más variados de cálculo diferencial cálculo
integral y del cálculo de variaciones. Así en el espacio de casi precisamente un siglo el
cálculo infinitesimal o como se le suele llamar ahora en ingles “Calculus”, el instrumento
de calcular por excelencia, fue forjado; y casi tres siglos de uso constante no han agotado
este instrumento incomparable.
“NICHOLAS BOURBAKI”
Si bien el concepto de función es fundamental, que es importante el uso de los límites y la
continuidad y que el estudio de las cotas superiores es esencial, todo lo que hemos visto
hasta ahora es un preparación para las ideas brillantes que vienen en adelante y que son
el arma fundamental del cálculo infinitesimal, definiremos primero las definiciones
matemáticas precisa y discutiremos su significado en términos de problemas matemáticos
PRINCIPIO GEOMETRICO DE LA DERIVADA:
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Recordemos inicialmente que:
La recta secante toca la curva en dos puntos
La recta tangente toca la curva en un punto
Euclides: En sus estudios geométricos, este sabio de la antigüedad, consideraba la
tangente como la recta que tocaba a una curva circular en un punto. El problema era que
se limitaba a círculos y no consideraba otro tipo de curvas.
La tangente a un círculo en un punto dado, se construye definiendo un punto P sobre la
curva, así se forma el segmento OP, entonces la recta perpendicular al segmento OP, se le
llama recta tangente a la curva en el punto P.
Arquímedes: Otro de los sabios de la antigüedad que se intereso por determinar .Como se
puede obtener la pendiente de una recta tangente de una curva en un punto dado? Los
intentos fueron parciales.
En la edad media con la aparición de la Geometría analítica, cuyo gestor Renato Descartes
(1.596 – 1.659) se pudo obtener la tangente de cierta curva como la parábola y la elipse,
pero dichos métodos fueron muy limitados y vagos como para poder aplicarlos en forma
general. La solución dada inicialmente se atribuye a Leibniz, quien trabajo en la
determinación de la recta tangente de una curva en un punto determinado.
El proceso que vamos a analizar se centra en determinar la pendiente de la recta tangente
en un punto dado de cualquier curva que es la grafica de la función y = f(x), la grafica
siguiente nos ilustra dicho análisis.
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Como se observa en la grafica, se presenta una recta secante que pasa por los puntos P y
Q. Para hallar la recta tangente, hacemos que el punto P quede fijo y el punto Q se
desplace por la curva hasta llegar a P. Cuando P y Q coinciden, se obtiene la recta
tangente en el punto P. Para que esto ocurra, x se va reduciendo; tendiendo a cero.
Por la definición dependiente:
Según la grafica y , y , de
donde obtenemos que
, así para obtener la pendiente en el punto P, se debe
hacer que x → 0 y aplicar el límite al cociente, por lo que obtenemos que la pendiente de
la recta en un punto de una curva es:
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Ejemplo:
Hallar la pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31)
Solución:
Para hallar la pendiente solo se requiere calcular m, lo cual se puede hacer aplicando la
expresión dada anteriormente:
, luego como , entonces , es decir que la
pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31) es 10.
PRINCIPIO FÍSICO DE LA DERIVADA:
Desde épocas antiguas, los científicos se han preocupado por analizar la naturaleza y
específicamente el movimiento. Por ejemplo Keppler se preocupo por el movimiento de
los planetas. Galileo y Newton, se preocuparon por el movimiento de los cuerpos. Todos
ellos tuvieron que ver con el concepto de la Velocidad.
Inicialmente se trabajaba lo que se denomina la velocidad promedio, que se determina
conociendo dos puntos de la distancia y el tiempo en recorrer dicha distancia
O
Nuestra situación se centra en determinar la velocidad en un instante dado; es decir,
cuando el cambio en el tiempo sea lo más cercano posible a cero.
La grafica nos ilustra que cuando h (cambio del tiempo) se hace muy pequeño, los dos
puntos se acercan de tal manera que coinciden y así se obtiene la velocidad en un punto
determinado, lo que se conoce como la velocidad instantánea. El término h es análogo a
x en el análisis de la pendiente
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Así la velocidad instantánea será:
Donde:
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Ejemplo:
Un objeto cae libremente por efecto de la gravedad, la función que determina el
movimiento está dada por: ¿Cual será la velocidad a los 3 seg Del inicio de la
caída?
Solución:
, luego cuando han transcurrido 3 seg la velocidad en ese
instante es
DEFINICIÓN:
La función es derivable en a si
En este caso el límite se designa por y recibe el nombre de derivada de en a
(Decimos también que es derivable si es derivable en a para todo a en el dominio de
.
Nótese que el símbolo hace referencia a una notación funcional donde para
cualquier función designamos por como la función cuyo dominio es el conjunto de
todos los números tales que es derivable en y cuyo valor tal numero es
La funcion recibe el nombre de derivada de
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De acuerdo a nuestra definición de derivada podemos decir que:
Se define la tangente a la grafica de en como la recta que pasa por y
tiene como pendiente . Esto quiere decir que la tangente en solo esta
definida si es diferenciable en .
Se define la velocidad instantanea de una particula en que se mueve a lo largo de una
curva como la derivada de la funcion s en el punto , esto es . La derivada de
en se puede denotar con cualquiera de las siguientes expresiones
DEFINICION:
La función f(x) es diferenciable en c (a, b), si f’(c) existe; además, y = f(x) es diferenciable
en el intervalo (a, b), siempre y cuando f(x) sea diferenciable en todos los puntos del
intervalo dado.
TEOREMA:
Si es diferenciable en un punto a, entonces es continua en a
DEMOSTRACION:
Esto es y por lo tanto
Observación:
El reciproco de la anterior definición NO siempre se cumple; es decir, si una función es
continua NO necesariamente es derivable.
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EJEMPLO:
Verificar si la función es continúa y derivable en siendo definida de la
siguiente manera
Solución:
Recordemos que para que una función sea continua en un punto se deben cumplir las
siguientes condiciones
1. La existencia de
2.
3.
1° paso: se verifican las tres condiciones de continuidad esto es
existe debido a que es decir cumple la
condición (1) de continuidad
Entonces cumple la condición 2 de continuidad
Así que cumple la condición 3 de continuidad.
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2° paso: Ahora se verifica la condición de derivada en un intervalo cercano a 2 por la
derecha y por la izquierda, si el resultado es igual por los caminos podemos decir
que la función es derivable en ese punto, de lo contrario afirmaremos que la función
no es derivable en ese punto. Esto es
Deben ser iguales
Por lo tanto
Por lo anterior, podemos concluir que la función es continua, pero no diferenciable
en el punto .
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PROPIEDADES DE LA DERIVADA
En esta sección mostraremos una serie de propiedades que nos permitirán calcular la
derivada de algunas funciones sin tener que emplear la definición
NOMBRE FORMA GENERAL EJEMPLO
DERIVADA DE UNA
CONSTANTE
Si entonces ,
donde k es una constante
, entonces
DERIVADA DE UNA
POTENCIA
Si entonces
entonces
DERIVADA DE UNA
COSNTANTE POR UNA
FUNCIÓN
Sí entonces
, entonces
DERIVADA DE UNA SUMA O
UNA DIFERENCIA
Sí entonces
entonces
DERIVADAD DE UN
PRODUCTO
Sí entonces
DERIVADA DE UN COCIENTE Sí
entonces
Entonces
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DERIVADA DE UNA
FUNCION COMPUESTA(
Regla de la cadena)
Sí entonces
entonces
DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES:
NOMBRE FORMA GENERAL
Derivada de la función
Si ; entonces
Derivada de la función
Si ; entonces
Derivada de la función
Si ; entonces
Derivada de la función
Si ; entonces
Derivada de la función
Si ; entonces
Derivada de la función
Si ; entonces
NOMBRE FORMA GENERAL
Derivada de la función
Si entonces
Derivada de la función
Si entonces
Derivada de la función
Si entonces
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Derivada de la función
Si entonces
Derivada de la función
Si entonces
Derivada de la función
Si entonces
EJERCICIOS RESUELTOS:
1. Emplear la definición de derivada para calcular la derivada de la función:
A. B.
SOLUCIÓN:
A.
B.
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2. Calcular la derivada de las siguientes funciones empleando las propiedades de la
derivada:
A. D.
B. E.
C. F.
SOLUCION:
A. Sabemos que
, por lo tanto si , entonces
B. Si , entonces
C. Si , entonces
D. Si
, entonces
E. Si , entonces
F. Si , entonces
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DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLICITA:
Toda función se puede expresar de dos formas:
- Explícitamente y = f(x); es decir, la variable independiente se puede separar de la
variable dependiente.
- Implícitamente f(x, y) = k, en este caso la variable independiente NO se puede separa
fácilmente o en caso extremos no se puede separa de la variable dependiente.
Las funciones que se presentan a continuación están dadas implícitamente:
Para resolver derivadas de funciones implícitas, se propone a continuación los pasos que
se consideran pertinentes realizar:
1. Definir en la ecuación la función y la variable, para saber respecto a que variable se
debe derivar.
2. Derivar los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta todos los principios
de la derivación.
3. Agrupar los términos que contengan el diferencial
, para obtener el factor
común de dicho diferencial.
4. Despejar de la expresión obtenida
5. Finalmente se obtiene la derivada
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EJEMPLOS:
1. Calcular
de la función
Solución:
Tenemos inicialmente que:
(Aplicando la regla de la cadena)
(Aplicando la regla de la cadena y la derivada de un
producto)
Así tenemos que si , entonces al derivar implícitamente
se obtiene que
, luego al despejar
obtenemos que
, por tanto
2. Calcular la derivada con respecto a la variable x de la función
Solución:
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Así obtenemos al derivar implícitamente la función
que
, luego
, de donde
obtenemos
De donde finalmente tenemos que
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD
- Taller de Ejercicios
- Evaluación Unidad.
RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE
Computador
Acceso a internet
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BIBLIOGRAFIA
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