DERIVADAS Y LIMITES AL INFINITO LEONEL JOSÉ ARDILA LAZARO CALCULO II TUTOR: MARIA EUGENIA MONTERO

DERIVADAS

Devirvada en un punto:

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

DERIVADAS

2)Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.1) Calcular la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

EJEMPLOS:

DERIVADAS

DERIVADAS LATERALES:

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

en x = 0

Como no coinciden las derivadas laterales la función no tiene derivada en x = 0.

FORMAS DE DERIVACIÓN

DERIVADA EN LA VIDA DIARIA6. Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresiónv(x)= (2-x).ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en quemomento del intervalo circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad yen cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?RTA:

Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si danegativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en esepunto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)

La derivada es:v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x. ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex

Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puede ser cero)Estudiamos v en los alrededores de 1

v ‘ + 1 - 2y crece decrece

Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamoslos valores en ese punto y en el extremo:v(x)= (2-x)ex

v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)v(0)=(2-0).1=2v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.

LIMITE AL INFINITO

Esto indica que el límite de F® es un número desconocido de gran tamaño. Este tipo de

límites es conocido como Límite Infinito. Los límites infinitos significan básicamente que el

límite es imaginario, es decir, el valor de la función se puede hacer tan grande como

queramos tomando los valores de r suficientemente cerca de 0.

Por ejemplo: una función x = 3y tiene límites infinitos. A medida que y aumenta, 3y

también aumenta y cuando y se acerca al infinito, el límite de 3y se vuelve infinito.

Ordenes de Infinito

Ejercicios