des Matrices

Apuntes de la Cátedra:

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA

Ing. Rodolfo Iturraspe Profesor AsociadoProf. Juana Candia J. de Trabajos PrácticosIng. Sergio Luppo Auxiliar de Primera

Año 2001

UNPSJB – Facultad de Ingenieria – Sede Ushuaia

TEMA: ALGEBRA MATRICIAL

Cátedra Algebra y Geometría ALGEBRA MATRICIALFac. Ingeniería UNPSJB – Sede Ushuaia

ALGEBRA MATRICIAL

Contenidos:Suma. Producto por un escalar. Transposición. Producto matricial: Definición y propiedades. Matriz Inversa. Ecuaciones matriciales. Forma matricial de un S.E.L.. Potencia de una matriz cuadrada. Matrices cuadradas especiales. Operaciones elementales. Matrices elementales. Equivalencia. Determinación de la inversa mediante la aplicación de operaciones elementales-Gauss Jordan. Teorema de Cramer .Matrices particionadas.

Suma de matricesSean A, B matrices de orden m x n sobre un cuerpo de escalares K. A=(aij) ; B= (bij) A+B= (aij+bij)

+ =

Sumar matrices es sumar los elementos que ocupan posiciones homólogas. Tales escalares tienen estructura de cuerpo (como los Reales y los Complejos) y por lo tanto las propiedades de la suma de matrices están ligadas directamente a las propiedades que los escalares verifican en relación a la suma.

Propiedades de la suma

Ley de composición interna

A, B matrices K mxn (A+B) es matriz K mxn

Demostración: La definición preserva el orden de la matriz suma, que siempre queda definida porque sus elementos son de la forma aij+bij, o sea suma de los escalares de A y de B. Como pertenecen a un cuerpo de escalares, aij+bij siempre tiene solución.

Asociatividad

A+(B+C) = (A+B)+C A+(B+C) =(aij) + ((bij)+(cij))ij, aij+[bij+Cij]= [aij+bij]+Cij por asociatividad en el cuerpo de escalares K A+(B+C) = ((aij)+((bij)) + (cij)) = (A+B) + C

Neutro la matriz nula N de orden nxm / ij: nij=0 que verifica A+N= A =N+A A+N= (aij + 0)=(aij)= A

InversoA Km x n, A’ Km x n / A+ A’ = 0 (matriz nula)Si A= (aij) -> A’ = (-aij)

1

a11 a12 …a1n

a21 a22 …a2n

… … …

am1 am2…amn

b11 b12 …b1n

b21 b22 …b2n

… … …

bm1 bm2…bmn

a11+b11 a12+b12 …a1n+b1n

a21+b21 a22+b22 …a2n+b2n

… … …

am1+bm1 am2+bm2 … amn+bmn

am2+bm2…amn+bmn


La existencia de inverso aditivo u opuesto permite definir la resta A-B como la suma entre A y el opuesto de B: A-B= A+B´= A + (-B)

Conmutatividad

Por ser escalares conmutatIvos los componentes de las matrices, la suma de matrices es también conmutativa:

A+B = B+A ya queA+B= (aij) + (bij) = (aij+bij) = (bij+aij)= B+A

Dado que se cumplen estas propiedades, la estructura algebraica(1) (Kmxn, +) es un grupo conmutativo.

Producto de una matriz por un escalar

Sea A= (aij) Kmxn, y un escalar del cuerpo K

. A = (aij) =

.A es siempre otra matriz del mismo orden que A. El alumno puede demostrar que , K y A, BKmxn:

1) (+).A= A + A2) (A+B) = A + B3) ()A = (A)

Transposición de matrices

Sea A= (aij) Kmxn Definimos AT = (aji) AT tiene por filas las columnnas de A y sus columnas son las filas de A, por lo tanto su orden es mxn.Ejemplo:

A= AT=

Propiedades de la transposición

(AT)T= A

(A+B)T= (aij+bij)T = (aji+bji)= (aji)+(bji) = AT+BT

1 Definida una operación en un conjunto, tendremos una estructura algebraica de grupo conmutativo si la operación entre elementos del conjunto verifica las propiedades: ley de composicion interna, asociatividad, neutro, inverso y conmutatividad. Otros grupos conmutativos son: (N, +) ; (R, +); etc. No es G.C. (R, . ) porque 0 no tiene inverso multiplicativo pero sí lo es (R- 0 , .)

2

a11 a12 …a1n

a21 a22 …a2n

… … …

am1 am2…amn

a b c d e f g h

a eb fc gd h


Producto de matrices

Consideraremos en principio el producto entre dos matrices de una sola línea de la forma:

A= (a11 a12 …a1n) ; B= Donde A es de orden 1x n y B es nx1

AxB = a11b11+a12 b21+ ….+ a1n bn1 = c (resulta una matriz de orden 1x1, o sea un escalar)AxB= k=1,n a1k bk1

Generalizaremos sobre esta base el concepto de producto matricial. Para que éste sea posible, se requiere cierta relación entre el orden de las matrices: las filas de la primera deben tener igual cantidad de elementos que las columnas de la segunda. Entonces cada elemento cij de la matriz producto es el resultado de multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda.

i x =

A x B = C [m x p] [p x n] [m x n]

Conclusión: El producto entre matrices rectangulares sólo es factible bajo las condiciones de orden ya expresadas. El número de filas de la matriz producto queda definido por el número de filas del primer factor interviniente y el número de columnas, por la cantidad de columnas del segundo. El alumno puede comprobar que la conmutación de los factores es inviable, salvo en el caso de matrices cuadradas del mismo orden.

En un conjunto de matrices de orden mxn , esta operación no es generalmente ley de composición interna, ya que cuando m n el producto entre matrices del mismo orden ni siquiera está definido. No obstante en el caso de matrices cuadradas (m=n) el producto entre matrices del mismo orden siempre da como resultado otra matriz del mismo orden. Veremos que las matrices cuadradas revisten especial interés dentro del álgebra matricial.

3

c11 c12… c1j … c1n

c21 c22… c2j … c2n

ci1 ci2… cij= ai1b1j+ai2b2j+…aipbpj cin

cm1 cm2… cmj … cmn

b11

b21

…..bn1

a11 a12 …a1p

… … …

ai1 ai2 …aip

… … …

am1 am2…amp

b11 … b1j …b1n

b21 … b2j …b2n

…………………….

bp1 … bpj …bpn

j

j

i

AxB= (aij)x(bij) = (cij) / cij = k=1,n aik bkj

enlace necesario para producto factible

orden de la matriz producto


Ejemplos de aplicaciones del producto matricial

Ejemplo 1: Sea el caso de una empresa que fabrica 6 productos distintos. Cada artículo tiene un costo de materia prima, de mano de obra y de energía consumida para su fabricación. La matriz de la matriz A es la matriz de costos unitarios para cada artículo por rubro. La matriz B contiene las cantidades producidas por artículo y por mes. El producto AxB da una matriz de costos mensuales de toda la producción por cada uno de los tres rubros indicados.

costos unidades producidas

art1 art2 art3 art4 art5 art6 mes1 mes2 mes3 mes4Costos de materia prima por art. 10 5 2 3 5 3 art1 100 300 0 100Costos de mano obra por art. 4 3 1 2 3 2 art2 200 0 500 200Costos de energía por art. 1 0 1.5 2 2 2 art3 0 0 200 220

A art4 0 400 100 100

art5 200 100 0 50art6 200 100 300 300

BMatriz de costos mensuales de producción

mes1 mes2 mes3 mes4

Materia prima 3600 5000 4100 3890Mano de obra 2000 2500 2500 2170Energía 900 1500 1100 1330

C= AxB

Puede apreciarse que si se agregan nuevas columnas a la matriz B, correspondientes a nuevos meses, el producto puede realizarse sin inconvenientes, resultando nuevas columnas en la matriz producto.

Esta forma de trabajo permite sistematizar en forma eficaz el cálculo (las matrices podrían ser mucho más grandes), el cual se puede realizar en forma sencilla con cualquier planilla de cálculo.

Ejemplo 2: Aplicación geométrica

El producto entre A= y la matriz columna X= es la matriz X’ cuyos elementos de la segunda fila cambian de signo respecto de X. A . X = X’

= El mismo efecto se verifica cuando X tiene varias columnas

El triángulo de la figura queda determinado por las coordenadas de sus vértices. Es posible almacenar tales coordenadas como columnas en la matriz X. El producto A.X =X’ es una nueva matriz de coordenadas que genera una imagen simétrica de X respecto del eje horizontal

4

1 0 0 -1

1 0 0 -1

x y

x -y

FiguraX

FiguraX’

P1

P2

P’3

P’2

P3

P’1

0

1

2

3

-2

-1

-3 1 0 0 -1

P1 P2 P3 1 5 2 3 2 1

P’1 P’2 P’3 1 5 2 -3 -2 -1

=

x y


El producto matricial es una herramienta importante en aplicaciones relativas a la geometría del plano y del espacio según se verá en unidades posteriores.

Propiedades del producto entre matrices cuadradas

Recordamos la multiplicación entre matrices cuadradas del mismo orden es siempre factible, resultando otra matriz del mismo orden, lo que motiva una serie de propiedades y aplicaciones relativas al producto entre este tipo de matrices, lo cual motiva un análisis particular de las propiedades.

Ley de composición interna. A, B Knxn AxB Knxn Se deduce directamente de la definición y de las

consideraciones expuestas previamente.

Asociatividad (1)

Ax(BxC)= (AxB)xC

Sea BxC=D ij: dij = k=1,n Bik Ckj

Ax(BxC)= AxD = E ij eij= t=1,n ait dtj

pero dtj= k=1,n Btk Ckj

eij= t=1,n ait (k=1,n Btk Ckj) = t k ait Btk Ckj

eij= k t ait Btk Ckj

Analizamos (AxB)xC:AxB= F= (fij)/fij=t ait Btj

E’ = FxC= (e’ij) / e’ij = k=1,n fik Ckj =

k=1,n (t=1,n ait Btk) Ckj=

e’ij =k t ait Btk Ckj =eij

e’ij =eij ij Ax(BxC)= (AxB)xC

Existencia de neutro. I Knxn / A Knxn IxA=AxI=AI es la matriz identidad. I= (aij)/ Se puede verificar fácilmente que Ax I=A

x = A

Distributividad del producto respecto de la suma (1)

Ax(B+C) = AxB+AxC(B+C)xA = BxA+CxA

(1) Propiedad extensible al producto entre matrices rectangulares.

5

reemplazando fik= t=1,n ait btk

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

… … …

an1 an2… ann

1 0 …. 00 1 0 .. 0………….0 …. 0 1

aij=1 si i=j aij=0 si ij

Demostración a cargo del alumno. Puede emplearse procedimiento similar al utilizado para la Asociatividad


Una importante particularidad del producto matricial es que no se cumple la conmutatividad para la generalidad de los casos.

Matriz inversa

Si A-

1

existe, se dice que A es inversible, no singular o regular.

No todas las matrices cuadras admiten inversa, tales como la matriz nula y muchas otras, según se verá mas adelante.

El método de cálculo de la inversa de una matriz se estudiará más adelante. El análisis de existencia o no de inversa es uno de tópicos fundamentales del álgebra matricial, ya que de la categorización de una matriz como singular o no singular resulta información muy valiosa relativa a la matriz, al sistema de ecuaciones que pudiera representar y al valor de su determinante.

Inversa del producto

Sean A y B matrices cuadradas n x n

(A . B)-1= (B-1.A-1) ya que (A . B) . (B-1.A-1) = [A .(B . B-1)] .A-1 = [A . I ].A-1= A . A-1= Iy en general: (A1.A2.A3 …..An)-1= (An-1….A3-1.A2-1.A1-1)

Lo que puede demostrarse en forma estricta por inducción.

Transpuesta del producto

Sean: AKmxp ; B Kpxn (A.B)T = BT.AT

Demostración: Análisis dimensional: A.B es de orden mxn (A.B)T es de orden nxmBTy AT son respectivamente nxp y pxm, es factible el producto BT.AT cuyo orden es nxm, orden (BT.AT) = orden ((A.B)T)Luego

A.B= C / cij = (aik bkj) (A.B)T = CT / cji = (aik bkj) k=1,p k=1,p

Estudiamos el producto BT.AT según la fila j y la columna i, ya que determinan cji:

. =

Resulta cji= (aik bkj) BT.AT= (A.B)T k=1,p

6

Dada una matriz cuadrada A Knxn, la inversa de A, si existe, es la matriz A-1, de igual orden que verifica: A-1 x A = I = A x A-1

c11 c12… c1i … c1m

c21 c22… c2i … c2m

cj1 cj2… cji= ai1b1j+ai2b2j+…aipbpj cjm

cn1 cn2… cmi … cnm

b11 b12 …b1p

… … …

b1j b2j …bpj

… … …

bm1 bm2…bmp

a11 … a1j …a1n

a21 … a2j …a2n

…………………….

ap1 … apj …apn

j

i

La fila j de BT se integra con los elementos de la columna j de B . La columna i de AT es la fila i de A


Ecuaciones matriciales

Es posible plantear ecuaciones en las que intervienen matrices. Por ejemplo: A . X = B

donde A y B son matrices conocidas, A es una matriz cuadrada, y los órdenes de X y de B son compatibles con el producto planteado.

Tal como en los números reales, hay condiciones para la existencia de solución. El álgebra matricial nos permite estudiar el problema y encontrar solución si la hubiera.

A-1.(A . X) = A-1.BAplicando asociatividad: (A-1.A) . X = A-1.BI .X= A-1.B X = A-1.B

Ejemplo 1: Resolver la ecuación matricial:

= ( A.X = B)

La matriz A= tiene una inversa fácil de determinar, que es: A-1= (el alumno puede verificar que AxA-1=I)

X = A-1.B = . =

Aplicaciones frecuentes corresponden al caso en donde X es matriz columna. En tal situación, B es también matriz columna.

Ejemplo 2:

= X = =

7

2 0 0 ¼

1 -2 0 3

x11 x12

x21 x22

½ 0 0 4

½ 0 0 4

1 -2 0 3

½ -1 0 12

2 0 0 ¼

2 1

x11 x21

½ 0 0 4

2 1

1 4

2 0 0 ¼

Si A-1 existe solución única:


Forma matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales

Todo SEL se puede expresar como una ecuación matricial. En efecto, el sistema:

a11 X1 + a12 X2 + ….. + a1n Xn = b1 a21 X1 + a22 X2 + ….. + a2n Xn = b2 …..am1 X1 + am2 X2 + ….. + amn Xn = bm

es el desarrollo de la ecuación matricial A . X = B donde:

A= ; X= ; B=

A: matriz de coeficientes del sistema(orden mxn), X: matriz de las variables (orden nx1) B :matriz de los términos independientes (orden mx1); m: cantidad de ecuaciones n: cantidad de incógnitas del sistema.

Este planteo permite tratar los SEL mediante herramientas de álgebra matricial.

Potencia de una matriz cuadrada (exponente Natural)

Si la matriz A no es cuadrada, la potenciación no es posible porque tampoco lo es el producto A.A

AplicacionesDos especies x , y tienen tasas de crecimiento del 20% y del 30% respectivamente

por unidad de tiempo. La matriz A por una matriz columna de población inicial P0= da otra matriz columna que representa la población en el tiempo 1 P1=

= =

La población en el tiempo 2 es: A . P1 = A . (A . P0) = A2 . P0

Al cabo de k períodos de tiempo la población está dada por Pk = = Ak . P0 = .

8

a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n …………………..am1 am2 ... amn

X1X2 .. ..Xn

b1b2 .. ..bm

An = A. A . A ….A

n veces

Definición: A0 = I A1= AAn+1 = An . A (n Natural)

1.2 0 0 1.3

xo

yo

x1

y1

1.2xo

1.3yo

xo

yo x1

y1

xk

yk

1.2 0 k 0 1.3

xo

yo


Si fuese P0 = al cabo de 5 u. t. es P5= . =

= (redondeando los valores)

Se puede dar al caso mayor complejidad, considerando interacción entre las poblaciones:

Supongamos presencia de un virus cuya tasa de crecimiento es tal que la población se duplica en un día. Ante el suministro de un medicamento la tasa de crecimiento de los anticuerpos es 8. Cada anticuerpo existente al principio del período mata un virus y cada virus mata un anticuerpo. x0 es la población inicial de anticuerpos e y0 es la de virus, en tanto que x1 e y1 son las poblaciones respectivas al cabo de un día

Tenemos las siguientes ecuaciones:

8x0 - y0 = x1 -x0 + 2y0 = x2 o bien: . = o A . X0=X1

La evolución de las poblaciones luego de n días es Xn = An. X0

Se quiere saber al cabo de cuántos días desaparecerá el virus, partiendo de una población inicial que presenta una relación de 6 individuos de virus por cada anticuerpo.

A . X0 = . =

A2. X0= . =

A3. X0= . =

A4. X0= . =

A5. X0= =

Ejemplo: Movimientos en dos dimensiones asociados a una matriz

Un punto P0 del plano, de coordenadas (x,y) se puede representar también como una matriz columna de orden 2x1. Del producto de la matriz A de orden 2x2 por P0 resulta otra matriz columna 2x2, o sea otro punto del plano: A.P0= P1

Demos al cálculo la siguiente interpretación: un objeto se puede muever en una superficie en distintas direcciones según la posición que ocupaba en el intervalo de tiempo anterior. Si P0 es la posición en el instante P1 es la nueva posición al cabo de un intervalo de tiempo y se calcula como A.P0= P1. La nueva posición P1 definirá una nueva trayectoria

La ley del movimiento está contenida en la matriz A

En el tiempo 2 la posición es P2= A.P1 = A2.P0, y en general Pk = Ak.P0

9

100 40

1.2 0 5 0 1.3

100 40

1.25 0 0 1.35

100 40

249 149

8 -1 -1 2

x0

y0

x1 y1

8 -1 -1 2

1 6

65 -10

-10 5 530 -85-85 20

4325 -700-700 125

2 11

1 6

5 20

20 35

125 50

1 6

1 6

35300 -5725-5725 950

950 -25

1 6

El virus desaparece al 5º día


Sea la matriz A = y P0 =

P1=

P2=

P3=

P4=

P5=

Otro caso:

Sea A=

Esta matriz mueve a cualquier punto que esté sobre la recta y=x , al origen de coordenadas

Se dice que esta recta es un sumidero

Otra característica de esta matriz es que mueve cualquier punto del plano a la recta y =x

Esto indica que como máximo en dos intervalos de tiempo cualquier punto del plano es llevado al orígen. Para que esto sea así debe ser:

A2.P0= 0 P0 R2

Esto es posible si y sólo si A2 = como puede verificar el lector

10

P0(1,1)

P1(3,0)

P2(3,3)

P3(9,0)

P4(9,9)

P5(27,0) X

Y

1 2 1 -1

1 1

1 2 1 -1 .

1 1

3 0

3 0 0 3 .

1 1

3 3

3 6 3 -3 .

1 1

9 0

9 0 0 9 .

1 1

9 9

=

=

=

=

9 18 9 -9 .

1 1

27 0=

El lector puede comprobar, usando las mismas matrices 2x2 que las trayectorias cambian totalmente con la posición inicial seleccionada. P0 = (0,0) no produce ningún movimiento.

1 -1 1 -1

1 -1 1 -1

=

--

0 0=.

1 -1 1 -1

=

--.

0 00 0

Lineas de fujo para distintos valores iniciales

P0(5,1)X

P0(10,4)

P0(13,6)

P0(18,0)


11


Matrices cuadradas especiales

Las matrices suelen estar relacionadas a problemas matemáticos tales como sistemas de ecuaciones lineales, admitiendo transformaciones a partir de operaciones elementales que preservan la relación mencionada a los fines de facilitar el cálculo e interpretar más fácilmente la información que contiene la matriz. Hay además matrices especiales que presentan propiedades especiales con respecto al producto, a la transposición, y a la inversibilidad.

Matriz escalarA Knxn es Escalar aij = 0 si i j

aij = si i = jA se puede escribir como .I

Matriz diagonalA Knxn es Diagonal aij = 0 i j

Matriz triangular inferior

A Knxn es Triangular inferior aij = 0 i < j

Matriz triangular superior

A Knxn es triangular superiorr aij = 0 i > j

Matriz simétricaA Knxn es Simétrica aij = aji i,j

Sus elementos son simétricos respecto de la diagonalprincipal, como se aprecia en el ejemplo de orden 3x3:

12

0 …. 00 0…. 0……… 0 0 0

1 0 0 .. 00 2 0…. 0……… 0 0 0 n

a11 0 0 0 … 0a21 a22 0…. 0 a31 a32 a33 0.. 0 ………… 0an1 an2 an3…ann

a11 a12 a13… a1n 0 a22 a23.. a2n0 0 a33.. a3n

…………..0 0 ...0 ann

Observación: las matrices escalares son también matrices diagonales.

Las matrices triangulares son de especial utilidad en Sistemas de ecuaciones lineales, según se ha visto en la unidad anterior

Las matrices Nula e Identidad son ejemplos de matrices. escalares

El alumno puede demostrar que el producto entre matrices diagonales es conmutativo(caso particular). Se verá que no todas las matrices cuadradas pueden transformarse a la forma diagonal

a11

a22

ann

A simétrica A = AT

a11 0 0 … 0 a21 a22 0 . . . 0a31 a32 a33 0.. 0………………an1 an2 an3… ann


Matriz antisimétricaA Knxn es Antisimétrica aij = -aji i,j Ej.:

Pregunta: siempre deben ser nulos los elementos de la diagonal principal para que A sea antisimétrica ?

En capítulos posteriores se verán importantes aplicaciones de la matrices simétricas y antisimétricas.

Matriz Idempotente

A Knxn es idempotente A = A2Ej :

Matriz Nilpotente

A es Nilpotente de orden k Ak = 0 y A(k-1) 0 ; k N

La matriz A del ejemplo es nilpotente de orden 3:

A= A2 = A3 =

Matriz Ortogonal

A es Ortogonal A.AT = I = AT.A Ortogonales 2x2

Se deduce que: A es Ortogonal A = A-1

Propiedad:

Demostración:A ortogonal A . AT= I

Un elemento cij de I es: cij = aikakj ;

si i = j cij = 1 = aikaki pero aik = aki porque son elementos de matrices transpuestas: la columna i de AT tiene los mismos elementos de la fila i de A

si i j cij = 0 = aikakj La columna j de AT es igual a la fila j de A

13

0 -

0 -

- 0A Antisimétrica A = -AT

1 0 1 0

0 0 0

1 0 0

1 1 0

0 0 0

0 0 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

½ -3/2 0

3/2 ½

0

0 0 1

0 0 1

1 0 0 -1

0 1 1 0

Ortogonal 3x3La suma de los cuadrados de los elementos de cualquier fila de una matriz ortogonal es 1 y la suma de los productos de los elementos de una fila por los homólogos de otra es cero. La propiedad es también válida para las columnas


Operaciones elementales aplicables a matrices

Análogamente que en S.E.L., definiremos tres tipos de operaciones elementales, pero ahora aplicables a líneas de una matriz (filas o columnas). Se habla así de O.E. de fila y O.E. de columna, Normalmente no se combinan O.E de tipos fila y columna en un mismo proceso.

Matrices elementales

Ei Knxn es matriz elemental de tipo i Ei resulta de aplicar a la matriz I Knxn una única operación elemental de fila de tipo I

Ejemplos sobre matrices de orden 3 x 3:

E1 = es M.E. de tipo 1 ya que E1 se obtiene multiplicando la fila 3 de I por el escalar no nulo k

E2 = es M.E. de tipo 2 ya que E2 se obtiene sumando la fila 1 de I multiplicada por k0 a la fila 3 de I

E3 = es M.E. de tipo 3 ya que E 3 se obtiene sumando la fila 1 de I multiplicada por k0 a la fila 3 de I

Sea y Ei una matriz elemental mxm y A una matriz m x n. El producto Ei x A = A´ es una matriz igual a la que resulta al aplicar a A la misma O.E que se aplicó a I para obtener Ei. Por lo tanto es posible manejar la aplicación de operaciones elementales a cualquier matriz mediante el producto matricial Ejemplo:Consideremos el SEL

La matriz ampliada es A’ y se le aplicarán operaciones elementales con el fin de resolver el sistema. Restando la fila 1 a la 2 resulta : (i)

Dividimos por (-3) la fila 2 : (ii)

Restamos a la F1 2.F2 : (iii) x = 2/3 e y = -1/3

La matriz elemental que representa la transformación (i) es E1=

14

Operaciones elementales:Tipo 1: Multiplicación de una línea por un escalar no nuloTipo 2: Suma de un múltiplo de una línea a otra.Tipo 3: Intercambio de líneas.

1 0 00 1 00 0 k

1 0 00 1 0k 0 1

0 1 01 0 00 0 1

x + 2y = 0 A’= 1 2 | 0 x - y = 1 1 -1 | 1

1 2 0 0 -3 1

1 2 0 0 1 -1/3

1 0 2/3 0 1 -1/3

1 0-1 1


ya que:

. =

Análogamente, en (ii) E2=

y en (iii) E3=

Las operaciones matriciales que se han realizado son: E3. [E2. (E1 . A’)] =

=

. . =

Debido al carácter no conmutativo del producto, es estrictamente necesario respetar el orden de los factores.

El alumno puede verificar que el producto de la forma A.E produce sobre la matriz A una operación elemental de columna. En tal caso, si A es m x n, E debe ser n x n.Cabe también analizar que toda matriz elemental admite es inversible, siendo su inversa otra matriz elemental que produce la operación elemental inversa

Matrices equivalentes

Definición: dos matrices son equivalentes por fila si y sólo sí una de ellas puede obtenerse a mediante un número finito de operaciones elementales aplicables a las filas de la otra.Sean A y B K m x n y Ei K m x m:

A B E1, .. Ek / A = Ek.Ek-1. …..E2.E1.B

Por lo tanto las matriz A’ del ejercicio precedente es equivalente a la matriz final (última transformación)

Determinación de la inversa mediante la aplicación de operaciones elementales

Dada una matriz A K n x n no singular

A-1 A . A-1 = ISea A la matriz de coeficientes de un sistema de n ecuaciones lineales en n variables Por Cramer :

A-1 solución única A puede transformarse mediante ecuaciones elementales en I. ya que se pueden aplicar n

pivotes.

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1 2 0 0 -3 1

1 2 0 0 -3 1

1 0-1 1

1 0 0 -1/3

1 -2 0 1

1 -2 0 1

1 0 0 -1/3

1 0-1 1

1 2 0 0 -1 1

1 0 2/3 0 1 -1/3

1/3 2/3 1/3 -1/3

1 2 0 0 -1 1

1 0 2/3 0 1 -1/3


Sean E1, E2 … Ek las matrices elementales asociadas a tales operaciones elementales P

(Ek Ek-1. …E3.E2.E1).A = I =P.A (P inversa a Izquierda)

P es inversible ya que es producto de matrices inversibles

P-1.P.A = P-1.I

A= (Ek Ek-1. …E3.E2.E1)-1.I = (E1-1 E2

-1E3 …Ek-1)

A.P= (E1-1 E2

-1 …Ek-1-1) (Ek Ek-1. …E3.E2.E1)= I (P es inversa a derecha)

P = (Ek.Ek-1. …E3.E2.E1) = A-1

A-1 = (Ek.Ek-1. …E3.E2.E1) . I

Esto significa que A-1 se obtiene aplicando a I las mismas operaciones elementales requeridas para transformar la matriz A en la Identidad.

En consecuencia es útil el método de Gauss Jordan para facilitar la obtención de la inversa de una matriz cuadrada A de orden nxn, siguiendo los siguientes pasos:

1) Adjuntar a la matriz A la identidad conformando una matriz de n filas y 2n columnas.

2) Aplicar Gauss Jordan a toda la matriz resultante, aplicando pivotes exclusivamente sobre la matriz A original.

3) Si A tiene inversa, se podrán aplicar sucesivamente n pivotes, quedando en su posición la matriz Identidad. En la partición que ocupaba originalmente I, quedará definida A-1, ya que a estas celdas se aplicaron las mismas O.E. que transformaron A en I.

4) Si A no puede transformarse en I ( una fila se anula en la partición de A y no hay posibilidad de un nuevo pivot), no hay posibilidad de determinar A-1

A I

I A-1

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a11 a12 … a1n 1 0 … 0

a21 a22 … a2n 0 1 0 … 0

… … … … …

an1 an2… ann 0 0 … 0 1

1 0 … 0 a’11 a’12 … a’1n

0 1 0 … 0 a’21 a’22 … a’2n

… … … … …

0 0 … 0 1 a’n1 a’n2… a’nn

n transformaciones pivotales


Solución única en sistemas de ecuaciones lineales: teorema de Cramer:

La matriz de coeficientes A es de orden nxn y el sistema es:

A.X = BSi A-1 A-1.(A . X) = A-1.B

(A-1.A) . X = A-1.BI . X = A-1.B

X = A-1.B Esta última ecuación define un único vector solución

Supongamos ahora que el sistema A.X= B admite solución única:

Por lo estudiado en SEL, la matriz A del sistema es factible de ser transformada por operaciones elementales, pudiéndose aplicar n pivotes no nulos, caso contrario el sistema sería incompatible o bien indeterminado. En consecuencia A es equivalente a I

P

E1, E2…Ek / (Ek.Ek-1. E2.E1).A = I = P.A

Ya se estudió que en tal caso resulta P.A = I = A.P

P = A-1

Matrices particionadas

Particionar una matriz es separarla en bloques rectangulares de menor orden o submatrices. Este procedimiento suele facilitar las operaciones y agilizar la interpretación de la información contenida en la matriz.

Ejemplos:a)

A=

Aquí la partición permite expresar la matriz en forma simplificada.

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1 0 0 2 3 0 1 0 5 00 0 1 0 -2 = 0 0 1 0 01 1 0 0 0

2 3 I 5 0 0 -20 0 1 1 1 0 0

Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas tiene solución única si y sólo si la matriz de coeficientes del sistema es no singular


b) Sea:

A= A=

A está particionada en dos filas y tres columnas de bloques Aijes claro que: A11 =

Una forma usual de expresar una matriz es por sus columnas o bien por sus renglones Sea: A= A = ( A1, A2, A3 ); donde por ejemplo A1 =

o bien A = En tal caso A1= (2 1 4)

Sea la matriz B= = ( B1, B2, B3, B4 )

Es posible que en el producto A.B (orden 3x4) sólo interese el contenido de una columna, por ejemplo la 2ª . En tal caso conviene multiplicar A por esa columna de B:

A . B2 = . =

En general la columna j del producto es A. Bj la expresión de A.B por sus columnas es: A.B = (A.B1, A.B2, A.B3, A.B4)

Análogamente, aplicando el mismo criterio para las filas resulta:

A.B=

18

2 1 40 3 71 2 -1

201

A1

A2

A3

A11 A12 A13

A21 A22 A23

1 -1 2 0 1 3

1 -1 2 3 0 2 0 1 3 5 0 6 1 1 0 0 -2 00 0 1 4 4 1

(expresión de A según sus bloques)

1 -1 0 02 3 5 11 -2 -1 0

2 1 40 3 71 2 -1

-1 3-2

-7-5 7

A1.BA2.BA3.B

. B =A1A2

A1.BA2.B


Multiplicación de matrices particionadas

Sea A Kmxp y BKpxn A.B Kmxn.

Se analizará el producto particionando las matrices en diferentes formas.

Caso 1: Matriz no particionada por matriz particionada en dos bloques columnares

B= (B1, B2) B1, B2 bloques y bi columnas

A.B =A.(b1 b2.. bt bt+1 bt+2 .. bn-1 bn)

A.B = (Ab1 Ab2.. A bt Abt+1 Abt+2 .. Abn-1 Abn)

= (AB1 AB2)

Caso 2: Matriz particionada en dos bloques de filas por matriz sin particionar

A= A1 es de orden txp y A2 es (m-t)xp

A.B = . =

A A.B

19

b1 b2.. .. bt bt+1…. bn

B1 B2p t columnas n-t columnas

A (B1 B2) = (AB1 AB2)

A1A2

A1B

A2B

B A1

A2

A m

p

b1 b2.. .. bt bt+1…. bn

B1 B2p t columnas n-t columnas

Ab1 Ab2.. Abt Abt+1…. Abn

AB1 AB2m t columnas n-t columnas

=.


Caso 3: Producto entre dos matrices particionadas: dos bloques de filas por dos bloques de columnas

. ( B1 B2 )

. =

. ( B1 B2 ) =

Caso 4: Producto entre dos matrices particionadas: dos bloques de columnas por dos bloques de filas

Las matrices deben particionarse de manera de que en el bloque izquierdo de A haya tantas columnas como filas en el bloque superior de B.

. =

Esto requiere demostración:A.B = C cij = aik bkj = airbrj + ais bsj = A1B1 + A2B2 k=1,p r=1,t s=t+1,p

20

B1 B2

pxr px(n-r)

A1.B1 A1B2 txr tx(n-r)

A2.B1 A2.B2 (m-t)xr (m-t)x(n-r)

A1 txp

A2 (m-t)xp

A1A2

A1.B1 + A2.B2

mxn

B1 txn B2 (p-t)xn

A1 A2 mxt mx(p-t)

B1B2

A1A2

A1B1 A1B2A2B1 A2B2

(A1 A2) .

= A1.B1 + A2.B2

B1B2(A1 A2) .


Ejemplo del caso: resolver el producto A.B particionando en la forma más apropiada A B

Interesa minimizar el cálculo. En la primera matriz hay una submatriz nula 3x3 que anula cualquier término en donde ella intervenga, por lo cual es conveniente que la misma defina la partición. Si A tiene dos columnas en el primer bloque y tres en el 2º B debe particionarse con dos filas en el primer bloque y tres filas en el 2º . A1 A2

=

= A1B1 + A2B2 = A.B

Caso 5: Producto entre matrices particionadas en filas y columnas de bloques

Sean A1 = y A2=

A = (A1,A2)

Sean B1= ( B11 B12) B2 = (B21 B22) B=

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4 1 0 0 0 1 2 0 0 0 .1 1 0 0 0

0 1 2 3 0 1 0 -2 0 2 1 7 1 1 0 4-1 3 5 5

0 1 2 3 B1 0 1 0 -2 0 2 1 7 = 1 1 0 4 B2-1 3 5 5

4 1 0 0 0 1 2 0 0 0 .1 1 0 0 0

0 5 8 10 0 3 2 -1 + 0 2 2 1

0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0

0 5 8 10 0 3 2 -1 0 2 2 1

A11 A12 .A21 A22

B11 B12 B21 B22

A11 A12

A21 A22

B11 B12

B21 B22

p t p-t

n

t p

p-t

m

A11 A21

A12 A22

B1 B2


Por caso 4: A.B = (A1,A2) = A1B1 + A2B2

Por caso 3: A1B1= . ( B11 B12) =

A2B2= . ( B21 B22) =

A1B1 + A2B2 =

El producto entre matrices con múltiples bloques se realiza tratando los bloques como si fueran elementos de matrices ordinarias. No obstante, para que sea factible deben respetarse las condiciones de dimensión que requiere el producto.

Sea el producto A.B, con A particionada en bloques Aik A= (Aik) y B particionada en bloques Bkj B=(Bkj)

A.B= (Aik).(Bkj) =(Cik) donde cada bloque Cik= AikBkj (1) k=1,s

Como regla práctica de factibilidad, para particionar un producto entre dos matrices, debe verificarse que al transponer a segunda matriz, concuerden todas las divisiones verticales de los bloques de la primera con los de la segunda.

Aplicación en casos especiales para la determinación de la inversa.Sea A una matriz nxn de la forma:

A=

A es no singular A11 y A22 son no singulares

(1) s es la cantidad de columnas de bloques en la 1ª matriz (o cantidad de filas de bloques en la 2ª )

22

B1 B2

A11 A21

A11 B11 A11B12 A21 B11 A21B12

A12 A22

A12B21 A12B22 A22 B21 A22B22

A11 B11+ A12 B21 A12 B22 + A12 B22

A21 B11+ A22 B21 A21 B12 + A22 B22

A11 A12 .A21 A22

B11 B12 B21 B22

A11 B11+ A12 B21 A12 B22 + A12 B22

A21 B11+ A22 B21 A21 B12 + A22 B22=

A11 0 0 A22

Rodolfo Iturraspe, 03/01/-1,

s es la cantidad de columnas de bloques en la primera matriz


Si A11 y A22 son no singulares

(2)

Si A es no singular B / B.A = I = A.B

Particionando:

resulta:B11 A11 = Ik = A11 B11 B11 = A11

-1

B22 A22 = In-k = A22 B22 B22 = A22-1

Ejemplo:

Determinar la inversa de: A=

Particionando en bloques 2x2 resulta:

A11-1= = A22

-1 = =

A-1=

(2) Ik es la matriz identidad de orden k x k

23

A11-1 0 .

0 A22-1

A11 0 = 0 A22

IK 0 = I 0 In-k

A11 -1 0 = A-1

0 A22-1

B11 B12 . B21 B22

A11 0 = 0 A22

IK 0 = 0 In-k

A11 0 .

0 A22

B11 B12 B21 B22

1 6 0 0 1 2 0 0 0 0 2 8 0 0 0 4

1 6 -1

1 2-½ ¾¼ -¼

2 8 -1

0 4½ -1 0 ¼

-½ ¾ 0 0 ¼ -¼ 0 0 0 0 ½ -1 0 0 0 ¼


Bibliografía

GROSSMAN. Álgebra Lineal con Aplicaciones. Edit. Mc Grow HillLEON, Steven. Algebra Lineal con Aplicaciones. Edit. CECSALIPSCHUTZ. Álgebra Lineal. Edit. Mc. Graw HillLARSON. Introducción al Álgebra Lineal Edit. LIMUSA

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des Matrices

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