DESARROLLO DE COMO

CALCULAR EL RANGO DE UNA

MATRIZ

RANGOEs el mayor número de vectores fila o

columna linealmente independientes.

Es el orden del mayor determinante distinto de cero que se puede encontrar en el interior de una matriz determinada. Se suele denotar por Rg.

PROPIEDADES DEL RANGO DE UNA MATRIZ1) El rango por filas es igual al rango por

columnas. Esto significa que una matriz A y su transpuesta tienen el mismo rango

RgA = RgA’2) El rango constituye un invariante del

sistema, esto significa que el rango es siempre es el mismo con independencia del método que se utilice para su cálculo.

DESARROLLO DEL CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZPuede hacerse de 3 formas que son las

siguientes:

1. Por triangulación en matrices cuadradas o por medio del mayor triángulo de ceros para matrices rectangulares.

2. Mediante la matriz escalonada.3. Por determinantes.

POR TRIANGULACIÓN EN MATRICES CUADRADAS O POR MEDIO DEL MAYOR TRIÁNGULO DE CEROS PARA MATRICES RECTANGULARES.

La herramienta principal que se utilizará será la triangulación en matrices cuadradas, y el mayor triángulo de ceros posible en matrices rectangulares. En ambos métodos se emplearán operaciones elementales de filas y columnas.

Una vez trianguladas las matrices cuadradas o hallado el mayor triángulo de ceros posible en matrices rectangulares, se habrán puesto de manifiesto todas las combinaciones lineales posibles entre filas y columnas, es decir, que eliminando todas las filas o columnas de ceros que hallamos obtenido, el número de ellas que queden será el rango de dicha matriz.

Hallar el rango de la siguiente matriz:

1 3 -2 0 0

2 1 0 -2 0

A= 0 0 2 0 -1

0 3 0 2 1

3 4 -2 -2 0

MEDIANTE LA MATRIZ ESCALONADA.Este método permite realizar los cálculos más

rápidamente y consiste en triangular la matriz, y con independencia de la diagonal, se van localizando los pivotes de cada una de las filas. Con ellos se hacen ceros en todos los términos de la columna situados por debajo de dichos pivotes, de esta forma conseguimos hallar el rango con el menor cambio de filas y columnas, y además nos evitamos tener que ir formando la diagonal en matrices cuadradas en las rectangulares. Al final del proceso, la matriz que queda tendrá aspecto de escalera de forma que el rango será en número de pivotes situados en los peldaños, o lo que es lo mismo, el número de filas que queden.

POR DETERMINANTES.

El mayor determinante que se pueda encontrar con las filas y columnas de una matriz determinada será el rango de la misma. Para ello será preciso encontrar al menos un determinante de orden 2 distinto de cero. De esta forma el rango es por lo menos 2