Desarrollo de la clase 3

Cuenca, 22 de septiembre de 2013

Triángulo: polígono de tres lados, dados tres puntos A,B,C no colineales, determinan el triángulo

ABC.

Clasificación de los triángulos

Por sus lados:

triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño.

triángulo isósceles si tiene dos lados de la misma longitud.

triángulo escaleno si todos sus lados tienen longitudes diferentes

Equilátero Isósceles Escaleno

Por sus ángulos:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman

el ángulo recto se les denomina catetos y al lado opuesto hipotenusa.

Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por

ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros

dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Triangulo equiángulo: cuando sus tres ángulos son iguales

A B

C

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Propiedades geométricas de los triángulos:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no

adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

En todo triangulo la medida del ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no

adyacente.

La suma de las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es siempre igual

a 90°.

La medida de cada ángulo de un triángulo equiángulo es 60°.

Rectas y puntos Notables

Medianas y Baricentro

Se llama mediana a la recta que une un vértice con el punto medio (bisector) del lado opuesto. En

un triángulo ABC, las tres medianas se cruzan en un punto denominado G, llamado Baricentro que

es el centro de gravedad del triángulo. Además el Baricentro dista doble del vértice que del punto

medio del lado.

Mediatrices y Circuncentro

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un

triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto donde se cortan las tres mediatrices

generalmente se denomina con la letra O y se llama Circuncentro, equidista, es decir, está la

misma distancia de los tres vértices A, B y C, y constituye el centro de la circunferencia que pasa

por los tres vértices. La circunferencia se llama Circunferencia Circunscrita.

Alturas y Ortocentro

ALTURAS: se llama altura en un triángulo a la perpendicular trazada desde un vértice al lado

opuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro.

Bisectrices e Incentro

Se llama bisectriz a la recta que divide un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un

triángulo son las bisectrices de sus ángulos internos. El punto I donde se cortan las tres bisectrices

interiores se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una

circunferencia de centro I tangente a los lados del triángulo. Dicha circunferencia se llama

Circunferencia Inscrita y es la circuferencia más "grande" que se puede definir completamente

contenida dentro del triángulo.

Tarea

En un triángulo Escaleno obtusángulo cualquiera, en un triángulo Rectángulo cualquiera, en un

triángulo equilátero, y en un triángulo isósceles, realizar el grafico de todas las líneas notables

(todas en el mimo triangulo) estos gráficos deben tener el procedimiento de construcción cada

una de las líneas notables y todas deben ser graficadas. El objetivo contestar, apoyándose con la

construcción grafica realizada las siguientes preguntas:

En general de los puntos notables:

¿Hay algún caso particular en el que los cuatro puntos (baricentro, ortocentro, circuncentro e

incentro) estén alineados?

¿Y qué coincidan en un mismo punto?

¿Cómo son entre sí las circunferencias circunscrita e inscrita cuando el triángulo es equilátero?

¿se comprueba, en los cuatro casos que las rectas notables (medianas, mediatrices, alturas y

bisectrices) siempre se intersectan en el mismo punto?

Medianas

¿Se comprueba, midiendo los segmentos, la razón de división del baricentro en cada una de las

medianas con respecto a sus extremos?

Mediatrices

¿se comprueba, mediante mediciones, que en la intersección de las tres mediatrices se encuentra

el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices?

¿En cuáles casos el circuncentro se encuentra dentro del triángulo?

¿Cómo debe ser el triángulo para que el circuncentro se encuentre sobre el triángulo?, en tal caso,

puedes describir ¿en dónde se encuentra el circuncentro?

Alturas

¿Cuáles condiciones deben existir para que el ortocentro se encuentre dentro del triángulo?

¿Cuáles condiciones deben existir para que el ortocentro se encuentre afuera del triánguo?

¿Y para que el ortocentro coincida con el triángulo?

Bisectrices

¿Cuál es la razón por la cual en la intersección de las tres bisectrices se encuentra el centro de la

circunferencia inscrita en la circunferencia?

Fuente http://geogebra.geometriadinamica.org/ventana_rectas_notables.html

Nota en la dirección electrónica encontrara una aplicación interactiva del tema tratado.

TAREA DOS

Problemas de aplicación:

Demostrar que el ángulo formado por las bisectrices externas de una triangulo es igual a

2 rad. Disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer vértice.

Determine el valor del ángulo en el triángulo de la figura:

El triángulo ABC de la figura es isósceles, con AC = BC. El trazo AD es bisectriz del ángulo

CAB, y la medida del ángulo ECD = 100°. Calcular la medida del ángulo Y.

Considerando que el triángulo ABC es equilátero, y que BE es bisectriz del ángulo CBD,

determine el valor del ángulo “x”:

Determinar el valor de x -y, considerando que AC=BC

En el triángulo de la figura, AB = BC = CA. El segmento CD divide el ángulo ACB de tal forma

que =2. Determine la medida del ángulo x

Hallar X°

a) 50°

b) 60°

c) 65°

d) 70°

e) 80°

En un triángulo ABC, el ángulo A mide 58°. ¿Cuánto mide el ángulo BDC donde D es el

punto de intersección de las bisectrices de los ángulos B y C?

a) 125º

b) 119º

c) 110º

d) 95º

e) 102º

Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de

los ángulos agudos de un triángulo Rectángulo

a) 60º b) 45º c) 30º d) 65º e) 90º

El ángulo B de un triángulo ABC mide 40º. ¿Cuánto mide el ángulo AEC donde E es el punto

de intersección de las bisectrices del ángulo interior A y ángulo exterior C?

a) 10º

b) 20º

c) 30º

d) 40º

e) 50º

De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:

A) isósceles

B) equilátero

C) acutángulo

D) rectángulo

E) obtusángulo

Según el grafico. Hallar el valor de “”

A) 10°

B) 20°

C)30°

D) 40°

E) 50°

Calcular “x”, si: - = 18°

A) 16º B) 17º C) 18ºD) 19º E) 36º

Calcular “x”, si AB = BC y TC = TD

A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 40º