DESARROLLO DE LA GUIA PASO A PASO

1. Montar el circuito de la figura

Fig. 1 Filtro pasa-bajo de segundo orden

Dónde: V ¿ (S)=6cosωt , R1=R2=10kΩ, C1=C2=0.01µF

a) Obtener la función de transferencia en el dominio de S. H (s )=Vo(s)Vi (s )

Zeq1=R2+1

C2S=R2C2S+1

C2S

Zeq2=Zeq1/¿1

C1S=

Zeq1∗1C1S1

C1S+Zeq1

=Zeq1

1+C1S Zeq1

Reemplazamos Zeq1 en Zeq2y tenemos que

Zeq2=

R2C2S+1C2S

1+C1SR2C2S+1

C2S

=R2C2S+1

C2S+C1S(R2C2S+1)

Por divisor de voltaje tenemos que

V 1 (S )=Zeq 2∗V ¿ (S )R1+Zeq2

Remplazamos Zeq2

+

V1 (S)

-

V 1 (S )=

R2C2 S+1C2S+C1S (R2C2S+1 )

∗V ¿ (S )

R1+R2C2S+1

C2S+C1S (R2C2S+1 )

=(R2C2S+1 )∗V ¿ (S )

R1 (C2S+C1S (R2C2S+1 ) )+R2C2S+1

La relación

H ' (S )=V 0(s)V 1 (S )

=V 0(s)

(R2C2S+1 )∗V ¿(S)

R1 (C2S+C1S (R2C2S+1 ))+R2C2S+1

Y sabemos que la relación de la figura2 esH ' (S )= Vo(S)V 1(S )

= 1R2C2S+1

Figura2. Pasa-bajo de primer orden

Ahora igualamos las dos relaciones Vo (S )

(R2C2S+1 )∗V ¿(S)

R1 (C2S+C1S (R2C2S+1 ))+R2C2S+1

= 1R2C2S+1

Y tenemos que

H (S )=V 0(s )V ¿(S)

= 1R1 (C2S+C1S (R2C2S+1 ))+R2C2S+1

Si organizamos la ecuación

H (S )=V 0(s )V ¿(S)

= 1(C2C1R1R2)S

2+(R2C2+R1C1+R1C2 )S+1

V1(S)

H (S )= 1

(S∗√C2C1 R1R2)2+R2C2+R1C1+R1C2

√C2C1 R1R2∗S∗√C2C1R1 R2+1

b) Calcular la frecuencia de corte en ω¿ y f [Hz ]

En el dominio de la frecuencia

H ( jw )= 1

( jwT )2+ jwT+1→T=1o= 1

TFrecuenciade corteωc

Como T=√C2C1 R1R2 , entoncesω c= 1

√C2C1R1 R2→ωc=10000¿

Como¿2πf , entonces f=2π

→f=1591.5 [ Hz ]

c) En MATLAB obtener el diagrama de Bode.

Diagrama de bode de un circuito R-C pasa-bajo

d) Para Vi ( t )=6cos2 πft=6cosωt llene la siguiente tabla donde θ es la diferencia de fase entre Vi ( t ) y Vo(t )

Vi pico Vo picoVo pi coVi pico

ω¿ f (Hz ) θ(grados ) ∆ X (µseg)

6 Vp 5.9 Vp 0.98 100 15.91 434.3 76000

6 Vp 5.44 Vp 0.90 1000 159.10 28.64 500

6 Vp 5.2 Vp 0.87 2000 318.30 217.71 1900

6 Vp 2.7 Vp 0.45 6000 954.92 93.50 272

6 Vp 2.1 Vp 0.35 8000 1273.23 99 216

6 Vp 1.7 Vp 0.28 10000 1591.5 84.8 148

6 Vp 160m Vp 0.026 20000 3183.09 84.8 74

6 Vp 160m Vp 0.026 50000 7957.74 68.75 24

6 Vp 160m Vp 0.026 100000 15915.45 93.96 16.4

Donde θ=∆ X (360 ° )

T, ∆ X=∆t 1−∆ t 2 ,T=1/ f

e) Grafique 20log10 (Vo picoVi pico ) versus (ω )

|H ( jω )|= 1

(T )2≈1100

≈0.1 o|H ( jω )|dbs=−40 ,|H ( jω )|=−180la fase es de -180°

f) Grafique θ versus (ω)

|H ( jω )|=−180la fase es de -180°

g)

Compare con las gráficas obtenidas en MATLAB

2. Intercambie las resistencias y el condensadores y repita el punto 1

Fig. 3 Filtro pasa-alto de segundo ordenDónde: V ¿ (S)=6cosωt , R1=R2=10kΩ, C1=C2=0.01µF

a) Obtener la función de transferencia en el dominio de S. H (s )=Vo(s)Vi (s )

Zeq1=R2+1

C2S=R2C2S+1

C2S

Zeq2=Zeq1/¿R1=Zeq 1∗R1R1+Zeq1

Reemplazamos Zeq1 en Zeq2y tenemos que

Zeq2=

R2C2S+1C2S

∗R1

R1+R2C2S+1

C2S

=(R1 R2C2S+R1 )

C2S R1+R2C2S+1

Por divisor de voltaje tenemos que

V 1 (S )=Zeq 2∗V ¿ (S )1

C1S+Zeq2

Remplazamos Zeq2

V 1 (S )=

(R1R2C2S+R1 )C2S R1+R2C2S+1

∗V ¿ (S )

1C1S

+(R1R2C2S+R1)

C2S R1+R2C2S+1

=C1S∗(R1 R2C2S+R1 )∗V ¿ (S )

C2S R1+R2C2S+1+C1S∗(R1R2C2S+R1 )

La relación

H ' (S )=V 0(s)V 1 (S )

=V 0(s)

C1S∗(R1R2C2S+R1 )∗V ¿ (S )C2S R1+R2C2S+1+C1S∗(R1R2C2S+R1 )

Y sabemos que la relación de la figura4 esH ' (S )= Vo(S)

V 1(S )= S

S+ 1R2C 2

Figura4. Pasa-alto de primer orden

V1(S)

Ahora igualamos las dos relaciones V 0(s)

C1S∗(R1R2C2S+R1 )∗V ¿ (S )C2S R1+R2C2S+1+C1S∗(R1R2C2S+R1 )

= S

S+ 1R2C2

Y tenemos que

H (S )=V 0(s )V ¿(S)

=R2C2S ¿¿

Si organizamos la ecuación

H (S )=V 0(s )V ¿(S)

=(C ¿¿1R1R2C2)S

2

(C ¿¿1R1R2C2)S2+(R1+R2R1

∗C1 R1+R2C2)+1¿¿

H (S )=(S∗√C2C1R1R2)

2

(S∗√C2C1 R1R2)2+( R1+R2R1∗C1R1+R2C2)+1

b) Calcular la frecuencia de corte en ω¿ y f [Hz ]

En el dominio de la frecuencia

H ( jw )= ( jwT )2

( jwT )2+ jw+1→T=1o= 1

TFrecuenciade corteωc

Como T=√C2C1 R1R2 , entoncesω c= 1

√C2C1R1 R2→ωc=10000¿

Como¿2πf , entonces f=2π

→f=1591.5 [ Hz ]

c) En MATLAB obtener el diagrama de Bode.

Diagrama de bode de un circuito R-C pasa-alto

d) Para Vi ( t )=6cos2 πft=6cosωt llene la siguiente tabla donde θ es la diferencia de fase entre Vi ( t ) y Vo(t )

Vi pico Vo picoVo pi coVi pico

ω¿ f (Hz ) θ(grados ) ∆ X (µseg)

6 Vp 37m Vp 0.0062 100 15.91 13.75 2400

6 Vp 40m Vp 0.0067 1000 159.10 29.78 520

6 Vp 50m Vp 0.0084 2000 318.30 142.09 1240

6 Vp 1.5 Vp 0.25 6000 954.92 72.3 216

6 Vp 2 Vp 0.33 8000 1273.23 84.34 184

6 Vp 2.5 Vp 0.41 10000 1591.5 84.8 148

6 Vp 4 Vp 0.66 20000 3183.09 52.71 46

6 Vp 5.32 Vp 0.89 50000 7957.74 22.91 8

6 Vp 5.64 Vp 0.94 100000 15915.45 9.16 1.6

Donde θ=∆ X (360 ° )

T, ∆ X=∆t 1−∆ t 2 ,T=1/ f

e) Grafique 20log10 (Vo picoVi pico ) versus (ω )

f) Grafique θ versus (ω)

g) Compare con las gráficas obtenidas en MATLAB

3.

a) Determine L, C y R de tal forma que se obtenga la función de transferencia de la figura

AB= ω2−ω1=100KHz AB: Ancho de BandaFrecuencia central = 1MHz

b) Con los elementos de a) obtener el diagrama de Bode de la figura en MATLAB

F