DESARROLLO DE UN ALGORITMO PARA EL CÁLCULO EFICIENTE DE LINEAS DE INFLUENCIA

Josemar Marcelo Ibarra Tapia

Estudiante Ingeniería Civil, Universidad Escuela Militar de Ingeniería

jmit_marce@hotmail.com jmitmarce@gmail.com

La Paz-Bolivia

Pregrado

RESUMEN.

El presente trabajo de investigación consiste en el desarrollo de un algoritmo para la obtención eficiente de líneas de influencia, el cual será desarrollado en base a los teoremas energéticos de Betti Maxwell, método de las rigideces y algebra matricial. El algoritmo permitirá la obtención directa de las líneas de influencia, conocer los puntos máximos de aplicación de la carga, tener un análisis lineal completo de la toda estructura.

El análisis estático de aquellas estructuras que están sometidas a cargas móviles, contempla hacer un seguimiento detallado sobre las solicitaciones persistentes en la estructura, por lo tanto se debe analizar la estructura para diferentes posiciones de la carga, esto es hacer un análisis sobre la influencia que tendrá la carga en la estructura para diferentes puntos de aplicación.

El problema surge al querer determinar la línea de influencia en estructuras estáticamente indeterminadas, donde el número de restricciones es mayor al número de ecuaciones básicas proporcionadas por la estática, es por

eso que debemos tomar en cuenta algún procedimiento que logre adecuarse a la resolución de la estructura para diversos puntos de aplicación de la carga. Es decir analizar la línea de influencia de una estructura indeterminada como un modelo físico, esto para poder representar en un modelo matemático que sea el adecuado al modelo físico planteado.

Para este análisis se debe tomar en cuenta que se realizara un ANALISIS LINEAL DE LA ESTRUCTURA. El modelo físico estará definido por el equilibrio de energía externa (la cual es generada por la carga móvil) con la energía interna (producida por la deformación interna de la viga), por lo tanto nuestro análisis para un modelo matemático optimo vendrá del TEOREMA DE MAXWELL-BETTI, teorema que logra cumplir con los requisitos de la resolución de una estructura sujeta a varias resoluciones para varios puntos de análisis.

El equilibrio de la estructura estará dado de la siguiente forma, la fuerza aplicada es igual a la rigidez de la estructura multiplicada por el desplazamiento que surge, en nuestro caso vendrá a ser:

Un vector de fuerzas el cual es variable, esto por la posición de la carga

Una matriz de rigidez de nuestra estructura la cual se subdivide en matrices de rigidez de cada elemento pequeño de la viga los cuales al ensamblarse logran la característica resistente de toda la estructura

Un vector desplazamientos el cual debe ser resuelto para cada cambio del vector fuerzas.

Entonces el proceso consiste en variar el vector fuerzas para que este represente distintos estados de carga al que le corresponda determinados desplazamientos.

Teniendo los valores de desplazamientos se determinan matricialmente las solicitaciones persistentes en nuestra estructura, como ser momentos flectores y fuerzas cortantes, las cuales graficadas para cada punto de evaluación y distintos estados de carga, permitirán obtener solicitaciones máximas, mínimas y correspondientes líneas de influencia.

Todo este proceso está contenido en un algoritmo, el cual puede ser codificado en cualquier lenguaje de programación.

1 INTRODUCCION

La aplicación de cargas a una estructura hace que la estructura se deforme. Debido a la deformación, se originan diferentes fuerzas en las componentes que constituyen la estructura. Se denomina análisis estructural al cálculo de la magnitud de estas fuerzas, así como de las deformaciones que las causaron, lo cual es un tema muy importante para la sociedad. En realidad, casi todas las ramas de la tecnología

tienen que ver tarde o temprano con interrogantes relacionadas con la resistencia y deformación de los sistemas estructurales.

El diseño estructural incluye la disposición y el dimensionamiento de las estructuras y de sus partes, de manera que soporten en forma satisfactoria las cargas a las cuales puedan estar sujetas. En particular, el diseño estructural implica lo siguiente: La disposición general del sistema estructural; el estudio de los posibles tipos o formas estructurales que representen soluciones factibles; la consideración de las condiciones de carga; el análisis y el diseño estructural preliminares de las soluciones posibles; la selección de una solución y el análisis y el diseño estructural final de la estructura. El diseño estructural también incluye la preparación de planos.

1.1 VIGA

El elemento viga está definido como aquel elemento estructural con 2 grados de libertad por nudo, esto debido a la teoría de BERNOULLI, NAVIER, LAPLACE para poder aplicar los teoremas que vendrán a continuación los cuales están basados en estos tres autores que indican que la resolución de una viga estará dada en un estado plano de tensiones como en un estado plano de deformaciones vale decir que se tiene que tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

La sección transversal no sufre deformaciones permanentes después de la aplicación de la carga

No existe cambio de masa

No existe alargamiento de la sección

Las deformaciones son de primer orden

Los ángulos de deflexión son muy pequeños

Por lo tanto con estas consideraciones los grados de libertad que solamente prescriben a una viga plana son:

Traslación vertical corte.

Rotación o Momento

De esta forma se puede tomar en cuenta

dos tipos de vigas, las vigas

estáticamente determinadas (isostáticas)

y las vigas estáticamente indeterminadas

(hiperestáticas).

FIGURA No 1 VIGA ISOSTATICA

Fuente: www.ing.unlp.edu.ar/sispot/Libros

%202007/libros/estruc/estruc.htm

1.2 LINEA DE INFLUENCIA

1.2.1 Introducción

Los elementos estructurales deben diseñarse en las condiciones más desfavorables que puedan desarrollarse en él. Por lo tanto se deben colocar las cargas vivas en diferentes posiciones para poder determinar las solicitaciones

máximas originadas en la estructura, para realizar este análisis el recurso más útil es la línea de influencia.

1.2.2 Definición de línea de

influencia

Una línea de influencia puede definirse como un diagrama cuyas ordenadas muestran la magnitud y el carácter de algún elemento mecánico de una estructura cuando una carga unitaria se mueve a lo largo de esta. Cada ordenada del diagrama da el valor del elemento mecánico cuando la carga está situada en la posición asociada a la ordenada.

Las líneas de influencia sobre todo se usan para determinar dónde colocar las cargas vivas para que estas generen las solicitaciones máximas.

El procedimiento para dibujar las variaciones consiste en graficar los valores de la función en estudio como ordenadas para diferentes posiciones de la carga unitaria en toda la viga.

1.2.3 Línea de Influencia para

Reacciones

Para la determinación de las líneas de influencia de una reacción, se debe resolver la viga para cada posición de la carga. La carga móvil deberá recorrer toda la viga a una determinada DISCRETIZACION o DISTANCIA DE ANALISIS DE POSICION DE LA CARGA esto depende de cuan preciso se quiere tener las solicitaciones resultantes. Se debe tomar en cuenta que el valor máximo de la línea de influencia en una reacción viene a ser el valor unitario, esto se dará únicamente cuando la posición de la carga este exactamente en la

reacción y en los demás puntos será nula.

Para poder hacer el análisis de la línea de influencia de una reacción entonces se deberá colocar la carga unitaria a una distancia variable “x” respecto de sistema de referencia, para que nuestra reacción llegue a ser una función dependiente de la posición de la carga así tendremos los diferentes valores que tendrá nuestra reacción para los diferentes puntos de aplicación de la carga.

FIGURA No 2 LINEAS DE INFLUENCIA DE UNA REACCION

Fuente:

http://analisisestructural.blogspot.com

1.2.4 Línea de Influencia Para

Esfuerzo Cortante

Conocer los valores de las cortantes en cualquier punto para una carga móvil es importante ya que se pueden generar cortantes máximas en diferentes puntos de aplicación de la carga que no sean en los apoyos. La determinación de la línea de influencia para esfuerzos cortantes para un punto cualquiera consiste en

determinar la variación del corte para las diferentes posiciones de la carga unitaria en toda la viga, por lo tanto el corte también dependerá de la posición de la carga o si no de los valores de las reacciones ya antes determinados para cada posición. Una forma de comprobar que los valores de la cortante son correctos en el punto de corte, es sumar tanto el corte negativo con el corte positivo cuya suma debe ser igual a la unidad.

FIGURA No 3 LINEA DE INFLUENCIA PARA UN ESFUERZO CORTANTE

Fuente:

http://analisisestructural.blogspot.com

1.2.5 Línea de Influencia Para

Momentos

En una viga isostática la solicitación máxima a momento estará en el centro de la viga, pero en una viga hiperestática la solicitación máxima se podrá definir haciendo variar la carga en todos los tramos de la viga esto para encontrar la posición exacta de la solicitación máxima, por lo tanto el momento estará de la misma forma que la cortante y que las reacciones en función de la posición

de la carga. En el caso de vigas hiperestáticas el momento máximo puede ser positivo como negativo vale decir que pueden generar tracción en las fibras inferiores de la viga como en las fibras superiores de la misma, es por eso que se debe conocer el valor máximo del momento conjuntamente la posición de la carga que origina esta solicitación.

FIGURA No 4 LINEA DE INFLUENCIA DE UN MOMENTO FLECTOR

Fuente:

http://analisisestructural.blogspot.com

2 ANTECEDENTES

El análisis de las líneas de influencia está en función a cargas vivas móviles en toda la estructura. La posibilidad de cargas móviles implica la necesidad de obtener:

a) Las solicitaciones, desplazamientos, que produce una carga (o un estado de cargas TREN DE CARGAS) para distintos puntos de aplicación de la misma.

b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada.

Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo menos, en varias

secciones características según las circunstancias.

El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, donde las cargas móviles (CARGAS VARIABLES EN SU POSICION) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanente (CARGAS FIJAS).

Para dicho propósito se aplicaran como base teórica el PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES desde un punto de vista de la mecánica racional, tomando en cuenta LA LEY DE RECIPROCIDAD DE BETTI (TEOREMA DE BETTI) que es conocido con el nombre de METODO INDIRECTO; la cual es solamente una generalización del TEOREMA DE MAXWELL, por lo tanto nuestra fundamentación estará dada en función a ambos teoremas que son TEOREMA DE MAXWELL-BETTI

Entre otros teoremas complementarios para el análisis de líneas de influencia que se emplearan serán: TEOREMA DE CASTIGLIANO, TEOREMA DE MENABREA, TEOREMA DE CLAPEYRON y el teorema de Müller-

Breslau que es una extensión del teorema de Maxwell-Betti.

El principio de los trabajos virtuales llega a ser un método de resolución y análisis de gran potencial en el análisis de estructuras, este método calcula los desplazamientos reales en estructuras isostáticas e hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el equilibrio en las

estructuras hiperestáticas “principio de la mínima energía” Mecánica Newtoniana.

En mecánica racional este principio se enuncia como:

“En un sistema en equilibrio bajo un conjunto de fuerzas, el trabajo de dichas fuerzas a lo largo de un desplazamiento virtual es nulo”

3 OBJETIVO GENERAL

Elaborar un algoritmo para el cálculo eficiente de líneas de influencia, que nos permita determinar las solicitaciones máximas originadas en vigas debido a cargas móviles.

4 OBJETIVOS ESPECIFICOS

Analizar los diferentes teoremas energéticos para el análisis de las estructuras, principalmente el TEOREMA DE MAXWELL-BETTI.

Definir el algoritmo de cálculo de líneas de influencia en vigas.

El algoritmo planteado debe ser fácil para poder emplearlo en un lenguaje de programación.

Obtención de las líneas de influencia con el algoritmo.

Resolver ejemplos tipo de métodos tradicionales de calculo

Validar los resultados obtenidos.

5 METODOLOGIA

5.1 TEOREMA DE MAXWELL-BETTI

DE LA RECIPROCIDAD

El teorema de Maxwell se deduce como un caso particular del teorema de Betti, cuando ambos grupos de cargas están

formados por una carga, Pi=1 y Pk=1

FIGURA NO 5 DEFLEXIONES POR CARGA UNITARIA

Fuente: www.cuevadelcivil.com

En un sólido elástico, el trabajo realizado

por un sistema de cargas { F⃗ } para los

desplazamientos resultantes de aplicar a

otro sistema de cargas {G⃗ } distinto es

idéntico al trabajo realizado por el

sistema de cargas {G⃗ }para los

desplazamientos resultantes de aplicar el

sistema de cargas { F⃗ }

FIGURA NO 6 DEFORMACIÓN RESPECTO DE P CARGA UNITARIA

Fuente: www.cuevadelcivil.com

FIGURA NO 7 MOMENTO FLECTOR RESPECTO DE P

SISTEMA 1

Fuente: www.cuevadelcivil.com

SISTEMA 2

Fd ´=Mq´

d ij=d ji

5.2 LINEAS DE INFLUENCIA VIGAS

HIPERESTATICAS.

El método de resolución de líneas de influencia para vigas hiperestáticas partirá del principio de Maxwell-Betti principio del cual partieron diversas formulaciones para la resolución de estructuras y modelos matemáticos.

Una aplicación de este principio es un análisis por elementos finitos tomando a la viga con los grados de libertad que fueron descritos en dicho principio.

Las hipótesis para nuestro análisis serán las siguientes:

La viga no está sometida a

carga axial

No tiene cargas aplicadas

entre sus apoyos. Sólo las

tiene en sus extremos

La viga sólo está sometida a

fuerza cortante y momentos

flectores en sus extremos.

Los grados de libertad a los que se encuentra sujeta la viga son los siguientes:

FIGURA No 8 GRADOS DE LIBERTAD DE UNA VIGA

Fuente: Propia

Por lo que son cuatro desplazamientos por lo tanto la matriz de rigidez de nuestro elemento viga tendrá una dimensión de 4 x 4, la cual tendrá las siguientes funciones de forma:

Para u1=1 :

FIGURA No 9 FUNCION DE FORMA PARA U1=1

Fuente: Propia

Para u2=1 :

FIGURA No 10 FUNCION DE FORMA PARA U2=1

Fuente: Propia

Para u3=1 :

FIGURA No 11 FUNCION DE FORMA PARA U3=1

Fuente: Propia

Para u4=1 :

FIGURA No 12 FUNCION DE FORMA PARA U4=1

Fuente: Propia

De acuerdo a los grados de libertad la matriz de rigidez tendrá la siguiente forma:

Tomando en cuenta las funciones de forma descritas la matriz de rigidez del elemento viga resulta:

De esta forma se podrá partir con la idealización de la viga teniendo una rigidez nodal la cual simule las solicitaciones presentadas.

El algoritmo para este análisis esta descrito de la siguiente forma:

5.3 ALGORITMO PARA LINEAS DE

INFLUENCIA

LINEAS DE INFLUENCIA INICIO

INTRODUCIR LONGITUD

TOTAL VIGA LT, MODULO DE ELASTICIDAD E, DISTANCIAS

REACCIONES LR ,

DISTANCIA DE

EVALUACION Nd

Matrices de Rigidez de todos los

elementos, K ei

ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL:

[KG ]=∑i=1

Nel

[K ei ]

Construcción Vectores de incidencia de los apoyos, construcción de nudos libres.

Calcular Matriz de rigidez Reducida

[KGR ]

Inversión de la matriz reducida:

[KGR ]−1

Generación del vector de fuerzas (valor unitario):

{F }

Calculo de los desplazamientos nodales:

{U }=[KGR ]−1∗{F }

ALMACENAR desplazamientos,

distancias.

Calculo de los esfuerzos de cada elemento:

{ f }=[k el ] ∙ {u }

Almacenar Esfuerzos de corte y de momento flector para cada distancia de evaluación

∝

∝

6 RESULTADOS Y DISCUSION

Al emplear un modelo matemático exacto se tiene una función desplazamiento exacta, por lo tanto las deformaciones como los esfuerzos obtenidos llegaran a ser exactos, la distancia de evaluación para la línea de influencia estará en función del usuario el cual deberá tener el criterio de poder colocar una distancia optima de análisis ya sea para obtener la elástica de la viga de manera más aproximada para un tipo de carga variable o obtener análisis riguroso en puntos donde se tenga esfuerzos de gran magnitud e importancia.

7 CONCLUSIONES

Con el algoritmo planteado llegamos a determinar las solicitaciones persistentes de manera directa en comparación con un software de análisis estructural o la obtención de líneas de influencia por métodos tradicionales, el algoritmo está planteado de una manera fácil y entendible para que este pueda ser llevado por cualquier persona al lenguaje de programación que prefiera.

El planteamiento del modelo matemático llega a ser válido para elementos que trabajen a cargas axiales como son las cerchas, en el cual cambian solamente las funciones de forma del elemento de tipo barra, también este planteamiento puede ser aplicado a pórticos planos en el cual se tendrá el caso axial combinado con el caso de flexión en este caso las funciones de forma deberán ser la combinación del análisis de una cercha con una viga. Por lo tanto el algoritmo es aplicado a cualquier estructura que quiera ser estudiada en un análisis lineal, y se tome en cuenta la teoría de la

elasticidad es decir no tomar deformaciones de segundo grado.

REFERENCIAS

ANALISIS DE

ESTRUCTURAS ING.

NELSON GONZALES

VILLANUEVA Universidad

Autónoma Tomás Frías Potosí-

Bolivia.

Hibbeler, R. C., “Structural

Analysis”, Prentice-Hall, Inc.,

Englewood Cliffs, N. J., 1995.

Cifuentes, A. and Paz, M., “A

Note on the Determination of

Influence Lines and Surfaces

Using Finite Elements”, Finite

Elements in Analysis and

Design, Vol. 7, 299-305, 1991