Desarrollo de una aplicación informática basada en splines ...

Estudio de dispositivos no lineales y simulación mediante splines cúbicos. Pág. 1

Resumen

La distorsión armónica no es un fenómeno nuevo en los sistemas eléctricos de potencia,

pero desde principios de los setenta se ha convertido en un problema de creciente actualidad

debido al considerable incremento de las cargas contaminantes en las redes eléctricas, en

especial, de los dispositivos no lineales (DNLs) y la electrónica de potencia.

El proyecto actual desarrolla una aplicación informática para estudiar y simular diferentes

aspectos relacionados con alguna de estas cargas, en particular, la lámpara de descarga, el

rectificador monofásico con filtro capacitivo y el rectificador trifásico con filtro capacitivo.

En primer lugar, se estudia el modelo de los circuitos nombrados, es decir, se presenta su

modelización tradicional a partir de su circuito equivalente, así como los parámetros

invariantes que caracterizan las cargas. También se acotan estos parámetros invariantes a

los valores más usuales.

Posteriormente se realiza un estudio del comportamiento de las cargas en función de los

parámetros invariantes acotados. En este estudio se obtienen los splines cúbicos, es decir, ecuaciones polinómicas de tercer orden, que permitirán determinar el comportamiento de los

dispositivos no lineales sin tener que resolver el sistema no lineal asociado a la modelización

tradicional y eliminando, de esta forma, los problemas de inicialización asociados que dicha

resolución numérica comporta.

Posteriormente, los modelos analizados (el tradicional y el de splines cúbicos) son utilizados

para estudiar diferentes problemas relacionados con los DNLs. Los problemas analizados

son la interacción de la red y los DNLs, el estudio de los fenómenos de atenuación y

cancelación armónica y la determinación de la corriente del conductor neutro en una

instalación trifásica que alimenta los DNLs monofásicos tratados.

A continuación se explica cómo se ha desarrollado la aplicación informática, se detallará los

aspectos de diseño empleados y se justificará la selección del programa usado.

Finalmente, en los anexos, se incluye el estudio económico, la planificación temporal y el

impacto ambiental del proyecto. También se analiza un ejemplo y se adjunta el manual de

ayuda del programa.


Sumario

RESUMEN ___________________________________________________ 1

SUMARIO ____________________________________________________ 3

SUMARIO DE LOS ANEXOS _____________________________________ 5

GLOSARIO ___________________________________________________ 7

1. INTRODUCCIÓN __________________________________________ 9

1.1. Origen del proyecto .......................................................................................... 9

1.2. Antecedentes del proyecto ............................................................................ 10

1.3. Objetivos del proyecto .................................................................................... 11

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ________________________________ 13

2.1. Distorsión armónica ....................................................................................... 13

2.2. Interpolación segmentaria cúbica de Hermite ............................................... 17

2.2.1. Splines cúbicos .................................................................................................... 18

2.2.2. Shape-preserving Cubic Spline ........................................................................... 21

3. MODELIZACIÓN DE LAS CARGAS NO LINEALES ______________ 25

3.1. Lámpara de descarga .................................................................................... 26

3.1.1. Acotación de los invariantes de la lámpara de descarga ................................... 28

3.2. Rectificador monofásico con filtro capacitivo ................................................. 30

3.2.1. Acotación de los invariantes del rectificador monofásico ................................... 33

3.3. Rectificador trifásico con filtro capacitivo ....................................................... 35

3.3.1. Acotación de los invariantes del rectificador trifásico ......................................... 38

4. MODELIZACIÓN A PARTIR DE SPLINES CÚBICOS _____________ 41

4.1. Obtención de los splines cúbicos ................................................................... 43

4.1.1. Determinación de los splines de la lámpara de descarga .................................. 44

4.1.2. Determinación de los splines del rectificador monofásico .................................. 49

4.1.3. Determinación de los splines del rectificador trifásico ........................................ 55

4.2. Interacción armónica ...................................................................................... 61

5. ESTUDIOS CON CARGAS NO LINEALES _____________________ 63

5.1. Análisis de la interacción red-dispositivos no lineales ................................... 64

5.2. Compensación de reactiva ............................................................................ 67

5.3. Atenuación armónica ..................................................................................... 70

5.4. Cancelación armónica .................................................................................... 72

Pág. 4 Memoria

5.5. Estudio de la corriente del neutro en sistemas trifásicos .............................. 75

6. DESARROLLO DEL PROGRAMA ____________________________ 79

6.1. Selección del programa ................................................................................. 79

6.2. Estructura del programa ................................................................................ 82

6.3. Diseño de la interfaz de usuario .................................................................... 87

CONCLUSIONES _____________________________________________ 89

AGRADECIMIENTOS __________________________________________ 91

BIBLIOGRAFÍA_______________________________________________ 93

Referencias bibliográficas ....................................................................................... 93


Sumario de los anexos SUMARIO DE LOS ANEXOS _____________________________________ 1

A. SPLINES CÚBICOS DESARROLLADOS _______________________ 3

A.1. Splines de la lámpara de descarga................................................................ 3 A.1.1. Spline con rN = 0% ............................................................................................ 3 A.1.2. Spline con rN = 50% .......................................................................................... 4 A.1.3. Spline con rN = 100% ........................................................................................ 4

A.2. Splines del rectificador monofásico ............................................................... 5 A.2.1. Spline con XC,N = 0.5% y rN = 0% ..................................................................... 6 A.2.2. Spline con XC,N = 2.5% y rN = 0% ..................................................................... 7 A.2.3. Spline con XC,N = 4.5% y rN = 0% ..................................................................... 8 A.2.4. Spline con XC,N = 0.5% y rN = 50% ................................................................... 9 A.2.5. Spline con XC,N = 2.5% y rN = 50% ................................................................. 10 A.2.6. Spline con XC,N = 4.5% y rN = 50% ................................................................. 11 A.2.7. Spline con XC,N = 0.5% y rN =100% ................................................................ 12 A.2.8. Spline con XC,N = 2.5% y rN = 100% ............................................................... 13 A.2.9. Spline con XC,N = 4.5% y rN = 100% ............................................................... 14

A.3. Splines del rectificador trifásico .................................................................... 15 A.3.1. Spline con XC,N = 2% y rN = 0% ...................................................................... 16 A.3.2. Spline con XC,N = 11% y rN = 0% .................................................................... 17 A.3.3. Spline con XC,N = 20% y rN = 0% .................................................................... 18 A.3.4. Spline con XC,N = 2% y rN = 50% .................................................................... 19 A.3.5. Spline con XC,N = 11% y rN = 50% .................................................................. 20 A.3.6. Spline con XC,N = 20% y rN = 50% .................................................................. 21 A.3.7. Spline con XC,N = 2% y rN =100% ................................................................... 22 A.3.8. Spline con XC,N = 11% y rN = 100% ................................................................ 23 A.3.9. Spline con XC,N = 20% y rN = 100% ................................................................ 24

B. PLANIFICACIÓN Y PRESUPUESTO __________________________ 25

B.1. Planificación temporal .................................................................................. 25

B.2. Presupuesto ................................................................................................. 26 B.2.1. Coste de los recursos humanos ..................................................................... 26 B.2.2. Coste de los recursos materiales ................................................................... 27 B.2.3. Coste total ....................................................................................................... 27

C. ANÁLISIS DE IMPACTO AMBIENTAL ________________________ 29

D. ESTUDIO DE UN EJEMPLO ________________________________ 31

Pág. 6 Anexos

D.1. Simulación de un dispositivo no lineal en unas condiciones dadas............ 31

D.2. Estudio de compensación ........................................................................... 34

D.3. Estudio de atenuación armónica ................................................................. 37

D.4. Estudio de cancelación armónica ................................................................ 40

D.5. Estudio de la corriente por el neutro en sistemas trifásicos ........................ 43

E. FUNCIONAMIENTO DEL PROGRAMA ________________________ 46

E.1. Requisitos del equipo .................................................................................. 46

E.2. Funcionamiento del programa ..................................................................... 46 E.2.1. Estudio de una carga no lineal ........................................................................47 E.2.2. Estudio de interacción red-DNLs .....................................................................51 E.2.3. Estudio de compensación de reactiva .............................................................55 E.2.4. Estudio de atenuación armónica .....................................................................57 E.2.5. Estudio de cancelación armónica ....................................................................62 E.2.6. Estudio de la corriente en el neutro en sistemas trifásicos con cargas

monofásicas ....................................................................................................67 E.3. Barra superior del menú .............................................................................. 72

E.4. Barra de herramientas ................................................................................. 74


Glosario

A continuación se presentan los términos y variables que tienen mayor aparición en la presente memoria.

i Unidad imaginaria.

IDNL Intensidad del dispositivo no lineal.

iN Intensidad normalizada.

IRef Intensidad de referencia.

j Unidad imaginaria.

k Orden del armónico.

R Resistencia serie de la carga no lineal.

RCC Resistencia asociada a la red.

RCC,N Relación de parte resistiva de la red.

RD Resistencia de continua de los rectificadores.

rN Resistencia normalizada de la carga.

RSC Relación de cortocircuito.

SCarga Potencia de la carga.

SCC Potencia de cortocircuito.

V1 Tensión fundamental de alimentación.

VA Tensión de arco de la lámpara de descarga.

vA,N Tensión de arco normalizada de la lámpara de descarga.

vc Tensión del condensador de los rectificadores, tensión de continua.

VCarga Tensión de la carga en interacción red-DNLs.

Vk Armónicos de la tensión de alimentación.

vk Distorsión armónica de la tensión.

VTHV(1)

Valor eficaz de la tensión fundamental del equivalente Thevenin.

VTHV Tensión del equivalente Thevenin.

XC Reactancia capacitiva del condensador de los rectificadores.

XCC Reactancia capacitiva asociada a la red.

XC,N Reactancia capacitiva normalizada de los rectificadores.

XL Reactancia inductiva de los rectificadores.

XL,N Reactancia inductiva normalizada de los rectificadores.

Pág. 8 Memoria

ZTHV Impedancia del equivalente Thevenin.

θ1 Primer ángulo de conmutación de la carga no lineal.

θ2 Segundo ángulo de conmutación de la carga no lineal.

ω Pulsación de la red.


1. Introducción

1.1. Origen del proyecto

La contaminación armónica de los sistemas eléctricos de potencia se ha convertido en un problema debido al considerable incremento de las cargas no lineales: cargas que, excitadas con tensión sinusoidal, consumen intensidades no sinusoidales.

A causa del incremento de dichos dispositivos, la distorsión armónica de tensiones y corrientes ha ido aumentando produciéndose una serie de efectos indeseables que afectan al funcionamiento y calidad del sistema eléctrico.

La introducción de estas perturbaciones armónicas en la red puede traer como consecuencia diferentes efectos, entre ellos:

• Una disminución de la eficiencia global del sistema eléctrico.

• Pérdidas de rendimiento en las maquinas eléctricas, así como una posible reducción de su vida útil dando lugar al sobredimensionado de las mismas.

• Errores en la medida de magnitudes eléctricas.

• Errores en los instrumentos que utilizan el paso por cero en su funcionamiento.

• Sobrecarga y sobrecalentamiento del conductor neutro de las instalaciones.

• Aparición de vibraciones y ruidos acústicos en motores, transformadores, bobinas, etc.

Pág. 10 Memoria

1.2. Antecedentes del proyecto

Dada la creciente importancia de las cargas no lineales sobre la red, se han realizado diversos estudios sobre sus causas y efectos [1]-[4].

En este sentido, el equipo de investigación sobre armónicos del grupo de investigación sobre la calidad del suministro eléctrico (QSE) del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Politécnica de Cataluña (UPC) ha estudiado la modelización y el comportamiento de los DNLs disponiendo de programas y rutinas que permiten su simulación e incorporación al estudio del flujo de cargas en presencia de armónicos. Se han desarrollado dos tesis doctorales sobre el tema [5] y [8], y publicado numerosos artículos en revistas indexadas en el Journal Citation Report [9]-[15] y en congresos internacionales [16]-[25].

Además, existen en la literatura numerosas publicaciones sobre la modelización tanto de lámparas de descarga [26]-[29], como de rectificadores monofásicos [30]-[31] y rectificadores trifásicos [32]-[35].


1.3. Objetivos del proyecto

El actual proyecto tiene como objetivo desarrollar una aplicación informática que, partiendo como base del trabajo realizado en [7] y [8] y en las diferentes publicaciones mencionadas en el apartado anterior, proporcione al usuario las herramientas necesarias para estudiar diferentes aspectos relacionados con las cargas no lineales y la distorsión armónica que generan. Hay que destacar que en el presente proyecto se han realizado las siguientes aportaciones respecto a [7] y [8]:

• Se ha introducido el uso de splines cúbicos (interpolación segmentaria cúbica) en la modelización de los dispositivos no lineales. Con ello se ha eliminado la necesidad de resolver los sistemas no lineales asociados a las cargas, eliminando así los problemas de inicialización asociados. Además, los splines propuestos sirven para obtener una correcta inicialización en el caso de querer resolver el problema a partir de los sistemas no lineales.

• Se ha desarrollado una herramienta informática, basada en la modelización tradicional y en los splines estudiados, que permite realizar los siguientes estudios:

o Estudiar la interacción red-DNLs.

o Estudiar los fenómenos de atenuación y cancelación.

o Determinar la corriente del neutro en circuitos trifásicos con DNLs.


2. Fundamentos teóricos

2.1. Distorsión armónica

En una red eléctrica se pueden encontrar una gran variedad de cargas diferentes conectadas, con diferentes potencias y funciones. Todas estas cargas se pueden clasificar en dos tipos:

• Cargas lineales: Al ser alimentadas con una tensión senoidal, consumen una corriente también senoidal.

• Cargas no lineales: A pesar de ser alimentadas con una tensión senoidal, consumen una corriente no senoidal, aunque generalmente periódica.

Las ondas generadas por el segundo tipo de cargas, al ser periódicas, pueden descomponerse, según la teoría de Fourier, en una suma de infinitas ondas senoidales, denominadas armónicos, cuyas frecuencias son un múltiplo de la frecuencia fundamental. Un ejemplo de esta descomposición se puede encontrar en la Figura 2.1.

Figura 2.1. Descomposición de una onda en sus componentes.

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La descomposición de una onda x(t) se realiza según la siguiente expresión:

ω α∞

=

= + +∑0 11

( ) 2· ·cos( · · )k kk

x t X X k t (Ec. 2.1)

X0 es la componente continua de la onda, que en corriente alterna tiene valor nulo.

X1 y α1 es el valor eficaz y la fase de la onda fundamental.

Xk y αk (K≠1) son el valor eficaz y la fase de los armónicos.

ω1 = 2·π·f1 es la pulsación fundamental del sistema y f1 es la frecuencia fundamental.

Habitualmente, en los sistemas eléctricos, las tensiones e intensidades suelen tener simetría de semionda, por lo tanto, los componentes correspondientes a armónicos pares suele ser nulos.

En los sistemas trifásicos simétricos y equilibrados, las tensiones y corrientes tienen adicionalmente otra propiedad; las ondas de cada fase están desfasadas 120º, por lo que también se cumple:

π πω ω ω= + = −2 2( · ) ( · ) ( · )3 3A B Cx t x t x t (Ec. 2.2)

A partir de esta propiedad y operando convenientemente, si el sistema trifásico está equilibrado, se llega a:

Los armónicos múltiplos de 6 más 1 forman una terna de secuencia directa (la secuencia de valores máximos es ABCABC…).

ω α

πω α

πω α

= +

= + − = + =

= + +

1

1

1

( ) 2· ·cos( · · )2( ) 2· ·cos( · · ) para 6· 1, 0,1,2...32( ) 2· ·cos( · · )3

kA k k

kB k k

kC k k

X t X k t

X t X k t k n n

X t X k t

(Ec. 2.3)


Los armónicos múltiplos de 6 menos 1 forman una terna de secuencia inversa (la secuencia de máximos en las fases es ACBACB…).

ω α

πω α

πω α

= +

= + + = − =

= + −

1

1

1

( ) 2· ·cos( · · )2( ) 2· ·cos( · · ) para 6· 1, 1,2,3...32( ) 2· ·cos( · · )3

kA k k

kB k k

kC k k

X t X k t

X t X k t k n n

X t X k t

(Ec. 2.4)

Los armónicos impares múltiplos de 3 forman una terna de secuencia homopolar (las tres ondas están en fase).

ω α

ω α

ω α

= +

= + = =

= +

1

1

1

( ) 2· ·cos( · · )

( ) 2· ·cos( · · ) para 3· , 1,3,5...

( ) 2· ·cos( · · )

kA k k

kB k k

kC k k

X t X k t

X t X k t k n n

X t X k t

(Ec. 2.5)

Si el sistema trifásico trabaja en condiciones desequilibradas no se verificará la clasificación anterior.

El valor eficaz de una onda que tiene contenido armónico puede definirse de la siguiente manera:

∞

=

= ∑ 2

1RMS k

k

x X (Ec. 2.6)

Cuando se trabaja con ondas que contienen componentes armónicos, es preciso revisar la definición de las potencias. En este sentido es clara la definición de la potencia activa (P):

∞

=

= ∑1

cosk k kk

P U I ϕ (Ec. 2.7)

Mientras que existen múltiples definiciones de la potencia reactiva que no se analizarán en el presente documento.

Pág. 16 Memoria

En general es habitual considerar la aportación armónica de la potencia es despreciable en comparación con la fundamental de forma que se acaba calculando la potencia activa y reactiva como:

= =1 1 1 1 1 1cos ; senP I U Q I Uϕ ϕ (Ec. 2.8)

Para poder medir y comparar el contenido armónico de una determinada onda x(t) se define, según el IEEE, el índice de distorsión armónica total (THD, total harmonic distorsion) como:

∞

==∑ 2

1

1

·100[%]k

kx

XTHD

X (Ec. 2.9)

Donde x(t) puede ser tanto una tensión como una corriente.

Por otro lado, también puede ser interesante conocer el contenido armónico de un determinado componente de la onda. Para ello se define el índice de distorsión armónica individual (HD, harmonic distorsion) como:

=1

·100k kx

XHD

X (Ec. 2.10)

Para mantener un nivel de compatibilidad electromagnética adecuado, se limita la distorsión armónica total como la distorsión armónica individual de las tensiones y corrientes del sistema. En la Tabla 2.1 se encuentra un resumen de la norma, donde se limita la distorsión armónica total e individual de la tensión según el punto de conexión.

Tabla 2.1. Límites de la distorsión armónica de la tensión.

Distorsión armónica de la tensión en el punto de conexión

Tensión nominal del sistema [kV] < 0.9 kV 0.9-69 kV 69-138 kV > 138 kV

HDku [%] depende de k 3.0% 1.5% 1%

THDu [%] 5.0% 5.0% 2.5% 1.5%


2.2. Interpolación segmentaria cúbica de Hermite

Interpolar es el proceso de definir una función que toma valores específicos en puntos

concretos. Las más efectivas técnicas de interpolación actuales están basadas en

interpolación segmentaria cúbica de Hermite [36]-[38], que emplea polinomios de tercer

orden para definir los tramos de la ecuación. Y estas son las que se han empleado en este

proyecto.

Dada una serie de datos, se define k como la pendiente de la línea que une los dos

extremos del segmento k:

1k k

kk

y yh

(Ec. 2.11)

siendo hk = xk+1 – xk la longitud del sub-intervalo k y yk el valor que toma la función en el

extremo k.

Se toma el polinomio cúbico de Hermite como ecuación interpoladora, este expresado en el

intervalo xk ≤ x ≤ xk+1 y en variables locales s = x – xk y h = hk es:

3 21 1

2

2 2 3( ) k k k k k k

k kd d d dP x s s d s y

h h

(Ec. 2.12)

Derivando se obtiene la expresión,

21 1

2

2 2 3'( ) 3 2k k k k k k

kd d d dP x s s d

h h

(Ec. 2.13)

Se puede observar que Ec. 2.12 es un polinomio cubico para s, y por tanto para x, y que se

satisfacen cuatro condiciones, dos en los valores de la función y dos en los posibles valores

de la derivada, la pendiente.

1 1

1 1

( ) , ( )

'( ) , '( )k k k

k k k

P x y P x yP x d P x d

(Ec. 2.14)

donde dk = P’(xk), es decir la derivada de la función en el extremo.

Pág. 18 Memoria

Las funciones que cumplen las condiciones de interpolación en las derivadas se llaman de Hermite. Si se conocen tanto los valores como la primera derivada en los puntos de estudio, la interpolación cúbica de Hermite puede reproducir fácilmente los valores. Pero si los valores de las derivadas no se conocen, se deben definir de alguna manera.

A continuación se detallaran los dos sistemas, para definir estas derivadas, estudiados para la realización de este proyecto.

2.2.1. Splines cúbicos

El término spline se refiere a un instrumento delgado y flexible, normalmente de madera o plástico, que se utiliza en dibujo técnico para definir curvas entre una serie de puntos dados. Esta versión física, se emplea para definir una curva que minimiza la energía potencial sujeta a la interpolación entre estos puntos. La versión matemática para cumplir las mismas condiciones de interpolación que su versión física, debe tener una segunda derivada constante.

Los puntos donde se cambia de segmento, es decir, los puntos de los que tenemos información, se suelen llamar nodos.

Como se ha comentado con anterioridad, para definir los polinomios es necesario conocer o definir las derivadas dk, a continuación se detalla el primer método estudiado para la obtención de estas derivadas [36].

Se puede comprobar como la primera derivada P’(x) de la interpolación segmentaria, definida en Ec. 2.13 es continua.

La segunda derivada P’’(x) de la función cúbica segmentaria se define de diferente forma según se está a un lado o al otro del nodo. La expresión de la segunda derivada para el segmento k, expresada en variables locales s = x – xk y h = hk es:

+ ++ − − − += +1 1

22 2 3''( ) 6 2k k k k k kd d d dP x s

h hδ δ

(Ec. 2.15)

Para un sub-intervalo k, la derivada P’’(x) es una función lineal para s = x – xk.


Si x=xk, entonces s = 0 y

+− −+ = 16 2 4''( ) k k k

kk

d dP xh

δ (Ec. 2.16)

Si x=xk+1, entonces s = hk y

++

− + +− = 1

16 4 2''( ) k k k

kk

d dP xh

δ (Ec. 2.17)

Hay que tener en cuenta que, en el intervalo (k-1), la derivada P’’(x) se define a partir de δk-

1, dk y dk-1 en el nodo xk.

− −

−

− + +− = 1 1

1

6 4 2''( ) k k kk

k

d dP xh

δ

(Ec. 2.18)

Si P’’(x) ha de ser continua en x=xk significa que:

+ = −''( ) ''( )k kP x P x (Ec. 2.19)

Se obtiene la condición:

( ) ( )− − − + − −+ + + = +1 1 1 1 1 12 3k k k k k k k k k k kh d h h d h d h hδ δ (Ec. 2.20)

Se observa como la pendiente, o la primera derivada, está fuertemente relacionada a las diferencias δk. Este procedimiento se utiliza para los nodos k = (2,…,n-1) para obtener un sistema de n-2 ecuaciones con las n incógnitas dk. Para los extremos se debe emplear un método diferente. Normalmente se utiliza el método not-a-knot para determinar las restricciones r1 y r2 asociadas a los extremos.

Este método consistente en realizar una interpolación cubica simple tanto en los dos primeros sub-intervalos, x1 ≤ x ≤ x3, como en los dos últimos, xn-2 ≤ x ≤ xn, para poder realizar esto, se considera la tercera derivada P’’’(x2) y P’’’(xn-1) constantes. De hecho, x2 y xn-1 no se consideran nodos.

Pág. 20 Memoria

Se obtienen dos ecuaciones lineales nuevas que se agregan al sistema anterior:

( ) ( )

( ) ( )− − − − − −− − − −

− −

+ + ++ + = =

+

+ + ++ + = =

+

21 1 2 2 1 1 2

1 2 2 1 2 11 2

21 1 2 2 1 1

2 1 1 2 21 2

2( )

2( )n n n n n n nn n n n n

n n

h h h h hd h d h h r

h h

h h h h hd h d h h r

h h

δ δ

δ δ (Ec. 2.21)

Así pues, agregando las condiciones de contorno obtenidas de la interpolación cúbica, r1 y r2, en los primeros y últimos sub-intervalos. Se tiene un sistema de n ecuaciones y n incógnitas:

=Ad r (Ec. 2.22)

donde el vector de derivadas incógnitas y el vector de constantes son:

− − − −

+ + = = +

1

1 2 1 1 2

2 3 2 2 3

1 2 2 1

, 3

n n n n n

n

rd h hd h h

d r

d h hr

δ δδ δ

δ δ

(Ec. 2.23)

y la matriz de coeficientes tridiagonal es:

( )

( )− − − −

− − −

+ + =

+ +

2 2 1

2 1 2 1

1 2 1 2

2 1 2

2

2n n n n

n n n

h h hh h h h

Ah h h h

h h h

(Ec. 2.24)

Actualmente los splines están mucho más extendidos que la versión unidimensional explicada aquí. Existen versiones multidimensionales, de mayor orden, splines aproximativos... Una versión más extendida de la explicación se encuentra en [36].

En la Figura 2.2 se observa este método de interpolación para un conjunto de puntos de ejemplo.


Figura 2.2. Interpolación con Splines cúbicos.

2.2.2. Shape-preserving Cubic Spline

El segundo método estudiado para la determinación de los valores de las primeras derivadas está basado en [37], y aparece descrito en [38].

La idea principal de este método es determinar las primeras derivadas, dk, de forma que las funciones no provoquen picos excesivos, al menos, localmente. Si δk y δk-1 tienen signos opuestos, o si ambos son nulos, entonces xk es un mínimo o máximo local y, por lo tanto, la derivada es nula, dk = 0.

En la Figura 2.3 se puede ver cómo, en el caso de la izquierda, δk y δk-1 tienen signos opuestos y por tanto se toma dk = 0.La línea azul es la interpolación lineal segmentaria, y la línea verde es la curva que se obtiene al realizar la interpolación, consta de 2 tramos cúbicos diferentes, en ambos la derivada en el centro es nula y continua, pero se produce una discontinuidad en la segunda derivada.

Pág. 22 Memoria

Figura 2.3. Pendientes δk y δk-1 de signos opuestos en Shape-preserving Cubic Spline Interpolation.

Si , δk y δk-1 tienen el mismo signo pero valores diferentes y los intervalos tienen la misma longitud, hk, la expresión para calcular dk es:

−

= +

1

1 1 1 12k k kd δ δ

(Ec. 2.25)

Es decir, la pendiente del polinomio interpolador de Hermite en es dk la media de entre las dos pendientes de la interpolación lineal segmentaria. En este caso la interpolación también consta de 2 tramos cúbicos diferentes que comparten el mismo valor de derivada en el centro. También se produce una discontinuidad en la segunda derivada, Figura 2.4.

Figura 2.4. Pendientes δk y δk-1 de mismo signo en Shape-preserving Cubic Spline Interpolation.

En el caso de que δk y δk-1 tuvieran el mismo signo, pero la longitud de los tramos fuese diferente entonces la media es una media harmónica ponderada con las distancias de los tramos:

−

+= +1 2 1 2

1k k k

w w w wd δ δ

(Ec. 2.26)

donde,

− −= + = +1 1 2 12 , 2 .k k k kw h h w h h (Ec. 2.27)


Para determinar d1 y dn el método empleado es diferente, se utiliza un análisis unilateral, dado que se encuentra en los extremos. Así pues se asigna a d1 la pendiente de la línea que une los dos extremos del segmento 1, δ1, y se asigna a dn la pendiente de la línea que une los dos extremos del segmento n-1, δn.

En la Figura 2.5 se puede observar la interpolación del mismo conjunto de datos ejemplo que en la Figura 2.2, esta vez con la interpolación expuesta en este apartado.

Figura 2.5. Shape-preserving Cubic Spline Hermite Interpolation.

Se puede observar como para este conjunto de datos ejemplo, la interpolación con el segundo método parece más suave y acertada. En general el primer método funciona mejor si los datos a interpolar pertenecen a una seria de valores de una función suave. Además, en el primer método la segunda derivada de la ecuación solución es continua. El segundo método produce menos oscilaciones y sobre amortiguaciones en el caso de que los datos no sean tan suaves.


3. Modelización de las cargas no lineales

Las cargas no lineales que se estudiarán en el presente proyecto son:

• Lámpara de descarga

• Rectificador monofásico con filtro capacitivo

• Rectificador trifásico con filtro capacitivo

A continuación, en cada uno de los apartados, se comentará la modelización llevada a cabo para cada uno de los dispositivos, utilizando circuitos lineales a tramos [7] y [8].

Esta modelización permite estudiar el fenómeno de la interacción armónica, que consiste en la dependencia de los armónicos de la intensidad consumidos por las cargas no lineales con respecto a los armónicos de tensión presentes en bornes de dichas cargas [15], [18], [22], [31]. Así para la modelización de dispositivos, la tensión considerada en la alimentación podrá contener armónicos,

≥

= +∑1

( ) 2· ·cos( · )k vkk

v V kθ θ θ (Ec. 3.1)

para los dispositivos monofásicos, y

≥

= +

= − = +

∑1

( ) 2· ·cos( · )

( ) ( 2 3) ( ) ( 2 3)

a k vkk

b a c a

v V k

v v v v

θ θ θ

θ θ π θ θ π (Ec. 3.2)

para los trifásicos, se observa que los dispositivos trifásicos se consideran alimentados con tensiones simétricas y equilibradas.

Pág. 26 Memoria

3.1. Lámpara de descarga

La lámpara de descarga es una carga monofásica no lineal. El modelo habitual está formado por una impedancia, con componente inductivo y resistivo, que representa el balasto, y una fuente de tensión de onda cuadrada que modela la tensión de arco de la lámpara, Figura 3.1.

Figura 3.1. Modelo de la lámpara de descarga.

En la Figura 3.2 se muestra el comportamiento temporal de la tensión de arco, vA(θ), y corriente, i(θ), de esta carga. Los ángulos de conmutación (θ1, θ2) que caracterizan la tensión, vA(θ), y la corriente, i(θ), deben determinarse analizando las topologías del circuito de los dos segmentos marcados (I, II). Sin embargo, debido a la hipótesis de simetría de semionda, solo será necesario estudiar el primer segmento ya que se verifica la relación

= +2 1θ θ π .

Figura 3.2. Gráfica de la tensión y corriente de la lámpara de descarga.


Así, analizando la Figura 3.1 se deducen la siguiente ecuación del comportamiento de la lámpara:

θθ θ θ θ π θ θθ

< = + + − =

1 2 1segmento I ( )( < ) · ( ) · ( )L A

diR i X v vd

(Ec. 3.3)

que junto con las condiciones de periodicidad y continuidad,

= + = =1 1 2( ) ( 2 ) 0, ( ) 0i i iθ θ π θ (Ec. 3.4)

permitirán obtener los ángulos de conmutación y caracterizar la tensión de arco y la corriente.

La resolución del planteamiento anterior lleva a una ecuación no lineal (Ec. 3.5) que depende de los parámetros eléctricos de la lámpara R, XL y VA y de la tensión de alimentación (Ec. 3.1) cuya resolución numérica proporcionará el valor de θ1, y que se puede escribir de la forma

=11 1( , , , , , ) 0kLD L Af V V R X Vθ (Ec. 3.5)

Una vez resuelto el problema anterior y caracterizada la corriente, i(θ), se pueden determinar las intensidades armónicas consumidas por la lámpara realizando el Desarrollo de Fourier de dicha corriente,

−= ∫1( )

1 0,

1 2( , , , , ) ( )2

k jkLD k L AI V V R X V i e

π θθ θπ

(Ec. 3.6)

Basándose en una normalización adecuada desarrollada en [11], se toman como referencia para la normalización del modelo de la carga el valor eficaz de la tensión fundamental de la alimentación y la reactancia de la lámpara, es decir, UR=V1 y ZR=XL y, por tanto, IR=UR/ZR=V1/XL. Realizando esta normalización se consigue que la carga expresada en la nueva variable normalizada, iN=i/IR, dependa sólo de los parámetros normalizados siguientes:

= = =,1 1

, , , k Ak vk N A N

L

V VRv r vV X V

θ (Ec. 3.7)

es decir,

Pág. 28 Memoria

−= = ∫1( )

,LD1,N 1 , , 0,

1 2f ( , , , ) 0, ( , , ) ( )2

k jkk LD N kN A N N A N Nv r v I v r v i e

π θθθ θπ

(Ec. 3.8)

Si además no se considera la interacción armónica, la intensidad normalizada solo dependerá de los parámetros normalizados rN y vA,N,

−= = ∫1( )

,LD1,N 1 , , 0,

1 2f ( , , ) 0, ( , ) ( )2

k jkLD NN A N N A N Nr v I r v i e

π θθθ θπ

(Ec. 3.9)

A partir de LD1,N 1 ,f ( , , )N A Nr vθ se podrán determinar el valor del ángulo de conmutación θ1 en

función de los invariantes rN y vA,N lo que permitirá ajustar los splines cúbicos. Para caracterizar dicha función y, por tanto, determinar θ1 sin necesidad de resolver numéricamente el sistema no lineal con todos los problemas que eso comporta. Esto se verá con más detalle en el apartado 4.

3.1.1. Acotación de los invariantes de la lámpara de descarga

Una de las ventajas de los invariantes es que, basándose en las condiciones habituales de funcionamiento del dispositivo, se puede acotar el rango de valores que pueden tomar. En la lámpara de descarga, el rango de valores de vA,N a considerar puede ser obtenido fácilmente por estar caracterizado el dispositivo con una ecuación diferencial de primer orden, teniendo en cuenta la hipótesis de alimentación sinusoidal. Así, el ángulo de conmutación θ1 puede ser obtenido resolviendo directamente dicha ecuación y aplicando las condiciones de cambio y continuidad [8] y [11],

= − + ⇒ = − +1 1 ,acos( ) cos( )2 22 2· 2 2

Av A N v

V vVπ π π πθ θ θ θ (Ec. 3.10)

donde la expresión anterior coincide con la propuesta en [8]. Así, con ella se comprueba que es invariante de la lámpara de descarga.

Así, en [29], los límites fijados para el invariante son vA,N (%) = (0 … 75.9) los cuales, considerando θV=0º, corresponden a θ1 = (122.48 … 180). El límite superior de vA,N

(vA,N = 75.9%) es la frontera entre la conducción continua y discontinua del dispositivo.

La Figura 3.3 muestra la influencia del invariante vA,N en la intensidad consumida por la lámpara. En ella, también se presenta la tensión de alimentación. Se puede observar que tal como se ha mencionado que para vA,N = 75% la lámpara entra en conducción discontinua.


Figura 3.3. Influencia del invariante vA,N en la intensidad consumida por la lámpara.

Los límites fijados para el invariante rN son rN(%) = (0 … 100) los cuales, corresponden a los valores usuales que puede tomar R = (0 … XL). En la realidad, debido a que el balastro está diseñado para reducir las pérdidas de energía de la lámpara, el límite superior del invariante suele ser rN(%) = 10%.

En la figura 3.4 se muestra la influencia del invariante rN en la intensidad consumida por la lámpara.

Figura 3.4. Influencia del invariante rN en la intensidad consumida por la lámpara.

Pág. 30 Memoria

3.2. Rectificador monofásico con filtro capacitivo

El modelo que se empleará está compuesto por un puente de Graetz, formado por cuatro diodos, el cual alimenta una carga puramente resistiva a través de un condensador de filtrado y una impedancia, con componente inductivo y resistivo, conectada en serie en la entrada del rectificador, Figura 3.5.

Figura 3.5. Modelo del rectificador monofásico no controlado con filtro capacitivo.

En la Figura 3.6 se muestra el comportamiento de la tensión DC, vC(θ), y corriente AC, i(θ), de este dispositivo. Los ángulos de conmutación (θ1, θ2, θ3, θ4) deben determinarse analizando las topologías del circuito de los cuatro segmentos marcados (I, II, III, IV). Sin embargo, debido a la hipótesis de simetría de semionda, sólo será necesario estudiar los dos primeros segmentos. Ya que se verifica la relación θj+2 = θj + π ( j = 1, 2…).

Figura 3.6. Gráfica de la tensión y corriente del rectificador monofásico con filtro.


Así, analizando la Figura 3.5 se deducen las siguientes ecuaciones de comportamiento del rectificador monofásico,

θθ θ θ θ θ

θ

θ θ θ θθ

θ θ θ θ πθ θ

θθ

=< + =

+ − =< = + + = −

1 2

2 3 1

segmento I

segmento II

( ) 0( < ) ( ) ( )1 0

( ) · ( ) ( ) ( )( < ) ( ) ( )1 ( )

C C

C D

NL C

C C

C D

idv v

X d R

diX R i v vd

dv v iX d R

(Ec. 3.11)

que junto con las condiciones de periodicidad y continuidad,

θ θ π θ θθ θ θ π θ θ θ θ

= + = = −

= = + = = =3 1 2 2

1 3 1 2 2 2 2

( ) ( ) 0, ( ) ( )( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0

II II cI II

cI cII cII cI cII II I

i i v vv v v v v i i

(Ec. 3.12)

permitirán obtener los ángulos de conmutación y caracterizar la tensión y la corriente.

La resolución del planteamiento anterior lleva a un sistema no lineal (Ec. 3.13) que depende de los parámetros eléctricos del rectificador monofásico R, XC, XL y RD y de la tensión de alimentación (Ec. 3.1) cuya resolución numérica proporciona los valores de θ1 y θ2, y que se puede escribir de la forma:

=

=11 1 2

12 1 2

( , , , , , , , ) 0( , , , , , , , ) 0

kRM L C D

kRM L C D

f V V R X X R

f V V R X X R

θ θ

θ θ (Ec. 3.13)


−= ∫11 2( )

0( , , , , , , , )

1 2 ( )2k L C D

k jkRM V V R X X RI i e

π θθ θ θπ

(Ec. 3.14)

Pág. 32 Memoria

Basándose en una normalización adecuada desarrollada en [8] y [11], se toman como referencia para la normalización del modelo de la carga el valor eficaz de la tensión fundamental de la alimentación y la resistencia del lado de continua del rectificador, es decir, UR=V1 y ZR=RD y, por tanto, IR=UR/ZR=V1/RD. Realizando esta normalización se consigue que la carga expresada en las nuevas variables normalizadas, iN=i/IR y vC,N=vC/UR, dependa sólo de los parámetros normalizados siguientes:

= = = =, ,1

, , , , Ck Lk Vk N L N C N

D D D

XV XRv r X XV R R R

θ (Ec. 3.15)

Es decir,

−=

== ∫

11 2 , ,

11 2 , ,11 2 , ,

RM1,N ( ), 0

RM2,N

, , , ,, , , ,

, , , ,

f ( , , ) 0 1 2, ( , , ) ( )f ( , , ) 0 2

k N L N C N

k N L N C Nk N L N C N

k jkRM N N

V V r X XV V r X X

V V r X XI i e

π θθ θ

θ θ θθ θ π

(Ec. 3.16)

Si además no se considera la interacción armónica, la intensidad normalizada solo dependerá de los parámetros normalizados rN, XL,N y XC,N,

−=

== ∫

1 2 , ,

1 2 , ,1 2 , ,

RM1,N ( ), 0

RM2,N

, ,, ,

, ,

f ( , , ) 0 1 2, ( , , ) ( )f ( , , ) 0 2

N L N C N

N L N C NN L N C N

k jkRM N N

r X Xr X X

r X XI i e

π θθ θ

θ θ θθ θ π

(Ec. 3.17)

A partir de 1 2 , , 1 2 , ,RM1,N RM 2,N, , , ,f ( , , ) y f ( , , )N L N C N N L N C Nr X X r X Xθ θ θ θ se podrán determinar los

valores de los ángulos de conmutación θ1 y θ2 en función de los invariantes rN, XL,N y XC,N lo que permitirá ajustar los splines cúbicos. Para caracterizar dicha función y, por tanto, determinar θ1 y θ2 sin necesidad de resolver numéricamente el sistema no lineal con todos los problemas que eso comporta. Esto se verá con más detalle en el apartado 4.


3.2.1. Acotación de los invariantes del rectificador monofásico

Una de las ventajas de los invariantes es que, basándose en las condiciones habituales de funcionamiento del dispositivo, se puede acotar el rango de valores que pueden tomar. En el rectificador monofásico, el rango de valores de los invariantes: XL,N y XC,N puede ser obtenido relacionando cada uno de estos invariantes con la relación de cortocircuito RSC=SCC/SCarga y el rizado de continua del rectificador ΔvC/vC respectivamente, [8] y [11].

La relación entre XL,N y RSC es:

= = = ≈

≈ = ⇒ = ≈

2 2

2

2

,2 2

cos ( ) cos0.5487

(1.35 ) 1.35

CC L LSC

Load Load C D

L D LL N

D L D SC

S V X V XRS P V R

V X R XXV R X R R

ϕ ϕ (Ec. 3.18)

donde se han realizado las aproximaciones cos φ ≈ 1, para el factor de potencia del rectificador y, VC ≈ 1.35V [13] para el valor medio de la tensión de continua.

La relación entre XC,N y ΔvC/vC es:

∆= = ≈ ⇒

∆ ∆≈ ⇒ = ≈

∆,

1 1 ;

1 1

C C CC C

D C C

C C C CC N

D C D C

v dv vi iR X d X d

v v X vXR X d R v

θ θ

θ θ

(Ec. 3.19)

donde, aceptando que el ancho del pulso de la intensidad consumida por el rectificador es aproximadamente 3ms (π/3), [33], se puede aproximar la duración de la descarga del condensador a 2π/3 (Δθ = θ2 – θ1 = (θ3 – θ1) – (θ3 – θ2) = π – π/3 = 2π/3), y se tiene

∆=, 0.4774 C

C NC

vXv

(Ec. 3.20)

Así, los rangos de valores utilizados son XL,N(%)=(0.05 … 10) y XC,N(%)=(0.5 … 4.5), los cuales aproximadamente corresponden a RSC=(5 … 1000) y a ΔvC/vC(%)=(1 … 10) [11].

Pág. 34 Memoria

En la Figura 3.7 se muestra la influencia de los invariantes en la tensión de continua y la intensidad consumida por el rectificador. En esta, también se presenta la tensión de alimentación. Se puede observar que el invariante XL,N principalmente influye en la forma del pulso de la intensidad. Mientras que el invariante XC,N principalmente influye en el rizado de la tensión de continua.

Figura 3.7. Influencia de los invariantes en la intensidad consumida por el rectificador monofásico.

Los límites fijados para el invariante rN son rN(%) = (0 … 100) los cuales, corresponden a los valores usuales que puede tomar R = (0 … XL). Este invariante tiene una pequeña influencia en la intensidad consumida por el rectificador. Por esta razón, en muchos estudios se desprecia el efecto de la resistencia de alimentación sin cometer grandes errores.


3.3. Rectificador trifásico con filtro capacitivo

El modelo que se empleará está compuesto por un puente, formado por seis diodos, el cual alimenta una carga puramente resistiva a través de un condensador de filtrado y una impedancia, con componente inductivo y resistivo, conectada en serie en la entrada del rectificador, Figura 3.8.

Figura 3.8. Modelo del rectificador trifásico no controlado con filtro capacitivo.

En la Figura 3.9 se muestra el comportamiento de la tensión DC, vC, y las corrientes AC, ia, ib e ic de este dispositivo. Se pueden considerar dos modos de conducción en este dispositivo, conducción discontinua (DCM, discontinuous conduction mode) y conducción continua (CCM, continuous conduction mode).

Figura 3.9. Gráfica de la tensión y corriente del rectificador trifásico NC con filtro.

Pág. 36 Memoria

Se ha de tener en cuenta que la consideración de un sistema de alimentación simétrico impone que las corrientes por las fases verifiquen:

θ θ π θ θ π= − = +( ) ( 2 3) ( ) ( 2 3)b a c ai i i i (Ec. 3.21)

Los ángulos de conmutación (θ1 a θ12) deben de determinarse analizando las topologías del circuito de los doce segmentos marcados (I, II,…, XII). Sin embargo debido a las hipótesis de simetría de semionda y alimentación simétrica, solo será necesario estudiar los segmentos I y II, ya que se verifica θj+2 = θj + π/3 ( j = 1, 2…, 10).

Así, analizando la Figura 3.8 se deducen las siguientes ecuaciones del comportamiento del rectificador trifásico:

+ + = < + = = < = + + =

1 2

2 3 1

segmento I

DCM

segmento II

( )2· · ( ) 2 ( ) ( )( < ) ( ) ( )1 ( )

( ) 0( < 3 ) ( ) ( )1 0

aa L C ac

C Ca

C D

a

C C

C D

diR i X v vd

dv v iX d R

idv v

X d R

θθ θ θ

θθ θ θ

θ θθ

θ

θθ θ θ θ π θ θ

θ

(Ec. 3.22)

+ + =< + =

+ + =

< = + + + =

+

1 2

2 3 1

segmento I

CCM

segmento II

( )2· · ( ) 2 ( ) ( )( < ) ( ) ( )1 ( )

( )· ( ) ( ) ( )

( )( < 3 ) · ( ) ( ) ( )

( ) ( )1

aa L C ac

C Ca

C D

aa L C ac

bb L C bc

C C

C D

diR i X v vd

dv v iX d R

diR i X v vd

diR i X v vd

dv vX d R

θθ θ θ

θθ θ θ

θ θθ

θ

θθ θ θ

θθ

θ θ θ θ π θ θ θθ

θ θθ

= +

( ) ( )a bi iθ θ

que junto con las condiciones de periodicidad y continuidad simplificadas,

θ θ θ π θ θ πθ θ θ π θ θ θ θ= = + = − = − +

= = + = = =2 3 1 3 1

1 3 1 2 2 2 2

( ) 0, ( ) ( 3) ( ) ( 3)( ) ( ) ( 3), ( ) ( ), ( ) ( ) 0

I cII cII II II

cI cII cII cI cII II I

i v v v vv v v v v i i

(Ec. 3.23)

permitirán obtener los ángulos de conmutación y caracterizar la tensión y la corriente.


La resolución del planteamiento anterior lleva a un sistema no lineal (Ec. 3.24) que depende de los parámetros eléctricos del rectificador monofásico R, XC, XL y RD y de la tensión de alimentación (Ec. 3.2) cuya resolución numérica proporciona los valores de θ1 y θ2, y que se puede escribir de la forma:

=

=11 1 2

12 1 2

( , , , , , , , ) 0( , , , , , , , ) 0

kRT L C D

kRT L C D

f V V R X X R

f V V R X X R

θ θ

θ θ (Ec. 3.24)


−= ∫11 2( )

0( , , , , , , , )

1 2 ( )2RT k L C D

k jka aV V R X X RI i e

π θθ θ θπ

(Ec. 3.25)

Basándose en una normalización adecuada desarrollada en [8] y [11], se toman como referencia para la normalización del modelo de la carga el valor eficaz de la tensión fundamental de la alimentación y la resistencia del lado de continua del rectificador, es decir, UR=V1 y ZR=RD y, por tanto, IR=UR/ZR=V1/RD. Realizando esta normalización se consigue que la carga expresada en las nuevas variables normalizadas, vac,N=vac/UR, vbc,N=vbc/UR, vC,N=vC/UR, ia,N=ia/IR e ib,N=ib/IR dependa sólo de los parámetros normalizados siguientes:

= = = =, ,1

, , , , Ck Lk Vk N L N C N

D D D

XV XRv r X XV R R R

θ (Ec. 3.26)

Es decir,

−=

== ∫

11 2 , ,

11 2 , ,11 2 , ,

RT1,N ( ), ,0

RT 2,N

, , , ,, , , ,

, , , ,

f ( , , ) 0 1 2, ( , , ) ( )f ( , , ) 0 2RT

k N L N C N

k N L N C Nk N L N C N

k jka N a N

V V r X XV V r X X

V V r X XI i e

π θθ θ

θ θ θθ θ π

(Ec. 3.27)

Si además no se considera la interacción armónica, la intensidad normalizada solo dependerá de los parámetros normalizados rN, XL,N y XC,N,

−=

== ∫

1 2 , ,

1 2 , ,1 2 , ,

RT1,N ( ), ,0

RT 2,N

, ,, ,

, ,

f ( , , ) 0 1 2, ( , , ) ( )f ( , , ) 0 2RT

N L N C N

N L N C NN L N C N

k jka N a N

r X Xr X X

r X XI i e

π θθ θ

θ θ θθ θ π

(Ec. 3.28)

A partir de 1 2 , , 1 2 , ,RT1,N RT 2,N, , , ,f ( , , ) y f ( , , )N L N C N N L N C Nr X X r X Xθ θ θ θ se podrán determinar los

valores de los ángulos de conmutación θ1 y θ2 en función de los invariantes rN, XL,N y XC,N lo que permitirá ajustar los splines cúbicos. Para caracterizar dicha función y, por tanto, determinar θ1 y θ2 sin necesidad de resolver numéricamente el sistema no lineal con todos los problemas que eso comporta. Esto se verá con más detalle en el apartado 4.

Pág. 38 Memoria

3.3.1. Acotación de los invariantes del rectificador trifásico

Una de las ventajas de los invariantes es que, basándose en las condiciones habituales de funcionamiento del dispositivo, se puede acotar el rango de valores que pueden tomar. En el rectificador trifásico, el rango de valores de los invariantes: XL,N y XC,N puede ser obtenido relacionando cada uno de estos invariantes con la relación de cortocircuito RSC=SCC/SCarga y el rizado de continua del rectificador ΔvC/vC respectivamente, [8] y [11].

La relación entre XL,N y RSC es:

( )= = = ≈

≈ = ⇒ = ≈

22

2

2

,2 2

3 3cos ( ) cos

3 0.5487(1.35 ) 1.35

LCC LSC

Load Load C D

L D LL N

D L D SC

V XS V XRS P V R

V X R XXV R X R R

ϕ ϕ (Ec. 3.29)

donde se han realizado las aproximaciones cos φ ≈ 1 para el factor de potencia del rectificador y, VC ≈ 1.35·√3 V [39] para el valor medio de la tensión de continua.

La relación entre XC,N y ΔvC/vC es:

∆= = ≈ ⇒

∆ ∆≈ ⇒ = ≈

∆,

1 1 ;

1 1

C C CC C

D C C

C C C CC N

D C D C

v dv vi iR X d X d

v v X vXR X d R v

θ θ

θ θ

(Ec. 3.30)

donde, considerando que, bajo la hipótesis de simetría de semionda θ5 = θ3 – π/3, se puede aceptar aproximar la duración de la descarga del condensador a π/6 (Δθ = θ5 – θ4 ≈ (θ5 – θ3) /2 = π/6), se tiene

∆=, 1.909 C

C NC

vXv

(Ec. 3.31)

Así, los rangos de valores utilizados son XL,N(%)=(0.05 … 10) y XC,N(%)=(2 … 20), los cuales aproximadamente corresponden a RSC=(5 … 1000) y a ΔvC/vC(%)=(1 … 10) [11]. En el estudio finalmente, el límite superior del rango del invariante XL,N se ha fijado al 1% ya que a partir de ese valor el rectificador entra en conducción continua.


La Figura 3.10 muestra la influencia de los invariantes en la tensión de continua y la intensidad consumida por el rectificador. En ella, también se presenta las tensiones de alimentación del rectificador. Se puede observar que el invariante XL,N principalmente influye en la forma del pulso de la intensidad. Mientras que el invariante XC,N principalmente influye en el rizado de la tensión de continua. También se puede observar, como se ha mencionado anteriormente, como para =1% el rectificador entra en conducción continua.

Figura 3.10. Influencia de los invariantes en la intensidad consumida por el rectificador trifásico.

Los límites fijados para el invariante rN son rN(%) = (0 … 100) los cuales, corresponden a los valores usuales que puede tomar R = (0 … XL). Este invariante tiene una pequeña influencia en la intensidad consumida por el rectificador. Por esta razón, en muchos estudios se desprecia el efecto de la resistencia de alimentación sin cometer grandes errores.


4. Modelización a partir de splines cúbicos

En el capítulo 3 se ha presentado la modelización mediante circuitos lineales a tramos y la utilización de los invariantes para reducir el número de variables que caracterizan las DNLs y poder trabajar con variables cuyo rango de valores está acotado.

Las expresiones de las formas de onda de las tensiones y corrientes (vA(θ) e i(θ) en el caso de la lámpara de descarga, vC(θ) e i(θ) en el caso del rectificador monofásico y vC(θ), iA(θ), iB(θ) e iC(θ) en el caso del rectificar trifásico) se obtienen resolviendo los sistemas (Ec. 3.5, Eq. 3.13, Eq. 3.24 respectivamente) y, a partir de dicha resolución, se pueden determinar las intensidades armónicas con las expresiones (Ec. 3.6, Eq. 3.14, Eq. 3.25 respectivamente). Esta resolución se encuentra desarrollada en [7] considerando los parámetros eléctricos de los DNLs y en [8] y [11] introduciendo el concepto de invariante.

Considerando la hipótesis de no interacción armónica (es decir, despreciando las tensiones armónicas en bornes de DNLs), las expresiones normalizadas son de la forma:

=

⇒ = ⋅ = ⋅

LD1,N 1 ,

( ) ( ) ( ) ( )1, , ,1 , 1 , 1 ,

f ( , , ) 0

( , , ) ( , , ) ( , , )

N A N

k k k kLD N LD LD N LD NN A N ref N A N N A N

L

r v

VI I r v I I r v I r vX

θ

θ θ θ (Ec. 4.1)

para la lámpara de descarga,

= =1 2 , , 1 2 , ,RM1,N RM2,N, , , ,f ( , , ) 0, f ( , , ) 0N L N C N N L N C Nr X X r X Xθ θ θ θ (Ec. 4.2)

⇒ = =1 2 , , 1 2 , , 1 2 , ,( ) ( ) ( ) ( )1

, , ,, , , , , ,( , , ) · ( , , ) ( , , )N L N C N N L N C N N L N C Nk k k k

RM N RM RM N RM NrefD

r X X r X X r X XVI I I I IR

θ θ θ θ θ θ

para el rectificador monofásico y

= =1 2 , , 1 2 , ,RT1,N RT 2,N, , , ,f ( , , ) 0, f ( , , ) 0N L N C N N L N C Nr X X r X Xθ θ θ θ (Ec. 4.3)

⇒ = =1 2 , , 1 2 , , 1 2 , ,( ) ( ) ( ) ( )1

, , ,, , , , , ,( , , ) · ( , , ) ( , , )RT RT RT RTN L N C N N L N C N N L N C Nk k k k

a N a a N a NrefD

r X X r X X r X XVI I I I IR

θ θ θ θ θ θ

para el rectificador trifásico.

Pág. 42 Memoria

Como se puede observar, las expresiones anteriores para obtener los ángulos de conmutación y caracterizar así las corrientes consumidas por los DNLs sólo dependen de los invariantes. Así, dichos ángulos se encontraran resolviendo el sistema no lineal formado por fLD1,N (para la lámpara de descarga), fRM1,N y fRM2,N (para el rectificador monofásico) y fRT1,N y fRT2,N (para el rectificador trifásico) [8] y [11].

La resolución de dicho sistema se realizan mediante métodos numéricos iterativos, entre ellos se encuentra el algoritmo de Newton y los métodos de Newton modificados, entre otros [6], [40] y [41]. Estos algoritmos pueden converger rápidamente a la solución si las condiciones iniciales, θ1 para la lámpara de descarga y θ1 y θ2 para los rectificadores, están próximas a la solución buscada. Es por ello que una inicialización incorrecta puede dar lugar a problemas de convergencia [6], los cuales son:

• El método es divergente.

• El método converge hacia una solución falsa.

• El método converge después de muchas iteraciones.

Se observa que el uso de invariantes en la modelización implica que las intensidades normalizadas serán las mismas para cargas del mismo tipo con invariantes del mismo valor, es decir, estas intensidades están directamente relacionadas con los invariantes de una carga. Así, conocidas las intensidades armónicas normalizadas para unos invariantes concretos se podrían obtener las intensidades armónicas consumidas por una carga con los mismos invariantes tan sólo con multiplicarlas por su intensidad de referencia.

Además, se han acotado los valores que pueden tomar los invariantes en las cargas estudiadas, permitiendo así estudiar la resolución de las ecuaciones no lineales para un rango de valores determinado. Todo ello, es decir, la dependencia de los ángulos de conmutación de unos invariantes concretos cuyos valores están acotados, posibilita la caracterización de los resultados para dichos ángulos, es decir la obtención de funciones,

=

= =

= =

1 ,

1 1 , , 2 2 , ,

1 1 , , 2 2 , ,

( , )( , , ), ( , , )( , , ), ( , , )

LD N A N

RM N L N C N RM N L N C N

RT N L N C N RT N L N C N

sp r Vsp r x x sp r x xsp r x x sp r x x

θ

θ θ

θ θ (Ec. 4.4)

mediante el uso de splines cúbicos. En este capítulo se detallará el método utilizado para obtener los splines.


La utilización de splines cúbicos (Ec. 4.4) permite obtener directamente el valor de θ1 y θ2 para unos invariantes concretos sólo si la fuente de alimentación es sinusoidal y equilibrada. Eliminando la necesidad de resolver el sistema no lineal asociado al problema (Ec. 3.9, Eq. 3.17, Eq. 3.28), eliminando cualquier error de convergencia e inicialización y permitiendo el uso de las expresiones de la intensidad directamente para obtener las formas de onda de las intensidades y tensiones de las cargas no lineales.

En los estudios con interacción armónica, donde la fuente de alimentación no se puede considerar sinusoidal, los splines cúbicos obtenidos no se podrán utilizar debiéndose recurrir a las ecuaciones no lineales presentadas anteriormente (Ec. 3.5, Eq. 3.13, Eq. 3.24) que deberán ser resueltas numéricamente. En cualquier caso, dichos splines también serán útiles en este caso para inicializar el problema numérico correctamente.

4.1. Obtención de los splines cúbicos

Para hallar los valores de los ángulos de conmutación, θ1 y θ2, para unos invariantes concretos a partir de unas ecuaciones, primero es necesario resolver el sistema de ecuaciones no lineales que definen dichos ángulos para todo el rango de valores de los invariantes. Una vez resuelto, se dispondrá de los valores de θ1 y θ2 para el rango de los invariantes, es decir, se dispondrá de la caracterización numérica de las funciones (Ec. 3.9, Eq. 3.17, Eq. 3.28) a partir de la cual, utilizando un método de interpolación adecuado, se podrán obtenerlos splines cúbicos que las caracterizan.

En los apartados 2.2.1 y 2.2.2, se han expuesto los dos métodos estudiados. En este caso los resultados obtenidos por el segundo método, Shape-Preserving Cubic Spline Interpolation [37], presentan menor oscilación y el error introducido por la interpolación y el uso de splines es menor. Por lo tanto, es el que se ha utilizado en el resto del proyecto.

Así, la forma de las ecuaciones segmentarias cúbicas, o splines cúbicos, a partir de los cuales calcularemos los ángulos de conmutación sin resolver el sistema no lineal son de la forma:

( ) ( )( ) ( )+

= + + + ≤ ≤ +

+ + + + ≤ ≤

3 21 1 1 1 1 2

3 21

( ) · · · · ...

... · · · ·

k

n n n n n n

x a x b x c x d x x x

a x b x c x d x x x

θ (Ec. 4.5)

Se puede observar que si se utiliza un conjunto de n+1 puntos, el resultado es una ecuación de n tramos.

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4.1.1. Determinación de los splines de la lámpara de descarga

Considerando no interacción armónica, se tienen dos invariantes rN y vA,N que caracterizan el comportamiento de la lámpara (Ec. 3.9), y por tanto, que afectan al valor del ángulo de conmutación θ1.

Como se ha comentado con anterioridad, el invariante rN es el que menos influencia tiene sobre el resultado, por lo tanto, se ha decidido considerar fijo rN para un spline y se realiza la interpolación segmentaria para vA,N. Así, los splines tienen la forma:

( ) ( )( ) ( )+

= + + + ≤ ≤ +

+ + + + ≤ ≤

3 2 (1) (2)1 , 1 , 1 , 1 , 1 , , ,

3 2 ( ) ( 1), , , , , ,

( ) · · · · ...

... · · · ·

A N A N A N A N A N A N A N

n nn A N n A N n A N n A N A N A N

v a v b v c v d v v v

a v b v c v d v v v

θ (Ec. 4.6)

donde, vA,N varía entre 0% y 75%, que es el rango determinado en el apartado 3.1.1. Así, para un valor de rN = 0% se ha obtenido el valor θ1 de para todo el rango de vA,N, Figura 4.1, y despúes de un extensivo estudio del error en la interpolación, se ha decidido utilizar 10 puntos y 9 tramos para la lámpara de descarga.

Figura 4.1. Valor del ángulo de conmutación, θ1, para el invariante vA,N y para rN = 0%.


En la Figura 4.2 se observa el error producido, en tanto por ciento, al utilizar el spline respecto al cálculo exacto, el error máximo es de ≈0,004%

Figura 4.2. Valor del error producido por la interpolación para vA,N y para rN = 0%.

Se puede observar que el spline anterior solo nos sirve para un valor del invariante rN fijo (rN = 0%). Para poder introducir este segundo invariante al estudio se completará el spline anterior con otros dos más.

Primero, repetiremos el procedimiento para rN = 100%. Así pues, tendremos el valor del valor θ1 de para todo el rango de vA,N para un valor de rN = 0% o bien rN = 100%. Para hallar el valor de θ1 para un valor de rN entre 0% y 100%, 0% < rN < 100%, se realiza una interpolación lineal entre los valores de θ1 para rN = 0% y rN = 100%. Es este punto, se ha realizado el estudio del error que comporta realizar dicha interpolación lineal y se ha observado que, dicho error, se caracteriza por una función parabólica.

Pág. 46 Memoria

Así pues, se decide introducir el último spline para rN = 50%. Considerando el error nulo en rN = 0% y rN = 100% y calculando el error cometido en la interpolación de rN = 50% como la diferencia entre el valor obtenido por el spline y el valor interpolando linealmente, se puede caracterizar la función parabólica del error. Permitiendo así conocer cuál es el error cometido en la interpolación lineal y por lo tanto, corregirlo.

En la Figura 4.3 se muestra el esquema del cálculo del ángulo de conmutación θ1 por el método de los splines. En él se detalla gráficamente lo expuesto en los anteriores párrafos.

Figura 4.3. Esquema del cálculo de θ1 en la lámpara de descarga mediante splines.


En la Figura 4.4 se puede observar el error producido al realizar la interpolación simple entre rN = 0% y rN = 100%, que, como se ha comentado con anterioridad, tiene forma parabólica. También se muestra el error una vez aplicada la corrección parabólica, como se puede observar los resultados mejoran notablemente.

Figura 4.4. En rojo error producido por la interpolación lineal, en azul error producido por la interpolación cuadrática para vA,N = 60 %.

Pág. 48 Memoria

Finalmente, en la Figura 4.5 se muestra el error que se produce al calcular ángulo de conmutación para la lámpara de descarga, θ1, mediante los splines. Se puede observar que el valor máximo del error es de ≈0,55% y que este se produce para vA,N = 75 % y rN = 80% aproximadamente.

Figura 4.5. Error al calcular el ángulo de conmutación, θ1, mediante los splines.

La forma del error presentado en la Figura 4.5 se debe a que el error en la interpolación lineal para valores del invariante vA,N altos no se caracteriza exactamente por una función parabólica. En la Figura 6.4 se puede observar cómo, para los puntos medios entre rN = 0% y rN = 50% y los puntos rN = 50% y rN = 100% se produce el error máximo local debido que la función error no es exactamente parabólica. Aun así, se considera el error máximo de 0,55% aceptable.

En el anexo A.1 se muestran cuáles son los splines obtenidos.


4.1.2. Determinación de los splines del rectificador monofásico

Considerando no interacción armónica, se tres invariantes, rN, XL,N y XC,N, que caracterizan el comportamiento del rectificador monofásico (Ec. 3.17), y por tanto, afectan a los valores de los ángulos de conmutación θ1 y θ2.

Para generar los splines, es necesario escoger cual será el invariante sobre el que se realizará la interpolación segmentaria, como se ha comentado con anterioridad los invariantes rN y XC,N son menos influyentes que XL,N, por lo tanto, la interpolación segmentaria se realizara para XL,N con rN y XC,N fijos. Así, los splines tienen la forma:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

+

= + + + ≤ ≤ +

+ + + + ≤ ≤

= + + + ≤ ≤ +

+ +

3 2 (1) (2)1 , 1 , 1 , 1 , 1 , , ,

3 2 ( ) ( 1), , , , , ,

3 2 (1) (2)2 , 1 , 1 , 1 , 1 , , ,

3 2, ,

( ) · · · · ...

... · · · ·

( ) · · · · ...

... · ·

L N L N L N L N L N L N L N

n nn L N n L N n L N n L N L N L N


n L N n L N

X a X b X c X d X X X

a X b X c X d X X X


a X b X

θ

θ

( ) ( )++ + ≤ ≤( ) ( 1), , , ,· · n n

n L N n L N L N L Nc X d X X X

(Ec. 4.7)

donde, XL,N varía entre 0.05% y 10%, que es el rango determinado en el apartado 3.2.1, y los splines sirven para unos valores de rN y XC,N concretos.

Se han obtenido los valores θ1 y θ2 de para todo el rango del invariante XL,N y para XC,N = 0.5% y rN = 0%, Figura 4.6 (Pág. 49) y después de un extensivo estudio del error, se ha decidido utilizar 11 puntos y 10 tramos para los splines del rectificador trifásico.

En la Figura 4.7 (Pág. 50) se observa el error producido, en tanto por ciento, al utilizar los splines para calcular los ángulos de conmutación respecto al cálculo exacto, el error máximo es de ≈0,15%, producido por las oscilaciones del sistema de interpolación y se produce para el ángulo θ1 en XL,N =0,65%.

Se puede observar que los splines anteriores solo nos sirven para los valores fijos de los invariantes XC,N = 0.5% y para rN = 0%. Para poder introducir los invariantes rN y XC,N se completarán los dos splines anteriores con otros 16 splines más, 8 para cada ángulo de conmutación.

Pág. 50 Memoria

Primero se trabajará con rN fijo en 0%. Repetiremos el procedimiento para XC,N = 4.5%, el otro extremo del rango que puede tomar el invariante XC,N. Así pues, se tienen los valores de θ1 y θ2 para todo el rango de XL,N para los valores fijos de XC,N = 4.5% y XC,N = 0.5% y rN fijo en 0%.

Para hallar los valores de θ1 y θ2 para un valor de XC,N entre 0.5 y 4.5%, 0.5% < XC,N < 4.5%, se realiza una interpolación lineal entre los valores de θ1 y θ2 para XC,N = 0.5% y XC,N = 4.5%. Es este punto, se ha realizado el estudio del error que comporta realizar dicha interpolación lineal y se ha observado que, dicho error, se caracteriza por una función parabólica, al igual que en la lámpara de descarga.

Así pues, se decide introducir splines para XC,N = 2.5%. Considerando el error nulo en XC,N = 0.5% y XC,N = 4.5% y calculando el error cometido en la interpolación de XC,N = 2.5% como la diferencia entre el valor obtenido por el spline y el valor interpolando linealmente, se puede caracterizar la función parabólica del error. Permitiendo así conocer cuál es el error cometido en la interpolación lineal y por lo tanto, corregirlo.

En este momento se tienen los valores de los ángulos de conmutación, θ1 y θ2, para todo el rango de XL,N y XC,N y para rN = 0%. Se repite el procedimiento anterior tomando, esta vez, rN fijo en 100%. Así, se tienen los valores de θ1 y θ2 para todo el rango de XL,N y XC,N para los valores fijos de rN = 0% y rN = 100%.

Análogamente, para hallar los valores de θ1 y θ2 para un valor de rN entre 0% y 100%, 0% < rN < 100%, se realiza una interpolación lineal. Al igual que en los anteriores casos, esta interpolación lineal provoca un error que se caracteriza por una función parabólica. Así, introduciendo el cálculo para el valor fijo de rN = 50%, se conocerá el error cometido en esta interpolación y se podrá, por tanto, corregir.

Así pues, en total se tienen 18 splines, Tabla 4.1, dado que hay dos ángulos de conmutación a calcular θ1 y θ2 y los splines realizados se corresponden con:

Spline 1/2 3/4 5/6 7/8 9/10 11/12 13/14 15/16 17/18

XC,N 0.5% 0.5% 0.5% 2.5% 2.5% 2.5% 4.5% 4.5% 4.5%

rN 0% 50% 100% 0% 50% 100% 0% 50% 100%

Tabla. 4.1 Relación de splines realizados para el rectificador monofásico.


En la Figura 4.8 (Pág. 50) se muestra el esquema del cálculo de los ángulos de conmutación θ1 y θ2 del rectificador monofásico mediante el método de los splines. En él se detalla gráficamente lo expuesto en los anteriores parágrafos.

En la Figura 4.9 (Pág. 51) se puede observar el error producido al realizar una interpolación simple entre XC,N = 0.5% y XC,N = 4.5% para rN = 0% y XL,N = 2.5%, que, como se ha comentado con anterioridad, tiene forma parabólica. También se muestra el error una vez aplicada la corrección parabólica, como se puede observar, los resultados mejoran notablemente.

En la Figura 4.10 (Pág. 51) se puede observar como el comportamiento se repite para la interpolación en rN.

En la Figura 4.11 (Pág. 52) se muestra el error que se produce al calcular ángulo de conmutación para el rectificador trifásico, θ1, mediante los splines para rN = 75%. Se puede observar que el valor máximo del error es de ≈0,26% y que este se produce para XC,M = 4.5% y XL,N = 0.60% aproximadamente. En la Figura 4.12 (Pág. 52) se muestra el mismo gráfico para el ángulo de conmutación θ2, donde el error máximo es de ≈0,027%. Se consideran estos errores aceptables.


Figura 4.6. Valor de los ángulos de conmutación, θ1 (en azul) y θ2 (en verde), para todo el rango del invariante XL,N y para XC,N = 0.5% y rN = 0%.

Pág. 52 Memoria

Figura 4.7. Valor del error producido por la interpolación de θ1 (en azul) y θ2 (en verde), para todo el rango del invariante XL,N y para XC,N = 0.5% y rN = 0%.

Figura 4.8. Esquema del cálculo de θ1 y θ2 para el rectificador monofásico mediante splines.


Figura 4.9. En rojo error producido por la interpolación lineal, en azul error producido por la interpolación cuadrática de XC,N en θ1 para rN = 0% y XL,N = 2.5%.

Figura 4.10. En rojo error producido por la interpolación lineal, en azul error producido por la interpolación cuadrática de rN en θ1 para XC,N = 0.5% y XL,N = 2.5%.

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4.1.3. Determinación de los splines del rectificador trifásico

Considerando no interacción armónica, se tres invariantes, rN, XL,N y XC,N, que caracterizan el comportamiento del rectificador trifásico (Ec. 3.28), y por tanto, afectan a los valores de los ángulos de conmutación θ1 y θ2.

Al igual que en el rectificador monofásico, para generar los splines, es necesario escoger cual será el invariante sobre el que se realizará la interpolación segmentaria, como se ha comentado con anterioridad los invariantes rN y XC,N son menos influyentes que XL,N, por lo tanto, la interpolación segmentaria se realizara para XL,N con rN y XC,N fijos. Así, los splines tienen la forma:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

+

= + + + ≤ ≤ +

+ + + + ≤ ≤

= + + + ≤ ≤ +

+ +

3 2 (1) (2)1 , 1 , 1 , 1 , 1 , , ,

3 2 ( ) ( 1), , , , , ,

3 2 (1) (2)2 , 1 , 1 , 1 , 1 , , ,

3 2, ,

( ) · · · · ...

... · · · ·

( ) · · · · ...

... · ·


n nn L N n L N n L N n L N L N L N


n L N n L N


a X b X c X d X X X


a X b X

θ

θ

( ) ( )++ + ≤ ≤( ) ( 1), , , ,· · n n

n L N n L N L N L Nc X d X X X

(Ec. 4.8)

donde, XL,N varía entre 0.05% y 1%, que es el rango determinado en el apartado 3.3.1, y los splines sirven para unos valores de rN y XC,N concretos.

Se han obtenido los valores θ1 y θ2 de para todo el rango del invariante XL,N y para XC,N = 2% y rN = 0%, Figura 4.13 (Pág. 55) y después de un extensivo estudio del error, se ha decidido utilizar 13 puntos y 12 tramos para los splines del rectificador trifásico.

En la Figura 4.14 (Pág. 56) se observa el error producido, en tanto por ciento, al utilizar los splines para calcular los ángulos de conmutación respecto al cálculo exacto, el error máximo es de ≈0,06%, producido por las oscilaciones del sistema de interpolación y se produce para el ángulo θ1 en XL,N =0,25%.

Se puede observar que los splines anteriores solo nos sirven para los valores fijos de los invariantes XC,N = 2% y para rN = 0%. Para poder introducir los invariantes rN y XC,N se completarán los dos splines anteriores con otros 16 splines más, 8 para cada ángulo de conmutación.

Pág. 56 Memoria

Primero se trabajará con rN fijo en 0%. Repetiremos el procedimiento para XC,N = 20%, el otro extremo del rango que puede tomar el invariante XC,N. Así pues, se tienen los valores de θ1 y θ2 para todo el rango de XL,N para los valores fijos de XC,N = 2% y XC,N = 20% y rN fijo en 0%.

Para hallar los valores de θ1 y θ2 para un valor de XC,N entre 2 y 20%, 2% < XC,N < 20%, se realiza una interpolación lineal entre los valores de θ1 y θ2 para XC,N = 2% y XC,N = 20%. Es este punto, se ha realizado el estudio del error que comporta realizar dicha interpolación lineal y se ha observado que, dicho error, se caracteriza por una función parabólica, al igual que en la lámpara de descarga.

Así pues, se decide introducir splines para XC,N = 11%. Considerando el error nulo en XC,N = 2% y XC,N = 20% y calculando el error cometido en la interpolación de XC,N = 11% como la diferencia entre el valor obtenido por el spline y el valor interpolando linealmente, se puede caracterizar la función parabólica del error. Permitiendo así conocer cuál es el error cometido en la interpolación lineal y por lo tanto, corregirlo.

En este momento se tienen los valores de los ángulos de conmutación, θ1 y θ2, para todo el rango de XL,N y XC,N y para rN = 0%. Se repite el procedimiento anterior tomando, esta vez, rN fijo en 100%. Así, se tienen los valores de θ1 y θ2 para todo el rango de XL,N y XC,N para los valores fijos de rN = 0% y rN = 100%.

Análogamente, para hallar los valores de θ1 y θ2 para un valor de rN entre 0% y 100%, 0% < rN < 100%, se realiza una interpolación lineal. Al igual que en los anteriores casos, esta interpolación lineal provoca un error que se caracteriza por una función parabólica. Así, introduciendo el cálculo para el valor fijo de rN = 50%, se conocerá el error cometido en esta interpolación y se podrá, por tanto, corregir.

Así pues, en total se tienen 18 splines, Tabla 4.2, dado que hay dos ángulos de conmutación a calcular θ1 y θ2 y los splines realizados se corresponden con:

Spline 1/2 3/4 5/6 7/8 9/10 11/12 13/14 15/16 17/18

XC,N 2% 2% 2% 11% 11% 11% 20% 20% 20%

rN 0% 50% 100% 0% 50% 100% 0% 50% 100%

Tabla. 4.2 Relación de splines realizados para el rectificador trifásico.


En la Figura 4.15 (Pág. 56) se muestra el esquema del cálculo de los ángulos de conmutación θ1 y θ2 del rectificador monofásico mediante el método de los splines. En él se detalla gráficamente lo expuesto en los anteriores parágrafos.

En la Figura 4.16 (Pág. 57) se puede observar el error producido al realizar una interpolación simple entre XC;N = 2% y XC,N = 20% para rN = 0% y XL,N = 0.4%, que, como se ha comentado con anterioridad, tiene forma parabólica. También se muestra el error una vez aplicada la corrección parabólica, como se puede observar, los resultados mejoran notablemente.

En la Figura 4.17 (Pág. 57) se puede observar como el comportamiento se repite para la interpolación en rN.

En la Figura 4.18 (Pág. 58) se muestra el error que se produce al calcular ángulo de conmutación para el rectificador trifásico, θ1, mediante los splines para rN = 75%. Se puede observar que el valor máximo del error es de ≈1% y que este se produce para XC,N = 8% y XL,N = 0.60% aproximadamente. En la Figura 4.19 (Pág. 58) se muestra el mismo gráfico para el ángulo de conmutación θ2, donde el error máximo es de ≈0,2%. Se consideran estos errores aceptables.


Figura 4.13. Valor de los ángulos de conmutación, θ1 (en azul) y θ2 (en verde), para todo el rango del invariante XL,N y para XC,N = 2% y rN = 0%.

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Figura 4.14. Valor del error producido por la interpolación de θ1 (en azul) y θ2 (en verde), para todo el rango del invariante XL,N y para XC,N = 2% y rN = 0%.

Figura 4.15. Esquema del cálculo de θ1 y θ2 para el rectificador trifásico mediante splines.


Figura 4.16. En rojo error producido por la interpolación lineal, en azul error producido por la interpolación cuadrática de XC,N en θ1 para rN = 0% y XL,N = 0.4%.

Figura 4.17. En rojo error producido por la interpolación lineal, en azul error producido por la interpolación cuadrática de rN en θ1 para XC,N = 2% y XL,N = 0.4%.

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4.2. Interacción armónica

Finalmente, frente al desarrollo presentado en los puntos anteriores hay que comentar que se ha considerado la hipótesis de alimentación senoidal. Si se considerase que la alimentación es periódica pero no senoidal se deberían resolver los sistemas no lineales (Ec.3.5, Ec. 3.13, Ec. 24) y ello permitiría poder estudiar el concepto de interacción armónica, es decir la influencia de las tensiones armónicas en el comportamiento de las cargas no lineales.

Estas variables no han sido incluidas en el desarrollo de los splines cúbicos, y por tanto, la resolución de los sistemas no lineales mediante los splines no permite estudiar la interacción armónica sin resolver el sistema no lineal asociado.

Sin embargo, el uso de los splines para la inicialización del algoritmo de resolución, es decir, utilizar la solución del problema sin interacción armónica para inicializar el sistema no lineal que considera el efecto de la interacción, permite reducir notablemente los errores de convergencia.

El programa desarrollado en este proyecto, permite tanto realizar el cálculo sin considerar el fenómeno de la interacción armónica, es decir, obteniendo la intensidad por la resolución numérica de (Ec.3.9, Ec. 3.17, Ec. 28) o directamente, mediante los splines, como resolver el sistema considerando el fenómeno de la interacción armónica, es decir resolver el sistema no lineal asociado al problema de la interacción armónica (Ec. 3.5, Ec. 3.13, Ec. 24) reduciendo los problemas de convergencia mediante la inicialización con los splines.


5. Estudios con cargas no lineales

El objetivo de este proyecto ha sido diseñar, a partir de los modelos estudiados y desarrollados, una aplicación informática para realizar diferentes estudios referentes a las cargas no lineales. En este capítulo se entrara más en detalle en los posibles estudios programados. También se ofrece la posibilidad de, simplemente, simular una carga no lineal con los parámetros deseados, resolver los sistemas no lineales (Ec.3.5, Ec. 3.13, Ec. 24), resolver los sistemas no lineales sin considerar la interacción armónica (Ec.3.9, Ec. 3.17, Ec. 28), o bien, utilizar los splines cúbicos (Ec. 4.4), y obtener la intensidad de esta carga. Un ejemplo de la interfaz se puede ver en la Figura 5.1, en particular, es la interfaz del rectificador trifásico.

Figura 5.1. Interfaz de la simulación de un rectificador trifásico.

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5.1. Análisis de la interacción red-dispositivos no lineales

Habitualmente las cargas no lineales se encuentran conectadas a la red y su comportamiento puede afectar a la calidad de esta. Para poder analizar la interacción entre dicha red y las cargas no líneas se recurrirá al equivalente Thevenin del sistema, Figura 5.2.

Figura 5.2. Esquema equivalente Thevenin.

Donde, teniendo en cuenta los parámetros de la carga no lineal que se está estudiando,β1, …, βn, la tensión de la red, vTHV, que se considera senoidal, la relación de cortocircuito, RSC, y la parte resistiva de la red, RCC,N, se obtiene:

( ) ( )= = = − =2

1 1 2 2Carga ,· , , , ·THV

CC SC THV CC THV CC CC CC N CCCC

VS R S Z X Z R R R XS

(Ec. 5.1)

El estudio de la interacción red-DNLs implica la resolución del sistema de ecuaciones, correspondiente al circuito Thevenin, siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

= +

= + >

=

1 1 (1) 1 1THV Carga Carga Carga1

( ) 1Carga Carga Carga1

1Carga Carga, 1

· · , , , ,...,

0 · · , , , ,..., 1

, , , ,..., 0

kTHV DNL j n

k k k kTHV DNL j n

kDNL j j n

V Z N I V V V

Z N I V V V k

f V V

θ β β

θ β β

θ β β

(Ec. 5.2)

donde k es el orden del armónico y N el número de cargas no lineales que tenemos conectadas a la red, θj los ángulos de conmutación y fDNL,j las ecuaciones para obtenerlos (Ec. 3.5, Ec. 13, Ec. 3.24).


En el caso de no considerar la interacción armónica para calcular la intensidad de la carga no lineal se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )= +

=

1 1 (1) 1 1THV Carga Carga1

1Carga, 1

· · , , ,...,

, , ,..., 0

THV DNL j n

DNL j j n

V Z N I V V

f V

θ β β

θ β β (Ec. 5.3)

Y una vez calculados los ángulos de conmutación considerando solo la componente fundamental se determinan las tensiones armónicas según:

( ) ( )( ) ( )= + >( ) 1Carga Carga10 · · , , ,..., 1k k k

THV DNL j nZ N I V V kθ β β (Ec. 5.4)

En el caso de trabajar con splines se determinan primero los ángulos de conmutación de forma directa con (Ec. 4.4) y una vez conocidos se pueden determinar las intensidades armónicas y se plantea el sistema:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

= +

= + >

1 1 (1) 1 1THV Carga Carga1

( ) 1Carga Carga1

· · , , ,...,

0 · · , , ,..., 1

THV DNL j n

k k kTHV DNL j n

V Z N I V V

Z N I V V k

θ β β

θ β β (Ec. 5.5)

En la Figura 5.3 se muestra la interfaz de usuario del estudio de interacción red-DNLs. En particular del estudio de interacción con la lámpara de descarga.

Pág. 66 Memoria

Figura 5.3. Interfaz de usuario del estudio de interacción red-lámpara de descarga.


5.2. Compensación de reactiva

Los elementos que producen, transforma y distribuyen la energía eléctrica tienen unas limitaciones en cuanto a la máxima potencia entregada. Este motivo, junto con las pérdidas innecesarias que provoca el consumo de reactiva, hace que sea necesario realizar la compensación de reactiva de las instalaciones eléctricas. Para poder estudiar la compensación de reactiva con las cargas no líneas se recurrirá al equivalente Thevenin del sistema, Figura 5.4.

Figura 5.4. Esquema equivalente Thevenin con condensador.

Donde, teniendo en cuenta los parámetros de la carga no lineal que se está estudiando,β1, …, βn, la tensión de la red, vTHV, que se considera senoidal, la relación de cortocircuito, RSC, la parte resistiva de la red RCC,N y la capacidad del condensador, C, se obtiene:

( ) ( )= = = − =2

1 1 2 2Carga ,· , , , ·THV

CC SC THV CC THV CC CC CC N CCCC

VS R S Z X Z R R R XS

(Ec. 5.6)

El estudio de la compensación de reactiva implica la resolución del sistema de ecuaciones, correspondiente al circuito Thevenin, siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

= + +−

= + + >−

=

11 1 (1) 1 1 1Carga

THV Carga Carga Carga1

( ) 1 CargaCarga Carga Carga1

1Carga Carga, 1

· · , , , ,..., ··

0 · · , , , ,..., · 1·

, , , ,..., 0

kTHV DNL THVj n

c

Kk k k k K

THV DNL THVj nc

kDNL j j n

VV Z N I V V Z V

j X

VZ N I V V Z V k

j X k

f V V

θ β β

θ β β

θ β β

(Ec. 5.7)

donde k es el orden del armónico y N el número de cargas no lineales que tenemos conectadas a la red, θj los ángulos de conmutación y fDNL,j las ecuaciones para obtenerlos (Ec. 3.5, Ec. 13, Ec. 3.24).

Pág. 68 Memoria

En el caso de no considerar la interacción armónica para calcular la intensidad de la carga no lineal se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( )= + +

−

=

11 1 (1) 1 1 1Carga

THV Carga Carga1

1Carga, 1

· · , , ,..., ··

, , ,..., 0

THV DNL THVj nc

DNL j j n

VV Z N I V Z V

j X

f V

θ β β

θ β β

(Ec. 5.8)

Y una vez calculados los ángulos de conmutación considerando solo la componente fundamental se determinan las tensiones armónicas según:

( ) ( )( ) ( )( )

( )= + + >−

( ) 1 CargaCarga Carga10 · · , , ,..., · 1

·

Kk k k k

THV DNL THVj nc

VZ N I V Z V k

j X kθ β β (Ec. 5.9)

En el caso de trabajar con splines se determinan primero los ángulos de conmutación de forma directa con (Ec. 4.4) y una vez conocidos se pueden determinar las intensidades armónicas y se plantea el sistema:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

= + +−

= + + >−

11 1 (1) 1 1 1Carga

THV Carga Carga1

( ) 1 CargaCarga Carga1

· · , , ,..., ··

0 · · , , ,..., · 1·

THV DNL THVj nc

Kk k k k

THV DNL THVj nc

VV Z N I V Z V

j X

VZ N I V Z V k

j X k

θ β β

θ β β

(Ec. 5.10)

La compensación de potencia reactiva reduce efectivamente la potencia reactiva del conjunto condensador-carga. Sin embargo, la presencia de contenido armónico en la tensión de alimentación de la carga, se puede ver aumentada en caso de que aparezcan resonancias entre la batería de condensadores instalada y la inductancia de la red.

Este efecto se debe a que, para los armónicos k>1, la intensidad inyectada por la carga se puede considerar como una fuente de intensidad y la presencia del conjunto inductancia y condensador en paralelo puede presentar una resonancia para alguno de estos armónicos. Resonancia que se puede caracterizar con la expresión:

=1

2f

LCπ (Ec. 5.11)

donde L es la inductancia de la bobina y C la capacidad del condensador,

= =1

· ·L

C

XC y Lj Xω ω

(Ec. 5.12)


En la Figura 5.5 se muestra la interfaz de usuario del estudio de compensación. En ella se puede apreciar como para los datos introducidos, se produce la resonancia para el decimotercer armónico, afectando notablemente a la tensión de alimentación de la carga.

Figura 5.5. Interfaz del estudio de compensación.

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5.3. Atenuación armónica

Este fenómeno consiste en la disminución del valor eficaz del k-ésimo armónico de la intensidad total consumida por un conjunto de cargas no lineales motivado por la aparición de componentes armónicos en la tensión de alimentación.

Para cuantificar el nivel de atenuación armónica de orden h que se tiene en la intensidad total consumida por un conjunto de cargas no lineales se define el factor de atenuación, attenuation factor, de intensidades armónicas de orden k como:

==∑ k

1

kk

Nj

jI

IAF

I (Ec. 5.13)

donde, jkI , es el valor eficaz asociado a la intensidad armónica de orden h consumida por la

j-ésima carga no lineal perteneciente al conjunto de N cargas y kI es el valor eficaz asociado

a la intensidad armónica de orden h consumida si solo existiese una única carga conectada a la red [30].

Este factor de atenuación puede tomar valores entre 0 y 1. Cuanto más pequeño es su valor, mayor es el nivel de atenuación armónica de orden h que se tiene.

Habitualmente el estudio de atenuación armónica se realiza comparando los factores de atenuación entre las distintas situaciones a estudiar.

En el presente proyecto se permite comparar entre dos situaciones diferentes para un mismo tipo de carga. Estas situaciones se pueden presentar de dos formas diferentes, la primera, considerando la relación de cortocircuito, RSC, diferente entre las dos situaciones y un numero de cargas fijo. En la segunda forma, el parámetro que se mantiene fijo entre las dos situaciones es la potencia de cortocircuito, SCC, y el número de cargas conectadas es variable. En este caso, se calcula la potencia de cortocircuito a partir de la relación de cortocircuito de la primera situación.

Para resolver el problema se trabaja con el mismo conjunto de ecuaciones que el estudio de interacción red-DNLs, apartado 5.1, la diferencia es que, en este caso, hay que resolver el mismo sistema varias veces, una para cada situación diferente, además de la situación de referencia, donde solo hay una única carga conectada. Además, hay que tener en cuenta que el cálculo debe realizarse considerando la interacción armónica.


Una vez resuelto el sistema, el programa permite comparar los resultados de la intensidad que circula por cada situación diferente. Se obtiene el factor de atenuación para cada armónico, que nos permite analizar rápida y visualmente, en el gráfico correspondiente, que nivel de atenuación armónica se produce. También nos muestra la tensión que ven las cargas.

En la Figura 5.6 se muestra una pantalla de estudio de cancelación armónica. En particular es el estudio de cancelación armónica del rectificador trifásico, con la potencia de cortocircuito fija y el número de cargas diferente.

Figura 5.6. Interfaz del estudio de atenuación armónica.

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5.4. Cancelación armónica

Este fenómeno consiste en la disminución del valor eficaz del k-ésimo armónico de la intensidad total consumida por el conjunto de cargas no lineales motivada por los desfases existentes entre los también k-ésimos armónicos de las intensidades consumidas por cada uno de las cargas no lineales. Estos desfases se deben a la diversidad de las fases del k-ésimo armónico de intensidad proporcionada por la distinta naturaleza o por el distinto valor de los parámetros de las cargas no lineales.

Para cuantificar el nivel de cancelación armónica de orden h que se tiene en la intensidad total consumida por un conjunto de cargas no lineales se define el factor de diversidad, diversity factor, de intensidades armónicas de orden h como:

=

=

=∑

∑

k1

k1

k

Nj

jI N

j

j

IDF

I (Ec. 5.14)

donde, = kj j j

k kI I φ , es el fasor asociado a la intensidad armónica de orden k consumida

por la j-ésima carga no lineal perteneciente al conjunto de N cargas.

Este factor de diversidad puede tomar valores entre 0 y 1. Cuanto más pequeño es su valor, mayor es el nivel de cancelación armónica de orden h que se tiene.

En la Figura 5.7 se muestra un esquema del circuito en el estudio de cancelación armónica, al considerar la hipótesis de sistema equilibrado, solo es necesario calcular la intensidad de una fase, aunque el sistema sea trifásico dado que las intensidades presentarán el mismo modulo y estarán desfasadas 120º.


Figura 5.7. Esquema del circuito en el estudio de cancelación armónica.

El estudio de cancelación armónica se puede realizar entre cualquier tipo de carga eléctrica, e incluso en situaciones con más de dos tipos de carga, en el presente proyecto se permite comparar la cancelación que se produce entre dos conjuntos de cargas diferentes. Se permite escoger entre las tres cargas estudiadas en el proyecto, la lámpara de descarga, el rectificador monofásico y el rectificador trifásico. En el caso de comparar una carga trifásica con una monofásica, se considera que, la misma carga monofásica se encuentra conectada a las tres fases del sistema trifásico y forman un sistema equilibrado.

Para resolver el problema se trabaja con el mismo conjunto de ecuaciones que el estudio de interacción red-DNLs, apartado 5.1, la diferencia es que, en este caso, la intensidad no procede de un único conjunto de cargas, se debe considerar la suma de intensidades como la intensidad que circula por la línea. Además, hay que tener en cuenta que el cálculo debe realizarse considerando la interacción armónica.

Una vez resuelto el sistema, el programa permite comparar los resultados de la intensidad que circula por cada conjunto de cargas y la suma de estas intensidades. Se obtiene el factor de diversidad para cada armónico, que nos permite analizar rápida y visualmente, en el gráfico correspondiente, si se produce cancelación armónica y en qué grado. También nos muestra la tensión que ven las cargas.

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En la Figura 5.8 se muestra la interfaz de usuario del estudio de cancelación armónica. En este caso, se compara un conjunto de lámparas de descarga con otro de rectificadores monofásicos. En la imagen se observa que se produce un mayor nivel de cancelación en los armónicos k=5 y k=11.

Figura 5.8. Interfaz del estudio de cancelación armónica.


5.5. Estudio de la corriente del neutro en sistemas trifásicos

En las instalaciones eléctricas, suele haber un gran número de cargas no lineales monofásicas que generan armónicos de intensidad por el conductor del neutro. Si la instalación trabaja en condiciones simétricas y equilibradas, los armónicos de primer y quinto orden (k=1,7,… y k=5,11,…) forman un sistema de secuencia directa e inversa respectivamente, y los armónicos de tercer orden (k=3,9,…) forman un sistema de secuencia homopolar [3].

En esta situación, únicamente los armónicos de tercer orden circulan por el neutro y son de valor triple a los de las fases. Los desequilibrios en la instalación, tales como desequilibrios de la tensión de alimentación o desequilibrios en las cargas, provocan la perdida de la simetría de secuencia directa e inversa en los armónicos de primer y quinto orden. Así, en esta situación, la suma de estos armónicos en el neutro de la instalación no es cero, pudiéndose incrementar el valor eficaz de la intensidad que circula por este conductor respecto a la situación de equilibrio.

En el presente proyecto se ha desarrollado el programa capaz de determinar la intensidad que circula por el neutro de las instalaciones trifásicas cuando hay conectadas cargas no lineales monofásicas en las mismas (en concreto, lámparas de descarga y rectificadores monofásicos). Permitiendo de estudiar la influencia de dos posibles situaciones de desequilibrio en la intensidad del neutro:

• Distinto número de cargas no lineales por fase.

• Distinto tipo de cargas no lineales por fase.

En el programa desarrollado se ha considerado la hipótesis de alimentación senoidal, así pues, no se requiere resolver los sistemas no linares asociados al problema, se utilizarán los splines (Ec. 4.4) para encontrar los valores de los ángulos de conmutación.

En la Figura 5.9 se muestra un esquema del circuito en el estudio de la corriente del neutro, como se puede observar, en cada fase hay dos conjuntos de cargas diferentes, el primer conjunto corresponde a las lámparas de descarga mientras que, el segundo, corresponde a los rectificadores monofásicos.

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Figura 5.9. Circuito del estudio de la corriente del neutro.

Se ha considerado que en una misma fase las cargas conectadas de un mismo tipo son de idéntico valor de sus parámetros. Así pues, la intensidad consumida por cada una de las cargas conectadas a cada fase (f=a,b,c) se calcula como:

= ⋅ = ⋅( ) ( ) ( )1, , ,1 , 1 , 1 ,( , , ) ( , , ) ( , , )k k k

f LD LD N LD NN A N ref N A N N A NL

VI r v I I r v I r vX

θ θ θ (Ec. 5.15)

para las lámparas de descarga de cada fase y

= =1 2 , , 1 2 , , 1 2 , ,( ) ( ) ( )1, , ,, , , , , ,( , , ) · ( , , ) ( , , )N L N C N N L N C N N L N C Nk k k

f RM RM N RM NrefD

r X X r X X r X XVI I I IR

θ θ θ θ θ θ (Ec. 5.16)

para los rectificadores monofásicos de cada fase. Donde los ángulos de conmutación se calculan a partir de los splines (Ec.4.4) sin necesidad de resolver ningún sistema no lineal.


Por lo tanto, las intensidades armónicas del conductor neutro podrán ser calculadas como:

= + + + + +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,, , , , , ,

k k k k k k kNeutro a LD b LD c LD a RM b RM c RMa LD b LD c LD a RM b RM c RMI N I N I N I N I N I N I (Ec. 5.17)

donde, a partir de los distintos parámetros que intervienen, la expresión anterior permitirá estudiar la influencia en la intensidad del neutro de los siguientes desequilibrios:

• Distinto número de cargas no lineales por fase a partir de los términos Na,LD, Nb,LD, Nc,LD, Na,RM, Nb,RM y Nc,RM, siendo Nf,x el número de cargas no lineales conecatas a la fase f ( f=a,b,c ) y del tipo x ( x=RM,LD ).

• Distinto tipo de cargas no lineales por fase a partir de los términos de la intensidad que consume cada carga y el número de cargas por fase. Si el número de cargas por una fase es nulo se considera que no hay carga conectada.

A partir de las intensidades calculadas en Ec.15, Ec.16 y Ec.19 se puede determinar:

• Los valores eficaces de las intensidades por las fases Ia, Ib e Ic y del neutro In.

• ≥ ≥

= = =∑ ∑2 2

1 1( , , ),f fk n nk

k kI I f a b c I I (Ec. 5.18)

• La relación entre el valor eficaz de las intensidades armónicas del neutro, Ink, y el valor medio de los tres valores eficaces de las intensidades armónicas de las fases (Iak +Ibk +Ick)/3, es decir, rink.

• ( )

= >+ +

( 1)3

nknk

ak bk ck

Iri kI I I

(Ec. 5.19)

• Y la relación entre el valor eficaz de la intensidad del neutro, In, y el valor medio de los tres valores eficaces de las intensidades de las fases (Ia +Ib +Ic)/3, es decir rin.

• ( )

=+ + 3

nn

a b c

IriI I I

(Ec. 5.20)

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En la Figura 5.10 se muestra la interfaz de usuario del estudio de la corriente por el neutro. En esta imagen se ha estudiado un sistema de cargas monofásicas conectadas a las diferentes fases que forman un sistema casi simétrico, por lo tanto, se puede observar como rink ≈ 3 para k=3,9,… y para el resto de armónicos es de valor mucho más pequeño.

Figura 5.10. Interfaz de usuario del estudio de corriente por el neutro.


6. Desarrollo del programa

Una vez presentados todos los aspectos que intervienen en el estudio, los modelos de las cargas, los invariantes y los splines, se continua este estudio con la programación de la aplicación informática.

En este capítulo se detallan los aspectos relacionados con la creación, funcionamiento y utilización del programa, tanto desde el punto de vista de la programación interna como desde el punto de vista del usuario.

6.1. Selección del programa

En este apartado se presentan las necesidades del programa a utilizar y se escogerá uno entre los que hay actualmente disponibles en el mercado. A continuación se enumeran los criterios a tener en cuenta:

• Orientado al cálculo numérico. En la ejecución del programa se realiza un gran número de cálculos iterativos. Es imperativo que el programa esté optimizado y desarrollado con la finalidad de realizar estos cálculos con celeridad.

Es necesario que el programa escogido sea capaz de trabajar, no solo con números reales, sino también con complejos e incluir las operaciones y funciones matemáticas referentes a este tipo de variables.

• Orientado al cálculo matricial. La mayor parte de los cálculos se realiza en forma de vectores o matrices. Por lo tanto es necesario que pueda operar fácilmente con estas variables.

• Compatibilidad con estructuras de datos y funciones. El programa ha de ser capaz de trabajar internamente sobre una estructura de datos que facilite tanto la programación inicial como la supervisión posterior. Se ha de permitir al programador crear las estructuras de datos que considere oportunas para cada aplicación y es necesario permitir el almacenamiento y la carga de variables. También es necesario el uso de subrutinas y funciones para facilitar la programación.

• Creación de una interfaz gráfica. El objetivo del proyecto es la creación de una aplicación mediante la cual el usuario se relacione de manera sencilla con el programa, tanto en la entrada de variables y parámetros como en la obtención de los resultados e información procesada.

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Teniendo en cuenta estas consideraciones, se ha decidido utilizar MATLAB 7.9®, el cual incorpora importantes mejoras respecto versiones anteriores y está mucho más extendido que versiones posteriores. En la Figura 6.1 se muestra una captura de pantalla del programa en ejecución.

Figura 6.1. Interfaz de MATLAB 7.9®.


Las características principales del programa son:

• Orientado al cálculo numérico y matricial. MATLAB (MATrix LABoratory) es idóneo para el cálculo numérico y matricial, desarrollado con el fin de operar con matrices, de hecho la mayoría de datos se guardan como tal, aún sin ser propiamente matrices.

• Editor de interfaces gráficas. Para poder elaborar interfaces gráficas para el usuario, MATLAB incluye GUIDE, una herramienta que permite elaborar pantallas y diálogos con controles que permiten al usuario interactuar con el núcleo numérico del programa. En la Figura 6.2 se muestra la interfaz de este editor.

Figura 6.2. Interfaz de GUIDE, MATLAB.

• Facilidad de representación gráfica. MATLAB está desarrollado pensando en el cálculo numérico y matricial, así como para presentación de resultados. Por ello la representación de gráficos es sencilla y completa. En los gráficos se permite, por ejemplo, la rotación de gráficos 3D, la introducción de texto, cambiar las escalas…

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6.2. Estructura del programa

El programa se organiza en seis directorios principales, referentes a los posibles estudios a

realizar, cuatro de estos se encuentran divididos en tres subdirectorios, uno para cada carga

estudiada. También existe un directorio con fines administrativos. El esquema global se

presenta en la Figura 6.3.

Figura 6.3. Esquema del programa.


En la figura anterior se han destacado los nombres de los programas principales, y se ha agrupado el resto de ficheros según su tipología. Ficheros auxiliares, ficheros de imágenes y/o gráficos y ficheros de ayuda.

Los diferentes tipos de ficheros que se pueden encontrar son, según su extensión:

• Archivos *.m. Extensión de ficheros de MATLAB que permite crear funciones y acciones. En él se encuentran todas las instrucciones codificadas en lenguaje MATLAB. Forman el núcleo del programa desarrollado.

• Archivos *.fig. Son los archivos utilizados por GUIDE para presentar las interfaces gráficas. Se crean automáticamente conjunto un fichero *.m con el mismo nombre el cual ejecuta las acciones e instrucciones necesarias para la interfaz en concreto.

• Archivos *.html. Son los archivos de ayuda del programa, documentación, etc. Se acceden mediante los menús superiores de la interfaz gráfica y los botones habilitados para ello durante la ejecución del programa.

• Archivos *.jpeg, *.png y *.bmp. Son archivos que corresponden a las imágenes que se muestran en las pantallas de interfaz o de ayuda.

A continuación se presentan, organizados en categorías, todos y cada uno de los archivos *.m con la función que desarrollan.

Archivos principales y de interfaz. Generan las pantallas de interfaz, incluyen en su programación las restricciones en los datos de entrada, ejecutan el código principal adecuado y se encargan de mostrar los resultados.

• CNL.m: Carga el programa automáticamente.

• Inicio.m: Ejecuta la presentación inicial y redirige al escritorio del programa.

• Escritorio.m: Muestra el escritorio del programa, se puede acceder a todos los estudios y a la ayuda.

• LD_NL.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de la lámpara de descarga. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• RM_NL.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio del rectificador monofásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

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• RT_NL.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio del rectificador trifásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_LD.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio del equivalente Thevenin de la lámpara de descarga. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_RM.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio del equivalente Thevenin del rectificador monofásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_RT.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio del equivalente Thevenin del rectificador trifásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_C_LD.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de compensación de la lámpara de descarga. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_C_RM.m: M Muestra la interfaz de usuario del estudio de compensación del rectificador monofásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_C_RT.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de compensación del rectificador trifásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_A_LD.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de atenuación de la lámpara de descarga. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_A_RM.m: M Muestra la interfaz de usuario del estudio de atenuación del rectificador monofásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• THEV_A_RT.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de atenuación del rectificador trifásico. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• CANCEL.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de cancelación armónica entre los dispositivos no lineales estudiados en sistemas trifásicos equilibrados. En


su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

• NEUTRO.m: Muestra la interfaz de usuario del estudio de la intensidad del neutro en sistemas trifásicos en presencia de los dispositivos no lineales monofásicos estudiados. En su programación incluye las restricciones impuestas en los datos de entrada y la ejecución del código principal.

Archivos comunes a la lámpara de descarga. Subrutinas utilizadas en cada programa que necesite calcular la intensidad que circula por la lámpara de descarga. Se puede escoger si se desea considerar el cálculo con interacción armónica.

• Lamp_desc.m: Dados unos invariantes y parámetros adecuados devuelve la intensidad que circula por la lámpara de descara.

• sld.m: Ecuaciones necesarias para la resolución del sistema no lineal que considera la interacción armónica.

• BlackBox_LD.m: Dados unos invariantes devuelve el valor del ángulo de conmutación θ1 calculado mediante splines cúbicos, por lo tanto, sin necesidad de resolver el sistema no lineal asociado.

Archivos comunes al rectificador monofásico. Subrutinas utilizadas en cada programa que necesite calcular la intensidad que circula por el rectificador monofásico. Se puede escoger si se desea considerar el cálculo con interacción armónica.

• Rectificador_monofasico.m: Dados unos invariantes y parámetros adecuados devuelve la intensidad que circula y la tensión de continua, o del condensador, del rectificador monofásico.

• sfam1aj.m: Ecuaciones necesarias para la resolución del sistema no lineal que considera la interacción armónica.

• BlackBox_RM.m: Dados unos invariantes devuelve los valores de los ángulos de conmutación θ1 y θ2 calculado mediante splines cúbicos, por lo tanto, sin necesidad de resolver el sistema no lineal asociado.

• ifam1aj.m, iIfam1aj.m e iIIfam1aj.m: Subrutinas empleadas para calcular la intensidad que circula por el rectificador monofásico, i(θ).

• ufam1aj.m, uIfam1aj.m e uIIfam1aj.m: Subrutinas empleadas para calcular la tensión de continua, o del condensador, del rectificador monofásico, uC(θ).

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Archivos comunes al rectificador trifásico. Subrutinas utilizadas en cada programa que necesite calcular la intensidad que circula por el rectificador trifásico. Se puede escoger si se desea considerar el cálculo con interacción armónica.

• Rectificador_trifasico.m: Dados unos invariantes y parámetros adecuados devuelve la intensidad que circula por cada fase del rectificador trifásico y la tensión de continua, o del condensador, del rectificador trifásico.

• IntRCargaTrifasica.m: Dados unos invariantes y parámetros adecuados devuelve la intensidad que circula por la fase A del rectificador trifásico.

• Sfat_ap.m: Ecuaciones necesarias para la resolución del sistema no lineal que considera la interacción armónica.

• Sfat_os.m: Ecuaciones necesarias para la resolución del sistema no lineal que considera la interacción armónica.

• BlackBox_RT.m: Dados unos invariantes devuelve los valores de los ángulos de conmutación θ1 y θ2 mediante splines cúbicos, sin necesidad de resolver sistemas no lineales.

Archivos comunes a los problemas de interacción red-DNLs. Subrutinas utilizadas en cada programa que necesite calcular la intensidad que circula por el equivalente Thevenin del sistema. Se puede escoger si se desea considerar el problema con interacción armónica, según el estudio a realizar

• thevenin.m: Dados los invariantes y parámetros adecuados, realiza el cálculo asociado al problema del equivalente Thevenin. Devuelve el valor de la intensidad que consume la carga y de la tensión que alimenta la carga.

• equThevenin.m: Ecuaciones necesarias para resolver el cálculo asociado al problema del equivalente Thevenin.

• thevenin_c.m: Dados los invariantes y parámetros adecuados, realiza el cálculo asociado al problema del estudio de compensación. Devuelve el valor de la intensidad que consume la carga y de la tensión que alimenta la carga.

• thevenin_numc.m: Dados los invariantes y parámetros adecuados, realiza el cálculo asociado al problema del estudio de atenuación y cancelación. Al contrario que los anteriores ficheros, que utilizan la relación de cortorcicuito para el cálculo, este utiliza la potencia de cortocircuito.


6.3. Diseño de la interfaz de usuario

A parte de optimizar el motor de cálculo para que el trabajo con el programa sea fluido y de respuesta rápida, es fundamental buscar el diseño óptimo de la interfaz de usuario, ya que, al fin y al cabo, será la parte del proyecto que estará más tiempo en contacto con el usuario final. En la Figura 6.4 se muestra un ejemplo de interfaz de usuario del proyecto.

Figura 6.4. Vista de la interfaz del programa.

A pesar de que introducir una interfaz gráfica requiere más tiempo de cálculo de CPU, y mayores requerimientos de memoria, se incrementa el rendimiento del usuario, disminuyendo su trabajo mental y el número de errores producidos por la utilización de la aplicación.

Las consideraciones que se han tenido en cuenta en el momento de diseñar cada una de las figuras, formularios y pantallas son:

• Simplicidad. Es fundamental que el diseño esté orientado a facilitar la utilización del programa por parte del usuario. Para ello, se han tenido en cuenta consideraciones como:

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o Advertencias al usuario: El programa detecta si el usuario ha introducido un parámetro que no entra en el rango esperado e informa al usuario de esto mediante un aviso o error. No obstante se ha evitado su exceso.

o Botones habilitados/deshabilitados: A lo largo de la ejecución del programa, ciertas características de las cargas o el estudio en cuestión eliminan ciertas opciones posibles del programa. En este caso, para que el usuario sea consciente de ello, los botones se mostraran inactivos con letras de color gris.

• Agradable y atractivo: Gracias a actuales herramientas de diseño gráfico, tales como Photoshop CS® y Microsoft Office 2010®, se han añadido figuras e imágenes que resulten agradables y atractivas al usuario, sin perder la formalidad y rectitud características de un proyecto técnico. También se ha introducido en el programa “barras de espera”, Figura 7.5, para que el usuario sea consciente de que se están realizando cálculos complejos y que la aplicación sigue operativa.

• Flexibilidad: Se ha intentado crear un entorno flexible para el usuario en los siguientes aspectos:

o Introducción de una barra de herramientas. Gracias a esta barra el usuario puede operar rápidamente sobre los gráficos obtenidos, con efectos de zoom, movimiento 3D de los gráficos, y conocer los valores numéricos de un punto en particular. Existe la posibilidad de ocultar esta barra.

o Barra de menú. La barra del menú superior permite realizar funciones generales, así como moverse entre las diferentes partes y posibles estudios del proyecto.

o Minimización del error. El programa avisa al usuario cuando introduce datos incoherentes o fuera de los rangos. En caso de que aún así se produzca algún error, el programa avisa al usuario de este evento.

• Información relevante. A lo largo de la ejecución del programa se muestran diferentes figuras y resultados. Estos se han seleccionado de forma que entreguen la información de la forma más eficiente posible. Aun así, hay un gran número de opciones, que permiten al usuario obtener todos los datos del estudio en cuestión.

• Ayuda. El programa dispone de un manual de ayuda accesible desde el menú Ayuda, en la barra superior.


Conclusiones

La realización del presente proyecto ha supuesto realizar un estudio de ciertos aspectos sobre la modelización de dispositivos no lineales y la resolución de los sistemas no lineales asociados.

Mediante el estudio teórico llevado a cabo al inicio del proyecto, se ha podido presentar una alternativa a la resolución de los sistemas no lineales asociados a los DNLs, eliminando así los problemas de convergencia asociados a dicha resolución.

Así pues, considerando la hipótesis de alimentación sinusoidal, y mediante el uso de splines cúbicos se elimina la necesidad de resolver los sistemas no lineales que caracterizan los DNLs. También permite reducir los problemas de inicialización en el caso de estudiar el comportamiento de los DNLs a partir de su sistema no lineal de ecuaciones.

Finalmente se ha creado y desarrollado una aplicación informática que permite:

• Estudiar diferentes problemas asociados a la lámpara de descarga, el rectificador monofásico y el rectificador trifásico, mediante el uso de splines cúbicos, o bien mediante los sistemas no lineales asociados.

• Estudiar la interacción red-DNLs, analizando así, los componentes armónicos que se inyectan a la red. También se permite estudiar la compensación de reactiva, pudiéndose analizar el fenómeno de resonancia que se puede producir entre la compensación y la red.

• Estudiar los problemas de atenuación armónica y cancelación armónica en presencia de dispositivos no lineales. Analizar la influencia de los parámetros de las cargas en el diseño del circuito.

• Estudiar la corriente del neutro en sistemas trifásicos en presencia de dispositivos no lineales. Analizar la influencia de los parámetros de las cargas, así como, analizar la influencia del tipo de cargas y número de cargas por fase.

Todo el trabajo anterior se enmarca dentro de la línea de investigación, sobre el estudio de flujos armónicos en presencia de dispositivos no lineales, sobre la que trabaja el grupo QSE-UPC del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la UPC. En este sentido, la introducción de splines cúbicos a la modelización de los dispositivos no lineales permite abrir nuevas líneas de investigación y se prevé intentar publicar los resultados obtenidos en alguna revista indexada en el JCR. También la aplicación informática desarrollada debe facilitar los estudios que se desarrollan sobre los dispositivos no lineales.


Agradecimientos

En primer lugar he de agradecer al profesor Luis Sainz por su ayuda y dedicación en la realización de este proyecto.

También me gustaría agradecer a Juan Jose Mesas por las contribuciones y aclaraciones realizadas para la realización del proyecto.

Finalmente, considerando este proyecto como el final de una etapa, dar las gracias a mi familia por el apoyo recibido durante estos años.


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