Desarrollo Prueba N◦3 2007 (2)

1. Sea A un anillo conmutativo y I un ideal de A.

a) Se dice que un elemento a del anillo A es nilpotente de grado n si existe n ∈ Z+ tal que an = 0.Verifique que el conjunto N de todos los elementos nilpotentes del anillo A es un ideal de A.

Demostracion: El conjunto N es no vacıo pues 0 ∈ N . Ahora, dados a, b ∈ N debemosmostrar que a − b ∈ N : por definicion de N existen enteros positivos R, S tales que aR = 0 ybS = 0. Tomar M = R + S. Por el Teorema del Binomio se tiene:

(a− b)M =M∑

k=0

(M

k

)aM−k(−b)k =

S−1∑k=0

(M

k

)aM−k(−b)k +

M∑k=S

(M

k

)aM−k(−b)k

Observar que si 0 ≤ k ≤ S − 1, entonces M − k ≥M − S + 1 = R+ 1 ≥ R, luego aM−k = 0. Ysi S ≤ k ≤M , entonces (−b)k = (−1)kbk = 0. Por lo tanto:

(a− b)M =S−1∑k=0

(M

k

)aM−k(−b)k +

M∑k=S

(M

k

)aM−k(−b)k = 0

Luego a− b ∈ N . Finalmente debemos mostrar que si c ∈ A y a ∈ N , entonces ca ∈ N . Usandola misma notacion que antes tenemos:

(ca)R = cRaR = cR0 = 0

Por lo tanto ca ∈ N . Esto demuestra que N es un ideal �

b) Dado un ideal I, se define√I = {a ∈ A : an ∈ I para algun n ∈ Z+}. Pruebe, usando a), que√

I es un ideal de A.

Demostracion 1: El conjunto√I es no vacıo pues 0 ∈

√I. Ahora, dados a, b ∈

√I debe-

mos mostrar que a − b ∈√I: por definicion de

√I existen enteros positivos R, S tales que

aR ∈ I, bS ∈ I. Tomar M = R + S. Por el Teorema del Binomio se tiene:

(a− b)M =S−1∑k=0

(M

k

)aM−k(−b)k +

M∑k=S

(M

k

)aM−k(−b)k

Observar que si 0 ≤ k ≤ S−1, entonces M−k ≥ R, luego(

Mk

)aM−k(−b)k ∈ I. Y si S ≤ k ≤M ,

entonces(

Mk

)aM−k(−b)k =

(Mk

)(−1)kaM−kbk ∈ I. Por lo tanto:

(a− b)M =S−1∑k=0

(M

k

)aM−k(−b)k +

M∑k=S

(M

k

)aM−k(−b)k ∈ I

Luego a − b ∈√I. Finalmente debemos mostrar que si c ∈ A y a ∈

√I, entonces ca ∈

√I.

Usando la misma notacion que antes tenemos:

(ca)R = cRaR ∈ I

1

Por lo tanto ca ∈√I. Esto demuestra que N es un ideal (esta demostracion, aunque es analoga,

no usa la parte a) ) �

Demostracion 2: Usaremos el siguiente teorema: “M es un ideal de A/I si y solo si existe unideal L de A con I ≤ L ≤ A tal que L/I = M”. En nuestro caso consideraremos:

M = {a+ I ∈ A/I : (a+ I)n = I para algun n ∈ Z+}

Recordar que I = 0 + I es el cero del anillo A/I. Por la parte a) tenemos que M es un idealde A/I. Luego, usando el teorema enunciado, existe un ideal L de A con I ≤ L ≤ A tal queL/I = M . De esto ultimo se observa:

a ∈ L ⇔ a+ I ∈ L/I⇔ a+ I ∈M⇔ (a+ I)n = an + I = I para algun n ∈ Z+

⇔ an ∈ I para algun n ∈ Z+

⇔ a ∈√I

Por lo tanto L =√I y esto demuestra que

√I es un ideal de A �

c) ¿Cual es la relacion del ideal√I y el ideal formado por todos los elementos nilpotentes del

anillo A/I?

Solucion: Por lo visto anteriormente (ver Demostracion 2, letra b)) se tiene:

M =√I/I

donde M es el ideal formado por todos los elementos nilpotentes del anillo A/I �

2. Demuestre el Tercer Teorema del Isomorfismo para Anillos, esto es: si M y N son ideales de un anilloA tal que M ≤ N entonces se tiene un isomorfismo natural de A/N en (A/M)/(N/M).

Demostracion: Sea φ : A/M → A/N definido por:

φ(a+M) = a+N

(i) φ esta bien definido:

Supongamos a + M, b + M ∈ A/M con a + M = b + M . Entonces a − b ∈ M . Como M ≤ Nentonces a− b ∈ N . Luego φ(a+M) = a+N = b+N = φ(b+M).

(ii) φ es un homomorfismo de anillos:

En efecto, dados a+M, b+M ∈ A/M se tiene:

φ((a+M) + (b+M)) = φ((a+ b) +M) = (a+ b) +N = (a+N) + (b+N) = φ(a+M) + φ(b+M)

φ((a+M)(b+M)) = φ((ab) +M) = (ab) +N = (a+N)(b+N) = φ(a+M)φ(b+M)

2

(iii) Ker(φ) = N/M :

En efecto:a+M ∈ Ker(φ) ⇔ φ(a+M) = N

⇔ a+N = N⇔ a ∈ N⇔ a+M ∈ N/M

(iv) Im(φ) = A/N :

Si a+N ∈ A/N tomar a+M ∈ A/M . Se tiene entonces a+N = φ(a+M) ∈ Im(φ).

(v) (A/M)/(N/M) ∼= A/N :

Por el Primer Teorema del Isomorfismo se tiene:

(A/M)/Ker(φ) ∼= Im(φ)

Por lo tanto:(A/M)/(N/M) ∼= A/N �

3. Sea F un cuerpo.

a) Muestrese que el conjunto I de todos los polinomios con termino constante a0 = 0 forma unideal principal del anillo F[x] generado por el polinomio x.

Demostracion: Debemos mostrar la igualdad I = 〈x〉. Para esto observar que si p(x) =a0 + a1x+ ...+ anx

n ∈ I, entonces p(x) = a1x+ ...+ anxn pues a0 = 0. Luego:

p(x) = x(a1 + a2x+ ...+ anxn−1) = xq(x)

donde q(x) = a1 + a2x+ ...+ anxn−1. Por lo tanto p(x) ∈ 〈x〉. Por otro lado, dado un elemento

xq(x) ∈ 〈x〉 cualquiera, podemos escribir:

xq(x) = b0 + b1x+ ...+ bmxm

para algun m ∈ N. Evaluando en x = 0 nos queda b0 = 0. Por lo tanto xq(x) ∈ I. Esto terminala demostracion �

b) Compruebe que F[x]/〈x〉 es un cuerpo isomorfo a F.

Demostracion: Sea ψ : F[x] → F definido por ψ(p(x)) = p(0), es decir, la funcion ψ es laevaluacion en x = 0 (la idea es usar el Primer Teorema del Homomorfismo). Entonces:

(i) ψ es un homomorfismo de anillos:

ψ(p(x) + q(x)) = p(0) + q(0) = ψ(p(x)) + ψ(q(x))

ψ(p(x)q(x)) = p(0)q(0) = ψ(p(x))ψ(q(x))

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(ii) Ker(ψ) = 〈x〉:

En efecto, dado p(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn ∈ F[x] se tiene:

ψ(p(x)) = 0 ⇔ p(0) = 0⇔ a0 = 0⇔ p(x) ∈ I⇔ p(x) ∈ 〈x〉

por la parte a).

(iii) Im(ψ) = F:

Dado a ∈ F podemos tomar p(x) = x+ a ∈ F[x]. Entonces a = p(0) = ψ(p(x)) ∈ Im(ψ).

(iv) F[x]/〈x〉 ∼= F:

Por el Primer Teorema del Homomorfismo:

F[x]/Ker(ψ) ∼= Im(ψ)

Luego:F[x]/〈x〉 ∼= F �

4. ¿Es Q[x]/〈x2 − 4〉 un cuerpo? ¿Porque? ¿Que sucede con Q[x]/〈x2 + 4〉?

Respuesta: Q[x]/〈p(x)〉 es un cuerpo si y solo si 〈p(x)〉 es un ideal maximal. Y 〈p(x)〉 es un idealmaximal si y solo si p(x) es irreducible. Para el caso p(x) = x2 − 4 tenemos p(x) = (x − 2)(x + 2),luego p(x) no es irreducible y por lo tanto Q/〈x2 − 4〉 no es un cuerpo. Para p(x) = x2 + 4 tenemosque p(x) es irreducible pues no tiene raıces en Q, por lo tanto Q/〈x2 + 4〉 es un cuerpo �

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