TERCERA PRUEBA MAT-346

Complemento de Algebra

(Viernes 1 de Julio de 2009)

1. Determine si es vardadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones justificando en cada caso:

a) El cuerpo de los numeros complejos C es una extension simple del cuerpo de los numeros realesR.

Respuesta: Verdadero pues C = R(i).

b) Si E es un cuerpo extension del cuerpo F entonces E es un F -espacio vectorial de dimensionfinita.

Respuesta: Falso pues R ⊃ Q pero R como Q-espacio vectorial es de dimension infinita.

c) Toda extension algebraica del cuerpo de los numeros racionales Q es finita.

Respuesta: Falso pues QR = {α ∈ R : α es algebraico sobre Q} es extension de Q no fini-ta.

d) Todo numero constructible es de grado una potencia de e sobre Q.

Respuesta: Verdadero pues un cuerpo constructible se forma adjuntando raıces cuadradasal cuerpo Q.

e) Si K es una extension finita de R entonces K es R o bien K es un cuerpo isomorfo a C.

Respuesta: Verdadero pues si K ⊃ R entonces podemos considerar K(i) ⊃ K donde i esuna raız del polinomio p(x) = x2 + 1. Luego K(i) ⊃ R(i) ' C. Pero K(i) ⊃ R es extensionfinita y por lo tanto algebraica. Esto ultimo significa que si α ∈ K(i) entonces α es raız de unpolinomio p(x) ∈ R[x]. Pero todas las raıces de p(x) estan en R(i) ' C. Luego K(i) = R(i) yde ahı se concluye el resultado.

2. Compruebe que Q(√

3 +√

5) = Q(√

3,√

5).

Demostracion: Claramente Q(√

3 +√

5) ⊆ Q(√

3,√

5). Por otro lado:

(√

5 +√

3)(√

5−√

3) = 5− 3 = 2

Luego:√

5−√

3 =2√

5 +√

3∈ Q(

√3 +√

5)

Por lo tanto:√

3 =(√

5 +√

3)− (√

5−√

3)

2∈ Q(

√3 +√

5)

√5 =

(√

5 +√

3) + (√

5−√

3)

2∈ Q(

√3 +√

5)

Luego Q(√

3,√

5) ⊆ Q(√

3 +√

5) �

1

3. Si F es algebraico sobre K y D es un dominio de integridad tal que K ⊂ D ⊂ F , entonces D es uncuerpo.

Demostracion: Para ver que D es un cuerpo basta solo verificar que si α ∈ D,α 6= 0 entoncesα−1 ∈ D. Para esto observar que si α ∈ D,α 6= 0 entonces α ∈ F . Luego α es algebraico sobre K ypor lo tanto podemos tomar el polinomio p(x) = Irr(α,K). Escribiendo:

p(x) = b0 + b1x+ . . .+ xn ∈ K[x]

Tenemos:p(α) = b0 + b1α + . . .+ αn = 0

b0 = −b1α− . . .− αn

1 = −b1b0α− . . .− αn

b0

1 = α

(−b1b0− . . .− αn−1

b0

)Como b0, b1, . . . , bn−1 ∈ K entonces b1

b0, . . . , 1

b0∈ K ⊆ D. Como α ∈ D y D es dominio de integridad,

tenemos:

α−1 = −b1b0− . . .− αn−1

b0∈ D

Esto termina la demostracion �

4. Sea F un cuerpo finito de caracterıstica p, con p un numero primo. Demestre que todo elemento delcuerpo F es algebraico sobre el cuerpo finito Fp = Z/pZ (AYUDA: Considere el grupo multiplicativofinito (F×, ·) y no olvide lo aprendido sobre teorıa de grupos).

Demostracion: Sea α ∈ F . Si α = 0 entonces claramente α es algebraico sobre Fp pues α = 0es raız del polinomio p(x) = x ∈ Fp[x]. Supongamos entonces α 6= 0. Entonces α ∈ F×. Como F esfinito entonces |F | = m ∈ N. Por lo tanto |F×| = |F − {0}| = m− 1. Ası (F×, ·) es un grupo finitode cardinalidad m− 1. Por el Teorema de Lagrange tenemos:

αm−1 = 1

Es decir α es raız del polinomio q(x) = xm−1 − 1 ∈ Fp[x] �

2