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ACTAS DE LA VIII CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Año 2010
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ACTAS DE LA VIII
CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIN
MATEMTICA
Ao 2010
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ACTAS DE LA VIII
CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIN MATEMTICA
SOAREM
Sociedad Argentina de Educacin Matemtica
http://www.soarem.org.ar
http://www.soarem.org.ar/
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ACTA DE LA VIII CONFERENCIA ARGENTINA
DE EDUCACIN MATEMTICA
VIII CAREM. Organizada por la Sociedad Argentina de Educacin Matemtica y
el Departamento de Matemtica del Instituto del Profesorado Sagrado Corazn,
del 8 de octubre de 2009 al 10 de octubre de 2009, en la Capital Federal. Repblica
Argentina.
Editora:
Hayde Blanco
Sociedad Argentina de Educacin Matemtica
En la portada:
Fotografa del Instituto del Profesorado Sagrado Corazn e imagen de la
Sociedad Argentina de Educacin Matemtica, http://www.soarem.org.ar
Diseo de portada y CD:
Hayde Blanco
Edicin:
2010. 2009. SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica. Casilla
de Correos 50 - Sucursal 17 Villa del Parque. (1417) Ciudad de Buenos Aires.
Repblica Argentina.
ISBN: En trmite
Derechos reservados.
SOAREM. Sociedad Argentina de Educacin Matemtica.
http://www.soarem.org.ar
Se autoriza la reproduccin total o parcial, previa cita a la fuente:
Blanco, H. (Ed.). (2010). Acta de la VIII Conferencia Argentina de Educacin
Matemtica, Repblica Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad
Argentina de Educacin Matemtica.
http://www.soarem.org.ar/mailto:[email protected]
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COMIT ORGANIZADOR DE LA CAREM
Presidenta Honoraria: Nelly Vzquez de Tapia
Presidente: Oscar Sardella
Sociedad Argentina de Educacin Matemtica
Colaboradores
Vicepresidente 1: Norma Cotic
Vicepresidente 2: Adriana Engler
Secretaria: Cecilia Crespo Crespo
Prosecretaria: Patricia Lestn
Tesorera: Adriana Berio
Protesorera: Liliana Homila
Comisin de Revisores de Cuentas Tribunal de tica
Titulares:
Enrique Fabin Valio
Christiane Ponteville
ngela Pierina Lanza
Suplente: Jos Luis Rey
Titulares:
Daniela Andreoli
Mara de las Mercedes Colombo
Mara Rosa Rodrguez
Suplente: Elsa Groenewold
Vocales: Cristina Verdaguer de Banfi
Hayde Blanco
Irene Zapico
Teresa Braicovich
Vilma Giudice
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Comit Cientfico de Evaluacin
Arceo, Cristina Mercau, Susana Beltrametti, M. Cristina Messina, Vicente Benzal, Graciela Micelli Mnica Blanco, Hayde Mller, Daniela Braicovich, Teresa Oliva, Elisa Cadoche, Lilian Oropeza, Carlos Caputo, Liliana Prez, Mara del Carmen Eduardo, Porcel Pochulu, Marcel Chahar, Berta Ponteville, Christiane Ciancio, Mara Ins Rey Genicio, Mara Correa Zeballos, Marta Rey, Jos Luis Cotic, Norma Rodriguez de Estofn, Maria Rosa Crespo Crespo, Cecilia Sardella, Oscar Engler, Adriana Schneeberger, Marino De Lucca, Adriana Valio, Fabin Esper, Lidia Veiga, Daniela Fernndez, Teresa Veliz, Margarita Gallese, Elda Vera Ocampo, Jos Gonzlez de Galindo, Susana Villalonga de Garca, Patricia Guala, Graciela Vrancken, Silvia Homilka, Liliana Zapico, Irene Lanza, Pierina
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ndice Tabla de Contenidos
Bsico (7-12 aos) y Medio (13-17 aos) ..................................... 10
JUGAMOS?...MMMSI!...PENSEMOS! ............................................................................ 10
ANLISIS DE NECESIDADES TECNOEDUCATIVAS: ESTADO DEL ARTE DE LAS TIC EN
EL MEDIO EDUCATIVO DE LA MACRO REGIN SUR-AUSTRAL .................................... 18
LA CORRESPONDENCIA NMERO IRRACIONAL-PUNTO DE LA RECTA. DE OBJETO
DE ESTUDIO A OBJETO A ENSEAR ................................................................................ 25
UNA PROPUESTA DIDCTICA: INTRODUCCIN AL TEOREMA DE PITGORAS .......... 33
RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS ESCOLARES. SIGNIFICACIONES DE
LOS ALUMNOS E INTERVENCIN DOCENTE .................................................................. 40
DESDE EL CONOCIMIENTO IMPLCITO AL CONOCIMIENTO EXPLCITO EN UNA
ACTIVIDAD DE LGEBRA ................................................................................................... 50
CURSO DE MATEMTICA BSICA EN UN CAMPUS VIRTUAL ........................................ 58
CMO SE JUSTIFICAN LAS FRMULAS PARA EL REA EN LIBROS DE TEXTO? ..... 67
LAS WEB QUEST COMO ESTRATEGIA DIDCTICA EN EDUCACIN MATEMTICA .... 75
CONSIDERAES SOBRE A INTERDISCIPLINARIDADE NO ENSINO DA MATEMTICA
.............................................................................................................................................. 80
UNA APROXIMACIN A LAS CONCEPCIONES SOBRE LA MATEMTICA DE ALUMNOS
DE ESCUELA SECUNDARIA ............................................................................................... 86
UNA INVESTIGACIN ACERCA DEL INFINITO EN EL AULA DE MATEMTICA.............. 92
DIFICULTADES E IMPORTANCIA DEL LENGUAJE MATEMTICO ............................... 97
USO EFICIENTE DEL TIEMPO Y DESEMPEOS DE COMPRENSIN: UNA
OBSERVACIN DE SU VNCULO ..................................................................................... 107
DISEO DE ACTIVIDADES VIRTUALES. ALGUNAS CONSIDERACIONES .................... 114
SECUENCIA DIDACTICA PARA LA ENSEANZA DE TRIANGULOS .............................. 122
ATOLONDRADOS POR PI? ............................................................................................. 129
FORMACIN DOCENTE EN MATEMTICA Y NUEVAS TECNOLOGAS ........................ 136
ANLISIS DE LOS CUERPOS GEOMTRICOS A TRAVS DE SUS
REPRESENTACIONES ...................................................................................................... 144
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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS ............................................................. 154
ALFABETIZAO MATEMTICA: REFLEXES SOBRE A PRXIS NA PERSPECTIVA
INCLUSIVA ......................................................................................................................... 162
LA PARADOJA DE AQUILES. ............................................................................................ 169
UNA MIRADA DESDE LA MATEMATICA Y LA FISICA ..................................................... 169
UN RELEVAMIENTO DE DIFICULTADES QUE SUPONE EL APRENDIZAJE DE
CONCEPTOS DEL CALCULO ............................................................................................ 177
ARGUMENTACIN E IMGENES EN LOS LIBROS DE MATEMTICA PARA LA
ENSEANZA SECUNDARIA. ............................................................................................. 187
CONSTRUCCIN DE SECUENCIA DE ENSEANZA EN MATEMTICA, QUE
FAVOREZCA LA ARTICULACIN DE NIVELES ............................................................... 194
MATEMTICA Y LAS REPRESENTACIONES DE UNA FUNCIN ................................... 200
JUEGOS EN EL AULA ........................................................................................................ 203
UM AMBIENTE DINMICO NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE CONTEDOS
MATEMTICOS .................................................................................................................. 210
LA EVALUACIN EN NUESTRAS PRCTICAS DOCENTES ........................................... 217
PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL. ACCIONES PARA ARTICULAR LA
INVESTIGACIN Y EL TRABAJO EN EL AULA ................................................................ 226
REVISIN CRTICA DE LA MODELIZACIN MATEMTICA EN CONTEXTOS FSICOS234
NO POR MUCHO CALCULAR SE RAZONA MS TEMPRANO ........................................ 246
LA GEOMETRIA DE LOS GRAFOS PLANARES ............................................................... 254
LA HELENA DE LA GEOMETRA ....................................................................................... 260
MTODOS GRFICOS PARA LA FORMULACIN DE MODELOS MATEMTICOS DE
FENMENOS SIMPLES ..................................................................................................... 266
ENSEANZA DE TRIANGULOS UTILIZANDO SOPORTE INFORMATICO ..................... 269
Terciario ..........................................................................................276
APUNTES A LA HISTORIA DE LA MATEMTICA DEL SIGLO XX: LA TEORA DE LAS
CATSTROFES .................................................................................................................. 276
TIEMPO DE RADIO PARA LA MATEMTICA .................................................................... 286
MATEMTICA Y LITERATURA, PROPUESTAS PARA EL AULA ..................................... 292
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CONSIDERACIONES SOBRE EL TRATAMIENTO DIDACTICO DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS EN LA UNIVERSIDAD .................................................................... 300
CONSIDERACIONES ACERCA DEL DISEO DE UN INSTRUMENTO QUE PERMITA
INDAGAR SOBRE LAS CONCEPCIONES Y CREENCIAS DE LOS PROFESORES
ACERCA DE LA MATEMTICA.......................................................................................... 307
APLICACIN Y USO DE MATRICES EN ECOLOGA ....................................................... 314
EXPLORACIN DE LAS CONCEPCIONES DE NUESTROS ALUMNOS SOBRE
VARIABLES, FUNCIONES Y CAMBIOS ............................................................................ 320
LAS FIGURAS DE ANLISIS. UN RECORRIDO HISTRICO ........................................... 329
LA FORMACIN DE PROFESORES EN MATEMTICA. VISIN DE LOS ESTUDIANTES
SOBRE LOS DIFERENTES SUBSISTEMAS ..................................................................... 337
LA DEMOSTRACIN Y LA ENSEANZA DE LA ESTADSTICA ...................................... 346
LAS HERRAMIENTAS TECNOLGICAS EN EL APRENDIZAJE Y LA ENSEANZA DE
LAS MATEMTICAS........................................................................................................... 351
LA VISUALIZACIN TRIDIMENSIONAL EN MATEMTICA COMO CONSTRUCCIN
SOCIOCULTURAL .............................................................................................................. 360
LA FORMULACIN DE PROBLEMAS EN LA FORMACIN DE PROFESORES DE
MATEMTICA ..................................................................................................................... 365
PROGRAMA DE FORMACIN DE DOCENTES EN LA DIDCTICA DE LAS
MATEMTICAS .................................................................................................................. 373
INFLUENCIA DE LA BIOGRAFIA ESCOLAR EN LA CLASE DEL PRACTICANTE ........... 380
LA PRCTICA DOCENTE DEL PROFESOR DE MATEMTICA Y SU ENSEANZA EN LA
FORMACIN DE MAESTROS: UNA PERSPECTIVA DE INVESTIGACIN ..................... 386
UNA APLICACIN DEL TEOREMA DE GERSHGORIN .................................................... 392
CONDICIONES DEL PROCESO DE COMPRENSION DE LA ALFABETIZACIN
MATEMTICA EN LOS DOCENTES DE EDUCACIN BSICA SECUNDARIA ............... 398
Universitario ...................................................................................404
UNA EXPERIENCIA APLICANDO MODELOS DE REGRESIN MULTINIVEL ................. 404
LA ENTREVISTA CLNICA UNA HERRAMIENTA EFICAZ PARA LA EVALUACIN EN
MATEMTICA ..................................................................................................................... 413
ARTICULACION ENTRE LA FORMACION DE PROFESORES DE MATEMATICA Y EL
NIVEL MEDIO ..................................................................................................................... 421
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REFLEXION SOBRE LOS RESULTADOS EN EL SISTEMA DE ADMISION DE UNA
FACULTAD DE CIENCIAS. UNA MIRADA DESDE LA MATEMATICA ............................ 429
PROPUESTA DE ENSEANZA PARA ALUMNOS DE INGENIERA, USANDO
HIPERTEXTO, BAJO LA MODALIDAD DE TALLER .......................................................... 437
EPISTEMOLOGA Y METAMATEMTICA ....................................................................... 445
OBJETO DE APRENDIZAJE CON MEDHIME PARA ALGEBRA LINEAL .......................... 453
LA MATEMTICA PUEDE AYUDAR A LA EDUCACIN AMBIENTAL, CON LOS
RESULTADOS DE LA ECUACIN DE DIFUSIN ATMOSFRICA .................................. 461
EFECTOS DE LA UTILIZACION DE HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES EN LAS
CAPACIDADES DE VISUALIZACIN ESPACIAL .............................................................. 468
ALGUNAS CONCEPCIONES EPISTEMOLGICAS DE DOCENTES DE UN
PROFESORADO EN MATEMTICA .................................................................................. 476
UNA EXPERIENCIA DE EDUCACIN A DISTANCIA EN EL CONTEXTO DE LA
ENSEANZA Y APRENDIZAJE DEL ANLISIS MATEMATICO........................................ 483
SOFTWARE EDUCATIVO CON DERIVE 6 PARA LA APLICACIN DE SPLINE ............. 493
PROPUESTA DIDCTICA PARA LA ENSEANZA DEL CONCEPTO DE LMITE DE UNA
FUNCIN ............................................................................................................................ 501
ANALISIS DE ALGUNAS DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE EN UN TEMA DE
LGEBRA EN ALUMNOS DE PRIMER AO DE LA UNIVERSIDAD ................................ 508
REDISEO DE LA EVALUACIN EN UN CURSO DE CLCULO VECTORIAL PARA
BIOINGENIEROS................................................................................................................ 515
MOMENTOS CRUCIALES DEL DESGRANAMIENTO Y EL REZAGO ESTUDIANTIL:
DIFICULTADES DE ESTUDIANTES DE PROFESORADO EN MATEMATICA EN LA
TRANSICIN DEL NIVEL MEDIO A LA UNIVERSIDAD .................................................... 523
LAS TEORAS DIDCTICAS TAMBIN NECESITAN BUENOS EJEMPLOS: ANLISIS DE
UNA ACTIVIDAD PARA EL JUEGO DE MARCOS............................................................. 531
SOBRE EL CONCEPTO DE LMITE DE SUCESIONES NUMRICAS .............................. 538
VISUALIZACION DEL CONCEPTO DE EXACTITUD EN INTEGRACION NUMERICA ..... 545
EVALUACION ENTRE PARES (EVEPAR). UN MODELO DIFUSO PARA LA
CALIFICACIN ................................................................................................................... 554
LA CONSTRUCCIN DEL ESPACIO DEL ANLISIS MATEMTICO EN LOS PLANES DEL
PROFESORADO DE MATEMTICA ENTRE 1933-1962 ................................................... 563
ANALISIS DEL DISEO E IMPLEMENTACIN DE UN PROGRAMA DE EVALUACIN EN
UN CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ............................................................ 571
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VISUALIZACION INTERACTIVA DE METODOS DE INTEGRACION NUMERICA............ 579
EL USO DE NUEVAS TECNOLOGIAS (TIC) Y LA EDUCACIN BASADA EN
COMPETENCIAS: EXPERIENCIAS DESDE MATERIAS BSICAS .................................. 587
CARACTERIZACIN DE REPRESENTACIONES VISUALES EN UNA DEMOSTRACIN
EN GEOMETRA ................................................................................................................. 596
EFECTOS DE LA TRANSPARENCIA SOBRE EL ESTUDIO DE R EN EL
PROFESORADO EN MATEMTICA .................................................................................. 604
ENSEANZA DE CONICAS UTILIZANDO UN SOPORTE INFORMTICO ...................... 612
CONSTRUYENDO CNICAS CON CABRI ........................................................................ 618
CONCEPTOS GEOMTRICOS Y UNIDADES DE MEDIDA EN LA ETAPA DE
ARTICULACIN NIVEL MEDIO NIVEL UNIVERSITARIO .............................................. 624
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Bsico (7-12 aos) y Medio (13-17 aos)
JUGAMOS?...MMMSI!...PENSEMOS!
Mabel Alicia Slavin
Instituto Superior de Formacin Docente N 10.Tandil. Argentina. [email protected]
Nivel Educativo: Inicial, Nivel E.P.B. 1 Ciclo y 2 Ciclo, Nivel E.S.B. Palabras Clave: Rompecabezas, Jugar, Superficie, Calcular
RESUMEN
El escaso conocimiento sobre la geometra con el que ingresan los estudiantes al nivel terciario, debido a la ausencia de la misma en la formacin secundaria, posibilita realizar algunas reflexiones sobre la necesidad de su aprendizaje para poder incorporarla nuevamente a la vida cotidiana escolar. Por ello se debe aprender a manejar la visualizacin y sus tcnicas, ya que la geometra, sus ideas y mtodos, estn inmersos en un mundo de imgenes y representaciones cuyo uso es necesario a la hora de resolver problemas. Este trabajo consiste en una propuesta basada en dos rompecabezas que surgen a partir de un nico cuadrado. La idea es que las piezas de los rompecabezas conserven la superficie del cuadrado original, perdiendo el permetro. Un rompecabezas tiene piezas limitadas por curvas mientras que el otro conserva los permetros limitados por segmentos de recta. Los dibujos que cubren ambas caras de los rompecabezas son teselas generadas tambin a partir del cuadrado bsico. Aqu aparece el concepto de cubrimiento del plano dando lugar al surgimiento del concepto de fraccin .Por superposicin de las piezas de los rompecabezas se generan raros volmenes que son posibles de calcular. Se aprovechan de esta forma los sentidos, se pone en juego la interdisciplinariedad ya que se puede hacer referencia al arte actual e incursionar en lo histrico fomentando de esta forma la participacin colectiva. Estos rompecabezas permiten su uso desde el nivel inicial hasta el ltimo ao de la E.S.B., posibilitando el desarrollo de diferentes capacidades adecuadas al nivel en cuestin. INTRODUCCION Esta propuesta tiene como objetivo presentar una situacin audazmente intuitiva y visual que permita disfrutar del color, que sirva para informar, que ayude a la reflexin, que pueda entretener, divertir, asombrar, plantear dudas y proponer caminos de descubrimiento y de invencin. Aqu aparece la idea del juego como un recurso pedaggico, deliberadamente propuesto para orientar al nio y/o al adolescente en la adquisicin de saberes y prcticas curriculares valindose de una actividad cercana a ellos y elegida por ellos (Aizencang, 2005). Aqu es donde el juego que presenta una combinacin interesante de smbolos y signos convencionales sirve de intermediario entre lo real y la ficcin. La utilizacin de juegos con algunas caractersticas que les permitan adaptarse a las necesidades de los alumnos, posibilitan la instalacin de situaciones imaginarias. Esto facilita el abordaje de diferentes temticas en forma indirecta, exteriorizar conflictos o disconformidades y, fundamentalmente, ponerse en el lugar del otro. Es mediante la simulacin que implica el jugar que se pueden aprender o modificar conductas y/o conceptos que permitan organizar situaciones a futuro.
mailto:[email protected]
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Desde esta visin de juego es que se lo utilizar para promover el desarrollo de habilidades especficas, favorecer el aprendizaje de contenidos, introducir nuevos temas, afianzar saberes ya adquiridos y promover la socializacin de los nios y/o adolescentes. CONSIDERACIONES SOBRE LA PROPUESTA La propuesta de jugar conlleva en s misma un cierto orden para su desarrollo que se combina con cierto grado de incertidumbre y de azar que movilizan al sujeto hacia una resolucin y le exigen un determinado esfuerzo para alcanzar el xito que se propone. Para Vigotsky esta situacin es el desarrollo de un nuevo proceso psicolgico que dista de ser consciente: la imaginacin. En estos mbitos ldicos los alumnos aprenden a dominar mbitos del saber y del saber-hacer complejos, preservando su significado cultural. Planteada de esta forma, la situacin ldica implica una actividad mental comprometida desde el punto de vista del alumno, y resulta educativamente til cuando promueve formas de pensamiento y de aproximacin al conocimiento cada vez ms avanzadas. La propuesta consiste en trabajar con dos rompecabezas de 64 piezas cada uno, armados sobre pizarrones magnticos para facilitar el trabajo vertical. Cada una de las piezas surge de otro rompecabezas formado por cuatro tringulos rectngulos y un cuadrado. Con ellas se puede obtener un cuadrado que ser el origen de todo el juego .Las modificaciones de este cuadrado dan lugar a las piezas de los rompecabezas y tambin a las cuatro configuraciones que lo ilustran. Las prcticas pedaggicas en las que se involucra el juego facilitan la transferencia de hbitos y saberes a nuevas situaciones sociales. Vigotsky considera que trabajo y juego difieren solamente en el carcter de los resultados. En el primero se concreta un producto previsto y objetivo, y en el segundo se resuelve subjetivamente, produciendo el goce del jugador por el juego ganado. Salvo estas diferencias, ambas actividades coinciden en su naturaleza psicolgica, se puede decir que el juego es una forma natural de la actividad infantil que constituye una preparacin para la vida futura. El juego es un elemento valioso mediante el cual se puede crear un ambiente de cooperacin en el aula donde los alumnos trabajen juntos e interacten unos con otros, contribuyendo a la construccin de conceptos, ya que se vern obligados a defender sus ideas ante las alternativas que presenten los otros. Pero como hacer matemtica es, bsicamente, resolver problemas, ya sea que provengan del interior o del exterior de la misma, el diseo de este tipo de situaciones que resultan problemas para los alumnos, desarrolladas en un contexto familiar a ellos como es el juego, les generar entusiasmo por aprender (Bixio, 2006) y aplicar los nuevos hallazgos a distintas situaciones, esto los llevar a la progresiva incorporacin de las formalidades y el rigor propio de la disciplina. Armar los rompecabezas para obtener las diferentes teselaciones propuestas, para encontrar las fracciones que subyacen en las mismas, para encontrar las formas pedidas, es slo cuestin de percepcin espacial, de aplicar ciertos desplazamientos sencillos y no perder de vista el modelo, pero la percepcin espacial no es una simple actividad de copia de la realidad sino que es el resultado de la organizacin y la codificacin de informaciones sensoriales. La posibilidad de actuar, accionar manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, clculos creara la motivacin necesaria, aunque no suficiente ni nica que despertar la curiosidad que generar el entusiasmo que permita resolver el problema. La curiosidad es el primer impulso para saber, es el placer de experimentar lo nuevo, de descubrir, de superar el desafo; es el componente fundamental de la motivacin intrnseca (Bixio, 2006). Por lo tanto la clase se debe convertir en un grupo cooperativo en el que docente y alumnos utilicen este recurso: jugar para construir conocimientos a partir de diferentes alternativas de discusin, decisin y ejecucin.
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Es decir, la sola resolucin de problemas no es suficiente para la construccin de conocimientos transferibles a situaciones nuevas. Es necesaria la reflexin sobre lo realizado, la comparacin de los distintos procedimientos de resolucin utilizados; la puesta en juego de argumentaciones acerca de la validez de los procedimientos llevados a cabo y de las respuestas obtenidas y la intervencin del docente para que establezca las relaciones entre lo construido y el saber matemtico y para que formalice el conocimiento construido por el alumno (Diseo Curricular para ESB). El docente no puede ser un sujeto pasivo como as tampoco lo ser el alumno, hacia quien est dirigida fundamentalmente la propuesta de jugar, los conocimientos escolares que surgirn del juego sern interesantes, significativos y con valor social. Esto les brindar la posibilidad de explorar, conjeturar, volver con una mirada crtica sobre los datos para resolver los problemas, disear tcnicas y estrategias para obtener soluciones, detectar errores proponiendo momentos de autoevaluacin y discutir sus producciones con sus compaeros. Las discusiones entre pares constituyen una etapa de la comprensin matemtica y un punto de partida para la formalizacin de los conceptos. Adems, promueven en el alumno la necesidad de buscar argumentos slidos para sostener sus hiptesis en el intercambio entre pares. El docente deber estar atento a lo que dicen los alumnos en estas discusiones, ya que las mismas dan la posibilidad de tomar contacto con los conocimientos y los errores de los participantes. Se debe rescatar el sentido ldico que tiene el ensear y el aprender, por eso los rompecabezas propuestos permitirn armar y desarmar, y volver a armar solos o entre varios el deseo de aprender la matemtica. La manipulacin de material concreto, har despertar mejor los sentidos y agudizar la mente para resolver un problema y as alcanzar ese objetivo central en matemticas que es la generalizacin. Los rompecabezas propuestos se transforman as en una situacin que le permitir proceder a la solucin explicitando sus conocimientos en un lenguaje que debe ser comprendido por los dems, adems de justificar ante sus pares las herramientas implcitas que ha utilizado en ese acto. La idea es empezar con algo muy concreto para luego pasar a lo abstracto. La abstraccin comienza a producirse cuando el alumno llega a captar el sentido de las manipulaciones que hace con el material. Estas manipulaciones son un paso fundamental para motivar que los alumnos descubran conceptos matemticos observando relaciones de regularidades y formando generalizaciones. La filosofa constructivista (Sadosky, 2006) tambin propone, que para los alumnos no hay aventura ms apasionante que la del descubrimiento y que la mejor manera de disfrutarla es cuando l mismo ha sido capaz de experimentar dicho descubrimiento. Entonces la actividad de los alumnos, en este caso el juego, es base fundamental para el aprendizaje mientras que la accin del docente es aportar las ayudas necesarias, estableciendo esquemas bsicos (situaciones problemticas) sobre los cuales explorar, observar, y reconstruir conocimientos. Se toma aqu el concepto de Interaccin Socio Cognitiva: la cognicin humana ptima se lleva a cabo con la colaboracin de otras personas y de objetos fsicos y simblicos que potencian las capacidades individuales (Baquero, 2001). Por otra parte, se toma el concepto de estrategia didctica de Bixio (1995): conjunto de las acciones que realiza el docente con clara y conciente intencionalidad pedaggica, o sea, de lograr un aprendizaje en el alumno. Las estrategias deben apoyarse en los conocimientos previos de los alumnos (significatividad) para orientar la construccin de conocimientos a partir de materiales adecuados y deben poder desarrollarse en el tiempo previsto. En el campo de la Didctica de la Matemtica, la propuesta se apoya en la ingeniera didctica (Douady; 1996): elaboracin de un conjunto de secuencias de clases concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de aprendizaje. As, la llamada Situacin fundamental, dada por las situaciones adidcticas (Brousseau,
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1988), enfrenta a los alumnos a un conjunto de problemas que evolucionan de manera tal que el conocimiento que se quiere que aprendan es el nico medio eficaz para resolverlos. Intervienen las variables didcticas para que el conocimiento evolucione en niveles crecientes de complejidad, y las recontextualizaciones de los conceptos tratados en los marcos geomtrico y algebraico le otorgan significatividad a la propuesta. Para ello, el docente les brindar la posibilidad de explorar, conjeturar, volver con una mirada crtica sobre las actividades que se vayan desarrollando, procesar la informacin y obtener de ella los datos para resolver los problemas, disear tcnicas y estrategias para obtener soluciones, detectar errores proponiendo momentos de autoevaluacin y discutir sus producciones con sus compaeros.(Villela,2001) Las discusiones entre pares constituyen una etapa de la comprensin matemtica y un punto de partida para la formalizacin de los conceptos. Adems, promueven en el alumno la necesidad de buscar argumentos slidos para sostener sus hiptesis en el intercambio entre pares. El docente deber estar atento a lo que dicen los alumnos en estas discusiones, ya que las mismas dan la posibilidad de tomar contacto con los conocimientos y los errores de los participantes. Por esto la apuesta es ensear en y para el juego para que los nios y/o adolescentes vean facilitado su trabajo, que se puedan modificar algunas de las dificultades que suelen surgir en el aprendizaje, con una ltima finalidad: comprender y mejorar las prcticas de enseanza. USO DEL MATERIAL
El material preparado para esta propuesta consiste en dos rompecabezas formados cada uno de ellos por sesenta y cuatro piezas de igual superficie. Estas piezas surgen de un mismo cuadrado por lo que conservan la superficie pero modifican su permetro. El cuadrado bsico, (es el que genera las piezas) surge de un rompecabezas de cinco piezas, cuatro tringulos rectngulos y un cuadrado que al ensamblarse dan lugar a un cuadrado y a dos configuraciones de pentomins, uno con forma de T y otro con forma de U.
Uno de los rompecabezas posee todas sus piezas con borde curvo y el otro tiene sus piezas con bordes rectos. Estas piezas surgen de diferentes configuraciones que se obtienen al considerar al cuadrado como un eneamin. Cada uno de los rompecabezas presenta dos fases ; uno de ellos tiene una cara pavimentada con el pentomin T surgido a partir del cuadrado originante y la otra est cubierta con un pentgono equiltero, pero no equingulo, que al ensamblarse disea un hexgono no regular (el pentgono surge al cortar dos tringulos en el cuadrado originante de todas las piezas).El otro tiene una cara cubierta con el pentomin U (tambin surgido del cuadrado base) y la cara
opuesta se cubre con teselas formadas con peces surgidos al fraccionar el cuadrado en cuartos y ,por cortes y rotaciones se obtienen mitades de peces. Para facilitar el ensamble de las piezas de cada rompecabezas se les asocia a cada uno un pizarrn magntico que permitir jugar y/o visualizar en posicin vertical. Est prevista la superposicin de ambos rompecabezas de esta manera se facilitar la obtencin de huecos a partir de los cuales se visualiza la tesela inferior; contribuyendo a la idea de fraccin. Cada tesela representa la unidad o una fraccin de ella, al igual que cada una de las piezas de los rompecabezas. INTENCIONES PEDAGGICAS
- Descubrir las simetras y sus consecuencias. - Diferenciar entre figura geomtrica (abstracta) y su representacin material. - Diferenciar permetro de superficie. - Establecer relaciones parte-todo. - Armar y calcular volmenes.
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- Identificar figura-fondo. - Abstraer conceptos y relaciones. - Integrar el lenguaje propio del pensamiento visual. - Utilizar grficos, esquemas y dibujos. - Facilitar la concentracin, debido a la situacin de juego. (Aizencang, 2005) - Generar iniciativas y dejar de lado el aburrimiento. - Facilitar el intercambio con otros. - Favorecer el placer al superar obstculos. - Fomentar la tolerancia al error, esto evitar frustraciones. - Diferenciar entre medio y fin, el proceso es ms relevante que el resultado por alcanzar. - Anticipar funciones relevantes que le permiten realizar transformaciones para resolver el conflicto. - Respetar reglas impuestas por el grupo.
IMPLEMENTACION La versatilidad del material nos permite la utilizacin del mismo desde la sala de 5 (cinco), del Nivel Inicial hasta el ltimo ao de la E.S.B. (3 ao). Algunas sugerencias para el uso del material (cada docente establecer el esquema que le convenga de acuerdo con los conocimientos y dificultades de su grupo de alumnos): NIVEL INICIAL Algunas sugeridas por Cerquetti (1994) (Desde sala de 5) Posibilidad de construir un slido por ensamblaje de otros slidos. (Desde sala de 5) Buscar la mayor cantidad posible de ensamblajes. (Todas las salas) Apilamientos libres. (Desde sala de 5) Formar la tesela de peces. (Desde sala de 5) Reconocer simetras. (Desde sala de 5) Reconocer figuras en los rompecabezas. (Desde sala de 5) Reconocer traslaciones. (Desde sala de 5) Reconocer letras ms comunes. (Desde sala de 5) Contar y sumar. (Desde sala de 5) Nocin de fraccin. Reconocimiento de mitad y de cuarto. E.P.B. Algunas contempladas en los Diseos Curriculares vigentes PRIMER CICLO (Desde 1 ao) Reconocimiento de figuras.
(Desde 1 ao) Reconocer fracciones en un mismo lado del rompecabezas ( 4
1,
2
1 )
(Desde 1 ao) Encontrar equivalencias de fracciones entre diferentes partes del rompecabezas. (Desde 1 ao) Identificar simetras. (Desde 1 ao) Armar los rompecabezas. (Desde 2 ao) Encontrar las simetras en los teselados. (Desde 3 ao) Diferenciar figuras. (Desde 2 ao) Intentar el clculo intuitivo de permetro. (Desde 3 ao) Comenzar con la idea de superficie.
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SEGUNDO CICLO (Desde 4 ao). Reconocer y clasificar las simetras. (Desde 4 ao) Encontrar las traslaciones en los teselados. (Desde 5 ao) Disear nuevas teselas. (Desde 4 ao) Reconocer los eneamins y encontrar otras configuraciones. (Desde 6 ao) Calcular volmenes de los distintos slidos raros. (Desde 5 ao) Calcular permetros y superficies de las piezas de los rompecabezas y de los cubrimientos. (Desde 4 ao) Encontrar equivalencias entre las diferentes fracciones. E.S.B.
(Desde 1 ao). Comenzar el trabajo de proporcionalidad. (Desde 1 ao). Establecer relaciones entre las superficies de las distintas figuras. (Desde 2 ao) Encontrar el valor exacto de las longitudes de las piezas que forman el rompecabezas. (Desde 2 ao) Reconocimiento de la existencia del nmero irracional. (Desde 1 ao). Encontrar las figuras simtricas. (Desde 2 ao) Realizar el desarrollo de las piezas de los rompecabezas. (Desde 2 ao) Intentar la construccin de nuevos cubrimientos: Uso de Cabri Gomtre II Plus. (Desde 1 ao) Realizar piezas a partir del cuadrado base, distintas a las que forman los rompecabezas.
EL MATERIAL El material que se sugiere puede ser construido por lo mismos nios y/o adolescentes, ya que constituye en s mismo un problema no convencional que exige la puesta en marcha de habilidades manuales y destrezas en el uso de herramientas (estos aspectos han dejado de ser tenidos en cuenta en estas ltimas modificaciones de la enseanza bsica). Se prev que los materiales puedan ser econmicos y posibles de construir en cualquier contexto social, no por desconocer u oponerse a las nuevas tecnologas, sino para presentar opciones que alternen su uso. (Ricotti, 2005) Con estos rompecabezas, el nmero racional se trabaja desde lo visual buscando una fuerte reflexin sobre las relaciones parte-todo y parte-parte en un todo continuo. Para profundizar se calculan reas y permetros, apelando a propiedades y teoremas para iniciar la formalizacin. La experimentacin con el material lleva a las propiedades de las figuras, esto le dar significatividad a los resultados y a la necesidad de ordenar datos para obtener representaciones claras de las medidas. Los alumnos pueden generar la idea de volumen, con la posibilidad de deducir cmo encontrar su valor numrico a partir de la idea de apilar. Este material deja un margen total de libertad al docente para que de acuerdo con sus capacidades, gustos y/o estilos decida cmo, cuando y para qu utilizarlo, solo pretende ser el comienzo de vivencias diferentes, de expresiones enriquecedoras que hagan ms apasionante la clase de matemtica. El uso de la imagen, tan popular en los medios de comunicacin actuales, ser necesario para lograr el entendimiento con miras a un aprendizaje ms directo.
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LOS DISEOS
Piezas
Cuadrado originante
Eneamin
Piezas curvas
Teselas
Tesela T
Tesela U
Pececitos
Pentgono
COMENTARIOS FINALES El tiempo de aprender es tiempo de produccin diferenciada de sentidos y de construccin de reglas comunes para su comunicacin. Es un tiempo ldico, creativo, integrador, gozoso; el tiempo de aprender es tiempo de produccin y comunicacin .Se debe recuperar el sentido del ensear y el aprender, se debe recuperar la fascinacin por lo desconocido, la audacia de la transformacin y la indisciplina del pensamiento y la razn. Entonces se debe pensar acerca de lo que se ensea, para qu se hace y buscar fundamentos que avalen la eleccin de los contenidos que se desarrollan en cada ciclo .Esta reflexin aparece como llena de nuevas posibilidades, como rica y sumamente interesante. El planteo de un problema que sea abierto, que plantee pocas indicaciones para su solucin, dar a los alumnos ms posibilidades para que sean ellos los que construyan los caminos, las estrategias y nuevos procedimientos y relaciones entre los datos que se les presentan. Si adems, su resolucin permite la formulacin de nuevos interrogantes, se transformar en un punto de partida para nuevos aprendizajes. Aprender a aprender con otros llevar a rescatar lo ldico del ensear y el aprender, que significa idear modos creativos y novedosos de abordar y resolver problemas, llenar de significaciones los datos y los conceptos y, abrir espacios para construir procedimientos que le den sentido al aprendizaje. Se debe romper con las rgidas estructuras que habitan todava algunas aulas, se debe inventar, recrear e idear nuevas formas para poder construir nuevas utopas. El juego llevar, entonces, a un saber hacer, un saber actuar, un saber aprender, un saber construir nuevos saberes, es decir un saber que conducir a un poder hacer. Entonces ya se estara llegando al logro de aprendizajes complejos que implican asumir posiciones, compromisos, responsabilidades.
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Ensear es marcar recorridos posibles, aunque no indicar cuales se deben transitar. Ensear es pensar con el otro, para ayudarle a pensar, pero no pensar por el otro. Ensear es abrir espacios de interrogacin y de construccin sin dar la informacin precisa. Ensear es jugar .Porque el juego permite nuevas prcticas de enseanza, promueve la cooperacin como valor social y facilita la negociacin. El sentido ldico del aprender promueve y asegura la creatividad ,permite reinventar nuevas y viejas escenas ,hace rer ,asombra , convoca ,causa enojo o eriza la piel . Nos permite discutir teoras, inventar razones, justificar cada descubrimiento, cada invento, cada idea, cada hecho. Juguemos, y entre ilusiones y sueos, entre memoria y olvido, y entre hilachas de cuentos, sonidos y olores que se mezclan busquemos el camino que nos devele el secreto que nos permita recuperar el placer por ensear y aprender. BIBLIOGRAFA
Aizencang, N. (2005). Jugar, aprender y ensear. Buenos Aires: Manantial. Baquero, R. (2001). Introduccin a la psicologa del aprendizaje escolar. Buenos Aires:
Universidad Nacional de Quilmes.
Beltrn, J. y otros. (1993). Intervencin psicopedaggica. Madrid: Pirmide. Bixio, C. (2006). Chicos aburridos? El problema de la motivacin en la escuela.
Rosario: Homo Sapiens.
Bixio, C. (1999). Ensear a aprender. Rosario: Homo Sapiens. Cerquetti-Aberkane, F. (1994). Ensear Matemtica en el Nivel Inicial. Buenos Aires:
Edicial.
Cerquetti-Aberkane, F. (1994). Ensear Matemtica en los Primeros Ciclos. Buenos Aires: Edicial.
Documentos de la Revista de Educacin. (2003). Orientaciones didcticas para el Nivel Inicial 1 Parte. La Plata: Subsecretara de Educacin. DGCyE.
Documentos de la Revista de Educacin. (2003). Orientaciones didcticas para el Nivel Inicial 2 Parte. La Plata: Subsecretara de Educacin. DGCyE.
Edelstein, G. (1995). Imgenes e Imaginacin .Iniciacin a la Docencia. Buenos Aires: Kapelusz.
Gmez, J. (2002). De la enseanza al aprendizaje de las matemticas. Barcelona: Paidos.
Ricotti, S. (2005). Juegos y problemas para construir ideas matemticas .Buenos Aires: Novedades Educativas.
Sadovsky, P. (2005). Ensear matemtica hoy. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Vergnaud, G. (1997). Aprendizajes y didcticas: qu hay de nuevo? Buenos Aires:
Edicial.
Villella, J. (2001). Uno, dos, tresgeometra otra vez. Buenos Aires: Aique.
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ANLISIS DE NECESIDADES TECNOEDUCATIVAS: ESTADO DEL ARTE DE LAS TIC EN EL MEDIO EDUCATIVO DE LA MACRO REGIN SUR-AUSTRAL
Danilo Daz Levicoy, Ignacio Inay Navarro, Dr. Abraham Olivares Escanilla
Universidad de Los Lagos - Chile [email protected], [email protected], [email protected]
Nivel educativo: Medio Palabras Clave: Anlisis de Necesidades, Informtica, Matemtica, Competencias
Resumen El trabajo que se presenta corresponde a un anlisis comparativo, respecto de la insercin de las TIC en el proceso de formacin en la macro regin sur-austral chilena, el estudio se orienta bajo un anlisis de carcter cualitativo en el que se verifican aspectos tales como infraestructura, capacitacin de profesores, aplicaciones en matemticas, entre otros. Los resultados muestran que la insercin de las TIC en el medio educativo de la regin se ha incrementado levemente, sin embargo, an es insipiente la insercin de estas en el trabajo de los alumnos en el aula, la falta de perfeccionamiento de los profesores y la ausencia en la malla curricular de una asignatura exclusiva de informtica para los estudiantes. Respecto a la aplicacin de las TICs, los profesores de Matemtica sealan aplicarlas en un 60%, en sus procedimientos didcticos, mientras que los alumnos(as), sealan que ello ocurre en un 16%, siendo uno de los software ms utilizado en matemtica por profesores y alumnos el Gaphmatic, seguido por el Derive, aunque el uso de estas herramientas debiese aumentar. Este estudio ha dejado de manifiesto una mejora en la insercin de las TICs en educacin y en especial en educacin matemtica, observndose un mayor avance en los establecimientos educacionales de dependencia particular. Introduccin En el ltimo tiempo, el mundo y la sociedad exigen un nuevo tipo de alfabetizacin, la alfabetizacin tecnolgica informtica, que nos permite avanzar e ir al da en el contexto de las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin. El presente estudio es una indagacin cualitativa realizada directamente en establecimientos educacionales, de modalidad Humanstico Cientfico, pertenecientes a las regiones de Los Lagos y Los Ros, Chile. El objetivo de esta investigacin fue analizar el estado del arte con respecto a la aplicacin de las TIC en Educacin y especficamente en la Educacin Matemtica para el nivel secundario, indagando el uso, aplicacin y aportes de las TIC en el desarrollo del proceso de enseanza y aprendizaje. Objetivo General:
Analizar el estado del Arte respecto a la aplicacin de las TIC en educacin, en particular en el contexto de la enseanza aprendizaje de la matemtica en secundaria. Objetivos Especficos:
Observar aplicaciones que realizan los establecimientos en el contexto de las TIC. Evaluar las aplicaciones en las asignaturas respecto a las TIC. Discriminar respecto del uso de TIC en Ciencias Exactas.
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Metodologa La metodologa utilizada es de carcter cualitativo con un enfoque experimental. Los resultados se obtuvieron mediante la aplicacin de instrumentos (encuesta) semi-estructurado a profesores (24) y alumnos (628), previamente validados por expertos en Matemtica, Informtica y Educacin. La graduacin en que se ha desarrollado es a travs de notas de campo y observacin directamente del medio (Prez, 1998). En cuanto al Anlisis de Necesidades Tecnoeducativas, concierne a una herramienta de investigacin derivada del trabajo de investigacin educativa por (Gutirrez, 1993), (Olivares, 2005a). Marco referencial
Anlisis de necesidades tecnoeducativas: Corresponde a una investigacin, que permite obtener informacin temporal sobre el estado del arte de la aplicacin de tecnologas en la educacin. Una de sus principales ventajas, es que permite al docente obtener informacin actualizada y real sobre los requerimientos tecnolgicos del entono que le interesa, situacin de administracin y el grado de aplicacin de las Tecnologas de la Informacin y de la Comunicin en la Educacin y en particular de la Educacin Matemtica. Cmo se realiza un anlisis de necesidades?
Para la realizacin este tipo de estudios se deben considerar, en lo posible, todos los actores educativos involucrados: Encuentra y/o entrevista a profesores y anlisis de su insercin en las TICs: uso para la preparacin de material (gua, evaluaciones), control de asistencia, registro de notas, presentacin para las clases, uso de software matemtico(a nivel personal y de aula), entre otros. Encuentra a los alumnos y anlisis de su insercin en las TICs: uso para desarrollar tareas escolares, pertenencia a redes sociales (Fotolog, Facebook, otros), uso de software educativos en el aula y para el desarrollo de actividades. Observacin de la infraestructura y administracin: laboratorio de computacin, cantidad de equipos a disposicin de profesores y alumnos, formas de uso, medios tecnolgicos a disposicin de los docentes (Olivares, 2005b) Caractersticas de un anlisis de necesidades El anlisis de necesidades obtiene informacin del entorno que se desea conocer, comparando dos posiciones extremas, Dnde estamos? y Dnde deberamos estar? Contrastando lo existente, con un ideal esperado, logrando de esta forma establecer mtodos para solventar las necesidades, falencias y dificultades detectadas. Ningn anlisis de necesidades es definitivo ni completo: el anlisis de discrepancia o de necesidades es temporal y permite obtener informacin del aqu y del ahora. Pues, lo que exista o suceda en el futuro, ser fruto de un nuevo anlisis de necesidades. La informacin obtenida, debe hacer alusin a productos o comportamientos reales y no en proceso, por ejemplo: el proceso de implementacin de un laboratorio de computacin, pues esta implementacin puede ser cancelada (Olivares, 2005a) Resultados:
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Distribucin de profesores encuestados
15
9Matemtica
Ciencia
El 62,5% de los profesores encuestados corresponden al rea de Matemtica, los restantes al rea de Ciencia.
Acceso Internet Profesores/Alumnos De la totalidad de los profesores encuestados, el 83% indica tener acceso al ciberespacio, mientras tanto que de los alumnos encuestados el 76% indica lo mismo.
Capacitacin Docente / Estudiantil
El 50% de los docentes, ha participado en cursos de perfeccionamiento con respecto a las TIC. Solo el 27% de los alumnos tiene una asignatura exclusiva de informtica o computacin, lo que significa que cuentan con una capacitacin en informtica.
Acceso Internet ALUMNOS
0%
76%
24%
Si
No
N/R
Acceso Internet PROFESORES
17%
83%
Si
No
Profesores
50% 50%
Si
No
Alumnos0%
27%
73%
Si
No
N/R
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Grado de aplicacin TIC/ Ciencias Exactas
El nivel de aplicacin en las TIC en Ciencias Exactas de las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en nuestra regin: Los profesores de Matemtica lo aplican en un 60%, mientras que los de Ciencias Bsicas solo en un 46%. Con respecto al mismo tema los estudiantes secundarios sealan su uso en tan solo un 16%.
Tipo de Software utilizado
Dentro de la asignatura de Matemtica, por tipo de software podemos inferir que el ms y utilizado por profesores y alumnos es el Gaphmatic, seguido por el Derive.
Profesores - Matemtica - TIC
60%
40% Si
No
Profesores - Ciencias Bsicas - TIC
54%46% Si
No
Alumnos - Matemtica - TIC
16%
84%
SI
No
Profesores - Software
1
1
1
1
1
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
Ofimtica
SWP
Winplot
Mapple
Regla y Comps
Cabri
Derive
Graphmatic
Alumnos - Software
18
1
1
1
6
13
21
31
33
0 5 10 15 20 25 30 35
Otros
Mathtype
Cabri
Euclid
Geogebra
Clic
Ofimtica
Derive
Graphmatic
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Uso de Programas segn dependencia Desde la perspectiva de los estudiantes, las unidades educativas que presentan mayor uso de programas de matemtica son los particulares subvencionados y particulares sobre los municipalizados.
Alumnos - Programas - Dependencia
02 1
6 57
11
1
16
1 2 1
10
26
0
5
10
15
20
25
30
Matht
ype Cabri
Euclid
Geog
ebra Cli
c
Ofim
tica
Derive
Grap
hmati
c
Municipal Particular Subvencionado Particular
Dentro de los programas ms usados en el sistema particular se encuentra el Graphmatic seguido del Derive, mientras que en los establecimientos de dependencia particular subvencionados existe un predominio del Derive y el Cabri. Para los colegios de dependencia municipal existe un mayor uso de Graphmatic y Herramientas office, aunque en menor grado con respecto a los dems establecimientos.
Tipo de actividades
Profesores
2017
2422
5
14
8
0
5
10
15
20
25
30
Planif icaciones Preparacin de
Clases
Guas Pruebas Control de
Asistencia
Notas Otras
Alumnos
500 510
4513
0
100
200
300
400
500
600
Actividades
Academicas
Entetencin Otros N/R
Alunmnos - Programas - Municipalizados
18%
82%
0%
Si
No
Omite
Alumnos - Programas - Particular
Subvencionado
41%
58%
1%
Si
No
Omite
Alumnos - Programas -Particular
36%
64%
0%
Si
No
Omite
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Dentro de las actividades desarrollada por los profesores con ayuda del ordenador, se destacan principalmente el desarrollo de Guas y Pruebas. En los educantes se prefiere levemente las Actividades de Entretencin sobre las Acadmicas. Discusin
Potencial didctico de las TIC: Los profesores y los alumnos consideran que el uso de las TICs facilita el proceso de enseanza y aprendizaje, pues cumple un rol visualizador y motivador en la tarea matemtica que se esta desarrollando, adems permitir una interaccin constante en la actividad que se est realizando.
Perfeccionamiento Docente: Los profesores se muestran interesados en participar en actividades de perfeccionamiento sobre uso de TICs, sealando prioritariamente el manejo de ofimtica y herramientas propias para la enseanza de la matemtica.
Infraestructura: en general, los establecimientos cuentan con infraestructura tecnolgica, pero muchas veces son insuficientes para una efectiva insercin de las TICs.
Actualizacin: Los alumnos destacan la importancia el uso de las TICs en la enseanza de la matemtica, pero a su vez dejan de manifiesto su poca utilizacin en el aula. Esto se puede justificar debido a la falta de tiempo del que disponen los profesores para crear buenas y efectivas actividades. Sumado a esto la poca actualizacin que poseen los profesores en el dominio de TICs.
Conclusiones
Anlisis de necesidades tecnoeducativas: es una herramienta que permite al docente-investigador conocer las debilidades y fortalezas del entorno educacional inmediato en el cual se va a desarrollar, con el propsito de establecer los lineamientos de su gestin pedaggica.
Acceso y Limitantes: lamentablemente existen establecimientos educaciones que no permiten realizar este tipo de estudio, pues intuyen que la informacin recabada ser difundida de forma negativa ante la sociedad, o bien, se oponen al desarrollo de la investigacin por creer que sern comparados con otras unidades educativas.
Insercin curricular de las TIC: se constat que se estn siguiendo algunas indicaciones del Ministerio de Educacin de Chile sobre TIC-Educacin, pero que an esta utilizacin es leve, planteando grandes desafos para los profesores de matemtica y especialmente en la formacin de formadores.
Proyeccin: esta investigacin abre la posibilidad que los profesores se interesen por el estudio de la utilizacin de las TICs en su entorno educativo; anlisis de necesidades centrados en la insercin de las TIC en la educacin primaria; anlisis de las TICs en matemtica y su contribucin al proceso de enseanza y aprendizaje; analizar el potencial de las TICs en evaluacin de contenidos.
Referencias bibliogrficas
BONVECCHIO, M. & MAGGIONI, B. (2006). Evaluacin de los Aprendizajes. Manual para Docentes. Segunda Edicin, Ediciones Novedades Educativas.
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GUTIRREZ, I. (1993). Anlisis de necesidades, Apunte Universidad de Santiago de Chile, manuscrito no publicado.
KAUFMAN, R. (1973). Planificacin de sistemas educativos. Ideas bsicas concretas. Mxico, Editorial Trillas.
OLIVARES, A. (2005a). Propuesta metodolgica para la enseanza de la informtica en pregrado. Tesis Doctoral. Valladolid, Espaa
OLIVARES, A. (2005b). Determinacin de las necesidades tecnoeducativas. Apuntes, Universidad de Los Lagos, Osorno-Chile, manuscritos no publicados.
PREZ, G. (1998). Investigacin Cualitativa retos e interrogantes. Madrid, Espaa, ED. La Muralla.
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LA CORRESPONDENCIA NMERO IRRACIONAL-PUNTO DE LA RECTA. DE OBJETO DE ESTUDIO A OBJETO A ENSEAR
Verdn Nora - Caronia Silvia
Instituto Posadas N 0403 Facultad de Ciencias Exactas, Qumicas y Naturales. UNAM. Argentina
[email protected] - [email protected] Nivel educativo: Medio
Palabras clave: irracional, recta, praxeloga, transposicin
RESUMEN
Este trabajo forma parte de un estudio didctico-matemtico que sigue los lineamientos de la Teora Antropolgica de Chevallard. Tiene por objetivo caracterizar las transformaciones a las que se ha sometido el objeto matemtico: nmeros irracionales - recta numrica, desde un modelo de organizacin matemtica en relacin con la problemtica de la correspondencia nmero irracional- punto de la recta, hasta la enseanza de los mismos en la institucin escolar, vista desde dos dispositivos: Currculo y un libro de texto. Esta comunicacin se centra en el problema especfico de la asignacin de un punto de la recta a un nmero irracional dado. Se anticipan algunas conclusiones que a priori se pudieron observar con respecto a la citada transformacin. INTRODUCCIN El Diseo Curricular de la Provincia de Misiones pretende, a medida que transcurren los aos de escolaridad, la ampliacin de los conjuntos numricos, de tal modo que al finalizar la E.G.B.3 (Educacin General Bsica, Tercer ciclo), el alumno haya aprendido la nocin de nmero real, como as tambin las propiedades de los distintos conjuntos numricos. En particular, en los 9
nos aos de E.G.B.3 y 1
er ao de Polimodal, se incorporan a los nmeros
racionales hasta all conocidos por el alumno, los nmeros irracionales: su concepto, la representacin en la recta y las propiedades de la misma, terminndose por conformar as, la recta de nmeros reales. Especficamente, se considera que la presentacin de los nmeros irracionales es escueta y se efecta con el propsito de llegar a completar la estructura numrica de los reales. En los libros de texto de los niveles de enseanza enunciados precedentemente, en general, cuando describen las caractersticas de la recta real se insiste en la biyeccin que existe entre cada punto de la recta y cada nmero real, ya sea racional irracional. Se seala que, aunque la recta con los nmeros racionales es densa, an tiene huecos y esos huecos se completan con los nmeros irracionales, queda as la recta continua, cubierta totalmente de nmeros reales. Sin embargo, al momento de representar a los nmeros irracionales en la recta, la mayora de los libros (de 9
no ao de E.G.B.3 o 1
erao de Polimodal) explican un procedimiento geomtrico,
basado en el Teorema de Pitgoras, para la 2 , 3 , 5 , 7 y algunas races cuadradas ms, tras lo cual efectan la generalizacin mencionada en el prrafo anterior, es decir, la biyeccin entre nmeros reales y puntos de la recta. Con la representacin de unos pocos nmeros irracionales en la recta, los autores enuncian las caractersticas de la recta real: continua, ordenada, completa (sin huecos), resultando adems transparente la biyeccin mencionada. Como consecuencia de este panorama sobre la introduccin de los nmeros irracionales y su correspondiente representacin en la recta, en el contexto de la institucin escolar, surgen
mailto:[email protected]%20-mailto:[email protected]
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algunas cuestiones a considerar, como el estudio, la reflexin y el anlisis acerca de la transformacin que ha sufrido este objeto matemtico, desde un modelo de organizacin matemtica, basada en un estudio del contenido en relacin con la problemtica de la correspondencia nmero irracional-punto de la recta, hasta llegar a la enseanza de los mismos en la Institucin escolar, vista desde los dos dispositivos ya enunciados. Las cuestiones que surgen, se pueden clasificar segn los aspectos: Cognitivo: Cmo se resuelve el problema de ubicar en la recta la marca puntual
correspondiente a un nmero irracional dado? Instruccional. Cmo se sugiere la enseanza de los objetos: nmeros irracionales, reales
y la representacin de estos nmeros en la recta geomtrica en la institucin escolar, especficamente en el primer ao del Polimodal?
Para responder a estos cuestionamientos se adopta como marco terico la Teora Antropolgica de la Didctica por cuanto este paradigma cuenta con herramientas tericas que favorecen el estudio: la Transposicin Didctica y la nocin de Praxeologa.
Teora Antropolgica de la Didctica (T.A.D.) de Y. Chevallard Dentro de la Didctica fundamental, como lo expresara Gascn (1998) no era posible interpretar adecuadamente la matemtica escolar (...) sin tener en cuenta los fenmenos relacionados con la reconstruccin escolar de las matemticas, es decir, sin observar los fenmenos de Transposicin Didctica (Chevallard, 1985), los que a su vez, no pueden estudiarse independientemente del proceso de produccin de las obras matemticas. Es as como a partir de la Teora de la Transposicin Didctica, surge el enfoque Antropolgico en la Didctica de las Matemticas (Chevallard, 1992). Esta teora se designa a si misma antropolgica porque sita a la actividad matemtica y por consiguiente la actividad del estudio en matemticas como una actividad humana ms, en el seno de alguna Institucin social. Su postulado de base es que toda actividad humana que se realice regularmente puede describirse con un modelo nico, identificable con la nocin de praxeologa. La Transposicin Didctica La teora de la Transposicin Didctica fue presentada por primera vez en el ao 1980. Bsicamente enuncia que los contenidos o conocimientos que se ensean en la escuela no son generados en ella ni para ella, sino en otros sitios (o Instituciones) de la sociedad y que se los ensea en la Institucin escolar por necesidades sociales de educacin y difusin Bosch y Gascn (2007). En este marco es necesario un trabajo transpositivo, en el sentido de transformaciones adaptativas, que posibiliten que un conocimiento que no fue producido para la escuela pueda ser reproducido en ella, conservando su potencia y funcionalidad. Este trabajo transpositivo, que va ms all de simples transferencias o simplificaciones de los conocimientos al pasar de una institucin a otra, lo realizan diferentes actores de la sociedad: la noosfera. Desde este lugar se impondrn una serie de condiciones y restricciones sobre el tipo de enseanza de un determinado conocimiento en la institucin escolar. La limitacin se presenta cuando el trabajo transpositivo no es capaz de sostener o de recrear alguna posible razn de ser para el conocimiento que se desea que la escuela transmita. Este concepto da cuenta del origen de una nocin matemtica porqu se construy inicialmente, en que mbito, contexto o problemtica y como participa en el desarrollo del saber matemtico, hasta llegar a las posibles funciones de la nocin en las actividades (matemticas o no matemticas) que tiene lugar en la sociedad (Bosch y Gascn, 2007).
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Los componentes de una Praxeologa Matemtica u Obra (T, O , ,
)
Praxeologa Matemtica o tambin, denominada por Chevallard, organizacin matemtica, es el modelo por el cual se produce matemtica como consecuencia de la actividad del estudio sistemtico e intencional de algn tipo de tareas o cuestiones (T) que resultan problemticas para una comunidad en un momento histrico dado. La obra como actividad humana responde a necesidades especficas y para que aquellos problemas que la hacen surgir sean transformados en tareas rutinarias, realizables fluida y
eficazmente, se requiere de una determinada manera de hacer o tcnica ( O ), palabra de origen griego que significa saber hacer. La tcnica no es necesariamente de naturaleza algortmica. Puede ocurrir que una tcnica sea exitosa para resolver alguna tarea, pero no para un tipo de tareas. Los tipos de tareas y las tcnicas asociadas constituyen el saber-hacer que hacen referencia a la praxis de la actividad. Para que las tcnicas puedan existir en una institucin, deben poder ser justificadas racionalmente, de tal manera que se pueda asegurar que permiten realizar las tareas que se
pretenden. Esta es la primer funcin de la tecnologa ( ), la que adems tiene como finalidades la de explicar, hacer inteligible y exponer porqu una tcnica es correcta, como tambin la de producir nuevas tcnicas. El discurso tecnolgico contiene frecuentemente afirmaciones ms o menos explcitas de las que se puede pedir razn. El argumento formal que
justifica la tecnologa es la teora ( ), es un nivel superior de justificacin-explicacin- produccin. Los enunciados tericos aparecen como abstractos, alejados de las tecnologas y tcnicas. El conjunto: tecnologa- teora constituyen el bloque del saber o el logos de la actividad. En sntesis, una praxeologa relativa a un tipo de tareas, est constituida por dos bloques: el prctico-tcnico (saber-hacer) y el tecnolgico-terico (saber). Organizacin Matemtica del tema en estudio Atendiendo al marco terico en el que se encuadra este trabajo (la T.A.D) se estudia una organizacin matemtica acerca de la cuestin central del mismo: la asignacin punto de la recta nmero irracional y recprocamente. En esta presentacin, se mostrar una parte de esa organizacin matemtica. Frente a la cuestin de la correspondencia nmero punto se plantea: Tarea 1(T1): Obtener la marca puntual (M) en la recta geomtrica, que le corresponde a un
nmero irracional dado (Se conocen los puntos correspondientes al cero y al uno, adems del nmero irracional). Algunos investigadores sealan que para responder a esta cuestin, se necesita conocer una expresin inequvoca del nmero irracional, basada en algn sistema de representacin: verbal, icnica o en el sistema de numeracin decimal. No obstante hay muchos nmeros irracionales para los que no se tiene tal representacin inequvoca, como por ejemplo un nmero fabricado por el sucesivo lanzamiento de un dado en base diez: 0,579452381... Se trata de un nmero trascendente (nmero real no algebraico), no computable (no se puede predecir para cualquier n la cifra ensima) y no constructible (no se puede ubicar o representar exactamente en la recta mediante el uso de la regla y el comps ideales) (Coriat M. y Scaglia S, 2000) Para dar respuesta a esta tarea, se disponen de diferentes tcnicas o modos de hacer. En general, la utilizacin de una u otra tcnica va a depender del tipo de nmero irracional que se quiera representar, bsicamente atendiendo al criterio de si es o no un nmero constructible.
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Tcnica 1: para T1 ( O 1;1 ): Procedimiento para obtener el punto sobre la recta correspondiente
a 50 . Se trata de un nmero irracional constructible (pertenece a un subcuerpo de R estable por la raz cuadrada, adems de todos los nmeros racionales y las races de racionales positivos de ndice 2
n, con n natural) Coriat y Scaglia (2000).
Se construye sobre la recta un rectngulo de base 49 = 7 y de altura 1. La diagonal tiene
una longitud de 50 . Con el comps, se rebate sobre la recta la longitud de la misma (desde el punto correspondiente al cero). El extremo de este segmento no coincide con ningn punto
racional, es el punto correspondiente al irracional 50 . (Fig. 1)
0 7 50
Tecnologa 1 ( 1; 1,1), para la tcnica 1 de la tarea 1: Se trata de construir un rectngulo tal que su diagonal (hipotenusa de un tringulo rectngulo) mida la raz cuadrada buscada.
En el ejemplo de la tcnica 1 ( O 1;1) la hipotenusa debe medir 50 , por lo que los catetos del
tringulo rectngulo pueden valer, por ejemplo 49 y 1 respectivamente. Se fundamenta tal
construccin en un corolario del Teorema de Pitgoras. Como la hipotenusa debe medir 50 , un cateto puede medir 1 y para hallar la longitud del otro cateto hay que plantear la
ecuacin:22150 x , de donde se desprende que el otro cateto (x) debe medir 49 .
Teora 1 (1 ): el Teorema de Pitgoras que explica y justifica la tcnica 1, nos remite en ltima instancia a un nivel superior de justificacin: las Nociones comunes y a los Postulados de Euclides. En particular: las nociones comunes 1 y 2 y el postulado 1 de Los Elementos de Euclides (Libro I) En tanto la asignacin nmero real - punto de la recta queda garantizada por el Axioma de Cantor o el Axioma de Dedekind.
Si el nmero que se quiere representar en la recta es el irracional5
38 (constructible), la
tcnica 1 utilizada para ubicar 50 no resulta satisfactoria, es necesaria otra tcnica, como por ejemplo:
Tcnica 2 ( ) para Tarea 1: Para obtener el punto sobre la recta correspondiente a 5
38.
(Fig. 2)
Se traza una semicircunferencia con centro en 5
19 y radio5
19 , de tal modo que la misma
pase por los puntos correspondientes al 0 y a 5
38 .
1,2O
Figura 1
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Se traza una perpendicular a la recta por el punto de abscisa 1 hasta cortar a la semicircunferencia (punto A).
Se une el punto O con el punto A, determinndose el segmento OA. Dicho segmento tiene
una longitud5
38.
Con el comps se transporta sobre la recta la longitud de dicho segmento (desde el punto correspondiente al cero). El extremo de este segmento no coincide con ningn punto racional,
es el punto correspondiente al irracional5
38.
Tecnologa 2 ( 2; 2,1), para la tcnica 2 de la tarea 1
Se basa en la construccin de tringulos rectngulos semejantes tales que, los lados homlogos formen una proporcin continua, donde el segmento medio proporcional sea el de la longitud buscada (Puede ser cualquier raz de ndice 2
n de un n racional positivo).
En el ejemplo de la tcnica 2 ( O 2;1 ), como se pretende que el OA mida 5
38y el ON se
considera de longitud 1, para hallar la longitud del OB (donde OB es el dimetro de la
semicircunferencia a construir y por lo tanto OB / 2 es el radio de la misma e indica la abertura
del comps) basta con hallar el extremo de la proporcin continuaOB
5
38
5
38
1 , dde la que se
obtiene OB =5
38 .
La justificacin de que la longitud del OBOA es en base a la relacin de proporcionalidad
entre los lados homlogos de tringulos semejantes.
0 1 5
38 5
19 5
38
O N B
A
Figura 2
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Teora 2 (2 ) La proporcionalidad entre segmentos, y la asignacin nmero real - punto de la
recta, nos remiten en ltima instancia a las Nociones comunes y Postulados de Euclides y al
Axioma de Cantor o al Axioma de Dedekind.
En la tecnologa 2 se menciona el trazado de figuras, las que se pueden justificar en base a las
definiciones: 10, 17 y 21de Los Elementos de Euclides (Libro I).
Tambin se menciona en la tecnologa 2 la proporcionalidad entre segmentos que se forma
entre los lados de dos tringulos rectngulos semejantes. Se pueden justificar en base a las
definiciones 3, 5, 6 y 8 de Los Elementos de Euclides (Libro V).
Consideraciones sobre la organizacin matemtica
Esta problemtica, la de la correspondencia nmero irracional punto de la recta y resolver las tareas planteadas, se basa en la medida de longitudes, por lo que en general para todo nmero irracional, en la prctica, esto es fsicamente, en cuanto media un proceso de medicin directa los resultados sern aproximados, ya que en estos casos, el observador recurre a la utilizacin de instrumentos de medicin (regla, comps), lo que va a arrojar siempre algn error, esto es alguna diferencia entre la ubicacin de la marca puntual en la recta correspondiente a un nmero irracional y el nmero irracional asignado a travs de alguna representacin. Si la tarea a resolver se puede hacer a travs de un proceso de medicin indirecta, o desde un plano ideal, trabajando con instrumentos ideales, la correspondencia es exacta, pero desde la prctica, la misma ser siempre aproximada. Algunas consideraciones acerca de la enseanza desde los Diseos Curriculares y Libro de Texto Una parte importante de este trabajo consiste en el estudio del contenido tanto en los Currculos como en libros de textos, con el objetivo de poder precisar su razn de ser dentro de la Institucin escolar. - En los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP, 2006) no se mencionan explcitamente a los nmeros irracionales ni reales como objeto de estudio; s aparece como contenido lo que puede identificarse como una razn de ser de los nmeros irracionales: reconocer que los racionales no son suficientes para expresar ciertas longitudes, como especficamente se mencionan: la longitud de la circunferencia y los lados de un tringulo rectngulo. Es decir, se pretende que quede planteada la necesidad de otros nuevos nmeros, adems de los racionales. - En cambio en el Dispositivo Curricular, E.G.B.3 (1998), en la sntesis explicativa del eje Nmeros y Operaciones dice que los nmeros irracionales han de introducirse por las necesidades de su uso (lo que justificara su inclusin como tema de estudio), aunque no se hace referencia a ello en ninguna otra parte del mismo. Menciona explcitamente a los nmeros irracionales, a los nmeros reales, al orden y la completitud, a la recta y los nmeros reales. - Son los Programas Orientadores, Educacin Polimodal (1999), donde se pone nfasis con relacin al trabajo de la correspondencia: punto - nmero real. Sin embargo tampoco en este nivel aparece explcitamente mencionado en los contenidos el trabajo con la densidad de los reales y en particular no queda dicho cmo abordar la completitud y la continuidad (estas ltimas propiedades distinguen a R de los otros conjuntos numricos, ms all de la densidad, que gozan tanto los racionales como los irracionales). A continuacin se propone analizar qu se ensea en relacin con el objeto nmeros irracionales representacin en la recta en un libro de texto correspondiente al primer ao de Polimodal, el que ha permitido observar la transformacin de este conocimiento desde la
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praxeologa matemtica presentada y lo que el autor muestra como organizacin matemtica. Kaczor, Schaposchnik, Franco, Cicala y Daz (1999): Observen el siguiente esquema: marcamos el punto O en el origen y trazamos un arco de circunferencia de centro O y radio OA que interseque el eje x en un punto.
Este punto representa el nmero irracional.porque OA= 2
Entonces, hay puntos de la recta que representan nmeros racionales y otros puntos que representan nmeros . Si pudiramos marcar los puntos correspondientes a todos los nmeros racionales y a todos los irracionales, la recta quedara completa.
1 A
1
0 1 2
La unin del conjunto Q de nmeros racionales y el conjunto I de nmeros irracionales es el conjunto R de los nmeros reales. A cada nmero real le corresponde un nico punto de la recta y cada punto de la recta representa un nmero real. A esa recta continua la llamamos recta real.
El autor comienza introduciendo un nmero: 2 , que demuestra no es racional (marco
numrico), luego muestra que se puede hacer corresponder a este nmero irracional un punto de la recta numrica (marco geomtrico). A partir de esta presentacin de un nico nmero-punto irracional, sanciona: la completitud de la recta, la formacin de los nmeros reales y la correspondencia uno a uno entre nmeros reales-puntos de la recta a la que califica de continua y denomina recta real. Se seala al respecto de la correspondencia nmero irracional punto de la recta que, el autor no ha presentado la tcnica en su totalidad para llevar a cabo la marcacin, como tampoco los elementos tecnolgicos-tericos. Se piensa que esta breve introduccin de los irracionales, bajo estos dos marcos (numrico y geomtrico) podra obedecer a la necesidad de lograr constituir el conjunto de nmeros reales, a modo de cumplir con la presentacin de los campos numricos, a la vez de institucionalizar la completitud y/o continuidad de la recta, con el compromiso de que quede asociada a la misma, la completitud del conjunto de nmeros reales. CONCLUSIONES En el modelo de organizacin matemtica presentado, al menos se muestran dos procedimientos diferentes de resolver la tarea planteada. En ella se observa la limitacin de la primera tcnica (slo races cuadradas de nmeros naturales) y se muestra una segunda tcnica, ms potente que la primera (por cuanto permite ubicar los puntos correspondientes a races cuadradas de racionales positivos). Se detalla el cmo y el porqu se hace de esas maneras. En cuanto a la enseanza de la correspondencia nmero irracional-punto de la recta, en el libro de texto analizado, se pueden observar las siguientes restricciones: se acota la naturaleza del
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nmero irracional a ubicar puntualmente en la recta (slo 2 ), no se muestra ni explica cmo sera para otras races cuadradas de naturales, adems no se manifiestan las limitaciones de dicha tcnica. Cabe mencionar que tras esta nica presentacin, establece un nuevo conjunto numrico: el de los nmeros reales, sealando la correspondencia biunvoca entre cada nmero real y cada punto de la recta. Entre los documentos curriculares observados, en los Programas orientadores, Nivel Polimodal (1999), es donde se prev un trabajo ms exhaustivo en cuanto a la correspondencia punto-nmero irracional (real), aunque no se explicitan procedimientos (tcnicas) ni el tratamiento de las justificaciones de los mismos (tecnologa teora). En sntesis, se pretende que a travs de este estudio se pueda reflexionar que, cuando se ensea un contenido (aqu la correspondencia nmero irracional-punto de la recta y la biyeccin entre nmero real- recta) hay otros aspectos relacionados, que se deberan considerar a la hora de abordar los mismos, como por ejemplo: la asignacin de puntos de la recta a otros nmeros irracionales (bajo otras representaciones), el problema de la correspondencia recproca o el tratamiento de la exactitud en las marcaciones, que no se estn manifestando y quedan asociados a lo mostrado en forma transparente. Al presentar estas reflexiones se espera contribuir a una mejor comprensin de la actividad intelectual desplegada en situaciones como sta que seguramente, al ser ms analticamente conocidas, podrn ser mejor tratadas desde una perspectiva pedaggica. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
Bosch M. y Gascn J. (2007). 25 Aos de la Transposicin Didctica en Ruiz Higueras, L., Estepa, A., Garca, F. J. (eds.) Matemticas, escuela y sociedad. Aportaciones de la Teora Antropolgica de lo Didctico. Jan: Publicaciones de la Diputacin de Jan (pp.349-371).
Coriat M. Scaglia S. (2000). Representacin de los nmeros reales en la recta. Enseanza de las ciencias, 18, 25 - 34. Barcelona.
Chevallard Y. (1999). El anlisis de las prcticas docentes en la teora antropolgica de lo didctico. Recherches en Didactique des Mathmatiques, 19 (2), 221 266. Francia.
Kaczor, P., Schaposchnik, R., Franco, E., Cicala, R. y Daz, B. (1999) Matemtica I. Buenos Aires: Santillana.
Ministerio de Cultura y Educacin de la Nacin. (1999). Programas Orientadores. Educacin Polimodal. Adoptado por la Provincia de Misiones, pp 93-99. Argentina.
Ministerio de Cultura y Educacin, Provincia de Misiones. (1998). Dispositivo Curricular, E.G.B.3. pp79 94. Argentina.
Ministerio de Educacin Ciencia y Tecnologa, presidencia de la Nacin, Consejo Federal de Cultura y Educacin. (2006). Ncleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) Matemtica. 3er ciclo E.G.B./Nivel Medio, 7, 8 y 9 Aos. pp 16 29. Argentina.
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UNA PROPUESTA DIDCTICA: INTRODUCCIN AL TEOREMA DE PITGORAS
Norma Martyniuk - Silvia Caronia Facultad de Ciencias Exactas, Qumicas y Naturales. UNAM. Pas: Argentina
[email protected] [email protected] Nivel educativo: Medio
Palabras Clave: Anlisis Didctico, Desigualdad Triangular, Ternas Pitagricas, Teorema de Pitgoras
RESUMEN Se presenta una propuesta didctica como inicio de estudio para la enseanza del Teorema de Pitgoras, teniendo en cuenta que el mismo debe tener sentido, tanto en lo instrumental para resolver diferentes problemas como tambin en lo formativo como conocimiento geomtrico. Se plantea la problemtica originaria y su aplicacin prctica en diferentes situaciones, destacndose el motivo del surgimiento de la relacin entre los lados de un tringulo rectngulo, dando sentido a su estudio como contenido matemtico. INTRODUCCIN Para iniciar el estudio sobre el tema, Teorema de Pitgoras, en la enseanza en 1er ao de la CBS, se proponen actividades que permitan a los alumnos en relacin a sus conocimientos previos, enfrentarse a ellas, favoreciendo: la observacin, los cuestionamientos, la formulacin de hiptesis, la reflexin sobre sus producciones, la modificacin o elaboracin de nuevos conocimientos, la obtencin de conclusiones lgicas de las proposiciones y datos a su alcance en un trabajo interactivo y participativo. Con soporte a lo mencionado precedentemente y en las indagaciones y anlisis de propuestas de enseanza en los libros de textos, se presenta una actividad introductoria que destaca el motivo del surgimiento de la relacin entre los lados de un tringulo rectngulo, dando sentido a su estudio como contenido matemtico. La actividad se encuentra enmarcada en la Teora de las Situaciones Didcticas de Guy Brousseau, la cual propone un modelo de enseanza, que consiste en un proceso centrado en la produccin de conocimiento matemtico en el mbito escolar. La misma constituye una herramienta para conocer, explicar y ofrecer elementos para intervenir en la realidad de las clases de matemtica. Brousseau (1986) otorga en su teora un rol fundamental a la situacin didctica, situacin construida intencionalmente, y la define como:el conjunto de relaciones establecidas explcita o implcitamente entre un alumno o grupos de alumnos, un cierto medio y un sistema educativo con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vas de constitucin., es decir, es aquella que se elabora con el fin que el alumno aprenda un determinado saber. Dentro de la Teora de las Situaciones, existen distintos momentos, en el caso del docente el rol fundamental se centra en la Devolucin e Institucionalizacin. La devolucin, la define Brousseau (1988), como: el acto por el cual el maestro hace aceptar al alumno la responsabilidad de una situacin de aprendizaje o de un problema y acepta el mismo las consecuencias de esta transferencia. Este proceso se desarrolla durante toda la situacin adidctica, el docente debe orientar al alumno para establecer la relacin entre alumno - problema, sin la comunicacin del conocimiento en juego. De esta manera, se modeliza a la devolucin como un proceso realizado, dentro de una negociacin que forma parte del Contrato Didctico. La Institucionalizacin, que es la parte complementaria a la Devolucin, Brousseau (1988) lo define como la consideracin oficial del objeto de enseanza por parte del alumno, y del
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aprendizaje del alumno por parte del docente. El docente es el encargado de dar un estatus cultural a las producciones del alumno, es decir, definir las relaciones que pueden tener con el saber cultural o cientfico y con el proyecto didctico. ACTIVIDAD PROPUESTA
Materiales: Regla, lpiz, comps, semicrculo, cuerdas y hojas.
Objetivos de la actividad
Establecer la relacin que deben cumplir tres segmentos, para la construccin de tringulos.
Interpretar y comprender cules son las condiciones para que una terna de nmeros enteros positivos se corresponda con los lados de un tringulo rectngulo. (Recproco del Teorema de Pitgoras).
Valorar la importancia del Teorema de Pitgoras como herramienta til para resolver diferentes situaciones.
Primer momento
En el inicio de la clase el docente har un trabajo grupal, para llevarlos a la reflexin sobre cuestiones que debern quedar acordadas previamente al trabajo con las ternas. Se pretende evidenciar que conociendo tres segmentos cualesquiera no siempre es posible construir un tringulo, para ello los lados debern cumplir una condicin: la desigualdad triangular. Consigna 1
Si tuvieras tres palitos de cualquier medida, siempre es posible construir un tringulo?
Los alumnos podrn comprobar lo solicitado y dar respuesta a la pregunta, valindose de palitos, biromes, lpices, etc. Si llegaran a trabajar solo con objetos de las mismas medidas les ser en principio, evidente construir el tringulo. Podrn contestar que es posible. El docente ante la respuesta deber advertir que el pedido es con cualquier medida, es decir no necesariamente iguales por lo que preguntar:
Si ahora tuvieran palitos de diferentes longitudes tambin podremos asegurar que se formar un tringulo?
Para responder a la pregunta los estudiantes pueden ir observando en qu casos se formarn los tringulos y en qu caso no. Podrn decir: - depende de la medida, hay casos en donde no se cierra. - Con dos largos y uno corto se forma - Con tres iguales tambin O puede suceder que, como los elementos son de cualesquiera longitudes, los alumnos acomoden a su conveniencia y continen sosteniendo que siempre se forma un tringulo. Ante esta posibilidad el docente deja en suspenso esta respuesta para discutir despus de la segunda consigna y llegar a los acuerdos pertinentes.
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Consigna 2
Cecilia y Jos estn realizando la tarea y discutiendo la posibilidad de construir tringulos con las siguientes medidas de segmentos: a) 3 , 5 y 3 ; b) 5 , 12 , 13 c) 3 ; 1 y 1 ; d) 6 , 8 y 10 . Cecilia asegura que es posible en todos los casos y Jos dice que no. Quin tiene razn y por qu?
En el primer momento ha sido un trabajo limitado en la posibilidad de formar los tringulos independientes del valor de los segmentos, solo se poda decir ms largo, ms corto, distintos, iguales. En esta parte se comienza el trabajo con medidas de segmentos concretos y se pretende evidenciar que conociendo tres segmentos cualesquiera no siempre es posible construir un tringulo, para ello los lados debern cumplir una condicin: la desigualdad triangular. Adems se quiere destacar la representacin de los lados de un tringulo como ternas de longitudes de segmentos para un trabajo posterior. Luego de la puesta en comn se debern llegar a los siguientes acuerdos: - No cualesquiera tres segmentos forman un tringulo. - Tres segmentos forman un tringulo si se cumple que: cada uno de ellos es menor a la suma
de los otros dos y mayor que su diferencia - Cuando indiquemos por ejemplo (3, 6, 7), nos referiremos a las longitudes de los lados de un
tringulo. Esta notacin recibe el nombre de ternas y 3, 6 y 7 son las componentes de dicha terna.
Segundo momento
Se formarn grupos de 3 o 4 alumnos. En cada caso se les pedir que registren los procedimientos, como tambin las justificaciones en una hoja. Cada grupo expondr sus respuestas en una puesta en comn. Habr espacios de trabajo colectivo con la puesta en comn, donde las producciones sern acordadas conjuntamente. Luego el docente har un resumen de todo lo trabajado y pactado en la clase, para pasar a la formalidad del conocimiento a travs de la institucionalizacin. Consigna 3
Los tiradores de cuerdas en el antiguo Egipto eran los encargados de subdividir las tierras, luego de la crecida anual del ro Nilo. Utilizaban un procedimiento para trazar ngulos rectos. Se haban dado cuenta que, tomando una cuerda a la que hacan 12 nudos, todos a la misma distancia, la estiraban entre estacas colocadas en sus nudos de junturas y encontraban un ngulo recto (es decir consideraban como unidad de medida la distancia entre dos nudos, que corresponda a un segmento de recta, y los vrtices del tringulo estaban en uno de sus nudos). Traten de averiguar cmo se las arreglaban para construir ngulos rectos con estas cuerdas.
En esta consigna se le entregar a cada grupo las cuerdas con 12 nudos unidas en sus extremos. A partir de la misma con movimientos diferentes hallarn la forma de obtener un ngulo recto, en este caso existe una sola ubicacin de cada nudo para formar el ngulo requerido.
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De esta manera se pretende que los alumnos comprueben que para encontrar el ngulo recto, necesariamente sus lados se corresponden a un tringulo rectngulo, teniendo en cuenta la unidad utilizada de la distancia entre nudos: 3, 4 y 5. Al efectuar los movimientos correspondientes en la bsqueda del ngulo al ubicar los nudos, queda determinado un nico tringulo rectngulo, ya que pueden formarse tambin otros tringulos al desplazar la cuerda, es por ello que el docente luego trabajar esta cuestin. Luego de la puesta en comn se llegarn a los siguientes acuerdos: - con la cuerda de 12 nudos se puede construir un nico tringulo rectngulo, aunque se
ubique en distintas posiciones. - Se halla un ngulo recto cuando se forma con la cuerda un tringulo rectngulo de lados 3, 4
y 5. - La terna (3, 4, 5) corresponde a los lados de un tringulo rectngulo. Siendo 3 y 4 los catetos
y 5 la hipotenusa que pertenece al lado de mayor longitud. Consigna 4
Los indios y los chinos utilizaban un procedimiento similar a los egipcios para obtener ngulos rectos, encontraron otros valores 8, 15 y 17 y tambin 9, 12 y 15. Jos duda si es cierto que con esos valores se formaban ngulos rectos?. Lo ayudan a verificarlo.
En este caso la consigna apunta a destacar que existen otros valores adems del analizado anteriormente, que permiten formar tringulos rectngulos.
Luego de la puesta en comn se debern llegar a los siguientes acuerdos: - se puede verificar a travs de la construccin que los valores dados forman tringulos
rectngulos. - La terna (9, 12,15) corresponde a un tringulo rectngulo. - La terna (9,12,15) corresponde a los lados de un tringulo rectngulo, donde cada uno de
ellos, es el triple de los segmentos que forman el tringulo rectngulo (3,4,5) - A partir de ternas conocidas se puede obtener otras ternas multiplicando a cada elemento
de la misma por un nmero entero positivo. Trabajo colectivo Luego de la puesta en comn y de los acuerd
