ESTADiSTICA ESPAÑOLAnúm. 1 14, 1987, págs. 1 1 a S9

Descomposición de series temparaies:especificacián, estimación e inferencia

(^on una aplicacibn a la oferta monetaria en España^

porAGUSTIN MARAVALL

Servicio de Estudios Banco de España

A María Teresa, mi generosa

y fiel hermana.

N4TA PRELIMINAR

Quiero aclarar que, aunque el articulo se centra en una metodologia concreta, no

pretende ser una descripción completa de la misma. Los temas tratacios están, sin duda,

sesgados en Ia dirección en la que mi trabaja personal se ha ido orientando, como

evidencia claramente la lisia de Referencias.

Puesto que el trabajo se refiere a un periodo de mi actividad profesional, quiero

agradecer a A. Espasa, D. Peña, D. A. Pierce, J. A. Carro, M. C. Sanz y A. Paredes 1a

relación que, durante ese periodo mantuvieron conrnigo. Por motivos diversos, sin esas

relaciones el trabajo me habría resultado mucho más arduo.

Un resumen en inglés de partes de este trabaj© va a ser publicado en Maravall

(1987a). Finalmente, algunos de los cuadros de las Secciones 4.2 y 5 modifican ligera-

mente los presentados en Maravall y Salaverria { 1986).

ESTADISTIC'A ESPAÑOLA

RESUMEN

La descomposición de series temporales en componentes no-observables, y en particu-

lar la desestacionalización, se ha enfocado en estos últimos años como un caso de

extracción óptima de señales en modelos ARIMA. Este trabajo presenta un método que

se está convirtiendo en una herramienta útil en el análisis aplicado de series temporales.

Se discute primero el problema de la especificación de modeios para los componentes,

compatibles con el modelo para la serie observada. Se derivan los estimadores óptimos

y se estudian sus propiedades; éstas conducen de forma natural a un diagnóstico de los

resultados. Finalmente se analizan los errores de estimación (final y de revisión).

La discusión se ilustra con la serie ALP, variable crucial en el control monetario. E1análisis permite contestar preguntas de interés práctico, tales como, por ejemplo, cualdebe ser la frecuencia con que se desestacionaliza, hasta cuando se debe seguir revisando

la serie desestacionalizada, o cual es la imprecisión asociada a la estimación de la serie

desestacionalizada y, en consecuencia, a sus diversas tasas de crecimiento. A lo largo de

la aplicación, se compara la tendencia con la serie desestacionalizada como indicadores

de la evoi ución subyacente de la serie.

Dicho brevemente, en el trabajo se presenta un método relativamente eficiente de

resolver un problema estadístico relevante (la descomposición de una serie). E1 método

se presta fácilmente a una interpretación rigurosa de los datos y permite, en definitiva,

una fundamentación más sólida de la toma de decisiones en política económica.

DESCOMPOSIC'ION pE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC ACION. ESTIM.AC'lON E INFERENCIA

INDICE

INTRODUCCION

l. ESPECIFICACION DEL MODELO

i . I . Esquema General

1.2. Los Modelos para los Componentes

2. UN MODELO DE REFERENCIA Y UN EJEMPLO

. ESTIMACION

3.1. Estimadores con Error Cuadrático Medio Mínimo

3.2. Los Modelos para los Estimadores

4. DIAGNOSTICO E INFERENCIA

4.1. Diagnóstico

4.2. Inferencias

a) Error en la Estimación Fínal

b) Error de Revisión

13

5. UN COMENTARIO FINAL: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TASAS DE

CRECIMIENTO

APENDICE A: ESTIMADOR CON ERROR C'UADRATICO MEDIO MINIMO DEr

UNA SENAL EN UNA SERIE TEMPORAL

A.1. Introducción

A.2. Caso Estacionario

A.3. Caso No-estacionario

A.4. i.1n Ejemplo

APENDICE B: LINEARIZACION DE LAS TASAS INTERMENSUALES DE

CRECIMIENTO

REFERENCIAS

14

INTROD►UCCION

ESTADISTICA ESPAÑOI_A

Los estadísticos que trabajan sobre series económicas se enfrentan con frecuencia a

dos actividades profesionales importantes, que resultan de una demanda real por parte

de las agentes de la politica econtímica y, en general, de los que siguen de cerca la

evolución de Ia econornía. Estas actividades son la predicción, sobre todo a corto plazo,

y la estimación de componentes en las series, fundamentalmente la eliminación del

componente estacional.

Así como la predicción ha sido objeto de considerable atención por parte de la

"comunidad investigadara", la estimación de componentes, principalmente la desesta-

cionalización, ha sido un tema rnarginal (aunque, por supuesto, existen contribuciones

importantes). Ello ha implicado que, en la práctica, la desestacionalización se realice de

manera abrumadora por rnedio de programas más o menos "ad hoc", desarrollados de

un modo empiricista, cuyo fundamento no queda muy precisado. De estos programas el

más conocido es el llamado X 1 1, desarrollado por Shiskin, Young y Musgrave (1967)

en el Bureau of the Census después de un largo proceso de experimentación. Reciente-

mente se ha popularizado una versión modificada del programa, X 1 1 ARIMA, desarro-

Ilada por E. ^. Dagum en Statistics Canada (ver Dagum, 1980).

A pesar del esfuerzo que hay detrás del desarrollo de estas programas, la falta de

interés de la comunidad investigadora y, posiblemente, la poca orientación académica

de sus realizadores, ha motivado que la documentación de dicho esfuerzo no resulte

fácilmente asequible. Así, X l 1 (e incluso X 1 1 ARIMA) se emplea, en una enorme

pr^porción de casos, en su opción de defecto; X 1 1 suele operar entonces como una caja

negra, un tanto m isti fícante.

El tratamiento analítico deI tema de la desestacionalización se enfrenta a problemas

serios desde su mismo comienzo. Para empezar, no existe una definición generalmente

aceptada de lo que es un componente estacional. (Un problema similar se plantea en la

estimación de tendencias}. Para acabar, a diferencia de lo que sucede en la predicción,

donde la serie finalmente se canoce, la estacionalidad nunca se observa y no es posible,

pues, conocer los errores con que se mide. Como consecuencia, estacionalidad viene a

ser, en la práctica, lo que estima como tal X 1 1 en su opción de defecto.

Sin embargo, X 1 1 presenta varias insufciencias. En primer lugar, en la medida en la

que distintas series contienen estacionalidades distintas, que evolucionan de forma

también distinta, el f ltro a utilizar para capturar la estacionalidad debería depender de

la estructura de la rnisma. (En Ios dos casos extremos, par ejemplo, si la serie es ruido

blanco, el filtro debería ser cero, mientras que si se trata de una serie "puramente

estacional", el filtro debería ser uno}. X l 1 ofrece poca flexibilidad para adaptarse a

estructuras distintas y, de hecho, hay evidencia de series en las que resulta inadecuado

DESt't)MPOSIC'ION DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC'AClQN, ESTIMAC'ION E INFERENC'IA 15

(dentro de las series que se desestacionalizan en el Servicio de Estudios del Banco de

España ver, por ejemplo, Maravall (1986a), Artola y Espasa (1987} y Maravall (19$7b)

). Tiene, pues, interés buscar un métoda que permita ajustarse a ta estructurá de la serie

en cuestión.

En segundo lugar, la ausencia de un modelo detrás de X 1 1 dificulta el análisis

sistemático de los resultados y la realización de inferencias. La fundamentación de un

método de desestacionalización en modelos permitiría realizar diagnásticos sobre si los

resultados obtenidos son aceptables o no y, en caso afirmativo, conocer las propiedades

de los estimadores y de los errores de estimación. Este última punto presenta un interés

práctico grande y con frecuencia se ha recomendado que los organisrnos que proporcio-

nan datos desestacionalizados ofrezcan también intervalos de confianza alrededor de los

mismos que reflejen la imprecisión con que se estima la estacionalidad. Si, por poner un

ejemplo, el objetivo para el crecimiento de una variable dentro de un año es del l0% y,

en un mes dado, la medición del crecirniento (anualizado) de la serie desestacionalizada

es del 12%, tiene interés saber si la desviación entre objetivo y crecimiento puede ser

explicada simplemente por los errores cometidos en la estimacián de la estacionalidad o

si, por el contrario, la serie está creciendo más de lo deseado.

Volviendo a la predicción, gracias a Ios trabajos de Box y Jenkins, la década de los

setenta presenció la proliferación de modelas ARIMA ("Autoregressive Integrated

Moving Average"), que capturan bien la evolución de muchas series. Puesto que esta

evolución se relaciona con la presencia de movimientos tendenciales, ciclicos, estaciona-

les e irregulares, pronto se planteó la posibiiidad de utilizar modelas ARIMA en el

contexto de la estimación de componentes en series. Desde el trabajo inicial de Grether

y Nerlove (1970) sobre series estacionarias, varias aproximaciones han sido sugeridas.

Yo voy a centrarrne en una que se está convirtiendo, en mi opinión, en una herramien-

ta poderosa en el tratamiento aplicado de series temporales. (Las referencias funda-

mentales son Cleveland y Tiao (1976), Box, Hillmer y Tiao (1978), Burman (1980) y

Hillmer y Tiao (1982); referencias más recientes son Bell y Hillmer (1984) y Maravall y

Pierce (1987) ). En el contexto de una aplicación relacionada con el control monetario,

presentaré una visión general del método, y trataré el problema de la especificación del

modelo, de la estimación de las componentes, del diagnóstico de los resultados y de la

realización de inferencias.

l. ESPECIFICACION DEL MODELO

l.l. ^sqt^c^ma Genc^ral

Sea ^, una serie observable y supangamos que es la suma de varios componentes

independientes (no-observables), una de ellos ruido blanco. Es decir,

1 f^ ESTADISTiCA ESPAÑOLA

^r = ^, ^,r + 1^r , (1 . 1)

donde :;r representa un componente y ur- niid (O,o;,). ^asos particulares de (1.1) son la

deseomposición en tendencia, estacionalidad e irregular, o la descomposición en señal

más ruido. Supondremos que los componentes siguen procesos lineales del tipo

^;r = ^;( B) a;r (1.2 )

donde `^;(B} representa una funcián racional en el operador de retardos B, que puede

expresarse como

^;(B) = p;(B) / ^; (B) , (1.3)

donde fI;{B) y^;(B) son polinomios en B de orden finito. Los a;r's son ruidos blancos

independientes, con varianza c.r. Las ecuaciones (1. l.), (1.2.) and (1.3.) implican que la

serie observada z, también sigue un proceso lineal, que representaremos por

^ = `^(B) af , (1.4)r

donde a, es ruido btanco y^{B} puede expresarse como el eociente de dos polinomios

finitos en B,

^(B) = H(B) ! c^ ► (B) . (1.5)

En resumen, suponemos que los componentes (y por tanto la serie suma) siguen

modelos ARIMA. Supuestos adicionales son los siguientes:

a) Los polinornios autorregresivos +^;(B) no comparten raices en común.

h) Los ceros de ^(B), ^;(B) y ^;(B) están fuera de o sobre el círculo unitario.

Típicamente, estos polinomios contendrán raíces unitarias y, de hecho, la posibilidad de

incorporar raíces unitarias autorregresivas ha sido un factor fundamental en el interés

de la metodología desde un punto de vista aplicado.

c^) Los ceros de H(B) están fuera del círculo unitario; la serie zt sigue, pues, un proceso

invertible.

Teniendo en cuenta (1.1)-(1.3), z, puede expresarse como

^r = ^; [H^(B)1^;(B)^ a;r + u, .

Eliminando los denominadores y utilizando (1.4) y(1.5), se obtienen las dos relaciones

siguientes:

^(B) = ná ^; (B) , (1.6)

8(B) a, _ ^; 8^(B) ^; ( B} a;, + cñ(B)u, , (1.7)

[)ESC`OMPOSI('!ON t7E SERiES TEMPORALES: ESPEC'IFIC'AC"ION, ESTIMAC'It^N E^ {NE=ERE^.N(^IA I7

donde

cp► ;'(B) _ ^(B) 1 ^►^(B} = n;,;^^ ^,(B) (1.8)

La expresión (1.6) nos dice que el polinomio autorregresivo para ^, es el producto de

los polinomios autorregresivos de los componentes. La expresión (1.7) establece una

identidad que deberá cumplirse para las innovaciones de la serie ^, y de sus compo-

nentes.

.2. Lc^.^ 1%Iv^elns ^ara lo.^ C'^^nzpvnc^nt^s

Hernos supuesto que los componentes siguen modelos ARIMA. ^Cómo podemos

determinar estos modelos?

Una forma de hacerlo es especificar a priori modelos que recojan las propiedades que

se asocian a una tendencia, un componente estacional, etc. Esta es la llamada aproxi-

mación "estructural" y ejemplos de la misma se encuentran en Engle (1978), Harvey y

Todd (1983), Hausman y Watson (1985) y Harvey y Durbin (1986).

Puesto que solamente se dispone de observaciones sobre ^,, un método alternativo es

comenzar por identificar (especificar} eí modelo AR1MA para ^,, y derivar después

modelos para los componentes que sean consistentes con el modelo agregado. Puesto

que, en este caso, la estructura se deriva a partir de la forrna redueida, este método se

ha denominado el de la "forma reducida" y en este trabajo nos ceñiremos a él. (Para

ver algunas de ías diférencias y similitudes entre los dos métodos ver Maravall, 1985 y

1986c).

Nos interesa, pues, analizar qué rnodelos para los componentes pueden derivarse de

modelos AR1MA. Este es un punto sobre el que existe cierta confusión y resultará útil

considerar primero un ejemplo sencillo.

Sea una serie trímestraf que sigue el modelo

o,^ ^, _ ^,, (1.9 )

donde o^= 1- B`^. E 1 pseudoespectro de ^^, dado por

1^^_ ( ^^') _ , . ^^, (0 < >^ ^ ^ n^),

2{ 1-c c^s 4 ►1)(1.10)

aparece representado en la Figura 1(en las referencias posteriores eliminaremos el

prefijo "pseudo"). Es simétrico alrededor de ^t-n/2 y presenta tres picos, asociados con

as frecuencias ►ti*=0, n-n12 y ti1^=n. Supongamos que queremos descomponer la serie en

1$ ESTADISTICA ESPAÑOLA

componentes ortogonales de forma que cada uno capture uno de los picos. Queremos

pues expresar .^t como:

:t=^^t+z^t-f-Z^^+ ltt ^

donde u, es un residua ruido blanco.

Las raices del polinamio autorregresivo (AR) (1-B') son

V 4 = (1- B) (1 +B) { 1 +B^) .

ESPECTRO DE V4 r.^ ^ a^

2

0

(1.12)

Fi,^►. 1

y puesto que, en general, un factor AR del tipo (1-^ ^) induce el factor (1 +^' -2^ cos

,j ^t^) en el denominador del espectro, es fácil comprobar que el pico espectral para ►^=0

esta inducido por ei factor AR (1-8) en { 1.12) y, análogamente, los picos para K^=^ y

^1=nI2 están inducidos por los factores AR (1 +B) y(1 +B^), respectivamente. Por lo

tanto, de (1 .9}, (1 .1 1) y( i.12), para que Ios componentes capturen los picos espectrales,

deberán ser del tipo:

(1-B) z^t = ^r(B) art(1 +B) z^,t = az($) azt( 1 ♦ B?) '3t - a3{B) Q^t

(1.13)

donde ^;(8) representa un polinomio en B, y a1^, a2t y a^t son ruidos blancos mutuamen-

te independientes y tarnbién independientes de u^.

Considerando (1 .1 1} y(1 .13), zt puede expresarse como

cz, ( B) cx, ( B) a3 ( B)"t

1-B ^^' + I+B ^`' + 1+B`' ai` + u''

DESC'OMPOSIC`If)N DE SERIES TEMPORALES_ ESPECIFIC'AC.`ION, ESTI^vtAC'lON E I^F E^I^Etit lA 1 9

y, eliminando los denominadores, esta expresión será compatible con (1.9) cuando se

satisfaga la siguiente identidad (análoga a(1.7) ):

a^ =(1+B) (1+B`} a,(B} a,t+(1-B) (1+8`) a^,(B) a,, +

+{ 1- B) { 1+B) a j( B) a j^ + o,, ur . (1.14 )

Puesto que el lado izquierdo de (1.14) es ruido blanco, la autocorrelación de orden

cuatro del término 04 u^ debe cancelarse con la de los otros sumandos del lado derecho

de la ecuación. En consecuencia, al(B) y/o a,(B) deben ser, por lo menos, de orden uno,

ylo a^(B) debe ser, por lo menos, de orden dos. Es razonable suponer, pues, que

a^(B) = 1-a^ f B

a^(B) = 1 -a,! B (1.15)a^(B) = 1-cx^ j B-a;, B`'.

Considerando (1.13) y(1.15), se observa que los modelos para los cuatro componen-

tes dependen de ocho parámetros: los cuatro parámetros a y las cuatro varianzas (o; de

a;,, i=1 ,2,3, y oi,). Estos parámetros deben satisfacer las restricciones que resultan de

igualar las autocovarianzas del lado derecho y del lado izquierdo de (1.14). La varianza

y las cuatro primeras autocovarianzas producen el sistema de ecuaciones:

_ ^ 1+3 (1-a11)' + a Ĵ̂ ^ J a^ + [ 1+3 {l+a,^)' + a',^ ^ c^^ +

+ 2(1 +a'^, + cz^fi, + a^ ^) rr_`'^ + 2 crr,

0 = 3(1-a^l)^ ^r - 3(1 +a, f)' _ a^f(1 _cx;,)' _i

0= 2(1 -a^ j)^ a^ + 2( l+a,l)'' ^, -[(l+a^,)`' + a^^

0=(1-ar^)`'c^-(l+a^^)^a^^+a_^,(1-a_^^)^;

0=-a^i cr^+a^^ o-^^+a_^^o'^-cr^,,

y para otros retardos las autocovarianzas de ambos lados de { 1.14} son cer©.

Se obtiene así un sistenia de cinco ecuaciones con ocho incógnitas que tendrá en

consecuencia infinitas soluciones. Habrá por tanto un número inf nito de valores de los

parámetros en las modelos para los componentes que producirán la misma función de

autocovarianzas para la serie ^^. Se plantea pues un problema de identif^cación similar

al que surge en los modelos econométricos clásicos. El modelo para la serie observada

es la forma reducida, mientras que los modelos para los componentes representan la

forma estructural. Para una forma reducida dada hay un número infinito de estructuras

que la pueden generar. Para poder aislar una es preciso introducir información adicio-nal. La manera en que esta información se ha incarporado tradicionalmente en econo-

metría ha sido fijando a priori algunos parámetros igual a cero en la forma estructural

ESTAD► ISTICA ESPA?^OLA

(ver Fisher, 196b). Esto reflejaría información derivada de la teoria económica, como,

por ejemplo, que alguna variable afecta a la demanda pero no a la oferta, y viceversa.

Sin embargo, en nuestro caso de descomposición de una serie no existe en general

información a priori de este tipo (aunque, en ocasiones, si puede existir; ver Maravall,

1978). Seguiremos un camino alternativo, originalmente propuesto par Box, Hillmer y

Tiao (1978} y Pierce (1978}, La información adicianal será el requisito siguiente:

Sea ^;, cualquier componente (distinto de ur). Entonces ^;l no debe aceptar unadescomposición del tipo.

^„-^,*,+n,,

donde ^^, y n, son independientes, siendo este último ruido blanco. {Si ^„ aceptase esa

descomposición, el componente deberia ser :*,, y n, deberia ser añadida a ir,}. Siguiendoa Hillmer y Tiao (1982}, nos referiremos a este requisito como el requisito "canónico".

(Es atractivo, sin duda, intuitivamente pretender obtener una señal lo más limpia de

ruido posible, a falta de otra información adicional. Sin embargo, la descomposición

canónica puede tener sus desventajas, como por ejemplo, aurnentar el tamaño de las

revisiones en las estimaciones de los componentes, revisiones que analizaremos en laSección 4.2; ver Maravall, 19$4a).

Sea ^^^(ti1^) el espectro de ^,1 para ^< K^ < ^r. El requisito canónico implica que, paraalgún ^1^ en ese rango, ^,rf(l^t^) debe ser cero. De ( l.13} y ( 1.15) es fácil ver que ^,̂► ,(^t^) esmonotonicamente decreciente en ►^^, de modo que ^ f, no estará contaminado por ruidocuando ^,J,(n) = 0. Puesto que esta condición implica la presencia del factor ( l+c^vs^ ^^^) enel numerador de ,^^!(^ti), equivale {en el dominio temporal) a la presencia de! factor (1+B)en a,(8). E1 modelo para ^ ,T viene dado pues por

(1- ^3)^ ^, _ (1 +B)a^, . (1.1 ba)

Análogamente, de ( i.13) y ( I. 15), se observa que K,(^1^) es monotónicamente crecienteen el rango 0< K^ < n. E1 requisito canónico implica, por tanto, K,(0) = 0, es decir, lapresencia del factor ( i-cos K^) en el numerador de K^(x^). En consecuencia, a^,=1 y elmodelo para ^ ^, vendrá dado por

( I +B).^ ^, _ { 1 - 8}a,t . (1.1 bb)

En cuanto al tercer componente, ^_;,, por razones de simetría, el cero en el espectro se

producirá para x-0 y ►^}_^. Los dos factores (1-B) y(1 +B) estarán presentes en cz^(B), y

el modelo para ^^, será

{ 1 +B` )^ .3^ _ (1- B')u_;, •^ (1.16c}

C onsiderando { 1.16} se observa que el requisito canónico ha identif^cado los pará-

metros a de los modelc^s para los componentes. Esto permite identificar la estructura

DESCOMPOSIC'I(JN DE SER{ES TEMPORALES: ESPEC[FiCAC'lOti, ESTiMAC'IC)N E INFERFNC'1,4 2^

completa puesto que, sustituyendo los parámetros x por sus valores numéricos en el

sistema de ecuaciones de autocovarianza, se obtiene una solución única para las cuatro

varianzas dada por

r^;'-az=rrá/64, aĴ =aá/ lb, c^=3aú/32. (1.17)

Las expresiones { 1.16) y{ 1.1 ?} especifican completamente los modelos para los

componentes. La Figura 2 presenta los espectros de los camponentes. El primero, 4^^,

obviamente representa una tendencia, y el ruido blanco u^ representa un componenteirregular. Los otros dos componentes, ^,r y ^^^, contienen la variación de la serie paralas frecuencias K=n y r^^-n12, que representan las frecuencias estacionales de dos veces yuna vez al año, respectivamente.

GOMP'ONENTES DE D4 zt ; ^t

2 2

PIJ4 PIi2

ut

^..^r- f ^•^PI/4 PI/2 3Pf/4

sPI

3P114 PI

o ^ ^ ---^---^

Fi^. ^

0 PI/4 PI/2 3P114 PI

E1 análisis que hemos presentado proporeiona componentes elementales, cada uno de

ellos (salvo el irregular) asociado a un pico diferente en el espectro de la serie ^,. En una

ESTADISTICA ESPAÑOLA

segunda etapa, estos componentes pueden agregarse. En nuestro ejemplo, el componente

estacional t©tal, sr, seria igual a

Sr ^ ^ ^ r + z3r

y, sustituyendo z2r y^.^r por sus modelos, se obtiene

{ 1 +B) (1 +B')s, _ ( 1 +B` ) (1- B)a^ ^ + (1 +B) (1- B^)Q3r (1.18 }

El lado derecho de (1.18) es un MA(3) que representaremos por j3(B)c, y que satisface

,/3( I}=4. Es decir j.^(B) contiene el factar (1-B) y el componente estacional s, seguirá elmodel©

(1 B+B`'+B^)sr = (1- B) (1-,^3, B-^3^B`')cr (1.19)

con c, ruido blanco. Igualando las autocovarianzas del lado derecho de (1.18) y(1.19) y

utilizando ( 1.17), se obtiene j^i,=-.819, ^3,=-.344 y c^r'.=.^27 cx^. Eí espectro de s, aparece

representado en la Figura 3. E1 modelo que se abtiene para s, es, en este cas©, el mismo

que resultaria si se desestacionalizase la serie por el método de Burman (1980} o el de

Hillmer y Tiao { 1982). Alternativamente, el modelo para la serie desestacionalizada, .^u,

puede obtenerse sumando z^, y u,, Io que proporciona la ecuación.

^7 z; _ (1 +B)a^, + (1-B)u, .

COMPONENTE ESTACIONAL TOTAL

^i^. 3

DESCOMPOSICION DE SERIES TElviPORALES: ESQECiF1CAC'ION, FSTINIAC'ION E iNFFRENí'lA 23

Igualando las autocovarianzas del lado derecho con las de un MA(1), la serie desestacio-

nalizada sigue el proceso

( 1-B)^a ^ { I -.42B)d^, (1.20}

con d, ruido blanco y d^^.186 eá.

La discusión anterior ilustra cárno es posible, a partir de una forma reducida (el

modelo ( 1.9) ), que puede obtenerse a partir de las observaciones, derivar la estructura

subyacente. Si, en (1.9), ^74 se sustituye por ( i-^B^), con 0 c^^ l, y a, se sustituye

por una media móvil invertible H9{B) a,, con q^ 4, la discusián permanece básicamente

inalterada. La tendencia, el componente estacional y el irregular seguirian los rnodelos:

(1-^ B) ^ ,, _ (1 +B) a i,

(1 +`P B+`^Y? B` +^Y; B^) s1 =^3^( B) c,

^ ^y u, ruido blanco, con ^=^^'^^, donde los parámetros ^ y las varianzas ^, a<

serían función de los parámetros ^ y f^.

,y ^,

Hemos utilizado un ejemplo con series trimestrales, pero el análisis se extiende

fácilmente a datos con otras frecuencias de observación. Esto nos lleva a un comentario

de interés: modelos del tipo

(1-^ BT)-s', = f^(B) a, (1•?1)

donde r es el número de observaciones por año, se han utilizado con frecuencia para

caracterizar el camponente estacional. Ejemplos pueden encontrarse en Nerlove,

Grether y Carvalho (1979), Pierce (1978), Pagan (1975), Engle (1978), Cleveland y Tiao

{ 197b), Granger (1978), Harvey (1981 }, Ansley (1983), Gourieroux y Monfort { 1983), y

Pierce, Cleveland y G rupe ( l 984), entre otros. Aunque en trabajos posteriores algunos

de estos autores han rectificado la especificación del componente estacional, modelos

del tipo (1.21) todavía siguen siendo utilizados con frecuencia y dos ejemplos recientes

importantes son Hausman y Watson (1985) y Hylleberg (198f^).

Puesto que no existe una def nición generdlmente aceptada de lo que es un compo-

nente estacional, la especificación de un modelo para dicho componente es, hasta cierto

punto, arbitraria. Con todo, en la descomposición de ^, de acuerdo con (1.1 1), los

componentes :^, y ^^, están claramente asociados con variación estacional, pero es dit^cil

aceptar que ^,, + i^, -o, equivalentemente, ( I.20)- sea considerado también parte del

componente estacional.

Hausman y Watson (1985} afirman que, para las series que consideran, criterios de

verosimilitud les llevaron a escoger componentes con polinomio autorregresivo del tipo

{ 1- c^BT) en lugar de (1 +B+...+BT"! ). C`riterios de estimación, sin embargo, no pueden

utilizarse para decidir entre un componente del tipo (1.9) o(1.19). Si, por ejemplo, se

EST A [?IST IC'.A ESPA ÑoLA_. _. _ __ _

estima el rnodelo (1.9}, siempre es posible descomponerlo de acuerdo con (1.19) y

( 1.20), y las dos representaciones son observacionalmente equivalentes. Como conse-

cuencia, la función de verosimilitud no puede ayudar a decidir cuál de las dos represen-

taciones es más adecuada. La decisión depende de la definición implícita o expiícita del

cornponente estacional, y es difícil aceptar una definicicín que incluye como parte del

cornponente estacional un pico en el espectro para r^=0, igual que sería difícil aceptar

carno parte de la tendencia un pico en el espectro para una frecuencia estacional.

En última instancia, aunque un modelo del tipo ( l.21) sea inadecuado para caracteri-

zar un componente estacional, Io que tiene importancia es conocer ei efecto de esa

especificación incorrecta. Como primer ejemplo, el modelo

(1 - . $ B^)s, - a,

muy cercano a los utilizados por Hylleberg (198b} para caracterizar el companente

estacional de varias series, puede descomponerse siguiendo un razonamiento similar

al de las páginas anteriores en un componente puramente estacional y uno no-

estacional dada por la suma de una tendencia, de ecuación

{1 -.95B)^,=( +B)h,

con cr;, _.037cr^^,, y un componente irregular ir, ruido blanco con varianza cr;, _ .1 1 bor;,. Es

fácil ver en este caso que más de la mitad de la varianza de .^, está explicado por su

cornponente no estacional. En concreto, la desviación típica de este último es igual al

72.6c'lo de la desviación tipica de s,.

Como segundo ejernplo, el modelo mensual

{ 1 - .SB''}s, _ ( 1 - .bB)^r, ,

muy cercano a los que utilizan Hausman y Watson (1985} para el componente estacio-

nal, se descompone también en estacionalidad, tendencia y ruido blanco, donde la

tendencia viene dada por

{ 1 - .948)^, = (1 +B}h,

con r.r =.00095fi, y el ruido blanco tiene varianza r^, _.0325r,r,. Aunque en este caso la

mayor parte de la variación de s, es estacional, la desviación típica de su componente

no-estacionai es iguai a 19.2% de la desviación típica de s',. Se trata, pues, de un

porcentaje pequeño pero no despreciable.

Hemos visto como es posible proceder para descomponer un modelo ARIMA en

cornponentes no-observables. Heurísticamente, componentes tales como una tendencia o

un camponente estacional implican una media que evoluciona en el tiempo, y presen-

tan por tanto un comportamiento no-estacionario asociado con una determinada fre-

cuencia (y, posiblemente, sus armónicos}. Esta no-estacionariedad se captura por medio

DESC'UMPC7SIC"ION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC'IFfC'A(.^lOti, ESTIMAC^IC)h+ E: IN1-^F:RENC^IA 2S

de raices unitarias autorregresivas en el modelo ARIMA "ohservado", que determina-

rán los polinomios autorregresivos de los componentes. La parte de medias mávi les en

los modelos para los componentes reflejará, por un lado, los ceros en el espectro

asociado con el requisito de que los componentes no estén contaminados por ruido, y

por otro lado, la condición de compatibilidad ( 1.7), que asegura que el modelo agregadoes la suma de los modelos para los componentes.

El esquerna puede aplicarse a companentes asociados con frecuencias que no son cero

ni estacionales. Por ejemplo, si una serie presentase un ciclo no-estacionario de períoda

T(mayor que un año), uno de los componentes de la serie seguiría el modelo

(1-^ B+B`') ';, _ ( 1 +B) { 1-^B) u;, , (1.22 )

donde ^=2c^^scc^ y cv=2n/T. Este modelo depende de dos parámetros, j^ y cr,'. La Figura4 presenta el espectro de un componente cíclico del tipo (1.22), de período dQS años ymedio, en datos trimestrales, para ^3=^.5 y cr,'=1. Este ejemplo ilustra la relacián entre elmétodo llamado estructural y el de la forma reducida, y componentes parecidos a(1.22)han sido usuados por Harvey ( 1985) dentro de una aproximacián estructural. Quizás ladiferencia más importante entre ambas métodos radique en la utilización o no de la

informacián contenida en la serie observada para especificar el modelo.

^ ^ iN O N p

.^,r,^l. 4

26 ESTAC)1ST1CA ESPAÑOLA

Una vez obtenidas especifcaciones razonables para los cornponentes, es posible pasar

a la estimación de los rnismos, al diagnóstico de los resuitados y a la realización deinferencias de una rnanera natural. Analizaremos estas cuestiones en el contexto de otro

ejemplo con un interés aplicado mayor que el considerado en esta sección.

2. UN M4 ► DEL(3 DE REFERENCiA Y UN EJEMPLrJ

Aunque sea posible tratar descomposiciones más generales, en el resto del trabajo nos

centraremos en la descomposición usual en componente tendencial (pr), estacional (.s,), e

irregular (t^,), de acuerdo con

^t=pt+sl+ u^ , (2.1.)

donde los tres componentes son independientes. Con frecuencia los dos componentes p,

y u, no se consideran separadamente, de manera que la serie se descompone en

=1=^^+sr, (2.2)

donde ^u = pf + u, = z^ - s, es la serie desestacionalizada. Puesto que puede producir

movimientos erráticos a corto plazo que oscurecen la evolución subyacente de la serie,

la estirnación de la tendencia ha sido recomendada con frecuencia como sustituto 0

complemento de la desestacionalización {para aplicaciones dentro del Banco de España,

ver Espasa (1984} y Espasa et al (1987) ). Nos interesará, por tanto, anaiizar las

estimaciones separadas de p, y de ^i , con objeto de poder cornparar sus virtudes

relativas.

En la práctica, en instituciones tales como el Banco de España, un número muyelevado de series se descomponen de forma rutinaria de acuerdo con (2.1 } a (2.2 }, y

resulta imposible realizar un análisis previo de la estructura estocástica de cada serie. Es

necesario, por ello, disponer de un modelo de referencia, que se aplique "por defecto",

y que aproxime razonablemente bien muchas series. Además de esta razón práctica,

cuando se analizan muchas series, hay también razones teóricas para utilizar un modelo

común de referencia dejando quizás libres dos o tres parámetros ( ver Sims, 1985). Para

series rnensuales, un candidato obvio dentro de los modelos ARIMA es el llamado "de

las líneas aéreas" (ver Box y Jenkins, 1970), dado por

' (2.3)Fo, ^ z, _(1-f^l B) (1-d^, 13 `) a, ,

que se adapta bien a muchas series que se encuentran en la práctica, y que contienen

variación de tipo tendencial y estacianal. El modelo (2.3) incluye tres parámetros.

Puesto que f^=1 implica una tendencia determinística y H^,=1 implica una estacionalidad

deterministica, f^, y f^,^ están relacionados con la estabilidad de la tendencia y del

DESCOMPOSiC10N DE SERIES TEMPORALES: ESPEC'IFICAC[ON. ESTIMAC'lON E INFERENCIA Z7

componente estacional, respectivamente. El tercer parámetro, Qu, proporciona una me-

dida del error de predicción a un mes. Hillmer y Tiao ( 1982) muestran como el modelo

admite una descomposición del tipo (2.1) cuando -1 < f.^, < 1 y 0< f^1 ^< 1.

Centraremos la discusicín en un ejemplo concreto. Sea la serie ^ , el agregado maneta-

rio sobre el que se basa el control monetario en España: la serie de Activos Líquidos en

Manos del Público {ALP). La estimación de {2.3) para el log de la serie mensual, para eI

periodo 1978-1985 (T=156), daba los valores f^,=-.1915 ( ES=.080), f^,^=.6228 ( ES=.069),

y o;=.138x 10'¢ (el error estandard de la predieción un periodo por delante es aproxima-

damente igual a .37 por ciento del nivel de la serie). La función de autocorrelación

(FAC) de los residuos es razonablemente limpia y, por ejemplo, el estadístico Box-

Pierce-Ljung para las primeras 24 autocorrelaciones es igual a 20.b, muy inferior al

valor crítico ,^^,(.OS) = 33.9.

El espectro del modelo estimado para z1 aparece en la Figura 5, parte a}. Presenta

picos para las frecuencias cv^, asociada con la tendencia, y c.^=j^/b, j=1,..., ó, asociadas

con las frecuencias estacionales de 1 a 6 veces al año. Puesto que

^vv,, = v^ s ,

donde S= 1+B+...+Bl1, el pico para cv=0 está inducido por el factor o`, y los picos paracv=j^r/6, ,j=1,..., b, están inducidos por las raices unitarias de S. (Nótese que S puede

expresarse como

S = (1-y'3 B+B`') { 1-B+B`') (1 +B`') (1 +B+B') (1 +ti'3 B+B') (1 +B) ,

donde los seis factores de la derecha se corresponden con las frecuencias estaeionales

mencionadas).

Los modelos para la tendencia, componente estacional e irregular serán del tipo:

Q ^p, = a( B) h,

Ss,=^3(B)c',

y it, ruido blanco, donde a(B) y^3(B) san polinomios en B de orden fínito. La ecuación

(1.7), de consistencia entre componentes y agregados, se transforma ahora en

f^(B) a, = Sa(B) h, + V'^3(B)c^, + oo, ^ tr, , (2.4)

donde f^(B) - (1-f1, B) (1 -f^, ^ B^'). Puesto que el lado izquierdo de la ecuación es un

MA(13}, podemos fijar el orden de a(B) en 2, y el de ^3(B) en 1 1, de manera que cada

uno de los tres sumandos a la derecha de la ecuación sea un MA(13).^^

Igualando la varianza y las autocovarianzas de los dos lados de (2.4), se ohtiene un

sistema de 14 ecuaciones, que expresan la relación entre los parámetros del modelo

28

to

20

^.• r

ud lEME

w

^, i ,n^a ►In a►I^a

o) CO^OItlENTE EETA,CIONAL

.^1

..

d1 TEMDEMCIA

r) IIiREiiULAp

F i^a 5

,

-,

v L l,l /l . Jl / .rl/'2 ^►1/4 M

FiR. S

►

0 ^fJ2 ri

agregado y los de los modelos para los componentes. Puesto que el número de pará-

metros a determinar es l6 (a^, cz,, f3^,..., ^311, cr ĥ̂ , cr y a;,), habrá un número infinito de

estructuras del tipo

©`' pl = (1-cr^ B - a^ B')ó^

S S1 = l 1-^1 B- ... - Nll B1 !}^^t

i^,- ruido blanco

(2. Sa)

(2.Sb)

(2.Sc)

que son compatibles con la misma forma reducida (2.3). Una manera de obtener la

solución caná ►nica es la siguiente:

Haciendo ar-^3„=0, el sistema de 14 ecuaciones puec^e resolverse para las 14 incóg-nitas que quedan. Esto proporciona una primera descomposición. En el dominio de las

frecuencias, equivale a la descomposición que se obtiene en la primera fase del rnétododesarrollado por Burman (1980), que puede resumirse del modo siguiente. Sea _x=cr^srr^ y

representemos por U(x) 1 V(x) el espectro de ,z, en (2 . 3}, donde U(_^) y V(.^) se

corresponden con las partes MA y AR del modelo. Sea V(.^) = V^,(.^) V,.(_^r}, donde V^,(_ti)

EST.4DIST[t"A ESPAÑOLA

E^ECTRO DE LI1 ^ERIE Y DE ^03 G^DiNrONENTEB

[^E^'OMPOSfCiON [^E SER[ES TEMPORALES: ESPECIFIC`AC'1C)N, ESTIMAC°IUN E 1NFERENC`IA 29

se asocia con Q' y V,(_v) con S. Utilizando una descomposición en fracciones parciales,

resulta

U{x) 1 V(.^c) = Mr(.^) / V^,(-x) + IVis(x) / V,(x) + k, (2.6)

donde k=8, f^^, y M^(x) y M,.(_x) son polinomios en x de orden l y 10, respectivamente.

Sean h^{x) y h^ (x) los dos primeros términos del lado derecho de (2.6), y sea k^,=min

h^,(.x) y k,. = min h^ (x) para -1 ^ x^ 1. Entonces los espectros de los componentes

canónicos vienen dados por

h,,(x) -- h,;(-v) - k,,

h,(x) = h;'( ^) - k,.

h„(x) .- k + k^ + k,

A partir de estos espectros, las funciones generadoras de autocovariánza pueden

obtenerse y, factorizando estas funciones, resulta la expresi+ón ARII^31A de las modelospara los componentes.

Para la serie desestacionalizada, la identidad ^r-p,+u, implica

©`' ^u =(1-a, B-a, B') h, + o' u, , (2.7)

donde el lado derecho es un MA(2). Por lo tanto, ^;' es un modelo IMA(2,2), que

representaremos como

© ^ : ;' - ( I -^.^ B-^,^ B`') d, , (2.8)

donde í^,, ^, ^ y cr^ son funciones de a^, a^, arĥ y^,, que pueden obtenerse igualanda

varianzas y covarianzas del lado derecho de (2.7) y{2.8}.

Con objeto de analizar la descomposición del modelo {2.3) supondremos, sin pérdida

de generalidad, a^,=1. Todas las varianzas vendrán pues expresadas en unidades de ^,.

Para f^, _-.19 I 5, (I, ^_ . 6228, los modelos que resultan para los componentes son:

o`' ^, _ (1 +.039 B-.961 B') h, {2,9a)_ ( l +B) (1-.961 B) h, ,

o`' ^"̂ - (1-.779 B-.175 B') cl- f (2.9b)_(1+. l 82 B) ( 1-.961 B} c^,

S.^^, _(1 +2 . 019 B+2 . 4 8 7 B^+2 . 619 B-^+2 . 4 81 B 4+

+ 2.182 B5+1.800 Bh+1.365 8^+.972 B`y^ +

+ .568 8^+.310 B^^'-.032 B^f ) c^, . (2.9c)

y las varianzas de las innovaciones toman los valores

EST,IDISTI^'A ESPAÑOLA

cr^,-..234;cr=.053,

rr, _ .108 ; a'`^ _ .ó70 .

{2, l 0)

Así, por ejemplo, la varianz.a del componente irregular representa aproximadamente un

10°lo de la varianza del error de predicción a un período. En consecuencia, el carácter

aleatorio de ta tendencia y del componente estacional contribuye de forma importante a

la impredecibilidad de la serie.

Los espectros de los tres componentes, p,, .s, y ur aparecen representados en la Figura

5. Las FACs de ^7'p,, S.^, y i^, están en el C'uadro 1. Cansiderando (2.9a}, la raíz { 1+B) de

:z(B) induce un cero en el espectro de pf para cv=n. La segunda raíz, (1-.961 B) está muy

próxima a ( 1-B) y por tanto casi se cancela con uno de los ©'s del lado derecho. La

tendencia sigue, pues, un modelo del tipo

Q p, _ (1 +B) h, a,

donde ^ varía muy lentamente en el tiempo. Análogamente, la serie desestacionalizada,

teniendo en cuenta (2.9b), sigue un modelo del tipa

^ z°=(1+.182 B) d,+S' ,

cercano a un paseo aleatorio con una deriva ^S' que evoluciona suavemente. E1 modelo

para el componente estacional es una expresión relativamente compleja. E1 cero en el

espectro se alcanza para t.u=.9175n, entre las frecuencias de cinco y seis veces al año.

Aunque el modelo en su forma estructural depende de 16 parámetros, éstos son a su

vez función sfllamente de d^ y f^l,. En general, diferentes valares de f^, y f^,, apenas

afectan a los parámetros cx, y tienen un efecto límitado sobre los parámetros f3. La

Figura 6 cornpara la FAC de ©`'p, y de Ss, para el modelo que estamos discutiendo con

1as correspondientes al caso (drásticamente opuesto) f1,=.7, f^^ ^=.2. Cambias en los

valores de H, y H,, tienen, sin embargo, un fuerte efecto sobre las varianzas de las

innovaciones en los modelos para los eomponentes. Para f^ f=.7, ll,,=.2, por ejemplo, se

obtiene

ti=.007;a^ =.147;^,=.218

y comparando con (2.10), se observa que tendencias estables ( valores más altos de tl,)

praducen valores pequeños de ^, y componentes estacionales más estables ( valores de

f^, ^ más elevados) producen valores pequeños de c^ . En términos de los parámetros de la

forma estructural, los parámetros de la forma reducida afectan sobre todo a 1as varian-zas de las innavaciones, y cuanto más aleatorio sea un componente, mayor será lavarianza de su innovación. {Para una discusión del efecto de cambiar ei modelo en su

farma reducida, ver Maravall, 1983a).

DESC'OMPOSIC'lON DE SER[ES TEMPORALES: ESPEC'IFIC'AC'lON, ESTlMAC'ION E INFERENCIA ^ I

C'i.^ad rt^ 1

FAC de los componentes

Retar `7 z zada r 0 ^ ^r S sr ttr

1 -.39 .001 .95

2 -.1 1 -.499 .84

3 - - .704 - - .54

5 - - .39

6 - - .26

7 - -- .15

8 - - .089 - - .03

1 0 - - .011 1 -- - . 00

FAC OE ^OS COMPONENTES PARA DISTINTOS VALORESDE ^OS PARAMETROS

s) TENDENCIA ^ r b ► COMPONENTE ESTACIOñ1AL1

0 .

-,^_ - .1915; 8 ^ 2 = .6228

---- e, _ .^ ^ ^,z - .z

F 1 ^r. b

32

3. ESTí1V1A^`lON

ESTADISTICA ESPAÑOLA

3.1 ^stirrt^xc.^orE^s c^vn ^rrvr Cuadrtitic•c^ Mec^tU ^línimc^

Volviendo al esquema general de la subsección 1.1, cuando la información consiste en

una realización completa de z,, que representaremos por [z,], el estimador del compo-

nente z„ con error cuadrática media mínimo {ECMM) viene dado por

`P^(B) `P;(F}'„ = k, ^(B} ^(F) z, = v;(B^F) zr (3.l)

donde ^, =^rr; / cr-ú y F= B"!. Bajo nuestros supuestos, ^l , es también la media

condicional E(z;, ^[z,^). La derivación de (3.1) para el caso estacianario y su extensión a

series na estacionarias figuran en el Apéndice A.

Para modelos ARIMA, utilizandv (1.3), (1.5} y(1.8), el filtro v; resulta igual a

f^;(B) f^1(F) ^;`(B) ^*(F) .v;(B,F) = k;

^( B) . ^{ F)(3.2)

Se trata, pues, de un filtro simétrico y centrado, y la invertibilidad de z, garantiza la

convergencia del filtro. Esta convergencia permite truncar el filtro y aplicarlo a una

serie finita.

Supongamos que el filtro truncado contiene (2m+1) coeficientes, de forma que

..^ rr ^^ z,

+ ^^^T _ ^ v^ (z^ ^ + z^+^) (3.3)

Para obtener ^,, par rnedio de {3.3) se necesitan las observaciones z,_,,,,..., z,+,,,. Como

consecuencia, en el momento T, cuanda la serie disponible es zi,,,., z I-, la estimación de

z;, requiere para t< m, observaciones iniciales anteriores a z f, y para t> T-m, observa-

ciones posteriores a zT. Puesta que

E1^ z« = Er E(zir j Cz^l) = Er z^^ , (3.4)

se sigue que el estimador de z;, calculado en T puede computarse aplicando (3.3) a una

serie en la que las observaciones no disponibles se reemplazan por sus estimaciones E^^

z,. Considerese, por ejemplo, la estimación "contemporánea" de z,, (es decir, cuando la

serie disponible llega hasta z,}, sin duda el caso de mayor importancia práctica. Supo-

niendo t> m, de (3.3) y(3.4), el estimadar contemporáneo, ^;', puede computarse como

^i', = v^, z, + ^;"_^ v^(zr-^ + z,(1) ), (3.5)

donde ^,^j) = E, z,+;. Es decir, z;', se obtiene aplicando (3.3) a la serie extendida con las

predicciones caiculadas en t. En consecuencia, en una aplicación concreta, los finales de

DESC:OMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC[FIC'AC'ION, ESTIMAC'ION E INFERENC`IA 33

las series de estimadores de los componentes estarán contaminados por las errores de

predicción. Más adelante volveremos sobre esta cuestión; por el momento nos centrare-

mos en el fiítra completo, es decir en el estimador f nal (3.3).

Para el modelo de las líneas aéreas y los modelos (2.5) para los componentes,

escribamos para simplificar notación:

H = (1-8, B) ( 1-©, , B1^)

a= 1- a^ B- a, B`'

^ = 1-^i B-. . . -^i ^ B! r ,

^. = 1-^, ^ B-^, ^ B ^ ,

y, si una barra representa el mismo polinomio con B sustituido por F, la expresión (3.2}

se convierte en

aá S S

Vn(S^F) ! ^h ^^ ^

para la tendencia, y en

v, ( B, F) - k^.xat7'Fz^f^ f^

(3.6a}

(3.6b)

para el componente estacional. Para el ejemplo que estamos considerando, los dos

f^ltros aparecen en la Figura 7.

E1 componente irregular se estima como el residuo, una vez que la tendencia y el

componente estacional estimados se han eliminado de la serie. Es decir

ir, - ^, - ^^, - ŝ,.

La linealidad del operador E(. ^[^]) implica que rr, estimado como el residuo ha de ser el

mismo que el que resultaría de su estimación directa:

it, = h^, [`P(B) `P(F)^-^ 't • (3.6c)

En general, es irrelevante cuáles dos de los tres componentes se escogen para la

estimación directa, dejando el tercero como residuo.

Volviendo al caso de la oferta monetaria en España, los componentes fueron estima-

dos por medio de un programa desarrollado por Burman y se presentan en la Figura 8.

(Nótese que, una vez conocido el espectro del componente, las funciones de autoco-

varianza se derivan fácilmente y estas proporcionan directamente los tiltros ^^,. La

estimación de los componentes no requiere, por tanto, la derivación de sus modelosARIMA).

34

a4

8.3

0.2

ao

- o. ^

0.5

0.2

0. Í

0.^

0.5

►.-

_

0 12

a4

0.3

r

ESTADIST[CA ESPAI^OLA

FILTROS DE lOS ESTIMAL^ORES

al TENDENC^A

t3d

id024 48

bl COMPONENTE ESTACIONAL

- o. ^ i ^ ^

0 Í2 24 3d

Fig. 7

46 60 72

C}ESC'OMPOSIC'ION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC`1FICAC'IC)N, ES"TIM.AC'lo!^I E[NEERENC'IA ^S

COINFPONENTES ESTIMADOS

a) TASA DE CRECIMlENTO DE LA SERIE DESESTACIONAL.I2AOA b) TAtA OE CRECIMIENTO DE ^A TENDENCIA

20. Y

11.7

25

123

0. 5

- 11.3

c) COMPONENTE ESTACIONAL

12.3

0.5

- t1.3

7

d) COMPONENTE IRRECiU^AR

3.2 1 os .ti1vdE^lc^s pura lc^.s ^:stimaclc^rc^s

Comparando el modelo para un componente con la expresión para su estimador se

observa que, tal como indicaron Grether y Nerlove ( l 970), el modelo para el compo-

nente difiere del modelo teórico que sigue el estimador. Tiene interés ahondar en e^ ►ta

comparación.

Una manera fácil de derivar el modelo teárico para el estimador es la siguiente:

Haciendo ^, _`^(B) ut en (3.1), el estimador ^,, queda expresado en función de las

innovaciones [u,] de la serie observada. Simplificando, resulta

';r = `}^;( ^) y^^( F) ur ^ ( ^ . 7 )

donde `F;(B) = f^;(B) / c^;(B), es el filtra correspondiente al componente teórico en (1.?), y

^l;(F) ^; (F)^1,(F) _ ^, (^(F)

. (3.8a)

Sea

^;(B^F) i ^;(B) ^l,(F) (3.8b)

36 ESTADISTICA ESPAÑOLA

El filira ^, es convergente en F y divergente en B. Su denominador implica que el

componente y el estimador requieren la misma transformación estacionaria, y su nume-

rador implica que la estimación conserva la propiedad canónica del componente. El

espectro del estimador, sin embargo, presenta ceras adicíonales, que se correspondencon las raices unitarias de ^*(F} en el denaminador de ^;. En general, en términos de la

FAC y del perfil espectral, el estimador difiere del componente por la presencia de r^;(F)

en (3.7).

Para el caso del modelo de las lineas aéreas, las expresiones para el estimador de la

tendencia y del componente estacianal se convierten en:

donde

o^ ^^ = a(g) n^(F) u, ^ (3.9a)

S ŝt = %3(B) ^1,(F) ^^ ^ (3.9b)

a 5

^1^(B) ^h e^ ^z

rl,^(B) _ ^^^ ^ ,

Para el estimador del componente irregular,

donde

_ ^1^,(F) Qr ,

v v,^^^^(B)= ^^, o ,

(3. I Oa)

(3. I Ob)

(3.1 1)

(3.12)

y por tanto ú, = k^, `l^(F)-J a,, es decir t^r, sigue el proceso "inverso" del de .^r. E1

estimador i;, es una función lineal de innovaciones futuras c^, ♦;, .j> 0; por ello, aunque

presenta autocorrelación, esta no puede utilizarse para predecir t^,. El estimador c^, sigue

un proceso estacionarío, con varianza finita que siempre será menor que la varianza

teórica de u,. ( Una discusión más completa de las propiedades de ir, f gura en Maravall,

19$7b).

Utilizando (3.9)-(3.12) se pueden calcular FACs y espectros de los estimadores. Para

el ejemplo que estamos considerando, aparecen representados en las Figuras 9 y 10,

donde se comparan con las de los cornponentes teóricos. En lo que se re^ere a la serie

desestacionalizada, la estimación no afecta a las autocorrelaciones de orden bajo, pero

induce correlación negativa para el retardo 12. En el caso de la tendencia afecta a p, y

también induce un valor negativo de p, ^. Para el componente irreguiar, las dos FACs

difieren mucho, y la estimación induce valores negativos para ^^, y p, ^. (El valor

negativo de p^, es --.19, el mismo en los tres casos).

DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC[FICAC[ON, ESTIMACION E INFERENCIA

1

^ l̂

T1113

- 1 ^-- - 1 ^-

FAC DE Ll'^ COMPt'^NENTES Y DE ^ EáTIMADOREá

^1 fER1E DEiEfTAC10NALIZAOA

.^. 4 r

b) TENOENCIA

1 r 1

0 0

112

a) COIY^ONENTE EfTACfONAI.

1

1 1

i i i ^^ ^ i ^^ ^ ^ ^

^ ^ i ^ ^

^ ^ ^ '_ ± 1

Í Í ^ '

1 j ^ j1 1 ^

^ ^

d1 COMlONENTE IRREOUI.AR

1

f ^

^1i12

^..^^. COMlONENTE

^ - ^ ^ ^ ElTIMADOR

- ^ L

37

Fig. 9

Como ya se mencionó anteriormente, los espectros de los estimadores presentan ceros

adicionales. Sean K^(cl^), ^,(cu) y^„(c^) los espectros de los estimadores de la tendencia,

componente estacional y componente irregular. Los ceros de ^r(c^) y^„(cv) para frecuen-

cias estacionales reflejan el hecho de que, para esas frecuencias, el cociente varianza de

la tendeneia o del irregular partido por varianza del componente estacional es cero, de

manera que esas frecuencias no contienen informacicín alguna para estimar p, o^r,, y

serán pues ignoradas. Análogamente, el cero en ^,(c,^) y,^„(r.^) para cv=© refleja que, para

esa frecuencia, los ratios varianza del componente estacional/varianza de la tendencia y

varianza del irregular/varianza de la tendencia son cero.

La diferencia entre el espectro del componente y el del estimador resulta particular-

mente notable, de nuevo, para el componente irregular, cuyo estimador se encuentra

muy lejos de ofrecer un comportamiento de tipo ruido blanco. Su perfil ascendente

refleja la predominancia de la tendencia en la varianza de ^, a medida que la frecuencia

se acerca a cero.

Mirando la Figura 10 se observa que ei espectro del estimador siempre se encuentra

por debajo del espectro del componente. Del mismo modo, la varianza de la transfor-

38 ESTA©iSTiCA ESPA140LA

ESPECTROS DE LOS COMRONENTES Y DE SUS ESTIMADflRES

2.0

1.a/

^ ^.,^ EE1' IMADOII

^' a ^ ^ ^ ^ ^ .. COiYMON ElIIT E

1.4 1

t.2 ^̂

t.0 ^♦

ae ^^

Q.2 ' ^+ ^^i ` _

ao `PI/4 PI/2 3Pf/4 PI

o•a ^^^

a4 ^` ♦

bi COMPONENTE EtTACiONAt

^

r^^i^

I

at2

O.t t

atooeaoo.asao^o.oeo.oso.oao.a30.02o.oto.oo

♦̂ :^PI/4

al TENOENCIA

l̂ -^S.J ^PIIZ ^1/4

ci iRRE©U^AR

PI

I T -C^ ^^ ^^^^ ^^ ^ ^ ^r^! ^ ^ ii^ f ^i► ^^Ol^ ^ ^^^^r^

PII4 PI/2 3 PI/4 PI

Fig. 10

C}ESC`OMPOSICION DE SERIES TEMPC)RA>.^ES: ESPEC'1FIC'AC'10[v, ESTIMAC`1Oti E^. [NFE^RE:ti('IA i9

mación estacionaria del estimador es menor que ta correspondiente al compOnente, tal ^'

como se observa en el Cuadro 2. Puesto que la suma de los tres componentes es igual a

la suma de los tres estimadores, la diferencia en la suma de varianzas se explica por la

aparición de covarianzas. Mientras que los componentes teóricos no esián correlaciones,

(3.9) y(3.1 I) implican que los estimadores si lo están. Las f^unciones de correlación

cruzada entre los estimadores se obtienen fácilmente a partir de (3.9}-{3.1 1). Para el

ejemplo^ que estarnos considerando, resulta

^Corr (o ` pt, Sŝ,) -- .10

Corr (©`'pr, lr^) - .06

C'orr ( S.^,, i^,) ^ .OS

Aunque distintas de cero, las correlaciones entre los estimadores son de todas formas_

pequenas.

C^'tc u cl ro 2

Desviación Típica de los C'omponentes

^ uv^ ^̂, o`' p, S s, u,

Componente 1.45 .67 1.38 .33

Estimador .94 .48 .34

4. DIAGNOSTICO E INFERENCIA

4.1 f^rct,^^rtc^.^^ticv

,19

Una importante vírtud de un método de estimación de componentes que se base en

modelos es que proporciona las bases para diagnosticar los resultados, al permitir

comparar los modelos teóricos con los resultados de la estimación. Como hemos visto,

el modelo teórico a utílizar deberá ser el del estimador, que puede dit ĉ rir considerable-

mente del componente.

Para el ejemplo que consideramos, la Figura I 1 ofrece las FAC' de [as transfórma-

ciones estacionarias de los estimadores teáricos (las correspondientes a(3.9) y(3.1 1) ), y^

las compara con las FAC obtenidas en la aplicación empírica. Ahora, para la serie

desestacionalizada, la tendencia y el componente irre^ular, la FAC' teárica y[a empirica

se parecen considerablemente. En el caso del componente estacional el parecido es

menor, y la FAC teórica decrece más lentamente.

4U ESTALIISTiCA ESPAt^OLA

FAC TEt1RICA Y EMrIRlCA DEL E8TIMADOR

b) TEMDENCII► d) IRREOULAR1 r ^

0^ ^ ^

^,^,^ fA^3 EINr ►RICA

^ ^^^.fA1C TE0111CA

-^ L

FC^; i!

Para que la comparación de las dos FAC sea informativa, es preciso tener una idea de

lo cerca que podemos esperar que pueda estar un ^ estimado para un componente del p

del estimador teórico. Trescientas series independientes fueron generadas con el modelo

de las lineas aéreas, con l^J =-.1915, y f^1^ _ .6228. Cada serie constaba de 156

observaciones. Se estimó la tendencia, el componente estacional, la serie desestaciona-

lizada, y el componente irregular, y la varíanza y la FAC de la transformación esta-

cíonaria de cada componente. Como ya mencionamos, las estimaciones obtenidas están

contaminadas en los extremos por el hecho de reemplazar observaciones previas y

futuras por sus esperanzas condicionales. Los resultados apenas variaban cuando se

eliminaban años en ambos extremos, y los resuitados que mencionamos a continuación

se ref eren a las series de estimaciones completas.

Los sesgos encontrados fueron pequeños, prácticamente cero para el estímador de n, y

de la varianza, y ligeramente en aumento para p^ a medida que k se hacia mayor. El

C'uadro 3 presenta los resultados de la simulación para las estimacianes de ^^^, ^^, ^ y de

la desviación típica de la transformacián estacionaria del estimador teórico. EI Cuadro 3

presenta tarnbién los correspondientes valores teóricos y las estimaciones obtenidas para

el ejemplo de la serie ALP.

DESCOMPfJSICION DE SERfES TEMPORALES: ESPECIFICAC`14N, ESTIMACION E INFERENCIA 4 ^

C'ua^r^^ 3

a) Autocorrelación de orden 1(p^)

Simulación

Q ^ zpr ^7^pr ^ ^

Simulación -. 39 .18 . 84 -. 59

(Error Estandard) (.07) (.06) (.02) (.Oó)

Estimador

Teórico -.40 .18 .83 -.60

Valor Estimado -.44 .21 .81 -.64

h) Autocorrelación de orden 12 (p1z)

^ ^uv^ ^ ^ ^^^ ^ pr S ŝ, ú ^

Simulación --.22 -.22 .52 -.22{Error Estandard) (.O8) (.O8} (.16} (.08)

Estimador

Teórico -.19 -.19 .62 -.19

Valor estimado -.19 -.2 7 .31 -.18

c) Desviación Típica

r^^v ^ p,

Simulación .96 .49 .33 .19(Error Estandard) (.04) (.03) (.06) {.01)

Estimador

Teórico .94 .48 .34 .19

Valor Estimado .90 .44 .22 .18

ESTAD1sTIC'A 13 SPAÑOI,A

La comparación de las dos últímas filas en a), b) y c) del C'uadro 3 af'rece un

diagnóstico general de la adecuación de las estimaciones obtenidas al madelo de partida.

T'enienda en cuenta los resultados de la simulación, ias estimacianes de la serie deses-

tacionalizada, de la tendencia y del c©mp+^nente irregular están claramente en conso-

nancia con las propiedades de los estimadores teóricos. Para el componente estaciona[,

sin ernbargo, tanto pl, como Q bordean ia zona de la no-aceptabilidad.

Una simulación sirnilar se realizó para series con T=84, aproximadamente la mitad

del número de observacíones consideradas en nuestro ejemplo. Las estimaciones de los

segundos momentos de las transformaciones estacionarias de los estimadores eran rela-

tivamente insesgadas y precisas. Por poner un ejemplo, p^ira el componente irregular, la

media de las estimaciones de ,r^,, p, ^ y rr f'ueron, respectivamente, --.59 (desviaciC7n

estardar =.09), --.24 (desviación estándar =.10), y .18 (desviación estándar -.0?). La

comparación, pues, de los segundos momentos teóricos y empíricos de los estimadores

de los componentes ofrece un instrumento fácil de computar, de interés a la hara de

evaluar los resultados. En el ejemplo que estamos considerando, la comparación nos

lleva a una aceptación (no entusiasta) de los resultados.

4.2 I^tferencias

Un tema de considerable interés aplicado (ver, por ejemplo, Bach et al, 1976 y Moore

et al, 198 l) es el error cometido al estirnar componentes. En el ejemplo de la serie ALP,

puesto que el seguimíento de su evolución dentro del año se realiza utilizando la seríe

desestacionalízada, para juzgar si el crecimiento es o no el deseado, es importante saber

cual es la precisión de nuestras mediciones. En definitiva, el error de medición en la

serie desestacionalizada implica por fuerza un intervalo de tolerancia alrededor de

abjetivos futuros (implícitos a explícitos) intraanuales. (Un análisis de la desestacio-

nalización en el contexto de la política monetaria se encuentra en Maravall, 1981 a y b).

Un método de estimación basado en modelos ofrece los fundamentos para poder

abordar el tema de una forma rigurosa (ver Pierce, i 979 y 1980, Hillmer, 1985 y

Burridge y Wallis, 1985).

Existen varios tipos de errores implicados en la estímación de un componente.

Consideremos el estimador z;r dado por (3. l). Este es et estimador f nal de ^;,, teó-

ricarnente disponíble cuando se tiene una realización campleta de ^,. El error

.^ :,ir-^it-^rr (4.1)

se denomina "error en la estímación f"inal". El segundo tipa de error se relaciona con la

distorsión inducida en ambos extremos de la serie del estimador de un componente por

el hecha de que, tal y como ya se mencionó en la subsección 3.1, no se disponen de

observaciones prevías ní de observaciones futuras. E[ perfii de los filtros v,, y v, que

DESCOMPOSICION llE SERIES TEMPORALES: ESPEC:IFIC'ACI(^N, ESTI}^1AC'1(^N E INFERENC.'IA 43

aparece en la Figura 7 indica a simple vista que el peso asignado a la observación ^, en

la estimación de p, o.s, es despreciable cuanto T y t están separadas más de 5 años.

Teniendo en euenta la longitud de nuesira serie, la ausencia de observaciones previas

afectará tan solo a los primeros ya lejanos años de la muestra. Nos centraremos en

el error inducido por la ausencia de observaciones futuras, que denominaremos "error

de revisión". (Estos dos tipos de error en la estimación final y de revisión no son

los únicos existentes en las series de agregados monetarios, pero sí los dominantes, ver

Pierce et al, 1981). Como muestra Pierce (1980), el error en la estimación final y el

error de revisión son independientes, de manera que se analizarán los dos por separado.

u) ^rr^r ^n !a ^;stimaci^n F'inul.

Para el modelo de las lineas aéreas, consideremos el error en la estimación final del

componente estacional

c5,,=s,-.Ŝ,. (4.2)

Operando, resulta {utilizamos la notación simplificada de la Sección 3.1):

^,.r ! s^ - v, ^r = (1-v,)s, - v, ^;' , (4,3}

donde v, viene dado por (3.6b}. La identidad (1.7), aplicada a la descomposíción ^, _^u

+ s,, produce la ecuación (en términos de las innovaciones}

f^a,=S^.cl,+o`'^3c, (4.4)

Considerando que, en virtud de (3.6b}

f^f^ - ^^^l^^' ^'{4.5)

igualando funciones de autocovarianza en ambos lados de (4.4}, es inrnediato que el

numerador del lado derecho de (4.5) es igual a SŜ ^.^,^^^. Teniendo en cuenta (2.5) y(2.8),

(4,3} puede fínalmente escribirse como

5^.^^ I^^^^ ^. _^,^ ^^^ f)^ c'^ - ^^^ (^ ^ ^, {4.b}

es decir, ^S,f es la suma de medias móviles de las innovaciones en los componentes, que

se extienden hacia el infinito en los dos sentidos. Nótese que la invertibilidad de ^,

garantiza que ó,., es estacionario. Así, la diferencia de las dos series no-estacionarias s, y

ŝ, produce una serie ^.,, estacionaria; el componente y el estimador están pues, en

terminología de ^ranger, co-integrados (si bien las raices unitarias en .s, y.ti, son

distintas de Bi 1 }.

44 ESTADISTICA ESPAÑOLA

Reescribiendo (4.6} como

^ ^3

`^'' T E1^ h' ^

donde h,=^^,^^c^,-k^.^'d,, la función generadora de autocovarianzas de ^5,, es igual a

^^.Q/^FGAC(^5,,) = f^-- ,-^-FGAC(h,) ,

y es fáci [ ver que

(4.7)

(4.8}

FGAC(h,) _ ^^^ ^^ [ ^;f SSí'.1+h^.^3%3^J'©`' ] , (4.9)

£n virtud de (4.4), el término entre paréntesis en el lado derecho de (4.9) es igual a

f.^f^. Sustituyendo, pues, en (^.$), resulta

„-^^^^ ^FGAC(r5„) _ -^ -- ^^, k^.

de donde r^,, sigue un proceso ^. ^^: MA del tipo:

fiS,^ _ ^^^3^, , (4.10)

donde ^, es ruido blanco con varianza a^ _^^ c.r . En términos de la representación

general ( 1.1), el resultado (4. l U^ puede expresarse de la siguíente forma. Supongamos

que (sin pérdida de generalidad) nos interesa estimar el primer componente ^,, y

escribimos ( 1.1) ^omo

_,=^f,+Zf,,

donde Z1, _^,,^f ^;, representa la suma de los demás componentes. Puesto que todos ellos

siguen modelos ARIMA, Z,, será también un ARIMA del tipo

* .^1Z1i=f^^k,,

donde ^, es ruido blanco, ^; ^^^, el polinomio autorregresivo dado en (1.8} y (̂ ; es una

media móvil que se obtiene a partir de los modelos para los componentes. Si c^,,

representa el error en ia estimación f nal de ^ ^,, entances sigue el modelo

f^ ^5^, = f,^^ f1; E, ,

donde E, es ruido bianco, con r^ _^ ar^ ^ oú. Nótese que el error de estimación final de

cualquier componente es un ARMA, con polinomio autorregresivo siempre igual al

polinomia de media móvil del modelo observado para z, y, por ser este invertible, el

error será siempre estacionario.

DESC`OMPUSIC'ION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC'IF1C'ACIt)ti. E.STIMACit)N E INFERENC`IA 4S

Aplicando el resultado al estimador final de la tend^ncia en el modelo de las líneas

aéreas, resulta

f^d^,^=cx8* n,,

donde ©* y arñ se obtienen a partir de la representación ARMA de (s, + u,), que será la

solución del sistema de ecuaciones de covarianza asociado con f^*n,-^3h, + Su,.

En consecuencia, tanto el error en el estimador final de la serie desestacionalizada

corno el err©r en la estimación de la tendencia siguen procesos ARMA (13,13), estacio-

narios, con polinomio autorregresivo (1-f^^B)(1-f^,,B''). S^,^ FAC` figuran en el C`uadro 4

y ambas resultan muy semejantes. Estas FAC son necesarias para caicular los errores de

medición en las diversas tasas de crecimientos de los con^ponentes.

Ccrudro 4

FAC de los Errores de Estimación

a) Serie Desestacionalizada

Retardo Error de Estimación Final Error de Revisión

1 .67 .67

2 .28 ^ .323 -.03 .034 -. 2 5 -. 2 0

5 -. 3 9 -. 3 56 -.45 -.43

7 -.43 -,44

8 -. 3 4 -. 3 7

9 -.17 _, ^ ^

10 .06 .Ol

1 i .36 .3312 .63 .63

4b

Retarda

E.STAf^iS'i IC',A E:SPA!V(^L.A_ _

C't^ud r^^ 4

f= ^^' de lc^s £rrores de Estimación

h) Tendencia

Error de Estimación Final Error de Revisión

1 .b8 .bl

2 .24 .35

3 -.01 .07

4 -. 2 0 -.13

5 -. 3 2 -. 2 86 -. 3 7 -. 3 b

7 -. 3 5 -. 3 8

8 -. 2 7 -. 3 4

9 -.13 -.2210 .07 .04

1 1 .30 .24

12 .43 .47

E1 Cuadro 5 muestra las varianzas del error de estirnación final de la tendencia y de

la seríe desestacionalizada para el ejemplo que estamos analízando. Ambas son de un

orden de magnitud similar y la desviación típica del error viene a ser del orden del 50°ro

de la desviación típica del error de predicción de la serie ^, un período por delante.

Conviene resaltar que, a pesar de que el error en el estimador final de la serie

desestacionalizada es grande, la precisión de la estimación no mejora nada si se utiliza,

en su lugar, la tendencia.

Varianza de los Errores de Estimación

Error de

Revisión

Error en

el estimador

final

Error total

de

estimación

Tendencia ,231 .217 .448

Serie

Desestacionalízada .197 .184 .381

C'z^uúru 5

f^ESCOMPOSIt'lo^N DF SE:RIFS TE=MPORALES: ESPEt'IFIC'.AC'ION, F^TIMACION E I,JFE_RE^IC'I,A 47

h) f^;rrur clc^ RE^^^i.s^i^^ri

C'omo vimos en la Sección 3, con objeto de calcular ^^, por medio de (3.3), es preciso

disponer de una realización completa [^,]. Como consecuencia, en el mornento T,

cuando la última observación disponible es ^ 7^, la estimación de ^,, para t cercano a T

requiere observaciones futuras de ^. Cvmo ya mencionamos, un estimador prelimínar

puede obtenerse aplicando (3.3) a la serie extendida: ^,,...,^ ^^, ^ 7{ 1), ^^12),..., donde ^ r(j)

representa la predicción de ^ T+; hecha en T. Se sigue que el estimador preliminar será

objeto de revisiones ya que, a medida que se obtengan nuevas observaciones, las

predicciones se pondrán al día y, fínalmente, serán reemplazadas por observaciones. La

dit'erencia entre los estimadores preliminar y final representa un error de medida en la

estimación preliminar que denominaremos error de revisión. Un estudio ernpírico de las

revisiones en las series desestacíonalizadas de agregados monetarios en EEUU y de su

efecto sobre el control monetario se encuentra en Maravall y Pierce (19$3) y(1986).

Consideremos primero la estimación de ^„ en t{la estimación contemporánea). La

revísión en el estimador, ^;',, es

^;, - =;', - ^^^_I t'i(-r+j ' -r^l) ) _ ^^ ^1 1'i ^'r^l) , ( • )

donde c^,(j) representa el error de predicción de ^,j períodos por delante. De ^ 1.4),

^'^^1) = Clr+;-f+ ^^,! ^^ cl^+^-^ •

y, por tanto, (4.1 1} puede reescribirse como una media móvil de innovaciones f`uturas

cr,+r, cr,+,,... Una manera más directa, sin embargo, de obtener esta media móviE es a

través del modelo que derivamos para el estimador, dado por (3.7) y(3.8):

^ ;, _ ^;; ( B, F) u r = ^;^' _ _ _, ^ ^; cr,+; .

Puestc^ que E,cr,_,^=u, para,j.,>^0, y E,cr,^.,=0 para j>U, se sigue que

^;^, - Er -^i ^^^ cr^+, ,rt

y, restando (4. 1 3) de (4.1 ?), l^i re^^isión es i^ual a

^'; t = ^^ = ^ ^ ^; ^r ^+^ _ ^, t F ) cl ^+ i •

(4.12)

(-^. 14)

A partir de {4.14) es posihle derivar l^ls propiedades de los errores de revisic^n (^^c.^r

Maravall, ly8f^h).

4$ ESTADrST[CA ESPAÑOLA

De forma análoga, (4.12) puede utilizarse para derivar la revisión en cualyuier

estirnador prelimínar, no necesariamente el contemporáneo. Si ^,", representa el esti rna-

dor de ^;, obtenido en t+n, (n ^ 4), entonces

^erf ` Et+n ^i^ _ ^i^,_ ^ ^i^ ^^^^ .

y la revisión en el estimador preliminar resulta

t ► + ► 1 ^ Y^

►"^ ^ ^ ^ ^^ - ^ r t = £, _,^+r ^<< ^t,+; . (4.15 )

Dado que el filtro ^,(B,F) es convergente en F, la revisión es pues un proceso

estacionario. La ecuacián (4.15) implica que el cambio en la revisión cuando el período

de estimación pasa de T a T+n es una media mávil de orden (ri-1) (ver Pierce, l 980), t^

la puesta al día de una estimación cuando una nueva obvservación resulta disponible

equivale a sumar la última innovación en ^ multiplicada por el correspondiente peso ^,.

Para el caso del modelo de las líneas aéreas, de (3.8b),

^(B) ►l,^(F) ^(B^ rl,(F)^,^( P, F) _ ^ _ ; ^, ( B, F) = S (4.1E^)

donde r^^,(F} y>>,(F} son los dados en (3.10). Para el ejemplo que estamos considerando.

el Cuadro 6 muestra las varianzas de la revisián en el estimador contemporáneo ^^ dc

las revisiones después de uno, dos, tres, cuatro y cinco años adicionales de datos. Se

observa que, después de cinco años, las revisiones en la tendencia ^^ en la serie

desestacionalizada s©n despreciables y los filtros pueden, pues, truncarse sin prohlcm^^.

De hecho, más del 95% de la varianza de la revisión en el estimador contemporáneo ^i^.^

ambos componentes se completa en los tres primeros años.

Varianza del Error de Revisión

C'trcrc^rcr 6

r„r

r^^r

^.^r

rr^,^

r.^r

r,r,r,r

Revisión en

la tendencia .231 .061 .024 .009 .004 .001

Revisión en

la serie

desestacionalizada .197 .077 .033 .012 .005 .00?

DESC'OMPOSICION UE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC`AC'ION, ESTIMACIC^N E INFERENC`IA 49

EI C'uadro 5 indica que el error de revisión del estimador de la tendencia es li^era-

nlente ma}^or que el correspondiente a la serie desestacionalizada. Para ambos compo-

ncntes, el error de revisión es li^eramente mayor que el error en la estimación final. C}e

todas formas, el orden de magnitud de1 error es, en todos los casos, similar: su

des^^iaciá ► n típica viene a ser la mitad de la de la innovación en la serie observada.

Una implicaeión de los resultados anteriores es la siguiente. En relación con la

conducción de la política monetaria a corto plazo, Maravall y Pierce { 198b} reciente-

mente concluian: "... ^porqué tanto énfasis en desestacionalizar'? Quizás la atención

debería desviarse hacia la estimación de una señal más suave y menos afectada por

re^^isiones (posiblemente algún tipo de tendencia)"'. Para el caso de [os ALP, la tenden-

cia ciertamente produce una señal más suave, per© ni está su^eta a menores re^^itiiones,

ni se estima con más precisión. De hecho, el estímador dc la tendencia es li^,er^^mcnte

peor en lo que se retiere a ambos tipos de errores.

Finalmente, la desestacionalización de los agregados monetarios en Espal^^^ s^• rr^^lil^l

una vez al año {al comienzo) en lugar de una vez al rnes (es decir, de forn^a cc^nten^po-

ránea). £sto implica el uso de factores estacionales proyectados para los ^»eses ^j^•1 ^^,^c^

entrante. Las varianzas de los errores de revisión para estos factores aparecrn c.^^l el

Cuadro 7. La desestacionalización contemporánea supone una mejoría equivrilcnt^^ a,

aproximadamente, una reducción del 1 SC% en la varianza del error de estirl^ación tot<<1.

C ^l itl C!l'() /'

Revisión en la

proyección del

componente

Varianza del Error de Revisión:

Serie Desestacionalizada

Varianza

Contemporáneo .1971 mes adelante .215

2 meses adelante .246

3 meses adelante .265

4 meses adelante .274

5 meses adelante .278

6 meses adelante .279

7 meses adelante .279

8 meses adelante .282

9 meses adelante .289

10 meses adelante .305

1 1 meses adelante .33I

50 ESTApISTICA ESPA ► !r1QLA

5, UN COMENTARIQ FINAL: INTERVALC3S DE CC^NFIANZA Y TASAS DE

CRECIMIENTO

Hemas analízado la descomposición aditiva del logaritm© de la serie ALP. El compo-

nente estacional obtenido es, por tanto, el log del facior estacional utilizado en la

práctica. E1 Cuadro 8 muestra los Intervalos de Confianza (I.C.), al 95% y al b7%, para

un factor estacíonal estimado igual a 1 U0. Se observa que la anchura del I.C. ai 95°l0

para el estimador contemporáneo representa casi el 1 °lo del nivel de la serie. En el otro

extremo, para el l.C. al 67% alrededor del estimador final, la anchura se reduce a.32%.

C'ttuulr^^ 8

Intervalo de confianza alrededor

de un factor estacional igual a l00

Nivei de

confianza

Estimador

conternporáneo

Estimador

final

9 5% 99. 54 , 100.4b 99.b8 , 100.32

67 % 99.78 , 100.23 99.84 , I 00.1 b

Puesto que los objetivos y el seguimiento de ta oferta monetaria se realizan sobre

tasas de crecimienta, y no sobre niveles, tiene interés estudiar el efecto del error de

medición en los niveles sobre dichas tasas de crecimiento. La tasa más utilizada es la

tasa mensual de crecimiento de la serie mensual (anualizada y expresada en puntos

porcentuales de crecimiento); esta tasa se denomina T;. Linearizando T^ (ver Apéndice

B) y utilizand© los Cuadros 4 y 5, las varianzas de los errores de medición pueden

calcularse, y el Cuadro 9 presenta el LC. al 95% para el estimador contemporáneo y

fínal de la tasa T; de la serie desestacionalizada y de la tendencia. Aproximadamente, el

intervalo asociado con el estimador contemporáneo es del orden de ±5 puntos porcen-

tuales, que se reduce a±3 puntos cuando se dispone del estimador final. Si, por

ejemplo, la tasa T, medida para el último mes es del 12%, el error de medición

implicito significa que esta medición es compatible (al 95%^ de confianza) con un

erecimiento real subyacente entre el 7% y el 17%, apraximadamente. En otras palabras,

DESCOMPOStGON DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC`ACION, ESTIMACIO!^t E[NFERENCIA S 1

si el abjetivo (explícito o implícito} para ei mes actual es del 12%, una medición entre

el 7% y el 17°+o podría considerarse compatible con el objetiva. La anchura de estos

intervalos es, sin duda, mayor que la de los intervalos de tolerancia que se utilizan

habitualmente en la práctica. Es obvio que operar con niveles de confianza menores

disminuye la anchura del I.C.: por ejemplo, los I.C. al ó7% serían aproxirnadamente la

mitad de los que aparecen en el Cuadro 9.

C'ttuElrc^ y

Intervalo de confianza para la tasa mensual

de creci m iento T ^

(nivel de confianza del 95 %)

Estimador

contemporáneo

Estimador

final

SerieDesestaci ona i i zada -^- 4. 4 5 ± 3. 09

Tendencia ± 5.0^ -^- 3 . 31

Puesto que la tasa T; de la serie desestacionalizada o de la tendencia está sujeta a

errores de medición grandes, tiene interés disminuir la poca fiabilidad que estas tasas

presentan. La imprecisión en la medición queremos insistir es fundamentalmente

resultado del carácter estocástico intrínseco de la serie, y no de insuficiencias en el

método de estimación (a este respecto, en Maravall, 1980, se muestra como, para una

serie del tipo de ia que aquí se analiza, el error de estimación de la estacianalidad es

mayor que la diferencia producida por cambios ( razonables) en el método de desestacio-

nalización). Una forma de atenuar la poca fiabilidad es promediar tasas T1 conse-

cutivas. Para la serie desestacionalizada, la Figura 12 muestra el número de meses

necesario para concluir que un objetivo no se está cumpliendo, en función de la

desviación media con respecto al abjetivo. Así, par ejempla, si la desviación media es

1.5°l0, al 67% de confianza debe haber sucedido a lo largo de un período de algo más de

dos meses para concluir que el crecimiento real es significativamente distinto del

objetivo. Si el nivel de confianza se eleva al 95%, la desviacián media debe abarcar al

menos un período de 5 meses.

52 ESTADISTIC A ESPAI'^OLA

EFECTO DE PAOMEDIAR TASAS T^

Alúms^o cien^^e:

1Z

1i11t^t11

8 1^11

6

4

2

0

1^^^

'i 1i ^^.. ^ .^ ^ ^ ^ .r ^ w ^ ^

` NIVEL DE CQNFIANZA OEL E6 %

^^i ♦t ^•1 `'+^._

♦NI V EL DE t^ONF IANtA OEL 87 %

_._I___.^..1i

Fi^. 12

1

12

^

6

4

2

1Media de Ias

^ desviaciones3 4

De forma alternativa, tasas distintas a la T; también se utilizan. De todas ellas, la

más irnportante es la tasa mensual de crecimiento de una media móvil de tres meses,

anualizada y expresada en tanto por cien. Esta es la tasa T; y, de nuevo, aproximándolalinealmente (ver Apéndice B) y utilizando los Cuadros 4 y 5, es posible estimar el error

de medición asociado. El Cuadro 10 muestra los 1.+C. al 95% para las T! estimadas para

la serie desestacionalizada y la tendencia. La anchura de estos intervalos representa

entre el 55°1o y el 60% de la anchura de los intervalos para la tasa T;.

DESCC)MPOSICIUN DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFICACIC^N, ESTIMACION E INFERENC'I,A S^

C,ttudrv 10

Intervalo de confianza para la tasa de crecimiento

de una media móvil de tres meses (T^)

(nivei de confianza del 95 %)

Estimador Estimadorcontemporáneo final

SerieDesestacionalizada ± 2.58 ± 1.82

Tendencia ± 2.76 ± 1.9ó

Finalmente, hemos destacado el probtema que los errores de medición producen en la

implementación de la política r^nonetaria. Por supuesto, los errores de medición tienen

también otro tipo de efectos, como por ejemplo, alterar la identificación de relaciones

entre variables (ver, por ejemplo, Maravall, 1979). En términos de las series históricas,

tiene interés señalar que la desviación típica del error de estimación final de la serie

desestacionalizada o de la tendencia, estimación disponible al cabo de 3-5 años, repre-

senta aproximadamente un crecimiento anual del 1 %; un porcentaje pequeño, aunque

no despreciable.

54

A PEN DICE A

ESTADISTIt'A ESPAÑnLA

^ESTIMADOR CON ERROR CUADRATICO MEDIO M1NIM0 DE UNA SENAL

EN UNA SERIE TEMPORAL.

A. l . Intrvducción

En el comienzo de la sección 3 se afirmaba que, si una serie z,, que puede expresarse

como el fiitro lineal (1.4), es la suma de un cvmponente ^;,, que puede expresarse c©mo

eí f ltro lineal (1.2}, y un resto ortogonal a dicho componente, el estimador con error

cuadrático medio (ECM) mínimo de z,t (cuando el universo de informacíón es una

realizacicín completa de z,) viene dado por la expresión (3. i). La derivación original de

este resultado para series estacianarias se encuentra en I^olgomorov (1941) y Weiner

(1949} y, a pesar de la importante aportacíón de Whittle (1963), la prueba del resultado

no resulta de fácil acceso.

Por otra parte, el resultado (3.1) es atractivo debido a la sencillez del filtro (fácilmente

computable) y al hecho de que, tal como observaron Cleveland y Tiao (1976), su

optimalidad se mantenía para realizaciones incompletas simplemente sustituyendo las

observaciones ausentes por sus predicciones (fácilmente calculables por medio de { 1.4} ).

Su gran límitación cara a la aplicacicin práctica residía en el supuesto de estacionarie-

dad, ya que la gran mayor^ía de las series económicas son no-estacionarias. La demostra-

ción de que el resultada {3.1) sigue siendo válido para series no-estacíonarias aparece en

densos artículos de Cieveland y Tiao (1976} y de Bell { 1984}.

En las páginas que siguen presentaremos una prueba sencilla de (3.1) para el caso

estacionario primero, y rnostraremos, con un ejemplo concreto, como la prueba se

extiende de forma casi inmediata al caso no-estacionario. En ambos casos, el modelo de

referencia es el siguiente (para eliminar subíndices, la notación varía ligeramente con

respecto a la usada anteriormente):

Una serie z , puede expresarse como la suma de dos componentes ortogonales:

z1=s,+n1, (A.í)

donde .s, es la "señal" y n, el resto. La serie observada y la señal siguen los procesos

linealesz, _ ^Y(B) a, (A.2)

s, _ ^.,(B) c, (A.3)

Dada una serie ternporal completa para z,, sea ŝ, cualquier estimador lineal, que

representaremos por

ŝ,=vtB)z, (A.4)

DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORA,LES: ESPECIF^IC'A('IUN, Es"T^IMAt'ION E ItiFERFtit lA 55

Nos interesa el estimador ŝ , can el error cuadrático medio E(s,-.^^,)' mínimo, dentro de la

clase de los estimadores lineales.

A.2. C'asc^ Estuc•i^^narrv

De (A.4) y (A.2),

^^(s,-s,)` _ ,- v( B)^,l` _[s,- v( B)`E ( B)a,]` -

;^ + [^(B)u,]`' - 2s,í^(B)a, , (A.5)

donde

^.(B) = v(B)`N(B) . (A.6)

Tomando esperanzas en (A.5) ,

ECM=E(s,- ŝ,)'=V(s,)+E[^.{B)a,)'-2E[s,a^{B)a,]=

= V (s, ) + cr, ^; ^,; - 2 ^; ^,; E s, a,_;) . (A.7)

Sumando y restando E; [ E(s, u,_;) ]' / cf a la derecha de (A.7), los tres términos

intermedios pueden expresarse como un cuadrado perfecto, y resulta:

EC M = V (.^,) + ^; [ cr^ ^., - E (s, a,_,) ]' 1 r^, -

^ ^-^;[E(s^,u,-;))^i^,.

Queremos minimizar esta expresión con respecto a v(B). EI primer y el tercer suman-

do no dependen de v(B); sólo depende el segundo a través de ^.(B). Por tanto, minimizar

ECM equivale a buscar

rrt i n E; [ c^, ^.; - E (.s•, cz, _; ) ] ^ .

^

Puesto que se trata de una suma de números no-negativos, el mínimo se alcanza para

^.; = E(s, ^a,_;) / c^ (A.8)

Dado que los u,'.^' no están correlacionados, la expresión (A.$) indica que los a^; son

simplemente los coeficientes de regresión en la proyección .s, _^; ^,; u,_; .

ESTADISTIC'A ESPAÑOLA

Sea y,^,(B) la función generadora de covarianzas cruzadas entre s y a. Es decir

:',^^{ B) _ ^ °° y, B' ,_^

donde ;^, = E(s, a,_,). La expresión (A.8}, para todo j, se transforma en

^.( B) = Y,u ( B) / o-w ,

y, considerando (A.ó), se obtiene

„r ^u( }

i^( B) ^ ^ ( B)

D^e {A.3), es inmediato que

(A.9)

(A.10}

y^«( B) _`^, (B) Y^^^f( B) ^ (A.1 1)

donde y^.,,(B) es la función generadora de covarianzas entre c^ y a (similar a (A.9), con s,

sustituido por cr). Utilizando (A.1 1), (A.10) se convierte en

^,(B) ,^ {B;^(B) _ ar `E B ' ^^^^ ) (A.12)

u ()

De (A.1), {A.2 ) y(A. 3) se obtiene, despejando para a,

`^, ( B} 1a, = y, ( B) c', + ^,, ( B) nl

Sea

h{B) _ ^,(B) / ^(B)

(A.13)

(A.14)

En (A.13), la ortogonalidad de n, y c,, y et hecho de que este último sea ruido blanco,

implican que

yu^.( B) = h( B) cr . (A.15)

Como, por definición de función generadora de covarianzas cruzadas, el coefieiente de

B' en yu^.(B) es el coeficiente de B"' en y^.^,(B), resulta yu^.(B) = y^.u(F}. Es decir, (A.15) puede

reescribirse

y^^u(B) = h(F) c^ (A.ló)

DESCOMPnSiCION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC[FICACION, ESTIMA(_^ION E INFERENC^IA

C'onsiderando (A.14) y utilizando (A.16) en (A.12), resulta finalmente

a^ `^.,{B) `P^(F)^y( ) - ^ ^(B) ^(F^ '

57

(A. l 7}

que es igual a(3.1) y, por tanto, el resultado que queríamas demostrar. La optimalidad

de (A.17} está condicionada al supuesto de que el universo de información se limita a la

serie univariante, y, de hecho, en la práctica, la desestacíonalización se realiza siempre

por métodos univariantes. Para ver bajo que condiciones esto es apropiado en series

económicas ver Maravall (1983b), donde se observa que la oferta monetaria cumple

estas condiciones.

A.3 C'asc^ N^r-estaci^nario

El filtro v(B) definido por (3.1) es sencillamente igual a la función generadora de

autocovarianzas de la señal dividida por la de la serie observada. La demostración que

realizamos en la sección anterior se basaba de hecho en el comportamiento de funciones

de covarianzas de series estacionarias. Como ya mencionamos, las pruebas existentes de

la extensión de (3.1) al caso no-estacionario son relativamente complicadas. En mi

opinión, hay un modo de ver el problema que simplifica la demostración y que resulta

intuitivo.

Al ígual que en la Sección (3.1 }, para simplificar la notación, representemas un

polinomio en B simplemente por la letra griega. Tarnbién, cuando B se sustituya por F,

la letra griega que representa al polinomio llevará una barra encima. Así, por ejemplo,

`I'=`^(B) y `^=^(F).

En el caso estacionario, los polinomios `^ y`P,. de (A.2) y(A.3) son convergentes.

Para nuestros efectos, en el caso no-estacionario, podemos suponer que ^, y s, están

representados por los procesos

^ ^, _ `I' a, (A. l 8)

b,s,=^,c,, (A.19)

donde a y^, contienen las raices no-estacionarias y los polinornios `P y`1J, son

convergentes. El filtro (A.17) se convierte en^

(`P.,^^.,) (`P,/c^,)v = k,

(`1'/^S) (^/ ) .(A.20)

Puesto que ^, = s, + nr, (A.18) y(A.19) implican que ^5,. es divisor de r^. Podernos

escribir, pues, ^= S, 5,,, y suponer que ^S, y rS„ no comparten raiees en común

S$ ESTADlSTI['A ESPAÑOLA

(obviamente, no tendría sentido, por ejempfo, que el espectro de una serie desestaciona-

[izada presentase un pico inf nito para una frecuencia estacional). E1 filtro (A.20} se

transforma, por tanto, en^

^s^n ^+anV .- Ii^. `I,r ^_ _ _ , (A.21)

Puesto que (A.21) es la FAC de un modelo ARMA con polinomio autorregresivo `P,

teniendo en cuenta ( l.5), la invertibitidad de ^, garantiza la estacionariedad de ese

modelo. Por tanto, el ftltro (A.21) convergerá aún cuando los procesos sean no-

estacionarios.

Las ecuaciones (A. t), (A.2) y {A.3} implican que n, sigue también un proceso

ARIMA, con polinomio autorregresivo ^5,,, y que representaremos por

S„n,=`^„br,

donde h, es ruido blanco, ortogonal a c,. Consideremos el estimador de la señal:

ŝ,=v^,,

con v definido por (A.21). E1 ECM de ŝ, viene dado por

ECM = E(s, - ŝ,)`' - E{ (1 - v) s, - vn, }`' -

^ ^n ^=E (1 -v) S c^f-v á h,

, n

(A.22)

(A.23)

Multiplicando los dos miembrfls de (A.1) por 8 y considerando (A.2}, (A.3) y fA.22),

se obtiene

^Ya,=^n`^Y,c,+cS,`P„h,.

Puesto que las funciones generadoras de autocovarianzas de los dos lados de esta

expresión han de ser iguales, resulta ( sin pérdida de generalidad, suponemos rr, = 1),

, _^^ - %c. ^^ ^n ^.^ Sn - kh ^n ^^ ^rr ^s +

y, teniendo en cuenta (A.21), se obtiene

^.^ ^n ^ s ^nV ^c ^ ^^ . (A.24)

DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFICACION, ESTIMAC'ION F INFERFNC^IA S9

Utilizando (A.2 l) y(A.24} en (A.23), resulta:^ ^

^n^s ^nas ^^^n ^^^n

ECM=E k,, ^^-- r^-k^. ^^ h, '.

Las raíces no-estacionarias b.,, y bn de los denominadores de la derecha de (A.23) handesaparecido y el ECM resulta ser la varianza de la diferencia de dos medias móvilesconvergentes ortogonales. En consecuencia el ECM de ŝ, es finito.

Para simplificar, supongamos que sólo existe una raíz no-estacionaria, o, de modo

que ^S_, = o y^n = 1, y veamos la raiz o= 1- B coma el límite de (1 -^ B) cuando ^-^i,

1. Puesto que v, definido por (3.1) (o, equivalentemente, por (A.17} ), minimiza el

ECM cuando ^_.9, .99, .999, etc., es intuitivo que también lo minimice para ^= 1,

dado que tanto v como ECM son funciones continuas en ^= 1. Aunque la idea es

simple, la prueba general (que incluya cualquier conjunto de raices unitarias, tanto

reales como complejas) necesita una terminología engorrosa. A continuación, detalla-

mos la prueba para el ejemplo sencillo de la descomposición de un AR(1) en señal más

ruido.

A.4 Un Ejemplo

Supongamos que una serie observada, que sigue el modelo AR(1)

(1 - ^ B) z, = ar a,^ n i ^d (U,1) , ^ E [0,1 ]

puede descomponerse en:

(A.25)

z,-s,+u, (A.2b)

donde s, y u, son independientes y éste último es ruido blanco. La descamposicióncanónica viene dada por los modelos (ver Maravall, 1984)

(1 -^B)s,=(1 +B)b, u,`niid(O,cr,) (A.27)

aĥ =^ / (1 +^)`' ; ^,= 1 1 (1 +^)' (A•?g)

{Escogemos la descomposición canónica simplemente para ilustrar la demostración, que

permanece prácticamente invariable para cualquier otra descomposición admisible que

se escoja). La Figura 13 muestra, en el dominio de las frecuencias, la descomposición

canónica en señal más ruido. Sea

.ŝ, = v(B) z, ; v(B) _ ^ v; B' . (A.29)

^o FSTADIST^('A ^:SP^^!VOLA

DESCQMPOSICION CANC3N ICA DE UN AR t1 }

^^^ iEA 1 E

•••••••.• ppMrpNENTEs

F'iK. 13

cualquier estimador lineal de s,. (En esta sección, todos los sumatorios se extienden de

-^ a+^ ). El ECM de .ŝ, es la función

1+B ,ECM(^►,v) = E [ 1- v(B) ]^h, - v(B) u, (A.30)

donde v representa ahora un vector con elementos los coef cientes de v(B), De (A.30) se

desprende que el ECM es finito, incluso para el caso no-estacionario, cuando el filtro

v(B) cumple las dos condiciones

(A} £ v; < ^

(B) 1 - v(B) _ { 1 - ^B} c.^(B) , (A.31)

Sea H el conjunto de valores (^,v) tales que ^ E(0,1 ] y v(B) produce un ECM finito.

(Para cualquier valor de ^ en ese intervalo, H no es un conjunto vacío. Esto es obvio

para ^ E(0,1); para ^= 1, es fácil ver que el ECM asociado por ejemplo con el filtro

(A.17) es igual a a'ú/S y, por tanto, finito). La condición (B) nos dice que (1 -^UB) es

divisor de 1- v(B). Eliminando, pues, esa raíz, el vector v, con elemento (v;), se sustituye

por w, con elemento (cv;}, En consecuencia,

DESC'C)MPOSIC'1C)N DE SERIES'CEMPORALES^ ESPEClFIC'ACiON, E.^STlMA('I()^+ F: 1tif=ERFti( IA fi ^

EC M (^, ^^f) = E { ^,( B )h, - v( B) u, ^`' = r^ ^ .^,' + ^, ^ ^^,^ { A . 3 2 )

donde los coeficientes en ^.(13) y v(B) vienen dados por

^^,= 1 - (w^^+cv_^)

^% ' W j + ^j-1 (i ^ 0^.

V„=1-(C^^„-^C.^_^)

v^ = ltJj -^ C.f^ j- l V^^^.

y son por tanto funciones continuas de (^,w^) en H. Puesto que ^ y o;', según (A.28),son también funciones continuas de ^, (A.32) implica el siguiente resultado:

(R 1): ECM(^,w) es una funci©n continua de ^ y w.

Consideremos el f ltro (A.17), que representa el filtro con ECM mínimo para el casocñ E[0,1). Para el modelo dado por las ecuaciones (A.25) -(A.28), el filtro se convierteen

^v^,(B)=af,(1 +B)(1 +F)= 1 + ^, (1 +B)(1 +F). (A.33}

( )

Es inmediato ver que v^,(B) satisface la condición (A). Tomando diferencias en (A.2b) e

igualando las funciones generadoras de autocovarianzas del lado derecho e izquierdo seobtiene la identidad

1 =(1 +B)(1 +F)^+(I -c>^B)(1 -d^F)a;',,

de donde resulta:

- v,^(B)=(1 -^B)(1 -^F)^r;,, (A^-^^)

y, por tanto, la condición ( B) también se satisface, De (A.31 } y(A.34) se deduce que elfiltro c^(B) viene dado por

^rv,^(B) _ (1 - ^F) ^, (A.35)

donde rr;, viene dado por (A.28). El vector ^^ contiene solamente dos elementos distintus

de cero, correspondientes a:

rc^_^--^/(1 ^-^)`';cu„= 1 /(1 +^)^ (A.3f^)

F.STADISTK^A ESPAiVOi.A

Reprc.^sentemos este vector por ►r•„(c^,}. Las expresiones en {A.36} implican el siguiente

^-ti^sultado:

(R2): K^^,(^) es una función continua en ^ E[o, l].

Nuestra intención es demostrar que ^^„(^ ►) sigue produciendo el ECM minimo para elcaso ^= t. Esto es lo que afirma el siguiente resultado:

(R3): ECM(1, ►^•,, (1) )< ECM(1, ►1•} para cualquier otro ^•.

La demostracián de (R.3) es inmediata teniendo en cuenta (R.1) y(R.2): Supongamos

que (R.3) no es cierto. Existe pues un I1•, ilamémosle r^•* {en N), tal que

MSE( [ , r ► •,, (1) ) > MSE(1, ► t•*) . (A.37)

Pero (R 1) }^ (R2) garantizan que, para un E positivo y suficientemente pequeño, (A.37)

implica

MSE(1 - E, ► t•„ (1 - E) ) > MSE(1 - E, ►1•*). {A.38)

Puesto que, por construcción, ►t•„(1 - E) minimiza el E^M para ^= 1- E, (<

no puede suceder, y por tanto ( R3) tiene que ser cierto.

1), (A.38)

DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPEClFICAC'ION, ESTIMAC`ION E INFERENt'IA 63

APENDICE B

LINEARIZACION DE LAS TASAS 1NTERMENSUALES DE CRECIMIENTO

a) Tasa T ;

La tasa T^ mide la variación mes a mes de una serie mensual, expresada como

porcentaje de aumento anual. Asi, si la serie es x^,

t t^Tt=[(xr/xr-t)` - 1] 100. (B.1)

y, puesto que _^c, __x,_, + d_x,, ( B.1) puede expresarse como

T^=[(1 +^Xr1 -^^-t)t^- 1] 100.

Si la serie evoluciona de forma relativamente suave en el tiempo, Ox^ es relativamente

pequeño y T^ podrá aproximarse linealmente por medio de

[ l + 12 (dx,/x,)- I] 100,

y, dado que c^x / x= í^ (lo^ _^c), el término entre paréntesis se puede expresar aproxima-

damente como ^lo^ _xl. Se obtiene, pues, la conocida expresión:

T,' = 1200 0 la^ xr , (B.2)

que subvalora la anualización, pero resulta una aproximación razonable para seriesno-estacionarias.

Mediante ( B.2) es sencillo calcular el efecto de un error de medición en la variable.

Sea, por ejemplo, 1^^,^ x, la serie desestacionalizada, z^. En la sección 4 virnos que ^Q se

estima con un error, surna de un error en el estimador final y del error de revisión, que

depende del momento en que se realice la estimación. Es decir

= z; + E, ,

donde el error, E, es ortogonal siempre al estimador, z! . La tasa estimada será

^`; = 1200 0 ^,` ,

de donde se obtiene que el error inducido por E sobre ia T;, ó,, es igual a

^S,=T^-^`;= 1200oF,.

(B.3)

(B.4)

{^-^ FSTA[^tSTiC'A ESPAÑC)LA

^a desviación tipica de ñ, será pues

d(^,)= 1200[2(1 -^^)]''Q^,

ti^ vendrá expresada en puntos p^orcentuales de crecimiento anual.

(B.5)

En el ejemplo que hemos díscutído, para los casos de1 estimador contemporáneo y

tinal, ^r,; son los valores que fguran en el Cuadro S{multiplicados por ^„ =.0037), y los

ti^alores de p, se deducen del Cuadro 4.

h ^ Tc1.^u T ;

La tasa T^ mide la variación mes a mes de una media móvi l de t res meses, ex pr^sad^^

en porcentaje de variacián anual. Es decir, sí la serie es .t,,

T i - ^ (.^'r ^ !'^-1 > ! ^ - 1 ] 100 ,

donde

i•, = x, + .^^- ^ + .^,_ , .

Es inmedíato ver que (B.7) puede reescribirse como

^ •, _ 3 .^-, - 2 ^ .^-, - 0 .t,. , ,

con lo que

G1«,^r ^^, = 1^^^^,^ ^.1,(1 - - ) ,

^.1 ^

(B.f^)

(B.7)

(B.g)

donde G = 2^xr + Ox,_, y, si O.t, es suficientemente pequeño, {B.8) pucde aproximarse

por

lu^ t^, = lc^^^J 3+ Iu^,r .t, - G/3x, (B.y)

donde hemos utilizado la aproxímación l^^ (1 + x) = x. Observando que, aproximada-mente,

G/x, = 2^ x,/.^, + dx^-^^-t,-^

= 2^ lt^^^ -t, + ^1 ln.^ -t ^- ^,

después de simplit^car, (B.9) se transf'orma en:

© lu^r ^^, _(lr^^r .i, - 1^^,^J . r,__^) f 3 ( B. I())

DESC'OMPOSIt'ION [^E SERIES T'EMPORALE:S: ESPEC'IF^It'AC'IC}!^. E:STIMA( IC}ti [. ItiFf.Fll tit I-1 6S

Una expresión similar a ( B.2), aplicada a(B.b), produce la relación:

ó, - T r - ^; - 1200(0 .^;` - o ^ ^ ) ,

donde ^,' = lu^ ,^^,, y análogamente a(B.10), o l^^J t^, _(lúk .v, -!vk .til__^) / 3.

De (B. t 1), una vez realizadas las sustituciones, se ©btiene

ó, = 4Q0(Er - ^,-_3).

donde ^, es el error en la medición de 1a serie Ic^^^ .v, desestacionalizada. En consecuen-

cia, la desviación típica del error en la medición de T, inducido por el error en la

medición de la estacionalidad es igual, aproximadamente, a

^r(^,) = 400 [ 2(1 - P_^) ]^ ^ ^F , (B. l?l

donde los valores de a1, y p; se ealculan del mismo modo que para el caso de T;. En

Maravall (1981 b) se observa como las aproxi maciones { B.5 ) y( B.1 ?)---deri ^^ada esta

última por un camino totalmente diferente eran válidas para las series de agregados

monetarios españoles durante la década de los años setenta.

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DESC'OMP(:)SICIC3N DE SERIES TEMPORALES: ESPECIEIC'ACION. ESTIMAC'10N E 1NFE^FtE`^(^lA 69

SUMMARY

DECOMPQSITION oF TIME SERIES: SPECIFICATICJN, ESTIMA-TIQN AND INFERENCE.

The decomposition of a time series into unobserved components has

been addressed, over recent years, as a particular case of optimal signal

extraction in ARIMA models. This paper presents a methodology that is

becoming a useful tool in applied time series work. First, the problem of

model specification for the components is discusszd and optimal estimators

are then derived, Their properties are seen to lead to a natural diagnostíc

check for the results. Finally, estimation errors are analysed, in particular,

the revision error and the final estimation error.

The discussion is illustrated with the Spanish money supply series. The

analysis permits the answering of questions of practical interest, such as, for

example, how often should seasonal adjustment be performed; for how long

should the seasonally adjusted series be revised; or what is the precision of

the seasonally adjusted series estimator and how this precision translates

into errors of ineasurement in the dif^erent rates of growth. Troughout the

application, a comparison is made between the trend component and the

seasonally adjusted series, as indicators of the underlying evolution of the

series.

Briefly, the paper deals with a relatively ei^icient method to solve a

relevant statistical problem (that of decomposing a time series.) The me-

thod provides a framework that allows for a rigourous interpretation of the

data and, ultimately, for a more solid foundation of economic decision-

making.

AMS 1980. Subject classification: 90A90.

..ESTADISTICA ESPANOLA

núm. 1 14, 1987, p^gs. 71 a 106

ComentariosANTORII ESPASA

FRA[VCISCO MELIS

A R TH U R TR EA DWAYALFONSO NOVALES

Contestación

AG USTI N MARAVALL

INDICE

1. Insuficiencia de la Desestacionalización Univariante en el Control Monetario.2. Los Fundamentos de la Desestacionalización.3. Descomposición Canónica.

4. X 1 1 y la Descomposición de la Varianza.5. Limitaciones de los Modelos ARIMA.6. Irregularídad de la Serie y Errores de Estimacicín.

7. Errores de Truncamiento y Revisiones.

8. Los Supuestos del Modelo.9. Erraticidad de la Serie Original y de la Serie Desestacionalizada.

Tasa T^

Tasas Acumuladas10. Comentarios Finales.

E^STAnISTK`.^ LSPAÑ()LA

1. COCviENTARIO C)E ANTONI ESPASA (Banco de España)

Agustín Maravall es uno de los investigadores de mayor relieve internacional en el

tema de ajuste estacional y extracción de señales, y este artículo es un excelente trabajo

tanto por sus aspectos didácticos en la exposición del tema como por los resultados nue-

vos que en él se presentan. La investigación de Agustín Maravall se caracteriza por su

rigor científico y por su importancia práctica. En estas notas, vay a ceñirme exclusiva-

mente a analizar ciertas implicaciones que este artículo tiene sobre la serie de activos lí-

quidos en manos del público (ALP) de la economía española, y dejo para otra ocasión

los comentarios sobre los pracedimientos de extracción de señales.

La variable ALP es el agregado monetario que controla el Banco de España, y éste,

mes a mes e incluso decena a decena, necesita evaluar si dicho agregado está o no bajo

control. Dadas las oscilaciones estacionales y de corto plazo que contiene ALP, es im-

portante extraer una señal robusta de la evolución de dicha variable, que esté iibre de

tales oscilaciones evolucíón subyacente-, y evaluar sobre la misma si el agregada

monetario sigue una evolución compatible con los abjetivos. Una metodología para rea-

lizar tal evaluación se describe en Espasa et al (1987), y ésta basada en la tendencia de

la serie económica en cuestión. Por el contrario, el seguirniento mensual de ALP se rea-

liza sobre la serie aĵ ustada de estacionalidad, en lo sucesivo, serie ajustada-, que no

es más que la tendencia perturbada por un ruido blanco adicional. Emulando la termi-

nología de extracción de señales, podemos decir que la tendencia es una "señal canóni-

ca", y la serie ajustada, no. Se me ocurren dos razones que nos pueden hacer preferir

una señal contaminada -serie ajustada a una señal canónica tendencia . Una es

que la serie ajustada se estima mejor, y otra, que el ruido que contiene la serie ajustada

canstituye también una señal en sí mismo. Los cuadros 5 a 10 del artículo muestran

que las ventajas de estimar la serie ajustada de ALP en vez de su tendencia son peque-

ñas; asi, por ejemplo, los intervalos de confianza para las tasas T f difieren, a favor de la

serie ajustada, sólo en ± 0,22 ó± 0,57, según se trate de las estimaciones finales o con-

temporáneas. Por el contrario, las tasas de crecimiento de la tendencia oscilan menos

que las de la serie ajustada, y para el período 1979-84, la media de las diferencias en

valor absoluto entre las T^ de la tendencia y la serie ajustada estimadores finaies

es de l, 5. En el gráfico 1 se representan dichas tasas.

El seguimiento tendencial de ALP es de interés primario, pues es la señal que está re-

lacionada con las variables de gasto nominal de nuestra economía, pero ello no es sufi-

ciente. Se requiere también una señal sobre los movimientos de corto plazo de dicha va-

riable, ya que éstos influyen de forma importante en la evotución de los tipos de interés

de tos mercados monetarios y financieros. Es decir, la relación entre liquidez y gasto es

estable y fundamentalmente de largo plazo, por 1o que se puede captar muy bien a tra-

vés de las tendencias; pero las oscilaciones no sistemáticas de la liquidez tienen también

COMENTARI4S 73

una influencia en la economía, básicamente en los precios de los mercados rnonetarios.

Tenemos, pues, que la tendencia y los movirnientos no sistemáticos de ALP son señales

importantes, pero por rnotivos y con fines distintos, por lo que esto tampoco justificaría

que los considerásemos conjuntamente dentro de la serie ajustada. Esta serie, en cuanto

señal, puede ser confusa, tanto como indicador de la evolución subyacente, como de un

companente no sistemático. Si ambos componentes no observables son importantes, la

solución debe consistir en estimarlos separadamente y en utilizar cada uno como señal

para lo que es adecuado.

lndagando más sobre la importancia del elemento no sistemático de ALP, podría de-

cirse que, en realidad, lo que se desea conocer son las innovaciones errores de predic-

ción con un período de antelación de ALP, y, yendo más allá aún, se puede apuntar

que la señal verdaderamente requerida son las sorpresas que la autoridad monetaria in-

troduce en cada momento en el sistema. En esta línea, la señal importante sería la suce-

sión de innovaciones en la oferta de activos de caja del Banco de España, que tiene un

papel importante en la variación a corto plazo de los multiplicadores monetarios y de

los tipos de interés interbancarios, tal como se demuestra en Escrivá y Espasa { 1986) y

Escrivá et al (1986). Nó obstante, en situaciones de pérdida de control por parte de la

autoridad monetaria, las innovaciones de ALP serán preferibies a las de los activos de

caja.

TASAi MEN3UALEi DE CRECIMIENTO

2s

20

16

10

5

0

u

^I^^It^II^tIÍt1^11tIt^ll^ll^It^II^l1IJi+^j^Il^lllEl^ll,jj^11

1M0 iM1 1N3 1l^3 11^

^^ T^ TtNOlMCIA ALr IAOREOA001.

• • • • • • • •• T^ NIIIE A^tJ^TADA DE E^TACIONAIIDAD (A011EOA001.

ll^li^ll^ll

1956

-^,

^rl,l1„ ^,^1 si^ó

6

0

n

t!i

10

Gráfico 1

74 ESTA[aIST1C`A ESPAÑOLA

Conviene señalar también que la información contemporánea no se explota plena-

mente si no se estiman las implicaciones que el presente impone en el futuro de una se-

rie temporal. Así, la evolución actual del crecimiento de la seríe ajustada o de la ten-

dencia ---velocidad subyacente de avance de una serie temporal debe completarse con

su proyección a medio plazo inercia , para que de la camparación de ambas se pue-

da deducir, resp^ecto a un crecimiento acelerado, desacelerado o constante de la corres-

pondiente señal, qué es más probable que contínúe, que se estanque o que se trunque

C1)•

Téngase en cuenta que con el crecimiento contemp^oráneo estamos comparando e1 va-

lor presente de una señal can sus valores pasados, mientras que la inercia nos da la tasa

con que dicha señal se proyecta a medio plazo. La inercia candensa la visión tendencial

del futuro que se tiene hoy, es decir, ia inercia es una medida --univariante de expec-

tativas de crecimiento.

La inercia o expectativa de crecimiento tiene Ia ventaja de que, conocido el modelo,

su medida en el mornento t no se revisa con el paso del tiempo, con lo que, en series

donde los errores de revisión de ías señaies son importantes, puede ser aceptable desistir

de estimar el crecimiento tendencial contemporáneo y sustituirlo por la estimación de la

inercia. En cualquier caso, para comparar ei momento tendencial de series diferentes,

cuyas señales se estiman con errores de revisión muy distintos, puede ser preferible ha-

cer dicha comparación a través de las inercias.

Respecto al modelo mensual univariante de ALP, hay que señalar que, cuando se es-

tima incluyendo ios dos últimos años, el modelo de las lineas aéreas requiere una cons-

tante negativa. En una variable controlada, es de esperar que, euando los objetivos que

se pretende alcanzar sobre la misma suponen un forzamiento de su proyección natural,

nos encontremos con residuos ARIMA que tienen una media significativamente distinta

de cero. Esto indica que sirnplemente diferenciando no se consigue estacionariedad, es

decir, esta acción de control no cumpie, en general, las hipótesis que se requieren para

que un fenómeno pueda ser representado por un modelo Arima, por lo que se debe pen-

sar en incluir explícitamente en el modelo un factor de corrección, que tenga en cuenta

las desviaciones de la serie sobre los objetivos establecidos en el control de la misrna.

En cualquier caso la inclusión de este factor aumentará la eficiencia del modelo, ya que

incluye información adicional sobre factores que fuerzan la serie en cuestión al alza o a

la baja.

Dado que los objetivos mensuales para ALP se fijan sobre la serie ajustada de est.^cio-

nalidad, Salaverria y Espasa (1987) definen un mecanismo de corrección como la dife-

( 1) Véase cuadre^ 3 en Espa^a c^^ ul. (1987). Sobre ta importancia de la predicrión del crecimiento teneienrial a n^edio plazo. véase

Rox y Pierce ( t 98 I) y Hox c^r c^l. (1987).

C'OMENTARIOS 7s

rencia entre la tasa anualizada de crecimiento acumulado en el mes t(la cifra ajustada

de estacionalidad) respecto al diciembre anterior y el objetivo de crecimiento anual para

el año en curso. Además, las reacciones de las autoridades ante desviaciones respecto a

los objetivos pueden ser distintas, según se esté a principios, a mediados o a f nales de

año; así Salaverría y Espasa (1987) encuentran que el mecanismo de corrección actúa

con coeficientes distintos, según el cuatrimestre del año.

El modelo que estiman Salaverría y Espasa (1987), actualizado, es el siguiente:

e0,^ lo^ ALP, _-0'0396 MCE;_, -0'0906 MCE;', -0'0625 MCE^'; -(2'7) (3'b) (1 ' 1)

-0'01 e,, DDIC82, +{0'004 + 0'009L) oe,, DMA^85f + 0'008 00, ^(3'9) (1'9) (3'9} (3'8)

DJUN86, + (1 + 0'20L) (1 - 0'60L/2) at ,{ 1'8) (7'2)

muestra inicial: En 19^9 a ab. 1987,

número efectivo de residuos: 86,

varianza residual 0'0000091

,^ (14) (2b) = 5'S y 20'4correlograrna residual: ningún valor significativamente distinto de cero.

En este modelo MCE^`) es el mecanismo de corrección de la desviación sobre el

objetivo en los meses del cuatrimestre ( i) de cada año natural; y DFECHA es una

variable impulso en la fecha correspondiente. Para este modelo, 1a media de los residuos

es cero. En él, los efectos del mecanismo corrector son distintos por cuatrimestres, pero

las diferencias no son estadísticamente significativas.

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Espar^a, trabajo no publicado.

COMENTARIC)S

COMENTARIO DE ARTHUR TREADWAY (Universidad Complutense de Madrid)

77

Agustín Maravall expone con gran claridad y rigor la situación actual de la teoría y ía

práctica de la descomposición de series temporales por frecuencias ( p. e., estacional y

desestacional), una disciplina científica del Análisis de Series Temporales Estadísticas

(ASTE) en que Maravall ha aportado investigaciones de gran prestigio en los últimos

años. Sus aportaciones se arraigan en el Enfoque Box-Jenkins {B-J) del ASTE y esto las

dota del mejor instrumental disponible. Lo ya conseguido en estas investigaciones

parece admirable, pero la falta aparente de una motivación adecuada para la desestacio-

nalización de series me llama la atención. Esto provoca las consideraciones siguientes,

más enfocadas hacia la investigación futura.

La práctica generalizada de la desestacionalización carece de fundarnentos convin-

centes en términos del ASTE. El analista Bax-Jenkins {B-J) experto no elige series

desestacionalizadas para ninguno de los fines de sus análisis. No descompone las series

de datos en estacional y desestacional. Los analistas B-J expertos investigan y realizan

descomposiciones en estacional y desestacional casi exclusivamente porque los no-

analistas demandan series desestacionalizadas.

Se presenta, pues, una contradicción de gran interés potencial tanto para los analistas

B-J como para los no-analistas demandantes de series desestacionalizadas. Uno de los

dos grupos incide en un error, un error posiblemente de bulto. Quizás existen investi-

gaciones que podrían determinar quién se equivoca y la naturaleza del error.

^Podría haber una estructura dei mundo que los analistas B-J ignoramos, pero que

algunos de los demandantes de series desestacionalizadas perciben de alguna manera

que motiva su demanda? Para mí la respuesta es si, puedo imaginar tales estructuras.

Pero no conozco ninguna investigación de la estacionalidad que afronta esta cuestión, la

cuestión que me parece prioritaria. Maravall, y sus colegas en la línea de investigación

que expone aquí, no parecen haberse ocupado de ella todavía.

Maravall nos dice que "..., no existe una definición generalmente aceptada de lo que

es un componente estacional". Expone a continuación su candidato de de^nición

basado en principios exclusivamente estadísticos. ^onfieso que no veo la utilidad de

esta definición y estoy seguro que no será nunca gen.eralmente aceptada.

En cuanto a los fundamentos de la definición propuesta, la ortogonalidad de compo-

nentes parece necesario y el criterio de compatibilidad ARIMA entre los componentes y

el modelo empírico de los datos parece deseable. Pero estos criterios sin otros dejan la

falta de identificación yue Maravall expone, la que resuelve con el requisito canónico.

Esta condición canónica parece semejante a otras que se emplean en muchas otras

formas del análisis estadístico y por eso imagino que tendrá un éxito semejante, pro-

E:^TADI^^FICA ESNA!Vt)1_A

bablemente pequeño. Los métodos canónicos a veces resultan útiles en investigacianes

con datos que buscan una teoría económica, pero no pueden hacer las veces de una

teoría. Me resulta chocante que tales métados se apliquen en las operaciones de la

política monetaria, que se supone fundamentada en algún entendimiento más profundo

de la Economía, capaz de identificar las estructuras de los sistemas estadísticos que

informan su actuación.

Otras situaciones de falta de identificación ocurren en la Econometría. Típicamente

indican una deficiencia del modelo conceptual en relación con los datos. Es siempre

aconsejable que el investigador las interprete como llamadas para examinar su pen-

samiento.

En el caso de la estacionalidad, tenemos por ahora una teoría implícita en nuestros

métodos del ASTE que podemos explicitar y quizás contrastar: en cuanto a las rela-

ciones entre variables, la función de respuesta no depende de la frecuencia del input, es

decir, la función de respuesta es la misma para cualquier componente del input,

estacional o desestacional, bajo cualquier definición de la estacionalidad del input.

Este es el supuesto que los demandantes de series desestacionalizadas parecen negar.

Alguien que quiere exarninar dos series desestacionalizadas exclusivamente, es decir, sin

consultar las series originales, tiene que creer que las dos funciones de respuesta son

nulas para el componente estacional sin serlo para ei desestacional. Si consuíta las series

originales tarnbién, por la menos tiene que creer que las funciones de respuesta difieren

según componentes estacional y desestacional. No conozco todavía ninguna investiga-

ción que haya formulado un contraste de la hipótesis básica de la práctica actual del

A►STE, las funciones de transferencia son invariantes a la frecuencia del input. i,Se

podría formular un cantraste? Intuyo que si.

Me parece que la investigación del supuesto central en cuestión solamente puede ser

abordada en un marco multivariante, lo que trasciende los límites de la literatura que

conazco, la citada por Maravall, aunque los principios de ortogonalidad de compo-

nentes y compatibilidad de estructuras ARIMA me parecen buenos y aplicables en todo

caso. De hecho, el contexto del análisis estocástico multivariante es eí único del ASTE

en que tadavia quedan sin responder cuestiones de primer orden acerca de como

simplificar la representación paramétrica estacionai. Quizás algunas investigaciones

multivariantes de la descomposición estacional podrían aclarar esta última cuestión a la

vez.

Un tipo de investigación interesante tomaría el caso de dos series estocásticas y

estacionales, el output y el input en un modelo de transferencia de un solo output ya

investigado mediante el análisis B-J. Se descompone la variable input en dos compo-

nentes, estacional y desestacional, empleanda los métodos y supuestos expuestos por

Maravall u otros no-canónicos que ofrezcan componentes teóricamente ortogonales y

("C^MENTAR[OS 79

prácticamente no demasiado correlacionados. Se procede a la estimación de un modelo

de transferencia reformulado y descornpuesto, con las mismas especificaciones del mo-

delo no-descompuesto pero con los dos inputs, estacional y desestacional, cada uno con

su versión de la función de transferencia, inicialmente iguales. Se contrastaría la hipó-

tesis de funciones de respuesta iguales.

Se podría también plantear análisis estocásticos multivariantes de este tipo. Por

ejemplo, dos series operando en una estructura estocástica bivariante ya analizada e

interpretada en términos de Teoria Económica, se descomponen y las cuatro series

resultantes se analizan desde la perspectiva del análisis cuatrivariante.

Estas. investigaciones con casos podrían motivar determinados desarrollos de la teoría

de la descompasición estacional. Los supuestos de ortogonalidad entre componentes y

compatibilidad ARIMA con el modelo empírico parecen útiles. Nuevas condiciones de

identificación podrían plantearse, estas probablemente relacionando economía y estacio-

nalidad en algunos casos.

No pretendo decir que todo esto sería fácil. Estoy seguro que no. Pretendo señalar

que los analistas B-J estamos empleando una hipótesis nunca contrastada que los

demandantes de series desestacionalizadas insisten en rechazar. En tales circunstancias,

me parece preferible afrontar la tarea difícil de contrastar esta hipótesis y na quedar en

una definición de la estacionalidad tan arbitraria como ía univariante canónica.

Hay algunos aspectos más concretos de este trabajo de Maravall que paso a comentar.

No menciona los factores de intervención, lo que resulta sorprendente; creo que tales

factores se encuentran en ALP. Lo recomendable sería extraer todos los factores deter-

ministas bien justificadas ( por información extramuestral) antes de descomponer por

cualquier método; al tratar la descomposición de la serie original, estos factores consti-

tuyen otro componente o componentes.

Un tipo de input determinista que me parece esencial y que Maravall no menciona en

su análisis de descomposición de ALP es la serie de valores anunciados del objetivo de

la política monetaria. Si no se explicita el objetivo monetario en un modelo de ALP, el

cumplimiento aproximado del objetiva combinado con los cambios más o menos

anuales del objetivo, hará aparecer una fantasma estacional que no debe confundirse

con el resto de la estacionalidad. Me parecería mejor seguir, prever y quizás descompo-

ner el error, la diferencia entre la observación de la variable medida en los mismos

términos que el objetivo y el valor del objetivo.

Llama 1a atención el empleo de un solo modelo univariante estocástico para una

muestra que contiene dos regímenes distintos de control rnonetario, el vigente con

objetivos de M3 hasta 1983-84 y el actualmente vigente que emplea objetivos de ALP.

ó0 E^sT,ADISTICA ^SPAÑC)L.A

Sería interesante saber si los efectos en esta variable del cambío de régimen han sido

investigados.

Los componentes de Ia descomposición propuesta por Maravall son ortogonales enteor^a, aunque los estimadores presentarán aigo de correlación. Las correiaciones cruza-das contemporáneas se presentan, pero no se presentan las funciones de correlacióncruzada entre tos componentes estimados, Asi se ignora un instrumento de diagnóstico

esencial en este contexto.

C`()MENTARlC^S

COMENTARIO DE FRANCISCO MELIS ( Instituto Nacional de Estadística)

8l

En los últimos siete u ocho años, el campo de técnicas de desestacionalización y des-

composición de series de tiempo se ha enriquecido notablemente. Junto a los procedi-

mientos tradicionales de regresión móvil (DAINTIES} ó de medias móviles (X 1 1), el

usuario puede echar mano del procedimiento de regresión bayesiana de A►kaike (BAY-

SEA), que proporciona una solución atractiva al problema de descomposíción de series

planteado en los años veinte por Whitaker y Henderson. O bien, puede utilizar el métc^-

do de Kitagawa y Gersch (DECOMP), en la línea del anterior, pero que plantea el pro-

blema en términos de modelo de estado ( o estructural), utilizando el filtro de Kalman

para ía estimación de los parámetros que controlan la descomposición.

Pero, como cabía esperar, dado su éxito en la predicción a corto, ha sido de la mano

de los modelos ARIMA, de donde provienen los avances más difundidos: X 1 l-ARIMA

primero, que extrapola inicialmente la serie de entrada para extender el campo de utiti-

zación de los filtros centrales del X 1 1 y Burman y Hillmer-Tiao después, que establecen

el nuevo procedimiento de desestacionalización por descomposición "canónica" de un

modelo ARIMA, que llamaré método DDMA.

El trabajo de Maravall es, en primer lugar una exposición didáctica de ésta última

técnica, de interés, por tanto, no sólo para los usuarios del software correspondiente,

distribuido por el B. Inglaterra ( Burman) o el SCA (Hillmer, Tiao}, sino talnbién para

los que deseen conocer las ventajas de extender el marco de la modelización ARIMA al

problema de la descomposición de series económicas y sociales. Particularmente útil,

porque no se incluye en otros artículos sobre el método, es la derivación (Apéndice A)

del estimador de una señal de un modelo conocido, aunque no se proporciona ninguna

interpretación del resultado.

En segundo lugar, Maravall completa la técnica establecida con diversos estadísticos

que permiten enjuiciar la calidad de los resultados obtenidos en relación con el modelo

inicial propuesto. La derivación de los modelos para los errores de estimación y de revi-

sión se sigue con dificuitad, pero los resultados obtenidas son del máximo interés para

los usuarios del método DDMA. No hay que olvidar que el procedimiento más difundi-

do (X 1 1-ARIMA) praporciona, además de las series componentes, una extraordinaria

variedad de estadísticos de medida y control: Medidas de la estacionalidad estable y rnó-

vil, Test compuesto de "identificabilidad" de la estacionalidad (3), balance señal/ruido,

MCD, descomposición de la parte estacionaria de la varianza, etc...

Aunque entre los nuevos métodos de desestacionalización propuestos, me parecen

más prometedores los que parten de un modelo para el vector de estado, la técnica que

Maravall expone y perfecciona plantea algunas cuestiones de orden teórico y práctico:

82 EST,ADISTIt'A f=.S^PAtiC)l_^^

1. La dep^endencía del método DDMA del modeto ARíMA inicial, introduce comple-

jidad y arbitrariedad en la desestacionalización. En un ensayo de aplicacián del X 1 1-

ARIMA sobre las SOO series elementales del Indice de Producción Industrial, sólo el

20^ se ajustaban a los modelos preestablecidos, que son los más usuales. Elio quiere

decir que gran parte de las series económicas son dificiles de modelizar para conocedo-

res superficiales de los métodos ARIMA. l^ por otra parte usuarios distintos obtendrán

modelos y resultad©s distintos.

2, Bajo la hip^átesis de camponentes, una serie de longitud N es una señal compleja

de banda limitada por la frecuencia fundamental (1 iN) y la frecuencia de "dobla-

miento" { 112}- que transporta información relativa a fenómenos de cronología muy

distinta o relativos a diversas bandas del espectro disponible.

La extensión del marco ARIMA a éste problema de los componentes, y por tanta, a

la descomposición del espectro promete enriquecer y clarificar la definición de los com-

ponentes, algunos de los cuales se definen de forma precisa en la frecuencia: el ciclo se-

manal, por ejemplo, se aprecia como un pico en el entorno de 1/2.$7 que es su frecuen-

cia "alias", la estacic►nalidad, como un conjunto de picos de altura y ancho variable en

la frecueneia estacional fundamental y sus armónicos. Además, frente a la limitada

gama de filtros utilizada por el X 1 1, el método DI3MA se presenta como un generador

de filtros "a medida", dependientes del modelo inicial de la serie.

^abría esperar por tanto, que el método fuera más sensible que el X 1 I a las caracte-

rísticas estacionales de cada serie. Pero Les de hecha así?

En otras palabras: si la serie, cómo ocurre en concreto con los ALP y con muchas

otras seríes económicas, sólo posee picos espectrales en algunos armónicos estacionales

^Se ajusta el filtro a esa peculiar distribución de la varianza estacíonal? Igual interrogan-

te plantea la diferencia de anchos de banda de los picos a la que el X 1 1 no es capaz de

adaptarse.

Si la contestación es negativa, puede encontrarse aquí una explicación de algunas

"brechas" en la serie desestacionalizada que deberá añadirse a las razones teóricas ex-

puestas por Maravall en el epígrafe 3.2., dado que se estará aplicando filtros "rechaza

banda" en banchas que no lo requieren.

3. La relación del método con la frecuencia existe, pero sólo a nivel teórico. E1

requisito canánico, que fuerza a los espectros de las señales componentes a tocar el eje

de frecuencias puede ejercerse "a cíegas", sin atender a la distribución empírica de ia

varianza en el eje (o,^c). Y el problema, importante para la estacionalidad, la es mucho

más si se desea extraer el ciclo-tendencia. Me pregunto que aporta el método a Ia

def nicián de ciclo-tendencia, salvo una vaga asociación con las bajas frecuencias.

C'^)MENTARIOS 83

En el X 1 l, se utilizan tres filtros de Henderson (de potencia mitad en 13,$ y 6 meses)

en función de un ratio ruido/señal (I/C de la tabla D 12) cuya utilidad proviene de su

independencia de cualquier modelo. Para los ALP, de mínimo ruido (I/C = 0,1), se

selecciona el filtro de mayor paso (la media de 9 términos de potencia mitad en 2 n/b)

de farma que sabemos lo que hacemos cuando optamos entre la señal de cicla-tendencia

y una media mávil simple de la serie desestacionalizada.

4. Resumiendo lo dicho en 2 y 3: el "paso" del filtro de expresión 3.1. está determi-

nado por la fracción de varianza de cada componente (o banda) frecuencial que cabe

atribuir a la señal (Whittle pág. 58) y será probablemente de paso bajo para el ciclo-

tendencia, de paso alto para el irregular y"pasa-banda" para la estacionalidad y el ci-

clo.

La adecuación del filtro dependerá par tanto de la capacidad del modelo de la señal

para reproducir las características de la banda espectral asociada a la señal. Y, a mi jui-

cio, los modelos de los componentes, determinados por un modelo inicial demasiado

apoyado en el filtro 1/(1-B) (1-B** 12), no son capaces de recoger características impor-

tantes del espectro. Pienso también en los máximos retativos de potencia que aparecen

en la banda (1 /80, 1/20) en series cíclicas como las de opiniones empresariales, o los

que aparecen muy a menudo entre 1/ 12 y 1/6.

El requisito de sobriedad paramétrica que preside la modelización ARIMA puede es-

tar justificado en la predicción, pero si se quiere descomponer: ^No sería oportuno utili-

zar como criterio de modelización, la capacidad de reproducción del espectro?.

Alternativamente, puede establecerse una tipalogía de series económicas basada enmedidas no paramétricas, posililemente deducidas dei espectro empírico, y asociar acada tipo una familia de modelos ARIMA, utilizables como input del método DDMA.

5. Una cuestión planteada por Maravall al final del epígrafe 4.2. resulta especialrnen-

te interesante en el análisis de cayuntura. Se trata de la posibilidad de sustituir la serie

desestacionalizada por la serie de ciclo-tendencia como señal relevante o incluso como

objeto de pubíicación por las oficinas estadísticas. La suavidad -ausencia de varianza

de altas frecuencias es una característica deseable en cualquier indicador económico,

como se reconoce explícitamente en el sistema de indicadores cíclico del NBER, no sólo

porque se corresponde con la fuerte inercia de los procesos económicos, sino porque eli-

mina el riesgo de las falsas señales.

La conclusión negativa a que llega Maravall quizás esté ligada con la escasa irregula-

ridad de las series monetarias. El ratío I/C de los ALP, próximo al del IPC o al del Paro

Registrado, es de los más bajos observados en una am pl ia m uest ra de seri es económ icas

y los ratios más frecuentes se sitúan entre l y 3.5 (IPI: 2.4, Entrada Extranjeros: 2.6,

Suicidios: 4.8).

84 E:STADISTI('A ESPA^I()1^A

Una comparaeión de los errores de estimación y revisión entre serie desesiacionaliza-

da y de ciclo-tendencia, para series de distinta irregularidad seria de gran interés.

6. En el epígrafe S, Maravall aborda un problema relacionado con el anterior. ^Cuán-

tas tasas intermensuales es necesario promediar para confirmar que el crecimiento real

difiere del proyectado, can un nivel de confíanza prefijado?

En términos del X 1 1: ^Cuántos meses de la serie desestacionalizada es necesario pro-

mediar para que la señal ciclo-tendencia domine sobre el componente irregular?.

E1 parámetro MCD del X 1 1 que responde a la cuestión está muy difundido, y algunas

oficinas estadísticas proporcionan la media móvil de periodo MCD de la serie desesta-

cionalizada, además de ésta, como un equilibrio entre suavidad y respeto al dato.

La discusión de 1VZaravall, en términos estadísticos precisos, supone realmente un

avance sobre el marco empírico (aunque no paramétrico), del X 1 l pero esta planteada

en términos de desviaciones frente a objetivos, que no es frecuente en coyuntura.

7. En relación con los filtros simétricos de cola infinita truneada que se utilizan, me

pregunto si el error de truncamiento (fenómeno de Gibbs), es despreciable. Por otra par-

te, la utilización en los extremos de la serie de los mismos filtros centrales, sustituyendo

las observaciones no disponibles por predicciones ^es equivalente a la utilización de los

filtros unilaterales propuestos por Whittle y Nerlove, Grether, Carvalho? Y si es así,

como parece, ^no son sensiblemente diferentes en módulo y fase los f ltros centrales de

los utilizados en los extremos?.

Por último, úno cabe sustituir los filtros simétricos por filtros autoregresivos o recursi-

vos, de igual módulo pero de menor fase, para minimizar la necesidad de extrapola-

ción?.

REFERENCIAS

"SYSTEME DAINTIES: Systeme CRONOS pour la gestion des series chronologiques". Manual

1 1/ 12/ 13: Adjustements saisonnieres. OSCE Bruselas 1979.

TtMSAC-sa: Computer Science Monographs. Institute of Statistical Mathematic. Tokyo. 1985.

MORRY, M. L1THIAN J.: "A test for the presence of identifrable seasonality when using X 1 I-

ARIMA program" 78-1 Q-02 Research Papers. Statistics C.^anada.

NERLOVE M., GRETHER D. M., CARVAI_HO J. L.: "Analysis of economic time series" Academíc

Press 19 79.

COMENTARIOs

COMENTARIO DE ALFONSO NOVALES

(Fundación de Estudios de Economia Aplicada)

85

El trabajo que nos presenta Agustin 11 ►^iaravall resume una buena parte de su tarea

investigadora en los últimos años. Hay que agradecerle el esfuerzo que ha hecho por

resumir, tan brevemente como ha sido posible, el elevado número de articulos escritos

en este período, así como hacerlo con eí rigor y la claridad que en él son habituales.

Partiendo de trabajos iniciales de Box, Hillmer y Tiao, Maravall y Pierce han venido

desarrollando en los últimos años una metodología de descomposición de una serie

basada en modelos ARIMA, que evita las dos dificultades fundamentales del método

X-1 1: su uniformidad en el tratamiento de las distintas series, y la iinposibilidad de

llevar a cabo inferencias acerca del origen estacional de las desviaciones observadas a

corto plazo. Por tanto, no cabe sino congratularse de que estos desarrollos puedan hacer

innecesaria la utilización futura del procedimiento X-1 1.

A diferencia de otras propuestas, no se hacen supuestos arbitrarios acerca de la

estructura ARIMA de los componentes estacional y desestacionalizado de una serie,

sino que los órdenes de sus polinomios AR y MA se obtienen a partir de la función de

autocovarianza del modelo estimado para la serie agregada. Otra ventaja importante de

esta metodología es la relativa sencillez con que se estiman los parámetros de los

modelos de los componentes de la serie. Para apreciar este aspecto, basta comparar este

procedimiento con el sugerido p^r Engle (1978}.

Sin embargo, la desestacionalización basada en modelos ARIMA no está exenta de

algunas cuestiones que, a mi entender, merecen ser discutidas en profundidad. Una

primera cuestión se refiere al instante en que, una vez estimado el modelo ARIMA de

la serie original, e identificados los órdenes de los modelos ARIMA para los componen-

tes, se buscan estimaciones para los parámetros de estos últimos. Como describe

Maravall, este proceso exige resolver un sistema con más ineógnitas que ecuaciones, por

lo que el vector de parámetros que se buscan no está identificado.

Ei criterio por ei que tradicionalmente se consigue identificar el modelo es el de

seleccionar, de entre todas las posibles, ía componente estacional con varianza minima.

Esta es la llamada "descomposición canánica". De este modo, se consigue una compo-

nente estacional tan estable y predecible como es posible. Equivalentemente, la compo-

nente irregular será la de mayor varianza de entre todas las posibles.

Esta solución tiene un cierto atractivo estadistico, pero su interpretación econórnica

no es clara. Desde los primeros intentos de análisis de series temporales de datos, ha

sido tradicional pensar acerca de la componente estacional como una cornponente

determinista, de modo similar a la componente tendencial; lo cual es consistente con la

F:ST.AD ► 151`ICA F^SPA^4t)t_A

elección que arriba he citado como criterio de identificación. Sin embargo, el análísis

Box-Jenkins ha roto def nítivamente estas dos concep^ciones; ahora entendemos como

una de las características más frecuentes en una ser^ie económiGa la presencia de una

tendencia estocástíca.

Algo análogo se aplica a las propiedades estacianales de una serie, que el análisis

Box-Jenkins representa camo parte esencíal de su estructura estocástica fundamental.

Así pues, no resultan evidentes las razanes por las que habría que seleccionar de entre

las alternativas posibles, la cotnp©nente estacional de mínima varianza.

Adernás, el criterio de identificación utilizado no es irrelevante; el problema consiste

en la selección de dos sumandos cuyo agregado sea la serie original, y para ello se

dispane de un cierto número de grados de libertad. E1 criteria elegido afectará a las

estructuras de los modelos de ambas componentes; de este modo, distintos criterios

generarán modeios diferentes para los componentes, los cuales, utilizados en el proceso

de extracción de señal, generarán series ajustadas de estacionalidad diferentes.

Otra propiedad inherente a este y otros métodos de descomposición es la ortogonali-

dad entre la componente estacíonal y la serie desestacionalizada. Nuevamente, esta

propiedad puede tener un cierto atractivo estadístico, máxime si se piensa en que la

estructura estacional de la serie es determinista. Sin embargo, creo que tiene perfecto

sentido económico pensar en la estructura estacional de la serie como una característica

de la misma intrínsecamente ligada al resto de la serie, i.Por qué habrían de ser las

propiedades estadísticas que se manifiestan cada doce rneses independientes de las que

se registran mes a mes?.

Con todo, debo manifestar que mi duda acerca de la desestacionalización de series

económicas es más fundamental. Es conocido que la mayoría de las series económicas

de frecuencia rnensual o trimestral tienen estructura estocástica estacional, y es obvio

que dicha estructura debe ser tratada adecuadamente si se quiere que el análísis de la

serie tenga un mínimo signíficado, Sin embargo, me resulta mucho menos obvio que sea

preciso descomponer una serie en sus diferentes corr^ponentes indiscriminadamente, es

decir, sin que la decísión de descomponer o no, dependa del objetivo que se persigue.

Revisemos las razones usualmente expuestas en favor de la desestacionalización 1)

Ayudar en el seguimiento a corto plazo de la serie, 2) simplificar al público la compren-

sión de la información estadística, 3) ayudar en la predicción de la serie, 4} facilitar la

identificación de relaciones con otras variables, y 5) hacer que los datos mensuales (o

trimestrales) sean comparables entre sí.

A mi juicio, todos estos motivos tienen su propia contrapartida {he expuesto una

discusíón más detallada en Novales 1987). Por ejemplo, es dudoso el papel de la

desestacionalización a efectos predictivos, Ambas componentes son, por construcción,

COMENTARit^s 87

ortogonales entre sí. Si las supuestas componentes reales fuesen ortogonales, entonces

no se ganaría nada prediciéndolas por separado y agregando sus predicciones. Si no

fuesen ortogonales, entonces no sólo se está ^cometiendo un error de especificación, sino

que se ganaría eficiencia en la predicción teniendo en cuenta su correlación. Habría que

predecir, bien con un modelo bivariante para las componentes, o con el modelo

univariante de la serie agregada.

Sin embargo, es bien cierto que una cifra de crecimiento mensual de ALP, por

ejemplo, requiere de una interpretación adecuada. En definitiva, no se trata de conocer

el crecimiento absoluto registrado dicho mes, sino su relación con el producido en los

mismos meses de años anteriores. Ahora bien, esta preocupación por el corto plazo

puede estar reflejando que no sólo existe un objetivo anual de crecimiento de ALP, sino

también una determinada trayectoria objetivo hacia él. Ello podría conducir a interven-

ciones de la autoridad monetaria con la frecuencia con que se observan desviaciones

con respecto a dicha senda, y no es claro que esto sea deseable.

Tampoco resulta evidente qué información, relativa a los objetivos de crecimiento

trazados para ALP, aporta la serie desestacionalizada, que no esté ya incorporada en la

serie original. Como ejemplo, consideremos las tasas mensuales de crecimiento de ALP

acumuladas desde diciembre del año anterior:

CRECIMIENTO DE ALP

1984 1985 198ó 1987

. Serie original

Crecimiento anual 14.2 13.2 11.4

Crecimiento hasta abril 10.2 13.1 11.8 10.0

Crecimiento acumulado

Media mensual 12.6 12.7 11.1 9.l

Desviaeión típica 3.4 1.3 1.2 1.7

2. Serie desestacionalizada

Crecimiento anual 14.1 13.2 11.3

Crecimiento hasta abril 13.3 17.0 15.2 13.^

Crecimiento acumulado

Media mensual 14.4 14.9 13.2 11.^Desviación típica 0.8 2.2 2.2 2.5

Nota: Los datos de 1987 se referen al período enero-abril.

ESTADISTiC'A ESPAÑOL..A

Crecimiento anual: Tasa de crecimiento desde diciembre del mismo año con respecto a

diciembre del año anterior.

Crecimiento acurnulado: Tasa de crecimiento producida desde diciembre del año ante-

rior, elevada a anual.

En la tabla anterior puede observarse lo siguiente:

a) Como cabia esperar, las tasas de crecimiento anual producidas en ambas series son

iguales (salvo redondeo).

b) Salvo en 19$4, en que la evolución de ALP fue especialrnente errática, esta tasa decrecimiento acumulado de ALP ha sido rnás volátil en la serie desestacionalizada queen la serie original. Lo mismo ocurre en los meses transcurridas de 1987.

c•) En la serie desestacionalizada, ei promedio mensual de esta tasa de crecimiento fueen los dos últimos años superior en un 1 b% al erecimiento anual. Mientras, excepto en1984, el promedio mensual de la tasa calculada sobre la serie ori^inal, además de sermenos voláti l, ha estado mucho más próximo al crecimiento anual.

La explicación de b}, puede estar en que la elección de la componente estacional demínima varianza deja "dernasiada" varianza en la serie desestacionalizada, lo que a suvez produce una evolución más volátil en dicha serie.

La observación c} indica que hay un "overshooting" en la evolucíón de la seríe

desestacionalizada con respecto a su objetivo, lo que no ha ocurrido en la serie original

en los dos últimos años. Esto resulta especialmente claro cuando se observan los valares

rnensuales de la tasa que aquí consideramos (que por falta de espacio no se presentan};

sin embargo, no encuentro una explicación razonable a este fenómeno.

De nuevo hay que hacer hincapié en que el método seguido para el tratamiento de la

estacionalidad, asi corno la evaluación de la calidad de la serie desestacionalizada debe

hacerse con un determinado objetivo en mente. En el caso de ALP, parece claro que la

autoridad manetaria encarga la desestacionalización para hacer más sencillo su segui-

miento a corto plazo. De acuerdo con este objetivo, si bien es verdad que la evidencia

empírica anterior es muy reducida, no creo que las observaciones b) y c) sean propieda-

des deseables de la serie desestacionalizada de ALP.

En efecto, interesaría que la serie desestacionalizada no fuese muy volátil, pues de lo

contrario el seguimiento a corto plazo estaria sujeto a un ruido excesivo. Si la deses-

tacionalización elimina.las fluctuaciones producidas por la heterogeneidad de los meses

del año, la evolución de la serie desestacionalizada debiera ser, en efecto, menos volátil

que la de la original. Sin embargo, el método de desestacionalización seguido tiene el

efecto opuesto, ai menos, con respecto a la medida de seguimiento que hemos analizado

en [a Tabla l.

C'C^MENTARIOS

Por otra parte, es cierto que los ALP tienden a crecer rápidamente en el primer

semestre del año, y más despacio en el segundo. Sería lógico que existiese más

"overshooting" en la serie original, que en la desestacionalizada, que trata este tipo de

regularidades interanuales. Sin embargo, hemos visto que ocurre justo lo contrario.

Si se quisiera extraer más información del cuadro anterior, ambas series muestran que

los ALP estaban creciendo en Abril de 1987 un 13% menos que el año pasado, y un

20°la menos que en 1985 ( los 4 primeros meses, en promedio, mostraban una evolución

similar). Si uno es suficientemente atrevido como para extrapolar, se podría pensar que,

de seguir así, el crecimiento anual para 1987 rondará el 1 tJ°lo. Para obtener evaluaciones

de este tipo, un observador casual de datos econórnicos, que trabaja con tasas como la

anterior, podría construir la tabla anterior, sin precisar la desestacionalización de la

serie. En todo caso, no parece que estas cifras, ni la evolución mensual puedan justif car

la alarma producida en los primeros meses de 1987, ni la drástica intervención efec-

tuada. El problema con la desestacionalización es triple: Si llevarla a cabo o no, cómo

efectuarla, y cómo interpretar la información resultante.

Si se utiliza la serie desestacionalizada, en el artículo de Maravall se proporciona

información estadística que considero importante para interpretar su significado real,

Así, en la últirna sección se calculan los intervalos de confianza de la tasa de variación

de ALP. De acuerdo con estos resultados, una tasa de crecimiento mensual, que elevada

a anual resulta ser del 12%, es compatible al 95°lo de conf^anza, con un crecimiento real

en el intervalo (7°l0, 17°l0). Como allí se dice, la amplitud de este intervalo es muy

superior a los niveles de tolerancia usualmente utilizados.

Mi lectura de esta propiedad es algo más positiva que la suya: Este resultado sugiere

que hay en la variación mensual de ALP (por ejemplo en su T;), demasiado ruido como

para poder rechazar la hipótesis nula de que el crecimiento observado es consistente con

el objetivo trazado de antemano. Dadas las repercusiones que tiene una actuación

restrictiva (en el caso de que ALP "parece" crecer por encima de su objetivo} de la

autoridad monetaria sobre el sistema crediticio, esta observación estadística muestra que

conviene no prestar mucha importancia a las desviaciones a muy corto plazo. Por

supuesto que conviene segui r de cerca dichas desviaciones, pero intervenciones de signo

contrario sobre los mercados de crédito pueden tener efectos perturbadores que no se

correspondan con el significado real de las desviaciones observadas.

Junto con este dato, el gráfico 9 del artículo muestra asimismo el número de meses

que deben transcurrir para que una determinada desviación media observada pase a

considerarse como indicacián de una desviación real. A este respecto, sería de nuevo

aún más entusiasta que Maravall al evaluar los resultados. En primer lugar, suponga-

mos que una desviación mensual con respecto al objetivo sea preocupante cuando

excede, al menos, al 3°l0. Incluso a un nivel de confianza del 95°l0, bastaría que dicha

90 ESTADISTIC'A ESPAti1C>LA

desviación se produjese en T;, en promedio, en dos meses consecutivos, para que se

rechazase la hipótesis nu[a de que ALP sigue la senda trazada. Junto con la observación

anterior acerca de que la autoridad monetaria no deba intervenir en el muy corto plazo,

ésta n ueva observación i ndica que una desviación promedia del 3% en T Ĵ pasaría a

considerarse como definítiva si se produjese en dos meses, y una desviacicín del 2% se

consideraría definitiva si se produjese durante 3 meses. Considero que estos márgenes

son más que suficientes para permitir la intervención contrarrestadora de Ia autoridad

monetaria.

Como complemento a la discusión que se hace en el artículo, sería interesantedisponer de intervalos de confianza para la estimación de la componente estacional dela tasa que hemos examinado antes, que acumula para cada mes del añs^ la variación

registrada desde di^ciembre del año anterior.

Una alternativa a la descomposición de series es el tratamiento de la estacionalidad

integrada en el modelo de la serie, como se hace en el análisis de Box Jenkins. Sería

interesante aprovechar esta discusión para que, si lo considera oportuno, Maravall nos

expusiese las razones que a su juicio existen a favor y en contra de utilizar una

metodología de desestacionalización frente a la atra.

REFERENCIAS

EtvV^E, R.: "Estirnating Structural Models of Seasonality", en Seasonal Analysis of Ec^anamic Timc^

Sc^r^c^s, editado por A► . 7_ellner, Bureau of the Census, Washington 197ó.

NovA^ES. A.: "Sobre la Desestacionalización de Series Monetarias", Documento de trabajo 87-13,

FEDEA.

CC?M^NTARiOS

+CONTESTACION A LOS COMENTARIOS

POR AGUSTII\( MARAVALL

91

Leyendo las discusiones de mi trabajo que han realizado Espasa, Treadway, Melis y

Novales, pienso que una importante virtud del mismo ha sido conseguir que cuatro

personas de su calidad y solidez hayan expresado opiniones sobre ei tema de la

descomposición de series, y en especial sobre la desestacionalización. Los temas que los

cuatro mencionan son muchos y, sin embargo, el sobrelapamiento es pequer^o. Me

limitaré a comentar algunos de los puntos que me parecen de más interés.

1. Insx^Tciencia ^e la Desestacionalizaeión Univariante en el ^^ntrvl M^netario

Empezaré por el comentario de ESPASA. En primer lugar, cuestiona la serie deses-

tacionalizada como señal de la evolución subyacente de la serie a lo largo del año, y

sugiere, en su lugar, una tendencia. Además, piensa que el seguimiento a corto plazo se

debe completar con una medida de la expectativa de crecimiento (la "inercia"). Estoy

de acuerdo en el interés de incorporar una estimación de la tendencia y algún tipo de

predicción. (Que la predicción sea a medio o largo plazo me preocupa algo, pues los

modelos ARIMA se han hechu, en mi opinión, para horizontes de predicción cartos).

Menciona Espasa que la inercia tiene la ventaja de que no se revisa con el paso del

tiempo. Si, en el modelo del trabajo, se def ne como componente estacional la expectati-

va de st que se tiene en t, la serie desestacionalizada tampoco se revisa. En definitiva,

toda medición que sea una expectativa es condicional a una inforrnación; es lógico que,

si la información se amplía, la expectativa se revise.

Estando, pues, de acuerdo en el interés de incorporar las dos mediciones que el

sugiere, no veo claro pvrqué eliminar, como complemento, una estimación de la

estacionalidad en cada momento (separada del ruido). En definitiva, tal y como se

desprende del trabajo que se discute, el componente estacional es el que mejor se rnide.

Primero, porque sus errores de estimación son más pequeños (Cuadro 5); segundo,

desde un punto de vista estructural, el espectro del componente teórico se haya mucho

más cerca del de su estimador teórico para el caso del componente estacional (ver la

Figura 10).

Por último, la incorporación de mecanismos de corrección de errores, tal como él

sugiere, me parece importante (Treadway se refiere en su discusión a un problema

relacionado). Es curioso que, una vez eliminadas intervenciones y MCEs de su ecua-

ción, el modelo de las líneas aéreas que resulta es muy cercano al obtenido en mi

[:ST A[:)lS^T1(^.A FSPAtit)1_:^

trabajo (con 16 observaciones menos). Así pues, los cuadros 4 a 7, en unidades de a^,,

siguen siendo aproximadamente válidos. E1 mayor valor de a^, en ei modelo del trabajo

implicará mayores errores en la parte puramente ARIMA del modelo. Pero los errores

de estimación de los caeficientes de las variables adicionates, en particular de la

estacionalidad implícita en los MCEs, compensará, en parte, ese efecto.

2. Lv.s Fundam^ntos d^ la D^sestacic^nalicación

El comentario de TREADWAY se centra en una reflexión sobre porqué se desesta-

cionaliza. Afirma "los analistas Box-Jenkins... (desestacionalizan)... casi excIusivamente

porque los no-analistas demandan series desestacionalizadas". Esto le Ileva a coneluir

que hay algo erróneo en todo ello. Pero ^porqué?. Se desestacionaliza porque se

demanda i^qué diferencia hay con la predicción? un analista Box-Jenkins hace pre-

dicciones, casi siempre, porque los no-analistas las demandan.

De tados mados, Treadway tiene razón en sentirse insatisfecho con el fundamento

económico de la desestacionalización. Discrepo, sin embargo, en algunos puntos. Por

ejemplo, al especificar que el componente estacional de una serie es un determinado

proceso ARIMA, no busco una def nición general. Más bien se trata de lo contrario. La

estructura general que hay es que la serie es ta suma de varios componentes ortogonales,

que estos componentes van a seguir modelos ARIMA (consistentes con los del agrega-

da}, y que cada componente se estimará por su esperanza condicional, dada la serie

temporal disponible. Así, un analista especifica un modelo para un componente en una

serie, y esa definición es preeisa para cada caso específ^co. Este modelo implicará, por

ejemplo, determinado espectro y FAC, que podrán ser analízados e interpretados. Si a

otro analista no le gusta, cambiará el modelo. Y así debe ser. En definitiva, la ex-

tracción de señales presenta una continuidad analítíca con Ia predicción (que resulta

más obvia en ta formulación con fiítro de Kalman). Permite también que distintas

usuarios o analistas presenten estimaciones distintas; exactamente igual que en pre-

dicción.

3. Dc^scc^nTpvsicrc^n C'crrt^inic^u

Cuestiona Treadway la utilización del criterio canónico para identificar la descompo-

sición de la serie. En la descomposición de la serie en tendencia, estacionalidad y ruido

(ortogonales entre sí, supuesto que no cuestiona), hay infinitas descomposiciones admi-

sibles. Todas ellas resultan ser iguales a la descompasición canónica más ruido super-

puesta. Elegir una descomposición es equivalente a elegir un número en el intervalo (CJ,

V) para la varianza del ruido, donde V es la varianza correspondiente a la descomposi-

(`()MENTARIOS 93

ción canónica. Si un analista tiene razones fundadas para afirmar que sabe a priori que

la varianza del ruido es, digamos, .052, entonces no habria razón para usar la descom-

posición canónica. Creer, sin embargo, que la teoría económica nos va a proporcianar

esa información a priori es, hoy por hoy, impensable. En ausencia de la misma, parece

razonable asignar al ruido lo que es ruido, y a la señal lo que es señal, puesto que en

definitiva se trata de características puramente estadísticas.

Por otra parte, los problemas previos que Tread^vay estudiaría antes de desestacio-

nalizar pueden tener poco que ver con las intereses del demandante. El señor que

pretende que le eliminen la estacionalidad para saber mejor donde se encuentra, puede

muy bien aceptar que, sin embargo, "las funciones de transferencia son invariantes a la

frecuencia del input". Esta hipótesis, como teoría general, me parece excesiva, y pre-

cisamente Espasa, en su discusión, proporciona un ejemplo en el que la tendencia y el

irregular tienen efectos diferentes.

No voy a detenerme en más puntos. Los ejercicios que Treadway sugiere paracomprender mejor el papel de la estacionalidad me parecen de interés. Me gustaríapoder animarle a que él mismo abordase alguno de ellos.

4. ,k'll ►^ lu Dc^sc^ojnpc^srci^^n de fu ^^arian^u

La discusión de MELIS se centra, por el contrario, en puntos específicos relacionados

con la metodología de la desestacionalización.

Comparando X 1 1 con el método del trabajo, menciona que el primero tiene también

estadísticos de medida y control, lo cual es cierto. Sin embargo su interpretación resulta,

en ocasiones, menos clara. Veamos un ejemplo mencionado por Melis: 1a descomposi-

ción de la varianza de la serie estacionaria en varianza asociada con tendencia, estacio-

nalidad e irreguíar. Los componentes son supuestamente ortogonales, pero el mensaje

de X 1 1 puede ser que, por ejemplo, la suma de sus varianzas es un 1 18%, o un 82%, de

la varianza de la serie estacionaria. ^Cómo interpretar este mensaje? Veamos, por el

contrario, como se contestaría a esta cuestión utilizando el método del trabajo. Para ello

utilizaremos el ejemplo analizando en la Sección 1.2: la serie trimestral que sigue el

modelo 04 zr - ^t.

Puesto que (1.1 1) implica que la transformación estacionaria de la serie, o,^ ^,, esigual a

^4 ^, _^ ^4 ^;, + ^4 t^l,,

94 E.S"TA[^tsTIC'A ^:SPAI^OLA

de las definiciones (1.16) de los componentes es inmediato que

V ^ ^, = (1 +B)' (1 +B?) a,r + (1- B)` (1 +B') a^, +

+ (1-B`)`^ u_^^ + ( I -84) u, ,

y, por tanto, la varianza {V) de la transformación estacionaria de la serie se puede

expresar como

V=14^;+14^+6^+2crú

El primer sumando es la parte asociada con a,,, es decir con la tendencia. Los dossegundos sumandos se asocian con la estacionalidad (a,, y a3,), y el tercero con el

irregular (u,). Considerando ( 1.17}, resulta que un 7I32 de V(un 22^%) se asocia, pues,

con la tendencia, un 19/32 de V(un 60%) se asocia con estacionalidad, y un 6/32 (un

18%^) se asocia con el irregular: La descomposición de V tiene ahora una derivación

rigurosa, y la suma de los componentes será siempre el 100% de la serie. Notese que el

método de modelos permíte obtener información más detallada como, por ejemplo, las

contribuciones relativas de las distintas frecuencias estacionales. Así, de la parte de V

explicada por el componente estacional, el 37f% está representado por la frecuencia de 2

veces al año, y el ó3c% por la frecuencia de una vez al año.

5. Limitac^iones clc^ Ic^s Mc^clE^l^s ARIMA

No comparto su opinión de que los modelos AR1MA son difíciles de identificar, a

pesar de que, en un trabajo que menciona, X 1 1 AR1MA (X 1 1 A) rechazase los tres

modelos de defecto para muchas de las series. Nunca he comprendido el criterio de

X 1 1 A: las razones para usar X 1 1 A en lugar de X 1 1 son igualmente válidas para series

que se predicen con un diez por ciento de error que para series con un error de

predicción del uno por mil. En cuanto al hecho de que distintos analistas puedan llegar

a desestacionalizaciones diferentes, como ya he dieho antes, me pareee una virtud, no

un defecto. Sobre todo cuando se proporcionan ias bases para poder comparar las dos

desestacionalizaciones.

Piensa Melis que los modelos ARIMA no permiten capturar bien armónicos con

contribuciones muy distíntas. Como ilustra claramente el ejemplo del final del punto 4

anterior, esto no es cierto. En general, los parámetros de la parte MA del modelo

proporcionan flexibilidad en ese sentido. Si ésta no fuese suficiente, ello se detectaría en

la comparación de las FAC teóricas de los estimadores y de las FAC empíricas, tal y

como se sugiere en la Sección 4.1. del trabajo.

Plantea Melis el problerna de capturar ciclos. Es cierto que los modelos ARIlN1A no

suelen contener cictos (aunque haya excepciones). C'omo menciono al final de la

C'CIMENTARIOS 95

Sección 1, en principio cualquier ciclo podría capturarse por medio de raices complejas

del polinomio AR, y hoy se pueden estimar fácilmente los polinomias AR, incluyendo

los que tienen raices unitarias, gracias a los trabajos de Tiao y sus colaboradores (ver,

por ejemplo, Tsay y Tiao, 19$2). La extracción de una señal ciclica no plantea ningún

problema conceptual nuevo.

En última instancia, las dos críticas: inflexibilidad para capturar armónicos con

contribuciones muy distintas y la ausencia de ciclos, son criticas generales a los modelos

ARIMA y a su uso. De ser ciertas, afectarían también a la predicción. Pero no creo que

tenga sentido decir que, en general, la clase de modelos ^(B^ z, _©{B) at tiene muchaslimitaciones teóricas corno aproximación a procesos estocásticos lineales. Lo que si

existen, claro está, son limitaciones en la información disponible o en el analista.

lncidentalmente, la linealidad del proceso estocástico es también un supuesto que puede

ser restrictivo; un ejemplo de no-linealidad precisamente estacional, en la serie decenal

de efectivo, se analiza en Maravall, 1983.

Frente al método usado en el trabajo, Melis confiesa preferir los métodos que parten

de un modelo para el vector de estado. Puesto que el modelo para el vector de estado

implica determinados modelos ARIMA para los componentes y para la serie agregada,

y viceversa, arnbos métodos parten del mismo tipo de modelo, expresado en formato

distinto. La otra diferencia es el uso del flltro de Weiner--Kolmogorov (WK) con

modelos ARIMA (tal como se realiza en el trabajo), o en el uso del filtro de Kalman,

corno algoritmos que computan la misma esperanza condicional. Asi pues, cualquier

método basado en un vector de estados puede formularse fácilmente en forma tal que la

técnica de análisis que se presenta en el trabajo sea directarnente aplicable. Si bien los

dos procedimientos de computación (flltros de WK y de Kalman) son muy eficientes,

desde el punto de vista del análisis, la modelización ARIMA y la expresión compacta

del filtro de WK ofrecen ventajas grandes.

6. Irregularidad de la Serie y.^rrores de Estimación.

Melis plantea la posibilidad de que el mayor error de estimación de la tendencia

pueda estar ligado a la escasa irregularidad de las. series de ALP, Piensa que seria de

gran interés una comparación de los errores, entre serie desestacionalizada y tendencia,

para series de distinta irregularidad.

Una medida conveniente de irregularidad es la proporción de cr^ que representa la

varianza del irregular. En unídades de r^, para la serie de ALP obtuvimos ^= 10$.

Manteniendo el modelo de las lineas aéreas, para 6t = B1Z =.75 resulta o^ =.581; para o^ j

_-.75, Q^^ =,^25^ resulta o'^ú =.007. En el Cuadro 11 se presentan las varianzas de los

96 ESTAUIST[('A ESF'AÑO[^A

errores para ambos casos. Se observa que siempre sucede que la tendencia se estimapeor que la serie desestacionalizada. Para a~ú - 0, puesto que entonces zu- p^, los erroresen las dos mediciones son aproximadamente iguales.

Cuadro I1

VARIANZA DE LOS ERRORES DE ESTIMACION PARA SERIES CONDISTINTA IRREGULARIDAD

Varianza delIrregular

Error deEstimación

final

Error deRevisión

ErrorTotal

Tendencia .075 .087 .162.581

Serie Des. .075 .067 .142

Tendencia .504 .653 1.157.007

Serie Des. .504 .648 1.152

7. L^rrvres de Trun^amiento y Revisrvnes

Por última, Melis plantea unas preguntas. Primero, se pregunta si el error de trunca-

miento del filtro (3.1) es despreciable. El Cuadro 6 contesta a la pregunta: aproxima-

damente el error es del orden del 5% cuando se trunca a los tres años, y del 1°la cuando

se trunca a los cinco años (tanto en el caso de la serie desestacionalizada como en el de la

tendencia}. Para modelos distintos, los resultados variarán. Así, la Figura 14 presenta la

varianza de los errores de truncamiento del filtro de la tendencia y de la serie desesta-

cianalizada, para el modelo del trabajo y los dos modelos del Cuadro 1 1(la serie muy

irregular y la muy suave}. Para estos dos modelos la tendencia se puede truncar antes

que para el ejernplo del trabajo. Cuando el irregular es grande, sin embargo, el filtro que

proporciona la serie desestacionalizada tarda más en converger.

E1 cuanto al efecto de eompletar el f ltro con predicciones para fechas cercanas alpresente, es cierto que eso implica que los filtr©s en los extremos de la serie sondistintos en módulo y fase al filtro central. tJno puede, por supuesto, utilizar filtros sóloen la dirección del pasado, en cuyo caso no hacen falta predicciones. Pero el caráctersímétrico del filtro para el pasado y el futuro resulta de la minimización del error

C'OMENTARIOS 97

cuadrático medio del estimador del componente, tal como se expane en el Apéndice A,Dicho de otro modo, uno puede cambiar el criterio de optimalidad y utilizar estimado-

res con mayor ECM. (Bajo los supuestos del trabajo, el estimador que minimiza el ECM

es también la esperanza condicional del componente, dada la información disponible).

No conozco ningún criterio que pueda resultar globalmente preferible a minimizar el

ECM y que proporcione filtros sólo en la dirección del pasado.

8. Los Supuestos del 1l^fodelo

Paso, por último, al comentario de N+OVALES. Este plantea algunas cuestiones

metodológicas; realiza, además, un ejercicio empirico que le lleva a la conclusión de

que la serie desestacionalizada tiene poca utilidad. Este ejercicio, en mi opinión, tiene

mucho interés y su esfuerzo por mirar a los números y tratar de interpretarlos merece

un agradecimiento especial. Comenzaré, primero, por los comentarios más generales.

Aunque la estacionalidad o la tendencia presente, en general, un caracter móvi l,

obviamente van asociados ambos a un comportamiento regular en el tiempo. Sería un

contrasentido, por ejemplo, hablar de estacionalidad si esta fuese cada año completa-

mente diferente. ^Porqué escager para un componente estacional, entre dos modelos

indistinguibles por medio de la muestra, aquél que presente un comportamiento más

errático?. La descompasición canónica dá una serie desestacionalizada ciertamente dis-

tinta de la que daria otra descomposición. Concretamente, como ya mencioné antes,

esta última sería igual a la canónica más ruido superpuesto.

Cuestiona Novales el supuesto de componentes ortogonales. Este supuesto no imponerestricciones sobre la serie, puesto que siempre podemos descomponer el espectro en

partes aditivas. Si con e1 supuesto de ortogonalidad se plantean problemas de identifi-

cación, éstos se multipliean si se permite que los componentes estén correlacionados. Es

necesario, pues, introducir información a priori fuerte sobre la estructura de esascorrelaciones cruzadas, lo cual no es un problema trivial. Una virtud obvia de laortogonalidad, por otra parte, es que, por construcción, lo que se quita de la serie esindependiente de lo que se deja.

En cuanto a la utilización de la serie desestacionalizada en predicción, es fácil ver quela predicción de la serie agregada es 1a suma de las predicciones de sus componentes. Enel método del trabajo, se utilizaría en la predicción el modelo para la serie agregada. Enlos métodos con vector de estado, a los que Melis se refiere, se agregarían las prediccio-

nes de los componentes. Si íos modelos son correctos, ambas cosas deben dar lo mismo.

9$ ESTA DiST fCA tvSPA ÑOI..A

9. ^'rraticidacl de la Serie Origrnal y de la Serie Desestacivnalizada

A fin de cuentas, la serie desestacionalizada se utiliza para ayudar en el seguimiento acorto plazo de la serie, eliminando la variación puramente estacional. Esta razón,aunque simple, parece sólida y, a pesar de las reservas académicas, la demanda de seriesdesestacionalizadas (y, en general, de estimación de componentes) aumenta consistente-mente. Pero, puesto que se le está quitando a la serie una parte de su variación, sería deesperar que la serie desestacionalizada fuese menos errática que la original. El puntocentral del comentario de Novates se relaciona con este tema.

Novales considera la serie mensual de ALP, original y desestacionalizada, para losaños 84, $5 y$6 y cuatro meses del 87. La serie desestacionalizada que utiliza no es laque se obtiene por medio del método descrito en el trabajo, sino la of cial del Banco deEspaña, cuyo método de cálculo es considerablemente diferente (se encuentra descrito

en el Bvletín .iEconómico de Junio 1986).

Calcula las tasas de crecimiento anualizadas que resultan al acumular los mesestranscurridos del año, para las dos series. Concluye que, para 1985, 1986 y los mesestranscurridos de 1987, las tasas acumuladas de la serie desestacionalizada han sido máserráticas que las de la serie original. Este es un resultado de interés y merece la penaverlo con más detalle. (E1 "overshooting" al que se refiere Novales en las medias de lastasas acumuladas de la serie desestacionalizada posiblemente se explique por el efectode anualizar las tasas acumuladas en un período en el que la serie disminuye. Esrazonable que el efecto se note más en la serie desestacionalizada).

Tasa T;

La desestacionalización de la serie ALP es multiplicativa y, por tanto, aditiva en las

logs. Tomando diferencias, resulta pues,

D loKz^=^ Ivgzu+o logst,

donde los dos sumandos de la derecha son ortogonales. Puesto que, al margen de la

anualización, o lo^ aproxima bien la tasa TÍ, debe suceder que la Ti de la serie

desestacionalizada tenga menor varíanza que la de la serie original.

Consideremos las siguientes series (todas referidas a la serie mensual de ALP que

termina en Abril 1987):

a) Serie Original (la del Banco de Datos).b) Serie Desestacionalizada Oficial (la del Banco de Datos).

c) Serie Desestacionalizada por medio del método del trabajo, con las l ó observacio-

nes adicionales.

t`t)ti1^ ti i 1R1E)ti

^^) Serie Desestacionalilada por medio de ?C 1 1 A, en su opción automática.

yy

Nótese que, mientras que c) y d) desestacionalizan la serie agregada, h) ^e obtienc: por

agregación de componentes desestacional izados.

Las medias de las distintas series desestacionalizadas resultan muy parecidas, y algo

distintas de la media de la serie original. Esto es razonahle ya que una estacionalidad

estocástica no se cancela exactamente a lo largo de un año. (Eso es precisamente lo que

implica la ecuación ?.yc). El C'uadro t? presenta las ^^arianzas de lati T; p^^r^^ lati cuatrc^

series anteriores. Se observa que la serie desestac^ionalizada es, en tc^dos 1os c^^^c)s, ti pc^r^^

todos }^ cada uno de los años considerahlemente menos errática que la serie c)rigin^il. La

►̂erie desestacionalizada más suave corresponde al método del tr^^hajo, ^ la más errátic^i

a la desestacionalización o^cial. Esta última resulta particularmente errátic.^a ^.^n los irt~^s

últimos años, precisarnente cuando la serie original se comport^i de: t ĉ̂ rn^a menc^^

errática,

Desde un punto de ^^ista operativo, tiene ta^nbién interés ^^er como la de^e^t<<c.^ic^n^i-

lizaeión se ha ido comportando mes a mes para el primer d^^tc^ puhlicac.ic^. E^t^^ cic^e^t^^-

cionalización tiene un carácter preliminar doble. Por una parte, utili-r.a lc^^ íiicic^re^

estacionales proyectados en D ► iciembre del año anterior; por otra p^^rte, lri prirncr^^

obser^^ación publicada de la serie original suele re^^isarse en lc)^ mc^^^•^ ^i^;ui^^nt^^^. EI

^uadro 13 proporciona la varianza de las T; de la serie ori^.inal ^^ cfc^e;tacionalil^^d^i

para las series de primeros datos publicados. De nueti^o, la desest^^c.•ion^111I^i^•ión r^•c.ju^^^.•

la ^^arianza de la serie original, aunque esta reducción es menor ^^omc^ c.:c^n^c^^u^^nci^l ^ic

los numerosos errores que contaminan los primeros datos.

:^10 ^^o^ a representar las FAC de tocias las series. Se c^hscsr^^a cn ^•11^^^ c^u^^ l^i

desestacionalización, en tocios los casos, eliminti corrclac^ión ^•^tacic^n^ll. l_^ ► pril^^era fila

del Cuadro 14 presenta l05 ^^alores de ^^, ^ para las series del ^'uadre^ 1?. I'uestc^ quc cl

error estándar asociado es del orden de . 1 n, se ohser^^a que, tii hien la ^^^ric.^ c^ri^in^il tic.^ne

una f^uerte correlacíón estacional, en ningún caso presentti l^i seric.• dc.^^c^t^^Ll()n^ílllr^c^a

correlación estacional significativa.

En conclusión, la desestacionalización reduce la varianza dc la serie ori^in^^l, ^•lir»i-

nando correlación estacional. A grandes rasgos, pues, la dcsestacionalización pare^^c.^

cumplir su cometido.

100 ^ ti^ ^t^r^;t^c ^ ttiE^^^^^^^ >

VARIANLA DE LA TASA T;

Scrie del Banco de Datos

( ^ttcrcl ► 'r ► I ^

Arios Serie t)riginal Serie D^sestacionalizada

Método delOf^.^ia^ X 1 1 A

T rahajo

1979 ?7^.^ 34.5 11.4 ?5.5KO 157.3 7.3 fi. l 6.7

Ki i8^.5 5.9 6.5 8.1

8? 1 17.1 IK.9 I?. i 19.1

8:^ 1 K5.9 1?.1 10.4 13.5

84 ^K 1.? ?9.5 ?3.3 ^9.7

85 78.3 31.^ 8.0 1 f^.0

8f^ 10^.4 3f^.9 5.7 ?8.?

(87) (^9.5) (15.4) (I.l) (?.8)

^T (? T,A 1_ 1 fi 1.1 ? 4. 9 1^. f^ ?^. 7

( i: Scjlc^ Ic^s ^ ^rir»^^c-c}^ mc^^s.

VARIAN"LA DE L.A TASA T;

Primera Qhserti^a^^ic^n P^rhlic.•^ida

5c.sric

nri^i na 1

Serie

Desestac.

otici^^l

19K3 187. ^ 7.0

K4 19 ^ .^i ?0.(^

85 K().8 -t5.fi

8f^ 1(^?.9 15.5

(87) (-^^.5) (^i^.(1)

( 'rrcrclr^r ^ I.^

( ): Sc^l^^ I^^^ ^ ^^-i ^1t^'rc^^ m^^^^•^.

COMENTARIOS

AUTOCORRELACItJN DE ORDEN 12

DE LAS SERIES DE TASAS

101

Cuaclro 14

Tipo de Serie Orig,inal Serie Desestacionalizada

Tasa

Oficial^étodo del

Trabajo^{ 1 1 A

T^ .74 .15 --.(Jl .O8

Tasa

Acumulada .44 .15 .18 .15

Tasas Acumuladas

Las series de tasas acumuladas que maneja Novales constan de 12 observaciones,

cada observación con una estructura estocástica distinta. Vienen dadas por la expresión

nr= [(Xr+^1 x^)J2^`- 1j 100, (c. l )

donde t=1,..., 12, y j representa el mes de Diciembre del año anterior. Linearizando esta

expresión y utilizando, de nuevo, la factorización o^ = o(1+B +...+ B`"1), se obtiene que

la estructura estocástica de n^ puede aproximarse por

n^=[(l+B+...+B`"r)/t]x;, (c.2)

donde x^ es la T^ del mes de Enera del año correspondiente y B opera sobre el subíndice

j. La estructura estocástica de n1 varía, pues, con t, de una manera compleja, y no es

posible hacer inferencias sobre la media y varianza de estas series.

Por otra parte, la acumulación de tasas puede afectar drásticamente a la varianza delas mismas. Como ilustración, sea z^ una serie de tasas T1, y supongarnos que sigue el

proceso AR(1):

zt = a^ l(1 +.99 B) (c. 3)

Es fácil ver que el espectro presenta un pico pronunciado para la frecuencia ^, lo que

implica una estacionalidad de período dos. Se trata, por tanto, de una serie con

estacionalidad, y su varianza (haciendo oQ = 1) resulta igual a V(zt) = 50.25.

ESTADISTIC'A ESPAÑOL_A

Consideremos ahora la serie de tasas T^: ^,° = Er, donde E, es ruido blanco, con

varianza c>^ = 1. La serie con estacionalidad es 50 veces más errática que la serie sin

estacionalidad.

Si multiplicamos las dos series por (1+.99B), lo que prácticamente es igual a acumular

as tasas T;, resulta:

Zt = (1 +.99 B) zt = a!

Za=(1+.99B) z'a=E,+.99e,_,

Es inmediato que, ahora, V{Zt) = 1 y V(Z;^) - 2. La varianza de la serie sin estacionali-

dad pasa, como consecuencia de la acurnulación, de ser 1150-avo a ser el doble de la

varianza de la serie con estacionalidad. EI misrno tipo de efecto que detecta Novales.

Hay, además, muchas otras razones para pensar que la desestacionalización, desde

1985, contiene errores. Primero, se trata de los años del final de la muestra y están

afectados, pues, por el error de revisión (tanto por la revisión de los factores, como por

la revisión de ta serie original). Segundo, están siendo también arios de eambios impor-

tantes en el marco institucional en el que se generan las series. Por poner unos

ejemplos: a) La evolución de los impuestos ha planteado problemas considerables, tanto

por los cambios en las fechas de recaudación, como en la dificultad de anticipar los

niveles de recaudación. b) La aparición de varias series sobre las que se dispone de poca

información. Por ejemplo: los Pagarés del Tesoro parecen presentar una estacionalidad

fuerte. ^Representa esta una peculiaridad de ia política financiera estos ar^os, o se trata

por el contrario de un componente sistemático?. c) Los fuertes transvases que se han

producido de unos componentes de los ALP a otros, y la evolución atípica de alguno de

los componentes. Un ejemplo es la serie de Operaciones de Seguro, que multiplicó su

nivel de un año a otro, explosión que continuó más allá de las expectativas que se

tenian. Puesto que la desestacionalización oficial de los ALP se realiza de forma

indirecta, por medio de la suma de componentes desestacionalizados, los problemas

anteriores han afectado a su desestacionalización. Desde 1985, la desestacionalización se

encuentra sometida a una incertidumbre especial.

Pero a pesar de que pueda ocurrir que, en algún año, las tasas acumuladas de la serie

desestacionalizada sean más erráticas que las de la serie original, el resultado no deja de

ser perturbador. Quien realiza la politica monetaria a corto plazo (el demandante de la

serie desestacionalizada) demanda, creo yo, una suavizacíón de la serie.

En consecuencia, rehice el ejercicio de Novales para las tasas acumuladas de las

cuatro series del Cuadro 12, para los años 1979 a 1987 (cuatro primeros meses). El

Cuadro 15 compara las varianzas de las tasas acumuladas. Se observa que la desestacio-

nalización oficial disminuye la varianza todos los años, excepto en 1985, 86 y cuatro

C ^ O ti1 E ^^^ ti ^ f' ^^ R I ( ) ti { O ^Ŝ

^rimeros meses del 87. En estos años, por cierto, la varianza de la tasa acumulada de la

serie original disminuye drásticamente, de manera que las varianzas de la serie desesta-

cionalizada, aunque algo mayores, siguen siendo reducidas. Para la serie desestacionali-

zada obtenida mediante el método del trabajo y mediante X 1 I A, en todos los años sin

excepción, las tasas acumuladas tienen una varianza más pequeña que la serie original.

La suavización de las tasas acumuladas de la serie desestacionalizada es particularmente

acentuada cuando se utiliza ei método del trabajo.

Si se calculan las FAC de las distintas series de tasas, se observa de nuevo que la

reducción de la varianza en la serie desestacionalizada va acompañada por una dismi-nución de la correlación estacional, como se desprende de la segunda Fla del Cuadro14. De nuevo, la desestacionalización cumple, a grandes rasgos, sus objetivos.

Lo que la crítica de Novales y la discusión anterior ponen de manifiesto no es unacrítica general a desestacionalizar serie, sino una debilidad del método oficial de desesta-

cionalización indirecta seguido en el Banco. La razón por la que ésta se realizaba de

VARIAN"LA DE LAS TASAS ACUMULADAS

Serie del Banco de Datos

Ct^uclr•c^ 15

Años Serie Original Serie Desestacionalizada

M étodo de 1Oficial X 1 I A

Traba'oJ

1y79 17.5 11.5 2.7 4.2$4 7.7 .3 .8 1.481 9.1 .6 1.4 2.3

^^ 8.0 .6 .5 .5^ 3 17. 3 f^.4 4.1 8.9

^4 1 ?.8 1.3 1.5 3.9

^5 I.f^ 4.? .8 .6

^(^ 1.4 ^.8 .5 1.0

(^7) (f^.^) (^.4) (.1) (.2)

"I^OT,^ L 15.4 9.9 7.6 9.1

1 1: Sc^lo Ic^ti ^l ^rim^^rc^^ mc.^^,^^^.

I O^i r ^;^r 1r^^^^^^^^^^ t ^^^^^^c^i ^

forma indirecta era que, por una parte, los componentes de ALP siguieron eomporta-

mientos relativamente estables durante varios años y, en definitiva puesto que los

componentes de ALP también requieren factores, la desestacionalización indirecta

resulta más sencilla. Por otra parte, la predicción indirecta ha sido, durante estos años,

más ajustada que ia directa. La erraticidad de Cas tasas acumuladas de la serie oFcial

desestacionalizada induce a pensar que, quizás en años de grandes cambias en los

componentes, la agregaeión suaviza el efecto neto de esos carr ►bias y produce series

desestaci^nalizadas más estables. La discusión de Novales me ha sugerido, pues, una

posible manera de mejorar la desestacionalización oficial y por eso le estoy agradecido

(más aún cuando, como hemos visto, el defecto se soluciona utilizando el método

descrito en el trabajo).

Puesto que, en su opinión, las tasas acumulaclas c^e la serie desestacionalizada juegan

un papel importante, Novales sugiere que t^:ndría interés un cuadro con los errores de

estimación asocic^dos con d^chas tasas. Linearizanda (c. l) por medio de (c.2), y utilizan-

cio un razonamiento silnilar al ciel Apéndice B, es fácil ver que la varianza del error de

estimación de la tasa acumulada hasta el mes t(t=1,..., 12), puede aproximarse por

V, - ? 88.10^. V^. (1-^^,^) / t'

doncie V,, es la ^^arianza c^el error de que se trate en la serie. El Cuadro f f^ mucstra la^

varianzas de (os errores de estimación final y total, para la serie desestacionaliz^^^i^^ ti l^i

tencienc.•ia, cie la tasa acurnulada para cada mes. (E1 cuadro se basa en el mo^ic.'lo ^i^'1

tr^^hajo}. La varianz^i del estim^idor contemporáneo supone que, a) acumular. p^lra los

mc:ses anteriores se m^intiene el estimador c,•ont^'mparáneo. Si se reti^isasen lo^ f^ictores

mensualn^ente, Itl varianr^i ^1e1 cstimador conten^poráneo sería un ^^^I^^r inte.'r^^^^.'^.iic^

entre la columna de la izquiercla ^^^ la columna dt la derecha del cuac^ro. Sc ^^hs^'r^ << <^u^'.

c:uanc^o han iranscurrido 3 n^cses, l^i v^trianza del error se hti rc^iucidc^ ^i 1^^i^• ,il ^^^I^^r

itli^`I^il (^'^ c:^t.' l^i t^iti^i Tj); ^il iC^il^ti^'UCC11' nlt'1^10 ^iilo, fiproXlllltit^^illlt'111t', l^i ^^ll'1'.illl^l l^c.'1

^.'rror sc^ I^r^ rec^uci^ío ^i 1 I(). E n t^rminos ^lc.' ^^cs^^iacic^n típi^•^^, cl error c,•n ^•I c:stic^^^i^1^^r

conteniportín^'o, ^il ^ic.•un^ul^^r ^ n^eses, ^.'s ^1c1 orden de 1.^ puntos porc^•iitu^il^'s ^1^'

c.•re^:i^^liento tiI1LI4^I, ^^u^' ^^' rc^c^uc^•n ^t .^ ^^1 ^ic.^ui»ul^ir fi »^t'ses.

('()MENTARI()S

VARIANZA DE LOS ERRORES DE EST'IMACIQN

DE LAS TASAS ACU MU LADAS

i^s

^'uuclrc^ 1 h

Estimador Conternporáneo Estimador Final

SerieDesestac.

Tenden-cia

SerieDesestac,

Tenden-cia

Ene. 5.00 6.34 2.41 2.76

Feh. 2.65 3.13 1.32 1.64Mar. 1.68 1.92 .84 .97

Abr. 1.16 1.30 .57 ,65

May. .83 .93 .41 .45

Jun. .b 1 .67 .29 .33

Jul. .44 .50 .21 .24

Ago. .32 .36 .15 .17

Sep. .22 .2b .1 1 .12

C)ct. . l 5 . l 7 .07 .08Nov. .08 .10 .03 .OS

1 ^. ^^11/11('l11C11'1(1.1 ^lilU1('.1^

Por último, No^^ales me pregunta las razones a favor y en contra de utilizar el anáiisis

Box-Jenkins como metodología de desestacionalización, frente a la expuesta en mi

trabaj©. Pero el análisis Box-Jenkins no es, en modo alguna, una metodología de

desestacionalización. De hecho, el método expuesto en el trabajo es la forma en que el

análisis Box-Jenkins, enfocado hacia la predicción, se extendió al campo de la desesta-

cionalización, como se ve claramente en Box, Hillmer y Tiao (1978, referenciado en el

trabajo). En definitíva, se trata de contestar a dos preguntas relacionadas, pero

claramente distintas. U na es, al margen de la estacionalidad y posiblemente del ruido,

^donde estamos?, y la otra ^hacia donde vamos?.

M i contestación se ha extendido más de lo que esperaba y, aún así, no he podido.abordar muchos de los puntos, ni habré podido despejar muchas de las reservas. Pero

quiero acabar resumiendo muy brevemente mi posición. No pretendo yue el método

descrito en el trabajo sea "el mejor", ni que haya resuelto todos los problemas; ni por

asomo. Pienso sin embargo que, en un tema sembrado de ambígiiedades, confusián y

dificultad, permite atacar los problemas de manera sistemática y sensata. En última

instancia, para mi se ha convertido en un instrumento computacionalmente cómoda y

analíticamente poderoso, con el que es posible trabajar confortablemente.

^ t^^ E^S i^.^>DISTICA E:5PAÑt1[..A_. _ _ _ _ ___ _. _ _ _ _ _ _ _ _ __ ___ _ _. _... _ __ _ _ _ _ _

REFERENCIAS ADICiONALES

MARAYALL. A. { 1983): "An Application of Nonlinear Time Series Forecasting", Jot^rnul uJ^Businc^ss• ancl ^cvnomic• .Statrstics. I , 66-74.

TsAY. R. S. y G. C. TIAO (1982): "Consistent Estimates of Autoregressive Parameters and Extended

Sample Autocorrelation Function for Stationary and Nonstationary ARMA Models", TechnicalReport No. 683, University of Wisconsin. Madison, Department of Statistics.