5.5   DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES USANDO  MATLAB

Una herramienta importante en el diseño y análisis de sistemas de control esMATLAB. Comenzaremos viendo su aplicación en la descomposición de expresiones en fracciones parciales, para lo cual consideraremos la razón de dos polinomios b(s) y a(s) de la forma 

donde a(1)  0, pero algún a(i) y b(j) pueden ser ceros.

Los vectores fila num y den especifican los coeficientes del numerador y del denominador de la función de transferencia. Es decir,

num = [b(1)  b(2)  ...  b(n)]

 den = [a(1)  a(2)   ...  a(n)]

La orden

[r,p,k] = residue(num,den) encuentra los residuos, los polos y los términos directos de una descomposición en fracciones parciales del cociente de dos polinomios B(s) yA(s). La descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s) viene dada por 

Ejemplo 5.7

Descomponer en fracciones parciales la siguiente expresión

Solución

Para esta función,

                        num = [2  5  3  6]

                         den = [1  6  11  6]

La orden

                         [r,p,k] = residue(num,den)

da el siguiente resultado

>> num = [2 5 3 6]

>> den = [1 6 11 6]

>> [r,p,k] = residue(num,den)

r =

      -6.0000

      -4.0000

       3.0000

p =

    -3.0000

    -2.0000

    -1.0000

k =

       2

>>

(Observe que los residuos se devuelven en un vector columna r, la localización de los polos en un vector columna p y los términos directos en un vector fila k). Esta es la respuesta en MATLAB de la siguiente descomposición en fracciones parciales de B(s)/A(s): 

La orden

          [num,den]=residue (r,p,k)

 donde r, p, k son dadas en la anterior salida de MATLAB, convierte la descomposición en fracciones parciales al polinomio cociente B(s)/A(s) como sigue: 

Usando el simulador UNTSIM a)  Descomposición en fracciones parciales Ingresando a Calculos matemáticos-Transformadas-Descomposición por fracciones parciales, se tiene la siguiente respuesta

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ESTE PROGRAMA DESCOMPONE UNA FUNCION EN EL DOMINIO DE LAPLACE

POR EL METODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA TENER UNA

EXPRESION DE LA FORMA: a(S)/b(S) = n1/d1 + n2/d2 + ... + k

Ver Automatizacion y control Cap. 5.3

Ingrese coeficientes del numerador: [2  5  3  6]

Ingrese coeficientes del denominador: [1  6  11  6]

--------------------------------------------

Numerador(n)   Denominador(d)=(s-...)

   -6.0000   -3.0000

   -4.0000   -2.0000

    3.0000   -1.0000

El residuo k= 2

Con lo cual la descomposición en fracciones parciales es:

Ahora podemos tomar la transformada inversa, según la Tabla (4.1).

       y(t) = – 6 e–3t  –  4 e–2t  +  3e–t  +  2

 

b)  Invirtiendo F(s) a F(t)

Ingresando a Calculos matemáticos-Transformadas-Inversión de F(s), se tiene la siguiente respuesta Copyright 2004 UNT

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11-Apr-2004

ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t)

DE UNA FUNCION F(s)

**************************************************************

Ingresar Funcion F(s): (-6/(s+3))-(4/(s+2))+(3/(s+1))+2

*************************************************************

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES:

-------------------------------------------------------------

-6 exp(-3 t) - 4 exp(-2 t) + 3 exp(-t) + 2 Dirac(t)

-------------------------------------------------------------

>>  

Ejemplo 5.8Determinar la expansión por fracciones parciales de:

Ingrese coeficientes del numerador: [ 2 0 9 1]

Ingrese coeficientes del denominador: [ 1 1 4 4]

--------------------------------------------

Numerador(n)     Denominador(d)=(s-...)

0.0000 - 0.2500i  -0.0000 + 2.0000i

0.0000 + 0.2500i  -0.0000 - 2.0000i

-2.0000 -1.0000

El residuo k= 2

Luego la expansión en fracciones parciales es

 y la transformada inversa será:

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16-May-2004

ESTE PROGRAMA ENCUENTRA LA TRANSFORMADA INVERSA f(t)

DE UNA FUNCION F(s)

**************************************************************

Ingresar Funcion F(s): 2+(-2/(s+1))+(1/((s^2)+4))

*************************************************************

LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA FUNCION ES:

-------------------------------------------------------------

                              1/2          1/2

2 Dirac(t) - 2 exp(-t) + 1/4 4        sin(4      t)

-------------------------------------------------------------

>>

>> [num,den]=residue (r,p,k)

num =     2.0000  5.0000  3.0000  6.0000

den =    1.0000  6.0000  11.0000  6.0000