Grupo 19 11-05-2015

Descomposicin de la varianza (o de la variabilidad)

Vamos a usar un ejemplo que ya propusimos en su da cuando hablbamos de la regresin lineal

(tema 11. Asociacin entre variables). Trataremos de desarrollar un modelo por el cual el peso

(x), nos sirva para predecir la variable permetro torcico (y). La nube de puntos tras recoger los

datos de nuestra muestra nos dio de la siguiente manera:

Sobre este diagrama dibujamos el centro de gravedad de la nube de puntos (sealado con la

flecha). Este punto es el punto de corte entre la media del peso y la media del permetro torcico

en mi muestra.

Una vez recordado esto podemos centrarnos en la descomposicin de la varianza.

Nos llega un paciente de la misma poblacin a la cual pertenecan nuestros individuos de la

muestra que nos permitieron desarrollar el modelo de regresin lineal. Nosotros no sabemos ni

su pero ni su permetro torcico, pero por ser de la misma poblacin de primeras pensaremos

que su peso est en torno a la media (68.58), al igual que el permetro.

Para ver como descomponemos la varianza vamos a coger como ejemplo al individuo 11 (punto

encuadrado). Su peso es ms o menos 72, y su permetro torcico 98.

Vemos en cuanto nos hemos equivocado a la hora de predecir el permetro torcico con nuestro

modelo del centro de gravedad:

98-89.5 (media)=8.5 cm

Esto en una expresin genrica, elevado al cuadrado quedara de la siguiente manera:

( )2

Est expresin ya la conocemos, es la varianza. La raz cuadrada de esta expresin sera la

desviacin tpica, es decir, cuanto se separa mi valor de la media.

Sin embargo, lo que nos interesa es la descomposicin de la varianza, porque en este caso

concreto lo que nosotros conocemos es el peso (x), no el permetro torcico (y), que es lo que

queremos predecir. Por esto usamos el modelo lineal. La recta de regresin, recordamos que es

una recta que debe pasar por el centro de gravedad de la nube de puntos:

La ecuacin de esta recta, de forma genrica, ser: ( sera con acento circunflejo,^, pero no lo

hemos encontrado. Esto significa valor estimado)

= a + bx

( )2

Variabilidad

total (para un

individuo)

Este modelo no lo establecemos porque s. Creamos este modelo a fin de comprobar si el error

de prediccin del permetro torcico se reduce (es menor de 8.5).

Nos llega un paciente con el mismo peso que el del paciente once (72 kg), e intentamos predecir

su permetro torcico gracias a nuestro modelo. Cunto se separa el permetro de un individuo

de 72 kg de peso de la media segn nuestro modelo? La frmula genrica sera la siguiente:

(corresponde a la lnea verde)

(i - )2

Esta es la parte de la variabilidad que explica mi modelo, pero hay una parte que queda sin

explicar, que se conoce como la variabilidad de error o de residuo. (lnea verde) La forma

genrica es la siguiente:

(yi - i)2

De estas dos frmulas, que vemos que entre las dos abarcan lo mismo que la variabilidad total,

sacamos la descomposicin de la varianza para un individuo:

( )2= (i - )2 + (yi - i)2

Si a esto le aadimos los sumatorios, obtenemos la descomposicin de la varianza de todos los

individuos:

( )2= (i - )2 + (yi - i)2

LA VENTAJA DE USAR EL MODELO LINEAL ES QUE SE REDUCE EL ERROR.

El coeficiente de regresin nos indica la proporcin de la variabilidad total (denominador) que

explica mi modelo (numerador): (nos dice como de bueno es nuestro modelo)

2 = (i )2

( )2

Esta descomposicin de la varianza tiene que ver con el anlisis de esta (ANOVA). Cuando

realizamos un Anova recordamos que comparamos una variable cuantitativa en base a otra que

nos categoriza esta variable, con la hiptesis nula de que todas las medias son iguales y la

hiptesis alternativa de que al menos una es diferente. En el ejemplo que usamos para explicar

este anlisis de hiptesis. Tenamos tres grupos genotpicos, cada uno con su media, y luego

tenamos la media general.

Coordenadas de los puntos:

( , )

(i , xi)

(yi, xi)

Qu ser mejor, para evitar el error a la hora de hacer el diagnstico? Un modelo solo con la

media general o uno con las tres medias? Para eso utilizamos el sumatorio de cuadrados SS.

La frmula anterior podemos reescribirla as, donde i es el grupo al que pertenece nuestro

paciente (genotipo), j el individuo, y x la edad.

Si elevamos cada termino al cuadrado y hacemos el sumatorio para cada valor de i y de j,

obtenemos lo que se conoce como SS:

Para estimar la varianza dividimos cada axioma de esta operacin entre los grados de libertad

que correspondan:

- El primer elemento entre la muestra menos 1 (grados de libertad de toda la muestra)

nos da la varianza total

- El segundo elemento (sumatorio entre grupos) entre numero de grupos menos 1

(grados de libertad entre grupos) , y nos da la varianza entre grupos:

- El tercer elemento entre la muestra menos los grupos (grados de libertad en los grupos)

y nos da la varianza del error o residuo:

Todas las varianzas siguen una distribucin de chi cuadrado.

Media general

(mi modelo)

Media de cada uno de los genotipos

Edad del individuo j en el grupo i

Entre grupos

Todos los grupos Todos los individuos Tamao de cada grupo

Dentro de los grupos (no queda

explicado por el modelo)

Esto lo usamos para plantear el test de la F de Snedecor (parecido al cociente de regresin pero

para este modelo, nos dice como de bueno es). Este test compara MS entre grupos (lo que

predice mi modelo) y MS en los grupos (lo que no predice, el error aleatorio), estos valores

deberan ser muy similares puesto que estiman un mismo parmetro. Usamos el cociente entre

ambos estadsticos.

Cuanto ms se aleje del valor 1 (que sera cuando son iguales), menos probable es que la

hipotesis nula (igualdad de medias) sea cierta.

Es mejor un modelo basado en las 3 medias.