DescomposiciOn-Fracciones-Parciales

8/7/2019 DescomposiciOn-Fracciones-Parciales

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MATEMTICAS ESPECIALES. ITM Docente: Martha Guzmn.Pgina # 1 de 6

DESCOMPOSICIN EN FRACCIONESPARCIALES

Cualquier fraccin propia P(x)/ Q(x), escrita en su mnima expresin se puede descomponer en una suma de FRACCIONES

PARCIALES de la siguiente forma:

CASO A):Si Q(x) tiene un factor lineal no repetido de la forma( ax + b ), entonces la descomposicin en fracciones parciales de P(x)/Q(x), contiene un trmino de la forma: .A . , dondeA es una constante a determinar.

( ax + b )

EJEMPLO: . 5x -1 . = .A . ; dondeA es la constante a determinar.( x + 2 ) ( x + 2)

CASO B):Si Q(x) tiene un factor lineal que se repitek veces, de la forma( ax + b ), entonces la descomposicin en fracciones parcialesde P(x)/ Q(x), contiene trminos de la forma:

. A1 . + . A2 . + . A3 . + .. + . Ak .( ax + b )1 ( ax + b )2 ( ax + b )3 ( ax + b )k

EJEMPLO: . 6x 2 - 14x - 27.= . A 1 . + . A 2 . + . A 3 . ; Donde A1 , A2 y A3 son constantes adeterminar.

( x - 3)3 ( x - 3 )1 ( x - 3 )2 ( x - 3 )3

CASO C):Si Q(x) tiene un factor cuadrtico de la forma( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite:

PROCEDIMIENTO 1) : Si Q(x) tiene un factor cuadrtico de la forma( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no serepite, entonces la descomposicin en fracciones parciales de P(x)/ Q(x), contiene un trmino de la forma:

. Ax + B .; Donde A y B son las constantes a determinar.ax2 + bx + c

EJEMPLO: . x 2 + 1. = .Ax + B . ; Donde A y B son las constantes a determinar.x2+ x + 1 x2+ x + 1

PROCEDIMIENTO 2) : Si Q(x) tiene un factor cuadrtico de la forma( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no serepite, entonces la descomposicin en fracciones parciales de P(x)/ Q(x), puede realizarse despus de reducir la expresin( ax2 + bx + c ) ya no en los reales, sino en los nmeros complejos: ( ax2+ bx + c ) = (x + e+ j f ) * (x + e j f )

Y entonces la descomposicin en fracciones parciales de P(x)/ Q(x), tiene dos trminos de la forma:

. A . + . A * . ( x + e+ j f ) ( x + e j f )

EJEMPLO: . x 2 + 1 . = . x 2 + 1 . = . A . + . A * . x2+ x + 1 ( x + e+ j f ) ( x + e j f ) ( x + e+ j f ) ( x + e j f )

Donde A y A* ( Conjugado de A) , son las constantes a determinar.

CASO D):


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Si Q(x) tiene un factor cuadrtico de la forma ( ax2+ bx + c ) irreductible en los reales que se repitek veces, entonces ladescomposicin en fracciones parciales de P(x)/ Q(x), contiene trminos de la forma:

. A1 x + B1 . + . A2 x + B2 . + . A3x + B3 . + . + . Ak x + Bk .( ax2 + bx + c )1 ( ax2 + bx + c )2 ( ax2 + bx + c )3 ( ax2 + bx + c )k

DondeA1, B1, A2, B2, A3, B3, Ak , Bk , son las constantes a determinar.

EJEMPLO:. x 2 - x + 1. = . A 1x + B 1 . + .A 2x + B 2 . ; Donde A1, B1, A2, B2 son las constantes adeterminar.

(x2 + 2x + 2)2 (x2 + 2x + 2)1 (x2 + 2x + 2)2

CASO E) COMBINACIN DE CASOS:Si Q(x) tiene factores de tal forma que se presente cualquier combinacin de los casos anteriores, entoncespor cada casosepresentar una descomposicin en fracciones parciales de P(x)/ Q(x), segn se dijo anteriormente.

EJEMPLOS:

1) . 5x - 1 . = . A . + . B . ; dondeAy B son las constantes a determinar.( x + 2 ) ( x 3 ) ( x + 2) ( x 3 )

2) . 6 x 2 - 14x 27 . = . A . + . B . + . C . + . D . ( x + 8 ) ( x - 5 )3 ( x + 8 ) ( x - 5 )1 ( x - 5 )2 ( x - 5 )3

DondeA, B, C, D son las constantes a determinar.

3) . 3 x 2 - 6x 2 . = . A . + . B . + . Cx + D . ( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x2+ x + 1 ) ( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x2+ x + 1 )

DondeA, B, C, D son las constantes a determinar.

4) . 15x 3 + 4x2 + x 2 . = . A . + . B .+ . Cx + D . + . Ex + F . ( x + 12 ) ( x - 5 ) ( x2+ x +1 )2 ( x + 12 ) ( x - 5 ) ( x2+ x + 1 )1 ( x2+ x + 1 )2

DondeA, B, C, D, E, F son las constantes a determinar

MTODO DE HEAVISIDEEs un mtodo que permite calcular las constantes de los desarrollos en fracciones parciales parafracciones racionales propiasP(x)/ Q(x).

PROCEDIMIENTO:

1) Factorizar el denominador Q(x). de la fraccin racional propiaP(x)/ Q(x).2) Identificar el caso o combinacin de casos, al que corresponden los factores del denominador.3) Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fraccinP(x)/ Q(x).4) Buscar el comn denominador para el lado derecho de la expresin.5) Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.6) Simplificar el lado derecho de la expresin de tal forma que su estructura se parezca a la

expresin del lado izquierdo del igual.7) Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (lase

ecuaciones) para las constantes de las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumplaidnticamente la igualdad.

8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier mtodo que usted conozca.9) Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.


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EJEMPLO #1: Sea una funcin de la variable frecuencia compleja S:

I ( s ) = . 2 S + 8 . Cul es el desarrollo en fracciones parciales de I (s) ?S2 + 3S +2

1) Factorizar el denominador Q(x) . de la fraccin racional propia P(x) / Q(x) .

S2+ 3S +2 = ( s + 1 ) ( s + 2 )

I ( s ) = . 2 S + 8 . = . 2 S + 8 .S2+ 3S +2 ( s + 1 ) ( s + 2 )

2) Identificar el caso o combinacin de casos, al que corresponden los factores del denominador.Se trata de un doble caso A).

3) Escribir el desarrollo en fracciones parciales para la fraccin P(x) / Q(x) .

. 2 S + 8 . = . A . + . B . Donde A y B son las constantes a determinar.( s + 1 ) ( s + 2 ) (s + 1 ) ( s + 2 )

4) Buscar el comn denominador para el lado derecho de la expresin.

. 2 S + 8 . = . A( s + 2 ) +B( s + 1 ) . ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 1 ) * ( s + 2 )

5) Cancelar denominador del lado izquierdo, con denominador del lado derecho.

2 S + 8 = A( s + 2 ) +B( s + 1 )6) Simplificar el lado derecho de la expresin de tal forma que su estructura se parezca a la expresin del lado izquierdo

del igual.

2 S + 8 = As + 2A + Bs +B2 S+ 8 = ( A + B )S + ( 2A + B )

7) Comparar lado derecho con lado izquierdo del igual. Y establecer condiciones (lase ecuaciones) para las constantesde las FRACCIONES PARCIALES, de tal forma que se cumpla idnticamente la igualdad.

2 S+ 8 = ( A + B )S + ( 2A + B )

Las condiciones para que se cumpla esta igualdad son:2 = ( A + B ) Ecuacin # 1.8 = ( 2A + B ) Ecuacin # 2.

8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier mtodo que usted conozca.

A = 6B = - 4

9) Reemplace los valores de las constantes en el desarrollo en fracciones parciales original.

. 2 S + 8 . = . A . + . B . ( s + 1 ) ( s + 2 ) (s + 1 ) ( s + 2 )

. 2 S + 8 . = . 6 . + . ( - 4 ) . ( s + 1 ) ( s + 2 ) (s + 1 ) ( s + 2 )

. 2 S + 8 . = . 6 . - . 4 . ( s + 1 ) ( s + 2 ) (s + 1 ) ( s + 2 )


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Finalmente es possible decir que:

I ( s ) = . 2 S + 8 . = . 6 . - . 4 . S2+ 3S +2 (s + 1 ) ( s + 2 )


Q ( s ) = . S + 3 . Cul es el desarrollo en fracciones parciales de Q (s) ?S2+ 2S + 1


S2+ 2S + 1 = ( s + 1 ) ( s + 1 ) = ( s + 1 )2

Q ( s ) = . S + 3 . = . S + 3 .S2+ 2S + 1 ( s + 1 )2

2) Identificar el caso o combinacin de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Los factores del denominador corresponden al caso B).


. S + 3 . = . A . + . B .( s + 1 )2 ( s + 1 )1 ( s + 1 )2

4) Buscar el comn denominador para el lado derecho de la expresin.

. S + 3 . = . A ( s + 1 ) + B .( s + 1 )2 ( s + 1 )2


S + 3 = A ( s + 1 ) + B

6) Simplificar el lado derecho de la expresin de tal forma que su estructura se parezca a la expresin del lado izquierdodel igual.

S + 3 = As + A + BS + 3 = As + ( A + B )


1 = A Ecuacin # 1.3 = ( A + B ) Ecuacin # 2.8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier mtodo que usted conozca.

A = 1B = 2


Q ( s ) = . S + 3 . = . A . + . B . ( s + 1 )2 ( s + 1 )1 ( s + 1 )2

Q ( s ) = . S + 3 . = . 1 . + . 2 . ( s + 1 )2 ( s + 1 )1 ( s + 1 )2


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V ( s ) = . 1 . Cul es el desarrollo en fracciones parciales de V(s) ?S2 + 2S + 5


S2+ 2S + 5 = ( s + 1 j 2 ) ( s + 1 + j 2 )

V ( s ) = . 1 . = . 1 .S2+ 2S + 5 ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2)

2) Identificar el caso o combinacin de casos, al que corresponden los factores del denominador.

Los factores del denominador corresponden al caso C).


. 1 . = . A . + . A * .

( s +1 j 2) ( s +1 + j 2) ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2)4) Buscar el comn denominador para el lado derecho de la expresin.

. 1 . = . A ( s +1 + j 2) + A * ( s +1 j 2) .( s +1 j 2) ( s +1 + j 2) ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2)


1 = A ( s +1 + j 2) + A* ( s +1 j 2)

6) Simplificar el lado derecho de la expresin de tal forma que su estructura se parezca a la expresin del lado izquierdodel igual.

1 = A ( s +1 + j 2) + A* ( s +1 j 2)1 = AS + A + j2A + A*S + A* - j2A*1 = ( A + A*) S + ( A + A* ) + j2A - j2A*


0 = ( A + A* ) Ecuacin # 11 = ( A + A* ) + j2A - j2A* Ecuacin # 2

8) Solucione el sistema de ecuaciones resultante utilizando cualquier mtodo que usted conozca.

1 = ( A + A* ) + j2A - j2A*1 = 0 + j2A - j2A*1 = j2A - j2A*

Considere que: - j2A* = + j 2 A Entonces:

1 = j2A- j2A*1 = j2A + j 2 A 1 = j4A

1 = Aj4

- j = A4

- j 0.25 = A


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Entonces:+ j 0.25 = A*


V ( s ) = . 1 . = . A . + . A *

. ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2) ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2)

V ( s ) = . 1 . = . j 0.25 . + . + j 0.25 . ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2) ( s +1 j 2) ( s +1 + j 2)

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