DESCRIPTORES FOURIER MORFOLOGIA PARTICULAS

Aplicacin del mtodo de descriptores de Fourier a la clasificacin morfolgica de partculas en materiales geolgicosJESS MANZANAS LPEZ (*) y CRISTINA DE SANTIAGO BUEY (**)

RESUMEN El presente estudio constituye una aplicacin del mtodo denominado Descriptores de Fourier en el anlisis digital de imgenes de materiales geolgicos para la descripcin cuantitativa de la morfologa de sus unidades constituyentes, ya sean partculas individuales, agregados de partculas o poros. En primer lugar se describen los fundamentos matemticos en los que se basa el mtodo. Posteriormente se correlaciona con los mtodos y parmetros tradicionales de descripcin morfolgica de partculas, para lo cual se aplica el mtodo de descriptores de Fourier a la clasificacin morfolgica de Krumbein para materiales clsticos. El anlisis demuestra que existe una buena correlacin entre la esfericidad definida por Krumbein, la relacin de ejes de las partculas y el valor del mdulo del descriptor n-1 de Fourier. Esta buena correlacin, aadida al rigor matemtico del mtodo que elimina la subjetividad de la valoracin morfolgica, corrobora la validez del mtodo de los descriptores de Fourier para cuantificar la esfericidad de las partculas en materiales geolgicos.

APPLICATION OF THE FOURIER DESCRIPTORS METHOD TO THE MORPHOLOGICAL CLASSIFICATION OF PARTICLES IN GEOLOGICAL MATERIALSABSTRACT This study focuses on the use of Fourier descriptors to quantitatively describe the morphology of particles, aggregates or pores in geological materials. Firstly, the mathematical fundaments of the method are explained. Then, the Fourier descriptors method is applied to the Krumbein Scale, a system of measuring roundness and sphericity of particles. The analysis of the comparison shows that there is good correlation between the Sphericity parameter at the Krumbein classification and the value of the modulus of the Fourier descriptor No-1. This good correlation, along with the mathematical precission which allows to prevent subjective valorations in the morphological description, corroborates the validity of this method to quantify the sphericity / elongation of particles in geological materials.

Palabras clave:

Morfologa partculas, Descriptores de Fourier, Clasificacin de Krumbein, Esfericidad, Elongacin.

Keywords:

Particle morphology, Fourier descriptors, Krumbein scale, Sphericity, Elongation.

1. INTRODUCCINEs un hecho ampliamente estudiado y aceptado la fuerte influencia que la morfologa de las partculas, as como su distribucin geomtrica tridimensional, pueden ejercer en el comportamiento geotcnico de los materiales geolgicos. Por ello, desde el nacimiento de la microscopa y del anlisis digital de imgenes, se han propuesto y desarrollado numerosas tcnicas con el fin de describir, con la mayor precisin y rigor posibles, la morfologa de los objetos estudiados. En el caso de los materiales geolgicos estos objetos generalmente son partculas, agregados minerales, poros, fracturas, signos de disolucin o alteracin, etc. En los ltimos aos se han venido desarrollando con mayor intensidad mtodos de descripcin morfolgica basados en series de Fourier. Dentro de este conjunto de mtodos, el utilizado en este trabajo es el denominado mtodo de los descriptores de Fourier.

2. ANLISIS DIGITAL DE IMGENES TRADICIONALComo se ha mencionado anteriormente, el estudio de la fbrica de un suelo o roca se realiza mediante su observacin al microcopio ptico o electrnico seguido de un anlisis digital de imgenes. El anlisis de imagen se ha definido como la cuantificacin de algunos parmetros que forman parte de una imagen dando una respuesta en trminos de no imagen, generalmente numricos. Dicho en otras palabras, es el anlisis cuantitativo de datos numricos y geomtricos a partir de un objeto microscpico o macroscpico. Estudiar la homogenidad de un suelo o roca implica definir tres parmetros: la morfologa de las partculas y poros, su orientacin y el porcentaje de poros y huecos. En materiales definidos por partculas minerales como suelos, sedimentos o rocas sedimentarias, su fbrica viene definida en trminos de morfologa de granos o partculas y su orientacin (Lafeber, 1966; Oda, 1972; Mahmood and Mitchell, 1974).

(*) Centro de Estudios Hidrogrficos (**) Laboratorio de Geotecnia.

Ingeniera Civil 157/2010

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APLICACIN DEL MTODO DE DESCRIPTORES DE FOURIER A LA CLASIFICACIN MORFOLGICA DE PARTCULAS EN MATERIALES GEOLGICOS

La forma de las partculas es una caracterstica fundamental que determina el comportamiento geotcnico de suelos y rocas. La mayora de los minerales, a excepcin de los arcillosos, presentan una forma que tiende a ser equidimensional, aunque pueden mostrar una cierta anisotropa hacia morfologas tabulares o elongadas. De entre todos los posibles parmetros, el aspecto ha sido considerado siempre el que mejor describe la anisotropa de los granos. Se define Aspecto como la relacin entre el eje mximo y el eje mnimo de la elipse de rea equivalente a la partcula.

un ndice objetivo que identificara la forma de partculas a todas las escalas, desde su macroforma hasta la microtextura. Otros autores continuaron utilizando esta herramienta matemtica para caracterizar numricamente el contorno de formas individuales (Clark, 1981; Bowman et al. 2001, de Santiago et al., 2008). Su principal ventaja reside en su invariancia frente a la traslacin, rotacin y tamao de la forma analizada. 3.2. DISCRETIZACIN DE CONTORNOS EN LOS ANLISIS DE FOURIER El primer paso a realizar para la aplicacin de la transformada de Fourier al anlisis de formas es la obtencin de las coordenadas de su contorno. El mtodo de Fourier exige adems que dicho contorno se discretice en coordenadas equiespaciadas respecto de una variable. Inicialmente se emple el mtodo de Fourier en la forma analtica R() (Ehrlich y Weinberg, 1970), en la que la discretizacin del contorno se realiza definiendo la distancia R entre sus puntos y el centroide, para diferentes ngulos equiespaciados que cubren los 360 del plano. De esta forma, la ecuacin que define el contorno resulta: R( ) = a0 +

3. EL MTODO DE LOS DESCRIPTORES DE FOURIER3.1. INTRODUCCIN El estudio morfolgico de partculas ha sido objeto de anlisis desde hace mucho tiempo. Tradicionalmente se ha realizado mediante la comparacin de partculas individuales con planillas modelo de formas normalizadas, pero estos mtodos son lentos y suelen introducir elementos subjetivos en los resultados. La aplicacin del anlisis digital de imgenes ha permitido introducir tcnicas matemticas en la descripcin de morfologas que eliminan esta indeseada subjetividad. Una de las tcnicas matemticas que permiten definir formas numricamente es la aplicacin de la transformada de Fourier. Ehrlich y Weinberg (1970) la utilizaron para obtener

(a cos n + b sen n)n n n=1

N

(1)

donde R() es el radio para el ngulo , N es el nmero total de armnicos, n es el nmero de armnico considerado y a, b son coeficientes que definen el mdulo y la fase de cada armnico. Sin embargo este mtodo resulta inaplicable cuando las formas tienen entalladuras en las que existen distintos puntos del permetro con el mismo ngulo (Figura 1). Una forma de salvar este problema es aplicar el mtodo de los descriptores de Fourier. Este mtodo fue presentado por Clark (1981) en su revisin de anlisis cuantitativo de formas, y utilizado posteriormente por Thomas et al. (1995) y Bowman et al. (2001) en el campo de la investigacin geolgica, aplicndolo a la clasificacin de partculas y de poblaciones de suelos respectivamente. En este mtodo, el contorno de la figura se discretiza en puntos equiespaciados a lo largo de todo su permetro (figura 2), eliminando la posibilidad de duplicidad de valores en formas complicadas, como ocurra con el mtodo R(). 3.3. DEFINICIN DEL MTODO DE DESCRIPTORES DE FOURIER Los descriptores de Fourier son una herramienta matemtica muy til para describir la forma de cualquier objeto que pueda ser definido por una lnea de contorno cerrada (partcu-

FIGURA 1. Inconveniencia de la aplicacin del mtodo R() en figuras con entalladuras: tres puntos diferentes del contorno tienen el mismo valor de ngulo .

a)

b)

FIGURA 2. a) Discretizacin del permetro de una forma mediante puntos representativos; b) mediante puntos equiespaciados.

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las, poros, grietas, manchas, etc.). Un ejemplo de las posibilidades de la tcnica puede mostrarse a partir del contorno mostrado en la figura 2. El primer paso es obtener los pares de coordenadas (x,y) que puedan definir numricamente el contorno con una precisin suficiente (figura 2a). A continuacin se discretiza el contorno mediante puntos equiespaciados a lo largo de su permetro (figura 2b). El nmero de puntos debe ser potencia de 2, y limita el nmero mximo de descriptores que se obtendrn. De esta forma, la lnea que define el borde del objeto se considera perteneciente al plano complejo y es recorrida a velocidad constante. El tamao de paso debe ser seleccionado de tal forma que la circunnavegacin completa del permetro suponga un nmero de pasos 2k. En este estudio el nmero de pasos seleccionado ha sido 27 = 128 puntos equiespaciados para definir cada contorno. Puede obtenerse as una funcin compleja que define al contorno mediante la aplicacin de la transformada de Fourier en el plano complejo a esta serie de coordenadas:+N / 2

xm + iym =

n= N / 2+1

i2nm Zn exp M

(2)

donde: x, y son las coordenadas de los puntos o nodos que definen el contorno de la figura, N es el nmero total de descriptores utilizados, n es el nmero de descriptor, Zn es el descriptor de Fourier (nmero complejo), M es el nmero total de puntos que definen el contorno de la figura, m es el nmero de punto del contorno considerado, i denota que se trata de un nmero imaginario.

Esta transformacin puede realizarse fcilmente con una gran variedad de programas informticos comerciales en los que ya viene implementada, o puede elaborarse un programa propio a medida. En este trabajo se ha utilizado una hoja de clculo en un programa comercial, que incluye el clculo de la transformada rpida de Fourier (FFT) entre sus herramientas. El nmero de puntos M elegido para definir el contorno determina el nmero mximo de descriptores N que se pueden obtener y, por tanto, el nivel de detalle alcanzable. En general N M, aunque debe recordarse que la regla de Nyquist (Nyquist, 1928) indica que, si lo que se pretende no es volver a reproducir la forma sino analizar sus propiedades, solo deben considerarse los descriptores n M/2. Es decir, si el contorno se define con M = 128 puntos, se podrn obtener un mximo de N = 128 descriptores (-63 n +64), pero en su anlisis solo deberan tenerse en cuenta los 64 iniciales (-31 n +32). La influencia del nmero de descriptores considerado sobre la informacin de un contorno puede mostrarse grficamente reconstruyendo la forma de la figura 2, empleando sucesivamente un nmero creciente de descriptores. La reconstruccin se hace aplicando la ecuacin (2) a los descriptores seleccionados en cada caso de la serie completa de 128 valores. Se obtienen as diferentes conjuntos de 128 coordenadas, que definen contornos que se van aproximando gradualmente al original (figura 3). Lgicamente, cuando se utilice la serie completa de 128 descriptores en la reconstruccin se obtiene la figura original. 3.4. VENTAJAS DEL MTODO DE LOS DESCRIPTORES DE FOURIER La aplicacin del mtodo de los descriptores de Fourier al anlisis morfolgico de formas presenta dos ventajas importantes sobre el mtodo analtico R(): evita los problemas de

a)

b)

FIGURA 3. Reconstruccin de la figura 2 con un nmero creciente de descriptores n: a) -1 n +2, b) -3 n +4, c) -7 n +8, d) -31 n +32.

c)

d)


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N de descriptor, n 0 +1 1 +2 2 +3 3 +4 4 +5 5

Significado morfolgico Posicin (no considerado) Tamao (utilizado para normalizar) Elongacin Asimetra Triangularidad Elongacin secundaria Cuadratura Triangularidad secundaria Simetra pentagonal Cuadratura secundaria Simetra hexagonal

Finalmente, la invariancia con respecto a la escala se consigue normalizando los descriptores, dividiendo cada uno entre el mdulo de Z+1 que es el que define el tamao del objeto. 3.5. SIGNIFICADO MORFOLGICO DE LOS DESCRIPTORES DE FOURIER Cada armnico proporciona una contribucin especfica a la descripcin morfolgica total del objeto (Bowman et al., 2001). Los armnicos de bajo orden o primeros armnicos resumen su forma general (tabla 1), mientras que los armnicos de alto orden describen sus caractersticas superficiales o texturales ms finas. Sonka et al. (1993) propusieron que los primeros 10 a 15 descriptores eran suficientes para definir formas de gran complejidad, mientras que Bowman et al. (2001) encontraron que tan solo con tres descriptores bastaba para definir partculas de arena. Puede comprobarse que el punto del contorno elegido como origen de la serie de valores no influye en el resultado de los descriptores obtenidos mediante aplicacin de la transformada de Fourier, pero s su sentido de avance. Si la serie de coordenadas del contorno es recorrida en sentido horario proporcionar unos resultados simtricos a los obtenidos si se recorriera en sentido antihorario, es decir, el descriptor Z+n en un caso pasa a ser el Z-n en el otro. En este trabajo se adopta el criterio de seleccin de sentido de avance tal que proporcione mayor mdulo en el descriptor Z+1 que en el Z-1. Este criterio no solo sirve para fijar la metodologa de anlisis, sino que adems permite adimensionalizar fcilmente los resultados. Dado que el descriptor Z+1 es el que define el tamao del objeto, es conveniente que su mdulo sea el mayor de todos, puesto que la adimensionalizacin de la escala de la forma se consigue dividiendo por este mdulo. Para demostrar la variacin de los valores de los primeros descriptores de Fourier en funcin de la morfologa, se exponen en la tablas 2 y 3 los mdulos adimensionalizados de los primeros descriptores de algunas figuras geomtricas. En la tabla 2 se muestran los valores de diversas figuras regulares (es decir, cuyos vrtices son equidistantes de su centro), que ayudan a valorar la relacin entre el mdulo de cada descriptor y su significado morfolgico; y en la tabla 3 los valores de elipses, tringulos y rectngulos con diferentes relaciones de ejes.

TABLA 1. Significado morfolgico de los descriptores de Fourier de bajo orden.

duplicidad de valores en formas con entalladuras (fig. 1) y no necesita la determinacin precisa del centroide que sirve como origen de referencia. Pero la gran ventaja de este mtodo consiste en que el anlisis de formas puede hacerse fcilmente invariante a la traslacin, a la rotacin y al tamao o escala del objeto, es decir: describe su morfologa independientemente de su situacin, orientacin y tamao. Como se detalla posteriormente, cada descriptor tiene un significado concreto sobre la forma analizada, pero puede adelantarse ya la manera en que se logra cada invariancia: La invariancia con respecto a la traslacin se obtiene simplemente eliminando el primer elemento de la serie de armnicos (Z0), que es el que define la posicin del centroide del contorno del objeto. Para conseguir la independencia del ngulo de rotacin basta con considerar nicamente el valor absoluto o mdulo de cada descriptor, ya que la informacin relativa a la rotacin se encuentra en la fase del descriptor. Recurdese que los descriptores son nmeros complejos y, como tales, pueden ser denominados en trminos de un mdulo y una fase.

Significado Tamao Elongacin Asimetra Triangularidad Elongacin secundaria Cuadratura TABLA 2. Mdulos normalizados de descriptores de Fourier de figuras geomtricas regulares. Triangularidad secundaria Simetra pentagonal Cuadratura secundaria Simetra hexagonal

N de descriptor +1 1 +2 2 +3 3 +4 4 +5 5

Crculo 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tringulo equiltero 1,0000 0,0001 0,0001 0,2500 0,0001 0,0001 0,0625 0,0001 0,0001 0,0400

Cuadrado 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1113 0,0000 0,0000 0,0402 0,0000

Pentgono regular 1,0000 0,0001 0,0000 0,0001 0,0001 0,0000 0,0001 0,0625 0,0000 0,0000

Hexgono regular 1,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 0,0400

80



Figura

N descriptor +1 1 +2 2 +3 3

Coef.

Figura


Coef.

Figura


Coef.

1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1,0000 0,0001 0,0001 0,2500 0,0001 0,0001

1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1113

a = 2b

+1 1 +2 2 +3 3

1,0000 0,2604 0,0000 0,0000 0,0752 0,00137 h = 2b

+1 1 +2 2 +3 3

1,0000 0,4229 0,0533 0,1828 0,0857 0,0219

a = 2b

+1 1 +2 2 +3 3

1,0000 0,2680 0,0000 0,0000 0,0814 0,0814

+1 1 +2 2 +3 3 a = 4b

1,0000 0,5092 0,0000 0,0000 0,1088 0,0429 h = 4b

+1 1 +2 2 +3 3

1,0000 0,6690 0,0530 0,1027 0,1188 0,0253

a = 4b

+1 1 +2 2 +3 3

1,0000 0,5095 0,0000 0,0000 0,1233 0,0195

TABLA 3. Mdulos normalizados de descriptores de Fourier de figuras geomtricas con diferentes relaciones de ejes.

De los valores de la tabla 3 destaca comprobar que la relacin entre el descriptor 1, que define la elongacin, y la razn de ejes principales de las figuras geomtricas no es proporcional e, incluso, que depende de la forma de la figura analizada. La relacin entre estos parmetros se muestra en la figura 4 con elipses, rectngulos, rombos (formas geomtricas con claros ejes principales) y tringulos issceles. Estos

ltimos se han clasificado en funcin de su relacin altura/base, motivo por el que su valor inicial correspondiente a la figura regular (tringulo equiltero) no es 1,0 como en las otras figuras, sino 0,866; y es adems un aspecto que debe ser considerado cuando se compare su curva con las de las otras figuras. De esta comparacin entre las curvas se constata la gran similitud entre la de elipses y la de rectngulos.

1 0.9 0.8 0.9 0.7 Elongacin Adimensional 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 10 Relacin ejes principales 100 1.000 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tring. issceles Rombos Elipses Rectngulos FIGURA 4. Relacin entre la elongacin adimensional mediante descriptores de Fourier y la razn entre ejes principales de elipses, rectngulos y rombos, y la razn altura/base de tringulos issceles.


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4. APLICACIN A LA CLASIFICACIN DE PARTCULAS4.1. INTRODUCCIN Tradicionalmente, la morfologa de los clastos, granos y partculas de un material geolgico sedimentario, como un suelo o un sedimento, se ha clasificado mediante comparacin visual con las imgenes de una serie de tablas que tratan de describir pictricamente las evoluciones morfolgicas en funcin de parmetros morfomtricos. Probablemente, la tabla ms universalmente conocida es la de Krumbein (1941). Esta clasificacin (Figura 5) se basa en dos criterios morfolgicos: Esfericidad es una medida de cuan esfrico (en 3D) o redondo (en 2D) es un objeto. Matemticamente la esfericidad fue definida en 1935 por Wadell como la relacin entre la superficie de la esfera de volumen equivalente y la superficie del objeto estudiado:Ap donde Vp es el volumen del objeto o partcula y Ap es la superficie del objeto o partcula. Redondez es una medida de la erosin de los bordes de la partcula. No existe una nica formulacin matemtica para esta propiedad de los objetos. Se han propuesto numerosas definiciones numricas incluso dentro del campo de la descripcin de materiales geolgicos. Todas ellas tienen en comn que tratan de relacionar el radio de curvatura o tamao de las protuberancias o angulosidades de la partcula con el radio o dimetro de la esfera circunscrita en la misma. =

1

3

(6Vp )

2

3

ofrecen los valores de Descriptor de Fourier -1 Elongacin de cada partcula de la clasificacin de Krumbein. Los valores conservan la ubicacin de las partculas de la figura anterior. Se incluyen en la tabla el valor promedio de descriptor de las cinco partculas de cada fila, y el valor de esfericidad asignado por el autor de la clasificacin. Cabe destacar que el objetivo del presente estudio se centra nicamente en el parmetro morfomtrico de la esfericidad de las partculas, que constituye uno de los ejes principales de la clasificacin de Krumbein. El otro eje, correspondiente a la redondez, es mucho ms complejo de analizar, ya que depende de ms parmetros y existen en la literatura cientfica numerosos mtodos y aproximaciones matemticas desde diferentes puntos de vista. Por esta razn, no se estima conveniente abordarlo en este estudio. Se realizar, en un trabajo posterior, un anlisis comparativo entre los mtodos propuestos para evaluar este complejo parmetro.

Descriptor N -1 Elongacin 0,06 0,18 0,31 0,40 0,03 0,16 0,25 0,38 0,06 0,15 0,26 0,37 0,04 0,22 0,25 0,44 0,10 0,14 0,25 0,36

Promedio 0,06 0,17 0,26 0,39

Esfericidad 0,9 0,7 0,5 0,3

4.2. DESCRIPTORES DE FOURIER Se ha realizado un anlisis de Fourier de las veinte partculas de la clasificacin de Krumbein (Figura 5). En la Tabla 4 se

TABLA 4. Valores de Descriptor de Fourier -1 Elongacin de las 20 figuras de la clasificacin de Krumbein, sus promedios por filas y los valores de esfericidad asignados a las mismas.

0.9

0.7 Esferidad 0.5 0.3FIGURA 5. Clasificacin de morfologa de partculas de Krumbein (1941).

0.1

0.3

0.5 Redondez

0.7

0.9

82



Aspecto: Eje mximo / Eje mnimo 1,19 1,51 1,96 2,74 1,07 1,47 1,84 2,54 1,19 1,51 1,96 2,58 1,11 1,81 1,83 3,03 1,31 1,42 1,88 2,52

Promedio 1,17 1,54 1,89 2,68

Esfericidad 0,9 0,7 0,5 0,3

lado el promedio del aspecto de las cinco figuras que corresponden a cada fila y que, tericamente muestran un mismo orden de esfericidad. 4.4. ANLISIS COMPARATIVO DE LOS MTODOS Se ha evaluado la relacin existente entre los valores de esfericidad propuestos en la clasificacin de Krumbein, los valores de aspecto obtenidos mediante anlisis digital de imgenes y los valores de descriptor de Fourier -1 Elongacin. En la figura 6 se han representado todos los valores de la tabla, los promedios por filas y la lnea de tendencia que mejor representa la correlacin entre los datos. Como se puede observar, en la correlacin entre aspecto y esfericidad la lnea de tendencia ms adecuada es logartmica, siendo su Coeficiente de Correlacin R2= 0,9944. Por el contrario, en la correlacin entre el descriptor de Fourier -1 Elongacin y esfericidad la lnea de tendencia que mejor ajusta los datos es de tipo lineal, con un valor de R2= 0,9952. Aunque en ambos casos es una correlacin muy buena, parece que el descriptor de Fourier se ajusta ligeramente mejor, presentando una mejor correlacin de datos. Se puede concluir de esta figura que ambos mtodos (aspecto y elongacin de Fourier) son vlidos para describir la esfericidad de los objetos con trminos numricos que permiten cuantificar y comparar figuras. En la figura 7 se muestra la relacin existente entre los valores de aspecto y elongacin segn el descriptor de Fourier -1 obtenidos en las veinte figuras que conforman la clasificacin de partculas de Krumbein. Como se puede observar, existe una buena correlacin entre ambos parmetros morfomtricos, pudiendo ajustar una lnea de tendencia de tipo logartmico con un coeficiente R2= 0,9899, que indica la buena calidad del ajuste.

TABLA 5. Valores de Aspecto de las 20 figuras de la clasificacin de Krumbein, sus promedios por filas y los valores de esfericidad asignados a las mismas.

4.3. ANLISIS DIGITAL DE IMGENES Por otro lado, se ha realizado un anlisis digital de imgenes convencional. Para ello, se ha utilizado un programa especfico de anlisis digital de imgenes denominado Image Pro-Plus 6.0 (Media Cybernetics, Silver Springs, MA, USA). El anlisis digital de imgenes permite calcular prcticamente cualquier parmetro geomtrico bidimensional de las imgenes. De entre los posibles parmetros, se ha seleccionado el parmetro denominado Aspecto, definido como la relacin entre el eje mximo y el eje mnimo de la elipse equivalente al objeto estudiado. Este parmetro se usa tradicionalmente para describir cuan cerca o lejos se halla un objeto de la esfericidad. En la tabla 5 se exponen los valores de Aspecto obtenidos en el anlisis digital de imgenes de las veinte figuras de la clasificacin de Krumbein, ordenados siguiendo la misma distribucin. A continuacin se ha calcu-

3.5 Aspecto (Krumbein) Promedio aspecto Elongacin Fourier (Krumbein) Promedio Fourier Logartmica (Promedio aspecto) Lineal (Promedio Fourier)

3.0 Elongacin Fourier / Aspecto

2.5

2.0

y = 1,3526Ln(x) + 1,0223 R2 = 0,9944

1.5

1.0 y = 0,54x + 0,544 0.5 R2 = 0,9952

0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 EsfericidadFIGURA 6. Correlaciones entre el descriptor de Fourier -1 Elongacin y el aspecto con la esfericidad segn la clasificacin de Krumbein.

0.7

0.8

0.9

1


83


0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 Elongacin Fourier 0.25 0.20 0.15 y = 0,402Ln(x) 0,0017 0.10 0.05 0.00 1 1.5 2 AspectoFIGURA 7. Correlacin entre el aspecto y el valor del descriptor de Fourier -1 en las 20 partculas de la clasificacin de Krumbein (1941).

R2 = 0,9899

2.5

3

3.5

5. CONCLUSIONESEl mtodo de los descriptores de Fourier constituye una poderosa herramienta que permite describir matemticamente la morfologa de partculas individuales, agregados de partculas, poros, grietas, etc. Con el fin de validar el significado fsico y el comportamiento del descriptor de Fourier N -1 Elongacin, en el que se centra este estudio, se ha aplicado este mtodo a las 20 figuras que constituyen la clasificacin morfolgica de Krumbein, universalmente conocida, aceptada y utilizada para caracterizar la morfologa de partculas en materiales geolgicos de tipo clstico. El anlisis demuestra que el descriptor de Fourier n-1 refleja fielmente la evolucin del parmetro esfericidad que define la evolucin de la morfologa de las partculas segn el eje de ordenadas. Existe una buena correlacin entre la esfericidad definida por Krumbein, la relacin de ejes principales y el valor del mdulo de este descriptor. Esta buena correlacin, aadida al rigor matemtico del mtodo que elimina la subjetividad de la valoracin morfolgica, corrobora la validez del mtodo de los descriptores de Fourier para analizar la esfericidad de las partculas en materiales geolgicos.

6. BIBLIOGRAFABowman, E.T., Soga, K. & Drummond,T.W. (2001): Particle shape characterisation using Fourier descriptor analysis. Geotechnique, Vol. 51, No. 6, pp. 545-554. Clark, M.W. (1981): Quantitative shape analysis: a review. Math. Geo. Vol. 13, No. 4, pp. 303-320.

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DESCRIPTORES FOURIER MORFOLOGIA PARTICULAS

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