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1

Esfuerzos de Contacto

Diseo de Elementos de Mquinas 2

Juan Edilberto Rincn

Carlos Alberto Narvez

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2/39

Caso #1

Las suspensiones de los vehculos 4 x 4 traen una barra

llamada trackbar, la cual usa cabezas de rtula para su

montaje

2

http://www.off-roadweb.com/tech/1003or_wc_motorsports_ford_super_duty_track_bar/photo_01.html

http://www.off-roadweb.com/tech/1003or_wc_motorsports_ford_super_duty_track_bar/photo_01.htmlhttp://www.off-roadweb.com/tech/1003or_wc_motorsports_ford_super_duty_track_bar/photo_01.htmlhttp://www.off-roadweb.com/tech/1003or_wc_motorsports_ford_super_duty_track_bar/photo_01.htmlhttp://www.off-roadweb.com/tech/1003or_wc_motorsports_ford_super_duty_track_bar/photo_01.html

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Caso 1

Las cabezas de rtula de componen de dos superficies

esfricas en contacto.

3

https://reader009.{domain}/reader009/html5/0320/5ab047487f0a8/5ab0474c2e07e.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargePro

ductImages/L311311-01.jpg

http://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargeProductImages/L311311-01.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargeProductImages/L311311-01.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargeProductImages/L311311-01.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargeProductImages/L311311-01.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargeProductImages/L311311-01.jpghttp://media4.rsdelivers.cataloguesolutions.com/LargeProductImages/L311311-01.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpghttp://www.trail-gear.com/images/186026-k-800.jpg

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4

Contacto Esfrico

max

2

3

2paVF hemisferio

2a

F

A

F

pa

prom

promPP2

3

max

R2(+)Convexa

R2 = plana

R2(-)Concava

a = b

R2

R1

E2,2

E1,1

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5

Contacto Esfrico

a = b

R2

R1

E2,2

E1,1

B

mmpa 21

max

4

21

11

2

1

RRB

Constante

Geomtrica

1

2

1

1

1

Em

2

2

2

2

1

Em

Constantes

de materiales

Tamao

Huella

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6

Contacto Esfrico

Usando las ecuaciones anteriores, puede

determinarse el tamao de la huella de contacto en

funcin de la fuerza:

Matemticamente, la distribucin de presin en elhemisferio es:

2

2

2

2

max 1

a

y

a

xpp

3 21375.0 FB

mma

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7/397

Esfuerzos Hertzianos en

Contacto Esfrico Esfuerzos Principales (Compresin):

Esfuerzo Cortante:

3

2222

max )1(2)21(2 za

z

za

zp

yx

2/322

3

max

1

za

zp

z

3

2222

max13

2

3)1(

2

)21(

2 za

z

za

zp

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8/398

Esfuerzos Hertzianos en

Contacto Esfrico Los Esfuerzos principales de compresin son mximos

en la superficie (z = 0)

El cortante es mximo en :27

22max@

az

12)1(

9

2

2

)21(

2

max13

p

maxmax pz

max

2

21

maxmax

pyx

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Esfuerzos Hertzianos en

Contacto Esfrico

Fuente: Norton, p.437

Los esfuerzos disminuyen rpidamente de forma no

lineal con la profundidad.

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Actividad #1

Calcule los valores mximos de los

esfuerzos principales y el esfuerzo

cortante mximo debido al contactoesfrico en la cabeza de rtula, si la

fuerza axial en la trackbar es de 1,5 kN, la

esfera tiene de 33 mm de radio, y tantosta como la carcaza estn fabricadas enacero (E=207 GPa, =0,3)

10

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Caso #2

Para validar la seleccin de material en el diseo de las

ruedas de un tren, un cilindro en hierro fundido, de

dimetro 6 in, rueda sobre una plancha plana de acero y

soporta una carga vertical de 800lbf.

11

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12/3912

Contacto Cilndrico

Es el ms comn en maquinaria.

Se utilizan rodillos de contacto para tirar demateriales como papel o para modificar espesor(laminado, calandrado).

Los cilindros pueden ser:ambos convexosuno convexo uno cncavocilindro sobre un plano

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Contacto Cilndrico

R1

R2

max

2

1pLaVF prisma

aL

F

rea

F

pprom 2

promprom PPp 273.14

max

F

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14/3914

Contacto Cilndrico

R1

R2

F

E2, 2

E1, 1

21

11

2

1

RRB

Constante

Geomtrica

1

2

11

1

Em

2

2

2

2

1

Em

Constantes

de materiales

L

F

B

mma

212

Semiancho de

Huella

2

2

max 1

a

xpp

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15/3915

Esfuerzos hertzianos en

contacto cilndrico

Casos posibles:

Esfuerzo plano (cilindros axialmente muycortos): uno de los esfuerzos principales es

igual a cero

Deformacin plana (cilindros axialmente muylargos): todos los esfuerzos principales pueden

ser todos distintos de cero.

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16/3916

Esfuerzos hertzianos en

contacto cilndrico En la lnea media de la superficie se encuentran

los esfuerzos principales mximos:

El cortante mximo; para dos cilindros de acero,se encuentra por debajo de la superficie de

contacto:

maxp

zx max2 py

max13 304,0

maxp az 786,0

max@

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17/3917

Esfuerzos Hertzianos en

Contacto Cilndrico

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18/3918

Esfuerzos Hertzianos en

Contacto Cilndrico

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19/39

Actividad #2

Calcular los esfuerzos principales y el

esfuerzo cortante mximo para la fibra

crtica del cilindro.

19

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Caso 3

Se desea analizar los esfuerzos

de contacto en la pista interna de

un rodamiento de bolas, el cualsoporta una carga transversal de

4500 N. Todas las partes del

rodamiento estn fabricadas en

acero.

r = 20 mm

d0 = 38 mm

20

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21

Contacto Generalizado

(R1,R1)son los radios de curvatura principales de la superficie 1; R1R1

(R2,R2) son los radios de curvatura principales de la superficie 2; R2R2

es el ngulo entre los planos en que son medidosR1yR2

En cualquier punto sobre una superficie

existen dos secciones normales, para lascuales los radios de curvatura son mnimo

y mximo (principales); los planos que

contienen cada una de estas secciones

son perpendiculares

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22/39

22

Contacto Generalizado

El sistema de coordenadas x,y,z se alinea de tal forma que z coincida con la

direccin de carga y el plano x,ydebe ser tangente a las superficies en el punto de

contacto, coincidiendo son los semiejes de la elipse

a b

La huella de contacto es una elipse

y la distribucin de presin es un

semi-elipsoide

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23

Contacto Generalizado

'

11

'

11

2

1

2211 RRRR

A

A

B1cos

2cos'

11

'

112

'

11

'

11

2

1

2211

2

22

2

11 RRRRRRRR

Constantes Geomtricas

1

2

1

1

1

Em

2

2

2

2

1

Em

Constantes

de materiales

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24

Contacto Generalizado

max

3

2pbaVF elipsoidesemi

ab

F

rea

F

pprom

promPp2

3max

a b

Empleando las constantes geomtricas y de materiales:

3 21

4

)(3

A

mmFkaa

3 21

4

)(3

A

mmFkbb

2

2

2

2

max 1

b

y

a

xpp

Fuente: Norton, p.445

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25

Esfuerzos Hertzianos en

contacto generalizado Las distribuciones son similares a las obtenidas

para el contacto cilndrico.

En la lnea media de la superficie, los esfuerzos

mximos (principales de compresin) son:

max

212 pba

bx

max212 p

baa

y

maxpz

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26

Esfuerzos Hertzianos en

contacto generalizado El mximo cortante se encuentra debajo de la superficie,

a una distancia que depende del factor k3= b/a:

El esfuerzo cortante en la superficie, en los extremos deleje mayor de la elipse es:

;1tanh1

21 max41

4

2

4

3 pkkk

kxz

22

4

1ba

ak

k3 Profundidad (z) Magnitud aprox.0.34 0.24 a

0.34pmax1.00 0.63 a

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27

Esfuerzos Hertzianos en

contacto generalizado El esfuerzo cortante en la superficie, en los extremos

del eje menor de la elipse es:

La localizacin del mximo cortante sobre la superficiedepende del factor k3

;tanh121max

3

41

4

3

2

4

3 pk

k

k

k

k

kxz

224

1ba

ak

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Actividad 3

Halle los esfuerzos principales de contacto

mximos para la pista interna del

rodamiento.

28

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29/39

Caso 4

Dos rodillos de acero (dimetro 80 mm y

longitud 150 mm) estn montados sobre

ejes paralelos y cargados con una fuerzatransversal de 80 kN. Los rodillos giran a

velocidades ligeramente distintas, de

manera que se produce deslizamiento

29

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30

Esfuerzos dinmicos

Carga Esttica

(rodadura pura)

Carga Dinmica

(rodadura + deslizamiento)

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31

Efecto del deslizamiento

Smith y Lui definieron las ecuaciones para ladistribucin de esfuerzos por debajo del puntode contacto, para rodillos con rodadura y

deslizamiento

Los esfuerzos se pueden expresar como

componentes independientes, un conjuntodebido a la carga normal sobre los rodillos y elotro conjunto debido a la fuerza de friccintangencial. Luego son combinados para obtenerlas expresiones finales.

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32

Efecto del deslizamiento

x: direccin del movimiento

y: direccin axial de los rodillos

z: direccin radial a los rodillos

max

222

3222

pxaa

zxaznx

maxpxznz

max

21pz

nxz

max222222 223221 fa

xzxa

a

xzax

tx

max

2223

222

1fxz

a

z

a

zzxa

txz

max

21 fztz

Esfuerzos debidos a la carga normalpmax

Esfuerzos debidos a la friccinf max= pmax

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33

Efecto del deslizamiento

x: direccin del movimiento

y: direccin axial de los rodillos

z: direccin radial a los rodillos

1

2

21

2

1

2

1

2

1

1 42

1

k

akk

k

k

k

k

k

k

k

1

2

21

2

1

2

1

2

1

1

42

1

kakk

kk

kk

k

k

k

;221 zxak 22

2 zxak

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34

Efecto del deslizamiento

x: direccin del movimiento

y: direccin axial de los rodillos

z: direccin radial a los rodillos

tn

tn

tn

xzxzxz

zzz

xxx

Esfuerzos totales

Si los rodillos son cortos (esfuerzo plano):

Si los rodillos son largos (deformacin plana):

0

y

zxy

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35

Efecto del deslizamiento

Cuandoz= 0, y se vuelven infinitos! Por lo tanto:

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36

Efecto del deslizamiento

Cuandoz= 0, y se vuelven infinitos! Por lo tanto:

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37

Efecto del deslizamiento

Ejemplo: Rodillos en rodadura y deslizamiento con =0.33

Fuente: Norton, p.452

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38

Efecto del deslizamiento

Ejemplo: Rodillos en rodadura y deslizamiento con =0.33

El cortante completamente alternante es el

causante del pitting sub-superficial!

Fuente: Norton, p.453

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Actividad 4

Si el coeficiente de friccin dinmico es

igual a 1/3, determine el esfuerzo mximo

de compresin y el esfuerzo cortantemximo en los rodillos.