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NúmerosReales
INECUACIONESoDESIGUALDADES
DESIGUALDADES
• Unadesigualdadenunavariableesunaexpresióndondeseestableceunarelaciónentredoscantidades.
• Lasrelacionesdeordenson:
<, >, ≤, ≥
DESIGUALDADES
• Ejemplos:
2x + 4 < 6x +1−6x + 3≤ −8x − 7
−5x + 8 ≥ 3
x2 > 3x − 2
Solucióndedesigualdades
• Porresolverunadesigualdadseentiendedeterminarlosintervalosocombinacióndeintervalosdenúmerosrealesquesatisfacenladesigualdad.
• Pararesolverunadesigualdadseutilizanlosaxiomasdelosnúmerosreales.
RECORDATORIO
Propiedadesdeorden:• Alsumarunnúmeroseconservalarelacióndeorden.
• Almultiplicarporunnúmeropositivo,seconservalarelacióndeorden.
• Almultiplicarporunnúmeronegativo,seinviertelarelacióndeorden.
EJEMPLO0
• Ejemplo0:Resolverlasdesigualdades
• Tarea:RealizarlosejerciciosdeKhanAcademy:desigualdadesdeunpaso.
5x >12−2x <12
EJEMPLO1
• Ejemplo1:resolverladesigualdad
• Solución:unatécnicaesutilizarlosaxiomasdelosnúmerosrealesparatransformarladesigualdadalaforma:,odondeesalgunodelasrelacionesdeordenyesunnúmeroreal.
2x + 4 < 6x +1
x Δ r r Δ xΔ
r
EJEMPLO12x + 4 < 6x +1
EJEMPLO2
• Ejemplo2:resolverladesigualdad
• Solución:
−6x + 3≤ −8x − 7
EJERCICIOS
Ejercicios1:Resolver:
RealizarlosejerciciosdeKhanAcademy:• Desigualdadesdedospasos• Desigualdadeslinealesdevariospasos
x + 2 < 3x +1−7x + 4 ≤ −9x − 8
EJEMPLO
• Ejemplo4:resolverladesigualdad
• Solución:observarquelavariablesoloocurreenla“partecentral”deladesigualdad.Pararesolverladesigualdad,seusanlosaxiomasdemanerade“aislar”lavariable
x Δ r
3< 5x − 72
≤10
EJEMPLO4
• Solución:
3< 5x − 72
≤10
yademás
EJEMPLO4
• Solucióncomointervalo
x ∈ 135, 275
⎛⎝⎜
⎤⎦⎥
EJERCICIO
• Ejercicio2:resolverladesigualdad
−2 < 6 − 2x4
≤ 5
EJEMPLO
• Ejemplo4:resolverladesigualdad
• Solución:Setienendosposiblescasos,segúnelsignodeldenominador,observarqueeldenominadornopuedesercero.
x − 8x + 4
≥ 5
quesecumpla
éstadesigualdad o éstadesigualdad
EJEMPLO4
Caso1:sieldenominadorespositivo,estoes,
semultiplicaporyseobtieneladesigualdadAlreducirseobtieneLasoluciónalcaso1es:todoslosnúmerosxquecumplelasdesigualdades:
x + 4 > 0, o sea, x > −4
x + 4x − 8 ≥ 5(x + 4)
x ≤ −7
(x ≤ −7) y (x > −4)
EJEMPLO4
Elintervalosolucióneslainterseccióndeestosintervalos,queesunconjuntovacío
∅
EJEMPLO4
Caso2:eldenominadoresnegativo,estoes,
semultiplicaporysetieneladesigualdad
x + 4 < 0, o sea, x < −4
x + 4x − 8 ≤ 5(x + 4)
Ejemplo3
• Lasoluciónaladesigualdadeslaunióndelassolucionesdeloscasos1y2
Osea:
∅ ∪ [-7,4) = [-7,4)x∈ [-7,4)
EJEMPLO5
Ejemplo5:resolverladesigualdad
Solución:seprocedeaexpresarladesigualdadcomounproductodebinomios:
0
x2 > 3x − 2
x2 − 3x + 2 > 0 (x −1)(x − 2) > 0
EJEMPLO5
Ladesigualdadindicaqueelproductodelosbinomios,debeserpositivo.Entoncessetienendosposibilidades(casos):a)Ambosbinomiossonpositivosyb)ambossonnegativosy
x −1> 0
(x −1)(x − 2)
x − 2 > 0
x −1< 0 x − 2 < 0
EJEMPLO5
Caso1:ambosbinomiossonpositivos:
osea:
quetienecomosolución:
x −1> 0 y x − 2 > 0
x >1 y x > 2
(1,∞)∩ (2,∞)
x ∈(2,∞)
EJEMPLO5
Caso2:ambosbinomiossonnegativos:
osea:
quetienecomosolución:
x −1< 0 y x − 2 < 0
x <1 y x < 2
(−∞,1)∩ (−∞,2)
x ∈(−∞,1)
EJEMPLO5
Lasolucióndeladesigualdadseobtieneconlaunióndelassolucionesacadacaso(secumplauncaso,osecumplaelotro)
lasolución:
(−∞,1)∪ (2,∞)
x ∈(−∞,1)∪ (2,∞)
EJERCICIO2
Ejercicio2:Resolverladesigualdad
Solución:x2 + 2x − 8 ≤ 0
EJERCICIOS
Resolverejerciciosdellibrodetexto:1.5:Desarrollesucompetencia2,7,8,9,11,13,15,16,17,21,23,27,31,35,41,49
VALORABSOLUTO
Definición:
Algunosejemplosdenúmeros
x = x si x ≥ 0x si x < 0
⎧⎨⎩
VALORABSOLUTO
Conecuacionesdeunavariable,elresultadodependedelvalordelavariable• Ejemplo6:
x + x =x + x = 2x , si x ≥ 0−x + x = 0 ,si x < 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
EJEMPLO7
Ejemplo7:
• para
• para
x − 2 + x
x − 2 ≥ 0
x − 2 < 0
EJEMPLO7
Enresumen
x − 2 + x =2x − 2, si x ≥ 2
2, si x < 2⎧⎨⎪
⎩⎪
PROPIEDADESDELVALORABSOLUTO
Deladefiniciónsedesprende:
1. x ≥ 02. x = 0 si y solo si x = 0
3. x = −x
4. x ⋅ y = x ⋅ y
5. xy=xy
, para y ≠ 0
DESIGUALDADESYELVALORABSOLUTO
Propiedadesdelvalorabsoluto 1. x < a si y solo si − a < x < a
2. x > a si y solo si x < −a ó x > a3. x + y ≤ x + y
5. Si y ≥ 0, entonces x = y si y solo si
x = y para x ≥ 0−x = y para x < 0
⎧⎨⎪
⎩⎪
4. x ≤ x y − x ≤ x
DESIGUALDADESCONVALORABSOLUTO
Ejemplo8.Resolverladesigualdad
Solución:Recordarlapropiedad
queaplicadaalejemplo(a=30):
x − 4 < 30
x < a si y solo si − a < x < a
−30 < x − 4 < 30
Ejemplo8
Alsimplificartenemos
lasoluciónenformadeintervalo
−26 < x < 34
x ∈(−26,34)
EJEMPLO9
Ejemplo9:Resolverladesigualdad
Solución:Recordarlapropiedad(a=20)
Queaplicadaalejemplo
3x + 5 > 20
x > a si y solo si x < −a ó x > a
3x + 5 < −20 ó 3x + 5 > 20
EJEMPLO9
Alresolverlasdesigualdades
Lasolucióncomointervalo
x < − 253
ó x > 5
x ∈ −∞,− 253( )∪ 5,∞( )
EJERCICIO3
Ejercicio3:Resolverladesigualdad Solución:Recordarlapropiedad
−5x + 8 ≤10
x < a si y solo si − a ≤ x ≤ a
−10 ≤ −5x + 8 ≤10
EJERCICIO4
• Ejercicio4:Resolverladesigualdad
• Solución:Aplicarlapropiedad
−2x +17 ≥10
x > a si y solo si x ≤ −a ó x ≥ a
−2x +17 ≤ −10 ó -2x+17 ≥10
EJERCICIOS
• Resolverejerciciosdellibrodetexto:1.5:Desarrollesucompetencia53,54,55,57,61,65,66