Desigualdades o Inecuaciones

7/17/2019 Desigualdades o Inecuaciones

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DESIGUALDADES O INECUACIONESMETODOS DE RESOLUCION

1. DESIGUALDADES O INECUACIONES

1.1 Concepto

Una igualdad en Algebra es una afirmación, a través del signo =, de que dos

expresiones son iguales.

Del mismo modo, una desigualdad es una afirmación, a través del signo ≠ , de

que dos expresiones no son iguales, son distintas.

En síntesis, cuando dos expresiones matemticas se comparan solamente existen dos

posibilidades! a" #ue sean iguales entre sí$ b" #ue sean desiguales

a = b

Al comparar a con b

a % b

a ≠ b

a > b

En la resolución de ecuaciones & de desigualdades se presentan algunas diferencias!las soluciones de las ecuaciones son valores determinados de la variable, mientras

que las soluciones de las desigualdades son intervalos de valores. Aunque 'a& otras

que se vern ms adelante.

1.2 Propiedades de las desi!aldades

(" )i a ambos miembros de una desigualdad se le suma o se le resta una misma

cantidad, la desigualdad no varía

*" )i a ambos miembros de una desigualdad se los multiplica por la misma cantidad

positiva, la desigualdad no varía

+" )i ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad

negativa, la desigualdad se invierte.

(



1." Clasi#icaci$n de las desi!aldades

(" or la ubicación de la variable!

De (- grado

• )in variable en el denominador

De *- grado

De (- grado

• on variable en el denominador

De *- grado

ueden existir de +-, /- o ms. En esta solo llegaremos 'asta las de *- grado.

0as ma&ores sern reducidas por los métodos tradicionales & luego resolver

como se explica en el presente.

on una variable

*" or el n1mero de variables!on dos variables

)in valor absoluto

+" 2especto del valor absoluto!

on valor absoluto

1.% DESIGUALDADES DE 1& SIN 'ARIA(LE EN EL DENOMINADOR

*



)olamente 'a& que despe3ar.

E)e*plo 1+ " x , - / , 2 x

4 x % (4

5 x5 %

155

x " o 0 −∞

" ¿

"

"

E)e*plo 2+

5 x+2−6

1−7 x

5

0o primero que debe 'acerse es quitar los denominadores.

56 7 " 5 4 "5 x+2−6 8 56 7 " 5 4 "

1−7 x

5

or ser 56 7 " un n1mero negativo se invierte el signo de la desigualdad.

*4 x 9 (: 8 6 7 9 /* x

x 16

17

+



1. DESIGUALDADES DE 2& GRADO SIN 'ARIA(LE EN EL

DENOMINADOR

a3 M4todo r5#ico

E)e*plo 1+ x2

6 " x 7 28 9

omo la desigualdad es % : corresponde a la parte negativa de la función.

S+ 0713

5 23 o bien x : 713

5 ∩ x 2

E)e*plo 2+ " x

2

, 29 x , - : 9

2aíces! x( = 61

3

x* = ;

/

Y positivas

Y negativas

−1

5

*

Y positivas

Y negativas

−3

;



Sol!ci$n+ 0as x < -1

3 & las x > 7 o bien 0 7∞

71

3

) ∪ ( 7, ∞ )

Gráfcamente:

-1

3 -

E)e*plo "+ % x2

, - x 6 ; : 9 5<o tiene raíces reales"

Es la parte externa & positiva de la parbola.

S: 0 7 ∞ 6 ∞ 3 o bien S+ -∞

< x < +∞

a3 M4todo de inter<alos

E)e*plo 1+ x 2 6" x , 28 9

)e calculan las raíces.)e seleccionan valores arbitrarios de x en los intervalos producidos por cada

raí verificando si cumple la condición % : de la inecuación.

0 3

−13

5 *

4

<o )i)i

> positivas

> negativas

)i <o <o



E)e*plo 2+ " x2

, 29 x , - : 9

)e calculan las raíces! x( = ; x* = 61

3

0ocaliando en la recta numérica esos puntos

= =

6 1

3 ;

?omando valores arbitrarios pertenecientes a cada intervalo, se obtiene!

)í <o )í

3 0

6 1

3 ;

x % 6 1

3 ∪ x : -

1.8 DESIGUALDADES CON 'ARIA(LE EN EL DENOMINADOR

ara entender bien el porqué de las diferentes técnicas que existen para resolver

desigualdades cuando aparece la variable en el denominador, se debe tener en claro

que en los procesos de despe3ar incógnitas, no se trata de pasar a sumar, ni restar o

multiplicar al otro lado ninguna cantidad.

)on mecanismos que agilian los procesos de despe3ar, pero que conducen a errores.

Es indispensable recordar que si se tiene una igualdad, por e3emplo

* x @ ; = (

ara despe3ar la incógnita, no se pasa el 56 ;" al otro lado sumando, no existe lógica

para 'acerlo. 0o que realmente se 'ace es aplicar la le& de las igualdades ;5le&

7



uniforme" que dice que lo 'aga de un lado de la igualdad debe 'acerse del otro lado

también para que la igualdad se conserve.

* x @ ; 9 - = ( 9 -

2 x

2 =8

2 x = /

Existen varias técnicas para resolver desigualdades con variables en el denominador

que eliminan el problema de quitar denominadores sin saber si son negativos o

positivos.

1.8.1 DESIGUALDADES DEL TIPO+ Una Fraccion Comparada con 0

)on de la forma! p( x)q ( x)

≠ 0

mplica

+¿+¿

¿¿

p( x)q ( x)

>0

B bien

−¿−¿¿¿

p( x)q ( x)

≠ 0

mplica

−¿+¿

¿

¿

p( x)q ( x)

<0

;



on3unto CIntersecci$n

A > (

B bien

+¿−¿¿¿

SOLUCIONES PARCIALES

uando se 'abla de una solución parcial significa que el intervalo de valores de ? x”

obtenido es solo una parte de la solución total, pero no toda.

uando se 3untan todas las soluciones parciales obtenidas durante el proceso se

obtiene la solución total.

<o olvidar que la idea de juntar todas las soluciones parciales obtenidas en la teoría

de con3untos se llama unión, representado por el símbolo ∪ .

Una sol!ci$n total se o@tiene de la !ni$n de todas las sol!ciones parciales

o@tenidas d!rante el proceso.

CASO 1+

)i p( x)q ( x) 8 : significa que la fracción es positiva, lo cual a su ve implica que

debe cumplirse una de las dos siguientes opciones!

+¿+¿

¿¿ o bien

−¿−¿

¿¿

#ue el numerador & el denominador deban ser 9 o @ al mismo tiempo, significa que

se trata de una intersección! ∩



0os valores en la intersección estn al mismo tiempo

en el on3unto A & en el on3unto C

El procedimiento para resolver una desigualdad de este tipo consiste en resolver

primero el numerador 'aciéndolo ma&or que cero 5positivo", luego el denominador

'aciéndolo también ma&or que cero. omo ambas cosas deben darse al mismo

tiempo, 'acer la intersección de ambas para obtener una primera solución parcial.

A continuación se procede del mismo modo 'aciendo al numerador & al

denominador menor que cero. Facer la intersección de ambas para obtener unasegunda solución parcial.

Ginalmente, para llegar a la solución total o definitiva, se 'ace la unión de las dos

soluciones parciales. Huntar las dos soluciones parciales.

E)e*plo+

omo la fracción es ma&or que cero, significa que es positiva. ara que ello ocurradebe darse una cualquiera de estadas dos condiciones!

a3

+¿+¿¿¿

@3

−¿−¿¿¿

Opci$n+ a3

Faciendo el numerador ma&or que cero

4 x 9 ( 8 : x = 61

5

Faciendo el denominador ma&or que cero

I

on unto A



+ x 9 4 8 : x 8 65

3

omo ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, debe 'acerse una

intersección.

65

3 61

5

0 0

ntersección

0a primera solución parcial son las x 8 615

Opci$n+ @3

Faciendo el numerador menor que cero

4 x 9 ( % : x % 61

5

Faciendo el denominador menor que cero

+ x 9 4 % : x % 65

3

omo ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo se trata de una

intersección.

3 3

0a segunda solución parcial son las x % 65

3

or lo tanto la solución total es la unión de las dos soluciones parciales.

(:

66

ntersección



x 8 61

5 ∪ x % 6

5

3

Jrficamente

3 0

65

3 61

5

Caso 2+

)i p( x)q ( x) % : significa que la fracción es negativa, lo cual implica que debe

cumplirse una de las dos siguientes opciones!

−¿+¿¿¿

o+¿−¿¿¿

E)e*plo+5 x+26 x−13

>0

Opci$n+

−¿+¿¿

¿

Faciendo el numerador ma&or que cero

4x 9 * 8 : x 8 62

5

Faciendo el denominador menor que cero

7 x @ (+ % : x %13

6

omo ambas condiciones deben darse al mismo tiempo se trata de una intersección

−2

5 13

6

0 3

((



0a primera solución parcial son las x que estn entre menos dos quintos & trece

sextos, lo cual se escribe de alguna de las siguientes formas!

x 8 62

5 ∩ x %13

6

Aunque la mas usual es!−2

5 % x %13

6

En esta 1ltima notación debe tomarse en cuenta que!

a" 0a x

debe ir siempre en el medio b" El n1mero menor siempre se escribe a la iquierda 5conforme la recta numérica"

c" El n1mero ma&or se escribe siempre a la derec'a 5conforme la recta numerica"

d" 0os signos de desigualdad siempre , nunca :.

Opci$n+

+¿−¿¿¿

5 x+2

6 x−13<0

Faciendo el numerador menor que cero!

4 x 9 * % : x % 62

5

Faciendo el denominador ma&or que cero

7 x @ (+ 8 : x 813

6

omo ambas condiciones deben darse al mismo tiempo se trata de una intersección.

Jrficamente

3 0

(*

Intersecci$n



62

5

13

6

No hay intersección

)ignifica que no 'a& una segunda solución parcial. Esto es porque nunca con ning1nvalor que se le dé a la x, la fracción original va a ser negativa en su numerador al

mismo tiempo que positiva en su denominador.

or lo tanto, la solución total es la unión de las dos soluciones parciales, pero como

solo existe una solución parcial 5la primera" ella es toda la solución total.

x 8−2

5 ∩

x %13

6

0a ms usual es! 725 x

136

CASOS APARENTEMENTE DIERENTES

A veces se presentan desigualdades aparentemente diferentes a las formas vistas 5una

fracción comparada con cero", apareciendo como una fracción comparada con otra fracción

o comparada con un entero. or e3emplo!

x−3

3<7 x−1

x+3

0o 1nico que debe 'acerse en estas desigualdades es escribir todo del lado iquierdo

quedando el derec'o en cero. )acar com1n denominador & efectuar la suma o resta de

fracciones para convertirla en una sola. De esta manera &a queda como una sola fracción

comparada con cero.

E)e*plo+5 x

x+3>2

2ecordar que no se puede multiplicar ambos miembros de la desigualdad por 5 x 9 +" porque

no se sabe si el binomio es positivo o negativo. Debe restarse en ambos miembro @ *.

5 x

x+3−2>0

(+



)acando factor comun & efectuando la suma algebraica!

5 x−2( x+3) x+3

>0 3 x−6

x+3>0

En este momento se tiene una sola fracción comparada con cero & se resuelve conforme se

vió al principio de este tema. omo la fracción es ma&or que cero se tienen las dos

posibilidades! #ue el numerador & el denominador sean ma&ores que cero 5positivos" o que

ambos sean negativos cu&o resultado también es ma&or que cero 5positivo".

1.8.2 METODO DE LOS INTER'ALOS

ara cualquier desigualdad con variable en el denominador se puede utiliar el

método de los intervalos, que consiste en dividir la recta numérica en intervalos en la

que los valores que la dividen son los siguientes!

a" 0os valores que se obtienen de resolver la desigualdad como si fuera una

ecuación, cambiando los signos de desigualdad por el signo =. b" 0os valores que 'acen cero el o los denominadores.

A continuación se toma un valor arbitrario para la x a condición de que no sea

ninguno de los obtenidos en los incisos anteriores & se prueba en la desigualdad. )i se

obtiene algo cierto, el intervalo al que pertenece el valor seleccionado para la x esintervalo si solución. )i se obtiene algo falso el intervalo al que pertenece el valor

seleccionado para la x es intervalo no solución.

Ginalmente se alternan los intervalos en si – no – si – no, o bien no-si-no-si solución.

E)e*plo 1+3 x+1 x+3

<1

2esolviendo como si fuera una ecuación

3 x+1 x+3

=1 x 1 B 1

Kalores que 'acen cero el denominador

x 9 + = : x 2 B 7 "

6 ∞ 6+ ( +∞

= =

?omando un valor arbitrario para la x, por e3emplo x = :!

(/



3 (0 )+10+1

<1 1

3<1

Cierto

or lo tanto, el intervalo al que pertenece x = : es si solución.

Al 'acer la alternancia de los intervalos, se tiene la solución grfica como!

x = :

6 ∞ 6+ ( +∞

= =

No solución Si solución No solución

7 " x 1E)e*plo 2+

x+53 x−1

>4 x−1

x+3

2esolviendo como si fuera una ecuación

x+53 x−1

=4 x−1

x+3

5 x 9 4 " 5 x 9 + " = 5 / x @ (" 5 + x @ ( "

6 (( x* 9 (4 x 9 (/ = :

x 1 B 2 x 2 B−7

11

Kalores que 'acen cero los denominadores

+ x @ ( = : x 3 B1

3

x 9 + = : x 4 B 7"

on estos cuatro valores se parte la recta numérica en intervalos

6 ∞ 6+−7

11

1

3 * +∞

(4



= = = =

robando con cualquier valor para x que esté dentro de cualquiera de los cincointervalos, por e3emplo x = :

x+5

3 x−1 >4 x−

1

x+3

0+53 (0)−1

>4(0)−1

0+3 6 4 8−1

3 also x = : es no solución”

6 ∞ 6+−7

11 1

3 *

+∞

L L L L No Solución Si solución No solución Si solución No solución

#ue corresponde a la solución definitiva! 7" x −7

11 ∪

1

3 x 2

1.- DESIGUALDADES DE INTERSECCION

Una desigualdadde la forma a x b significa que todos los valores que puede

tomar la variable x estén entre a & b, en el intervalo !a"b#$

?ambién significa la intersección de las desigualdades x > a ∩ x b, es decir

todas las x que al mismo tiempo sean ma&ores que a & menores que b.

or lo tanto, la manera ms sencilla de resolver este tipo de desigualdades, aunque

no la 1nica, es resolver por separado cada una de las dos desigualdades & luego

intersectar ambas soluciones.

E)e*plo+

1 2 x -" 11

1 2 x , "

* x 8 ( 9 +

2 x , " 11

* x % (( 9 +

(7



* x 8 /

x : 2

* x % (/

x -

omo ambas soluciones deben cumplirse al mismo tiempo,

se trata de una intersección.

2 x ∩ x -

#ue corresponde a! 2 x -

6 ∞ * ; 9 ∞

0 3

Otro *4todo

onsiste en despe3ar la x en la desigualdad. Esta solución significa que cualquier x

menor que % pertenece al intervalo no solución, todas las x que estén entre % & &

pertenecen al intervalo si solución, & que todas las x ma&ores que & pertenecen al

intervalo no solución.

robando con x = ( que pertenece al intervalo no solución!

( % * x @ + % (( ( % * 5 ( " @ + % (( ( % 6 ( % (( also

A'ora probando con x = / que pertenece al intervalo solución!

( % * x @ + % (( ( % * 5 / " @ + % (( ( % 4 % (( Cierto

E)e*plo 2+ 1" % , ; x -8

)e separan las dos desigualdades que la componen & se resuelven por separado.

(;

x 8 *

x % ;

Intersecci$n



(+ % / @ I x

I % 6I x

9

−9 %−9

−9 x

( % 6 x

x 7 1

El signo de la desigualdad se invirtió cuando se

dividió por @ I

/ @ I x % ;7

6I x % ;*

−9

−9 x 872

−9

x : 7/

El signo de la desigualdad se invirtió cuando se

dividió por @ I

•

omo ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, se trata de una intersección

x 71 ∩ x : 7/ que corresponde a 7/ x 71

0 3

1./ DESIGUALDADES CON 'ALOR A(SOLUTO

a# )i L x L 8 c, donde c es cualquier constante, entonces, x - c ∪ x > c

- c c

3 0

b# )i L x L % c, donde c es cualquier constantes, entonces – c x c, o sea la

intersección de x > - c ∩ x c .

- c c

5 "

(

+∞6(66

ntersección



E)e*plo 1+

2esolver! = " 7 1= : 11

omo el valor absoluto es ma&or qué, la slución es la unión de las soluciones que

se obtienen de la parte positiva & de la parte negativa.

arte ositiva

5+ x @ (" 8 ((

+ x 8 (*

x : %

arte <egativa

6 5+ x @ ( " 8 ((

5+ x @ (" % 6((

+ x 8 6(:

x : 710

3

•

0a unión de ambas soluciones es la solución total de la desigualdad

6 ∞

−10

3 / 9 ∞

3 0Si solución No solución Si solución

x <−10

3 ∪ x > %

E)e*plo 2+ = , 2 x = 11

omo el valor absoluto es menor que, sa solución es la intersección de las solucionesque se otienen al tomar la parte positiva & la parte negativa.

arte ositiva

5 4 @ * x " % ((

6* x % 7

arte <egativa

6 54 @ * x " % ((

5 4 @ * x" 86((

(I



* x 8 67

x : 7"

6* x 8 6(( @ 4

6* x 8 6(7

x /

•

0a intersección de ambas soluciones parciales, es la solución de la desigualdad

−∞6+ 9

∞

5 "

No solución Si solución No solución

7" x /

E)e*plo "+ = % 6 1 = : = 2 , 11=

uando existen dos valores absolutos el problema se puede resolver de dos formas!

quitando primero el valor absoluto de la iquierda & luego el de la derec'a, o viseversa.

En este caso, si se quita primero el de la iquierda, visto desde ese valor absoluto, se

tendr que el valor absoluto es ma&or queM, por lo tanto dar origen a una unión desus soluciones parciales. omo al final se quitar el valor absoluto de la derec'a, visto

desde allí se tendr que es menor queM & dar origen a una intersección.

)i por el contrario, se quita primero es de la derec'a, visto desde ese valor absoluto se

tendr que el valor absoluto es menor queM, dando origen a una intersección entre sus

soluciones parciales. > como al final se quitar el valor absoluto de la iquierda, visto

desde allí, se tendr que es ma&or queM & dar origen a una unión.

En forma simbólica!

L a L 8 L b L

!itando pri*ero = b = F l!eo = a = !itando pri*ero = a = F l!eo = b =

*:



arte positiva de b arte negativa de b arte positiva de a arte negativa de a

L a L 8 b L a L 8 6b a 8 L b L 6a 8 L b L

a b -a > b a > -b -a > -b a > b a > -b -a > b -a > -b

Uni$n Uni$n Intersecci$n Intersecci$n

Kiene de quitar el valor

absoluto de a que es

ma&or queM


absoluto de a que es

ma&or queM


absoluto de b que es

menor queM


absoluto de b que es

menor queM

Intersecci$n Uni$n

Kiene de quitar el valor absoluto de b que es

menor queM

Kiene de quitar el valor absoluto de a que es

ma&or queM

Kolviendo al e3emplo!= % 6 1 = : = 2 , 11 =

arte positiva de / x 9 ( arte negativa de / x 9 (

*(



/ x 9 ( 8 L * x @ ((L 6 5/ x 9 (" 8 L * x @ ((L

arte positiva de

* x @ ((

/ x 9 ( 8 * x @ ((

* x 8 6(*

x : 78

arte negativa de

* x @ ((

/ x 9 ( 8 65 *x @ ("

7 x 8 (:

x :5

3

arte positiva de

* x @ ((

6/ x @ ( 8 6* x 6((

67 x 8 6(:

x 5

3

arte negativa de

* x @ ((

6/ x @ ( 8 6* x 6 ((

6* x 8 (*

x 78

Intersecci$n

Kiene de quitar el valor absoluto L* x6((L que es

'menor (ue” / x9(

Intersecci$n

Kiene de quitar el valor absoluto L* x6((L que es

'menor (ue” / x 9 (

−∞ 675

3

9 ∞

0 0

Intersecci$n

−∞ 675

3

9 ∞

3 3

x 8

5

3

x 78

Uni$n

Kiene de quitar el valor absoluto L /x 9 ( L inicial que es 'mayor (ue” L *x @ (( L

3 0 x 78∪

x :5

3

OPCION+ 2

#uitando primero L * x @ (( L

**

Intersecci$n

6 7

5

3 96



omo este valor absoluto es 'menor (ue” se tendr que 'acer una intersección de sus dos

soluciones que se obtienen al tomar la parte positiva & la parte negativa de * x 6 ((

= % x 6 1 = : = 2 x , 11 =

arte positiva de / x 9 (

L / x 9 (L 8 * x @ ((

arte negativa de / x 9 (

L / x 9 ( L 8 6 5* x @ (("

arte positiva de

% x 6 1

/ x 9 ( 8 * x @ ((

* x 8 6(*

x : 78

arte negativa de

% x 6 1

6 / x 6 ( 8 * x @ (

67 x 8 6(:

x 5

3

arte positiva de

% x 6 1

/ x 9 ( 8 6* x 9((

7 x 8 (:

x :5

3

arte negativa de

% x 61

/ x 6 ( 8 6* x 6 ((

6* x 8 (*

x 78

Uni$n

Kiene de quitar el valor absoluto L/ x9(L que es

'mayor (ue” L * x6(( L

Uni$n

Kiene de quitar el valor absoluto L/ x9(L que es

'mayor (ue” L * x @ ((L

−∞ 675

3

9 ∞

5 "

Uni$n

−∞ 675

3

9 ∞

3 0

?odas las x

Intersecci$n

Kiene de quitar el valor absoluto L * x 6 (( L inicial que es 'menor (ue” L / x 9 ( L

−∞ 675

3 9 ∞

3 0

*+

x 78∪

x



1.; DESIGUALDADES CON RAI CUADRADA

E)e*plo+

√ 3 x+10 x

omo la raí cuadrada es positiva & es menor que x, es obvio que x es también

positivo, aplicando propiedades de la raí, se puede multiplicar toda la inecuación

por si misma 5elevar ambos miembros de la desigualdad a la potencia *.

√ 3 x+10 √ 3 x+10 % x 5 x"

+ x 9 (: % x%

6 x* 9 + x 9 (: % :

#ue resolviéndola por alguno de los métodos vistos, se obtiene!

x % 6 *∪

x 8 4 !)#

)iempre & cuando el subradical sea cero o positivo, o sea

+ x 9 (:≥

:

x ≥ −10

3 !%#

or lo tanto, la solución es 5(", siempre & cuando las x sean ma&ores o iguales a

menos die tercios. En otras palabras, es la intersección de 5(" con 5*".

N x % 6 *∪

x 8 4 O∩

x ≥

−10

3

−∞

−10

3 6 * 4 +∞

H 3 0

*/

x 7 8 ∪ x

3

Intersecci$nIntersecci$n



1.19 DESIGUALDADES DE 1er GRADO CON DOS 'ARIA(LES

)on de la forma! ax + by≠

c

ax * by > c

mplica dos posibilidades

ax * by c

)i se compara la suma ax * by con la constante c, solamente existen dos

posibilidades o son iguales o son desiguales.

A su ve, si son desiguales solamente existen dos posibilidades! que sea ma&or que

c o que sea menor.

)i se tiene la igualdad ax * by = c, grficamente se trata de una línea recta.

)ignifica que todo el con3unto de pares de valores !x"y# que pertenecan a la recta

satisfacen la igualdad.

)e deduce que cualquier otro par de valores que no pertenecan a la recta no

satisface la igualdad, por lo tanto la convierte en desigualdad.

0a idea del método de solución consiste en ubicarse primero en ax * by = c, para

luego, al salirse de allí, tener la seguridad de estar en lo desigual.oncluir investigando simplemente si ese desigual corresponde a un 'mayor (ue”

o a un 'menor (ue”$

E)e*plo 1+ 5x – 2y < 10

Jraficando la recta!

*4



x : *

& 64 :

)e selecciona un punto que no perteneca a la recta, por e3emplo 5:,:" & se prueba en la desigualdad original!

4x @ * y % (:

4 5:" 6 * 5:" % (:

: % (: Cierto

)ignifica que la región a la que pertenece el punto + !,",# es la región solución.

1.11 DESIGUALDADES SIMULTANEAS

)e grafican las dos rectas, la región com1n ser la que satisfaga ambas

desigualdades.

1.12 CASOS ESPECIALES

)e dan cuando las rectas son paralelas.

*7

Desigualdades o Inecuaciones

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