Valor Absoluta y Desigualdades

Ana Cristina Chavez Caliz

5 de octubre de 2009

1. Propiedades y Definiciones

Para x ∈ R|x| :=x, si x ≥ 0; −x si x < 0

1.1. Propiedades

a) | − x| = |x|b) |ab| = |a||b|; a > 0, |ab| = a|b|c)√

x2 = |x|, |x|2 = |x2| = x2

d) [Desigualdad del triangulo] |a + b| ≤ |a|+ |b|e) |x| = 0 ⇔ x = 0f) −|x| ≤ x ≤ |x|

1.2. Proposiciones importantes

1. Proposicion: Sean a > 0, b > 0, a < b ⇔ a2 < b2

2. Proposicion: x2 < a ⇔ −√a < x <√

a y, cuando x2 > a ⇔ √a < x < −√a

2. Formula general para inecuaciones de segun-do grado

Sea ax2 + bx + c > 0 la desigualdad. Tenemos 4 casos

Caso 1: Cuando a > 0 y b2 − 4ac > 0, la solucion es x ∈ (−∞, −b−√b2−4ac2a ) ∪

(−b+√

b2−4ac2a ,∞)

Caso 2: Cuando a < 0 y b2−4ac > 0, la solucion es x ∈ (−b−√b2−4ac2a ), −b+

√b2−4ac2a )

Caso 3: Cuando a < 0 y b2−4ac < 0, la solucion es x ∈ (−b−i√

b2−4ac2a ), −b+i

√b2−4ac

2a )Caso 4: Cuando a > 0 y b2 − 4ac < 0, la solucion es x ∈ (−∞, −b−i

√b2−4ac

2a ) ∪(−b+i

√b2−4ac

2a ,∞)

1

2.1. Desigualdades importantes

1. Desigualdad de la media aritmetica y media geometrica:∀ a, b, se tiene que a+b

2 ≥√

abLa primera parte de la desigualdad es la media aritmetica, mientras que el otrotermino es conocido como media geometrica

2. Generalizacion de la desigualdad de la media aritmetica y geometrica:Sea a1, a2, . . . an tenemos que a1+a2+...+an

n ≥ n√

a1a2 . . . an

3. Proposicion: a > c > 0 ⇔ 1a < 1

c

4. Proposicion: a > 1 ⇒ a2 > a

5. Proposicion: a > 1, x > y > 0 ⇒ ax > ay > 1

6. Proposicion: 0 < a < 1, x > y > 0 ⇒ 1 > ay > ax

7. Teorema: Si a > 1, x > y, entonces ax > ay > 0

8. Proposicion: a > b > 0 y x < 0 ⇒ bx > ax

9. Desigualdad de Bernoulli:Si x ≥ −1 y 0 < α < 1 ⇒ (1 + x)α ≤ 1 + αxLa igualdad se tiene si y solo si x = 0Si x ≥ 1 y α > 1 o a < 0 ⇒ (1 + x)α ≥ 1 + αx

10. Desigualdad de la media armonica, media geometrica y media aritmetica:

n1a1

+ 1a2

+ . . . + 1an

≤ n√

a1a2 . . . an ≤ a1 + a2 + . . . + an

n

11. Desigualdad de Cauchy-Schwarz:Sean

a1, a2, . . . an, b1, b2, . . . bn ∈ R⇐ a1b1+a2b2+. . .+anbn ≤√

a21 + . . . + a2

n

√b21 + . . . + b2

n

2