Despacho Economico
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-
Despacho Econmico
Harold Salazar Isaza, Ph.D
Programa de Ingeniera Elctrica
Universidad Tecnolgica de Pereira
Abril 2009
1Harold Salazar Isaza
-
Contenido
Introduccin a el despacho econmico
Modelaje de las curvas de costo
2
Formulacin matemtica del problema de despacho econmico
Tcnicas de optimizacin (Ver presentacin Introduccin a las tcnicas de optimizacin)
Solucin al problema de despacho econmico
Ejemplos
Harold Salazar Isaza
-
Introduccin
El despacho econmico es una tcnica ampliamente utilizada en la
operacin de los sistemas de potencia. El objetivo es establecer el
despacho optimo (despacho de menor costo) de un conjunto de
generadores para una determinada demanda sujeto a un conjunto de
3
generadores para una determinada demanda sujeto a un conjunto de
restricciones operativas.
Red de Transmision
dk
d1
Pg1=?
Esquematicamente:
Pgn=?
Pgi=?
Harold Salazar Isaza
-
Introduccin
De que depende el despacho econmico?
El costo de generacin de electricidad de las
4
1. El costo de generacin de electricidad de las
distintas tecnologas
2. La demanda
3. Las restricciones operativas
Se requiere el modelo
matemtico de cada uno de
estos componentes para formular
matemticamente el problema de
despacho econmico
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Los costos de generacin se deben principalmente a los siguientes
factores:
1. Costo de construccin
5
2. Costo operativos
Costo del combustible (energas primarias) necesarias para
producir electricidad
Costo de mano obra
Costo de mantenimiento
Estos costos son lo que primordialmente determinan los costos operativos
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Analisis comparativo de el costo promedio de diferentes energias primarias en los E.U
6
Fuente: http://www.eia.doe.gov/cneaf/electricity/epa/epat4p5.html
Observe que los costos de las energas primarias se pueden expresar en $/MMBtu(Mayor informacin: http://www.eia.doe.gov/emeu/mer/append_a.html)
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Los costos de las diapositivas anteriores reflejan los costos del
combustible. Estos costos no indican los costos de producir electricidad.
7
Como modelar matemticamente los costos de produccin?
Puesto que el costo de produccin esta definido principalmente por el costo
de combustible, la curva de costo solo tomara en consideracin este costo
para su construccin.
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Curva de entrada-salida: Esta curva indica cuanto combustible por hora es necesario para colocar a disposicin una cantidad determinada de MW
8
Entrada: Se puede expresar en trminos de:1. Pesos / hora2. Toneladas de carbn / hora3. Millones de m3 de gas / hora4. Energa / hora
Salida: Potencia neta en MW disponible para el sistema de potencia
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Curva de entrada-salida: Esta curva indica los requerimientos energticos en MBTU o J (Joule) por unidad de tiempo (generalmente hora) para colocar a disposicin una determinada potencia.
9
Entrada (MBTU/hr)
Salida: Pg (MW)
colocar a disposicin una determinada potencia.
Entrada (kJ/hr)Esta curva puede ser obtenida segn los datos de diseo o por pruebas de laboratorio. Por ejemplo: Para una planta de carbn, se puede establecer el numero de toneladas por hora para generar un valor dado en MW. Luego se puede multiplicar el poder calorfico del carbn (MBTU/ton) para establecer el valor de entrada (eje y)
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Funcin de Produccin: Esta curva indica la potencia disponible como funcin de los requerimientos energticos en MBTU o J (Joule) por hora.
10Entrada (MBTU/hr)
Salida: Pg (MW)
Entrada (kJ/hr)
Observe que a medida que se incrementa la entrada no existe un incremento sustancial de la salida. Este efecto es conocido, en economa, como la ley de la disminucin de la produccin marginal.
Esta disminucin al margen se explica por el aumento de escape de energa de entrada a medida que la temperatura aumenta.
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
"Eficiencia"
/
Energia de salida MW MWh
Energia de entrada MBTU h MBTU = = =
Como modelar el costo de generacin?MWh se puede transformar en MBTU para obtener la eficiencia en MBTU/MBTU. Ver ejemplo.
11
(MWh/MBTU)
Pg (MW)
Nivel mas eficiente de generacin
Bajos niveles de eficiencia
Normalmente este es el valor nominal de la unidad de generacinHarold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Curva de proporcin de calor: (Heat rate curve) Esta curva es similar a la curva de eficiencia excepto que los valores en el eje y se encuentran invertidos. Esto es, el eje y contiene los valores que corresponden a el inverso de la eficiencia (curva de la diapositiva anterior). La curva es denotada H(Pg). Esta curva es especialmente til para derivar la
12
anterior). La curva es denotada H(Pg). Esta curva es especialmente til para derivar la curva de costo.
1/ = H(Pg)
(MBTU/MWh)
Pg (MW)
Nivel mas eficiente de generacin
Normalmente este es el valor nominal de la unidad de generacin
Esta curva es una caracterstica de la unidad de generacin
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Curva de costo: (Cost curve) La curva de costo se construye a partir de la curva de proporcin de calor de la siguiente manera:
1. Defina R como la razn a la cual la unidad de generacin utiliza combustible por hora,
13
( MBTU / h )= ( MW ) x ( MBTU / MWh )
1. Defina R como la razn a la cual la unidad de generacin utiliza combustible por hora, esto es, la curva entrada-salida que es igual a la curva de proporcin de calor H(Pg)multiplicada por Pg.
( )( )R Pg Pg H Pg=
2. Defina C como el costo de produccin establecido como el costo del combustible Kmultiplicado por la razn a la cual la unidad de generacin utiliza combustible R
( ) ( )C Pg K R Pg=
( $ / h )= ( $ / MBTU ) x ( MBTU / h )Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Curva de costo: (Cost curve) La curva de costo indica el costo por hora para una determinada potencia de salida. Esta curva depende de las caractersticas de la unidad, la cual, estn indicadas por la curva de proporcin de calor (heat reat curve) y el costo del combustible.
14
C(Pg)
( $/ h)
Pg (MW)
Dos caractersticas de la curva de costo:
1. El costo incrementa con la generacin. Esta es una caracterstica esperada pues a mayor nivel de generacin se requiere mas combustible incrementando de esa manera el costo de generacin.
2. La curva, por lo general y para efectos de anlisis, se considera convexa. Esto es, el segmento de lnea que une dos puntos cualquiera de la curva SIEMPRE esta por encima de la curva.
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
Como modelar el costo de generacin?
Curva de costo incremental: (Incremental cost curve) El costo incremental es el costo de producir un kW adicional o kWh si la potencia se considera constante durante una hora. Se define, matemticamente, como la derivada de la curva de costo, esto es:
( )dC Pg
15
( ) ( )dC PgCI PgdPg
=
CI(Pg)
( $/ kWh)
Pg (kW)
Dos observaciones de la curva de costo incremental:
1. La curva de costo incremental es creciente lo cual indica que el costo de generar un MW adicional (o MWhsi la potencia es constante durante una hora) incrementa con la potencia.
2. La curva de costo incremental es lineal para curvas de costo cuadrticas.
Note las unidades del costo incremental $/MWh
Harold Salazar Isaza
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Modelaje de la curva de costo
Ejemplo: Tomado de http://powerlearn.ee.iastate.edu/asp/Una unidad trmica de generacin de 100MW utiliza carbn cuyo contenido energtico es
12,000 BTU/lb. El costo del carbn es $1.5/MBTU (Note las unidades de costo del
carbn!!). Para la curva de demanda indicada en la tabla inferior, calcular:
1. La eficiencia para cada nivel de demanda.
16
1. La eficiencia para cada nivel de demanda.
2. La curva de proporcin de calor (Heat Rate Curve) en MBTU/MWh.
3. El costo por hora.
Hora Pg (MW)Toneladas de Carbon
empleada
12:00am-6:00am 40 105.0
6:00am-10:00am 70 94.5
10:00am-4:00pm 80 156.0
4:00pm-12:00am 100 270.0Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
1. La eficiencia para cada nivel de demanda
Solucin
Sea T el nmero de horas para producir P (MW) usando y toneladas de
17
6sec3600 10
12000 2000 1054.85
wattsP T
hr MWBTU lb joules
ytonslb ton BTU
=
Sea T el nmero de horas para producir P (MW) usando y toneladas de
carbn. Recuerde que 1W = 1J/s
Energia de salida
Energia de entrada =
Harold Salazar Isaza
-
2. La curva de proporcin de calor
La curva de proporcin de calor es la cantidad de MBTU usados en un
tiempo T divido por los MWh de salida en el mismo intervalo T
Modelaje de la curva de costo
18
tiempo T divido por los MWh de salida en el mismo intervalo T
TP
BTU
MBTUytons
ton
lb
lb
BTU
H
=
610
12000000,12
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
( )
3. El costo por horaDel punto 2 del problema (diapositiva anterior)
19
( )( )R Pg Pg H Pg= ( ) ( ) 1.5 ( )C Pg K R Pg R Pg= =
Costo del combustible en $/MBTU
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
T (hrs) P (MW) y (tons) H (MBTU/MWh) C ($/hr)
Solucin Ecuacin dispositiva 17
Ecuacin dispositiva 18
Ecuacin dispositiva 19
20
T (hrs) P (MW) y (tons) H (MBTU/MWh) C ($/hr)
6 40 105.0 0.33 10.5 630
4 70 94.5 0.42 8.1 850
6 80 156.0 0.44 7.8 936
8 100 270.0 0.42 8.1 1215
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
La curva de costo se puede aproximar con una curva cuadrtica.
% Codigo en Matlab1200
1300 fitted curve
21
% Codigo en MatlabPg = [40 70 80 100]';Costo = [630 850 936 1215]';f = fittype('poly2');c = fit(Pg,Costo,f);plot(c);xlim([0 120])xlabel('Pg (MW)');ylabel('Costo ($/h)')hold onplot(Pg,Costo,'x')
0 20 40 60 80 100 120600
700
800
900
1000
1100
1200
Pg (MW)
C
o
s
t
o
(
$
/
h
)
C(pg)=0.09033Pg2-2.955Pg+604.9
Harold Salazar Isaza
-
14
16
0.1807 x-2.955
Modelaje de la curva de costo
El costo incremental es la derivada de la curva de costo.
% Codigo en Matlab C(pg)=0.09033Pg2-2.955Pg+604.9
20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
2
4
6
8
10
12
14
Pg (MW)
C
o
s
t
o
M
a
r
g
i
n
a
l
(
$
/
M
W
h
)
22
% Codigo en Matlabezplot('0.1807*x-2.955',[20 100])xlabel('Pg (MW)');ylabel('Costo Marginal ($/MWh)')
C(pg)=0.09033Pg2-2.955Pg+604.9CI(pg)=0.1807Pg-2.955
Harold Salazar Isaza
-
Modelaje de la curva de costo
En general, la curva de costo de las generadores trmicos se
aproxima, matemticamente, a la siguiente expresin cuadrtica:
( ) 2g gC Pg aP bP c= + +En donde:
a, b, y c son coeficientes que caracterizan al generador trmico
23Harold Salazar Isaza
-
Formulacin matemtica del problema
El problema del despacho econmico se puede formular de la siguiente manera:
Minimizar El costo TOTAL de la generacin
Sujeto a
1) Balance global: El despacho de todos los generadores debe ser igual a la demanda total incluyendo las perdidas.
2) Limites de generacin: El valor despachado de cada generador debe estar dentro de sus limites de operacin definido por sus valores mximo y mnimo.
3) Capacidad de transmisin: El flujo de potencia por cada lnea del sistema debe ser menor que su limite mximo de operacin.
24Harold Salazar Isaza
-
Formulacin matemtica del problema
Matemticamente:
Por simplicidad no se consideran, inicialmente, las restricciones que impone la
red de transmisin.
( )1
mini
n
i iPg
i
C Pg=
s.a:
Funcin Objetivo
1 1
n m
i j L
i j
Pg Pd P= =
= +
min max 1i ii
Pg Pg Pg i n = Restricciones
25Harold Salazar Isaza
-
Formulacin matemtica del problema
( )E n d o n d e :
: C o s to d e l g e n e r a d o r ii iC P g
Definicin de las variables:
26
( )
m in m a x
: V a lo r d e s p a c h a d o p a r a e l g e n e r a d o r i
: V a lo r d e la d e m a n d a j
: P e rd id a s to ta le s
, : L im i te s d e g e n e ra c i n d e l g e n e ra d o r i
n : N m e ro to ta l d e g e n e r
i i
i i
i
j
L
P g
P d
P
P g P g
a d o re s
m : N m e r o to ta l d e c a rg a s o d e m a n d a s
Harold Salazar Isaza
-
Formulacin matemtica del problema
El anterior problema se puede resolver empleando
tcnicas de programacin no-lineal. La presentacin tcnicas de programacin no-lineal. La presentacin
Introduccin a la Optimizacin presenta las tcnicas
comnmente empleadas en la solucin de este
problema.
27Harold Salazar Isaza
-
Solucin al problema de despacho econmico
El problema de despacho econmico se resolver de acuerdo a la siguiente
secuencia:
Harold Salazar Isaza 28
1. Despacho econmico ignorando perdidas y limites de generacin
2. Despacho econmico ignorando perdidas y considerando limites de
generacin
3. Despacho econmico considerando perdidas y limites de generacin
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
Despacho econmico sin considerar perdidas e ignorando limites de generacin.
Sistema el cual ignora la red de transmisin Modelo matemtico
Harold Salazar Isaza 29
( )1
mini
n
i iPg
i
C Pg=
s.a:
1 1
n m
i j
i j
Pg Pd= =
=
d1
Pg1=?
Pgn=?
Pgi=?
dm
red de transmisin Modelo matemtico
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
Funcin de LaGrange
Funcin objetivo Restriccinn
Modelo matemtico
Harold Salazar Isaza 30
( )11 1 1
( , , , )n n m
n i i i j
i i j
L Pg Pg C Pg Pg Pd = = =
=
Funcin objetivo
Multiplicador de LaGrange
Restriccin
( )1
mini
n
i iPg
i
C Pg=
s.a:
1 1
n m
i j
i j
Pg Pd= =
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
( )11 1 1
( , , , )n n m
n i i i j
i i j
L Pg Pg C Pg Pg Pd = = =
=
CdPO
Funcin de LaGrange
Harold Salazar Isaza 31
0 1i
Li n
Pg
= =
( ) ( )1 1 1
0 1n n m
i i i j i i
i i ji i
LC Pg Pg Pd CI Pg i n
Pg Pg
= = =
= = = =
1. Derivadas con respecto a las potencias generadas:
2. Derivada con respecto al multiplicador de LaGrange:
0L
= 1 10
n m
i j
i j
Pg Pd= =
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
El sistema de ecuaciones de la diapositiva anterior implica que el despacho
econmico es aquel en donde los costos marginales (o costos incrementales)
de todos los generadores son iguales.
Harold Salazar Isaza 32
( ) ( )0 1i i i iCI Pg CI Pg i n = = =
1 1
0n m
i j
i j
Pg Pd= =
=
Un sistema de n+1 ecuaciones lineales* con n+1 incgnitas!!
* Si las funciones de costo son cuadrticas
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
La interpretacin grfica para un sistema de tres generadores es la siguiente:
CI(Pg)CI1
Harold Salazar Isaza 33
Pg
CI2 CI3
Pg1 Pg2 Pg3
Igual costo incremental :
Pg1+Pg2+Pg2=PD
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
Como solucionar el conjunto de ecuaciones de la dispositiva 32?
1. Si el sistema es pequeo (nmero reducido de generadores) y las curvas de costo son cuadrticas entonces se puede resolver como un sistema de la forma Ax=b.
Harold Salazar Isaza 34
Caso tres generadores:
( )( )( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
1 2 3
0 2 0
0 2 0
0 2 0
D
CI Pg a Pg b
CI Pg a Pg b
CI Pg a Pg b
Pg Pg Pg P
= + =
= + =
= + =
+ + =
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
( )( )( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 2 0
0 2 0
0 2 0
CI Pg a Pg b
CI Pg a Pg b
CI Pg a Pg b
= + =
= + =
= + =
Caso tres generadores:
Sistema de ecuaciones
Harold Salazar Isaza 35
( )3 3 3 3 31 2 3
0 2 0
D
CI Pg a Pg b
Pg Pg Pg P
= + =+ + =
11 1
22 2
33 3
2 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
1 1 1 0 D
ba Pg
ba Pg
ba Pg
P
=
ecuaciones
Sistema de ecuaciones en
forma matricial
A x b
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
2. El problema se puede resolver en trminos generales con el mtodo iterativo lambda. Este mtodo no requiere, como el caso anterior, que las curvas de costo sean cuadrticas.
Como solucionar el conjunto de ecuaciones de la dispositiva 32?
Harold Salazar Isaza 36
Mtodo iterativo:
1. Asumir un valor inicial de
2. Encontrar los valores Pgi a partir del asumido. Estos valores se encuentran con las curvas de
costo incremental.
3. Si se satisface la restriccin de generacin total igual a demanda total, entonces parar. De lo
contrario:
3.1) Si la suma de la generacin es mayor que la demanda total, disminuir e ir al paso 2
3.2) Si la suma de la generacin es menor que la demanda total, aumentar e ir al paso 2.
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
Una interpretacin grfica del mtodo iterativo lambda
Como solucionar el conjunto de ecuaciones de la dispositiva 32?
CI(Pg)CI1
Harold Salazar Isaza 37
Pg
CI1
CI2 CI3
1
Pg1 Pg2 Pg3
Pg1+Pg2+Pg2=PD
2
o
Incrementando se incrementa el despacho total
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
Otros dos mtodos (no cubiertos en este curso)
empleados para la solucin del despacho econmico son:
Mtodo del gradiente
Mtodo de Newton Raphson
Harold Salazar Isaza 38
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
Taller para ser resuelto en clase
Encuentre el despacho econmico para los siguientes tres generadores si la demanda total es de
550MW y las perdidas y los limites de los generadores son ignorados. Encuentre el despacho de la
siguiente manera:
1. Por el mtodo iterativo de lambda asumiendo un despacho inicial de Pg1=195MW;
Harold Salazar Isaza 39
( )( )( )
2
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
0.0025 8.4 225
0.0035 6.3 729
0.0025 7.5 400
g g
g g
g g
R Pg P P
R Pg P P
R Pg P P
= + +
= + +
= + +
Costo de combustible G1: $0.80/MBTU
Costo de combustible G2: $0.98/MBTU
Costo de combustible G3: $0.95/MBTU
Curvas de entrada-salida Costo del combustible
1. Por el mtodo iterativo de lambda asumiendo un despacho inicial de Pg1=195MW;
Pg2=193.3MW; y Pg3=78.94MW.
2. Resolviendo el sistema de la forma Ax=b.
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
El significado de lambda
Considere los tres generadores del ejercicio anterior. El despacho ptimo esta dado
por:
Harold Salazar Isaza 40
1
2
3
229.1243
213.1920
107.6836
7.6365
G
G
G
P
P
P
=
d=550 MW
Pg1=?
Pgn=?
Pgi=?
Costo total de generacin: ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 $5186.1/ hrG G GC P C P C P+ + =
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
El significado de lambda
Considere un incremento de 1MW en la demanda total. El nuevo despacho, resolviendo
este nuevo problema, esta dado por:
Pd = 550MW Pd = 551MW
Harold Salazar Isaza 41
1
2
3
229.1243
213.1920
107.6836
7.6365
G
G
G
P
P
P
=
$5186.1/ hrtotalC =
Pd = 550MW
1
2
3
229.5367
213.4325
108.0309
7.6381
G
G
G
P
P
P
=
$5193.7 / hr
5193.7 5186.1 7.63
total
total
C
C
=
= = +
Pd = 551MW
$5193.7 / hrtotalC =
Costo para una demanda de 550MW
para una demanda de
550MW
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
El significado de lambda
El operador de LaGrange , en el despacho econmico, representa el
Harold Salazar Isaza 42
costo incremental del sistema. Es decir, el costo de suplir 1MW
adicional durante una hora.
Nota: Este resultado se puede demostrar, analticamente, para la formulacin
general (diapositiva 25) utilizando el teorema del sobre (envelope theorem). La
siguiente diapositiva es una demostracin para el caso en donde no existen
limites de generacin.
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y limites de generacin
El significado de lambda
Demostracin:
( )nT i GiC C P= ( )n
i Gi
T Gi
dC PC P
dP =
Harold Salazar Isaza 43
( )
( ) ( )( ) ( )
1
1 1
1 1
(continua en la parte derecha)
T i Gi
i
o
T T
n no
i Gi i Gi
i i
n ni Gio
i Gi Gi
i i Gi
C C
C P C P
dC PC P P
dP
=
= =
= =
+
= +
= +
=
1
1 1
Cambio en el costo total $
Cambio en la
demanda
T Gi
i G
T
i
n n
Gi Gi
i i
D
D
dP
P P
P
C
P MWh
=
= =
= =
= =
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Considere ahora los limites de generacin
El despacho econmico considerando limites de generacin se puede resolver a travs
de varios programas de carcter comercial (Matlab, GAMS, etc). Sin embargo, para
Harold Salazar Isaza 44
de varios programas de carcter comercial (Matlab, GAMS, etc). Sin embargo, para
sistemas pequeos (un nmero muy reducido de generadores) se puede utilizar
la funcin de LaGrange para resolver este problema. Una ventaja de resolver este tipo
de problemas empleando LaGrange es que permite un mejor entendimiento del
problema. Las siguientes diapositivas muestran como solucionar este problema
empleando el procedimiento de LaGrange.
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
( )min n i iPg
C Pg
Modelo matemtico
Considere ahora los limites de generacin
Harold Salazar Isaza 45
( )1i
i iPg
i=
s.a:
1 1
n m
i j
i j
Pg Pd= =
=
min max 1i ii
Pg Pg Pg i n =
Funcin de LaGrange
( ) ( ) ( )max min max max min min1 1 1 1 1
( , , , )i i i i
n n m n n
i i i j i i
i i j i i
L Pg C Pg Pg Pd Pg Pg Pg Pg = = = = =
= + +
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Funcin de LaGrange
( ) ( ) ( )max min max max min min( , , , ) n n m n ni i i j i iL Pg C Pg Pg Pd Pg Pg Pg Pg = + +
Considere ahora los limites de generacin
Harold Salazar Isaza 46
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
( , , , )i i i ii i i j i i
i i j i i
L Pg C Pg Pg Pd Pg Pg Pg Pg = = = = =
= + +
Para el caso de dos generadores:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
min max min max
1 2
1 1 2 2 1
max max max max
1 1 2 2
min min min min
1 1
, , ,1 1 2 2
1 2
2 21 2
2
, , ,
D
L Pg Pg
C Pg C Pg Pg Pg P
Pg Pg Pg Pg
Pg Pg Pg Pg
=
+ + +
+ +
+
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Observe que si ninguna restriccin de desigualdad esta activa (el despacho para un
generador no esta en su limite de generacin) los multiplicadores de LaGrange son
iguales a cero. (Ver presentacin introduccin a las tcnicas de optimizacin)
Harold Salazar Isaza 47
Funcin de LaGrange
( ) ( ) ( )max min max max min min1 1 1 1 1
( , , , )i i i i
n n m n n
i i i j i i
i i j i i
L Pg C Pg Pg Pd Pg Pg Pg Pg = = = = =
= + +
Cero si Pgi es diferente a Pgimax Cero si Pgi es diferente a Pgi
min
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Con la consideracin de la diapositiva anterior, el problema del despacho se
puede resolver con el siguiente procedimiento:
Mtodo iterativo:
Harold Salazar Isaza 48
Mtodo iterativo:
1. Resolver el despacho econmico ignorando los limites de generacin con el mtodo lamdba o
como un sistema lineal. Esta suposicin asume que ninguna restriccin esta activa, es decir,
que los operadores son cero.
2. Si la solucin no viola ninguna restriccin entonces parar. La solucin es la obtenida en el
punto 1. De lo contrario ir a 3 (Ver siguiente diapositiva)
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Mtodo iterativo:
3. Si un limite de generacin es violado, entonces identificar la ecuacin en las condiciones KKT
Harold Salazar Isaza 49
que corresponde a el limite violado. En esta ecuacin, el operador de LaGrange es diferente
de cero, por tanto, la restriccin de desigualdad esta activa, es decir, es igual a cero. El
sistema se resuelve nuevamente tomando en consideracin la desigualdad activa.
4. Una vez resuelto el sistema anterior, verificar que el despacho se encuentre dentro de los
limites, si no se viola ninguna restriccin, entonces parar, de lo contrario ir nuevamente al
paso 3.
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Ejemplo
Considere nuevamente los tres generadores de la diapositiva 39. Cuyos costos y limites de
generacin son los siguientes.
( ) 21 1 1 1 10.0020 6.72 180 50 150g gC Pg P P Pg= + +
Harold Salazar Isaza 50
( )( )( )
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
2
2 3 3 3 2
0.0020 6.72 180 50 150
0.0034 6.17 714 50 300
0.0024 7.12 380 100 300
g g
g g
g g
C Pg P P Pg
C Pg P P Pg
C Pg P P Pg
= + +
= + +
= + +
( )31
mini
i iPg
i
C Pg=
s.a: 3
1
550ii
Pg=
=min max 1,2,3i ii
Pg Pg Pg i =
Recuerde el modelo matemtico
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Ejemplo
La funcin de LaGrange y las condiciones KKT para este problema son:
( ) ( ) ( )3 3 3max min max max min min1 1 1 1
( , , , ) 550i i i i
n
i i i i i
i i i i
L Pg C Pg Pg Pg Pg Pg Pg = = = =
= + +
Harold Salazar Isaza 51
1 1 1 1i i i i= = = =
max min
1 1 1
1
max min
2 2 2
2
max min
3 3 3
0.0040 6.72 0
0.0068 6.17 0
0.0048 7.12 03
LPg
Pg
LPg
Pg
LPg
Pg
= + + =
= + + =
= + + =
KKT
0 1,2,3i
Li
Pg
= =
-
0L
=
KKT (Continuacin)
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
1 2 3 550 0Pg Pg Pg+ + =
Ejemplo
Harold Salazar Isaza 52
( )( )*
*
*
*
0
0 1, 2,3
0
i
i i
i
i
i
g x b
g x b i
= =
( )( )( )( )
( )( )
max max
1 1
max max
2 2
max max
3 3
min min
1 1
min min
min min
1
2
3
1
2 22
3 33
0
0
0
0
0
0
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
=
=
=
=
=
=
max
1 1
max
2 2
max
3 3
min
1 1
min
min
2 2
3 3
0
0
0
0
0
0
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
Pg Pg
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Ejemplo
Solucin:
La solucin de este problema sin restricciones corresponde a la solucin mostrada en la diapositiva
40, la cual es reproducida a continuacin.
Harold Salazar Isaza 53
1
2
3
229.1243
213.1920
107.6836
7.6365
G
G
G
P
P
P
=
Observe que el limite superior del generador 1 es violado, por tanto 1max0. El nuevo sistema de
ecuaciones, bajo esta consideracin es:
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Ejemplo
max
1 1
2
0.0040 6.72 0
0.0068 6.17 0
Pg
Pg
+ + =
+ =
Sistema de ecuaciones considerando que el limite superior de Pg1 es violado.
Harold Salazar Isaza 54
Este sistema se puede simplificar de la siguiente manera:
1
2
3
1 2 3
0.0068 6.17 0
0.0048 7.12 0
550 0
150 0
Pg
Pg
Pg Pg Pg
Pg
+ =
+ =
+ + =
=
max
1
2
3
2 3
0.0040 150 6.72 7.32
0.0068 6.17 0
0.0048 7.12 0
550 150 400
Pg
Pg
Pg Pg
+ = =
+ =
+ =
+ = =
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Ejemplo
El conjunto de ecuaciones anteriores es un sistema lineal (cuatro ecuaciones y cuatro incgnitas)
que se puede expresar de la forma Ax=b cuya solucin es la siguiente:
Sin restricciones de generacin Con restricciones de generacin
Harold Salazar Isaza 55
1
2
3
229.1243
213.1920
107.6836
7.6365
G
G
G
P
P
P
=
$5186.1/ hrtotalC =
1
2
3
max
1
150.00
247.41
152.58
7.8524
0.5324
G
G
G
P
P
P
=
$5203.9 / hrtotalC =
Sin restricciones de generacin Con restricciones de generacin
Observe el incremento de estos dos valores respecto al problema sin restricciones. Por qu?
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Solucin
El significado de 1max
Con restricciones de generacin
$5203.9 / hrC = $5203.4 / hrC =
Harold Salazar Isaza 56
1
2
3
max
1
150.00
247.41
152.58
7.8524
0.5324
G
G
G
P
P
P
=
$5203.9 / hrtotalC =
$5203.9 / hr
5203.9 0.5324 5203.4
total
total
C
C
=
=
$5203.4 / hrtotalC =
Reduccin del costo si la restriccin se aumenta 1MW
150 150Pg 150 151Pg
1
2
3
max
1
151.00
247.00
152.00
7.8496
0.5256
G
G
G
P
P
P
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Taller para ser resuelto en clase
1. Solucione el ejercicio anterior, es decir, encuentre el despacho econmico, si el limite superior
del generador 2 se reduce a 150MW. Que ocurre con el costo total de generacin comparado
con el caso anterior?, Cuales son los valores y la interpretacin econmica de los
Harold Salazar Isaza 57
multiplicadores , 1max, 2max , 3max ?
( )( )( )
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
2
2 3 3 3 2
0.0020 6.72 180 50 150
0.0034 6.17 714 50 150
0.0024 7.12 380 100 300
550
g g
g g
g g
D
C Pg P P Pg
C Pg P P Pg
C Pg P P Pg
P MW
= + +
= + +
= + +
=
Datos del problema:
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Solucin
$5186.1/ hrC = $5203.9 / hrC =
Sin restricciones de generacin
Con una restriccin activa de generacin
$5259 / hrC =
Con dos restriccionesactivas de generacin
Harold Salazar Isaza 58
1
2
3
229.1243
213.1920
107.6836
7.6365
G
G
G
P
P
P
=
$5186.1/ hrtotalC =
1
2
3
max
1
150.00
247.41
152.58
7.8524
0.5324
G
G
G
P
P
P
=
$5203.9 / hrtotalC =
1
2
3
max
1
max
2
150.00
150.00
250.00
8.3200
1.0000
1.1300
G
G
G
P
P
P
=
$5259 / hrtotalC =
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Considere ahora las prdidas del sistema las cuales se denotan como PL
( )min n i iPg
C Pg
Modelo matemtico
Harold Salazar Isaza 59
( )1i
i iPg
i=
s.a:
1 1
n m
i j L
i j
Pg Pd P= =
= +
Funcin de LaGrange
( )11 1 1
( , , , )n n m
n i i i j L
i i j
L Pg Pg C Pg Pg Pd P = = =
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
0n m
i j LPg Pd P =
El balance global del sistema se representa por la siguiente ecuacin:
Una consideracin antes de encontrar las CdPO
Harold Salazar Isaza 60
Observaciones:
1. Recuerde que los Pdj son constantes. Por tanto, PL es funcin de las Pgi.
2. Del flujo de potencia es sabido que Pg1 (la potencia neta inyectada) en el nodo slack (o nodo
de referencia) es funcin de las Pgi.
3. Como consecuencia de las observaciones 1 y 2, PL es funcin de todas las potencias excepto la
potencia en el nodo slack, esto es
1 1
1 1
0i j Li j
n m
L i j
i j
Pg Pd P
P Pg Pd
= =
= =
=
=
( )2 3, , ,L L nP P Pg Pg Pg
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
( )11 1 1
( , , , )n n m
n i i i j L
i i j
L Pg Pg C Pg Pg Pd P = = =
=
CdPO
1. Derivadas con respecto a las potencias generadas:
Funcin de LaGrange
Harold Salazar Isaza 61
0 1i
Li n
Pg
= =
( ) ( )1 1 1
1 0 2n n m
Li i i j L i i
i i ji i i
PLC Pg Pg Pd P CI Pg i n
Pg Pg Pg
= = =
= = = =
1. Derivadas con respecto a las potencias generadas:
Recuerde que las prdidas esta en funcin de las potencias generadas, excepto Pg1
( ) ( )1 11 1 11 1
0n n m
i i i j L
i i j
LC Pg Pg Pd P CI Pg
Pg Pg
= = =
= = =
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
( )11 1 1
( , , , )n n m
n i i i j L
i i j
L Pg Pg C Pg Pg Pd P = = =
=
CdPO
Funcin de LaGrange
Harold Salazar Isaza 62
2. Derivada con respecto al multiplicador de LaGrange:
0L
= 1 10
n m
i j L
i j
Pg Pd P= =
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Las CdPO son, en resumen, las siguientes:
( )( )
1 1 0
1 0 2Li i
CI Pg
PCI Pg i n
Pg
=
= =
Harold Salazar Isaza 63
( )
1 1
1 0 2
0
i i
i
n m
i j L
i j
CI Pg i nPg
Pg Pd P
= =
= =
=
Las ecuaciones del costo incremental se puede reescribir de esta manera (excepto la
asociada con el nodo slack):
( )1 21
i i
L
i
CI Pg i nP
Pg
= =
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
El trmino que multiplica a los costos incrementales en la diapositiva anterior se denomina el factor
de penalidad de prdidas del generador i y es denotado como Li, matemticamente:
12iL i n
P= =
Estos factores se pueden deducir analticamente. Ver capitulo 11
Harold Salazar Isaza 64
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2
1 1
0
n n n
n m
i j L
i j
L CI Pg L CI Pg L CI Pg
Pg Pd P
= =
= = =
=
1
2
1
1
i
L
i
L i nP
Pg
L
= =
=
Las condiciones necesarias de optimalidad, teniendo en cuenta las perdidas, son las siguientes:
analticamente. Ver capitulo 11 del libro Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Comparacin entre el despacho econmico ignorando perdidas y considerando perdidas:
( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nCI Pg CI Pg CI Pg = = =CdPO (ignorando prdidas)
Harold Salazar Isaza 65
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2
1 1
0
n n n
n m
i j L
i j
L CI Pg L CI Pg L CI Pg
Pg Pd P
= =
= = =
=
( ) ( ) ( )1 1 2 2
1 1
0
n n
n m
i j
i j
Pg Pd= =
=
CdPO (considerando prdidas)
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 1 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Encuentre el despacho econmico para el siguiente sistema
Harold Salazar Isaza 66
Pd1=50 MWPd1=300 MW
( )( )
( )
1 1 1
2 2 2
2
2
0.007 4.1
0.007 4.1
0.001 50L
CI Pg Pg
CI Pg Pg
P Pg
= +
= +
=
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 1 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Las CdPO para el despacho econmico considerando perdidas son:
( ) ( )1 1 1 2 2 2L CI Pg L CI Pg = =
Harold Salazar Isaza 67
( ) ( )1 1 1 2 2 2
1 1
0n m
i j L
i j
L CI Pg L CI Pg
Pg Pd P
= =
= =
=
Los factores de penalidad estn dados por:
1
2
2
2
1
1 1
1.1 0.0021 L
L
LPgP
Pg
=
= =
En el ejemplo 2 se muestra como calcular esta expresion para un sistema de dos nodos
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 1 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Las CdPO, por consiguiente, son:
( )1 1 1 0.007 1 4.1L CI Pg Pg = + =
Harold Salazar Isaza 68
( )( ) ( )
1 1 1
2 2 2 2
2
0.007 1 4.1
10.007 4.1
1.1 0.002
L CI Pg Pg
L CI Pg PgPg
= + =
= + =
De forma equivalente
1
2
4.1
0.007
1.1 4.1
0.007 0.002
Pg
Pg
=
=
+
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 1 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
El sistema de ecuaciones es no lineal y requiere un mtodo iterativo.
Sistema de ecuaciones Sistema iterativo
Harold Salazar Isaza 69
( )
1
2
2
2
2
4.1
0.007
1.1 4.1
0.007 0.002
0.001 50
1 300 50 0L
Pg
Pg
Pg
Pg Pg P
=
=
+
+ + + =
Pg1 Pg1 PL Balance global
5.0 128.6 82.35 0.0786 -139.15
6.0 271.4 131.57 0.2214 52.78
5.5 200.0 108.33 0.1500 -41.81
5.75 231.7 120.27 0.1857 5.79
5.625 217.8 114.38 0.1679 -17.927
5.6875 226.78 117.34 0.1768 -6.0441
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 2 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Encuentre el despacho econmico para el siguiente sistema. Observe que es necesario
derivar una expresin para L2 pues no esta dada en trminos explcitos de Pg2.
Harold Salazar Isaza 70
Pd1=1 pu
( )( )
( )
1 1 1 .
2 2 2 .
2
0.7 4.1
0.7 4.1
?
p u
p u
L
CI Pg Pg
CI Pg Pg
P Pg
= +
= +
=0.02 0.08lz j pu= +
0
1 1jV e= 22 1
jV e =
P1 P2
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 2 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Para obtener PL en funcin de PG2 es necesario recurrir a las ecuaciones del flujo de
potencia, concretamente las ecuaciones de balance nodal. Recuerde que PL=P1+P2 y
Harold Salazar Isaza 71
estas potencias (P1+P2) se encuentran a partir de los balances nodales. Por lo tanto,
se necesita, como primer paso, el calculo de la Ybus.
Pd1=3.0pu
0.02 0.08lz j pu= +
0
1 1jv e=
2
2 1jv e =
2.94 2.94 11.76 11.76
2.94 2.94 11.76 11.76
bus busYbus G jB
j
= + =
+
P1 P2
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 2 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Las ecuaciones de balance nodal (ver notas de anlisis) son:
( )cosn/ i i i j ij ij ij ijP Pg Pd V V G B sen = = +
Harold Salazar Isaza 72
( )1
cosi/ i i i j ij ij ij ij
j
P Pg Pd V V G B sen =
= = +
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 11 11 1 2 12 12
12 12
2.94cos 11.76 2.94cos 11.76
2.94 1 cos 11.76
Pg Pd P VV sen VV sen
sen
= = + + +
= +
( ) ( )( )
2 2 2 2 1 21 21 2 2 22 22
12 12
2.94cos 11.76 2.94cos 11.76
2.94 1 cos 11.76
Pg Pd P V V sen V V sen
sen
= = + +
=
( )1 2 125.88 1 cosLP P P = + =
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 2 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
El factor de penalidad de perdidas L2 se puede encontrar a travs de la siguiente
regla de la cadena:
Harold Salazar Isaza 73
2 12
212 2 12 2
12
L
L L L
dP
dP dP dPg dP d
dPgd dPg d dPg
d
= =
Derivando las expresiones de la diapositiva anterior
12
12
2 212 12
12 12
5.88sin
2.94sin 11.76cos
LdP
d
dPg dP
d d
=
= =
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 2 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
El factor de penalidad de perdidas L2 se puede encontrar a travs de la siguiente
regla de la cadena:
Harold Salazar Isaza 74
212
2 12 12
12 12 122
12 12 12
1 1
5.881 1
2.94 11.76cos
11.76cos 2.94 1 0.25 tan
11.76cos 2.94s 1 0.25 tan
L
LdP sen
dPg sen
senL
en
= =
= =
+ +
-
Solucin al problema de despacho econmicoConsiderando prdidas e ignorando limites de generacin
Ejemplo 2 (Tomado de Power System Analysis Arthur Bergen & V. Vittal)
Como encontrar el despacho econmico para este ejemplo?
1. Asumir un ngulo inicial 2
Harold Salazar Isaza 75
2. Calcular P1 y P2 basados en las ecuaciones de la diapositiva 72.
3. Calcular Pg1 y Pg2 con base en el punto 2 y las ecuaciones de la diapositivas 72.
4. Calcular el CI1 y CI2 con base en el punto 3 y los datos del problema
5. Calcular L2 con base en la suposicin 1. Recuerdo que L1=1
6. Se cumple la condicin de optimalidad?, esto es L1CI1=L2CI2
1. Si: Parar, la solucin es Pg1 y Pg2 encontradas en el punto 3.
2. No: Asumir un ngulo 2 diferente y repetir el procedimiento.
-
Solucin al problema de despacho econmicoIgnorando prdidas y considerando limites de generacin
Taller para ser resuelto en clase
Finalizar el ejemplo anterior asumiendo un ngulo inicial 2=6.0o. Las ecuaciones que debe tener
presente, derivadas en el ejemplo anterior, son las siguientes:
Harold Salazar Isaza 76
( )1 1 12 123.0 2.94 1 cos 11.76Pg P sen = = +( )2 2 12 122.94 1 cos 11.76Pg P sen = =
122
12
1 0.25 tan
1 0.25 tanL
=
+
( )( )
1 1 1 .
2 2 2 .
0.7 4.1
0.7 4.1
p u
p u
CI Pg Pg
CI Pg Pg
= +
= +
-
Taller
Taller:
Considere tres unidades de generacin cuyo costos de generacin estn
dados por la siguiente curvas de costo:
Harold Salazar Isaza 77
( )( )( )
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
2
2 3 3 3 3
0.009 5.00 180 100 300
0.015 5.50 714 100 300
0.018 6.00 380 100 300
g g
g g
g g
C Pg P P Pg
C Pg P P Pg
C Pg P P Pg
= + +
= + +
= + +
-
Taller
Determine el despacho econmico, para una demanda de 700MW, en los siguientes
casos:
1.Ignorando limites de generacin.
2.Considerando los limites de generacin.
Harold Salazar Isaza 78
3.Considere que las unidades tiene la disposicin mostrada en la figura de
abajo. Encuentre el despacho econmico para ese sistema considerando las
perdidas del sistema e ignorando los limites de generacin.
dT=700MW
G1 G3
G2
0.01 0.07lz j pu= +
0
1 1.05jV e= 22 0.98
jV e =Sb=100MVAVb=115KV
-
Comentarios finales acerca del despacho econmico
1. El despacho econmico es una herramienta de anlisis bsica para el estudio
y anlisis de la operacin de sistemas de potencia.
2. La solucin del despacho econmico considerando los efectos de red
requieren el uso de herramientas de optimizacin no cubiertas en estasrequieren el uso de herramientas de optimizacin no cubiertas en estas
diapositivas. Sin embargo, las conclusiones que se obtiene de la solucin de
este problema con las herramientas estudiadas se extienden a problemas
que incorporan la red.
3. La interpretacin de los operadores de LaGrange son de bastante utilidad en
el estudio y anlisis de los mercados elctricos. En futuras presentaciones se
hara uso de este importante concepto econmico.
Harold Salazar Isaza 79